高三数学12月月考试卷讲评 (2)

重庆市2024-2025学年高三上学期12月月考数学检测试题一、单项选择题：1. 已知集合{}*250,{12}A x x xB x x =∈-≤=∈-<N Z ∣∣，则A B = （ ）A {}0,1,2,3,4,5 B. {}0,1,2 C. {}1,2 D. {}1,2,3,4,5【答案】C 【解析】【分析】解出集合后再求交集即可.【详解】由250x x -≤，解得05x ≤≤，所以{}1,2,3,4,5A =，由12x -<，解得13x -<<，所以{}0,1,2B =，{}1,2⋂=A B ，故选：C ．2. 已知复数z 满足84i z z +=+，则z =（ ）A. 34i + B. 34i- C. 34i-+ D. 34i--【答案】A 【解析】【分析】设i z x y =+，,x y R ∈，根据复数相等列方程求解可得结果．【详解】设i z x y =+，,x y R ∈由84i z z +=+i 84ix y +=+所以84x y +==⎪⎩，解得3,4x y ==∴34i z =+．故选：A ．3. 已知正方形ABCD 的边长为1，设点M 、N 满足AM AB λ=，AN AD μ=.若1CM CN ⋅=，则222µλ+的最小值为（ ）A. 2B. 1C.23D.34【答案】C 【解析】【分析】.建立坐标系，求出A ，B ，C ，D 的坐标，求出1λμ+=，可得2222321λμμμ+=-+，结合二次函数的性质求出代数式的最小值即可．【详解】如图所示：以A 为原点，建立平面直角坐标系，因为正方形ABCD 的边长为1，可得(0,0)A ，(1,0)B ，(1,1)C ，(0,1)D ，AM AB λ= ，AN AD μ=，(,0)M λ∴，(0,)N μ，(1,1)CM λ=-- ，(1,1)CN μ=--，∴111CM CN λμ⋅=-+-=，故1λμ+=，222222(1)2321λμμμμμ∴+=-+=-+，故13μ=时，2321μμ-+的最小值是23，故选：C ．【点睛】平面向量数量积的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用．利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．解答本题的关键是建立直角坐标系，转化为坐标运算求解.4. 若()3sin cos 4(,0,)απααπ+-=∈，则sin 4a π⎛⎫ ⎪⎝⎭+的值为（ ）A.78B. C. 78-D.【答案】D 【解析】【分析】由三角函数的诱导公式和基本关系式，求得72016sin cos αα=>，得到sin cos 0αα+>，结合三角函数的基本关系式，求得sin cos αα+的值，再利用两角和的正弦公式，即可求解.【详解】由()34sin cos sin cos απααα+-=-=，所以()29 1216sin cos sin cos αααα-=-=，可得72016sin cos αα=>，因为()0,απ∈，所以sin 0,cos 0αα>>，可得sin cos 0αα+>，又由()2231216sin cos sin cos αααα+=+=，可得sin cos αα+=所以)4sin sin cos πααα+=+ ⎝⎭=⎛⎫⎪故选：D.5. 如图所示的是古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着的一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等.相传这个图形表达了阿基米德最引以为荣的发现.设圆柱的体积与球的体积之比为m ，圆柱的表面积与球的表面积之比为n ，则621nx mx ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项是（ ）A. 15-B. 20- C. 15 D. 20【答案】C 【解析】【分析】设球的半径为R ，分别表达出球，圆柱的体积和表面积，求出1nm=，利用二项式定理得到通项公式，求出常数项.【详解】设球的半径为R ，则球的体积为34π3R ，圆柱的底面积为2πR ，高为2R ，故圆柱的体积为23π22πR R R ⋅=，故332π342π3R m R ==，球的表面积为24πR ，圆柱的表面积为222π2π26πR R R R +⋅=，故226π34π2R n R ==，故1n m =，621x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的通项公式为()()6263166C 1C r r r r r rr T x x x ---+=-=-，令630r -=，解得2r =，故常数项为()22361C 15T =-=.故选：C6. 将函数sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移(0)m m >个单位长度，得到的图象对应的函数()y f x =在区间5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，则m 的最小值为（ ）A.4πB.3πC.2πD.34π【答案】D 【解析】【分析】由三角函数的图象变换求得函数()y f x =的解析式，再根据正弦型函数的单调性，求得m 的取值，进而求得m 的最小值.【详解】由题意，将函数sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭图象向右平移(0)m m >个单位长度，得到的图象对应的函数()sin(22)6y f x x m π==-+的图象，因为()f x 在区间5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以2(221262m k ππππ⨯--+≥+且53222,1262m k k z ππππ⨯-+≤+∈，解得,44k m k k z ππππ--≤≤--∈，即4m k ππ=--，令1k =-，可得m 的最小值为34π.故选：D.7. 在等差数列{}n a 中，n S 是n a 的前n 项和，满足180S <，190S >，则有限项数列181912121819,,,,S S S S a a a a ⋅⋅⋅的中，最大项和最小项分别为（ ）A.918918,S S a a B.910910,S S a a C.19101910,S S a a D.19181918,S S a a 【答案】B 【解析】【分析】确定100a >，90a <，0d >，考虑19n ≤≤，1018n ≤≤，19n =三种情况，确定199199S S a a <，计算得到答案.【详解】()()1181891018902a a S a a +==+<，即9100a a +<，()1191910191902a a S a +==>，即100a >，故90a <，0d >，①当19n ≤≤，*N n ∈时，0n a <，0nS <，故0nnS a >，9maxnS S =，9minna a =，故99max n n S Sa a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭；②当1018n ≤≤，*N n ∈时，0n a >，0nS <，故0nnS a <，10maxnS S =，10minna a =，1010min n n S Sa a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭；③当19n =时，19190S a >且1918181919191911S S S a a a a +==+<，989899911S S a S a a a +==+>，故199199S S a a <；综上所述：181912121819,,,,S S S S a a a a ⋅⋅⋅中，最大项和最小项分别为910910,S S a a .故选：B.8. 已知函数()()0y f x x =≠满足()()()1f xy f x f y =+-，当1x >时，()1f x <，则（ ）A. ()f x 奇函数B. 若()211f x +>，则10x -<<C. 若()122f =，则()10244f =- D. 若122f ⎛⎫=⎪⎝⎭，则1101024f ⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】根据赋值法可得()11f =，()11f -=，进而可得()()f x f x -=，即可判断A ，根据函数单调性的定义可判断()()0y f x x =≠在()0,∞+上为减函数，即可求解B ，代值逐步求解即可判断CD.【详解】令1x =，1y =-，()()()1111f f f -=+--，所以()11f =；令=1x -，1y =-，()()()1111f f f =-+--则()11f -=．令1y =-，得()()f x f x -=，故()()0y f x x =≠为偶函数．A 错误，任取1x ，()20,x ∈+∞，12x x <，则211x x >，则()()()221111x f x f x f f x x ⎛⎫=+-< ⎪⎝⎭，故()()0y f x x =≠在()0,∞+上为减函数．由已知()211f x +>，可得()()211f x f +>，故211x +<，解得10x -<<，且12x ≠-．B 错误，若()122f =，则()()()()()1091024222110294f f f f f ==+-=-=-，C 正确，若122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则21121322f f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，421121522f f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，5511116222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以511211110242f f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 错误，故选：C ．二、多项选择题：9. 已知在一次数学测验中，某校1000学生的成绩服从正态分布(100,100)N ，其中90分为及格线，120分为优秀线，则对于该校学生成绩，下列说法正确的有(参考数据：①()0.6827P X μσμσ-<≤+=；②(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=；③(33)0.9973.)P X μσμσ-<≤+=（ ）A. 标准差为100B. 及格率超过86%为C. 得分在(]70,130内的人数约为997D. 得分低于80的人数和优秀的人数大致相等【答案】CD 【解析】【分析】利用正态分布中两个量μ和σ的意义，以及曲线的对称性即可判断各选项正误.【详解】由题意知，2100100μσ==，，A 10=，故A 错误；B ：(1001010010)(90110)0.6827P X P X -<≤+=<≤=，()190[1(90110)]0.158652P X P X <=-<≤=，()901(90)0.841350.8686%P X P X ≥=-<=<=，故B 错误；C ：(1003010030)(70130)0.9973P X P X -<≤+=<≤=，10000.9973997∴⨯≈人，故C 正确；D ：(1002010020)(80120)0.9545P X P X -<≤+=<≤=，因为成绩服从标准正态分布，()()180120[1(80120)]0.022752P X P X P X ∴<=≥=-<≤=，故D 正确.故选：CD10. 已知函数()()()20)f x a x a x b a =--≠（的极大值点为x a =，则（）A. 22a b <B. 2a ab<C. 若12()()0f x f x ''==，则12+0x x >D. 若12()()0f x f x ''==，则120x x >【答案】ABD 【解析】【分析】求得导函数()()()32f x a x a x b a '=---，令()0f x '=，x a =或23b ax +=由极大值点为x a =，讨论0,0a a ><得出,a b 关系，依次判断各选项即可得出结果.【详解】 ()()()20)f x a x a x b a =--≠（,∴()()()()()()2232f x a x a x b a x a a x a x b a '=--+-=---,令()0f x '=，x a =或23b a x +=,由题意可知，23b aa +≠. 函数()()()20)f x a x a x b a =--≠（的极大值点为x a =，∴023a b a a >⎧⎪+⎨>⎪⎩或023a b aa <⎧⎪+⎨<⎪⎩.即0b a >>或0b a <<.所以22a b <，A 正确，2a ab <，B 正确，12224+33b a b ax x a ++=+=，0b a >>时，12+0x x >正确，0b a <<时12+0x x >错误，则C 错误，12230x b a x a +⋅>=，D 正确.故选：ABD.11. 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，点E 、F 、G 分别在棱11D A 、11D C 、1A A 上，满足11111114D E D F D A D C ==，11(0)A GA Aλλ=>，记平面EFG 与平面11A B CD 的交线为l ，则（ ）A. 存在(0,1)λ∈使得平面EFG 截正方体所得截面图形为四边形B. 当34λ=时，三棱锥B EFG -体积为32C. 当34λ=时，三棱锥1A EFG -的外接球表面积为34πD. 当12λ=时，直线l 与平面ABCD【答案】BD 【解析】【分析】对于A ，对λ分情况讨论，图形展示即可；对于B ， 当34λ=时，1111134A G A E A A A D ==，得出1//C B 平面 EFG ，利用等体积可求体积；对于C ，当34λ=时，三棱锥1A EFG -的外接球心在过线段EG 的中点，且垂直于平面11A D DA 的直线上，可求出r =，得表面积；对于D ，求出l 的方向向量与平面ABCD 法向量，利用向量公式可得答案.【详解】设正方体的棱长为4，以D 为原点，以DA 、DC 、1DD 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示：对于A 选项，1λ=时，G 在A 点，11111114D E D F D A D C ==，由11//EF A C 可知//EF AC ，所以截面EFG 即为四边形EFCA ；(0,1)λ∈由图形知，截面EFG 为五边形或六边形．故A 错误．对于B 选项，当34λ=时，1111134A G A E A A A D ==，所以11////EG D A C B ，所以1//C B 平面EFG ，11B EFG C EFG G C EF V V V ---==，又1GA ⊥平面1EFC ，所以11111133133322G C EF C EF V S GA -⎛⎫=⋅=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭△，三棱锥B EFG -体积为32，故B 正确．对于C 选项，当34λ=时，11A G A E =且11A B ⊥平面1A EG ，所以根据球的性质容易判断，三棱锥1A EFG -的外接球的球心在过线段EG的中点，且垂直于平面11A D DA 的直线上，(1,0,4)E ，(4,0,1)G ，所以EG 的中点55,0,22M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，可记球心55,,22O t ⎛⎫⎪⎝⎭，(0,1,4)F ，外接球的半径r OE OF ====52=t，r =，所以三棱锥1A EFG -的外接球表面积为43π，故C 错误．对于D 选项，当12λ=时，(4,4,0)B ，1(0,4,4)C ，(4,0,2)G ，(1,0,4)E ，(0,1,4)F ，所以1(4,0,4)BC =- ，(3,0,2)GE =- ，(1,1,0)EF =- ，设平面EFG 的一个法向量为()111,,p x y z =，则1111320p GE x z p EF x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令12x =，则12y =，13z =，所以可取(2,2,3)p = ，由1⊥BC 平面11A B CD 知，平面11A B CD 的法向量为1(4,0,4)BC =-，记平面EFG 与平面11A B CD 的交线l 的一个方向向量为()222,,m x y z =，则2221222230440m p x y z p BC x z ⋅=++=⎧⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令22x =，则25y =-，22z =，所以可取(2,5,2)m =- ，又平面ABCD 的法向量为(0,0,1)n =，则2m n ⋅=r r，m =，1n =，设l 与平面ABCD 所成的角为θ，则sin cos ,m n m n m n θ⋅=〈〉===D 正确．故选：BD ．三、填空题：12. 若曲线2y ax =与ln y x =有一条斜率为2的公切线，则a =___________.【答案】1ln 2e【解析】【分析】根据导数的几何意义以及切线方程的求解方法求解.【详解】设公切线在曲线2y ax =与ln y x =上的切点分别为1122()A x y B x y ,,(,)，由ln y x =可得1y x '=，所以212x =，解得212x =，所以22ln ln 2y x ==-,则1(,ln 2)2B -，所以切线方程为1ln 22(2y x +=-，又由2y ax =，可得2y ax '=，所以122ax =，即11ax =，所以2111y ax x ==，又因为切点11(,)A x y ，也即11(,)A x x 在切线1ln 22()2y x +=-上，所以111ln 22()2x x +=-，解得1ln 21x =+，所以1111ln 21ln 2e a x ===+.故答案为:1ln 2e.13. 在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足cos cos 2cos b C c B a A +=，若ABC V的中线AD =，且4b c +=，则ABC V 的面积为_________.【解析】【分析】利用正弦边角关系及和角正弦公式、三角形内角性质整理化简可得π3A =，再由2AD AB AC =+ 及向量数量积运算律求得4bc =，最后应用面积公式求面积.【详解】由cos cos 2cos b C c B a A +=，得sin cos sin cos 2sin cos B C C B A A +=，即sin()sin 2sin cos B C A A A +==，因为sin 0A ≠，所以1cos 2A =，因为()0,πA ∈，所以π3A =，由2AD AB AC =+ ，两边平方()2221216b c bc b c bc bc =++=+-=-，所以4bc =，则1sin 2ABC bc S A == .14. 已知函数()223,0ln ,0x x x f x x x ⎧++≤=⎨>⎩，若存在实数1x ，2x ，3x 且123x x x <<，使得()()()123===f x f x f x a ，则()3123ln x x x x ++的最大值为______.【答案】3e【解析】【分析】根据题意作出函数y =f (x )的图象，依题意可得23a <≤，此时23123210e e x x x -≤<-<≤<<≤，且122x x +=-，故()3123ln x x x x ++可化简为()2e aa -+，利用导数研究其单调性进而可得其最值.【详解】根据题意作出函数y =f (x )的图象，如图所示，令2y =，解得1x =-或2e x =，令3y =，解得2x =-或0x =或3e x =，由题意可知：y a =与y =f (x )有三个交点，则23a <≤，此时23123210e e x x x -≤<-<≤<<≤，且122x x +=-，所以()()3123ln 2e ax x x x a ++=-+，令()()()2e23ag a a a =-+<≤，则()()1e 0ag a a =-+>'恒成立，所以()g a 在(]2,3单增，()g a 的最大值为()33e g =，即()3123ln x x x x ++的最大值为3e .四、解答题：15. 古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积等于圆周率π与椭圆的长半轴长、短半轴长的乘积.已知椭圆M 的中心为坐标原点，焦点1F ，2F 均在x 轴上，面积为2π，点⎛ ⎝在椭圆M 上.（1）求椭圆M 的标准方程；（2）经过点()1,0P -的直线l 与曲线M 交于A ，B 两点，OAB △与椭圆M 的面积比为25π，求直线l 的方程.【答案】（1）2214x y +=（2）10x y -+=或10x y ++=【解析】【分析】（1）由题意可得22π2π3,141ab a b =⎧⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解方程即可求出,a b ，即可求出椭圆M 的标准方程；（2）对直线l 的斜率是否存在进行讨论，当直线斜率存在时，通过将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理结合三角形的面积公式求解直线l 的斜率，进而得出直线方程.【小问1详解】设椭圆M 的方程为：22221(0)x y a b a b+=>>，因为椭圆的面积为2π，点⎛ ⎝在椭圆M 上.所以22π2π3,141ab a b =⎧⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得：2,1a b ==，所以椭圆M 的标准方程为：2214x y +=.【小问2详解】因为经过点()1,0P -的直线l 与曲线M 交于A ，B 两点，当直线l的斜率不存在时，,1,A B ⎛⎛-- ⎝⎝，此时112OAB S =⨯= ，因为OAB △与椭圆M 的面积比为25π25π≠，即直线斜率存在；不妨设直线l 的方程为()1y k x =+，联立()22114y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，消去y 并整理可得：()2222418440k x k x k +++-=，不妨设()()1122,,,A x y B x y ，则2121222844,1414k k x x x x k k--+=⋅=++，因为()()()1212122211214ky y k x k x k x x k k +=+++=++=+，()()()22121212122311114k y y k x k x k x x x x k-⋅=+⋅+=+++=+，所以12112OAB S y y =⨯⨯-==因为OAB △与椭圆M 的面积比为25π，2=5π，化简为424234168125k k k k +=++，即4211740k k --=，即()()2211710k k+-=，解得：1k =±，所以直线l 的方程为1y x =+或=1y x --，所以直线l 的方程为10x y -+=或10x y ++=.16. 在某地区进行高中学生每周户外运动调查，随机调查了1000名高中学生户外运动的时间（单位：小时），得到如下样本数据的频率分布直方图.（1）求a 的值，估计该地区高中学生每周户外运动的平均时间；（同一组数据用该区间的中点值作代表）（2）为进一步了解这1000名高中学生户外运动的时间分配，在(]14,16，(]16,18两组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了5人，现从这5人中随机抽取3人进行访谈，记在(]14,16内的人数为X ，求X 的分布列和期望；（3）以频率估计概率，从该地区的高中学生中随机抽取8名学生，用“()8P k ”表示这8名学生中恰有k 名学生户外运动时间在(]8,10内的概率，当()8P k 最大时，求k 的值.【答案】（1）0.1a =，平均时间为9.16小时 （2）分布列见解析，期望()125E X = （3）2k =【解析】【分析】（1）根据频率和为1，可得a ，再根据平均数公式直接计算平均数即可；（2）分别计算时间在(]14,16，(]16,18的频数，结合分层抽样可得两组分别抽取人，根据超几何分布的概率公式分别计算概率，可得分布列与期望；（3）根据频率分布直方图可知运动时间在(]8,10内的频率，根据二项分布的概率公式可得()8P k ，根据最值可列不等式，解不等式即可.【小问1详解】由已知()20.020.030.050.050.150.050.040.011a ++++++++=，解得0.1a =，所以平均数为10.0430.0650.170.190.3⨯+⨯+⨯+⨯+⨯110.2130.1150.081706290.1.+++⨯=⨯+⨯⨯.【小问2详解】这1000名高中学生户外运动时间分配，在(]14,16，(]16,18两组内的学生分别有10000.0880⨯=人，和10000.0220⨯=人；所以根据分层抽样可知5人中在(]14,16的人数为80548020⨯=+人，在(]16,18内的人数为541-=人，所以随机变量X 的可能取值有2，3，所以()2435C 32C 5P X ===，()3435C 23C 5P X ===，则分布列为X 23的P3525期望()321223555E X =⨯+⨯=；【小问3详解】由频率分布直方图可知运动时间在(]8,10内的频率为30.1520.310⨯==，则()888883337C 1C 10101010kkkkk k P k --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-=⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，若()8P k 为最大值，则()()()()888811P k P k P k P k ⎧≥+⎪⎨≥-⎪⎩，即8171888191883737C C 101010103737C C 10101010k k k kk k k k k kk k -+-+----⎧⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅≥⋅⋅⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⋅⋅≥⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩，即1713810110131710910k k k k ⎧⋅≥⋅⎪⎪-+⎨⎪⋅≥⋅⎪-⎩，解得1.7 2.7k ≤≤，又N k ∈，且08k ≤≤，则2k =.17. 记ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()()sin sin sin sin C A B B C A -=-．（1）求A 取值的范围；（2）若2a =，求ABC V 周长的最大值；（3）若2,2b A B ==，求ABC V 的面积．【答案】（1）π(0,]3A ∈； （2）6； （3）2.【解析】【分析】（1）根据题意利用正弦定理结合三角恒等变换分析可得2cos 2a A bc=，在利用余弦定理结合基本不等式分析运算即可；（2）由（1）可得22228b c a +==，结合基本不等式分析运算；（3）根据题意结合正弦定理可求得,,A B C ，利用正弦定理以及面积公式分析运算.【小问1详解】由题设sin (sin cos cos sin )sin (sin cos cos sin )C A B A B B C A C A -=-，所以sin sin cos sin cos sin sin sin cos sin cos sin C A B C A B B C A B C A -=-，sin (sin cos sin cos )sin sin()2sin sin cos A C B B C A B C B C A +=+=，又πA B C ++=，则2sin 2sin sin cos A B C A =，根据正弦边角关系，易得22cos a bc A =，则2cos 2a A bc=，又222cos 2b c a A bc+-=，则22222b c a bc +=≥，当且仅当b c =时取等号，所以21cos 22a A bc =≥，结合(0,π)A ∈，可得π(0,]3A ∈；【小问2详解】由（1）有22228b c a +==，又222()2b c b c bc +=+-，又222222b c a bc a bc +=≥⇒≥，则222()2()2b c bc b c a +-≥+-，所以228()8()164b c b c b c ≥+-⇒+≤⇒+≤，当且仅当2b c ==取等号，所以ABC V 周长的最大值6.【小问3详解】由2A B =，且()()sin sin sin sin C A B B C A -=-，所以()sin sin sin sin C B B C A =-，而sin 0B ≠，则()sin sin C C A =-，由,(0,π)A C ∈，显然C C A ≠-，故πC C A +-=，即π2AC +=，结合πA B C ++=，可得ππ5π,,488A B C ===，由2b =，而ππ2sin()sin 228ππsin sin sin sin tan 88c b b C c C B B +=⇒===，由2π2tan π8tan 1π41tan 8==-，整理得2ππtan 2tan 1088+-=，可得πtan 18=-（负值舍），所以1)c ==+，故11sin 21)222ABC S bc A ==⨯⨯+=+ 18. 如图，正方形AMDE 的边长为2，B ，C 分别为AM ，MD 的中点.在五棱锥P ABCDE -中，F 为棱PE 上一点，平面ABF 与棱PD ，PC 分别交于点G ，H .（1）求证：AB FG ∥；（2）若PA ⊥底面ABCDE ，且PA AE =，直线BC 与平面ABF 所成角为π6.（i ）确定点F 位置，并说明理由；（ii ）求线段PH 的长.【答案】（1）证明见解析（2）（i ）F 为PE 中点；理由见解析（ii ）2.【解析】【分析】（1）先由线面平行的判定定理证明//AB 平面PDE ，再由性质定理得到；（2）（i ）建立如图所示坐标系，求出平面ABF 的一个法向量，代入空间线面角的向量公式求解即可；（ii ）设点H 的坐标为(),,u v w ，由向量共线可设()01PH PC λλ=<<可得到2,,22u v w λλλ===-，再根据0n AH ⋅= 求出λ，最后计算模长即可.【小问1详解】在正方形AMDE 中，//AB DE ，又AB ⊄平面,PDE DE ⊂平面PDE ，所以//AB 平面PDE ，又AB ⊂平面ABFG ，平面ABFG ⋂平面PDE FG =，则AB FG ∥；【小问2详解】（i ）当F 为PE 中点时，有直线BC 与平面ABF 所成角为π6，证明如下：由PA ⊥平面ABCDE ，可得,,PA AB PA AE ⊥⊥建立空间直角坐标系A xyz -，如图所示：的则()()()()0,0,0,1,0,0,2,1,0,0,0,2A B C P ，又F 为PE 中点，则()()()()0,1,1,1,1,0,1,0,0,0,1,1F BC AB AF ===，设平面ABF 的一个法向量为n =(x,y,z )，则有0n AB n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00x y z =⎧⎨+=⎩，令1z =，则1y =-，则平面ABF 的一个法向量为()0,1,1n =-，设直线BC 与平面ABF 所成角为α，则||1sin |cos ,|2||||n BC n BC n BC α⋅=<>===，故当F 为PE 中点时，直线BC 与平面ABF 所成角的大小为π6.（ii ）设点H 的坐标为(),,u v w ，因为点H 在棱PC 上，所以可设()01PH PC λλ=<<，即()(),,22,1,2u v w λ-=-，所以2,,22u v w λλλ===-，因为()0,1,1n =-是平面ABFGH 的法向量，所以0n AH ⋅= ，即()()0,1,12,,220λλλ-⋅-=，解得23λ=，故422,,333H ⎛⎫⎪⎝⎭，则424,,333PH ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以2PH ==.19. 已知数列{}n a 的前n 项和()()113n n S a n *=-∈N ．若1423log n n b a +=，且数列{}nc 满足n n n c a b =⋅．（1）求证：数列{}n b 是等差数列；（2）求证：数列{}n c 的前n 项和23n T <；（3）若()2114n c t t ≤+-对一切n *∈N 恒成立，求实数t 的取值范围．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析 （3）(][),21,-∞-+∞ 【解析】【分析】（1）由n S 与n a 的关系，仿写作差后求出数列{}n a 的通项，再代入所给方程求出数列{}n b 的通项即可；（2）等差与等比数列相乘求和，采用错位相减法，乘以等比数列的公比，再求和即可；（3）先证明数列n c 为递减数列，求出最大值，再解一元二次不等式求解即可；【小问1详解】由题意知1133n n S a =-，当2n ≥时，111133n n n n n a S S a a --=-=-，所以114n n a a -=．当1n =时，1111133S a a =-=，所以114a =，所以数列{}n a 是以14为首项，14为公比的等比数列，所以()14nn a n *⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭N ．因为1423log n n b a +=，所以114413log 23log 2324nn n b a n ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭，所以11b =，令()11n b b n d =+-，可得3d =，所以数列{}n b 是以1为首项，3为公差的等差数列．【小问2详解】由（1）知()1324nn n n c a b n ⎛⎫=⋅=⨯- ⎪⎝⎭，所以()()211211111435324444n n n n T c c c n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=⨯+⨯++⨯-+⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，所以()()2311111114353244444n n n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯++⨯-+⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，两式相减，可得()231311111133332444444n n n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++⨯-⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()21111114411113233214424414n n n n n n -++⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+⨯-⨯-=-- ⎪⎝⎭-，所以2321334n n n T +⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭，所以23n T <．【小问3详解】若()2114n c t t ≤+-对一切n *∈N 恒成立，只需要n c 的最大值小于或等于()2114t t +-．因为()()111119931320444n nn n n n c c n n +++-⎛⎫⎛⎫-=+⨯-+⨯=≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1234c c c c =>>> ，所以数列{}n c 的最大项为1c 和2c ，且1214c c ==．所以()211144t t ≤+-，即220t t +-≥，解得1t ≥或2t ≤-，即实数t 的取值范围是(][),21,-∞-+∞ ．。

第一中学2021届高三数学12月月考试题 理〔含解析〕本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写； 出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。

第一卷一、选择题：本大题一一共12个小题．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的．1.集合{}{}240,8M x x x N x m x =->=<<，假设{}6M N x x n ⋂=<<，那么m n +=〔 〕 A. 10 B. 12C. 14D. 16【答案】C 【解析】∵{}{}240{|04},8M x x x x x x N x m x =->==<<或,且{}6M N x x n ⋂=<<，据此可得6,8,14.m n m n ==∴+=此题选择C 选项. 2.“01x <<〞是“1x x>〞的( ). A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义分别进展判断即可【详解】2111001x x x x x x x->⇔-<⇔<⇔<-或者0<x <1，∵0<x <1⇒x ＜﹣1或者0<x <1，x ＜﹣1或者0<x <1时，不一定推出0<x <1，∴“0<x <1”是“1x x>〞成立的充分不必要条件．应选B ．【点睛】此题主要考察充分条件和必要条件的判断，考察了分式不等式的解法，根据充分条件和必要条件的定义是解决此题的关键．3.在△ABC 中，,AB a AC b ==， M 是AB 的中点，N 是CM 的中点，那么AN =( ) A. 1233a b +, B. 1132a b +C.1124a b D.1142a b + 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量的加减法的三角形法那么与平行四边形法那么将AN 表达出来即可. 【详解】11111()()22242AN AM AC AB AC AB AC =+=+=+,即AN =1142a b + 应选D.【点睛】此题主要考察平面向量的运算法那么,主要是用三角形法那么与平行四边法那么.4.设0a >，0b >，且不等式110ka b a b++≥+恒成立，那么实数k 的最小值等于( ) A. 0 B. 4C. 4-D. 2-【答案】C 【解析】()2110,a b kk a b a b ab+++≥∴≥-+，而()224(a b b aa b aba b+=++≥=时取等号〕，()24a b ab+∴-≤-，∴要使()2a b k ab+≥-恒成立，应有4k ≥-，∴实数k 的最小值等于4-，应选C.5.以下命题正确的个数是( )①命题“∃x 0∈R ，20x ＋1>3x 0”的否认是“∀x ∈R ，x 2＋1≤3x 〞；②“函数f (x )＝cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为π〞是“a ＝1”的必要不充分条件； ③x 2＋2x ≥ax 在x ∈[1,2]上恒成立⇔(x 2＋2x )min ≥(ax )max 在x ∈[1,2]上恒成立； ④“平面向量a 与b 的夹角是钝角〞的充要条件是“a ·b <0”． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B 【解析】易知①正确；因为f (x )＝cos 2ax ，所以2ππ2a=，即a ＝±1，因此②正确；因为x 2＋2x ≥ax 在x ∈[1,2]上恒成立⇒a ≤x ＋2在x ∈[1,2]上恒成立⇒a ≤(x ＋2)min ，x ∈[1,2]，因此③不正确；因为钝角不包含180°，而由a ·b <0得向量夹角包含180°，因此“平面向量a 与b 的夹角是钝角〞的充要条件是“a ·b <0且a 与b 不反向〞，故④不正确．6.函数()f x 满足：()()()f x y f x f y +=⋅并且(1)1f =，那么2222((1))((2))((3))((1010))(1)(3)(5)(2019)f f f f f f f f +++⋅⋅⋅的值是〔 〕 A. 2021 B. 1010C. 4038D. 3030【答案】B 【解析】 【分析】根据()()()f x y f x f y +=⋅，且(1)1f =，令,1x n y ==，可得()()1f n f n +=，求得()()()()123f f f f n ====，即可求解.【详解】由题意，函数满足()()()f x y f x f y +=⋅，且(1)1f =， 令,1x n y ==，可得()()1f n f n +=，即()()()()123f f f f n ====，所以2222222((1))((2))((3))((1010))(1)(2)(1010)1010(1)(3)(5)(2019)f f f f f f f f f f f +++⋅⋅⋅=+++=. 应选B.【点睛】此题主要考察了抽象函数，以及数列的求和的应用，解答中合理赋值，得到()()1f n f n +=是解答的关键，着重考察了分析问题和解答问题的才能，属于根底题. 7.函数21()ln(2)x f x x e -=+-的图象可能是〔 〕A. B. C. D.【答案】B 【解析】 【分析】分析四个图像，从而判断函数的性质，利用排除法求解．【详解】由于函数()f x 的定义域为R ，且在R 上为连续函数，可排除A 答案； 由于1(0)ln 2f e -=-，1ln 2ln2e >=，112e -< ，所以1(0)ln 20f e -=->，可排除C 答案；当x →+∞时，()f x →-∞，故排除D 答案； 故答案选B.【点睛】此题考察了函数的性质的判断与数形结合的思想方向的应用，属于中档题()sin 2y x ϕ=+的图象沿轴向左平移8π个单位后，得到一个偶函数的图象，那么ϕ的一个可能取值为( ) A.B.C. 0D. 4π-【答案】B 【解析】得到的偶函数解析式为sin 2sin 284y x x ππϕϕ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，显然.4πϕ= 【考点定位】此题考察三角函数的图象和性质，要注意三角函数两种变换的区别，sin 24x πϕ⎡⎤⎛⎫++⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦选择适宜的ϕ值通过诱导公式把sin 24x πϕ⎡⎤⎛⎫++⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦转化为余弦函数是考察的最终目的. 9.函数()()()sin 2,0f x A x A φφπ=+≤>的局部图象如下图,那么()f x 〔 〕．A. 在5ππ,1212⎛⎫-⎪⎝⎭上是减函数 B. 在5ππ,1212⎛⎫-⎪⎝⎭上是增函数 C. 在π5π,36⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数 D. 在π5π,36⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数 【答案】B 【解析】 【分析】由图象可求出A,再根据图象过(,0)3π,代入解析式中求出φ,最后根据正弦型函数的单调性选出正确答案.【详解】由图象可知2A =,函数的图象过(,0)3π点,所以有22sin 202()()3333k k Z k k Z ππππφφπφπφπφ⎛⎫⋅+=⇒⋅+=∈⇒=-∈≤∴=⎪⎝⎭,所以()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭.当5ππ,1212x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时, ππ(2),322x π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭,所以()f x 单调递增.当π5π,36x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时, ()(2),23x πππ+∈,函数()f x 不具有单调性.应选：B【点睛】此题考察了利用正弦型函数的图象求函数解析式进而判断函数在区间上单调性,考察了正弦型函数的单调性.考察了数形结合才能. 10.定义在R 上 的函数()22xf x a -=-与函数()222x g x x -=+-的图像有唯一公一共点，那么实数a 的值是〔〕A. 1-B. 0C. 1D. 2【答案】D 【解析】 【分析】 原题等价为22222xx a x ---=+-有一解，即22222x x a x --=++-，令()22222x x g x x --=++-,确定其函数性质即可求解 【详解】()22xf x a -=-与函数()222x g x x -=+-的图像有唯一公一共点，故22222xx a x ---=+-有唯一解，即22222x x a x --=++-有唯一解令()()()2222222xx g x x g x g x --=++--=+，，所以g 〔x 〕关于x=2对称，故a=g(2)=2应选D【点睛】此题考察函数性质及方程的根，准确构造函数判断其对称性是此题关键，是根底题11.在等比数列{}n a 中，21a =，54a =，假设12231n n a a a a a a m +++⋅⋅⋅+<对任意n *∈N 都成立，那么m 的最小值为( ).A.12C. 2D.【答案】D 【解析】 【分析】根据等比数列{}n a 的通项公式解出首项和公比，进而得出{}1n n a a +为等比数列，求出前n 项和，得到其范围．【详解】∵a 2＝1，5a =设数列的公比为q，那么3352a q a ==⎝⎭， 解得q＝2，1a， ∵21112n n n n a a q a a +-==．12a a，∴{}1n n a a +为首项，以12为公比的等比数列，∴122311)12)1212n n n na a a a a a +-++⋅⋅⋅+==-<-∴m ≥m的最小值为 应选D ．【点睛】此题考察了等比数列的定义，通项公式和前n 项和公式，属于中档题． 12.函数()f x 是定义在R 上的函数,且满足()()322f x f x +=,当[)1,1x ∈-时,()21f x x =-+,那么方程()29log 08f x x -=在(]0,5的根的个数为〔 〕． A. 3 B. 4C. 5D. 6【答案】B 【解析】 【分析】先求出函数f 〔x 〕在〔0，5]上的解析式，再在同一坐标系中作出函数f 〔x 〕与函数29y log x 8=在〔0，5]的函数图象，观察图象即可求解【详解】()()()()332222f x f x f x f x +=⇒=-. 当[)1,3x ∈时, ()()2233332=[(2)1](2)2222f x f x x x =---+=--+,当[)3,5x ∈时, ()()223333992[(4)](4)222244f x f x x x =-=--+=--+,在同一坐标系中作出函数f 〔x 〕与函数29y log x 8=在〔0，5]的函数图象如下所示：由图象可知，函数f 〔x 〕与函数29y 10g x 8=在〔0，5]上有4个交点，即方程29()log 08f x x -=在〔0，5]的根的个数为4． 应选：B【点睛】此题考察了用数形结合思想判断方程根的数目问题,根据题目中的等式求出函数的解析式是解题的关键.第二卷二、填空题：将答案填在答题纸上．13.设,x y 满足约束条件21210x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，那么32z x y =-的最小值为__________．【答案】-5 【解析】 【分析】由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案．【详解】由x ，y 满足约束条件2121,0x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩作出可行域如图，由图可知，目的函数的最优解为A ，联立2121x y x y +=⎧⎨+=-⎩，解得A 〔﹣1，1〕．∴z ＝3x ﹣2y 的最小值为﹣3×1﹣2×1＝﹣5． 故答案为﹣5．【点睛】此题考察了简单的线性规划，考察了数形结合的解题思想方法，是中档题．14.对任意的实数x 都有()()()221f x f x f +-=,假设()1y f x =-的图象关于1x =对称,且()02f =,那么()()20192020f f +=______．【答案】2 【解析】 【分析】由()1y f x =-的图象关于1x =对称,可以判断函数()y f x =的对称性,也就能求出()y f x =周期性,这样就可以求出()()20192020f f +的值.【详解】因为()1y f x =-的图象关于1x =对称,所以()y f x =的图象关于0x =对称,也就是说()y f x =是偶函数,令1x =-代入()()()221f x f x f +-=中得, ()1=0f ,因此有 ()()2=f x f x +,所以函数()y f x =的周期为2, ()()()()20192020102f f f f +=+=.故答案为：2【点睛】此题考察了抽象函数的对称性、周期性,属于根底题. 15.数列{}n a ,{}n b ,满足111a b ==,112n n n nb a a b ++-==,n *∈N ，那么数列{}na b 的前10项的和为______．【答案】()101413- 【解析】 【分析】 由112n n n nb a a b ++-==,可以判断出数列{}n a 、{}n b 分别是等差数列和等比数列,这样可以求出它们的通项公式,最后利用等比数列的前n 项的和公式求出数列{}n a b 的前10项的和. 【详解】因为112n n n nb a a b ++-==,所以数列{}n a 是2为公差的等差数列, {}n b 是公比为2的等比数列,又因为111a b ==,所以21n a n =-,12n nb -=,21122222n n a n n a b ---===.所以数列{}n a b 的前10项的和为102418101(14)11222(41)143S ⋅-=++++==--.故答案为：()101413- 【点睛】此题考察了由递推关系确定等差数列和等比数列,考察了等差数列和等比数列的通项公式的求法,考察了等比数列的前n 项的和公式,考察了数学运算才能.16.ABC 是边长为2的等边三角形,P 为平面ABC 内一点，那么()PA PB PC ⋅+的最小值是______． 【答案】32- 【解析】 【分析】建立直角坐标系,求出三角形ABC 各项点的坐标,设出P 的坐标,运用向量坐标表示的加法和数量积运算的公式,化简()PA PB PC ⋅+,配方最后求出最小值.【详解】建立如以下图所示的直角坐标系, (0,3),(1,0),(1,0)A B C -，(,)P x y ,那么有(,3),(1,),(1,)PA x y PB x y PC x y =--=---=--,222233()2232224PA PB PC x y y x y ⎡⎤⎛⎫⎢⎥⋅+=-+=+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦当30,2x y ==,获得最小值33242⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭. 故答案为：32-【点睛】此题考察了数量积的最小值问题,应用平面向量坐标运算、配方法是解题的关键. 三、解答题：解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤．()2sin cos cos 4f x x x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.〔Ⅰ〕求()f x 的单调区间；〔Ⅱ〕在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,假设0,12A f a ⎛⎫==⎪⎝⎭,求ABC ∆面积的最大值. 【答案】〔Ⅰ〕单调递增区间是(),44k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；单调递减区间是()3,44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦〔Ⅱ〕ABC ∆【解析】试题分析：〔Ⅰ〕首先利用二倍角公式化简函数()f x 的解析式，再利用正弦函数的单调性求其单调区间； 〔Ⅱ〕首先由02A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭结合〔Ⅰ〕的结果，确定角A 的值，然后结合余弦定理求出三角形ABC ∆面积的最大值. 试题解析：解：〔Ⅰ〕由题意知()1cos 2sin 2222x x f x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭=-sin 21sin 21sin 2222x x x -=-=- 由222,22k x k k Z ππππ-+≤≤+∈可得,44k x k k Z ππππ-+≤≤+∈由3222,22k x k k Z ππππ+≤≤+∈可得3,44k x k k Z ππππ+≤≤+∈ 所以函数()f x 的单调递增区间是(),44k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦； 单调递减区间是()3,44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦〔Ⅱ〕由1sin 0,22A f A ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭得1sin 2A = 由题意知A为锐角，所以cos A =由余弦定理：2222cos a b c bc A =+-可得：2212b c bc +=+≥即：2bc ≤+当且仅当b c =时等号成立.因此1sin 2bc A ≤所以ABC ∆ 考点：1、诱导公式；2、三角函数的二倍角公式；3、余弦定理；4、根本不等式. 【此处有视频，请去附件查看】18.等差数列{}n a 满足25a =，45313a a a +=+.设正项等比数列{}n b 的前n 项和为n S ，且2481b b =，3S 13=.〔1〕求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；〔2〕设n n n c a b =，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求n T .【答案】〔1〕21n a n =+,13n n b -=〔2〕3nn T n =⋅【解析】 【分析】〔1〕利用根本元的思想将45313a a a +=+表示为只含d 的表达式，由此求得d 的值，再根据等差数列通项公式求得数列{}n a 的通项公式.将2481b b =，3S 13=表示为1,b q 的形式，解方程组求得q 的值，进而求得数列{}n b 的通项公式.〔2〕利用错位相减求和法求得列{}n c 的前n 项和为n T . 【详解】〔1〕设公差为d ，因为25a =，45313a a a +=+， 所以5+2d +5+3d =5+d +13，解得2d =. 又因为25a =，所以2(2)21n a a n d n =+-⋅=+.因为2481b b =，所以2381b =，b =9，即219b q =，①又313S =，所以()311131b q q-=-，即()21113b q q++=，②由①除以②，得()21219131b q b q q =++，化简得24990q q --=，因为0q >，所以3q =，所以3313933n n n n b b q ---==⨯=. 〔2〕因为1(21)3n n n n c a b n -==+⋅， 所以0121335373(21)3n n T n -=⨯+⨯+⨯+++⋅，③1233335373(21)3n n T n =⨯+⨯+⨯+++⋅，④由③减④，得()121232333(21)3n n n T n --=++++-+⋅，所以()1331232(21)32331n n n nT n n ---=+⨯-+⋅=-⋅-.所以3n n T n =⋅.【点睛】本小题主要考察根本元的思想求解等差、等比数列的通项公式，考察错位相减求和法，考察运算求解才能，属于中档题.19.如图,在平面四边形ABCD 中,1AD =,2CD =,7AC =．(1)求cos CAD ∠的值；(2)假设7cos BAD ∠=,21sin CBA ∠=,求BC 的长．【答案】〔1〕77〔2〕3【解析】 【分析】(1) 在ADC 中直接使用余弦定理即可求出cos CAD ∠的值；(2) 设BAC α∠=，那么BAD CAD α=∠-∠．运用同角的三角函数的平方和关系、两角差的正弦公式求出sin α的值,最后运用正弦定理求出BC 的长．【详解】解：(1)在ADC 中,由余弦定理,得22271427cos 2727AC AD CD CAD AC AD +⋅+-∠===⋅． (2)设BAC α∠=，那么BAD CAD α=∠-∠．因为27cos 7CAD ∠=,7cos 14BAD ∠=-,所以222721sin 1cos 177CAD CAD ⎛⎫∠=-∠=-= ⎪ ⎪⎝⎭, 227321sin 1cos 11414BAD BAD ⎛⎫∠=-∠=--= ⎪ ⎪⎝⎭． 于是()sin sin sin cos cos sin BAD CAD BAD CAD BAD CAD α=∠-∠=∠∠-∠∠3212772131471472⎛⎫=⨯--⨯= ⎪ ⎪⎝⎭． 在ABC 中,由正弦定理,得sin sin BC ACCBAα=∠, 故37sin 23sin 214AC BC CBAα⨯⋅===∠． 【点睛】此题考察了正弦定理、余弦定理,考察了同角的三角函数的平方和关系,考察了数学运算才能. 20.函数(R)a ∈.(Ⅰ) 求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ) 当0a >时，求函数()f x 在[1,2]上最小值.【答案】(Ⅰ)见解析；(Ⅱ)当0ln 2a <<时，函数()f x 的最小值是min ()x f a =-；当ln 2a ≥时，函数()f x 的最小值是min ()ln 22f x a =- 【解析】 【分析】〔1〕求出导函数，并且解出它的零点x=，再分区间讨论导数的正负，即可得到函数f 〔x 〕的单调区间； 〔2〕分三种情况加以讨论，结合函数的单调性与函数值的大小比拟，即可得到当0＜a ＜ln 2时，函数f 〔x 〕的最小值是-a ；当a≥ln2时，函数f 〔x 〕的最小值是ln2-2a ． 【详解】(1)函数()f x 的定义域 为(0,)+∞．11()'-=-=axf x a x x因为0a >，令1()0f x a x ，可得1x a=； 当10x a <<时，1()0ax f x x '-=>；当1x a>时，1()0ax f x x '-=<， 综上所述：可知函数()f x 的单调递增区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭(2)()i 当101a<≤，即1a ≥时，函数()f x 在区间[1,2]上是减函数， ()f x ∴的最小值是(2)ln 22f a =-()ii 当12a≥，即102a <≤时，函数()f x 在区间[1,2]上是增函数，()f x ∴的最小值是(1)f a =-()iii 当112a<<，即112a <<时，函数()f x 在11,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数，在1,2a ⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数． 又(2)(1)ln 2f f a -=-，∴当1ln 22a <<时，()f x 的最小值是(1)f a =-； 当ln 21a <<时，()f x 的最小值为(2)ln 22f a =-综上所述，结论为当0ln 2a <<时，函数()f x 的最小值是min ()x f a =-； 当ln 2a ≥时，函数()f x 的最小值是min ()ln 22f x a =-.【点睛】求函数()f x 极值与最值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数()f x '；(3) 解方程()0,f x '=求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查()f x '在()0f x '=的根0x 左右两侧值的符号，假如左正右负〔左增右减〕，那么()f x 在0x 处取极大值，假如左负右正〔左减右增〕，那么()f x 在0x 处取极小值. 〔5〕假如只有一个极值点，那么在该处即是极值也是最值；〔6〕假如求闭区间上的最值还需要比拟端点值的函数值与极值的大小21.点11,3⎛⎫⎪⎝⎭是函数()xf x a =〔0a >且1a ≠〕的图象上一点,等比数列{}n a 的前n 项和为()f n c -,数列{}()0n n b b >的首项为c ,且前n 项和n S满足)12n n S S n --=≥．(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； (2)假设数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和为n T ,问使得10002015nT >成立的最小正整数n 是多少？ 【答案】(1)123nn a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,n *∈N ．()21n b n n N *=-∈；(2)最小正整数为67．【解析】 【分析】(1)把点的坐标代入函数解析式中,求出函数的解析式,根据等比数列{}n a 的前n 项和为()f n c -,数列{}()0n n b b >的首项为c ,可以求出数列{}n a 的通项公式,再利用)12n n S S n --=≥这个递推公式,可以求出的通项公式,进而可以求出{}n b 的通项公式；(2)利用裂项相消法求出n T ,最后根据10002015n T >，求出最小正整数n 的值. 【详解】解：(1)∵()113f a ==,∴()13xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭()1113a f c c =-=-,()()22219a f c f c =---=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦,()()323227a f c f c =---=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦． 数列{}n a 成等比数列，22134218123327a a c a ===-=--,所以1c =．公比2113a q a ==,所以12112333n nn a -⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,n *∈N ．∵)12n n S S n --==≥又0n b >0>1=．数列构成一个首相为1公差为1的等差数列()111n n =+-⨯=，2n S n = ，当2n ≥,()221121n n n b S S n n n -=-=--=-， ∴()21n b n n *=-∈N ．(2)()()1223341111111111335572121n n n T b b b b b b b b n n +=++++=++++⨯⨯⨯-⨯+1111111111112323525722121n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11122121n n n ⎛⎫=-=⎪++⎝⎭． 由1000212015n n T n =>+得100015n >,满足10002015n T >的最小正整数为67． 【点睛】此题考察了利用递推公式求等差数列,利用裂项相消法求数列前n 项和,考察了利用前n 项和求通项公式.22.函数()2ln 2f x x x ax x =-+，a ∈R ．〔Ⅰ〕假设()f x 在()0,∞+内单调递减，务实数a 的取值范围； 〔Ⅱ〕假设函数()f x 有两个极值点分别为1x ，2x ，证明：1212x x a+>． 【答案】〔Ⅰ〕e ,4a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭〔Ⅱ〕见证明 【解析】 【分析】〔I 〕先求得函数的导数，根据函数在()0,∞+上的单调性列不等式，别离常数a 后利用构造函数法求得a 的取值范围.〔II 〕将极值点12,x x 代入导函数列方程组，将所要证明的不等式转化为证明12112221ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭>+，利用构造函数法证得上述不等式成立. 【详解】〔I 〕()ln 24f x x ax +'=-． ∴()f x 在()0,∞+内单调递减，∴()ln 240f x x ax =+-≤在()0,∞+内恒成立，即ln 24x a x x ≥+在()0,∞+内恒成立． 令()ln 2x g x x x =+，那么()21ln xg x x --'=， ∴当10e x <<时，()0g x '>，即()g x 在10,e ⎛⎫⎪⎝⎭内为增函数；当1x e >时，()0g x '<，即()g x 在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内为减函数． ∴()g x 的最大值为1g e e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴e,4a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭〔Ⅱ〕假设函数()f x 有两个极值点分别为1x ，2x ， 那么()ln 240f x x ax =+-='在()0,∞+内有两根1x ，2x ， 由〔I 〕，知e04a <<． 由1122ln 240ln 240x ax x ax +-=⎧⎨+-=⎩，两式相减，得()1212ln ln 4x x a x x -=-．不妨设120x x <<， ∴要证明1212x x a +>，只需证明()()121212142ln ln x x a x x a x x +<--．即证明()1212122ln ln x x x x x x ->-+，亦即证明12112221ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭>+． 令函数．∴22(1)'()0(1)x h x x x --=≤+，即函数()h x 在(]0,1内单调递减． ∴()0,1x ∈时，有()()10h x h >=，∴2(1)ln 1x x x ->+． 即不等式12112221ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭>+成立． 综上，得1212x x a+>． 【点睛】本小题主要考察根据函数的单调性求参数，考察利用导数研究函数极值点问题，考察利用导数证明不等式，考察利用构造函数法证明不等式，难度较大，属于难题.本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写； 出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。

一、教学目标本次高三数学试卷讲评课的教学目标如下：1. 帮助学生总结本次考试中的优点和不足，提高学生分析问题和解决问题的能力。

2. 通过讲解典型题目，让学生掌握解题思路和方法，提高解题技巧。

3. 激发学生的学习兴趣，培养学生的自主学习能力。

二、教学过程1. 复习考试情况首先，教师带领学生回顾本次考试的总体情况，包括各题型的得分率、班级平均分等。

然后，针对不同题型，分析学生在解题过程中存在的问题。

2. 分析典型题目教师选取几道具有代表性的题目进行讲解，包括选择题、填空题和解答题。

在讲解过程中，注重以下几点：（1）分析题目的解题思路，引导学生掌握解题方法。

（2）针对学生的易错点，讲解解题技巧和注意事项。

（3）强调数学思想和方法在解题过程中的应用。

3. 学生互动在讲解过程中，鼓励学生积极参与，提出自己的疑问。

教师针对学生的提问进行解答，并对学生的表现给予肯定和鼓励。

4. 总结归纳教师总结本次考试中的优点和不足，强调学生在今后的学习中应注重以下几点：（1）加强基础知识的学习，提高解题速度。

（2）注重解题方法的积累，提高解题技巧。

（3）培养良好的学习习惯，提高自主学习能力。

三、教学效果1. 学生对本次考试中的问题有了更深入的了解，明确了今后的学习方向。

2. 学生掌握了典型题目的解题思路和方法，提高了解题技巧。

3. 学生在课堂上积极参与，提出了许多有价值的问题，体现了良好的学习氛围。

四、改进措施1. 在今后的教学中，教师应注重培养学生的数学思维能力，提高学生的解题能力。

2. 教师应关注学生的个体差异，针对不同学生的学习情况，进行有针对性的辅导。

3. 教师应加强与学生的沟通交流，了解学生的学习需求，提高教学效果。

总之，本次高三数学试卷讲评课取得了较好的教学效果。

在今后的教学中，教师将继续努力，不断提高教学质量，为学生的高考备考提供有力保障。

八中东校12月份月考高三试题理科数学制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日第一卷〔60分〕一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的．1.在复平面上满足条件的复数z所对应的点的轨迹是( )A. 椭圆B. 直线C. 线段D. 圆【答案】C【解析】设〔〕，由，得，所以，即点到两点和的间隔和为，所以复数在复平面上对应点的轨迹为线段，应选C.2.假设集合( )A. B. C. D.【答案】C【解析】应选C分析：由集合A和B的取值范围，找出它们的公一共局部，就得到集合A∩B．解答：解：∵A={x|-1≤x≤1}，B=∴A∩B═{x|-1≤x≤1}∩="{x|0≤x≤1" }．故答案为：C点评：此题考察交集的运算，解题时要认真审题，注意公式的合理运用．3.某同学用搜集到的6组数据对(其中)制作成如下图的散点图(点旁的数据为该点坐标)，并由最小二乘法计算得到回归直线l的方程为，相关系数为r．现给出以下3个结论：( )①r>0；②直线l恰好过点D．③>1；其中正确结论是A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③【答案】A【解析】由图可知这些点分布在一条斜率大于零的直线附近，所以为正相关，即相关系数因为所以回归直线的方程必过点，即直线恰好过点；因为直线斜率接近于AD斜率，而，所以③错误，综上正确结论是①②，选A.4.数列的前n项之和为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】通过题干条件得到数列是由一个等差和一个等比数列构成的，故按照各自的求和公式进展分组求和即可.【详解】数列的通项为：，求和可以分为一个等差数列，首项为2，公差为1，和一个等比数列，首项为，公比为，将两个数列分别求和，=化简得到.故答案为：C.【点睛】这个题目考察了等差数列和等比数列的求和公式的应用，也考察了分组求和的方法，较根底. 数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等。