2020届四川省成都市蓉城名校联盟高三第二次联考数学(文)试题解析

蓉城名校联盟2019~2020学年度下期高中2018级期末联考文科数学考试时间共120分钟，满分150分注意事项：1．答题前，考生务必在答题卡上将自己的学校、姓名、班级、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“条形码粘贴处”．2．选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效． 3．考试结束后由监考老师将答题卡收回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知(1)z i i =-（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点的位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】A 【解析】分析：把z 化为(,)a bi a b R +∈形式，得对应点为(,)a b ，从而可在第几象限.详解：2(1)1z i i i i i =-=-=+，对应点为(1,1)在第一象限. 故选A.点睛：本题考查复数的几何意义，解题时需把复数化为标准形式，即(,)a bi a b R +∈的形式，它对应的点的坐标为(,)a b .2. 已知集合{}0,1,2,3,4A =，2{|30}B x x x =->，则集合AB 的子集个数为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 8【答案】C 【解析】 【分析】先求集合的交集，再根据集合子集与元素的个数公式计算即可. 【详解】因为{}0,1,2,3,4A =，{}|03B x x =<<，所以{1,2}AB =，故其子集的个数是224=.故选：C.【点睛】本题考查集合交集运算，集合子集个数的计算，是基础题.3. 已知角α顶点在原点，始边与x 轴正半轴重合，终边与直线1x =有公共点，且3sin 5α=-，则tan α=（ ） A.45B. 45-C. 34-D.34【答案】C 【解析】 【分析】由已知条件可知α在第四象限，根据同角三角函数的基本关系，计算即可得解. 【详解】终边与直线1x =有公共点，且3sin 05α=-<， 可知α在第四象限，故4cos 5α==，sin 3tan cos 4ααα∴==-. 故选：C.【点睛】本题考查三角函数在各象限的符号，考查同角三角函数的基本关系，属于基础题. 4. 春季，某小组参加学校的植树活动，计划种植杨树x 棵，柳树y 棵，由于地理条件限制，x ，y 需满足条件2526x y x y x -≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，则该小组最多能种植两种树苗共（ ）A. 12棵B. 13棵C. 14棵D. 15棵【答案】B 【解析】 【分析】根据约束条件作出可行域，将目标函数z x y =+，转化为y x z =-+，由几何意义可知当过A 点时，目标函数取得最大值，计算可得结果.【详解】由,x N y N∈∈,且满足约束条件2526x yx yx-≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，画出可行域如下图所示：将目标函数z x y=+，转化为y x z=-+，平移直线y x=-，当直线在y轴上截距最大时，经过()6,7A，此时，目标函数取得最大值，最大值为13.故选：B.【点睛】本题考直线性目标函数的最值，一般利用平移直线找到最优解，考查数形结合思想的应用，属于基础题.5. 数列{}n a的前n项和为n S，若1(1)nan n=+，则99S=（）A. 1B.1100C.9899D.99100【答案】D【解析】【分析】利用裂项相消法求解即可.【详解】111(1)1nan n n n==-++，991111111991122399100100100S⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋯+-=-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：D ．【点睛】本题主要考查了裂项相消法求和的问题.属于较易题.6. 已知函数()2log (0) 1(0)3xx x f x x >⎧⎪=⎨⎛⎫≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，则14f f ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（ ） A.19B. 19-C. 9D. 9-【答案】C 【解析】 【分析】先计算14f ⎛⎫⎪⎝⎭，再计算14f f ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，注意自变量的范围． 【详解】104>，则211log 244f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，又20-<，则211(2)943f ff -⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦． 故选：C ．【点睛】本题考查分段函数，求分段函数函数值时要注意自变量的取值范围，不同的范围选用不同的表达式计算．7. 在ABC 中，三个角满足2A B C =+，且最长边与最短边分别是方程2327320x x -+=的两根，则BC 边长为（ ） A. 6 B. 7C. 9D. 12【答案】B 【解析】 【分析】首先根据题的条件，确定出最长边和最短边必定为b ，c ，且60A ∠=︒，利用韦达定理得到9b c +=，323bc =，利用余弦定理求得BC 边长. 【详解】因为2A B C =+，可知最长边和最短边必定为b ，c ，且60A ∠=︒， 于是，9b c +=，323bc =，根据余弦定理：()22222cos603813249a b c bc b c bc ︒=+-=+-=-=， 解得7a =， 故选：B.【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有韦达定理，余弦定理，属于基础题目.8. 运行下图所示的程序框图，如果输入的2020n =，则输出的n =（ ）A. 6B. 7C. 63D. 64【答案】A 【解析】 【分析】根据题中所给的框图，模拟执行程序框图，求得结果.【详解】输入2020100n =>，且不是奇数，赋值1010100n =>，且不是奇数， 赋值505100n =>，且奇数，赋值252100n =>，且不是奇数， 赋值126100n =>，且不是奇数，赋值63100n =<， 赋值()2log 6316n =+=，输出6. 故选：A【点睛】该题考查的是有关程序框图的问题，涉及到的知识点有计算程序框图的输出结果，属于简单题目.9. 四面体O ABC -的顶点都在同一球面上，其中OA ，OB ，OC 两两垂直，且2OA OB ==，1OC =，则该球面的表面积为（ ）A. 9πB. 4πC. 12πD. 36π【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，结合三棱锥的特征，将四面体补成长方体，且该四面体的外接球就是所补成长方体的外接球，其对角线就是外接球的直角，从而求得结果. 【详解】根据题意，将四面体补成长方体，3=. 四面体的四个顶点在同一球面上， 则长方体的八个顶点也在同一球面上， 长方体的对角线3就是球的直径. 则球的半径32R =， ∴球的表面积为23492ππ⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭， 故选：A.【点睛】该题考查的是有关几何体的外接球的问题，涉及到的知识点有从同一顶点出发的三棱锥的三条棱两两垂直时，求其外接球可以应用补体来完成，属于简单题目. 10. 函数()31f x x ax =--在()1,1-上不单调的一个充分不必要条件是（ ）A. []0,3a ∈B. ()0,5a ∈C. ()0,3a ∈D.()1,2a ∈【答案】D 【解析】 分析】先求出()f x 在()1,1-上单调的范围，其补集即为不单调的范围，结合选项即可得到答案. 【详解】由已知，当()1,1x ∈-时，()[)23,3f x x a a a '=-∈--，当0a ≤时，()0f x '≥，当3a ≥时，()0f x '≤， 所以()f x 在()1,1-上单调，则0a ≤或3a ≥， 故()f x 在()1,1-上不单调时，a 的范围为()0,3，A ､B 是必要不充分条件，C 是充要条件，D 是充分不必要条件.故选：D.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，涉及到充分条件、必要条件的判断，考查学生的逻辑推理能力，数学运算能力，是一道中档题.11. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，焦点()12,0F -，()22,0F .过()12,0F -作倾斜角为60︒的直线L 交上半椭圆于点A ，以11 , F A F O (O 为坐标原点)为邻边作平行四边形1 OF AB ，点B 恰好也在椭圆上，则2b =（ ）3 B. 3 C. 43 D. 12【答案】B 【解析】 【分析】设()11,A x y ，()22,B x y ，根据四边形1OF AB 为平行四边形可得12y y =，利用椭圆方程可得21x x =-，利用1//F A OB ，且直线1F A 的倾斜角为60°可得121,1x x =-=，123y y ==即可得(3)A -，代入椭圆方程并结合2224a b c -==可得31a =，从而可得结果.【详解】依题意可知，2c =，设()()1122,,,A x y B x y ， 因为四边形1 OF AB 为平行四边形，所以12 y y =，又2211221x y a b +=，2222221x y a b +=， 所以21 x x =-，又1/ /F A OB ，且直线1F A 的倾斜角为60︒，所以12122y y x x ==+ 因为12y y =，21x x =-，所以11x =-，21x =，12y y ==所以(A -，将其代入22221x y a b+=，得22131a b+=➀ 又2c =，所以2224a b c -==②所以联立①②解得24a =+2b =故选：B.【点睛】本题以椭圆为背景，考查了椭圆的性质，考查了斜率公式，考查了运算求解能力，属于中档题.12. 已知()f x 是定义在R 上的函数，其导函数为()f x '，若()()1f x f x '-<，()02020f =，则不等式()20191x f x e >+(其中e 为自然对数的底数)的解集为（ ）A. ()(),00,-∞⋃+∞B. ()0,∞+C. ()2019,+∞D. ()(),02019,-∞+∞【答案】B 【解析】 【分析】首先构造函数()()1x f x F x e -=，利用导数得到()()1xf x F x e -=在R 上单调递增，再根据()02020f =得到()()02019F x F >=，再化简即可得到答案.【详解】由题知：构造函数()()1xf x F x e-=， 则()()()()()()2110x xxx f x e f x e f x f x F x e e '--⎡⎤'-+⎣⎦'==>，故函数()()1x f x F x e -=在R 上单调递增， 又因为()()001020*******f F e-==-=， 所以当且仅当0x >时，()()02019F x F >=成立，即()12019xf x e->，即()20191xf x e >+， 因此不等式()20191xf x e >+的解集为()0,∞+. 故选：B【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，其中构造函数为解题的关键，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，02θπ≤<），则曲线C 的普通方程为____________．【答案】22149x y +=【解析】 【分析】利用同角三角函数的平方关系，消去参数求解即可.【详解】由cos 2cos 23sin 3x x y y sin θθθθ⎧=⎪=⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩，由22sin cos 1θθ+=，则22149x y +=．故答案为：22149x y +=.【点睛】该题考查曲线的参数方程与普通方程的互化.属于较易题.14. 已知一组数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x ，7x ，8x 的方差为2，则121x +，221x +，321x +，421x +，521x +，621x +，721x +，821x +这组数据的方差为____________.【答案】8 【解析】 【分析】根据方差性质公式计算即可.【详解】由性质()()2D ax b a D x +=可知，新的数据的方差为2×22=8.故答案为：8.【点睛】本题考查方差的性质，是基础题.15. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点()0,0O ，()2,0A ，()2,1B ，()0,1C ，现在矩形OABC 中随机选取一点(),P x y ，则事件：点(),P x y 的坐标满足y ≥____________． 【答案】π14- 【解析】 【分析】在坐标平面中画出可行域，再画出不等式y ≥算出它们的面积后可得所求的概率.【详解】矩形OABC 围成的可行域如图所示.由y ≥221(1)0y x y ⎧≥--⎨≥⎩，也就是22(1)10x y y ⎧-+≥⎨≥⎩，此不等式对应的平面区域如图阴影部分所示,则矩形OABC 的面积为2，而阴影部分的面积为121222ππ-⨯⨯=-. 则22124P ππ-==-．故答案为：π14-. 【点睛】本题考查几何概型概率的计算，弄清随机事件对应的平面区域是关键，本题属于中档题.16. 已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12, F F ，点P 在第一象限的双曲线C 上，且2PF x ⊥轴，12PF F △内一点M 满足1212::1:2:3MPF MPF MF F SSS=，且点M在直线2y x =上，则双曲线C 的离心率为____________． 【答案】2133【解析】 【分析】首先得点2,b P c a ⎛⎫⎪⎝⎭，则122PF F b cSa=，这样12MF F △和2MPF 的面积可表示出来，从而可得M 点坐标，代入直线方程2y x =得到,,a b c 的等式，变形后可求得离心率．【详解】由图像可知，点2,b P c a ⎛⎫⎪⎝⎭，则122PF F b cSa=， 由1212::1:2:3MPF MPF MF F SSS=，则222132PMF b c b Sd a a==⋅⋅，则23c d =，则3M c x =， 由1221222F MF b c Sc h a ==⋅⋅，则22b h a=， 则22M b y a =，点2,32c b M a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由点M 在直线2y x =上，则22222234334343023b cb ac c a ac e e a =⇒=⇒-=⇒--=，则e =1e >，则e =．. 【点睛】本题考查求双曲线的离心率，解题关键是列出关于,,a b c 的齐次式，本题中利用12MF F △和2MPF 的面积得出M 点坐标，从而得到要找的等式．三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知函数()32113f x x ax bx =+++，其导函数为()f x '，不等式()0f x '<的解集为()2,4.（1）求a ，b 的值；（2）求函数在[]0,3上的最大值和最小值. 【答案】（1）3,8a b =-=；（2）最大值：233，最小值：1. 【解析】 【分析】（1）根据题意可得()220f x x ax b '=++<的解集为()2,4，利用韦达定理即可求解.（2）利用导数判断函数的单调性，然后求出极值与端点值即可求解.【详解】解：（1）由()220f x x ax b '=++<的解集为()2,4，则2423,824aa b b+=-⎧⇒=-=⎨⨯=⎩.（2）由（1）问可知，()3238311f x x x x =-++， ()[]268,0,3f x x x x '=-+∈，则x()0,22()2,3()f x '大于零等于零小于零()f x单调递增 极大值 单调递减则()()max 8232533f x f ===， 由()01f =，()37f =，则()()min 01f x f ==.【点睛】本题考查了由一元二次不等式的解集求参数、利用导数求函数的最值，考查了计算求解能力，属于基础题.18. 今年5月底，中央开始鼓励“地摊经济”，地摊在全国遍地开花.某地政府组织调研本地地摊经济，随机选取100名地摊摊主了解他们每月的收入情况，并按收入(单位：千元)将摊主分成六个组[)5,10，[)10,15，[)15,20，[)20,25，[)25,30，[)30,35，得到下边收入频率分布直方图.（1）求频率分布直方图中t 的值，并估计每月每名地摊摊主收入的中位数和平均数(单位：千元)；（2）已知从收入在[)10,20的地摊摊主中用分层抽样抽取5人，现从这5人中随机抽取2人，求抽取的2人收入都来自[)15,20的概率.【答案】（1）0.04t =，中位数为21.875(千元)，平均数为：20.75(千元)；（2）310. 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图中所有长方形的面积和为1，列方程可求出t 的值，利用中位数两边的频率相同可求出中位数，平均数等于各组中点值乘以对应的频率，再把所有的积加起来可得平均数；（2）利用分层抽样的比例求出[)10,15和[)15,20的人数，然后利用列举法把所有情况列出来，再利用古典概型的概率公式求解即可.【详解】（1）由()0.020.020.030.080.0151t +++++⨯=，则0.04t =， 由()0.020.020.0350.35++⨯=，由0.50.355 1.8750.4-⨯=，则中位数为20 1.87521.875+=(千元)，平均数为()7.50.0212.50.0217.50.0322.50.0827.50.0432.50.015⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯20.75=(千元)（2）由分层抽样可知[)10,15应抽取2人记为1，2，[)15,20应抽取3人记为a ，b ，c ，则从这5人中抽取2人的所有情况有：()()()()()()()()()()1,2,1,,1,,1,,2,,2,,2,,,,,,,a b c a b c a b a c b c ，共10种情况，记其中2人收入都来自[)15,20事件A ，情况有()()(),,,,,a b a c b c 3种，则()310P A =. 【点睛】此题考查了由频率分布直方图求中位数，平均数，考查了分层抽样，古典概型，考查了分析问题的能力，属于基础题.19. 如图，矩形ABCD 中，2AB =，3BC =，点E 是边AD 上的一点，且2AE ED =，点H 是BE 的中点，现将ABE △沿着BE 折起构成四棱锥A BCDE -，M 是四棱锥A BCDE -棱AD 的中点．（1）证明：//HM 平面ABC ；（2）当四棱锥A BCDE -体积最大时，求二面角M AB C --的余弦值． 【答案】（1）见解析；（2）79. 【解析】 【分析】（1）取AE 的中点为K ，连接,HK KM ，可证明平面//KMH 平面ABC ，从而可得//HM 平面ABC .（2）当四棱锥A BCDE -体积最大时，平面ABE ⊥平面BCDE ，建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面ABC 和平面MAB 的法向量后可求二面角M AB C --的余弦值. 【详解】（1）取AE 的中点为K ，连接,HK KM ， 因为,AK KE AM MD ==，故//KM DE ， 而//DE BC ，故//KM BC ，因为KM ⊄平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，故//KM 平面ABC .同理//KH BA ，因为KH ⊄平面ABC ，BA ⊂平面ABC ，故//KH 平面ABC ， 因为KH ⊂平面KMH ，KM ⊂平面KMH ，KM KH K ⋂=， 故平面//KMH 平面ABC ，因MH ⊂平面KMH ，故//MH 平面ABC .（2）当四棱锥A BCDE -体积最大时，平面ABE ⊥平面BCDE . 在BC 上取点L ，使得1CL =，则//DE CL ，DE CL =， 故四边形EDCL 为平行四边形，所以2EL CD ==， 因2BL =，BH HE =，故HL BE ⊥.因为2AE ED =，故2AE =，故ABE △为等腰直角三角形， 因BH HE =，故AH BE ⊥，而AH ⊂平面ABE ，平面ABE 平面BCDEBE ，所以AH ⊥平面BCDE .因为HL ⊂平面BCDE ，故AH HL ⊥，故可建立如图所示的空间直角坐标系. 所以()2323222,2,0,0,,,2222A BC D ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故3222M ⎛ ⎝⎭. 又(2,0,2AB =-，323222BC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，3222442MA ⎛=- ⎝⎭，设平面ABC 的法向量为()111,,m x y z =，则由00m AB m BC ⎧⋅=⎨⋅=⎩可得11112203232022x z x y =⎨-+=⎪⎩，取11y =，则111,1x z ==， 故()1,1,1m =. 设平面MAB法向量为()222,,n x y z =，则由0 n ABn MA⎧⋅=⎨⋅=⎩可得222222203222+0442x zx y z⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，取21x=，则225,1y z==，故()1,5,1n=.所以7cos,9327m nm nm n⋅===⨯.因为二面角M AB C--的平面角为锐角，故其余弦值为79.【点睛】线面平行的证明的关键是在面中找到一条与已知直线平行的直线，找线的方法是平行投影或中心投影，我们也可以通过面面平行证线面平行，这个方法的关键是构造过已知直线的平面，证明该平面与已知平面平行. 空间中的角的计算，可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算，也可以构建空间角，把角的计算归结平面图形中的角的计算.20. 已知椭圆()2222:10x yC a ba b+=>>的左右焦点分别为1F、2F，若点(3B在椭圆上，且12BF F△为等边三角形.（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点1F的直线l与椭圆C交于M、N两点，若点2F在以MN为直径的圆外，求直线l 斜率k的取值范围.【答案】（1）22143x y+=；（2）377k>或377k<-.【解析】【分析】（1）本题可以根据点(B在椭圆上得出b =12BF F △为等边三角形得出2a =，即可写求椭圆C 的标准方程；（2）本题首先可以设出直线l 的方程为()1y k x =+，然后联立直线方程与椭圆方程，得出12x x +以及12x x 的值，再然后根据点2F 在以MN 为直径的圆外得出220F M F N ⋅>，最后通过化简并计算即可得出结果.【详解】（1）因为点(B在椭圆上，所以b =因为12BF F △为等边三角形，所以sin 60ba，解得2a =， 故椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（2）因为椭圆C 的标准方程为22143x y +=，所以()11,0F -，()21,0F ，直线l 的方程为()1y k x =+， 设()11,M x y ，()22,N x y ，则()2111,F M x y =-，()2221,F N x y =-，联立方程()221 143y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，得()22223484120k x k x k +++-=， 则2122834kx x k +=+，212241234k x x k-⋅=+，且>0∆恒成立， 因为点2F 在以MN 为直径的圆外， 所以290MF N ∠<︒，220F M F N ⋅>， 即()()1212110x x y y --+>，()()()()2121211110x x kx x --+++>，整理可得()()()22212121110k x x k x x k ++-+++>，则()()2222222412811103434k k k k k k k-+--++>++，整理可得279k >，297k >，k >k <. 【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法以及椭圆与直线相交的相关问题的求法，考查向量的数量积的灵活应用，考查韦达定理的灵活应用，考查化归与转化思想，考查计算能力，是难题.21. 已知函数()x f x a e b =⋅+在点(0,(0))f 处的切线方程为1y x =+． （1）求a ，b 的值；（2）已知函数()y g x =的图像与()y f x =的图像关于直线 y x =对称．若不等式()1k f x x ⋅-⋅≥⎡⎤⎣⎦()1g x +对0x >恒成立，求实数k 的取值范围．【答案】（1）1,0==a b ；（2）1k .【解析】 【分析】（1）先对函数求导，利用导数的几何意义即可得出结果；（2）利用已知条件得出()ln g x x =，把不等式转化为ln 1x x xk xe ++≥对0x >恒成立，令ln 1(),(0,)xx x r x x xe++=∈+∞，求导分析函数()r x 的单调性求出()max r x ，即可得出结果. 【详解】（1）由()xf x a e '=⋅， 又切点(0,1)，则(0)111,0(0)11f a b a b k f a ⎧=+='⎧⇒⇒==⎨⎨===⎩⎩（2）由()xf x e =， 则()lng x x =，由不等式()1ln 1xke x x -⋅≥+对0x >恒成立， 整理可得ln 1xx xk xe ++≥对0x >恒成立，令ln 1(),(0,)x x xr x x xe ++=∈+∞，则2(1)(ln )()xx x x r x x e+--'=， 由ln 0x x +=有且仅有唯一的根为0x ， 则00ln 0x x +=， 所以00ln x x =-， 则001x x e=，由则()()0000max 0ln 11x x x r x r x x e ++===，则1k．【点睛】本题主要考查了导数的几何意义以及利用导数解决不等式恒成立问题.属于中档题.22. 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1121x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. （1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）已知点()1,1P ，若直线l 与曲线C 相交于M ､N 两点，求()2||||PM PN +的值.【答案】（1）()()22228x y -+-=；（2）28+【解析】【分析】（1）利用cos x ρθ=，sin y ρθ=化简4πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭即可得到答案. （2）首先将11212x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入()()22228x y -+-=得到)2160t t --=，再利用直线参数方程的几何意义即可得到答案.【详解】（1）由24sin 4cos 4sin 4cos 4πρθρθθρρθρθ⎛⎫=+⇒=+⇒=+ ⎪⎝⎭， 则2244x y y x +=+， 则曲线C 的直角坐标方程为()()22228x y -+-=.（2）把直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程整理可得)2160t t --=， 其两根分别设为12,t t，则12121,6t t t t ⎧+=⎪⎨⋅=-⎪⎩ 由()()2212122(||||||||)PM PN t t t t +=+=- ()21212428t t t t =+-⋅=+【点睛】本题第一问考查圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化，第二问考查直线参数方程的几何意义，属于简单题.。

绝密★启用前四川省成都市蓉城名校联盟2020届高三毕业班下学期第二次联考质量检测理综-物理试题(解析版)注意事项：1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的学校、姓名、班级、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“条形码粘贴处”。

2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效。

3.考试结束后由监考老师将答题卡收回。

二、选择题1.下列说法正确的是（）A. 物体的惯性越大，说明该物体的运动状态改变得越快B. 材料电阻率越小，说明该材料的导电性能越好C. 电容器的电容越大，说明该电容器储存的电荷量越多D. 电源电动势越大，说明该电源将电能转化为其它形式的能就越多【答案】B【解析】【详解】A．物体惯性的大小是描述物体运动状态改变的难易程度，而不是运动状态改变的快慢，运动状态改变的快慢是加速度，故A错误；B．材料电阻率越小，说明该材料的导电性能越好，选项B正确；C．电容器的电容是反映电容器储存电荷的本领，而不是电荷量的多少，故C错误；D．电动势的大小反映电源将其它形式的能转化为电能的本领，不是将电能转化为其它形式的能，选项D 错误。

故选B 。

2.如图所示，光滑半球体固定在水平面内，现用力F 将质量为m 的小球从A 点沿半球体表面缓慢拉到最高点B 处，F 的方向始终与半球体在该点的切线方向一致。

关于小球对半球体的压力N 和拉力F 的变化情况是（ ）A. N 不变，F 先增大后减小B. N 、F 均减小C. N 、F 均增大D. N 增大，F 减小【答案】D【解析】【详解】小球在F 方向上有 sin F mg θ=在垂直F 方向上有cos N mg θ=而θ指F 与水平方向的夹角。

小球在上移过程中，θ减小，故F 减小，N 增大。

2024届成都蓉城名校联盟高三第三次模拟考试数学（文科）考试时间120分钟，满分150分注意事项：1．答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号和考籍号用0.5毫米的黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”．2．选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案：非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效：在草稿纸上、试卷上答题无效． 3．考试结束后由监考老师将答题卡收回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设全集{}1,2,3,4,5U =，若集合M 满足{}1,4U M ⊆ð，则（）A. 4M ÎB. 1M ∉C. 2M ∈D. 3M ∉2. 若复数z 满足()1i 2i z +=-，则z =（ ）A.1i22+ B.1i 22- C. 13i 22+ D.13i 22- 3. 1332312,2,sin ,log 23-四个数中最大的数是（ ） A. 32-B.132C. 3sin2D. 21log 34. 函数2cos 2()ln(1)x xf x x =+的图象大致是（ ）A. B.C. D.5. 地球生命来自外星吗？一篇发布在《生物学快讯》上的文章《基因库的增长是生命起源和演化的时钟》可能给出了一种答案．该论文的作者根据生物功能性基因组里的碱基排列数的大小定义了基因库的复杂度y （单位：1），通过研究各个年代的古代生物化石里基因库的复杂度，提出了一个有趣的观点：生物基因库的复杂度近似是随时间呈指数增长的，只要知道生物基因库的复杂度就可以推测该生物体出现的年代．如图是该论文作者根据生物化石（原核生物，真核生物，蠕虫，鱼类，哺乳动物）中的基因复杂度的常用对数lg y 与时间x （单位：十亿年）的散点图及回归拟合情况（其中回归方程为：lg 0.898.64y x =+，相关指数20.97R =）．根据题干与图中的信息，下列说法错误的是（ ）A. 根据信息生物基因库的复杂度近似是随时间呈指数增长的情况，不同于作者采取y 取常用对数的做法，我们也可采用函数模型10ax y bk =⨯+ 来拟合 B. 根据回归方程可以得到，每过10亿年，生物基因库的复杂度一定增加到原来的0.89107.76≈倍 C. 虽然拟合相关指数为0.97，但是样本点只有5个，不能很好地阐释其统计规律，所以增加可靠的样本点可以更好地完善回归方程D. 根据物理界主流观点：地球的形成始于45亿年前，及拟合信息：地球在诞生之初时生物的复杂度大约为8.6410，可以推断地球生命可能并非诞生于地球6. 若a ，b是平面上两个非零的向量，则“a b a b +=+ ”是“a b a b ⋅=⋅ ”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7. 在平面直角坐标系xOy 中，角,αβ的始边均为Ox ，终边相互垂直，若35=cos α，则cos2β=（ ） A.925B. 925-C.725D. 725-8. 已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()()1ln f x x x =-，则当0x <时，()f x 的单调递增区间为（ ） A. (),e -∞- B. ()e,0- C. (),0∞-D. ()1,0-9. 已知公比不为1等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若数列{}n n S a +是首项为1的等差数列，则3a =（ ） A.12B.23C.14D.1810. 已知点,P Q 分别是抛物线2:4C y x =和直线5:2l x =上的动点，若抛物线C 的焦点为F ，则PQ QF +的最小值为（ ）A. 3B. 2+C. D. 411. 已知正方体以某直线旋转轴旋转α角后与自身重合，则α不可能为（ ） Aπ2B.2π3C.3π4D. π12. 若实数12,x x4cos23x x -=-在区间()0,π上不同的两根，则()21cos x x -=（ ） A.23B. 23-C.D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 若双曲线C0y ±=，则C 的标准方程可以是________（写出一个你认为正确的答案即可）．的为.14. 已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，则这个圆锥的高是_______． 15. 若正实数,a b 满足22a b m +=，则a b +的最大值为________（用m 表示）． 16. 若函数()2e xf x kx =-大于0的零点有且只有一个，则实数k 的值为________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17. 在ABC 中，5BC =，6AC =，1cos 8B =． （1）求AB 长； （2）求ABC 的面积．18. 为了更好地培养国家需要的人才，某校拟开展一项名为“书香致远，阅读润心”的读书活动，为了更好地服务全校学生，需要对全校学生的周平均阅读时间进行调查，现从该校学生中随机抽取200名学生，将他们的周平均阅读时间（单位：小时）数据分成5组：[)[)[)[)[]2,4,4,6,6,8,8,10,10,12，根据分组数据制成了如图所示的频率分布直方图．（1）求a 的值，并估计全校学生周平均阅读时间的平均数；（2）用分层抽样的方法从周平均阅读时间不小于8小时的学生中抽出6人，再随机选出2人作为该活动的形象大使，求这2人都来自[)8,10这组的概率．19. 已知在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是直角梯形，满足//,AD BC AD DC ⊥，若2,3PA AD DC BC ====，点M 为PD 的中点，点N 为PC 的三等分点（靠近点P ）．的（1）求证：AM ⊥平面PCD ；（2）求三棱锥P AMN -的体积．20. 已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>上的点()2,1M 到焦点12,F F的距离之和为（1）求椭圆E 的方程；（2）过点()4,0N 的直线交椭圆E 于,A B 两点，直线,AM BM 分别交直线4x =于()(),,,P P Q Q P x y Q x y 两点，求证：0P Q y y +=．21. 已知函数()ln f x x =，若数列{}n a 的各项由以下算法得到： ①任取i a a =（其中0a >），并令正整数1i =；②求函数()f x 图象在()(),i i a f a 处的切线在y 轴上的截距1i a +； ③判断10i a +>是否成立，若成立，执行第④步；若不成立，跳至第⑤步； ④令1i i =+，返回第②步；⑤结束算法，确定数列{}n a 的项依次为121,,,i a a a +⋅⋅⋅． 根据以上信息回答下列问题： （1）求证：1ln 1i i a a +=-；（2）是否存在实数a 使得{}n a 为等差数列，若存在，求出数列{}n a 项数n ；若不存在，请说明理由．参考数据：21+1e e3.11≈．（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）的22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线1C的参数方程为,x t y =-⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），曲线2C 的参数方程为cos ,sin x a y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求1C 与2C 的极坐标方程；（2）若1C 与2C 的两不同交点,A B 满足2OA OB =，求a 的值．[选修4—5：不等式选讲]（10分）23. 已知函数()(),2f x x m g x x =-=+． （1）当1m =时，解不等式()()5f x g x +≤；（2）若()1,x ∈-+∞，()()()()20f x g x f x g x -+>成立，求m 的取值范围．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设全集{}1,2,3,4,5U =，若集合M 满足{}1,4U M ⊆ð，则（）A. 4M ÎB. 1M ∉C. 2M ∈D. 3M ∉【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，利用集合的包含关系及补集的定义判断即得.【详解】全集{}1,2,3,4,5U =，由{}1,4U M ⊆ð，知1,4U U M M ∈∈ðð，则1,4M M ∉∉，A 错误，B 正确；不能判断2M ∈，也不能判断3M ∉，CD 错误. 故选：B2. 若复数z 满足()1i 2i z +=-，则z =（ ）A.1i 22+ B.1i 22- C. 13i 22+ D.13i 22- 【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，利用复数除法运算计算即得. 【详解】依题意，2i (2i)(1i)13i 13i 1i (1i)(1i)222z ----====-++-. 故选：D 3. 1332312,2,sin ,log 23-四个数中最大的数是（ ） A. 32- B.132C. 3sin2D. 21log 3【答案】B 【解析】【分析】引入0，1，分别比较这四个数和0，1的大小，即可得到结论. 【详解】因为33112128-==<，103221>=，3sin 12<，221log log 303=-<. 所以132最大.故选：B 4. 函数2cos 2()ln(1)x xf x x =+的图象大致是（ ）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由函数的奇偶性排除两个选项，再根据π(0,)4x ∈时的函数值为正排除余下两个中的一个即得. 【详解】函数2cos 2()ln(1)x x f x x =+的定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，2cos 2()()ln(1)x xf x f x x --==-+， 函数()f x 是奇函数，图象关于原点对称，BD 不满足；当π(0,)4x ∈时，2cos 20,ln(1)0x x >+>，则()0f x >，C 不满足，A 满足. 故选：A5. 地球生命来自外星吗？一篇发布在《生物学快讯》上的文章《基因库的增长是生命起源和演化的时钟》可能给出了一种答案．该论文的作者根据生物功能性基因组里的碱基排列数的大小定义了基因库的复杂度y （单位：1），通过研究各个年代的古代生物化石里基因库的复杂度，提出了一个有趣的观点：生物基因库的复杂度近似是随时间呈指数增长的，只要知道生物基因库的复杂度就可以推测该生物体出现的年代．如图是该论文作者根据生物化石（原核生物，真核生物，蠕虫，鱼类，哺乳动物）中的基因复杂度的常用对数lg y 与时间x （单位：十亿年）的散点图及回归拟合情况（其中回归方程为：lg 0.898.64y x =+，相关指数20.97R =）．根据题干与图中的信息，下列说法错误的是（ ）A. 根据信息生物基因库的复杂度近似是随时间呈指数增长的情况，不同于作者采取y 取常用对数的做法，我们也可采用函数模型10ax y bk =⨯+ 来拟合 B. 根据回归方程可以得到，每过10亿年，生物基因库复杂度一定增加到原来的0.89107.76≈倍 C. 虽然拟合相关指数为0.97，但是样本点只有5个，不能很好地阐释其统计规律，所以增加可靠的样本点可以更好地完善回归方程D. 根据物理界主流观点：地球的形成始于45亿年前，及拟合信息：地球在诞生之初时生物的复杂度大约的为8.6410，可以推断地球生命可能并非诞生于地球 【答案】B 【解析】【分析】利用指数式与对数式互化判断A ；利用回归方程的意义判断B ；利用相关指数的意义判断C ；求出地球在诞生之初时生物的复杂度，结合描述判断D.【详解】对于A ，由lg 0.898.64y x =+，得00.898.68.64.489101010x x y +==⨯，令8.64ˆˆ10,0.89,0b a k ===，满足10ax y bk =⨯+ ，A 正确； 对于B ，观察散点图，所给5个点不全在回归直线lg 0.898.64y x =+上，回归拟合是近似的， 不能说每过10亿年，生物基因库的复杂度一定增加到原来的0.89107.76≈倍，B 错误；对于C ，数据越多，拟合的准确性越高，因此增加可靠的样本点可以更好地完善回归方程，C 正确； 对于D ，当0x =时，8.6410y =，即地球在诞生之初时生物的复杂度大约为8.6410， 可以推断地球生命可能并非诞生于地球，D 正确. 故选：B6. 若a ，b是平面上两个非零的向量，则“a b a b +=+ ”是“a b a b ⋅=⋅ ”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】由a b a b +=+ ，两边平方化简可得cos ,1a b <>= ，即a ，b同向，可判断充分性成立， 由a b a b ⋅=⋅ ，可得cos ,1a b <>=± ，即a ，b 共线，可举反例a b =-r r，判断必要性不成立.【详解】因为a b a b +=+ ，所以()()22a ba b+=+ ，即222222a b a b a b a b ++⋅=++⋅ ，即a b a b ⋅=⋅，由于a ,b 是平面上两个非零的向量，所以cos ,1a b <>= ，所以a ，b同向，所以有cos ,a b a b a b a b ⋅=⋅<>=⋅，故充分性成立；因为a b a b ⋅=⋅ ，则cos ,1a b <>= ，即cos ,1a b <>=±，由于,a b是平面上两个非零的向量，所以a ，b 共线.，不妨取a b =-r r，此时a ，b 共线.，但0a b += ，20a b b +=≠ ，故必要性不成立，所以“a b a b +=+”是“a b a b ⋅=⋅ ”的充分不必要条件.故选：A7. 在平面直角坐标系xOy 中，角,αβ的始边均为Ox ，终边相互垂直，若35=cos α，则cos2β=（ ） A.925B. 925-C.725D. 725-【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，利用诱导公式、二倍角的余弦公式计算即得.【详解】依题意，π2π,Z 2k k βα=++∈，则3sin cos 5βα==，或π2π,Z 2k k βα=-+∈，则3sin cos 5βα=-=-，所以27cos212sin 25ββ=-=. 故选：C8. 已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()()1ln f x x x =-，则当0x <时，()f x 的单调递增区间为（ ） A. (),e -∞- B. ()e,0- C. (),0∞- D. ()1,0-【答案】D 【解析】【分析】首先利用导数求出函数在()0,∞+上的单调性，再根据奇函数的性质得到函数在(),0∞-上的单调性，即可判断.【详解】当0x >时，()()1ln f x x x =-，则()ln f x x '=-， 所以当01x <<时()0f x ¢>，当1x >时()0f x '<， 所以()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，又函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()f x 在()1,0-上单调递增，在(),1-∞-上单调递减. 故选：D9. 已知公比不为1的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若数列{}n n S a +是首项为1的等差数列，则3a =（ ） A.12B.23C.14D.18【答案】D 【解析】【分析】设{}n a 的公比为q ,求出通项和求和公式，利用等差数列得的q 方程即可求解.【详解】设{}n a 的公比为q ,由题知111112S a a +=∴=，则12n n qa -=，()1121n n q S q-=-， 故22122q S a ++=，233212q q S a +++=，则233212q q S a +++=,()3311222S a S a S a +++=+, 即2211122q q q +++=+，解得12q =,(1q =舍去),此时1n n S a +=,满足题意，则318a =.故选：D.10. 已知点,P Q 分别是抛物线2:4C y x =和直线5:2l x =上的动点，若抛物线C 的焦点为F ，则PQ QF +的最小值为（ ）A. 3B. 2+C. D. 4【答案】C 【解析】【分析】按点P 在直线52x =及右侧、左侧分类，借助对称的思想及两点间线段最短列式求出并判断得解. 【详解】设P 的坐标为00(,)x y ，则2004y x =，抛物线2:4C y x =的焦点(1,0)F ，准线方程为=1x -， 当点P 在直线52x =及右侧，即052x ≥时，PQ QF PF +≥，当且仅当Q 是PF 与直线l 的交点时取等号，此时0712PQ QF PF x +≥=+≥，当且仅052x =时取等号， 当点P 在直线52x =左侧，即0502x ≤<时，点(1,0)F 关于l 的对称点是(4,0)T ，则||||QF QT =，||||||||||PQ QF PQ QT PT +=+≥===≥，当且仅当Q 是PF 与直线l 的交点，且02x =时取等号，而72<，所以PQ QF +的最小值为. 故选：C11. 已知正方体以某直线为旋转轴旋转α角后与自身重合，则α不可能为（ ） A.π2B.2π3C.3π4D. π【答案】C 【解析】【分析】分直线经过正方体对面中心、直线经过正方体的体对角线、直线穿过正方体的对棱中点及其它情形四种情况讨论，分别确定旋转角，即可判断. 【详解】依题意直线必过正方体的体对角线的交点， 当直线经过正方体对面中心时，正方体绕直线旋转()πZ 2k k ∈时，与自身重合；当直线经过正方体的体对角线时，如图，连接1A B ，BD ，1A D ，此时三角形1A BD 为等边三角形，设正方体的体对角线1AC 与面1A BD 交于点M ，则M 为1A BD 的中心，连接1A M ，BM ，则12π3A MB ∠=， 则正方体绕直线旋转()2πZ 3k k ∈时，与自身重合；当直线穿过正方体对棱中点时，正方体绕直线旋转()πZ k k ∈时，与自身重合；其它情况，正方体绕直线旋转()2πZ k k ∈时，与自身重合；故选：C12. 若实数12,x x4cos23x x -=-在区间()0,π上不同的两根，则()21cos x x -=（ ） A.23B. 23-C.D. 【答案】A 【解析】的【分析】根据题意得到12ππ2sin 2sin 2663x x ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，结合()0,πx ∈得到1211π6x x +=，故()211π2cos sin 233x x x ⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭.4π4π2cos22sin 2sin 236363x x x x ⎛⎫⎛⎫-=-⇒-=-⇒-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故12ππ2sin 2sin 2663x x ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为()0,πx ∈，所以ππ11π2,666x ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭， 其中π5π12sin sin 3623⎛⎫-==->- ⎪⎝⎭，故12ππ223π6622x x -+-=，即125π3x x +=， 则()2111153πππcos cos π2cos +2sin 23266x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1π2sin 233x ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭.故选：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 若双曲线C0y ±=，则C 的标准方程可以是________（写出一个你认为正确的答案即可）．【答案】2212y x -=（答案不唯一）【解析】【分析】由双曲线渐近线的表达式得到一组,a b ，再写出标准方程即可. 【详解】因为双曲线C 的渐近线方程可表示为by x a=±，所以1,a b ==，所以C 的标准方程可以是2212y x -=，故答案为：2212y x -=.14. 已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，则这个圆锥的高是_______．【解析】【分析】根据侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长，求得圆锥的底面半径，进而利用勾股定理求高. 【详解】试设圆锥的母线为l ，底面半径为,r 则2,2,2,1l l r l r r ππ====，因此圆锥的高是h ==15. 若正实数,a b 满足22a b m +=，则a b +的最大值为________（用m 表示）．【解析】【分析】根据给定条件，利用基本不等式求解即得.【详解】正实数,a b ，22a b m +=，则2222222()2()2a b a b ab a b a b m +=++≤+++=，当且仅当a b ==时取等号，于是a b +≤所以a b +.16. 若函数()2e xf x kx =-大于0的零点有且只有一个，则实数k 的值为________．【答案】2e 4## 21e 4 【解析】【分析】首先判断0k >，令()0f x =，()0,x ∈+∞，参变分离可得2e xk x=，依题意可得y k =与2e x y x=在()0,∞+上有且只有一个交点，令()2e xx x ϕ=，()0,x ∈+∞，利用导数求出函数的单调性，即可求出函数的最小值，从而求出k 的值.【详解】若0k ≤时()0f x >恒成立，所以()2e xf x kx =-没有零点，所以0k >，令()0f x =，()0,x ∈+∞，即20x e kx -=，所以2e xk x=，依题意y k =与2ex y x=在()0,∞+上有且只有一个交点，令()2e xx x ϕ=，()0,x ∈+∞，则()3(2)e x x x xϕ-'=， 所以当02x <<时，()0x ϕ'<，当2x >时，()0x ϕ'>， 即()ϕx 在(0,2)上单调递减，在(2,)+∞上单调递增，所以()ϕx 的最小值是()2e 24ϕ=，所以2e 4k =. 故答案为：2e 4【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是将问题转化为y k =与2ex y x=在()0,∞+上有且只有一个交点.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17. 在ABC 中，5BC =，6AC =，1cos 8B =． （1）求AB 的长； （2）求ABC 的面积．【答案】（1）4（2【解析】【分析】（1）利用余弦定理计算可得； （2）首先求出sin B ，再由面积公式计算可得. 【小问1详解】因为5BC =，6AC =，1cos 8B =， 由余弦定理2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅， 即222165258AB AB =+-⨯⨯，即245440AB AB --=， 解得4AB =或114AB =-（舍去）. 【小问2详解】因为1cos 8B =，()0,πB ∈，所以sin B ==，所以11sin 4522ABC S AB BC B =×==´´´. 18. 为了更好地培养国家需要的人才，某校拟开展一项名为“书香致远，阅读润心”的读书活动，为了更好地服务全校学生，需要对全校学生的周平均阅读时间进行调查，现从该校学生中随机抽取200名学生，将他们的周平均阅读时间（单位：小时）数据分成5组：[)[)[)[)[]2,4,4,6,6,8,8,10,10,12，根据分组数据制成了如图所示的频率分布直方图．（1）求a 的值，并估计全校学生周平均阅读时间的平均数；（2）用分层抽样的方法从周平均阅读时间不小于8小时的学生中抽出6人，再随机选出2人作为该活动的形象大使，求这2人都来自[)8,10这组的概率．【答案】（1）0.15a =，平均数为6.92（2）25【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形面积之和为1得到方程求出a ，再根据平均数公式计算平均数；（2）首先求出[)8,10，[]10,12各组抽取的人数，再利用列举法列出所有可能结果，最后利用古典概型的概率公式计算可得. 【小问1详解】依题意可得()0.020.050.10.1821a ++++⨯=， 解得0.15a =.又()30.0250.1870.1590.1110.052 6.92⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=， 即估计全校学生周平均阅读时间的平均数为6.92小时. 【小问2详解】由频率分布直方图可知[)8,10和[]10,12两组的频数的比为0.1:0.052:1= 所以利用分层抽样的方法抽取6人，这两组被抽取的人数分别为26421⨯=+，16221⨯=+， 记[)8,10中的4人为1a ，2a ，3a ，4a ，[]10,12中的2人为1b ，2b ， 从这6人中随机选出2人，则样本空间{}121314232434111221223132414212,,,,,,,,,,,,,,a a a a a a a a a a a a a b a b a b a b a b a b a b a b b b Ω=共15个样本点；设事件A ：选出的2人都来自[)8,10，则{}121314232434,,,,,A a a a a a a a a a a a a =共6个样本点， 所以()62155P A ==. 19. 已知在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是直角梯形，满足//,AD BC AD DC ⊥，若2,3PA AD DC BC ====，点M 为PD 的中点，点N 为PC 的三等分点（靠近点P ）．（1）求证：AM ⊥平面PCD ；（2）求三棱锥P AMN -的体积． 【答案】（1）证明见解析；（2）29. 【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的性质、判定，结合等腰三角形性质推理即得. （2）由（1）中信息，求出三棱锥A PCD -的体积，再利用比例法求出体积. 【小问1详解】在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，则PA ⊥CD ，又AD ⊥CD ， 而PA AD A ⋂=，,PA AD ⊂平面PAD ，于是CD ⊥平面PAD ，又AM ⊂平面PAD ，则AM CD ⊥， 由AP AD =，点M 为PD 中点，得AM PD ⊥，而CD PD D = ，,CD PD ⊂平面PCD ， 所以AM⊥平面PCD .【小问2详解】由（1）知CD ⊥平面PAD ，又PD ⊂平面PAD ，则CD PD ⊥，PCD 的面积12PCD S PD CD =⋅ 122=⨯=因此三棱锥A PCD -的体积13A PCD PCD V S AM -=⨯△1433=⨯=，而12PM PD =，13PN PC =，即1sin 2PMN S PM PN CPD =⋅⋅∠ 111sin 223PD PC CPD =⋅⋅⋅∠16PCD S =△，所以三棱锥P AMN -的体积1269P AMN A PMN A PCD V V V ---===．20. 已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>上的点()2,1M 到焦点12,F F 的距离之和为（1）求椭圆E 的方程；（2）过点()4,0N 的直线交椭圆E 于,A B 两点，直线,AM BM 分别交直线4x =于()(),,,P P Q Q P x y Q x y 两点，求证：0P Q y y +=．【答案】（1）22182x y +=（2）证明见解析 【解析】【分析】（1）根据椭圆的定义及椭圆上的点列方程组求解,a b 即可得椭圆方程；（2）设直线AB 方程为()4y k x =-，()()1122,,,A x y B x y ，联立直线与椭圆得交点坐标关系，确定直线,AM BM 方程得,P Q y y ，利用坐标运算与坐标关系即可得结论.【小问1详解】由题意可得222411a a b a b⎧=⎧=⎪⎪⇒⎨⎨+==⎪⎪⎩⎩，所以椭圆E 的方程为22182x y +=； 【小问2详解】证明：由题可设直线AB 方程为()4y k x =-，()()1122,,,A x y B x y ，则()()222222414326480182y k x k x k x k x y ⎧=-⎪⇒+-+-=⎨+=⎪⎩，由()()()2222Δ324146480k k k =--+->得214k <， 所以2212122232648,1414k k x x x x k k-+==++， 则1112AM y k x -=-，直线()111:122y AM y x x --=--， 令4x =得()()()1111111111244214222412222P k x x k x y y x y x x x x -+-+--+-=+===----，同理可得：()()222142Q k x y x +-=-，所以()()()()()()()()12121212112126162142142222P Q k x x x x k x k x y y x x x x ⎡⎤+-+++-+-⎣⎦+=+=---- 又()22222121222264832648968322616261620141414k k k k k x x x x k k k---++-++=⋅-⋅+=⋅=+++， 所以0P Q y y +=.21. 已知函数()ln f x x =，若数列{}n a 各项由以下算法得到：①任取i a a =（其中0a >），并令正整数1i =；②求函数()f x 图象在()(),i i a f a 处的切线在y 轴上的截距1i a +；③判断10i a +>是否成立，若成立，执行第④步；若不成立，跳至第⑤步；④令1i i =+，返回第②步；⑤结束算法，确定数列{}n a 的项依次为121,,,i a a a +⋅⋅⋅．根据以上信息回答下列问题：（1）求证：1ln 1i i a a +=-；（2）是否存在实数a 使得{}n a 为等差数列，若存在，求出数列{}n a 的项数n ；若不存在，请说明理由．参考数据：21+1e e 3.11≈．【答案】（1）证明见解析（2）211ea a a +==，3n =【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，利用导数的几何意义表示出切线方程，令0x =，即可得证； （2）设其公差为d ，依题意可得1ln 1i i i i d a a a a +=-=--()1i n ≤≤，令()ln 1g x x x =--，利用导数说明函数的单调性，即可得到()d g x =最多有两个不同的根，从而得到{}n a 最多三项，设1a 、2a 、3a 成等差数列，由等差中项的性质及（1）的结论，令()1eln 12x h x x x +=+--利用导数说明函数的单调性，结合零点存在性定理说明即可. 的【小问1详解】因为()1f x x'=，所以函数()y f x =图象在()(),i i a f a 处的切线方程为()()1i i i y f a x a a -=-， 即ln 1i iy a a x =+-，令0x =可得ln 1i y a =-，即切线与y 轴的交点为()0,ln 1i a -， 所以1ln 1i i a a +=-小问2详解】若{}n a 为等差数列，设其公差为d ，则1ln 1i i i i d a a a a +=-=--()1i n ≤≤，令()ln 1g x x x =--，则()111x g x x x-'=-=， 所以当01x <<时()0g x '>，当1x >时()0g x '<，所以()g x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，所以()()max 12g x g ==-，因此()d g x =最多有两个不同的根，即最多3项成等差数列，若1a 、2a 、3a 成等差数列，即1322a a a +=，由（1）可知21ln 1a a =-，所以211e a a +=，又32ln 1a a =-，令()1e ln 12x h x x x +=+--，则()11e 2x h x x+'=+-， 所以当()0,x ∈+∞时()0h x '>，所以()h x 在()0,∞+上单调递增， 又222111111e e e 22221122e ln 1e 3e 3.20e e e e h +++⎛⎫=+--=--<-< ⎪⎝⎭， （其中2222e 910>>，所以2222e 910-<-<-）， 又()21e 30h =->， 所以存在021,1e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00h x =， 即存在221,1e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得1322a a a +=，即{}n a 为等差数列， 【此时211e a a a +==，数列{}n a 的项数3n =.【点睛】关键点点睛：本题第一问关键是理解题意，利用导数的几何意义表示出切线方程，第二问关键是推导出这样的等差数列最多三项，再转化为函数的零点问题.（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线1C的参数方程为,x t y =-⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），曲线2C 的参数方程为cos ,sin x a y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求1C 与2C 的极坐标方程；（2）若1C 与2C 的两不同交点,A B 满足2OA OB = ，求a 的值．【答案】（1）1C 的极坐标方程为2π3θ=，2C 的极坐标方程为222cos 10a a ρρθ-+-=； （2）a = 【解析】 【分析】（1）先消去参数得到普通方程，再利用cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩得到极坐标方程； （2）在（1）的基础上，联立得到2210a a ρρ++-=，由韦达定理得到两根之和，两根之积，结合2OA OB =得到方程，求出答案.【小问1详解】,x t y =-⎧⎪⎨=⎪⎩消去t得y =， 又cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，故1C的极坐标方程为sin cos ρθθ=，化简得tan θ=，故2π3θ=； cos ,sin x a y αα=+⎧⎨=⎩消去α得()221x a y -+=，又cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，故2C 的极坐标方程为()222cos sin 1a ρθρθ-+=， 化简得222cos 10a a ρρθ-+-=；【小问2详解】 将2π3θ=代入222cos 10a a ρρθ-+-=得 2210a a ρρ++-=，由()22410a a ∆=-->得，243a <， 不妨设12,OA OB ρρ== ，由2OA OB = 得122ρρ=， 由韦达定理得21212,1a a ρρρρ+=-=-，故22223,21a a ρρ=-=-，所以22219a a ⨯=-，解得a =， 经检验，均符合要求.[选修4—5：不等式选讲]（10分）23. 已知函数()(),2f x x m g x x =-=+．（1）当1m =时，解不等式()()5f x g x +≤；（2）若()1,x ∈-+∞，()()()()20f x g x f x g x -+>成立，求m 的取值范围．【答案】（1）[]3,2-（2）1m ≤-【解析】【分析】（1）依题意可得125x x -++≤，利用零点分段法分类讨论，分别计算可得； （2）依题意可得()20x x m x m x -+-+>，再分1m ≤-、1m >-两种情况讨论，将不等式化简，最后判断恒成立即可.【小问1详解】当1m =时不等式()()5f x g x +≤，即125x x -++≤，则2125x x x ≤-⎧⎨-+--≤⎩或21125x x x -<<⎧⎨-+++≤⎩或1125x x x ≥⎧⎨-++≤⎩， 解得32x --≤≤或2<<1x -或12x ≤≤， 综上可得不等式()()5f x g x +≤解集为[]3,2-.【小问2详解】 不等式()()()()20f x g x f x g x -+>，即()20x x m x m x -+-+>，当1m ≤-时不等式为()()()20x x m x m x -+-+>，即为()()10x m x -+>，此时不等式()()10x m x -+>在()1,x ∈-+∞恒成立，符合题意；当1m >-时，对于1x m -<<时不等式为()20x m ->，此时不等式()20x m ->对()1,x m ∈-不恒成立， 即不等式()()()()20f x g x f x g x -+>对()1,x ∈-+∞不恒成立，综上所述，m 的取值范围为1m ≤-.的。

2022～2023学年度下期高中2022级期中联考数 学考试时间120分钟，满分150分注意事项：1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的学校、姓名、班级、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“条形码粘贴处”。

2.选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效。

3.考试结束后由监考老师将答题卡收回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合，，R ====∈A y y B y y x x {|{|cos }，则=A BA ．−[1,1]B ．[0,1]C ．+∞[0,)D ．+∞(0,)2．已知角，∈(=αα25)cos π,24π3，则−=πα4cos()A ．−10B ．10C ．−10D ．103．下列函数是偶函数且在(20,)π上单调递增的是A ．=y x sinB ．=y x cosC ．=y x tanD ．=y x |sin |4．若=(+(<<ϕϕf x x )π()cos 2)0为奇函数，则=ϕA ．6πB ．3πC ．2πD ．4π3 5．如图，点O 为正六边形ABCDEF 的中心，下列说法正确的是A ．=AB ODB ．=EF AB ||||C ．AB 与AD 共线D ．>BE BC6．已知角x 为斜三角形的内角，…则，=−f x x f x ()3()0的x 的取值范围是 A ．6)π[,πB ．3)π[,πC ．62[,)ππD ．32[,)ππ7．函数=+(+f x x x 2()cos24cos )π的最大值为A ．21B ．1C ．3D ．48．已知函数=−(>ωωωf x x x 22()sin cos 0)1在()π0,上恰有2个不同的零点，则ω的取值范围为A ．(66,]713B ．(66,)713C ．(33,)713D ．(33,]713二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

期中数学试卷（文科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.（2-3i）2=（）A. 13+12iB. 13-12iC. -5+12iD. -5-12i2.已知命题p为∀x∈R，5x2-2x+2≥0，则命题p的否定为（）A. ∀x∈R，5x2-2x+2＜0B. ∀x∈R，5x2-2x+2≤0C. ∃x∈R，5x2-2x+2＜0D. ∃x∈R，5x2-2x+2≤03.曲线y=ln x在点（1，0）处的切线方程为（）A. y=x-1B. y=-x+1C. y=3x-3D. y=-3x+34.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. 1B. 2C. 3D. 65.函数f（x）=3sin x cosx+1的最小正周期为（）A. B. π C. D. 2π6.如图是函数y=f（x）的导函数y=f'（x）的图象，下列说法正确的是（）A. x=-1是函数y=f（x）的极小值点B. x=1是函数y=f（x）的极大值点C. 函数y=f（x）在（1，+∞）是减函数D. 函数y=f（x）在（-2，2）上是增函数7.已知直线a、b，平面α、β，则以下结论正确的是（）A. 若a∥b，b⊂α，则a∥αB. 若a∥b，a⊂α，b⊂β，则α∥βC. 若a⊂α，b⊂α，a∥β，则b∥βD. 若a⊥b，b⊥α，a⊄α，则a∥α8.执行如图的程序框图，则输出的s为（）A. 100B. 91C. 90D. 899.若不等式，当x∈（0，2）时恒成立，则实数t的最大值为（）A. B. 2 C. D.10.已知函数存在极值点，则实数a的取值范围为（）A. （-∞，-2）∪（2，+∞）B. （-∞，-2]∪[2，+∞）C. （-∞，-2）D. （2，+∞）11.设函数f（x）是定义在R上的可导函数，其导函数为f'（x），且f（2）=2，，则的解集为（）A. （2，+∞）B. （-∞，2）C. （-2，+∞）D. （-∞，-2）12.已知椭圆E：的左焦点为F，椭圆E与过原点的直线相交于A、B两点，连接AF、BF，若AF⊥BF，，则E的离心率为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数的导数y'=______．14.某校有高一、高二、高三三个年级的学生，数量分别为780人、720人、660人、为了解他们的视力是否存在显著差异，用分层抽样法抽取了一个容量为n的样本进行了调查，其中从高二年级抽取了12人，则n为______．15.在区间[0，1]上随机取一个数x，在区间[0，2]上随机取一个数y，要使x+y≤1成立的概率为______．16.已知抛物线C1：y=2x2+4x和C2：y=-2x2+m有且仅有1条公切线（同时与C1和C2相切的直线称为C1和C2的公切线），则m=______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.若曲线f（x）=x3-3ax+2在x=1处切线方程为3x+y+m=0．（1）求a，m的值；（2）求函数f（x）在区间[1，2]上的最值．18.某家庭为了解冬季用电量y（度）与气温x（℃）之间的关系，随机统计了某5天的用电量与当天气温，并制作了对照表，经过统计分析，发现气温一定范围内，用x（℃）01234y（度）15121198（）求出用电量关于气温的线性回归方程；（2）在这5天中随机抽取2天，求至少有一天用电量低于10（度）的概率．（附：回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计公式为，）19.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且（2b-c）cos A=a cos C．（1）求角A的大小；（2）若a=2，且S△ABC=，求b+c的值．20.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，已知PD⊥平面ABCD，PD=CD=2，AD=4，E为PC的中点，连接DE，BE，BD．（1）证明平面BDE⊥平面PBC；（2）若将四棱锥P-ABCD沿着平面BDE截去一个三棱锥E-BCD，求剩余部分的体积．21.在椭圆中，点A，F分别为椭圆的左顶点和右焦点，若已知离心率为，且A在直线x+y+2=0上．（1）求椭圆C的方程；（2）过点F的直线与椭圆C交于P、Q两点，连接AP、AQ分别交直线x=4于点M，N，求证：以MN为直径的圆经过点F．22.若函数f（x）=x2+ax-ln x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围；（3）求证：对任意的正整数n都有，．答案和解析1.【答案】D【解析】解：（2-3i）2=22-12i+（3i）2=-5-12i．故选：D．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．2.【答案】C【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p为∀x∈R，5x2-2x+2≥0，则命题p的否定为：∃x∈R，5x2-2x+2＜0．故选：C．直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．本题考查命题的否定．特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．3.【答案】A【解析】解：，所以k=1，故切线方程为：y=x-1，故选：A．先求出原函数的导数，再将切点横坐标代入求出斜率，最后利用点斜式写出切线方程．本题考查了利用导数求切线的基本思路，注意从切点入手．属于基础题．4.【答案】A【解析】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为三棱锥，AB⊥底面BCD，AB=3，△BCD为直角三角形，BC⊥BD，BC=1，BD=2．则该几何体的体积为．故选：A．由三视图还原原几何体，可知该几何体为三棱锥，AB⊥底面BCD，AB=3，△BCD为直角三角形，BC⊥BD，BC=1，BD=2．再由棱锥体积公式求解．本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．5.【答案】B【解析】解：函数f（x）=3sin x cosx+1=sin2x+1的最小正周期为=π，故选：B．利用二倍角的正弦公式化简函数的解析式，再根据正弦函数的周期性得出结论．本题主要考查二倍角的正弦公式，正弦函数的周期性，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：由导数图象知当x≤2时，f′（x）≥0，即函数的单调递增区间为（-∞，2]，当x＞2时，f′（x）＜0，函数单调递减，即函数的单调递减区间为（2，+∞）．即当x=2时函数f（x）取得极大值，故A，B，C都不正确，正确的是D，故选：D．根据函数图象，得到f′（x）≥0和f′（x）＜0的解，从而确定函数的单调区间以及极值，然后进行判断即可．本题主要考查函数导数与单调性，极值的应用，结合图象判断f′（x）＞0和f′（x）＜0的解是解决本题的关键，比较基础．7.【答案】D【解析】解：对于A，若a∥b，b⊂α，则a∥α或a⊂α，故错；对于B，若a∥b，a⊂α，b⊂β，则α∥β或α与β相交，故错；对于C，若a⊂α，b⊂α，a∥β，则b∥β或b⊂β或b与β相交，故错；对于D，若a⊥b，b⊥α，a⊄α，则a∥α，正确．故选：D．A，若a∥b，b⊂α，则a∥α或a⊂α，；B，若a∥b，a⊂α，b⊂β，则α∥β或α与β相交；C，若a⊂α，b⊂α，a∥β，则b∥β或b⊂β或b与β相交；D，利用线面垂直的性质判定a∥α．本题考查了空间线面、线线位置关系，考查了空间想象能力，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：第一次，i=1，i＜4成立，s=0+100=100，k=-=-10，i=2，第二次，i=2，i＜4成立，s=100-10=90，k=-=1，i=3，第三次，i=3，i＜4成立，s=90+1=91，k=-，i=4，第四次，i=4，i＜4不成立，输出s=91，故选：B．根据程序框图进行模拟运算即可．本题主要考查程序框图的识别和判断，结合条件利用模拟运算法是解决本题的关键．9.【答案】C【解析】解：设f（x）=+，x∈（0，2），∴f′（x）=-==令f′（x）=0，解得x=，x=3（舍去），当0＜x＜时，f′（x）＜0，函数单调递减，当＜x＜2时，f′（x）＞0，函数单调递减增，∴f（x）min=f（）=+=，∴t≤，故实数t的最大值为，故选：C．构造函数，利用导数求出函数的最值即可求出实数t的最大值．本题给出关于x的不等式恒成立，求参数t的取值范围．着重考查了利用导数求出函数的最值和不等式恒成立问题的处理等知识，属于中档题．10.【答案】A【解析】解：f'（x）=-x2+ax-1，∵函数存在极值点，∴方程-x2+ax-1=0存在两个不相等的实根，∴△=a2-4＞0，∴a＜-2或a＞2，故选：A．函数存在极值点，等价于方程f'（x）=0有两个不相等的实根，利用△＞0即可求出a的取值范围．本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及二次方程根的个数与△的关系，是中档题．11.【答案】B【解析】解：设g（x）=f（x）-x-，∴g′（x）=f′（x）-＞0，∴函数g（x）在R上单调递增，∵g（2）=f（2）--=0，由，可得g（x）＜g（2），∴x＜2，故选：B．构造函数g（x）-x-，求导，判断函数的的单调性，根据单调性解不等式即可．本题考查了利用函数的单调性解不等式，关键是构造函数，属于基础题．12.【答案】B【解析】解：设椭圆右焦点为M，连接BM，AM，则四边形AMBF是平行四边形，∴AF+BF=AF+AM=2a，∵AF⊥BF，∴AB=2OF=2c，∵sin∠FAB=，∴cos∠FAB=，∴BF=AB sin∠FAB=，AF=AB cos∠FAB=，∴2a=AF+BF=，即a=，∴e==．故选：B．根据直角三角形的性质可知AB=2c，根据锐角三角函数的定义得出AF，BF的长，而AF+BF=2a，从而得出a，c的关系，求出离心率．本题考查了椭圆的定义，性质，属于中档题．13.【答案】【解析】解：y′=-，故答案为：-．直接根据导数的基本公式即可求出．本题考查了导数的基本公式，属于基础题．14.【答案】36【解析】解：由分层抽样方法得：，解得n=36，故答案为：36．由分层抽样的方法，按比例抽样即可得解．本题考查了分层抽样的方法，属简单题．15.【答案】【解析】解：由题意可得在区间[0，1]上随机取一个数x，在区间[0，2]上随机取一个数y，所围成的面积为2，其中x+y≤1成立的面积为，故要使x+y≤1成立的概率为，故答案为：根据几何概型的概率公式计算即可本题考查了几何概型的概率问题，属于基础题16.【答案】-1【解析】解：函数y=2x2+4x的导数y′=4x+4，曲线C1在点P（x1，2x12+4x1）的切线方程是：y-（2x12+4x1）=（4x1+4）（x-x1），即y=（4x1+4）x-2x12 ①函数y=-2x2+m的导数y′=-4x，曲线C2在点Q（x2，-2x22+m）的切线方程是即y-（-2x22+m）=-4x2（x-x2）．y=-4x2x+2x22+m．②如果直线l是过P和Q的公切线，则①式和②式都是l的方程，4x1+4=-4x2，即x1+1=-x2且-2x12=2x22+m．消去x2得方程4x12+4x1+2+m=0．则判别式△=16-4×4（2+m）=0时，即m=-1，法2：若抛物线和有且仅有1条公切线，则两条抛物线相切，即2x2+4x=-2x2+m只有一个解，即4x2+4x-m=0，则判别式△=16+16m=0，得m=-1，故答案为：-1法1：先分别求出各自在某点处的切线，然后根据是公切线建立等量关系，要使C1和C2有且仅有一条公切线，可利用判别式进行判定法2：抛物线若只有一条公切线，等价为两条抛物线相切，利用判别式△=0进行求解即可．本题主要考查导数的几何意义的应用，结合抛物线相切求出切线方程或者转化为抛物线相切是解决本题的关键．17.【答案】解：（1）曲线f（x）=x3-3ax+2可得：f′（x）=3x2-3a，曲线f（x）=x3-3ax+2在x=1处切线方程为3x+y+m=0．可得3-3a=-3，解得a=2，曲线f（x）=x3-6x+2，x=1则y=-3，（1，-3）代入3x+y+m=0，解得m=0．（2）曲线f（x）=x3-6x+2可得：f′（x）=3x2-6=0，解得x=±，只有x=[1，2]，因为f（1）=-3，f（2）=-2，f（）=2-4，所以函数f（x）在区间[1，2]上的最小值2-4，最大值-2．【解析】（1）求出函数的导数，利用切线的斜率求出a，求出切点坐标代入切线方程即可求m的值；（2）求出函数的导数，求出极值点，求解极值以及函数的端点值，然后求解函数f（x）在区间[1，2]上的最值．本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．18.【答案】解：（1），．==，．∴用电量y关于气温x的线性回归方程为y=；（2）这5天中用电量低于10（度）的有2天，分别记为A，B；高于10（度）的有3天，分别记为a，b，c．在这5天中随机抽取2天，基本事件总数为（A，B），（A，a），（A，b），（A，c），（B，a），（B，b），（B，c），（a，b），（a，c），（b，c）共10种．其中至少有一天用电量低于10（度）的有7种，则在这5天中随机抽取2天，至少有一天用电量低于10（度）的概率为．【解析】（1）由已知表格中的数据求得，，则回归方程可求；（2）直接利用枚举法取随机事件的概率．本题考查线性回归方程的求法，考查利用枚举法求随机事件的概率，考查计算能力，是中档题．19.【答案】解：（1）在△ABC中，∵（2b-c）cos A=a cos C，∴由正弦定理可得：2sin B cos A-sin C cos A=sin A cos C，∴化简可得2sin B cos A=sin（A+C）=sin B，∵sin B＞0，∴得：cos A=，∵A∈（0，π），∴．（2）∵a=2，，且S△ABC=，∴=bc sin A=bc，解得：bc=4，∵由余弦定理a2=b2+c2-2bc cos A，可得：4=b2+c2-bc=（b+c）2-3bc=（b+c）2-12，∴解得：b+c=4．【解析】（1）由条件利用正弦定理可得2sin B cos A-sin C cos A=sin A cos C，利用两角和的正弦公式化简求得cos A的值，结合A的范围可求A的值．（2）由已知利用三角形的面积公式可求bc=4，由余弦定理即可解得b+c的值．本题主要考查正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式的应用，考查了转化思想，属于基础题．20.【答案】解：（1）证明：因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BC，由底面ABCD为长方形，有BC⊥CD，而PD∩CD=D，所以BC⊥平面PCD，又∵DE⊂平面PCD，所以BC⊥DE，∵PD=CD，点E是PC的中点，所以DE⊥PC，而PC∩BC=C，所以DE⊥平面PBC，又∵DE⊆平面BDE，∴平面BDE⊥平面PBC．（2）∵，又∵，∴剩余部分体积为：．【解析】（1）由PD⊥BC及BC⊥CD可得BC⊥平面PCD，进而得到BC⊥DE，又DE⊥PC，故DE⊥平面PBC，由此可证平面BDE⊥平面PBC；（2）求出四棱锥P-ABCD的体积及三棱锥E-BCD的体积，相减即可得到答案．本题考查面面垂直的判定以及利用割补法求几何体的体积，考查推理能力及计算能力，属于基础题．21.【答案】解：（1）在椭圆中，点A，F分别为椭圆的左顶点和右焦点，已知离心率为，且A在直线x+y+2=0上．∴，∴c=1，b=，∴椭圆C的方程为．证明：（2）由（1）可得A（-2，0）．当直线PQ的斜率不存在时，可得P（1，），直线AP方程为y=（x+2），令x=4，得M（4，3），同理，得N（4，-3）．∵F（1，0），∴=（3，3），=（3，-3），∴=0．∴∠MFN=90°，∴F在以MN为直径的圆上．当直线PQ存在斜率时，设PQ方程为y=k（x-1），P（x1，y1）、Q（x2，y2）．由，得（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0．由题意△＞0，x1+x2=，x1x2=，直线AP方程为y=（x+2），得M（4，），同理，N（4，）．∴=（3，），=（3，），∴=9+，∵y1=k（x1-1），y2=k（x2-1），∴===-9．∴=9+=9-9=0，∴∠MFN=90°，F在以MN为直径的圆上，综上，F在以MN为直径的圆上．【解析】（1）由点A，F分别为椭圆的左顶点和右焦点，离心率为，且A在直线x+y+2=0上，列出方程组能求出a，b，c，由此能求出椭圆C的方程．（2）求出A（-2，0）．当直线PQ的斜率不存在时，P（1，），求出M（4，3），N （4，-3）．F（1，0），从而=（3，3），=（3，-3），=0．F在以MN为直径的圆上．当直线PQ存在斜率时，设PQ方程为y=k（x-1），P（x1，y1）、Q（x2，y2）．由，得（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0．求出M（4，），同理N（4，）．=（3，），=（3，），由韦达定理推导出=9+=0，由此能证明F在以MN为直径的圆上．本题考查椭圆方程的求法，考查点在圆上的证明，考查椭圆、直线方程、韦达定理、圆的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．22.【答案】解：（1）函数的定义域为（0，+∞），，设g（x）=2x2+ax-1，则△=a2+8＞0，∴g（x）=0有两个根，设为x1，x2（x1＜x2），则，故x1＜0＜x2，，∴f（x）在（0，x2）上单调递减，在（x2，+∞）上单调递增；（2）依题意，x2+ax-ln x≥0在（0，+∞）上恒成立，即在（0，+∞）上恒成立，设，则，令h′（x）=0，解得x=1，∴h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，∴h（x）max=h（1）=-1，∴a≥-1；（3）证明：取a=-1，则由（2）知，ln x≤x2-x，当x＞1时，∵ln x＞0，x2-x＞0，∴，取x=2，得，取x=3，得，……取x=n，得，将以上n-1个式子相加得．【解析】（1）求导得，设g（x）=2x2+ax-1，易知函数g（x）有一正根一负根，而函数定义域为（0，+∞），由此即可判断函数的单调性情况；（2）依题意，在（0，+∞）上恒成立，构造函数，利用导数求出函数h（x）在（0，+∞）上的最大值即可；（3）由（2）可知ln x≤x2-x，进一步得到当x＞1时，，通过赋值，利用裂项相消法累加即可得证．本题考查利用导数研究函数的单调性，最值，考查不等式的恒成立问题及不等式的证明，考查分离变量法，裂项相消法的运用，考查转化与化归思想以及逻辑推理能力，属于中档题．。

2020-2021学年四川省成都市蓉城名校联盟高一下学期期末考试数学（文）试卷★祝考试顺利★(含答案)一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分．）1．已知向量＝（1，4），＝（2，﹣m），⊥，则m＝（）A．8 B．﹣8 C．D．解：∵向量＝（1，4），＝（2，﹣m），⊥，∴＝1×2+4×（﹣m）＝0，求得m＝，故选：C．2．已知实数a，b满足a＜b，则下列关系式一定成立的是（）A．a2＜b2B．ln（b﹣a）＞0 C．D．2a＜2b解：A：当a＝﹣4，b＝﹣3时，满足a＜b，但a2＞b2，∴A错误，B：当a＝﹣4，b＝﹣3时，满足a＜b，但ln（b﹣a）＝0，∴B错误，C：当a＝﹣4，b＝3时，满足a＜b，但＜，∴C错误，D：∵y＝2x为增函数，a＜b，∴2a＜2b，∴D正确．故选：D．3．下列说法正确的是（）A．直角三角形绕一边旋转得到的旋转体一定是圆锥B．用一个平面去截圆锥，圆锥底面和截面之间的部分一定是圆台C．正视图和侧视图的高一定是相等的，正视图和俯视图的长一定是相等的D．利用斜二测画法画出的正方形的直观图和原来正方形的面积之比是解：对于A，直角三角形绕斜边旋转一周得到的旋转体是两个圆锥的组合体，所以A错误；对于B，只有用一个平行于底面的平面截圆锥，圆锥底面和截面之间的部分才是圆台，所以B错误；对于C，根据三视图画法规则知，正视图和侧视图的高相等，正视图和俯视图的长相等，所以C正确；对于D，用斜二测画法画出的正方形的直观图和原来正方形的面积之比是1：，所以D 错误．故选：C．4．在△ABC中，点D在BC边上，且，则（）A．B．C．D．解：如图，＝\overrightarrow{BD}＝3\overrightarrow{DC}\overrightarrow{BD}＝\frac{3}{4}\overrightarrow{BC}\frac{3}{4}（\overrightarrow{AC}﹣\overrightarrow{AB}）\overrightarrow{AD}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}\ove rrightarrow{AB}+\frac{3}{4}（\overrightarrow{AC}﹣\overrightarrow{AB}）\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{4}\overrightarrow{AC}$，故选：B．5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝1，，，则b＝（）A．1 B．2 C．D．1或2解：因为a＝1，，，所以由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bc cos A，可得1＝b2+3﹣2×，整理可得：b2﹣3b+2＝0，解得b＝2，或1．故选：D．6．某圆柱的高为1，底面周长为8，其三视图如图．圆柱表面上的点P在正视图上的对应点为。

绝密★启用前四川省成都市蓉城名校联盟2020届高三毕业班下学期第二次联考质量检测理综-化学试题(解析版)一、选择题：本题共13小题，每小题6分，共78分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.化学是现代生产、生活与科技的中心学科之一，下列与化学有关的说法，错误的是（）A. PM2.5是指空气中直径小于或等于2.5 μm的颗粒物，PM2.5的值越大，则代表空气污染越严重B. 2018年22岁的中国科学家曹原发现将两层石墨烯以1.1 º的“魔角”旋转叠加在一起时可得到一种超导体。

石墨烯是碳元素的一种同素异形体C. 顾名思义，苏打水就是苏打的水溶液，也叫弱碱性水，是带有弱碱性的饮料D. 工业上定期去除锅炉中的水垢，往往可以先加入Na2CO3溶液浸泡处理后，再加入盐酸去除沉淀物【答案】C【解析】【详解】A. PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为入肺颗粒，科学家用PM2.5表示每立方米空气中这种颗粒的含量，这个值越高，代表空气污染越严重，A正确；B. 石墨烯是一种由碳原子以sp2杂化轨道组成六角型呈蜂巢晶格的平面薄膜，只有一个碳原子，是碳元素的一种同素异形体，B正确；C. 苏打水是碳酸氢钠的水溶液，而苏打是碳酸钠，C错误；D. 水垢中含有CaSO4，由于溶解度：S(CaCO3)<S(CaSO4)，故处理锅炉水垢中的CaSO4时，加入饱和Na2CO3溶液，能将CaSO4转化为CaCO3，后加盐酸，水垢溶解，从而除去水垢，D正确；故答案为：C。

2.化学是一门实验性的学科，下列有关化学实验的操作、预期现象和结论(或实验目的)均正确的是（）A. AB. BC. CD. D【答案】D【解析】【详解】A. 应该将KI溶液和硫酸溶液分别加热后再混合反应，比较变蓝的先后情况，A错误；B. 常温下铝不与浓硫酸发生钝化，B错误；C. 新鲜玫瑰花瓣由大量的水分，与干燥的氯气也会褪色，C错误；D.用盐酸酸化的氯化钡检验硫酸根离子，D正确；故答案为：D。

四川省成都市2020届高三第二次诊断性检测数学试题（理）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数z 满足()12(i i z +=为虚数单位)，则z 的虚部为（ ） A. iB. i -C.1- D. 1『答案』C『解析』由已知，22(1i)1i 1i (1i)(1i)z -===-++-，故z 的虚部为1-. 故选：C.2. 设全集,U R =集合{}{}1,||2M x x N x x =<=>，则()UM N ⋂=（ ）A. {}|2x x >B. {}|1x x ≥C. {}|12x x <<D. {}|2x x ≥『答案』A 『解析』由已知，{|1}UM x x =≥，又{}|2N x x =>，所以{|2}U M N x x ⋂=>.故选：A.3. 某中学有高中生1500人，初中生1000人为了解该校学生自主锻炼的时间，采用分层抽样的方法从高生和初中生中抽取一个容量为n 的样本.若样本中高中生恰有30人，则n 的值为（ ） A. 20B. 50C. 40D. 60『答案』B『解析』由题意，30=150015001000n⨯+，解得50n =.故选：B.4. 曲线3y x x =-在点()1,0处的切线方程为（ ） A. 20x y -=B. 220x y +-=C. 220x y ++=D. 220x y --=『答案』D『解析』由已知，'231y x =-，故切线的斜率为12x y ='=，所以切线方程为2(1)y x =-， 即220x y --=. 故选：D.5. 已知锐角α满足2sin21cos2 ,αα=-则tan α=（ ） A.12B. 1C.2D.4『答案』C『解析』由已知，24sin cos 2sin ααα=，因α为锐角，所以sin 0α≠，2cos sin αα=， 即tan α=2. 故选：C.6. 函数())cos lnf x x x =⋅在[1,1]-的图象大致为（ ）A. B.C. D.『答案』B『解析』因为())cos()lnf x x x =-=-⋅)cos lnx x ⋅+cos cos )()x x x f x =⋅=-=-，故()f x 为奇函数，排除C 、D ；又(1)cos11)0f =⋅<，排除A. 故选：B.7. 执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（ ）A. 16B. 48C. 96D. 128『答案』B『解析』第一次循环：12(11)4,2S i =+==；第二次循环：242(12)16,3S i =++==； 第三次循环：3162(13)48,4S i =++==，退出循环，输出的S 为48. 故选：B.8. 已知函数()sin 22f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则函数()f x 的图象的对称轴方程为（ ） A. ,4x k k Z ππ=-∈B. +,4x k k Z ππ=∈C. 1,2x k k Z π=∈ D. 1+,24x k k Z ππ=∈ 『答案』C『解析』由已知，()cos2f x x =，令2,π=∈x k k Z ，得1,2x k k Z π=∈. 故选：C.9. 如图，双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别是()()12,0,,0,F c F c -直线2bc y a =与双曲线C 的两条渐近线分别相交于,A B 两点.若12,3BF F π∠=则双曲线C 的离心率为（ ）A.2B.3C.D.『答案』A『解析』由已知，得(,)22c bc B a -，过B 作x 轴的垂线，垂足为T ，故12cFT =， 又12,3BF F π∠=所以1tan 3BT FT π==，即22bcb ac a == 所以双曲线C的离心率2e ==.故选：A.10. 在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 、Q 分别为AB 、AD 的中点，过点D 作平面α使1//B P 平面α，1//A Q 平面α若直线11B D ⋂平面M α=，则11MD MB 的值为（ ） A.14B.13C.12D.23『答案』B『解析』如下图所示：设平面α分别交11A D 、11C D 于点E 、F ，连接DE 、DF 、EF ，取CD 的中点G ，连接PG 、1C G ，连接11A C 交11B D 于点N ，四边形ABCD 为正方形，P 、G 分别为AB 、CD 的中点，则//BP CG 且BP CG =，∴四边形BCGP 为平行四边形，//PG BC ∴且PG BC =，11//B C BC 且11B C BC =，11//PG B C ∴且11PG B C =，则四边形11B C GP 为平行四边形， 11//B P C G ∴，1//B P 平面α，则存在直线a ⊂平面α，使得1//B P a ，若1C G ⊂平面α，则G ∈平面α，又D ∈平面α，则CD ⊂平面α， 此时，平面α为平面11CDD C ，直线1A Q 不可能与平面α平行， 所以，1C G ⊄平面α，1//C G a ∴，1//C G ∴平面α，1C G ⊂平面11CDD C ，平面11CDD C 平面DF α=，1//DF C G ∴，1//C F DG ，所以，四边形1C GDF 为平行四边形，可得1111122C E DG CD C D ===，F ∴为11C D 的中点，同理可证E 为11A D 的中点，11B D EF M =，11111124MD D N B D ∴==，因此，1113MD MB =. 故选：B.11. 已知EF 为圆()()22111x y -++=的一条直径，点(),M x y 的坐标满足不等式组10,230,1.x y x y y -+≤⎧⎪++≥⎨⎪≤⎩则ME MF ⋅的取值范围为（ ）A. 9,132⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. []4,13C. []4,12D. 7,122⎡⎤⎢⎥⎣⎦『答案』D『解析』作出可行域如图所示设圆心为(1,1)T -，则()()ME MF MT TE MT TF ⋅=+⋅+=22()()MT TE MT TE MT TE +⋅-=-21MT =-,过T 作直线10x y -+=的垂线，垂足为B ，显然TB MT TA ≤≤，又易得(2,1)A -，所以MA ==TB ==故ME MF ⋅271[,12]2MT =-∈. 故选：D.12. 已知函数()ln x f x x=，()xg x xe -=.若存在()10,x ∈+∞，2x R ∈使得()()()120f x g x k k ==<成立，则221k x e x ⎛⎫⎪⎝⎭的最大值为（ ）A. 2eB. eC24e D.21e 『答案』C.『解析』()ln x f x x =，()()ln xx x x x e g x f e e e===，由于()111ln 0x f x k x ==<，则11ln 001x x <⇒<<，同理可知，20x <， 函数()y f x =的定义域为()0,∞+，()21ln 0xf x x -'=>对()0,1x ∀∈恒成立，所以，函数()y f x =在区间()0,1上单调递增，同理可知，函数()y g x =在区间(),0-∞上单调递增，()()()212x f x g x f e ∴==，则21x x e =，()22221x x x g x k x e ∴===，则2221k k x e k e x ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 构造函数()2kh k k e =，其中k 0<，则()()()222kkh k k k e k k e '=+=+.当2k <-时，()0h k '>，此时函数()y h k =单调递增；当20k -<<时，()0h k '<，此时函数()y h k =单调递减. 所以，()()2max 42h k h e=-=. 故选：C.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分）13. ()41+x 的展开式中2x 的系数为________________．『答案』6『解析』()41+x 的展开式的通项为414r rr T C x -+=⋅，令422r r -=⇒=，因此，()41+x 的展开式中2x 的系数为246C =. 故答案为：6.14. 在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知,2,3B a b π===则ABC的面积为___________．『解析』由余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-，即2342c c =+-，解得1c =，故ABC ∆的面积1sin 2S ac B ==.15. 已知各棱长都相等的直三棱柱(侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱)所有顶点都在球O 的表面上.若球O 的表面积为28,π则该三棱柱的侧面积为___________．『答案』36『解析』由已知，2428R ππ=，解得R =，如图所示，设底面等边三角形中心为1O ，直三棱柱的棱长为x ，则1O A x =，112O O x =，故2222117O A O O OA R +===，即22734x x +=，解得x =2336x =.故答案为：36.16. 经过椭圆2212x y +=中心的直线与椭圆相交于M 、N 两点（点M 在第一象限），过点M 作x 轴的垂线，垂足为点E .设直线NE 与椭圆的另一个交点为P .则cos NMP ∠的值是________________．『答案』0『解析』设点()()0000,0,0M x y x y >>，则()00,N x y --、()0,0E x ，设点()11,P x y ，则220022111212x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得()2222101002x x y y -+-=，即2210221012y y x x -=--， 即221010102210101012MP NPy y y y y y k k x x x x x x -+-=⋅==--+-， 由斜率公式得000011222NP NE MN y y k k k x x ===⋅=，111222MP NP MP MN MN MP k k k k k k ⎛⎫∴-==⋅= ⎪⎝⎭，1MN MP k k ∴=-，故MN MP ⊥， 因此，cos 0NMP ∠=. 故答案为：0.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知{}n a 是递增的等比数列，11a =，且22a 、332a 、4a 成等差数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设21231log log n n n b a a ++=⋅，n *∈N ，求数列{}n b 的前n 项和n S .解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公比为q ，由题意及11a =，知1q >.22a 、332a 、4a 成等差数列成等差数列，34232a a a ∴=+，2332q q q ∴=+，即2320-+=q q ，解得2q或1q =（舍去），2q ∴=.∴数列{}n a 的通项公式为1112n n n a a q --==；（Ⅱ）()212311111log log 222n n n b a a n n n n ++⎛⎫===- ⎪⋅++⎝⎭，11111111111232435112n S n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-+-+⋅⋅⋅+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()13113232212442123111212n n n n n n n ⎛⎫=-=⎭+⎛-+ +⎫-=- ⎪+++⎝⎭⎝++⎪. 18. 如图，在四棱锥P ABCD -中，O 是边长为4的正方形ABCD 的中心，PO ⊥平面ABCD ，E 为BC 的中点.（Ⅰ）求证：平面PAC ⊥平面PBD ；（Ⅱ）若3PE =，求二面角D PE B --的余弦值. （Ⅰ）证明：ABCD 是正方形，AC BD ∴⊥，PO ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，.PO AC ∴⊥OP 、BD ⊂平面PBD ，且OP BD O ⋂=，AC ∴⊥平面 PBD ，又AC ⊂平面PAC ，∴平面PAC ⊥平面PBD ； （Ⅱ）解：取AB 的中点M ，连接OM 、OE ，ABCD 是正方形，易知OM 、OE 、OP 两两垂直，以点O 为坐标原点，以OM 、OE 、OP所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，在Rt POE ∆中，2OE =，3PE=，PO ∴=()2,2,0B ∴、()2,2,0D --、(P 、()0,2,0E ，设平面PBE 的一个法向量()111,,m x y z =，()2,0,0BE =-，(0,2,PE =，由00m BE m PE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得111020x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，令1y =10x =，12z =，()0,5,2m ∴=.设平面PDE 的一个法向量()222,,n x y z =，()2,4,0DE =，(0,2,PE =，由00n DE n PE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得222224020x y y +=⎧⎪⎨=⎪⎩，取2y =，得22z =，2x =-，得()25,5,2n =-. 329cos ,m n m n m n⋅∴<>==⋅，二面角D PE B --为钝二面角，∴二面角D PE B --的余弦值为19. 某动漫影视制作公司长期坚持文化自信，不断挖掘中华优秀传统文化中的动漫题材，创作出一批又一批的优秀动漫影视作品，获得市场和广大观众的一致好评，同时也为公司赢得丰厚的利润.该公司2013年至2019年的年利润y 关于年份代号x 的统计数据如下表（已知该公司的年利润与年份代号线性相关）.（Ⅰ）求y 关于x 的线性回归方程，并预测该公司2020年（年份代号记为8）的年利润； （Ⅱ）当统计表中某年年利润的实际值大于由（Ⅰ）中线性回归方程计算出该年利润的估计值时，称该年为A 级利润年，否则称为B 级利润年.将（Ⅰ）中预测的该公司2020年的年利润视作该年利润的实际值，现从2013年至2020年这8年中随机抽取2年，求恰有1年为A 级利润年的概率.参考公式：()()()121nii i nii xx y yb xx==--=-∑∑，a y bx =-.解：（Ⅰ）根据表中数据，计算可得4x =，43y =，()()71140iii x x y y =--=∑，又()21728ii x x =-=∑，()()()717215iii ii x x y y b x x ==--∴==-∑∑，435423a y bx =-=-⨯=，y ∴关于x 的线性回归方程为523y x =+.将8x =代入回归方程得582363y =⨯+=（亿元），∴该公司2020年的年利润的预测值为63亿元.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知2013年至2020年的年利润的估计值分别为28、33、38、43、48、53、58、63（单位：亿元），其中实际利润大于相应估计值的有3年. 故这8年中被评为A 级利润年的有3年，评为B 级利润年的有5年.记“从2013年至2020年这8年的年利润中随机抽取2年，恰有1年为A 级利润年”的概率为P ，1153281528C C P C ∴==. 20. 已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为()11,0F -、()21,0F ，点P 在椭圆E 上，212PF F F ⊥且213PF PF =. （Ⅰ）求椭圆E 的标准方程；（Ⅱ）设直线():1l x my m R =+∈与椭圆E 相交于A 、B 两点，与圆222x y a +=相交于C 、D 两点，求2AB CD ⋅的取值范围.解：（Ⅰ）P 在椭圆上， 122PF PF a +=∴，123PF PF =，22a PF ∴=，132aPF =， 212PF F F ⊥，2212212PF F F PF ∴+=，又12 2F F =，22a ∴=，1c =，1b ∴==，∴椭圆E 的标准方程为2212x y +=；（Ⅱ）设点()11,A x y 、()22,B x y ，联立22122x my x y =+⎧⎨+=⎩消去x ，得()222210m y my ++-=，2880m ∴∆=+>，则12222m y y m +=-+，12212y y m =-+，)212212m AB y m +=-=+∴ 设圆222x y +=的圆心O 到直线l 的距离为d ，则d =CD ∴==))22222222121213422122m m m AB CD m m m m +++⎫∴⋅=⋅⋅==-⎪++++⎭，233022m <≤+，2132222m ∴≤-<+，2AB CD ∴⋅<2AB CD ∴⋅的取值范围为⎡⎣.21. 已知函数()()22ln 1f x x x m x =+-+，其中m R ∈.（Ⅰ）若0m >，求函数()f x 的单调区间； （Ⅱ）设()()1xg x f x e=+.若()11g x x >+在()0,∞+上恒成立，求实数m 的最大值. 解：（Ⅰ）函数()()22ln 1f x x x m x =+-+的定义域为()1,-+∞.当0m >时，()()2212211x m m f x x x x +-'=+-=++.令()0f x '=，解得111x =-<-（舍去），211x =>-.当1,12x ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝-⎭∈-时，()0f x '<，所以，函数()y f x =在1,12⎛⎫⎪ -⎝⎭-⎪上单调递减；当1,2x ∈-+∞⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，所以，函数()y f x =在1,2⎛⎫⎪ ⎝-+⎭∞⎪上单调递增.因此，函数()y f x =的单调递减区间为1,12⎛⎫⎪ -⎝⎭-⎪，单调递增区间为1,2⎛⎫ ⎪ ⎝-+⎭∞⎪；（Ⅱ）由题意，可知()2112ln 11x x x m x x e+-+>-+在()0,∞+上恒成立. （i ）若0m ≤，()ln 10x +>，()ln 10m x -+≥∴，()2211112ln 1211x x x x m x x x x e x e∴+-+-+≥+-+++， 构造函数()21121x G x x x x e=+-++，0x >，则()()211221x G x x e x '=++-+，0x ，101xe ∴<<，110x e ∴-<-<. 又()21222221x x x ++>+>+，()'0G x ∴>在()0,∞+上恒成立.所以，函数()y G x =在()0,∞+上单调递增，()()00.G x G =∴> ∴当0m ≤时，()2112ln 101x x x m x x e∴+-+-+>+在()0,∞+上恒成立. （ii ）若0m >，构造函数()1xH x e x =--，0x >.()10x H x e '=->，所以，函数()y H x =在()0,∞+上单调递增.()()00H x H ∴>=恒成立，即10x e x >+>，111x x e ∴>+，即1101x x e->+. 由题意，知()111x f x x e>-+在()0,∞+上恒成立. ()()2210f x x x mln x ∴=+-+>在()0,∞+上恒成立.由（Ⅰ）可知()()min12f x f x f ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭极小值，又()00f =10->，即2m >时，函数()y f x =在10,2⎛-⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，()1002f f ⎛⎫ ⎪ ⎪<⎭-=⎝，不合题意，102-≤，即02m <≤. 此时()()()22111112ln 122ln 1111x x g x x x m x x x x x e x e x -=+-++-≥+-++-+++ 构造函数()()21122ln 11xP x x x x e x =+-++-+，0x >. ()()22112211x P x x x e x '∴=+--+++， 111x e x ->-+，11x +>， ()()()222113122221111x P x x x x e x x x '∴=+--+>+-+++++ ()()()()()()()()322222131121311210111x x x x x x x x x +-+++-+++=>=>+++，()'0P x ∴>恒成立，所以，函数()y P x =在(0,)+∞上单调递增，()()00P x P ∴>=恒成立.综上，实数m 的最大值为2.请考生在第22，23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22x m y m⎧=⎨=⎩(m 为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin cos 10ρθρθ-+=. （Ⅰ）求直线l 的直角坐标方程与曲线C 的普通方程； （Ⅱ）已知点()2,1,P 设直线l 与曲线C 相交于,M N 两点，求11PM PN+的值. 解：()I 由cos ,sin ,x y ρθρθ==可得直线l 的直角坐标方程为10.x y --= 由曲线C 的参数方程，消去参数,m 可得曲线C 的普通方程为24y x =.()II 易知点()2,1P 在直线l 上，直线l的参数方程为2212x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数). 将直线l 的参数方程代入曲线C的普通方程，并整理得2140t --=. 设12,t t是方程2140t --=的两根，则有121214t t t t +==-.21222121111111t t t PM PN t t t t t t t +∴+=+===-47==23. 已知函数()13f x x x =-++. （Ⅰ）解不等式()6f x ≥；（Ⅱ）设()22,g x x ax =-+其中a 为常数.若方程()()f x g x =在(0,)+∞上恰有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围.解：()I 原不等式即136x x -++≥.①当1≥x 时，化简得226x +≥.解得2x ≥；②当31x -<<时，化简得46≥此时无解；③当3x ≤-时，化简得226x --≥解得4x ≤-.综上，原不等式的解集为(,4][2,)-∞-+∞()II 由题意()22,14,01x x f x x +≥⎧=⎨<<⎩， 设方程()()f x g x =两根为()1212,x x x x <..①当211x x >≥时，方程2222x ax x -+=+等价于方程222a x x=++.易知当51,2a ⎤⎥⎦∈，方程222a x x =++在(1,)+∞上有两个不相等的实数根.此时方程224x ax -+=在()0,1上无解.51,2a ⎤∴⎥⎦∈满足条件.②当1201x x 时，方程224x ax -+=等价于方程42a x x=+， 此时方程42a x x=+在()0,1上显然没有两个不相等的实数根. ③当1201x x <<≤时，易知当5,2a ⎛⎫+∞ ⎝∈⎪⎭，方程42a x x=+在()0,1上有且只有一个实数根. 此时方程2222x ax x -+=+在[1,)+∞上也有一个实数根.5,2a ⎛⎫∴+∞ ⎝∈⎪⎭满足条件.综上，实数a 的取值范围为1,)+∞.。