第一章 简谐振动与频谱分析
这一章是一些基础内容，主要介绍:(1)简谐振动的特点及表示方法、(2) 周期振动的谐波分析、(3) 非周期振动的谱分析、(4) 单位脉冲函数的定义、性质、应用等。
现实中很多结构振动（特别是人造的结构振动）是可以用函数关系表示的（揭示振动规律），根据运动表现形式振动可分为：（1）周期振动；（2）非周期振动。
而简谐振动是最简单的周期振动，重要的是周期振动可以分解为多个简谐振动的叠加。
§1.1 简谐振动的表示方法及合成
数学知识：
1．()sin()x t A t ω=+ϕ
cos()sin()2
x
A t A t π
ωωωω=+ϕ=+ϕ+ 22sin()sin()x
A t A t ωωωωπ=-+ϕ=+ϕ+
2．cos sin i e i i θθθ
=+= ()i t Z Ae ω+ϕ=； ()i t Z
i Ae ωω+ϕ= ； 2()i t Z Ae ωω+ϕ=- 3．2
cos 2sin
2sin sin B
A B A B A -⋅+=+ （和差化积） ―――――――――――――――――――――――――――
1. 简谐振动的表示 (1) 简谐振动的一般表示
简谐振动是周期振动中最简单的一种，它可以用正弦函数表示为
()s i n ()x t A t ω=+ϕ （1.1） A ——振幅，ω——圆频率，ϕ——初相位
ω又称角频率，它与频率f ，周期T 的关系为
22f T
π
ωπ== （1.2）
ω（rad/s ）
，f （Hz ），T （s ），为了方便，以后也称ω为频率。 从简谐振动的函数形式而言，若确定了振幅、频率及初相位这三者就完全确定了一个简谐振动，通常把振幅、频率和相位称为简谐振动的三要素。
图1-1
若x 是位移，则
速度 cos()sin()2x
A t A t π
ωωωω=+ϕ=+ϕ+ （1.3） 加速度 22sin()sin()x A t A t ωωωωπ=-+ϕ=+ϕ+ （1.4） 可见，简谐振动的速度也是简谐运动，其速度的相位超前位移2
π
，简谐振动的加速度也是简谐运动，其加速度的相位超前速度
2
π。 从位移、速度、加速度的表达式可以看到它们的频率是相同，幅值是频率的函数。为测量提供了依据。
根据加速度的式子，我们有
2x x ω=-
（1.5） 即加速度大小与位移成正比，但方向总与位移相反，始终指向平衡位置，上式改写为
2220d x
x dt
ω+= 显然这个微分方程的解是以ω为频率的正弦函数或余弦函数。 (2) 简谐振动的旋转矢量表示
简谐振动可以用平面上匀速旋转的矢量来表示。旋转矢量在x 轴的投影ON 即简谐振动。
利用旋转矢量能直观形象地表示简谐振动位移、速度、加速度之间的关系。
图1-2
(3) 复数表示 一个复数
()cos()sin()
i t Z Ae A t iA t i ωωω+ϕ==+ϕ++ϕ=容易得到
Im()
Im()Im()x Z x Z x Z
=== （1.12） 简谐振动的复数表示方法较便于分析，在以后解方程时常用到。
2. 简谐振动的合成
（1） 两个相同频率的简谐振动的合成仍是简谐振动，并保持原来的频率，这个
很容易证明，自己看讲义。
（2） 频率不同的两个简谐振动的合成不再是简谐振动。频率比为有理数时，合
成为周期振动，频率比为无理数时，合成为非周期振动。 设
11112222sin()sin()
x A t x A t ωω=+ϕ=+ϕ
又设频率比为有理数
12m
n
ωω=（m 、n 为互质整数） 改写为： 2
1
1
1
n m ωω⋅
=⋅
， 2
1
22n m π
π
ωω⋅
=⋅
即 21n T m T ⋅=⋅ 令 21T nT mT == 证 12x x x =+
12112212()()()
()()()()()
x t T x t T x t T x t mT x t nT x t x t x t +=+++=+++=+=
所以，T 就是1x 与2x 的合成后的周期，所以这时合成后的运动是周期运动。
当频率比为无理数时
12m n
ωω≠ 即找不到周期T ，所以这时合成的运动不是周期运动。
图1-3
（3） 频率很接近的两个简谐振动的合成会出现“拍”的现象。
设两个频率很接近的简谐振动为
11112222sin()sin()
x A t x A t ωω=+ϕ=+ϕ
设 122ωωε-= ε——小量
12111222sin()sin()x x x A t A t ωω=+=+ϕ++ϕ
改写 12
1122121122[sin()sin()]2
[sin()sin()]
2
A A t t A A t t ωωωω+=
+ϕ++ϕ-++ϕ-+ϕ
为了简单起见，仅考虑振幅1A 与2A 接近的情况，上式的第二项可以忽略不计，利用三角函数的基本关系
1212()()cos()sin()222x t A A t t ωωε1212ϕ-ϕ+ϕ+ϕ⎡
⎤=++⋅+⎢⎥⎣⎦
这是一个可以变振幅的简谐振动，振动频率为12
2
ωω+，振幅为12()A A +与零之
间缓慢地周期性变化，如书p12页图1-4所示，这种现象称为“拍”，振幅的包络为
12()()cos()2
A t A A t ε12
ϕ-ϕ=++
“拍”的周期为
πε
。[数学周期为2πε，对称所以取一半]。
