八年级尖子班第六讲

2 矩形、菱形性质、判定知识目标目标一掌握矩形的性质和判定目标二掌握菱形的性质和判定目标三综合应用矩形和菱形的性质和判定解题模块一矩形的性质和判定题型一矩形性质例1 如图，矩形ABCD 中，AE ⊥BD 于点E,AC 、BD 交于点O,BE:ED=1:3 (1)求证：BE= OE ； (2)求∠AOB 的度数．O EDCBA练 如图，矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点0，AE ⊥BD 于点E ，若 ∠DAE:∠BAE=3:1，求∠EAC 的度数？O EDCBA例2如图，矩形ABCD 中，点E 为BC 的中点，点M 为DA 延长线上一点，MB 、DE 的 延长线交于点N ，且∠MNC ＝90°． (1)求证：AD=2EN ： (2)求证：DM=DN ．ENMDCBA练 如图，矩形ABCD 中，点E 在线段CB 的延长线上 ，连结DE 交AB 于点F ，∠AED=2∠CED ， 点G 是DF 的中点，若BE=1，AG=4，求AB 的值。

EFGDCBA拓 l 、（2012年全国初中数学竞赛）如图，矩形ABCD 中，E 是AD 上的一点，F 是AB 上的一点，EF ⊥EC ，且EF ＝EC ， DE=4cm ，矩形ABCD 的周长为32cm ，求CE 的长．F EDCBA2、如图，在矩形ABCD 中，AB=3，AD=4，P 是AD 上不与AD 重合的一动点，PE ⊥BD PF ⊥AC ，E 、F 为垂足，求PE+PB 的值．OFEPDCBA题型二 矩形的判定例3 如图，平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于O 点，∠OAB ＝∠OBA (1)求证：四边形ABCD 为矩形；(2)作BE ⊥AC 于E ，CF ⊥BD 于F ． 求证：BE=CFOFEDCB A练 如图，平行四边形ABCD 中，AQ 、BN 、CN 、DQ 分别是∠DAB 、∠ABC 、∠BCD 、∠CDA 的平分线，AQ 与BN 交于点P ，CN 与DQ 交于点M ．证明：四边形PQMN 是矩形．NMQPDCBA例4 如图，等边△ABC 中，点D 是BC 边的中点，以AD 为边作等边△ADE ． (1)求∠CAE 的度数；(2)取AB 边的中点F ，连结CF 、CE ，证明：四边形AFCE 是矩形．FEDCBA练 如图，平行四边形ABCD 中，以AC 为斜边作Rt △AMC ，且∠BMD 为直角， 求证：四边形ABCD 是矩形．OMDCBA模块二菱形的性质和判定题型一菱形的性质例5如图，菱形ABCD 中∠A=60°，AB =4，O 为BD 的中点，OE ⊥AB 于点E ． (1)求∠ADB 的度数；(2)求OE 的长．E ODCBA练如图，四边形ABCD 是菱形，AC 、BD 交于点O ，DH ⊥AB 于H ，连OH ，若AC=8，OH=3， 求AH 的值．HODCBA例6如图，菱形ABCD 中，AB=1，∠ABC=60°，点E 、F 分别在CB 、DC 边的延长线上，且∠EAF=60°．(1) 求证：∠AEB ＝∠AFC ；(2)求CE - CF 的值FEDC BA练如图，菱形ABCD 中，∠ADC=120°，N 为DB 延长线上一点，E 为DA 延长线上一点，且BN=DE ，连CN 、EN ．(1)求∠CBN 的度数；(2)求证：CN=EN ．ENDCBA拓 如图l ，菱形ABCD 中，∠BAD －∠ABC=60°，M 为BC 上一点，点N 在CD 上， ∠AMN=60°．(1)直接写出∠B 的度数为______________； (2)求证：AM=MN ；NMDBA题型二 菱形的判定例7 如图，矩形ABCD 中，E 、F 分别在BC 、AD 上，且EF 垂直平分AC 于O ． (1)求证：四边形AECF 为菱形： (2)若AD =8，AB =6，求AE 的长，OEFDCBA练 如图，四边形ABCD 是矩形，点E 是BC 边上的中点，点F 在CD 边上，点G 、H 分别在边AB 、DC 的延长线上，FG 经过点E 并且平分∠AFH ，且CH=CD ． 求证：四边形AGHF 是菱形HEGF DCB A拓 如图，矩形ABCD 中，DE ∥CA ，AE ∥BD ，AE 、DE 交于点E ，连EO ． 证明：OE ⊥AD ．OEDCB例8 如图，△ABC 中，PB 、PC 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，PE ∥AB 交AC 于点E ，PF ∥AC 交AB 于点F ． 求证：四边形AEPF 为菱形．PFECBA练 如图，Rt △ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，BE 平分∠ABC 交AD 于点M 、交AC 于点E ，AN 平分∠CAD 交BC 于点N ． 求证：四边形AMNE 为菱形．NM D ECAB挑战压轴题：1如图，将矩形ABCD 绕点A 逆时针旋转到矩形AEFG ，使得点B 恰好落在CD 上，连接 BG 交AE 于点M ．(1)求证：∠BAE=2∠CBE(2)若N 是BE 中点，猜测AF 与MN 的数量关系并证明； (3)若AB =5，BC =3，求BG 的值．2如图1，在△ABC 中，AB=BC ，P 为AB 边上一点，连接CP ，以PA 、PC 为邻边作平行四边形APCD ，AC 与PD 相交于点E ，已知∠EAP ＝∠EPA ． (1)平行四边形APCD 是否为矩形？请说明理由； (2)求证：∠ABC=∠AEP ；(3)如图2，将∠AEP 绕点E 顺时针旋转适当的角度，得到∠MEN （点M 是ME 与BA 延 长线的交点）．取EN= EM ，连接NP 并延长，交BC 于F ，请问在旋转过程中，点F 的位置变不变，若变，请说明理由；若不变，请求出点F 的位置．图2图1FNMABD CEP P ECD B第2讲 [课后作业] 矩形、菱形性质、判定 1．矩形具有而菱形不具有的性质是( ) A ．对角线互相平分 B ．对角线互相垂直 C ．对角线相等 D.对角线平分一组对角2．如图，E 、 F 、G 、H 分别是BD 、 BC 、AC 、 AD 的中点，且AB=CD.下列结论：①EG ⊥FH ；②四边形EFGH 是矩形；③HF 平分∠EHG ；④EG =21(BC －AD)；⑤四边形EFGH 是菱形．其中正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．43．如图，点E 、F 分别是菱形ABCD 的边BC 、CD 上的点，且∠EAF ＝∠D ＝60°，∠FAD ＝45°，则∠CFE=____度．4．如图，菱形ABCD 的边长为8cm ，∠A= 60°，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥BC 于点F ，四边形BEDF 的面积为____________5．如图，矩形ABCD 中，AB=4，BC=8，E 为CD 的中点，点P 为BC 上的动点，则△APE 的周长最小值为_________GH FE DCB AF ED C BA A BC D E F EDC B A6．如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，BE=2DE ，延长DE 到点F ，使得EF=BE ，连接CF ．(1)求证：四边形BCFE 是菱形：(2)若CE =4，∠BCF =120°，求菱形BCFE 的面积．FE D C A7．如图，点A 是四边形BCED 外一点，且满足AB=AC ，AD=AE ，DE=BC ，∠BAD=∠CAE ． 求证：四边形BCED 是矩形．ED CB A8．如图，菱形ABCD 中，AB=BD ，点E 、F 分别在AB 、AD 上，且AE=DF ，连接BF 与DE 相交于点G ，连接CG ．(1)求证：△AED ∽△DFB ；(2)求∠BGD 的度数；(3)求证：DG+BG=CG ．’ G FE DCB A9．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，且BC=3， AC=4，D 为斜边AB 上一点，以CD 、 CB 为边作平行四边形CDEB ．当□CDEB 是菱形时，求线段AD 的长A BE D C10．已知：如图，在矩形ABCD 中，AC 是对角线．点P 为矩形外一点且满足AP=CP ． AP ⊥CP ．PC 交AD 于点N ，连接DP ，过点P 作PM ⊥PD 交AD 于M ．（1）若AP=5；，AB=31BC ，求矩形ABCD 的面积； （2）若CD=PM ，求证：AC=AP+PNN M PDC B A。

当前形势本讲内容在近三年北京中考中考查5分左右中 考 要求内容A 要求B 要求C 要求方程 方程是刻画数量关系 的一个有效的数学模型 能够根据具体问题中的数量关系，列出方程能运用方程解决有关问题方程的解 了解方程的解的概念 会用观察、画图等方法估计方程的解 一元一次方程了解一元一次方程的有关概念 会根据具体问题列出一元一次方程 能运用整式的加减运算对多项式进行变形，进一步解决有关问题 一元一次方程的解法 理解一元一次方程解 法中的各个步骤 熟练掌握一元一次方程的解法；会解含有字母系数（无需讨论）的一元一次方程会运用一元一次方程解决简单的实际问题三年中考命题2008年2009年 2010年 第21题（5分）第18题（5分）第17题（5分）一、如何找等量关系知识点睛 新课标剖析基础知识过关2010年暑期班第五讲2010年秋季第六讲解法大比拼生活实际应用2010年秋季第八讲满分晋级阶梯第八讲 列方程解应用题（1）抓住数学术语找等量关系应用题中的数量关系：一般是和差关系或倍数关系，常用“一共有”、“比……多”、“比……少”、“是……的几倍”等术语表示．在解题时可抓住这些术语去找等量关系，按叙述顺序来列方程.（2）根据常见的数量关系找等量关系常见的数量关系：工作效率×工作时间＝工作总量；单价×数量＝总价；速度×时间＝路程……，在解题时，可以根据这些数量关系去找等量关系．（3）根据常用的计算公式找等量关系常用的计算公式有：长方形面积＝长×宽等,可以根据计算公式找等量关系．（4）根据文字关系式找等量关系例如：“学校五年级一班有36人，二班有37人；一、二、三班共有108人，那么三班有多少人？”此题用文字表示等量关系是：一班＋二班＋三班＝总数一班＋二班＝总数－三班一班＋三班＝总数－二班二班＋三班＝总数－一班（5）根据图形找等量关系二、如何设元在运用一元一次方程解决实际问题的过程中，设立未知数是首要环节，不同的设法列出的方程有的简单，有的复杂，故在设未知数时需有所选择，设元的基本方法有：1．直接设元即问什么设什么2．间接设元即所设的不是所求的，需要将要求的量以外的其他量设为未知数，便于找出符合题意的等量关系．3．辅助设元有些应用题隐含一些未知的常量，若不指明这些量的存在，则难求其解，故需把这些未知的常量设出未知数，作为桥梁帮助分析．4．整体设元若在未知数的某一部分存在一个整体关系，可设这一部分为一个未知数，从而减少设元的个数．三、列方程解应用题的一般步骤：⑴根据题意设未知数．⑵列出一些有关的代数式．⑶找出等量关系，列出方程．⑷解方程．⑸代入检验．⑹写出答案．例题精讲※※※※打折销售问题※※※※【例1】⑴（2009宁夏中考）某商品的价格标签已丢失，售货员只知道“它的进价为80元，打七折售出后，仍可获利5%”．你认为售货员应标在标签上的价格为 元．⑵（2009牡丹江中考）五一期间，百货大楼推出全场打八折的优惠活动，持贵宾卡可在八折基础上继续打折，小明妈妈持贵宾卡买了标价为10000元的商品，共节省2800元，则用贵宾卡又享受了 折优惠．⑶ 已知：某商人经营甲、乙两种商品，每件甲种商品的利润率为40%，每件乙种商品的利润率为60%．当售出的乙种商品的件数比售出的甲种商品的件数多50%时，这个商人得到的总利润率为50%．那么，当每件甲种商品的进价为600元，求每件乙种商品的进价为多少元？ 提示：=÷商品利润率（商品出售价-商品成本价）商品成本价※※※※工程与行程问题※※※※【例2】 ⑴（2009-2010年161初一第一学期期中考试题30题6分）某项工作，甲单独干需用15小时完成，乙单独干需要12小时完成，若甲先单独干1小时，乙又单独干4小时，剩下的工作两人合作，再用几小时可以完成全部任务？⑵（2009-2010崇文区初一期末考试第30题5分）一个邮递员骑自行车要在规定时间内把特快专递送到某单位. 他如果每小时行15千米，可以早到10分钟，如果每小时行12千米，就要迟到10分钟，问规定的时间是多少小时？他去的单位有多远？⑶（2009西城期末考试第19题）某船顺水航行3小时,逆水航行2小时,已知轮船在静水中的速度为a 千米/时,水流速度为b 千米/时,轮船共航行 千米.⑷（2009-2010西城期末20题2分）一个人先沿水平道路前进a 千米，继而沿b 千米长的山坡爬到了山顶，之后又沿原路返回到出发点，全程共用了5小时，已知此人在水平路上每小时走4千米，上山每小时走3千米，下山每小时走6千米，则此人所走的全程()2a b +是 千米．※※※※教育储蓄问题※※※※【例3】⑴某学生用800元压岁钱存了年利率为%p的一年期教育储蓄，则到期后可得本息和为_______．⑵小颖的爸爸存了一笔一年期的定期储蓄，若年利率为2.79%，利息税的税率为20%，到期后领到利息446.4元，则他存入的本金是（）A．30000元B．20000元C．25000元D．15000※※※※日历方程问题※※※※【例4】星期六星期日星期一星期二星期三星期四星期五1 2 3 4 5 6 78 9 10 11 12 13 1415 16 17 18 19 20 2122 23 24 25 26 27 2829 30①若一竖列的三个数的和为42，这三个数分别是多少？若和为44，能求出这三天是几号吗？为什么？②若22⨯的矩形块的四个数的和为80，求出这四个数．③如果是33⨯的矩形块，九个数的和是171，你能说出这九个数吗？你能发现九个数的和与中间的数的关系吗？为什么？⑵（江苏常州中考）小明和小莉出生于1998年12月份，他们的出生日不是同一天，但都是星期五，且小明比小莉出生早，两人出生日期之和是22，那么小莉的出生日期是．※※※※图表题※※※※很多应用题通过图形或表格来表达题意，同时也有很多题目可以通过画图或列表来找出题中的等量关系．【例5】⑴如图，足球由若干片黑色的正五和白色的正六边形组成，已知一个足球上有12块黑色的正五边形，列方程求解一个足球有块白色的正六边形．⑵（2009年莆田市初中毕业班质量检查试卷）某工厂计划招聘A、B两个工种的工人共120人，A、B两个工种的工人月工资分别为800元和1000元．若某工厂每月支付的工人工资为110000元，那么A、B两个工种的工人各招聘多少人?设招聘A工种的工人x人．根据题设xB A工厂应付工人的月工资（元）招聘人数工人每月工资（元）工种项目完成下列表格，并列方程求解．※※※※面积问题※※※※【例6】 ⑴（济南市中考题）如图，是一块在电脑屏幕上出现的矩形色块图，由6个不同颜色的正方形组成，已知中间最小的一个正方形的边长为1，求这个长方形色块图的面积．⑵（2009-2010西城区初一期末考试第30题5分）如图，在 长方形ABCD 中放置9个形状、大小都相同的小长方形， 试根据图中所给数据求出三块阴影部分面积的和．※※※※数字问题※※※※【例7】 ⑴ 一个两位数，十位数字与个位数字的和是8．这个两位数除以十位数字与个位数字的差，所得的商是11，余数是5．求这个两位数．⑵ 一个六位数2abcde 的3倍等于9abcde ，求这个六位数．B A F ED C※※※※方案选择与情境设计问题※※※※【例8】某商场计划拨款9千元从厂家购进50台随身听，已知该厂家生产三种不同型号的随身型号甲乙丙出厂价150 210 250销售利润15 20 25⑵在同时购进两种不同型号随身听的进货方案中，为使销售利润最多，选择哪种进货方案？【例9】韩老师带着两名学生到离校33千米远的博物馆参观，韩老师乘一辆摩托车，速度为25千米/时，这辆摩托车后座可带一名学生，带人后速度为20千米/时，学生步行的速度为5千米/时．请你设计一种方案，使师生三人同时出发后都到达博物馆的时间不超过3个小时．实战演练1.⑴如图，在日历中用十字形框圈的5个数中，若中间一个数为m，则a b c d+++等于（）A．4mam dcbB．414m+C．47m-D．47m+⑵如果某商品进价降低5%而售价不变，利润率可由目前的%a+，则a的值a增加到(15)%为．2.（2009-2010实验中学初一上学期期中考试25题5分）某服装厂生产一种西装和领带，西装每套定价200元，领带每条定价40元。

⑤9000①ax+b1x+5=5；②(x+b)+2=+2==；x2y25；⑦-=-；⑧⑨x-n+=2．（1）1；第九章分式方程第一部分：补救练习第一关：分式方程的概念问题关卡1-1判断分式方程1．x2=1________（填“是”或“不是”）分式方程．1111a x+11-x2．在关于x的方程：①=+，②-=0，③ax2=+1，④=x3x b23 150001x a=，⑥+=中，________是整式方程，________是分式方程．x x+32533．下列方程是关于x的方程，其中是分式方程的是________（只填序号）m+x m-x2x2；③；④243a a2x-1x，⑤1+13a+b a+b111b x-b x+b =2-；⑥==2+x x x a a x b x a a；x+mx+m x-n4．在下列方程：①2221x-11x2=1、②-x2=1、③=x、④+3=、⑤=0中，3π3x x-2x-2x分式方程的个数有________．5．下列方程：x-1x x x23 =2；（2）=（3）+=1（a，b为已知数）；（4）+=4 x32a b x-11-x其中是分式方程的是________．x-1-x+1=x+3④xx-1=⑥3第二关：分式方程的解法问题关卡2-1解分式方程①2-x1=-2．②x-33-xx2x=+1x+13x+3③13x2-11x-2-x2-4=1⑤x3x+1+112-3x-1=56x-21．方程1-2=5．若1-2=10．若关于x的方程1关卡3-1解决分式方程中增根问题1-x=-3有增根，则增根x=______________．x-22-x2．当k=______________时，关于x的方程k4-x+2=x-3x-3会产生增根．3．关于x的方程x+k x+=2有增根x=﹣1，则k=______________．x2-11-xx m24．使分式方程产生增根，m的值为______________．x-3x-3k-2=x-33-x有增根，则增根是______________，k=______________．6．若方程6m-=1有增根，则它的增根是______________，m=______________．(x+1)(x-1)x-17．如果关于x的方程kx+3+1=0有增根，那么k=_____________．2x-18．m=_____________时，方程x mx-3x-3会产生增根．9．当m为何值时，关于x的方程2x-3m+4=x-2x-2会产生增根？k3+=x-2x+2x2-4有增根，求增根和k的值．2．关于x的方程3-2x7．若方程x-11．已知关于x的方程2x-m=4的解是负数，则m的取值范围为______________．x+22+mx+=1无解，则m=______________．x-33-x3．若关于x的方程ax+1x-1-1=0无实根，则a的值为______________．4．已知关于x的方程2x+mx-2=3的解是非负数，则m的取值范围为______________．5．己知关于x的方程3a7=的解是﹣1，则a=____________ a+x26．已知关于x的分式方程a-xx+1=1的解小于零，求a的取值范围．2-x2x+a+=的解是负数，试求a的取值范围．x-2x+1(x-2)(x+1)1．阅读材料： x +mx c c x + 1 2010= = 2 的根是 x 1=2，x 2= ； x + = = 3 的根是 x 1=3，x 2= ； = = 4 的根是 x 1=4，x 2= ，…第二部分超级挑战πm 1 1= c + 的解为 x = c, x = ；则方程 x - = 2009 -1 2解 x 1=2009，x 2=_____________．的2．若 x 为实数，且1x 2 + 2 x+ x 2 + 2 x = -2 ，则 x 2+2x 的值为_____________．3．如果规定两数 a 、b 通过符号“#”构成运算 a#b=x#5=x#4+1 的解是_____________．4．阅读下列材料：b 1+ ，且 a#b≠b#a ．那么方程 a 2 ax +x + 1 5 1 1 1 10 1 1 x 2 2 2 x 3 3 31 17 1 1 x 4 4 4观察上述方程及其根，猜想方程 x + 1 101 = x 10的根，并验证你的结论．。

第九周初二尖子班1、（2007湖北孝感）如图，一次函数y ax b =+的图象经过A 、B 两点，则关于x 的不等式 0ax b +< 的解集是 ．2、直线l 1：y ＝k 1x ＋b 与直线l 2：y ＝k 2x 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示， 则关于x 的不等式k 1x ＋b ＞k 2x 的解为（ ）A 、x ＞－1B 、x ＜－1C 、x ＜－2D 、无法确定3、已知关于x 的不等式组⎩⎨⎧>->-0230x a x 的整数解共有6个，则a 的取值范围是 。

4、（2007浙江临安）阅读下列题目的解题过程：已知a 、b 、c 为∆ABC 的三边，且满足a c b c a b 222244-=-，试判断∆ABC 的形状． 解：Θa c b c a b A 222244-=-()2222222222()()()()()ABC c a b a b a b B c a b C ∆∴-=+-∴=+∴是直角三角形问：（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号：________________；（2）错误的原因为：_______________________________________________________； （3）本题正确的结论为：____________． Ox yy ＝k 1x ＋by ＝k 2x －1－25、（2007河北省）一手机经销商计划购进某品牌的A型、B型、C型三款手机共60部，每款手机至少要购进8部，且恰好用完购机款61000元．设购进A型手机x部，B型手机y部．三款手机的进价和预售价如下表：（1）用含x，y的式子表示购进C型手机的部数；（2）求出y与x之间的函数关系式；（3）假设所购进手机全部售出，综合考虑各种因素，该手机经销商在购销这批手机过程中需另外支出各种费用共1500元．①求出预估利润P（元）与x（部）的函数关系式；（注：预估利润P＝预售总额-购机款-各种费用）②求出预估利润的最大值，并写出此时购进三款手机各多少部．6、(2010年安徽省)如图，已知△ABC ∽△111C B A ，相似比为k （1>k ），且△ABC 的三边长分别为a 、b 、c （c b a >>），△111C B A 的三边长分别为1a 、1b 、1c 。

3轴对称初步满分晋级阶梯图形变换2级构造轴对称图形春图形变换3级中考新题型之折纸与拼图图形变换1级轴对称初步暑期班第三讲秋季班第一讲季班第六讲漫画释义1初二暑期·第3讲·尖子班·教师版（2）轴对称图形的对称轴是一条直．．，不知识互联网模块一轴对称图形的认识与应用知识导航定 义轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分 能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.这条 直线就是它的对称轴 .这时我们也说这个图形关 于这条直线（成轴）对称.如图，等腰三角形 △ABC 是轴对称图形.注：在理解轴对称图形时．应注意以下几点：（1）一个图形被对称轴分成两部分，对折 后能重合（即全等） ，这样的图形是轴对称图 形．常见的有线段、角、等腰三角形、长方形、 圆等．线是射线也不是线段，在叙述时应注意．（ 3 ）轴对称图形的对称轴条数至少有一 条．否则不是轴对称图形．有的轴对称图形的对 称轴条数是有限的．还有的有无限多条对称轴．示例剖析初二暑期·第 3 讲·尖子班·教师版2两个图形轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点.如图，△ABC与△A'B'C'关于直线l对称，l叫做对称轴.A和A'，B和B'，C和C'是对称点.注：把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形.轴对称的性质：1．关于一条直线轴对称的图形全等；2．对称点连成的线段被对称轴垂直平分．夯实基础【例1】⑴在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）A B C D⑵在3×3的正方形格点图中，有格点△ABC和△DEF，且△ABC和△DEF关于某直线成轴对称，请在下面给出的图中画出4个这样的△DEF．C C C CA B A B A B A B⑶正六边形是轴对称图形，它有条对称轴．⑷下列图形中对称轴最多的是（）A．圆B．正方形C．等腰三角形D．线段⑸判断下列图形是否为轴对称图形？如果是，说出它有几条对称轴．⑹已知两条互不平行的线段A B和A′B′关于直线l对称，AB和A′B′所在的直线交于点P，下面四个结论：①AB=A′B′；②点P在直线l上；③若A、A′是对应点，则直线l垂直平分线段AA′；④若B、B′是对应点，则PB=PB′，其中正确的是（）3初二暑期·第3讲·尖子班·教师版A．①③④B．③④C．①②D．①②③④【解析】⑴A；⑵D EDC E C F(F)CA DF BEA(E)E(D)B A BDFFC(F)C CA B A(D)B A B(E)⑶6；⑷A；⑸⑵，⑷，⑹，⑺，⑼；分别有1条，1条，4条，1条，2条对称轴．⑹D【教师备注】关于某直线对称两个图形具备五个特点：1.对应线段相等；2.对应线段的延长线交于一点，并且在对称轴上；3.对称轴垂直平分对应点的连线；4.交点到对应点的距离相等．能力提升【例2】⑴图1的长方形ABCD中，E点在AD上，且∠ABE=30°．分别以BE、CE为折线，将A、D向BC的方向折过去，图2为对折后A、B、C、D、E五点均在同一平面上的位置图．若图2中，∠AED=15°，则∠BCE的度数为（）A．30°B．32.5°C．35°D．37.5°(2012台湾)A E D EAB C B CD图1④图2③②⑵如图是一台球桌面示意图，图中小正方形的边长均相等，黑球放在如图所示的位置，经白球撞击后沿箭头方向运动，经桌边反弹最后进入球洞的序号是（）A．①B．②初二暑期·第3讲·尖子班·教师版①4⑤⑥C．③D．④⑶已知∠AOB=30°，点P在∠AOB内部，P与P关于OB对称，P与P关于OA对称，12则P，O，P三点确定的三角形是（）12A．直角三角形B．钝角三角形C．腰底不等的等腰三角形D．等边三角形【解析】⑴D；⑵A；⑶D.模块二线段的垂直平分线知识导航定义线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也称之为中垂线.示例剖析DA C B线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的E如图，若AC=BC，AB⊥CD，则直线DE是线段AB的垂直平分线.D距离相等.AC BE如图，已知直线DE是线段AB的垂直平分线，则DA=DB.D线段的垂直平分线的判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.A C BE如图，若DA=DB，则点D在线段AB的垂直平分线上.夯实基础【例3】⑴如何用圆规与直尺作线段AB的垂直平分线？⑵证明：线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等（线段垂直平分线的性质）.⑶证明：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上（线段垂直5初二暑期·第3讲·尖子班·教师版平分线的判定）.【解析】⑴如图1，分别以线段两端点为圆心，以大于线段AB的1为半径在线段两侧作弧，连2接两相交点M、N，直线MN就是该线段的垂直平分线．要求学生证明做法的正确性，假设AB、MN交于点O，先证△AMN≌△BMN，进而△AON≌△BON，即可得到相等与垂直的结论．PA NOM B A O B图1图2⑵已知：如图2，PO⊥AB，AO=BO．求证：AP=BP．证明：∵AO=BO，PO⊥AB，PO=PO，∴△APO≌△BPO，∴AP=BP.⑶解答略．【例4】⑴如下图1，在△ABC中，DE是AC的中垂线，AE=3cm，△ABD得周长为13cm，则△ABC的周长是．⑵如下图2，BD垂直平分线段AC，AE⊥BC，垂足为E，交BD于P点，PE=3cm，则P点到直线AB的距离是．⑶如下图3，在△ABC中，∠A=90︒，∠ABD:∠DBE=2:3，DE⊥BC，E是BC的中点，求∠C的度数．AA BEE BP DB DC E AD C图1图2C图3【解析】⑴19cm．∵ED垂直平分AC，∴DA=DC，∵AC=2⨯AE=6cm，△∴ABC的周长是19cm．⑵3cm．过P作PF⊥AB于F，∵BD垂直平分线段AC，∴BA=BC ∴Rt△ABD≌Rt△CBD(HL)，∴∠ABD=∠CBD∴△PFB≌△PEB(AAS)，∴PF=PE=3cm⑶∵DE垂直平分BC，∴BD=CD，∴△BDE≌△CDE(SSS)∴∠DBE=∠C，设∠ABD=2x,则∠DBC=3x,∠C=3x.BAFP DE图2C初二暑期·第3讲·尖子班·教师版6∵∠A=90︒，∴∠ABD+∠DBC+∠C=90︒．∴∠C=33.75︒.【教师备选】已知点A在直线l外，点P为直线l上的一个动点，探究是否存在一个定点B，当点P在直线l上运动时，点P与点A、点B的距离总相等，如果存在，请作出定点B；若不存在，请说明理由．【解析】点B与点A重合如图1，或者点B是点A关于直线l的对称点如图2.AAP lPA（B）lPBl 图1图2能力提升【例5】△ABC的两边AB和AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，⑴若BC△=8，求ADE的周长；⑵若∠BAC+∠DAE=150︒，求∠BAC．H AFBD EC 【解析】根据题意可得：⑴BD=AD，CE=△AE，∴ADE的周长是8⑵△ADH≌△BDH,△AEF≌△CEF∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAE则∠BAC=∠BAD+∠CAE+∠DAE=∠B+∠C+∠DAE即∠BAC=180︒-∠BAC+150︒-∠BAC，解得∠BAC=110︒模块三角平分线性质及常见辅助线模型（一）知识导航定义示例剖析7初二暑期·第3讲·尖子班·教师版．AEC角平分线的性质定理：在角的内部平分线上的 点到这个角的两边的距离相等．DO FB如图，若射线 OC 是∠AOB 的角平分线，则 DE=DF ．AEC角平分线的判定定理：在角的内部到一个角两 边距离相等的点在这个角的平分线上．DO FB如图，若 DE=DF ，则 OC 是∠AOB 的角平分线．角平分线的两种基本模型1． 点垂线，垂两边，对称全等要记全A D2．角平分线+平行线，等腰三角形必呈现A1O2CE BOD 1 3 2CB已知：∠1 = ∠2 ，CD ⊥ OA ，作 CE ⊥ OB 于 E ， 已知： ∠1 = ∠2 ， CD ∥OB 交 OA 于 D ，则 △OCD ≌△OCE ．则 △ODC 为等腰三角形（即 OD = CD ）．夯实基础【教师铺垫】证明：⑴ 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等（角平分线的性质定理）⑵ 在角的内部到一个角两边距离相等的点在这个角的平分线上（角平分线的判定定理）．AMCP⑶ 三角形的三条内角平分线交于一点．（此点称之为 OB三角形的内心）．⑷ 三角形的内心到三边的距离相等．（三角形内心性质）．AMOPB初二暑期·第 3 讲·尖子班·教师版NNC8△1ABC =S+S+S【解析】⑴注意书写形式．已知：如图，∠MOP=∠NOP，CA⊥OM交OM于A，CB⊥ON交O N于点B．求证：CA=CB．证明：易证△AOC≌△BOC，故CA=CB⑵略.⑶已知：如图，在△ABC中，BN、CM分别平分∠ABC与∠ACB，CM与BN交于点O，连接AO并延长交BC于P．求证：∠BAO=∠CAO．证明：如图，从点O向三边做垂线OE、O F、O Q．根据角平分线的性质定理易得OE=OF=OQ，根据角平分线的判定定理得AO平分∠BAC，即∠BAO=∠CAOA AM N M E NQOB P COBP F C⑷略.A 【例6】⑴如图，已知△ABC的周长是21，O B，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=3，求△ABC的面积．O⑵如图所示，AB=2A C，∠1=∠2，DA=DB.求证：DC⊥AC.【解析】⑴∵O点为△ABC的两内角平分线的交点，∴O点到三边距离相等．∴S△63OAC=⨯(A B+BC+AC)⨯3=；22⑵方法一：作DE⊥AB于点E，则∠AED=90°BD CAB12DC∵DA=BD，∴△AED≌△BED(HL).∴AE=BE.∴AB=2A E.∵AB=2A C，∴AE=AC.BE A12C9初二暑期·第3讲·尖子班·教师版D⎪ AD = AD ⎪ ⎪ AD = AD ⎪⎧ AE = AC 在 △AED 和 △ACD 中， ⎨∠1 = ∠2⎩∴ △AED ≌ △ACD(SAS)∴ ∠ACD = ∠AED = 90°，∴ DC ⊥ AC方法二：如图所示，延长AC 到 F ，使 AF = AB ，连接 D F ．⎧ AB = AF在 △ABD 和 △AFD 中， ⎨∠1 = ∠2⎩B1 A2 C∴ △ABD ≌ △AFD(SAS) ，∴ DF = DB = ADF∵ AB = 2 A C ，∴ AF = 2 A C ，即 C 为 AF 的中点，易证 △ACD ≌△FCD∴ DC ⊥ AC ．D能力提升【例7】 如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 平分线，AD 的垂直平分线分别交 AB 、BC 延长线于F 、E ，求证：⑴∠EAD =∠EDA ； ⑵DF ∥AC ；⑶∠EAC =∠B ．【解析】⑴∵直线 EF 垂直平分线段 AD ∴AE =DE ，即 △Rt AOE ≌△Rt DOE(HL)∴∠EAD =∠EDA⑵同理∠F AD =∠FDA又∵AD 是∠BAC 平分线∴∠F AD =∠CAD ，即∠FDA =∠CAD ∴DF ∥AC⑶连结 DG ，同⑴△Rt AOG ≌△Rt DOG(HL) ∴∠1=∠2又∵AD 是∠BAC 平分线 ∴∠2=∠3，即∠1=∠3∴DG ∥ABBBFDFDAGOC EA32O G1C E∴∠B =∠GDE∵△AGE △≌ DGE(SSS) ∴∠GDE =∠GAE初二暑期·第 3 讲·尖子班·教师版10即∠EAC=∠B．【探究对象】“轴对称图形”中的重要基本图形【探究目的】几何问题中所涉及的几何图形有基本图形和复杂图形，而这些复杂图形往往都是这些基本图形的叠加和演变．如果学生能掌握这些基本图形的性质和特征，那么，对于识别一些复杂图形有极大的帮助，再此以“轴对称图形”中总结出的基本图形为例加以说明．【基本图形一】AB D C特征：如图，已知AD是线段BC的垂直平分线，则AB=AC，∠B=∠C.【解析】∵AD是线段BC的垂直平分线，∴AB=AC（线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等）∴∠B=∠C（等边对等角）备注：等腰三角形的相关知识将在下节课讲解，但线段垂直平分线的知识点与等腰三角形结合紧密，老师可以适当提前渗透，否则此步可用全等证明．【变式一】如图，在△ABC中，∠ABC=2∠C.AC的垂直平分线分别交BC、AC于点D、E.线段AB与CD相等吗？试说明理由．AEB DC 【分析】添辅助线往往是具有基本图形的条件，而基本图形不完整时补完整基本图形，因此首先连接AD，即出现基本图形一【解析】连结AD，根据垂直平分线性质易得∠C=∠DAC，A又∵∠ADB△是ADC的外角，EBD C∴∠ADB=∠C+∠DAC=2∠C，11初二暑期·第3讲·尖子班·教师版由已知∠ABC=2∠C，∴∠ADB=∠B，∴AB=AD，又∵AD=DC，∴AB=CD【基本图形二】A12B D C特征：如图，△Rt ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD是斜边BC上的高．问图形中有哪些相等的线段（除AB=AC外），相等的锐角？相等的线段：AD=BD=DC；相等的锐角：∠B=∠1=∠2=∠C．【解析】∵AB=AC且AD是BC边上的高，∴△Rt ABD≌Rt△ACD(HL)∴AD是BC边上的中线，且∠1=∠2=1∠BAC=45°2△即ABC、△ABD以及△ACD都是等腰直角三角形∴AD=BD=DC∴∠B=∠1=∠2=∠C．【基本图形三】DBOPE C A特征：如图，点P是∠BOA的角平分线OE上的一点，PD⊥OB、PC⊥OA，垂足分别为D、C．问图中有哪些相等的线段，相等的锐角？相等的线段：OD=OC，DP=CP；初二暑期·第3讲·尖子班·教师版12相等的锐角：∠DOP=∠COP，∠OPD=∠OPC．【解析】∵点P是∠BOA的角平分线OE上的一点，PD⊥OB、PC⊥OA∴PD=PC(角平分线上的点到角两边的距离相等)△易证ODP≌△OCP（AAS）可得∠OPD=∠OPC，OD=OC【基本图形四】AEB D C特征：如图，AD是∠BAC的角平分线，DB⊥AB、DE⊥AC，垂足分别为B、E．本图形包含了基本图形三，因此具有基本图形三的一切性质．【演变一】当∠C=30°时，A图形中相等的线段有：AB=AE=EC，BD=DE，AD=DC E相等的锐角有：∠BAD=∠DAE=∠C，∠BDA=∠ADE=∠EDC=∠BAC B D30°C【变式二】如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E．C⑴DE和CD相等吗？为什么？⑵∠1=∠2吗？为什么？D12A E30°B【解析】⑴由基本图形三易得DE=CD；⑵∵∠B=30°，∴∠CAB=60°，∵AD平分∠CAB，故∠CAD=∠BAD=30°又∵DE⊥AB，∴∠1=60°，∠2=60°13初二暑期·第3讲·尖子班·教师版故∠1=∠2A【演变二】当∠C=45°时，图形中相等的线段有：AE=AB，CE=DE=BDE 相等的锐角有：∠C=∠BAC=∠EDC，∠BAD=∠DAE，∠BDA=∠ADE B DC 【变式三】如图，在△ABC中，∠B=90°，∠C=45°，AB=BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E．试说明AC=AB+BD的理由．【解析】由基本图形三可得AB=AE，BD=EDA ∵DE⊥AC，∠C=45°，∴∠EDC=45°，∴DE=CE，即BD=CE则AC=AE+CE=AB+BD．BED C 初二暑期·第3讲·尖子班·教师版14B思维拓展训练(选讲)训练1.D 为 BC 中点， DE ⊥ BC 交 ∠BAC 的平分线于点 E ， EF ⊥ AB 于 F ， EG ⊥ AC 于 G .求证： BF = CG .AABFFD DCGC GEE【解析】 连接 BE 、 CE .∵ DE 垂直平分 BC ，∴ BE = CE∵ AE 平分 ∠BAC ， EF ⊥ AB ， EG ⊥ AC ，∴ EF = EG 又 ∠BFE = ∠CGE = 90︒ ，∴ △Rt BEF ≌ Rt △CEG （ HL ），∴ BF = CG ．训练2. 已知：如图，∠ABC 及两点 M 、 N ．求作：在平面内找一点P ，使得 PM = PN ，且 P点到 ∠ABC 两边所在的直线的距离相等．BNC AM【解析】 因为是两边所在的直线，所以有两个答案．答案一： ∠ABC 内角平分线与线段 MN 的垂直平分线的交点，如左图；答案二： ∠ABC 外角平分线与线段 MN 的垂直平分线的交点，如右图.B BN NPPCCAMAM训练3. 如图，在 △ABC 中， BD 、 CD 分别平分 ∠ABC 和 ∠ACB ．DE ∥AB ，FD ∥AC ．如果 BC = 6 ，求 △DEF 的周长．【解析】6．BADE FC训练4. 已知：如图，在 ∠POQ 内部有两点 M 、 N ， ∠MOP = ∠NOQ ．15初二暑期·第 3 讲·尖子班·教师版QNMO P' ''⑴ 画图并简要说明画法：在射线 OP 上取一点 A ，使点 A 到点 M 和点 N 的距离和最小； 在射线 OQ 上取一点 B ，使点 B 到点 M 和点 N 的距离和最小； ⑵ 直接写出 AM + AN 与 BM + BN 的大小关系．（西城期末）【解析】⑴画法如下：作 M 分别关于 OP 和 OQ 的对称点 M ' 和 M '' ，连接 M N和 M N 分别交 OP 和 OQ 于A 、B ．⑵相等，证明 △OM ''N ≌ △OM 'N 即可.初二暑期·第 3 讲·尖子班·教师版16.实战演练知识模块一 轴对称图形的认识与应用课后演练【演练1】 ⑴ 下面四个图形中，从几何图形的性质考虑，哪一个与其他三个不同？请指出这个图形，并简述你的理由．①② ③ ④答：图形__________；理由是__________．⑵ 画出下图所示的轴对称图形的对称轴：⑶ 如图是奥运会会旗上的五环图标，它有（ ）条对称轴．A ．1B ．2C ．3D ．4（四中月考）⑷ 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）．A ．角B ．等边三角形C ．线段D ．不等边三角形（四中月考）⑸ 如图，它们都是对称的图形，请观察并指出哪些是轴对称图形，哪些图形成轴对称【解析】 ⑴ ②；四个图形中，只有图②不是轴对称图形．⑵17初二暑期·第 3 讲·尖子班·教师版⑶A；⑷D；⑸轴对称图形：⑴，⑶，⑷，⑹，⑻，⑽；成轴对称的图形有：⑵，⑸，⑺，⑼．【演练2】如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCED的外部时，则∠A与∠1和∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（）．A．∠A=∠1-∠2B．2∠A=∠1-∠2C．3∠A=2∠1-∠2 D．3∠A=2(∠1-∠2)CB1D2E【解析】B.知识模块二线段的垂直平分线课后演练【演练3】如图，已知∠AOB=40︒，CD为OA的垂直平分线，求∠ACB的度数．A【解析】∵CD垂直平分OA，∴CO=CA，DA∴∠O=∠A=40°∴∠ACB=∠A+∠O=80︒．知识模块三角平分线性质及常见辅助线模型（一）课后演练O C B【演练4】如图，BD=CD，∠ABD=∠ACD=90°，点E、F分别在AB、AC上，若ED平分∠BEF．A①求证：FD平分∠EFC；②求证：EF=BE+CF.EFA B C 【解析】①证明：过点D作DG⊥EF于G∵DG⊥EFD ∴∠EGD=∠B=90°G F∵ED平分∠BEF E∴∠BED=∠FED B C∴BD=GD∵BD=CD∴GD=CDD初二暑期·第3讲·尖子班·教师版18⎨∠GFD = ∠CFD ⎪FD = FD ∵ DG ⊥ EF ， DC ⊥ CF∴ D 在 ∠EFC 的角平分线上， ∴ FD 平分 ∠EFC ．② ∵ △BDE ≌△GDE∴ BE = GE ∵ DG ⊥ EF∴ ∠DGF = ∠C = 90° ∵ FD 平分 ∠EFC∴ ∠GFD = ∠CFD∵在 △DFG 与 △DFC 中 ⎧∠DGF = ∠DCF ⎪⎩∴ △DFG ≌△DFC (AAS )∴ CF = GF∵ EF = EG + GF ∴ EF = BE + CF【演练5】 证明：三角形一个内角的平分线与另外两个外角的平分线交于一点． 【解析】 注意书写形式．已知：如图， ∠ABO = ∠CBO ， ∠CAO = ∠Q AO求证： ∠ACO = ∠MCO ．QQAAFOOBC MBPC EM证明：如图，从点 O 向三边引垂线段 OE 、 OF 、 OP ．根据角平分线的性质定理易得OE = OF = OP ，根据角平分线的判定定理得 C O 平分 ∠ACM ，即 ∠ACO = ∠MCO19初二暑期·第 3 讲·尖子班·教师版.课后测测1.下列说法中错误的是（）．A ．两个关于一直线对称的图形对应点连线的垂直平分线就是它们的对称轴B ．关于某直线对称的两个图形全等C ．面积相等的两个三角形对称D ．轴对称指的是两个图形沿着某一直线对折后完全重合（四中月考）【解析】C ．测2.如图是某设计师在方格纸中设计图案的一部分，请你帮他完成余下的工作：⑴ 作出关于直线 AB 的轴对称图形；⑵ 将你画出的部分连同原图形绕点 O 逆时针旋转 90° AAOOBB【解析】如右图．测3.如图， AD 是 ∠BAC 的平分线， BE 是 ∠ABC 外角的平分线，交 AD 的延长线于点 E ，过点 E 作 EG ∥ AB 交 AC 于点 G ，交 BC 于点 F ．图中 哪两条线段之间存在等量关系?A【解析】 AG = EG ， BF = EF ．B D FEG C初二暑期·第 3 讲·尖子班·教师版20.第十五种品格：创新需要一把剪刀据说篮球运动刚诞生的时候，篮板上钉的是真正的篮子 .每当球投进的时候，就有一个 专门的人踩在梯子上把球拿出来.为此，比赛不得不断断续续地进行，缺少激烈紧张的气氛. 为了让比赛更顺畅地进行，人们想了很多取球方法，都不太理想 .有位发明家甚至制造了一 种机器，在下面一拉就能把球弹出来，不过这种方法仍没能让篮球比赛紧张激烈起来 终于有一天，一位父亲带着他的儿子来看球赛 .小男孩看到大人们一次次不辞劳苦地取球，不由大惑不解：为什么不把篮筐的底去掉呢？一语惊醒梦中人，大人们如梦初醒，于是 才有了今天我们看到的篮网样式.去掉篮筐的底，就这么简单，但那么多有识之士都没有想到 .听来让人费解，然而这个简单的“难题”困扰了人们多年.可见，无形的思维定式就像那个结实的篮子禁锢了我们的头脑，使得我们的思维就像篮球被“囚禁”在了篮筐里.于是，我们盲目地去搬梯子、去制造机器……生活中许多时候，我们就需要这样一把剪刀，去剪掉那些缠绕我们的“篮筐”，生活原本并没有那么复杂.今天我学到了21 初二暑期·第 3 讲·尖子班·教师版。

二次根式的认识及运算1.掌握二次根式的定义和性质；2.掌握二次根式的运算；3. 能根据二次根式的性质对代数式作简单变形||。

1.了解平方根及算术平方根的概念||，会用根号表示非负数的平方根及算术平方根2.会运用二次根式的性质进行化简||，二次根式的定义)0a ≥的式子叫做二次根式.二次根式中被开方数a 既可以是一个数||，也可以表示一个代数式||，前提是必须满足a≥0. 二次根式的概念有两个要点：一是从形式上看||，应含有二次根号；二是被开方数的取值范围有限制：被开方数a 必须是非负数.特别要强调二次根式的被开方数是“非负数”||，而不是“正数”.例1.下列式子中二次根式二的个数有（ ）（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】B【解析】解：二次根式有；；三个．故选B ．练习1. 下列各式不是二次根式的是（ ）ABCD【答案】D【解析】根据二次根式的定义||，||都是二次根式||无意义||，故选：D ．判断一个式子是不是二次根式||，一看形式||，二看数值||，形式上要有二次根号||，数值上被开方数要非负.例2.使1x -有意义的的取值范围是（ ）A. 1x ≠B. 1x ≥C. 1x >D. 0x ≥ 【答案】B.x【解析】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件||||，必须10x -≥||，解得1x ≥. 故选B.练习1.若14+x 有意义||，则x 能取的最小整数是（ ） A. 0 B. 1 C. －1 D. —4[来源:1] 【答案】A【解析】二次根式的被开方数为非负数||，则4x+1≥0||，则x ≥－14||，则x 的最小整数时0.练习2. 当x 时||在实数范围内有意义. 【答案】 ³0且x ¹1【解析】根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为0的条件||，要使1x -在实数范围内有意义||，必须0001110x x x x x x ≥⎧≥⎧⎪⇒⇒≥≠⎨⎨≠-≠⎪⎩⎩且.二次根式有意义的条件就是二次根式被开方数必须是非负数||，有分式时||，还要考虑分式分母不为0的条件||，这样就转化为解不等式或不等式组问题.例3.若332y x x =-+-+||，则y x = ．【答案】9． 【解析】332y x x =-+-+有意义||，必须30x -≥||，30x -≥||，解得：x =3||，代入得：y=0+0+2=2||，∴yx =23=9．故答案为：9． 练习1. 已知：201720182018----=x x y ||，求：x+y 的平方根.∴2018x = y=－2019 ∴x+y=1 ∴x+y 的平方根是1±【解析】首先根据二次根式的性质求出x 和y 的值||，然后得出x+y 的平方根.二次根式有意义的条件就是被开方数要非负||，当式子中几个二次根式时||，必须满足所有被开方数都非负.二次根式的性质1.二次根式的非负性 (1))0(,0≥≥a a ；具有非负性的式子还有20a ≥||，0a ≥||，若几个具有非负性的式子的和为零||，则几个式子都为零.2.非负数的算术平方根的平方等于它本身||，)0()(2≥=a a a ；3.一个数平方的算术平方根等于它的绝对值||，⎩⎨⎧<-≥==)0()0(2a a a a a a 被开方数的取值范围在计算中经常作为隐含条件给出||，注意合理应用.例1. 已知实数x 、y满足：0212=⎪⎭⎫ ⎝⎛-++y y x ||，求x y +的值． 【答案】由212+()02x y y +-=可知：2x y +=0且21()02y -=||，即：2x+y=0||，解得：x=-14||，y=1212===. 【解析】利用算术平方根和一个数的平方的和等于0求出x||，y||的值．练习1. 已知、是实数||，并且||，则2018()xy 的值是_______【答案】1．【解析】先将式子变形||，然后根据二次根式和偶次幂的性质求出x 和y 的值||，再代入到所求式子中即可 因为096132=+-++y y x ||，即0)3(132=-++y x ||，所以03013=-=+y x 且||，解得3,31=-=y x ||，所以2018201820181()(3)(1)13xy =-⨯=-=练习2.已知,a b 为等腰三角形的两条边长||，且,a b 40b -=||，求此三角形的周长.40b -=，即26=040a b --=，所以3a =||，4b =.当腰长为3时||，三角形的三边长为 3||，3||，4||，周长为10； 当腰长为4时||，三角形的三边长为 4||，4||，3||，周长为11.【解析】根据二次根式有意义：被开方数为非负数可得a 的值||，继而得出b 的值||，然后代入运算即可．若一个等式中含有两个及两个以上字母且要求字母的值||，常利用非负性求解||。

6解析式与图象变换模块一 待定系数求函数解析式知识导航待定系数法：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出函数解析式的方法 题型一 ：已知两点坐标求解析式例1已知一次函数的图象过点（3，5）与（－4，－9），求这个一次函数的解析式题型二已知斜率k 及一点，求解析式知识导航若一次函数y=k 1x+b 1与y=k 2x+b 2的图象互相平行，则k 1=k 2,,b 1≠b 2.例2已知一条直线与直线y=2x －3平行，且经点（2，7）求直线解析式练 已知一个一次函数的图象平行于正比例函数y=12x 的图象，且过点（－4，－1），求一次函数解析式题型三已知函数关系，求解析式例3已知y 与x －1成正比例，且x=2时y=6，求y 和x 之间的关系练已知y+2与x －3成正比例，且x=0时y=1，y=4时求x 的值拓y+1与z 成正比例，比例系数为2，z 与x －1成正比例，当x=－1，y=7，求y 与x 之间的函数关系 题型四 利用一次函数增减性求解析式例4一次函数y=kx+b 的自变量的取值范围是-3≤x ≤6，相应的函数值的取值范围是－5≤y ≤－2，求该一次函数的解析式练一次函数y=kx+b 的自变量的取值范围是2≤x ≤6，相应的函数值的取值范围是5≤y ≤9，求该一次函数的解析式题型五解析式与实际问题例5一辆汽车在行驶过程中，路程y （千米）与x （小时）之间的函数关系如图所示，求y 与x 与的函数关系式。

练一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始4min 内只进水不出水，在随后的8min 内即进水又出水，每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y （单位：L ）与时间x （单位：min ）之间的关系如图所示。

（1）当0≦x ≦4时，求y 关于x 的函数关系式（2）当4≦x ≦12时，求y 关于x 的函数关系式（3）每分钟进水，出水各多少升？周末，小明骑自行车从家里出发到植物园，从家出发0.5小时后到达甲地，因自行车损坏修理一段时间后，按原速前往植物园，小明离家1小时20分后，妈妈驾车沿相同路线前往植物园，如图是他们离家的路程y(km)与小明离家时间x (h)的函数图象。