最新高三上学期第二次月考(12月)数学(理)试题(2)

HY 中学2021届高三数学上学期12月月考试题 理〔含解析〕制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日一. 选择题：(本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的，将正确答案选项涂在答题卡上) 1.集合{}{}11324x A x x B x ，+=-≤=≥，那么A B =〔 〕A. []02，B. ()13，C. []14， D.[)2-+∞，【答案】D 【解析】 【分析】解不等式313x -≤-≤可得集合A ，解1222x +≥可得集合B ，进而得到集合A,B 的并集． 【详解】由题得{}|24A x x =-≤≤，{}|1B x x =≤，那么有{}|2A B x x ⋃=≥-，应选D ．【点睛】此题考察求集合的并集，属于根底题． 2.设i 是虚数单位，假设复数1z ii=+，那么z 的一共轭复数为〔 〕 A. 11i 22+ B. 11i 2+C. 11i 2-D. 11i 22-【答案】D 【解析】 复数1i z i =+12i += ，根据一共轭复数的概念得到，一共轭复数为：1122i -． 故答案为D ．3.以下命题正确的选项是〔 〕 A. 假设>a b ，那么11a b< B. 假设>a b ，那么22a b > C. 假设>a b ，c d <，那么>a c b d -- D. 假设>a b ，>c d ，那么>ac bd【答案】C 【解析】 【分析】对每一个选项进展判断，选出正确之答案. 【详解】A.假设>a b ，那么11a b<，取1,1a b ==- 不成立 B.假设>a b ，那么22a b >，取0,1a b ==- 不成立 C. 假设>a b ，c d <，那么>a c b d --，正确D. 假设>a b ，>c d ，那么>ac bd ，取1,1,1,2a b c d ==-==- 不成立 故答案选C【点睛】此题考察了不等式的性质，找出反例是解题的关键.4.在ABC ∆中，P 为线段AB 上一点，且3BP PA =，假设CP xCA yCB =+，那么2x y +=〔 〕A.94B.74C.54D.34【答案】C 【解析】 【分析】首先CP CB BP =+，由条件可知34BP BA =，再有BA CA CB =-，这样可用,CA CB 表示出CP ．【详解】∵3BP PA =，∴34BP BA =， CP CB BP =+=3331()4444CB BA CB CA CB CA CB +=+-=+xCA yCB =+， ∴31,44x y ==，∴524x y +=． 应选C ．【点睛】此题考察平面向量根本定理，解题时用向量加减法表示出CP ，然后用基底,CA CB 表示即可．5.某几何体的三视图如下图，那么该几何体的外表积为〔 〕A. 34π+B. 942π+C. 42π+D.1142π+ 【答案】B 【解析】 【分析】由中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的四分之三圆柱，累加各个面的面积， 可得答案．【详解】由中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的四分之三圆柱， 其底面半径为1，高为2，故其外表积：2339212122214442S πππ=⨯⨯+⨯+⨯⨯=+， 应选B ．【点睛】此题考察的知识点是圆柱的体积和外表积，简单几何体的三视图，难度不大，属于根底题．6.向量(1,2)a =-，(1,)b m =，那么“12m <〞是,a b 为钝角的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】由充分条件与必要条件的概念，以及向量的夹角公式，即可得出结果.【详解】因为(1,2)a =-，(1,)b m =，所以12a b m ⋅=-+，那么2cos ,5a b m a b a b⋅==⋅假设12m <，那么2cos ,05a b m a b a b ⋅==<⋅， 但当2m =-时， ,a b 反向，夹角为180；所以由12m <不能推出,a b 为钝角； 反之，假设,a b 为钝角，那么cos ,0a b <且2m ≠-，即12m <且2m ≠-，能推出12m <；因此，“12m <〞是,a b 为钝角的必要不充分条件.【点睛】此题主要考察充分条件与必要条件的断定，熟记概念即可，属于常考题型.7.设,m n 是两条不同的直线，αβ，是两个不同的平面，那么以下结论正确的选项是〔 〕A. 假设m β⊥，n n βα⊥⊥，，那么m α⊥ B. 假设,m ββα⊥，∥，那么m α⊥C. 假设,m n n α⊥∥，那么m α⊥ D. 假设m n n ββα⊥⊥⊥，，，那么m α⊥【答案】A 【解析】 【分析】根据立体几何有关定理及结论，逐个判断即可．【详解】A 正确：利用“垂直于同一个平面的两条直线平行〞及“两条直线有一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于该平面〞，假设m β⊥且n β⊥，那么//m n ，又n α⊥，所以m α⊥，A 正确；B 错误：假设,m ββα⊥，∥，那么m 不一定垂直于平面α； C 错误：假设,m n n α⊥∥，那么m 可能垂直于平面α，也可能平行于平面α，还可能在平面α内；D 错误：假设m n n ββα⊥⊥⊥，，，那么m 可能在平面α内，也可能平行于平面α，还可能垂直于平面α；【点睛】此题主要考察立体几何中的定理和结论，意在考察学生几何定理掌握纯熟程度． 8.△ABC 的周长为20，且顶点B 〔0，﹣4〕，C 〔0，4〕，那么顶点A 的轨迹方程是〔 〕A. 2213620x y +=〔x≠0〕 B. 2212036x y +=〔x≠0〕C. 221620x y +=〔x≠0〕D. 221206x y +=〔x≠0〕【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的周长和定点，得到点A 到两个定点的间隔 之和等于定值，得到点A 的轨迹是椭圆，椭圆的焦点在y 轴上，写出椭圆的方程，去掉不合题意的点． 【详解】解：∵△ABC 的周长为20，顶点B 〔0，﹣4〕，C 〔0，4〕， ∴BC ＝8，AB +AC ＝20﹣8＝12， ∵12＞8∴点A 到两个定点的间隔 之和等于定值， ∴点A 的轨迹是椭圆， ∵a ＝6，c ＝4 ∴b 2＝20，∴椭圆的方程是()22102036x y x +=≠应选B ．【点睛】此题考察椭圆的定义，注意椭圆的定义中要检验两个线段的大小，看能不能构成椭圆，此题是一个易错题，容易忽略掉不合题意的点．9.斜率为2的直线l 过双曲线2222=1x y a b-(0,0)a b >>的右焦点，且与双曲线的左右两支分别相交，那么双曲线的离心率e 的取值范围是( )A. 2e <B. 13e <<C. 15e <<D. 5e >【答案】D 【解析】 【分析】利用数形结合，根据直线的斜率，求出渐近线的斜率范围，推出,a b 的关系，然后求出离心率的范围．【详解】双曲线的一条渐近线的斜率为b a， 结合图形分析可知， 假设ba小于或者等于2， 那么直线与双曲线的一支相交或者没有交点，不合题意； 所以b a 必大于2，即2ba>， 22222214b c a e a a-==-> 解得双曲线的离心率5e >D ．【点睛】此题主要考察利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率范围，属于中档题.求离心率范围问题，应先将 e 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于e 的不等式，从而求出e 的取值范围.10.试在抛物线2y 4x =-上求一点P ，使其到焦点F 的间隔 与到()A 2,1-的间隔 之和最小，那么该点坐标为( )A. 1,14⎛⎫-⎪⎝⎭B. 1,14⎛⎫⎪⎝⎭C. ()2,22--D.()2,22-【答案】A 【解析】由题意得抛物线的焦点为(1,0)F -，准线方程为:1l x =． 过点P 作PM l ⊥于点M ，由定义可得PM PF =, 所以PA PF PA PM +=+，由图形可得，当,,P A M 三点一共线时，||||PA PM +最小，此时PA l ⊥．故点P 的纵坐标为1，所以横坐标14x =-．即点P 的坐标为1(,1)4-．选A ．点睛：与抛物线有关的最值问题的解题策略该类问题一般解法是利用抛物线的定义，实现由点到点的间隔 与点到直线的间隔 的转化． (1)将抛物线上的点到准线的间隔 转化为该点到焦点的间隔 ，构造出“两点之间线段最短〞，使问题得解；(2)将抛物线上的点到焦点的间隔 转化为点到准线的间隔 ，利用“与直线上所有点的连线中的垂线段最短〞解决． 11.假设函数()()20x f x a x a =>+在[)1,+∞3a 的值是( )1 1【答案】D 【解析】 【分析】 对于函数()()20xf x a x a=>+进展求导，分类讨论，求得函数的单调性和最值，即可求解．【详解】由题意，函数()()20xf x a x a =>+，那么()()222a x f x x a -=+，当1a >时，即x >()()0,f x f x '<单调递减，当1x <<()()0,f x f x '>单调递增，所以当x =()f x 获得最大值23a =，解得314a =<，不合题意；当1a =时，()f x 在[)1,+∞单调递减，所以最大值为()1123f =≠，不成立；当01a <<时，()f x 在[)1,+∞单调递减，此时最大值为()111f a ==+， 解得31a，应选D ．【点睛】此题主要考察了利用求解函数在区间上的最值问题，其中解答中熟记导数与原函数的单调性之间的关系，合理分类讨论求得函数的最值是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于中档试题．12.如图，设椭圆的右顶点为A ，右焦点为F ，B 为椭圆在第二象限上的点，直线BO 交椭圆于C 点，假设直线BF 平分线段AC 于M ，那么椭圆的离心率是〔 〕A.12B.23C.13D.14【答案】C 【解析】 【分析】如图，设AC 中点为M ，连接OM ，那么OM 为△ABC 的中位线，可得△OFA ∽△AFB ，且12OF OM FAAB==，即可得出e ． 【详解】如图，设AC 中点为M ，连接OM ，那么OM 为ABC ∆的中位线，于是OFM AFB ∆∆∽，且12OF OM FAAB==，即12c a c =-，可得13c e a ==． 应选：C【点睛】此题考察了椭圆的HY 方程及其性质、三角形中位线定理、相似三角形的性质，考察了数形结合方法、推理才能与计算才能，属于中档题． 二、填空题：(本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分)13.()f x 是定义域R 上的奇函数,周期为4,且当[0,1]x ∈时,2()log (1)=+f x x ,那么(31)f =_____________.【答案】1-【解析】 【分析】根据题意，由函数的周期性可得f 〔31〕＝f 〔-1〕，结合奇偶性可得f 〔-1〕＝-f 〔1〕，进而结合函数的解析式计算可得答案．【详解】根据题意，y ＝f 〔x 〕的周期为4，那么f 〔31〕＝f 〔-1〕 又由f 〔x 〕是定义域为R 的奇函数，那么f 〔-1〕＝-f 〔1〕， 假设当x ∈[0，1]时，2()log (1)=+f x x ，那么f 〔1〕＝1 那么(31)f =﹣1； 故答案为：﹣1【点睛】此题考察函数的奇偶性与周期性的综合应用，涉及函数的求值，属于根底题． 14.设函数()()(sin ,,f x A x A ωϕωϕ=+为参数，且)0,0,0A ωϕπ>><<的局部图象如下图，那么ϕ的值是______.【答案】3π【解析】 【分析】根据图象首先求得()f x 最小正周期2T ππω==，从而解得2ω=；代入712f A π⎛⎫=-⎪⎝⎭可得到23k πϕπ=+，结合0ϕπ<<即可求得结果.【详解】由图象可得()f x 最小正周期：473126T πππ⎛⎫=⨯+= ⎪⎝⎭，即2ππω= 2ω∴=又77sin 126f A A ππϕ⎛⎫⎛⎫=+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 73262k ππϕπ∴+=+，k Z ∈ 23k πϕπ∴=+，k Z ∈又0ϕπ<< 3πϕ∴=此题正确结果：3π 【点睛】此题考察根据三角函数图象求解函数解析式的问题，关键是可以通过整体对应的方式确定最值所对应的点，从而得到初相的取值.15.假设x ，y 满足约束条件02636x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩，那么2z x y =-的最大值为______．【答案】10 【解析】 【分析】作出不等式组02636x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩表示的平面区域，利用线性规划知识求解．【详解】作出不等式组02636x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩表示的平面区域如下：作出直线:l 20x y -=，当直线l 往下平移时，2z x y =-变大， 当直线l 经过点()2,4A -时，()max 22410z =-⨯-=【点睛】此题主要考察了利用线性规划求目的函数的最值知识，考察作图及计算才能，属于根底题．16.在数列{}n a 中，1111,,(*)2019(1)n n a a a n N n n +==+∈+，那么2019a 的值是______． 【答案】1 【解析】 【分析】 由11,(*)(1)n n a a n N n n +=+∈+，可得1111(1)1n na a n n n n +-==-++，利用“累加法〞可得结果.【详解】因为11,(*)(1)n n a a n N n n +=+∈+所以1111(1)1n n a a n n n n +-==-++，2111,2a a -=-3211,23a a -=-...,201920181120182019a a -=-, 各式相加，可得20191112019a a -=-， 201911120192019a -=-，所以，20191a =，故答案为1.【点睛】此题主要考察利用递推关系求数列中的项，属于中档题.利用递推关系求数列中的项常见思路为：〔1〕项的序号较小时，逐步递推求出即可；〔2〕项的序数较大时，考虑证明数列是等差、等比数列，或者者是周期数列；〔3〕将递推关系变形，利用累加法、累乘法以及构造新数列法求解.三、解答题：(本大题一一共6小题，一共70分，解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤)17.在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，假设()222tan b c a A +-=.〔1)求角A ；〔2〕假设3a =，那么ABC ∆周长的取值范围. 【答案】〔1〕3A π=〔2〕(3⎤+⎦【解析】 【分析】〔1〕利用切化成弦和余弦定理对等式进展化简，得角A 的正弦值；〔2〕利用成正弦定理把边化成角，从而实现ABC ∆的周长用角B 的三角函数进展表示，即周长36sin 6B π⎛⎫=++⎪⎝⎭，再根据锐角三角形中角,62B ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，求得函数值域. 【详解】〔1〕由()222sin 2cos bc a A bc A +-⋅=sin A =， 又0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3A π=.〔2〕3A π=，3BC =，设周长为x ，由正弦定理知2sin sin sin BC AC ABR A B C===， 由合分比定理知sin sin sin sin BC AB BC ACA AB C++=++，=()sin sin 2B A B x ⎤∴+++=⎥⎦，即3sin sin 3x B B π⎤⎛⎫=+++= ⎪⎥⎝⎭⎦3sin sin cos cos sin 33B B B ππ⎫+++⎪⎭13sin sin 22B B B ⎫=+++⎪⎪⎭33sin cos 22B B ⎫=++⎪⎪⎭136sin cos 22B B ⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭36sin 6B π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. 又因为ABC ∆为锐角三角形，所以,62B ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭. sin 6B π⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦，周长(3x ⎤∈+⎦. 【点睛】对运动变化问题，首先要明确变化的量是什么？或者者选定什么量为变量？然后，利用函数与方程思想，把所求的目的表示成关于变量的函数，再研究函数性质进展问题求解. 18.数列{}n a 满足11a =，121n n a a +=+.〔1〕证明数列{}1n a +是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； 〔2〕令3(1)n n b n a =⋅+，求数列{}n b 的前n 项和n T【答案】〔1〕见解析〔2〕1(33)26n n T n +∴=-⋅+【解析】 【分析】〔1〕将式子合理变形，即可化成1121n n a a ++=+，从而证明{}1n a +是以首项为2，公比为2的等比数列，并利用等比数列通项公式求出{}n a 的通项公式.〔2〕由数列{}n b 的通项公式是由等比数列与等差数列通项公式乘积得到，即可判断其可运用错位相减法求解前n 项和n T .【详解】〔Ⅰ〕证明：由题意可得： 112(1)n n a a ++=+，那么1121n n a a ++=+，又112a += 故{}1n a +是以首项为2，公比为2的等比数列，所以11222n nn a -+=⨯=，故21n n a =-〔2〕由〔1〕知32nn b n =⋅12313262923(1)232n n n T n n -∴=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅ 234123262923(1)232n n n T n n +∴=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅12313(222232n n n T n +∴-=⨯++++⋅）-1(33)26n n T n +∴=-⋅+【点睛】此题主要考察了等比数列的证明，以及错位相减法的运用，属于中档题.对于等比数列的证明主要有两种方法：〔1〕定义法，证得*1,0)(2,n n a qq n n N a -≠=≥∈即可，其中q 为常数；〔2〕等比中项法：证得211n n n a a a +-=即可.19.如图，点H 在正方体1111ABCD A B C D -的对角线11B D 上，∠HDA =060．〔1〕求DH 与1CC 所成角的大小； 〔2〕求DH 与平面1A BD 所成角的正弦值． 【答案】〔1〕45；〔2〕66【解析】 【分析】〔1〕建立空间直角坐标系，设H 〔m ，m ，1〕〔m ＞0〕，求出1CC 、DH ，利用向量的夹角公式可求DH 与CC ′所成角的大小；〔2〕求出平面A 1BD 的法向量，利用向量的夹角公式，即可得出结论．【详解】〔1〕以D 为原点，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D xyz -．设H 〔m ，m ，1〕〔m ＞0〕，那么DA =〔1，0，0〕，1CC =〔0，0，1〕，连接BD ，B 1D 1． 那么DH =〔m ，m ，1〕〔m ＞0〕，由DA ＜，DH =＞60°，∴可得2m 221m =+m 22=， ∴DH =〔22，22，1〕， ∴cos DH ＜，122CC =＞ ∴DH ＜，1CC =＞45°，即DH 与CC ′所成角的大小为45°； 〔2〕设平面A BD '的法向量为(,,),n x y z =那么(,,)(1,0,1)0(,,)(1,1,0)0n DA x y z n DB x y z ⎧⋅=⋅='⎨⋅=⋅=⎩，∴00x z x y +=⎧⎨+=⎩，令1,x =得(1,1,1)n =--是平面A BD '的一个法向量． 221(1)1(1)622cos 623DH n ⨯-+⨯-==-⨯，， 设DH 与平面A BD '所成的角为θ所以6sin cos 6DH n θ==，．【点睛】此题考察向量知识的运用，考察空间角，正确运用向量的夹角公式是关键.20.椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为32，过顶点(0,1)A 的直线L 与椭圆C 相交于两点,A B .〔1〕求椭圆C 的方程；〔2〕假设点M 在椭圆上且满足1322OM OA OB =+，求直线L 的斜率k 的值. 【答案】(1);〔2〕.【解析】【详解】(1)因为e=,b=1,所以a=2,故椭圆方程为. 4分(2)设l 的方程为y=kx+1,A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),M(m,n).联立221{14y kx x y =++=，解得 (1+4k 2)x 2+8kx=0，因为直线l 与椭圆C 相交于两点，所以△=(8k)2>0,所以x 1+x 2=，x 1×x 2=0，∵1322OM OA OB =+∴点M 在椭圆上，那么m 2+4n 2=4,∴2212121(3)(3)44x x y y +++=,化简得 x 1x 2+4y 1y 2= x 1x 2+4(kx 1+1)(kx 2+1)= (1+4k 2)x 1x 2+4k(x 1+x 2)+4=0,∴4k·()+4=0,解得k=±12.故直线l 的斜率k=±12. 21.函数f 〔x 〕=12x 2-〔a +1〕x +a ln x +1 〔Ⅰ〕假设x =3是f 〔x 〕的极值点，求f 〔x 〕的极大值；〔Ⅱ〕求a 的范围，使得f 〔x 〕≥1恒成立． 【答案】〔Ⅰ〕极大值为()512f =-；〔Ⅱ〕12a ≤- 【解析】 【分析】〔Ⅰ〕由于x=3是f 〔x 〕的极值点，那么f′〔3〕=0求出a ，进而求出f′〔x 〕＞0得到函数的增区间，求出f′〔x 〕＜0得到函数的减区间，即可得到函数的极大值； 〔Ⅱ〕由于f 〔x 〕≥1恒成立，即x ＞0时，21(1)ln 02x a x a x -++≥恒成立，设21()(1)ln 2g x x a x a x =-++，求得其导函数，分类讨论参数a ，得到函数g 〔x 〕的最小值大于等于0，即可得到a 的范围． 【详解】解：〔Ⅰ〕()()'1af x x a x=-++∵x =3是f 〔x 〕的极值点，∴()()'33103af a =-++=，解得a =3 当a =3时，()()()21343'x x x x f x x x---+==， 当x 变化时，f 〔x 〕的极大值为()512f =-； 〔Ⅱ〕要使得f 〔x 〕≥1恒成立，即x ＞0时，()21102x a x alnx -++≥恒成立， 设()()2112g x x a x alnx =-++，那么()()()()1'1x x a a g x x a x x--=-++=，〔ⅰ〕当a ≤0时，由g ′〔x 〕＜0得单减区间为〔0，1〕，由g ′〔x 〕＞0得单增区间为〔1，+∞〕，故()1()102min g x g a ==--≥，得()()2f x f x k ++≥； 〔ii 〕当0＜a ＜1时，由g ′〔x 〕＜0得单减区间为〔a ，1〕，由g ′〔x 〕＞0得单增区间为〔0，a 〕，〔1，+∞〕，此时()1102g a =--＜，∴不合题意；〔iii 〕当a =1时，f 〔x 〕在〔0，+∞〕上单增，()1102g a =--此时＜，∴不合题意； 〔iv 〕当a ＞1时，由g ′〔x 〕＜0得单减区间为〔1，a 〕，由g ′〔x 〕＞0得单增区间为〔0，1〕，〔a ，+∞〕，此时()1102g a =--＜，∴不合题意． 综上所述：()()2f x f x k ++≥时，f 〔x 〕≥1恒成立．【点睛】此题考察利用导数研究函数的单调性及函数恒成立时所取的条件．考察考生的运算、推导、判断才能．22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩〔α为参数〕，在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点M 的极坐标为34π⎛⎫⎪⎝⎭，直线l 的极坐标方程为sin 04ρθπ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭．〔1〕求直线l 的直角坐标方程与曲线C 的普通方程；〔2〕假设N 是曲线C 上的动点，P 为线段MN 的中点，求点P 到直线l 的间隔 的最大值．【答案】〔1〕40x y --=,2213x y +=；〔2. 【解析】 【分析】〔1〕直接利用极坐标方程、参数方程和普通方程互化的公式求直线l 的直角坐标方程与曲线C 的普通方程；〔2〕设N α，sinα〕，α∈[0，2π〕．先求出点P 到直线l 的间隔 d =再求最大值.【详解】〔1〕因为直线l 的极坐标方程为πsin 04ρθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭， 即ρsinθ－ρcosθ＋4＝0．由x ＝ρcosθ，y ＝ρsinθ，可得直线l 的直角坐标方程为x －y －4＝0．将曲线C 的参数方程x y sin αα⎧=⎪⎨=⎪⎩消去参数a ， 得曲线C 的普通方程为2213x y +=．〔2〕设N α，sinα〕，α∈[0，2π〕．点M 的极坐标〔3π4〕，化为直角坐标为〔－2，2〕．那么1cos 1,sin 122P αα⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭．所以点P 到直线l 的间隔 d ==≤，所以当5π6α=时，点M 到直线l 的间隔 ． 【点睛】此题主要考察参数方程、极坐标方程和普通方程的互化，考察三角函数的图像和性质，考察点到直线的间隔 的最值的计算，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.23.〔1〕,a b ，都是正数，且a b ，求证：552323a b a b b a +>+.〔2〕,,a b c ∈R ，且1a b c ++=，求证：22213a b c ++≥. 【答案】〔1〕见解析；〔2〕见解析【解析】【分析】〔1〕利用比拟法证明，欲证552323a b a b b a +>+，只要证552323()0a b a b b a -+>+即可，然后利用因式分解判断每个式子的正负即可；〔2〕由题意得：1=〔a+b+c 〕2=a 2+b 2+c 2+2〔ab+bc+ac 〕≤3〔a 2+b 2+c 2〕，即可证得结论.【详解】〔1〕()()()()552332532523a b a b a b a a b b a b +-+=-+-()()()()()3223222233222()()a a b b a b a b a b a b a b a ab b ---=--=+-++. ∵,a b 都是正数,∴22,0a b a ab b +++>,又∵2,()0a b a b ≠∴->,∴()()()222552332()()0,a b a b a ab b a b a b a b +-++>∴+>+ ；〔2〕∵a+b+c=1，∴1=〔a+b+c 〕2=a 2+b 2+c 2+2〔ab+bc+ac 〕≤3〔a 2+b 2+c 2〕，∴a 2+b 2+c 2≥13． 【点睛】此题考察了不等式的证明，熟悉公式和运用是解题的关键，属于中档题.制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日。

湖南2025届高三月考试卷（二）数学（答案在最后）命题人､审题人：高三数学备课组时量：120分钟满分：150分一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数11i z =+的虚部是（）A.1 B.12 C.12- D.1-【答案】C【解析】【分析】先化简给定复数，再利用虚部的定义求解即可.【详解】因为()()11i 1i 1i 1i 1i 1i 222z --====-++-，所以其虚部为12-，故C 正确.故选：C.2.已知a 是单位向量，向量b 满足3a b -= ，则b 的最大值为（）A.2B.4C.3D.1【答案】B【解析】【分析】设,OA a OB b == ，由3a b -= ，可得点B 在以A 为圆心，3为半径的圆上，利用向量的模的几何意义，可得 b 的最大值.【详解】设,OA a OB b == ，因为3a b -= ，即3OA OB BA -== ，即3AB = ，所以点B 在以A 为圆心，3为半径的圆上，又a 是单位向量，则1OA = ，故OB 最大值为134OA AB +=+= ，即 b 的最大值为4.故选：B.3.已知角θ的终边在直线2y x =上，则cos sin cos θθθ+的值为（）A.23- B.13- C.23 D.13【答案】D【解析】【分析】由角θ的终边，得tan 2θ=，由同角三角函数的关系得cos 1sin cos 1tan θθθθ=++，代入求值即可.【详解】因为角θ的终边在直线2y x =上，所以tan 2θ=.所以cos 111sin cos 1tan 123θθθθ===+++.故选：D.4.已知函数()2e 33,0,0x a x f x x a x ⎧+-<=⎨+≥⎩对任意的12,x x ∈R ，且12x x ≠，总满足以下不等关系：()()12120f x f x x x ->-，则实数a 的取值范围为（）A.34a ≤ B.34a ≥ C.1a ≤ D.1a ≥【答案】D【解析】【分析】由条件判定函数的单调性，再利用指数函数、二次函数的性质计算即可.【详解】()()()12120f x f x f x x x ->⇒- 在上单调递增，又()2e 33,0,0x a x f x x a x ⎧+-<=⎨+≥⎩，当0x <时，()e 33xf x a =+-单调递增，当0x ≥时，()f x 单调递增，只需1330a a +-≤+，解得1a ≥.故选：D.5.如图，圆柱的母线长为4,,AB CD 分别为该圆柱的上底面和下底面直径，且AB CD ⊥，三棱锥A BCD -的体积为83，则圆柱的表面积为（）A.10πB.9π2C.4πD.8π【答案】A【解析】【分析】取AB 的中点O ，由13A BCD OCD V S AB -=⋅△，可求解底面半径，即可求解.【详解】设底面圆半径为r ，由AB CD ⊥，易得BC AC BD AD ===，取AB 的中点O ，连接,OC OD ，则,AB OC AB OD ⊥⊥，又OC OD O,OC,OD =⊂ 平面OCD ，所以AB ⊥平面OCD ，所以，11182423323A BCD OCD V S AB r r -=⋅=⨯⨯⨯⨯= ，解得=1，所以圆柱表面积为22π42π10πr r +⨯=.故选:A.6.已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 到准线的距离为2，过焦点F 的直线l 与抛物线交于,A B 两点，则23AF BF +的最小值为（）A.52+ B.5 C.10 D.11【答案】B【解析】【分析】（方法一）首先求出抛物线C 的方程为24y x =，设直线l 的方程为：1x ty =+，与抛物线C 的方程联立，利用根与系数的关系求出21x x 的值，再根据抛物线的定义知11AF x =+，21BF x =+，从而求出23AF BF +的最小值即可.（方法二）首先求出111AF BF+=，再利用基本不等式即可求解即可.【详解】（方法一）因为抛物线C 的焦点到准线的距离为2，故2p =，所以抛物线C 的方程为24y x =，焦点坐标为1,0，设直线l 的方程为：()()11221,,,,x ty A x y B x y =+，不妨设120y y >>，联立方程241y x x ty ⎧=⎨=+⎩，整理得2440y ty --=，则12124,4y y t y y +==-，故221212144y y x x =⋅=，又B =1+2=1+1，2212p BF x x =+=+，则()()12122321312352525AF BF x x x x +=+++=++≥=，当且仅当12,23x x ==时等号成立，故23AF BF +的最小值为5.故选：B.（方法二）由方法一可得121x x =，则11AF BF +211111x x =+++121212211x x x x x x ++==+++，因此23AF BF +()1123AF BF AF BF ⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭235AF BF BF AF =++55≥+=+，当且仅当661,123AF BF =+=+时等号成立，故23AF BF +的最小值为5.故选：B.7.设函数()()cos f x x ϕ=+，其中π2ϕ<.若R x ∀∈，都有ππ44f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.则()y f x =的图象与直线114y x =-的交点个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】利用给定条件求出()πcos 4f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再作出图像求解交点个数即可.【详解】对R x ∀∈，都有ππ44f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以π4x =是=的一条对称轴，所以()ππZ 4k k ϕ+=∈，又π2ϕ<，所以π4ϕ=-.所以()πcos 4f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，在平面直角坐标系中画出()πcos 4f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭与114y x=-的图象，当3π4=-x 时，3π14f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，11113π3π4164y --=⨯(-=-<-，当5π4x =时，5π14f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，5π5π14111461y =⨯-=->-，当9π4x =时，9π14f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，11119π9π4416y =⨯-=-<，当17π4x =时，17π14f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，111117π17π4416y =⨯-=->所以如图所示，可知=的图象与直线114y x =-的交点个数为3，故C 正确.故选：C.8.已知定义域为R 的函数()(),f x g x 满足：()()()()()()00,g f x g y f y g x f x y ≠-⋅=-，且()()()()()g x g y f x f y g x y -=-，则下列说法正确的是（）A.()01f =B.()f x 是偶函数C.若()()1112f g +=，则()()2024202420242f g -=-D.若()()111g f -=，则()()202420242f g +=【答案】C【解析】【分析】对A ，利用赋值法令0,0x y ==即可求解；对B ，根据题中条件求出()f y x -，再利用偶函数定义即可求解；对C ，先根据题意求出()()001f g -=-，再找出()()11f x g x ---与()()f x g x ⎡⎤-⎣⎦的关系，根据等比数列的定义即可求解；对D ，找出()()11f x g x -+-与()()f x g x ⎡⎤+⎣⎦的关系，再根据常数列的定义即可求解.【详解】对A ，()()()()()f x g y f y g x f x y -⋅=- ，令0,0x y ==，即()()()()()00000f g f g f -⋅=，解得()00f =，故A 错；对B ，根据()()()()()f x g y f y g x f x y -=-，得()()()()()f y g x f x g y f y x -=-，即()()f y x f x y -=--，故()f x 为奇函数，故B 错；对C ，()()()()()g x g y f x f y g x y -=- 令0x y ==，即()()()()()00000g g f f g -=，()00f = ，()()200g g ∴=，又()00g ≠，()01g ∴=，()()001f g ∴-=-，由题知：()()f x yg x y ---()()()()()()()()f x g y f y g x g x g y f x f y ⎡⎤=-⋅--⎣⎦()()()()f y g y f x g x ⎡⎤⎡⎤=+-⎣⎦⎣⎦，令1y =，即()()()()()()1111f x g x f g f x g x ⎡⎤⎡⎤---=+-⎣⎦⎣⎦，()()1112f g += ，()()()()1112f xg x f x g x ⎡⎤∴---=-⎣⎦，即()(){}f xg x -是以()()001f g -=-为首项2为公比的等比数列；故()()()2024202420242024122f g -=-⨯=-，故C 正确；对D ，由题意知：()()f x yg x y -+-()()()()()()()()f xg y f y g x g x g y f x f y =-⋅+-()()()()g y f y f x g x ⎡⎤⎡⎤=-+⎣⎦⎣⎦，令1y =，得()()()()()()1111f x g x g f f x g x ⎡⎤⎡⎤-+-=-+⎣⎦⎣⎦，又()()111g f -=，即()()()()11f x g x f x g x -+-=+，即数列()(){}f xg x +为常数列，由上知()()001f g +=，故()()202420241f g +=，故D 错.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题的关键是对抽象函数进行赋值，难点是C ，D 选项通过赋值再结合数列的性质进行求解.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法中正确的是（）A.一个样本的方差()()()22221220133320s x x x ⎡⎤=-+-++-⎣⎦L ，则这组样本数据的总和等于60B.若样本数据1210,,,x x x 的标准差为8，则数据1221,21,x x -- ，1021x -的标准差为16C.数据13,27,24,12,14,30,15,17,19,23的第70百分位数是23D.若一个样本容量为8的样本的平均数为5，方差为2，现样本中又加入一个新数据5，此时样本容量为9，平均数不变，方差变小【答案】ABD【解析】【分析】对于A ，由题意可得样本容量为20，平均数是3,从而可得样本数据的总和，即可判断；对于B ，根据标准差为8，可得方差为64，从而可得新数据的方差及标准差，即可判断；对于C ，根据百分位数的定义，求出第70百分位数，即可判断；对于D ，由题意可求得新数据的平均数及方差，即可判断.【详解】解：对于A ，因为样本的方差()()()222212201333,20s x x x ⎡⎤=-+-++-⎣⎦ 所以这个样本有20个数据，平均数是3,这组样本数据的总和为32060,⨯=A 正确；对于B ，已知样本数据1210,,,x x x 的标准差为8s =，则264s =，数据121021,21,,21x x x --- 的方差为2222264s =⨯2816=⨯=，故B 正确；对于C ，数据13,27,24,12,14,30,15,17,19,23共10个数，从小到大排列为12,13,14,15,17,19,23,24,27,30，由于100.77⨯=，故选择第7和第8个数的平均数作为第70百分位数，即232423.52+=，所以第70百分位数是23.5，故C 错误；对于D ，某8个数的平均数为5，方差为2，现又加入一个新数据5，设此时这9个数的平均数为x ，方差为2S ，则2285582(55)165,2999x S ⨯+⨯+-====<，故D 正确.故选：ABD.10.已知函数()32f x ax bx =-+，则（）A.()f x 的值域为RB.()f x 图象的对称中心为()0,2C.当30b a ->时，()f x 在区间()1,1-内单调递减D.当0ab >时，()f x 有两个极值点【答案】BD【解析】【分析】利用一次函数、三次函数的性质结合分类讨论思想可判定A ，利用函数的奇偶性判定B ，利用导数研究函数的单调性结合特殊值法排除C ，利用极值点的定义可判定D.【详解】对于A ：当,a b 至少一个不为0，则()f x 为三次或者一次函数，值域均为；当,a b 均为0时，值域为{}2，错误；对于B ：函数()()32g x f x ax bx =-=-满足()()3g x ax bx g x -=-+=-，可知()g x 为奇函数，其图象关于()0,0中心对称，所以()f x 的图象为()g x 的图象向上移动两个单位后得到的，即关于0,2中心对称，正确；对于C ：()23f x ax b '=-，当30b a ->时，取1,1a b =-=-，当33,33x ⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭时，()()2310,f x x f x =-+>'在区间33,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，错误；对于D ：()23f x ax b '=-，当0ab >时，()230f x ax b '=-=有两个不相等的实数根，所以函数()f x 有两个极值点，正确.故选：BD.11.我国古代太极图是一种优美的对称图.定义：能够将圆O 的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆O 的一个“太极函数”，则下列命题中正确的是（）A.函数()sin 1f x x =+是圆22:(1)1O x y +-=的一个太极函数B.对于圆22:1O x y +=的所有非常数函数的太极函数中，都不能为偶函数C.对于圆22:1O x y +=的所有非常数函数的太极函数中，均为中心对称图形D.若函数()()3f x kx kx k =-∈R 是圆22:1O x y +=的太极函数，则()2,2k ∈-【答案】AD【解析】【分析】根据题意，对于A ，D 利用新定义逐个判断函数是否满足新定义即可，对于B ，C 举反例说明．【详解】对于A ，圆22:(1)1O x y +-=，圆心为0,1，()sin 1f x x =+的图象也过0,1，且0,1是其对称中心，所以()sin 1f x x =+的图象能将圆一分为二，所以A 正确；对于B,C ，根据题意圆22:1O x y +=，如图()331,332313,03231332331,332x x x f x x x x ⎧--<-⎪⎪+-≤≤=⎨⎪+<≤⎪->⎩，与圆交于点()1,0-，1,0，且在x 轴上方三角形面积与x 轴下方个三角形面积之和相等，()f x 为圆O 的太极函数，且()f x 是偶函数，所以B ，C 错误；对于D ，因为()()()()()33()f x k x k x kx kx f x k -=---=--=-∈R ，所以()f x 为奇函数，由()30f x kx kx =-=，得0x =或1x =±，所以()f x 的图象与圆22:1O x y +=的交点为()()1,0,1,0-，且过圆心()0,0，由3221y kx kx x y ⎧=-⎨+=⎩，得()2624222110k x k x k x -++-=，令2t x =，则()232222110k t k t kt -++-=，即()()222110t k t k t --+=，得1t =或22210k t k t -+=，当1t =时，1x =±，当22210k t k t -+=时，若0k =，则方程无解，合题意；若0k ≠，则()4222Δ44k k k k=-=-，若Δ0<，即204k <<时，方程无解，合题意；所以()2,2k ∈-时，两曲线共有两个交点，函数能将圆一分为二，如图，若Δ0=，即2k =±时，函数与圆有4个交点，将圆分成四部分，若Δ0>，即24k >时，函数与圆有6个交点，且均不能把圆一分为二，如图，所以()2,2k ∈-，所以D 正确.故选：AD.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是理解新定义，即如果一个函数过圆心，并且函数图象关于圆心中心对称，且函数将圆分成2部分，不能超过2部分必然合题．如果函数不是中心对称图形，则考虑与圆有2个交点，交点连起来过圆心，再考虑如何让面积相等．三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.曲线2ln y x x =-在点()1,2处的切线与抛物线22y ax ax =-+相切，则a =__________.【答案】1【解析】【分析】求出曲线2ln y x x =-在点()1,2处的切线方程，由该切线与抛物线22y ax ax =-+相切，联立消元，得到一元二次方程，其Δ0=，即可求得a .【详解】由2ln y x x =-，则12y x'=-，则11x y ='=，曲线2ln y x x =-在点()1,2处的切线方程为21y x -=-，即1y x =+，当0a ≠时，则212y x y ax ax =+⎧⎨=-+⎩，得()2110ax a x -++=，由2Δ(1)40a a =+-=，得1a =.故答案为：1.13.已知椭圆G22+22=1>>0的左､右焦点分别为12,F F ，若P 为椭圆C 上一点，11212,PF F F PF F ⊥ 的内切圆的半径为3c，则椭圆C 的离心率为______.【答案】23【解析】【分析】由内切圆半径的计算公式，利用等面积法表示焦点三角形12PF F 的面积，得到,a c 方程，即可得到离心率e 的方程，计算得到结果.【详解】由题意，可知1PF 为椭圆通径的一半，故21b PF a =，12PF F 的面积为21122b cc PF a⋅⋅=，又由于12PF F 的内切圆的半径为3c，则12PF F 的面积也可表示为()12223c a c +⋅，所以()111222223c c PF a c ⋅⋅=+⋅，即()212223b c ca c a =+⋅，整理得：22230a ac c --=，两边同除以2a ，得2320e e +-=，所以23e =或1-，又椭圆的离心率()0,1e ∈，所以椭圆C 的离心率为23.故答案为：23.14.设函数()()44xf x ax x x =+>-，若a 是从1,2,3,4四个数中任取一个，b 是从4,8,12,16,20,24六个数中任取一个，则()f x b >恒成立的概率为__________.【答案】58##0.625【解析】【分析】根据题意，利用基本不等式，求得2min ()1)f x =+，转化为21)b +>恒成立，结合a 是从1,2,3,4四个数中任取一个，b 是从4,8,12,16,20,24六个数中任取一个，得到基本事件总数有24个，再利用列举法，求得()f x b >成立的基本事件的个数，结合古典概型的概率计算公式，即可求解.【详解】因为0,4a x >>，可得40x ->，则()()441441444x f x ax ax a x a x x x =+=++=-+++---2411)a ≥++=，当且仅当4x =时，等号成立，故2min ()1)f x =+，由不等式()f x b >恒成立转化为21)b >恒成立，因为a 是从1,2,3,4四个数中任取一个，b 是从4,8,12,16,20,24六个数中任取一个，则构成(),a b 的所有基本事件总数有24个，又由()221)1)912,16==+，()221)1319,201)25+=+=，设事件A =“不等式()f x b >恒成立”，则事件A 包含事件：()()1,4,1,8，()()()2,4,2,8,2,12，()()()()3,4,3,8,3,12,3,16，()()()()()()4,4,4,8,4,12,4,16,4,20,4,25共15个，因此不等式()f x b >恒成立的概率为155248=.故答案为：58.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知()()()sin sin sin b c B C a c A +-=-.（1）求B ；（2）若ABC 的面积为334，且2AD DC = ，求BD 的最小值.【答案】（1）π3B =（2.【解析】【分析】（1）利用正弦定理可得()()()b c b c a c a +-=-，再结合余弦定理得2221cos 22a cb B ac +-==，从而可求解.（2）结合ABC V 的面积可求得3ac =，再由.112333BD BC CA BA BC =+=+，平方后得，()222142993BD c a =++ ，再结合基本不等式即可求解.【小问1详解】由正弦定理得()()()b c b c a c a +-=-，即222a c b ac +-=，由余弦定理可得2221cos 222a cb ac B ac ac +-===，因为()0,πB ∈，所以π3B =.【小问2详解】因为ABC V 的面积为33π,43B =，所以133sin 24ac B =，所以3ac =.因为()11123333BD BC CA BC BA BC BA BC =+=+-=+，所以()()()()22222221421441422cos 999999993BD BA BC BA BC c a ac B c a =++⋅⋅=++=++ ，所以2214212222993333c a c a ++≥⋅⋅+=，当且仅当6,2a c ==时取等号，所以BD .16.已知双曲线E 的焦点在x 轴上，离心率为233，点(在双曲线E 上，点12,F F 分别为双曲线的左､右焦点.（1）求E 的方程；（2）过2F 作两条相互垂直的直线1l 和2l ，与双曲线的右支分别交于A ，C 两点和,B D 两点，求四边形ABCD 面积的最小值.【答案】（1）2213x y -=（2）6【解析】【分析】（1）由222c a b =+和3e =，及点(在双曲线E 上，求出22,a b ，即可求出E 的方程；（2）设直线()()121:2,:2l y k x l y x k =-=--，其中0k ≠，根据题中条件确定2133k <<，再将1l 的方程与2213x y -=联立，利用根与系数的关系，用k 表示AC ，BD 的长，再利用12ABCDS AC BD =，即可求出四边形ABCD 面积的最小值.【小问1详解】因为222c a b =+，又由题意得22243c e a ==，则有223a b =，又点(在双曲线E 上，故229213-=b b，解得221,3b a ==，故E 的方程为2213xy -=.【小问2详解】根据题意，直线12,l l 的斜率都存在且不为0，设直线()()121:2,:2l y k x l y x k=-=--，其中0k ≠，因为12,l l 均与E 的右支有两个交点，所以313,33k k >->，所以2133k <<，将1l 的方程与2213x y -=联立，可得()222213121230k x k x k -+--=.设()()1122,,,A x y C x y ，则2212122212123,1313k k x x x x k k---+==--，所以()222121212114AC k x k x x x x =+-=++-)22222222222311212323114113133113k k k kkk k k k k +⎛⎫---+=+-⨯+ ⎪----⎝⎭，同理)22313k BD k +=-，所以))()()()2222222223131111622313313ABCD kkk S AC BD k kkk+++==⋅⋅=⋅----.令21t k =+，所以241,,43k t t ⎛⎫=-∈⎪⎝⎭，则2222166661616316161131612ABCDt S t t t t t =⋅=⋅=≥-+-⎛⎫-+---+ ⎪⎝⎭，当112t =，即1k =±时，等号成立.故四边形ABCD 面积的最小值为6.17.如图，侧面11BCC B 水平放置的正三棱台11111,24ABC A B C AB A B -==，2,P 为棱11A B 上的动点.（1）求证：1AA ⊥平面11BCC B ；（2）是否存在点P ，使得平面APC 与平面111A B C 的夹角的余弦值为53333？若存在，求出点P ；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）存在，点P 为11A B 中点【解析】【分析】（1）延长三条侧棱交于一点O ，由勾股定理证明OA OB ⊥，OA OC ⊥，根据线面垂直的判定定理得证；（2）建立空间直角坐标系，求出平面111A B C 和平面APC 的法向量，利用向量夹角公式求解.【小问1详解】延长三条侧棱交于一点O ，如图所示，由于11124,2AB A B BB ===22OB OA ==所以22216OA OB AB +==，所以OA OB ⊥，同理OA OC ⊥.又OB OC O = ，,OB OC ⊂平面OBC ，所以OA ⊥平面OBC ，即1AA ⊥平面11BCC B .【小问2详解】由（1）知,,OA OB OA OC OB OC ⊥⊥⊥，如图建立空间直角坐标系，则(()0,0,,0,A C，()()111,,0,A B C ，所以((1110,0,,0,,AA AC A B ==-=，()110,B C =.设)111,0,A P A B λλ===，则1AP AA =+)[]1,0,,0,1A P λ=∈，设平面111A B C 和平面APC 的法向量分别为(),,,m x y z n ==(),,r s t ，所以)01000r t λ⎧=+=⎪⎨+==⎪⎪⎩⎩，取()()1,1,1,1,,m n λλλ==+，则cos ,33m n m n m n ⋅===.整理得212870λλ+-=，即()()21670λλ-+=，所以12λ=或76λ=-（舍），故存在点P （点P 为11A B 中点时），满足题意.18.若无穷正项数列{}n a 同时满足下列两个性质：①存在0M >，使得*,n a M n <∈N ；②{}n a 为单调数列，则称数列{}n a 具有性质P .（1）若121,3nn n a n b ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，（i ）判断数列{}{},n n a b 是否具有性质P ，并说明理由；（ii ）记1122n n n S a b a b a b =+++ ，判断数列{}n S 是否具有性质P ，并说明理由；（2）已知离散型随机变量X 服从二项分布()1,,02B n p p <<，记X 为奇数的概率为n c .证明：数列{}n c 具有性质P .【答案】（1）（i ）数列{}n a 不具有性质P ，数列{}n b 具有性质P ，理由见解析；（ii ）数列{}n S 具有性质P ，理由见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）判断数列是否满足条件①②，可得（i ）的结果；利用错位相减法求数列{}n n a b 的前n 项和，再判断是否满足条件①②.（2）先求数列{}n c 的通项公式，再判断是否满足条件①②.【小问1详解】（i ）因为21n a n =-单调递增，但无上限，即不存在M ，使得n a M <恒成立，所以数列不具有性质P .因为113nn b ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，又数列为单调递减数列，所以数列具有性质P .（ii ）数列{}n S 具有性质P .2112113333n n n S -=⋅+⋅++ ，23111121133333n n n S +-=⋅+⋅++ ，两式作差得23121111211222333333n n n n S +-=⋅+⋅+⋅++⋅- ，即1121121212223313333313n n n n n n S ++⎛⎫- ⎪-+⎝⎭=-+-=--，所以111,3n n n S +=-<∴数列{}n S 满足条件①.(){}11210,,3nn n n n n a b n S S S +⎛⎫=->∴<∴ ⎪⎝⎭为单调递增数列，满足条件②.综上，数列{}n S 具有性质P .【小问2详解】因为*0,1,,,X n n =∈N ，若X 为奇数的概率为,n c X 为偶数的概率为n d ，()1[1]nn n c d p p +==-+001112220C (1)C (1)C (1)C (1)n n n n nn n n n p p p p p p p p --=-+-+-++- ①()001112220[1]C ()(1)C ()(1)C ()(1)C ()(1)n n n n n n n n n n p p p p p p p p p p ----=--+--+--++-- ②，2n c -=①②，即1(12)2nn p c --=.所以当102p <<时，0121p <-<，故n c 随着n 的增大而增大，且12n c <.故数列{}n c 具有性质P .19.已知函数()24e 2x f x x x-=-，()2233g x x ax a a =-+--（a ∈R 且2a <）.（1）令()()()(),x f x g x h x ϕ=-是()x ϕ的导函数，判断()h x 的单调性；（2）若()()f x g x ≥对任意的()1,x ∈+∞恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）ℎ在(),0∞-和0,+∞上单调递增；（2）(],1-∞.【解析】【分析】（1）需要二次求导，利用导函数的符号分析函数的单调性.（2）法一先利用()()22f g ≥这一特殊情况，探索a 的取值范围，再证明对()1,x ∈+∞时，()()f x g x ≥恒成立；法二利用导数工具求出函数()x ϕ的最小值()0x ϕ，同法一求证(]0,1a ∈时()00x ϕ≥，接着求证()1,2a ∈时()20ϕ<不符合题意即可得解.【小问1详解】()()()2224e 233x x f x g x x x ax a a xϕ-=-=-+-++，定义域为{}0xx ≠∣，所以()()()224e 1223x x h x x x a xϕ--==-+-'，所以()()2234e 2220x x x h x x --+=+>'.所以()h x 在(),0-∞和()0,∞+上单调递增.【小问2详解】法一：由题知()()22f g ≥即()()()2232120a a a a ϕ=-+=--≥，即1a ≤或2a ≥，所以1a ≤.下证当1a ≤时，()()f x g x ≥对任意的()1,x ∈+∞恒成立.令()()24e x F x f x x x x -=+=-，则()()()()()222234e 224e 11,0x x x x x F x t x t x x x---+-'=-==>'，所以()()224e 11x x F x x --=-'在()1,+∞单调递增，又()20F '=，所以当()1,2x ∈时，()()0,F x F x '<单调递减，当()2,x ∈+∞时，()()0,F F x x '>递单调增，所以()()20F x F ≥=，故()f x x ≥-，要证()()f x g x ≥，只需证()x g x -≥，即证()223130x a x a a -+++≥，令()()22313G x x a x a a =-+++，则()()()222Δ(31)43561151a a a a a a a =+-+=-+=--，若115a ≤≤，则0∆≤，所以()()223130G x x a x a a =-+++≥.若15a <，则对称轴31425a x +=<，所以()G x 在()1,+∞递增，故()()210G x G a >=≥，综上所述，a 的取值范围为(],1-∞.法二：由题知2224e 233x x x ax a a x--≥-+--对任意的()1,x ∈+∞恒成立，即()2224e 2330x x x x ax a a xϕ-=-+-++≥对任意的()1,x ∈+∞恒成立.由（1）知()()224e 1223x x x x a x ϕ--=-+-'在()1,+∞递增，又()13a ϕ'=-.①若0a ≤，则()()()10,x x ϕϕϕ'>≥'在()1,+∞递增，所以()()24110e x a ϕϕ>=-+>，符合；②若0a >，则()130a ϕ=-<'，又()112224e 14e (1)(1)(1)a a a a a a a a a ϕ--⎡⎤+=-=-+⎣⎦++'，令()124e(1)a m a a -=-+，则()()()14e 21a m a a h a -=-+='，则()14e 2a h a -'=-为单调递增函数，令()0h a '=得1ln2a =-，当()0,1ln2a ∈-时()()0,h a m a ''<单调递减，当()1ln2,a ∞∈-+时()()0,h a m a ''>单调递增，又()()10,00m m ='<'，所以当()0,1a ∈时，()()0,m a m a '<单调递减，当()1,a ∈+∞时，()()0,m a m a '>单调递增，所以()()10m a m ≥=，则()12214e (1)0(1)a a a a a ϕ-⎡⎤+'=-+≥⎣⎦+，所以(]01,1x a ∃∈+，使得()00x ϕ'=，即()0200204e 12230x x x a x ---+-=，且当()01,x x ∈时，()()0,x x ϕϕ'<单调递减，当()0,x x ∈+∞时，()()0,x x ϕϕ'>单调递增，所以()()0222min 000004e 233x x x x x ax a a x ϕϕ-==-+-++.若(]0,1a ∈，同法一可证()0222000004e 2330x x x x ax a a x ϕ-=-+-++≥，符合题意.若()1,2a ∈，因为()()()2232120a a a a ϕ=-+=--<，所以不符合题意.综上所述，a 的取值范围为(],1-∞.【点睛】方法点睛：导数问题经常会遇到恒成立的问题.常见的解决思路有：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数最值问题.（2）若()0f x >恒成立，就可以讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值与最值，最终转化为()min 0f x >；若()0f x <⇔()max 0f x <.（3）若()()f x g x ≥恒成立，可转化为()()min max f x g x ≥（需在同一处取得最值）.。

2021年高三上学期12月月考数学试卷（理科）含解析）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．设集合 M={x|x2+x﹣6＜0}，N={x|1≤x≤3}，则M∩N=（）A．[1，2）B．[1，2] C．（2，3] D．[2，3]2．“x＞2”是“x2＞4”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．设集合A={x|1≤x≤2}，B={y|1≤y≤4}，则下述对应法则f中，不能构成A 到B的映射的是（）A．f：x→y=x2B．f：x→y=3x﹣2 C．f：x→y=﹣x+4 D．f：x→y=4﹣x24．下列各图形中，不可能是某函数y=f（x）的图象的是（）A．B．C．D．5．若函数f（x）=ax2+bx+c的图象开口向上且顶点在第四象限，则函数f′（x）的图象是（）A． B． C． D．6．函数f（x）=x3﹣3x2+1是减函数的区间为（）A．（2，+∞）B．（﹣∞，2）C．（﹣∞，0）D．（0，2）7．若f（10x）=x，则f（3）的值为（）A．log310 B．lg3 C．103D．3108．已知定义在R上的偶函数f（x），满足f（x）=﹣f（4﹣x），且当x∈[2，4）时，f（x）=log2（x﹣1），则f的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2二．填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．）9．函数f（x）=x3﹣3x2+7的极大值是．10．幂函数y=f（x）的图象经过点（﹣2，），则满足f（x）=27的x的值是．11．函数f（x）=x3+ax2+3x﹣9，已知f（x）在x=﹣3时取得极值，则a等于．12．若函数y=x2+（2a﹣1）x+1在区间（﹣∞，2]上是减函数，则实数a的取值范围是．13．函数f（x）=（）|x﹣1|的单调减区间是．14．已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）=a（x+1）有三个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是．三．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．设集合A={x||x﹣a|＜2}，B={x|＜1}，若A∩B=A，求实数a的取值范围．16．已知函数f（x）=x3﹣3x及曲线y=f（x）上一点P（1，﹣2），（I）求与y=f（x）相切且以P为切点的直线方程；（Ⅱ）求过点P并与y=f（x）相切且切点异于P点的直线方程．17．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=﹣2处取得极值，并且它的图象与直线y=﹣3x+3在点（1，0）处相切，（1）求f（x）的解析式；（2）求f（x）的单调区间．18．已知函数f（x）=x2﹣ax+lnx，a∈R．（Ⅰ）若函数f（x）在（1，f（1））处的切线垂直于y轴，求实数a的值；（Ⅱ）在（I）的条件下，求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若x＞1时，f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．19．已知曲线C：y=e ax．（Ⅰ）若曲线C在点（0，1）处的切线为y=2x+m，求实数a和m的值；（Ⅱ）对任意实数a，曲线C总在直线l：y=ax+b的上方，求实数b的取值范围．20．国庆“黄金周”及其前后是旅游旺季．某宾馆通过对9月26日至10月15日这20天的调查，得到部分日经济收入Q与这20天中的第t天（t∈N*）的部分数据如下表：天数T（单位：天） 1 3 8 12 15日经济收入Q（单位：万元）218 248 288 284 260（1）根据上表数据，从下列函数中选取一个最恰当的函数描述Q与t的变化关系：Q=at+b，Q=﹣t2+at+b，Q=a•b t，Q=a•log b t，并求出该函数的解析式；（2）利用你选择的函数，确定日经济收入最高的是第几天；并求出最高日经济收入．xx学年北京市海淀区科迪实验中学高三（上）12月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．设集合M={x|x2+x﹣6＜0}，N={x|1≤x≤3}，则M∩N=（）A．[1，2）B．[1，2]C．（2，3]D．[2，3]【考点】交集及其运算．【分析】根据已知角一元二次不等式可以求出集合M，将M，N化为区间的形式后，根据集合交集运算的定义，我们即可求出M∩N的结果．【解答】解：∵M={x|x2+x﹣6＜0}={x|﹣3＜x＜2}=（﹣3，2），N={x|1≤x≤3}=[1，3]，∴M∩N=[1，2）故选A2．“x＞2”是“x2＞4”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】先后分析“x＞2”⇒“x2＞4”与“x2＞4”⇒“x＞2”的真假，进而根据充要条件的定义，得到答案．【解答】解：当x＞2时，x2＞4成立，故“x＞2”⇒“x2＞4”为真命题故“x＞2”是“x2＞4”的充分条件；当x2＞4时，x＜﹣2或x＞2，即x＞2不成立故“x2＞4”⇒“x＞2”为假命题故“x＞2”是“x2＞4”的不必要条件；综上“x＞2”是“x2＞4”的充分不必要条件；故选A3．设集合A={x|1≤x≤2}，B={y|1≤y≤4}，则下述对应法则f中，不能构成A到B的映射的是（）A．f：x→y=x2B．f：x→y=3x﹣2 C．f：x→y=﹣x+4 D．f：x→y=4﹣x2【考点】映射．【分析】按照映射的定义，一个对应能构成映射的条件是，A中的每个元素在集合B中都有唯一的确定的一个元素与之对应．判断题中各个对应是否满足映射的定义，从而得到结论．【解答】解：对于对应f：x→y=x2，当1≤x≤2 时，1≤x2≤4，在集合A={x|1≤x≤2}任取一个值x，在集合B={y|1≤y≤4}中都有唯一的一个y值与之对应，故A中的对应能构成映射．对于对应f：x→y=3x﹣2，当1≤x≤2 时，1≤3x﹣2≤4，在集合A={x|1≤x≤2}任取一个值x，在集合B={y|1≤y≤4}中都有唯一的一个y值与之对应，故B中的对应能构成映射．对于对应f：x→y=﹣x+4，当1≤x≤2 时，2≤﹣x+4≤3，在集合A={x|1≤x≤2}任取一个值x，在集合B={y|1≤y≤4}中都有唯一的一个y值与之对应，故B中的对应能构成映射．对于对应f：x→y=4﹣x2 ，当x=2 时，y=0，显然y=0不在集合B中，不满足映射的定义，故D中的对应不能构成A到B的映射．故选D．4．下列各图形中，不可能是某函数y=f（x）的图象的是（）A．B．C． D．【考点】函数的图象．【分析】根据函数的定义可知，B中不满足y值的唯一性．【解答】解：根据函数的定义可知，对应定义域内的每一个x，都要唯一的y与x对应，A，C，D满足函数的定义．B中当x＞0时，对应的y值有两个，所以不满足函数的定义，所以B不是函数的图象．故选B．5．若函数f（x）=ax2+bx+c的图象开口向上且顶点在第四象限，则函数f′（x）的图象是（）A． B． C． D．【考点】导数的运算．【分析】先根据二次函数的判断出a，b的符号，再求导，根据一次函数的性质判断所经过的象限即可．【解答】解：∵函数f（x）=ax2+bx+c的图象开口向上且顶点在第四象限，∴a＞0，﹣＞0，∴b＜0，∵f′（x）=2ax+b，∴函数f′（x）的图象经过一，三，四象限，∴选项A符合，故选：A．6．函数f（x）=x3﹣3x2+1是减函数的区间为（）A．（2，+∞）B．（﹣∞，2）C．（﹣∞，0）D．（0，2）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求出f′（x）令其小于0即可得到函数是减函数的区间．【解答】解：由f′（x）=3x2﹣6x＜0，得0＜x＜2∴函数f（x）=x3﹣3x2+1是减函数的区间为（0，2）．故答案为D．7．若f（10x）=x，则f（3）的值为（）A．log310 B．lg3 C．103D．310【考点】函数的值．【分析】法一：根据题意可得f（3）=f（10lg3），代入已知函数解析式可求法二：利用换元法可求出函数解析式，然后把t=3代入即可求解函数值【解答】解：法一：∵f（10x）=x，∴f（3）=f（10lg3）=lg3故选B法二：∵f（10x）=x，令t=10x，则x=lgt∴f（t）=﹣lgt∴f（3）=lg3故选B8．已知定义在R上的偶函数f（x），满足f（x）=﹣f（4﹣x），且当x∈[2，4）时，f（x）=log2（x﹣1），则f的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【考点】函数奇偶性的性质．【分析】由题设条件知本题中所给的函数是一个周期性函数，故可以利用周期性与函数是偶函数这一性质将要求的函数值转化到区间[2，4）上求解．【解答】解：定义在R上的偶函数f（x），满足f（x）=﹣f（4﹣x）恒成立，故可得f（x）=f（x﹣8），可得此函数的周期是8．又当x∈[2，4）时，f（x）=log2（x﹣1），由此f=f（2）+f（3）=log2（2﹣1）+log2（3﹣1）=1，故选：C．二．填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．）9．函数f（x）=x3﹣3x2+7的极大值是7．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】令f′（x）=0，可得x=0或x=2，根据导数在x=0和x=2两侧的符号，判断故f（0）为极大值．【解答】解：∵f′（x）=3x2﹣6x=3x（x﹣2），令f′（x）＞0，解得：x＞2或x＜0，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜2，∴函数f（x）在（﹣∞，0）是增函数，在（0，2）上是减函数，在（2，+∞）是增函数，∴函数f（x）在x=0时取得极大值7，故答案为：7．10．幂函数y=f（x）的图象经过点（﹣2，），则满足f（x）=27的x的值是．【考点】幂函数的性质．【分析】先设出幂函数的解析式，把点代入求出α的值，再把27代入解析式求出x的值．【解答】解：设幂函数y=f（x）=xα，∵过点，∴=（﹣2）α，解得α=﹣3，∴f（x）=x﹣3，∴f（x）=27=x﹣3，解得x=．故答案为：．11．函数f（x）=x3+ax2+3x﹣9，已知f（x）在x=﹣3时取得极值，则a等于5．【考点】函数在某点取得极值的条件．【分析】先对函数进行求导，根据函数f（x）在x=﹣3时取得极值，可以得到f′（﹣3）=0，代入求a值．【解答】解：对函数求导可得，f′（x）=3x2+2ax+3∵f（x）在x=﹣3时取得极值∴f′（﹣3）=0⇒a=5故答案为：512．若函数y=x2+（2a﹣1）x+1在区间（﹣∞，2]上是减函数，则实数a的取值范围是．【考点】二次函数的性质．【分析】有顶点公式可得出对称轴，对称轴应在（﹣∞，2]的右侧，可得不等式，求解．【解答】解：∵函数y=x2+（2a﹣1）x+1的对称轴为x=﹣a，又∵函数y=x2+（2a﹣1）x+1在区间（﹣∞，2]上是减函数，∴﹣a≥2，∴a≤﹣，故答案为（﹣∞，﹣]．13．函数f（x）=（）|x﹣1|的单调减区间是[1，+∞）．【考点】指数式与对数式的互化．【分析】由于函数=，利用复合函数的单调性的判定方法即可得出．【解答】解：函数=，利用复合函数的单调性的判定方法可知：当x≥1时，函数f（x）单调递减；当x＜1时，函数f（x）单调递增．∴函数f（x）的单调减区间是[1，+∞）．故答案为：[1，+∞）．14．已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）=a（x+1）有三个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是（0，）．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】作出函数f（x）的图象，关于x的方程f（x）=a（x+1）有三个不相等的实数根，即为直线y=a（x+1）与曲线y=相交时，与f（x）的图象有三个交点，求出直线与曲线y=相切时的斜率，即可得到a的取值范围．【解答】解：作出函数f（x）的图象，如右图：作出直线y=a（x+1），则直线恒过（﹣1，0），关于x的方程f（x）=a（x+1）有三个不相等的实数根，即为当直线与曲线y=相交时，与f（x）的图象有三个交点，当直线与曲线y=相切时，设切点为（m，），则y′=，则切线斜率为=a，又a（m+1）=，由此解得，a=（负的舍去），故a的取值范围是（0，）．故答案为（0，）．三．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．设集合A={x||x﹣a|＜2}，B={x|＜1}，若A∩B=A，求实数a的取值范围．【考点】集合关系中的参数取值问题．【分析】解绝对值不等式可求出集合A，解分式不等式可以求出集合B，由A∩B=A可得A ⊆B，结合集合包含关系定义，可构造关于a的不等式组，解得实数a的取值范围．【解答】解：若|x﹣a|＜2，则﹣2＜x﹣a＜2，即a﹣2＜x＜a+2故A={x||x﹣a|＜2}={x|a﹣2＜x＜a+2}．…若，则，即，即﹣2＜x＜3．…因为A∩B=A，即A⊆B，所以．解得0≤a≤1，…故实数a的取值范围为[0，1]…16．已知函数f（x）=x3﹣3x及曲线y=f（x）上一点P（1，﹣2），（I）求与y=f（x）相切且以P为切点的直线方程；（Ⅱ）求过点P并与y=f（x）相切且切点异于P点的直线方程．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（I）求出f（x）的导数，可得P处切线的斜率，可得切线方程；（Ⅱ）设切点为（m，n）（异于P点），代入f（x）可得n=m3﹣3m，求得切线的斜率和方程，代入（1，﹣2），可得m的方程，解得m，即可得到所求切线的方程．【解答】解：（I）函数f（x）=x3﹣3x的导数为f′（x）=3x2﹣3，点P（1，﹣2）处的切线斜率为3﹣3=0，则与y=f（x）相切且以P为切点的直线方程为y=﹣2；（Ⅱ）设切点为（m，n）（异于P点），且n=m3﹣3m，可得切线的斜率为3m2﹣3，切线的方程为y﹣n=（3m2﹣3）（x﹣m），点P（1，﹣2）代入上式，可得﹣2﹣m3+3m=（3m2﹣3）（1﹣m），整理可得2m3﹣3m2+1=0，即为（m﹣1）2（2m+1）=0，解得m=﹣（1舍去），可得切线的斜率为﹣，则所求切线的方程为y+2=﹣（x﹣1），即为9x+4y﹣1=0．17．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=﹣2处取得极值，并且它的图象与直线y=﹣3x+3在点（1，0）处相切，（1）求f（x）的解析式；（2）求f（x）的单调区间．【考点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出f′（x），因为函数在x=﹣2处取得极值，所以f′（﹣2）=0，又因为函数与直线在点（1，0 ）处相切，所以f′（1）=﹣3，代入求得两个关于a与b的二元一次方程，求出解集得到a和b，又因为函数过点（1，0），代入求出c的值即可．（2）由（1）求出的值可得导函数的解析式，分别令其大于、小于0可求增、减区间．【解答】解：（1）∵f′（x）=3x2+2ax+b，∴f′（﹣2）=3×（﹣2）2+2a×（﹣2）+b=0∴12﹣4a+b=0 ①又f′（1）=3+2a+b=﹣3 ②，由①②解得a=1，b=﹣8又f（x）过点（1，0），∴13+a×12+b×1+c=0，∴c=6所以f（x）的解析式为：f（x）=x3+x2﹣8x+6（2）由（1）知：f（x）=x3+x2﹣8x+6，所以f′（x）=3x2+2x﹣8令3x2+2x﹣8＜0解得，令3x2+2x﹣8＞0解得x＜﹣2，或故f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣2）和（，+∞），f（x）的单调递减区间为（﹣2，）18．已知函数f（x）=x2﹣ax+lnx，a∈R．（Ⅰ）若函数f（x）在（1，f（1））处的切线垂直于y轴，求实数a的值；（Ⅱ）在（I）的条件下，求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若x＞1时，f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．【分析】（I）求出函数的导数，求得切线的斜率，由题意可得斜率为0，可得a=3：（II）求出导数，令导数大于0，可得增区间，令导数小于0，可得减区间；（Ⅲ）运用参数分离，可得a＜在x＞1时恒成立，令h（x）=1+x2﹣lnx，求得导数，判断函数的单调性，运用单调性即可求得a的取值范围．【解答】解：（I）f（x）=x2﹣ax+lnx，a∈R．定义域为（0，+∞），导数．依题意，f′（1）=0．所以f′（1）=3﹣a=0，解得a=3；（II）a=3时，f（x）=lnx+x2﹣3x，定义域为（0，+∞），f′（x）=+2x﹣3=，当0＜x＜或x＞1时，f′（x）＞0，当＜x＜1时，f′（x）＜0，故f（x）的单调递增区间为（0，），（1，+∞），单调递减区间为（，1）；（III）由f（x）＞0，得a＜在x＞1时恒成立，令g（x）=，则g′（x）=，令h（x）=1+x2﹣lnx，则h′（x）=2x﹣=，所以h（x）在（1，+∞）为增函数，h（x）＞h（1）=2＞0．故g'（x）＞0，故g（x）在（1，+∞）为增函数，即有g（x）＞g（1）=1，所以a≤1，即实数a的取值范围为（﹣∞，1]．19．已知曲线C：y=e ax．（Ⅰ）若曲线C在点（0，1）处的切线为y=2x+m，求实数a和m的值；（Ⅱ）对任意实数a，曲线C总在直线l：y=ax+b的上方，求实数b的取值范围．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）根据导数的几何意义，y=e ax在x=0处的切线方程为y﹣1=y′（0）x，再比较已知条件，可得；（Ⅱ）原题意可转化为对于∀x，a∈R，e ax＞ax+b恒成立，法1：进一步转化为∀x，a∈R，e ax﹣ax﹣b＞0恒成立，令g（x）=e ax﹣ax﹣b，分别从a=0和a≠0两种情况通过求导的方式进一步分析；法2：进一步转化为∀x，a∈R，b＜e ax﹣ax恒成立，再令t=ax，则等价于∀t ∈R，b＜e t﹣t恒成立，再通过研究函数g（t）=e t﹣t的性质求解．【解答】解：（Ⅰ）y'=ae ax，因为曲线C在点（0，1）处的切线为L：y=2x+m，所以1=2×0+m且y'|x=0=2．解得m=1，a=2（Ⅱ）法1：对于任意实数a，曲线C总在直线的y=ax+b的上方，等价于∀x，a∈R，都有e ax＞ax+b，即∀x，a∈R，e ax﹣ax﹣b＞0恒成立，令g（x）=e ax﹣ax﹣b，①若a=0，则g（x）=1﹣b，所以实数b的取值范围是b＜1；②若a≠0，g'（x）=a（e ax﹣1），由g'（x）=0得x=0，g'（x），g（x）的情况如下：0 （0，+∞）x （﹣∞，0）g'（x）﹣0 +g（x）↘极小值↗所以g（x）的最小值为g（0）=1﹣b，所以实数b的取值范围是b＜1；综上，实数b的取值范围是b＜1．法2：对于任意实数a，曲线C总在直线的y=ax+b的上方，等价于∀x，a∈R，都有e ax＞ax+b，即∀x，a∈R，b＜e ax﹣ax恒成立，令t=ax，则等价于∀t∈R，b＜e t﹣t恒成立，令g（t）=e t﹣t，则g'（t）=e t﹣1，由g'（t）=0得t=0，g'（t），g（t）的情况如下：t （﹣∞，0 （0，+∞）0）g'（t）﹣0 +g（t）↘极小值↗所以g（t）=e t﹣t的最小值为g（0）=1，实数b的取值范围是b＜1．20．国庆“黄金周”及其前后是旅游旺季．某宾馆通过对9月26日至10月15日这20天的调查，得到部分日经济收入Q与这20天中的第t天（t∈N*）的部分数据如下表：天数T（单位：天） 1 3 8 12 15日经济收入Q（单位：万元）218 248 288 284 260（1）根据上表数据，从下列函数中选取一个最恰当的函数描述Q与t的变化关系：Q=at+b，Q=﹣t2+at+b，Q=a•b t，Q=a•log b t，并求出该函数的解析式；（2）利用你选择的函数，确定日经济收入最高的是第几天；并求出最高日经济收入．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）由提供的数据知道，描述宾馆日经济收入Q与天数的变化关系的函数不可能为常数函数，也不可能是单调函数，故选取二次函数Q=at2+bt+c进行描述，将（1，218）、（8，288）代入Q=﹣t2+at+b，代入Q，即得函数解析式；（2）由二次函数的图象与性质，利用配方法可求取最值．【解答】解：（1）由提供的数据知道，描述宾馆日经济收入Q与天数的变化关系的函数不可能为常数函数，从而用四个中的任意一个进行描述时都应有，而Q=at+b，Q=a•b t，Q=a•log b t三个函数均为单调函数，这与表格所提供的数据不符合，∴选取二次函数进行描述最恰当．…将（1，218）、（8，288）代入Q=﹣t2+at+b，可得，解得a=19，b=200．∴Q=﹣t2+19t+200，（1≤t≤20，t∈N*）；（2）Q=﹣t2+19t+200=﹣（t﹣）2+，∵1≤t≤20，t∈N*，∴t=9或10时，Q取得最大值290万元．精品文档xx年11月30日Q29452 730C 猌30791 7847 硇27496 6B68 歨37042 90B2 邲`26773 6895 梕x39106 98C2 飂27219 6A53 橓31600 7B70 筰33470 82BE 芾;D实用文档。

长郡中学2025届高三月考试卷（二）数学得分__________．本试卷共8页．时量120分钟．满分150分．一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 已知集合{}(){}2,128tAxx B t t ==∈Z ∣∣ ，则A B = （ ）A. []1,3−B. {}0,1C. []0,2D. {}0,1,2【答案】D 【解析】【分析】解绝对值不等式与指数不等式可化简集合,A B ，再利用交集的定义求解即可.【详解】{}{}|2=22A x x xx =≤−≤≤∣， 由指数函数的性质可得(){}{}1280,1,2,3tB t t =≤≤∈=Z ∣，所以{}{}{}220,1,2,30,1,2A B xx ∩−≤≤∩∣. 故选：D.2. 已知复数z 满足i 1z −=，则z 的取值范围是（ ） A. []0,1 B. [)0,1C. [)0,2D. []0,2【答案】D 【解析】【分析】利用i 1z −=表示以(0,1)为圆心，1为半径的圆，z 表示圆上的点到原点的距离可得答案. 【详解】因为在复平面内，i 1z −=表示到点(0,1)距离为1的所有复数对应的点， 即i 1z −=表示以(0,1)为圆心，1为半径的圆， z 表示圆上的点到原点的距离，所以最短距离为0，最长距离为112+=，则z 的取值范围是[0,2]. 故选：D3. 已知()2:ln (11)1p f x a x x=+−<< −是奇函数，:1q a =−，则p 是q 成立的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】当p 成立，判断q 是否成立，再由q 成立时，判断p 是否成立，即可知p 是q 成立何种条件.【详解】由()f x 奇函数，则()00f =，即()ln 20a +=，解得1a =−， 所以p q ⇒，当1a =−时，()21ln 1ln 11x f x x x +=−=−−，11x −<<， ()()1111ln ln ln 111x x x f x f x x x x −−++∴−===−=− +−−，所以()f x 是奇函数， 所以p q ⇐， 所以p 是q 的充要条件. 故选：A.4. 若锐角α满足sin cos αα−sin 22πα+=（ ） A.35B. 35C. 35 或35D. 45−或45【答案】B 【解析】【分析】先利用辅助角公式求出πsin 4α−，再利用角的变换ππsin 2sin 2π24αα+=−+，结合诱导公式和二倍角公式求解即可.【详解】由题意可得πsin cos 4ααα−=−=πsin 4α−.是因为α是锐角，所以πππ,444α −∈−，πcos 4α −所以πππππsin 2sin 2πsin 22sin cos 24444ααααα+=−+=−−=−−−325=−=−. 故选：B.5. 某大学在校学生中，理科生多于文科生，女生多于男生，则下述关于该大学在校学生的结论中，一定成立的是（ ）A. 理科男生多于文科女生B. 文科女生多于文科男生C. 理科女生多于文科男生D. 理科女生多于理科男生【答案】C 【解析】【分析】将问题转化不等式问题，利用不等式性质求解. 【详解】根据已知条件设理科女生有1x 人，理科男生有2x 人， 文科女生有1y 人，文科男生有2y 人；根据题意可知1212x x y y +>+，2211x y x y +<+，根据异向不等式可减的性质有()()()()12221211x x x y y y x y +−+>+−+， 即有12x y >，所以理科女生多于文科男生，C 正确.其他选项没有足够证据论证. 故选：C.6. 如图，某车间生产一种圆台形零件，其下底面的直径为4cm ，上底面的直径为8cm ，高为4cm ，已知点P 是上底面圆周上不与直径AB 端点重合的一点，且,AP BP O =为上底面圆的圆心，则OP 与平面ABC所成的角的正切值为（ ）为A. 2B.12C.D.【答案】A 【解析】【分析】作出直线OP 与平面ABC 所成的角，通过解直角三角形来求得直线OP 与平面ABC 所成的角的正切值.【详解】设O ′为下底面圆的圆心，连接,OO CO ′′和CO ， 因为AP BP =，所以AB OP ⊥，又因为,,AB OO OP OO O OP OO ′′⊥=⊂′ 、平面OO P ′，所以AB ⊥平面OO P ′， 因为PC 是该圆台的一条母线，所以,,,O O C P ′四点共面，且//O C OP ′， 又AB ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面POC ，又因为平面ABC 平面POC OC =，所以点P 在平面ABC 的射影在直线OC 上， 则OP 与平面ABC 所成的角即为POC OCO ∠=∠′，过点C 作CD OP ⊥于点D ，因为4cm,2cm OP O C ′==， 所以tan tan 2OO POC OCO O C∠=′′∠==′. 故选：A7. 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线1:2l y kx =+与圆22:1C x y +=交于,A B 两点，则AOB 的面积的最大值为（ ）A. 1B.12C.D.【答案】D 【解析】【分析】求得直线过定点以及圆心到直线的距离的取值范围，得出AOB 的面积的表达式利用三角函数单调性即可得出结论.【详解】根据题意可得直线1:2l y kx =+恒过点10,2E，该点在已知园内， 圆22:1C x y +=的圆心为()0,0C ，半径1r =，作CD l ⊥于点D ，如下图所示：易知圆心C 到直线l 的距离为12CD CE ≤=，所以1cos 2CD DCB CB ∠=≤， 又π0,2DCB∠∈，可得ππ,32DCB∠∈； 因此可得2π2,π3ACB DCB∠=∠∈，所以AOB 的面积为112πsin 11sin 223AOB S CA CB ACB =∠≤×××= 故选：D 8. 设函数()()2ln f x xax b x =++，若()0f x ≥，则a 的最小值为（ ）A. 2−B. 1−C. 2D. 1【答案】B 【解析】【分析】根据对数函数性质判断ln x 在不同区间的符号，在结合二次函数性质得1x =为该二次函数的一个零点，结合恒成立列不等式求参数最值.【详解】函数()f x 定义域为(0,)+∞，而01ln 0x x <<⇒<，1ln 0x x =⇒=，1ln 0x x >⇒>， 要使()0f x ≥，则二次函数2y x ax b =++，在01x <<上0y <，在1x >上0y >， 所以1x =为该二次函数的一个零点，易得1b a =−−， 则2(1)(1)[(1)]y x ax a x x a =+−+=−++，且开口向上， 所以，只需(1)0101a a a −+≤⇒+≥⇒≥−，故a 的最小值为1−.故选：B二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9. 已知2n >，且*n ∈N ，下列关于二项分布与超几何分布的说法中，错误的有（ ） A. 若1(,)3X B n ，则()22113E X n ++ B. 若1(,)3X B n ，则()4219D X n += C. 若1(,)3X B n ，则()()11P X P X n ===−D. 当样本总数远大于抽取数目时，可以用二项分布近似估计超几何分布 【答案】BC 【解析】【分析】利用二项分布的期望、方差公式及期望、方差的性质计算判断AB ；利用二项分布的概率公式计算判断C ；利用二项分布与超几何分布的关系判断D.【详解】对于A ，由1(,)3X B n ，得()13E X n =，则()22113E X n ++，A 正确； 对于B ，由1(,)3X B n ，得()122339D X n n =×=，则()()82149D X D X n +==，B 错误； 对于C ，由1(,)3X B n ，得11111221(1)C (),(1)C ()3333n n n n n P X P X n −−−==××=−=××，故(1)(1)P X P X n =≠=−，C 错误；对于D ，当样本总数远大于抽取数目时，可以用二项分布近似估计超几何分布，D 正确. 故选：BC10. 已知函数()sin cos (,0)f x x a x x ωωω=+∈>R 的最大值为2，其部分图象如图所示，则（ ）A. 0a >B. 函数π6f x−为偶函数 C. 满足条件的正实数ω存在且唯一 D. ()f x 是周期函数，且最小正周期为π 【答案】ACD 【解析】【分析】根据题意，求得函数π()2sin(2)3f x x =+，结合三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.【详解】由函数()sin cos )f x x a x x ωωωϕ=++，且tan a ϕ=，因为函数()f x 的最大值为22=，解得a =，又因为(0)0f a =>，所以a =A 正确； ()πsin 2sin 3f x x x x ωωω ==+因为πππ2sin 1443f ω=+= ，且函数()f x 在π4的附近单调递减，所以ππ5π2π,Z 436k k ω++∈，所以28,Z k k ω=+∈，又因为π24T >，可得π2T >π2>，解得04ω<<，所以2ω=， 此时π()2sin(2)3f x x =+，其最小正周期为πT =，所以C 、D 正确； 设()πππ2sin 22sin 2663F x f x x x=−=−+=，()()2sin[2()]2sin 2F x x x F x −=−=−=−，所以FF (xx )为奇函数，即函数π()6f x −为奇函数，所以B 不正确. 故选：ACD.11. 已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线交x 轴于点D ，直线l 经过F 且与C 交于,A B 两点，其中点A 在第一象限，线段AF 的中点M 在y 轴上的射影为点N .若MN NF =，则（ ）A. lB. ABD △是锐角三角形C. 四边形MNDF2 D. 2||BF FA FD ⋅> 【答案】ABD 【解析】【分析】根据题意分析可知MNF 为等边三角形，即可得直线l 的倾斜角和斜率，进而判断A ；可知直线l 的方程，联立方程求点,A B 的坐标，求相应长度，结合长度判断BD ；根据面积关系判断C.【详解】由题意可知：抛物线的焦点为,02p F，准线为2px =−，即,02p D −，设()()112212,,,,0,0A x y B x y y y ><， 则111,,0,2422x y y p M N+，可得， 因为MN NF =，即MN NF MF ==，可知MNF 为等边三角形，即60NMF ∠=°，且MN ∥x 轴，可知直线l 的倾斜角为60°，斜率为tan 60k =°=，故A 正确；则直线:2p l y x =− ，联立方程222p yx y px=− =，解得32p x y ==或6p x y p= =，即32p A，,6p B p，则,M p p N p，可得28,,,2,,33DFp AD p BDp FA p FB p AB p ======，在ABD △中，BD AD AB <<，且2220BD AD AB +−<， 可知ADB ∠为最大角，且为锐角，所以ABD △是锐角三角形，故B 正确；四边形MNDF 的面积为21122MNDF BDF MNF S S S p p p p p =+=×+×=△△，故C 错误； 因为224,3FB FA p FD p ⋅==，所以2||BF FA FD ⋅>，故D 正确； 故选：ABD.【点睛】方法点睛：有关圆锥曲线弦长、面积问题的求解方法（1）涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数的关系、设而不求计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解； （2）面积问题常采用12S =× 底×高，其中底往往是弦长，而高用点到直线距离求解即可，选择底很重要，选择容易坐标化的弦长为底．有时根据所研究三角形的位置，灵活选择其面积表达形式，若求多边形的面积问题，常转化为三角形的面积后进行求解；（3）在求解有关直线与圆锥曲线的问题时，应注意数形结合、分类与整合、转化与化归及函数与方程思想的应用．三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 在ABC 中，AD 是边BC 上的高，若()()1,3,6,3AB BC==，则AD =______．【解析】【分析】设()6,3BD mBC m m == ，表达出()61,33AD m m =++ ，根据垂直关系得到方程，求出13m =−，进而得到答案.【详解】设()6,3BD mBC m m == ，则()()()1,36,361,33AD AB BD m m m m =+=+=++，由0AD BC = 得6(61)3(33)366990AD BC m m m m =+++=+++=，解得13m =−，故()()12,311,2AD =−−=− ，所以||AD ..13. 已知定义在RR 上的函数()f x 满足()()23e xf x f x =−+，则曲线yy =ff (xx )在点()()0,0f 处的切线方程为_____________. 【答案】3y x =+ 【解析】【分析】利用方程组法求出函数解析式，然后利用导数求切线斜率，由点斜式可得切线方程. 【详解】因为()()23e xf x f x =−+，所以()()23e x f x f x −−=+，联立可解得()=e 2e xx f x −+，所以()03f =，所以()()e2e ,01xx f x f −=′−+=′. 所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为3y x −=， 故所求的切线方程为3y x . 故答案为：3y x .14. 小澄玩一个游戏：一开始她在2个盒子,A B 中分别放入3颗糖，然后在游戏的每一轮她投掷一个质地均匀的骰子，如果结果小于3她就将B 中的1颗糖放入A 中，否则将A 中的1颗糖放入B 中，直到无法继续游戏．那么游戏结束时B 中没有糖的概率是__________． 【答案】117【解析】【分析】设最初在A 中有k 颗糖，B 中有6k −颗糖时，游戏结束时B 中没有糖的概率为()0,1,,6k a k = ，归纳找出递推关系，利用方程得出0a ，再由递推关系求3a .【详解】设A 中有k 颗糖，B 中有6k −颗糖，游戏结束时B 中没有糖的概率为()0,1,,6k a k = . 显然0113a a =，()65112112,153333k k k a a a a a k +−=+=+≤≤，可得()112k k k k a a a a +−−=−，则()566510022a a a a a −=−=，()65626765040010002222221a a a a a a a a a a ∴=+=++=+++=− ，同理()256510002221a a a a a =+++=− ，()()760021212133a a ∴−=−+，解得011385255a ==× ()430112115.25517a a ∴=−=×=故答案为：117【点睛】关键点点睛：本题的关键在于建立统一的一个6颗糖果放入2个盒子不同情况的模型，找到统一的递推关系，利用递推关系建立方程求出0a ，即可得出这一统一模型的答案.四､解答题（本大题共5小题，共77分，解签应写出文字说明､证明过程或演算步骤．） 15. 已知数列{}n a 中，11a =，且0,n n a S ≠为数列{}n a 的前nn a =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若1(1)n n n n n c a a +−=，求数列{}n c 的前n 项和． 【答案】（1）21na n =− （2）421,42n n n n T n n n − += + − + ，为偶数为奇数 【解析】【分析】(1)1={aa nn }的通项公式； (2) 求出(1)1142121n n c n n − =+ −+，再讨论n 为奇、偶数，利用裂项相消法即可求数列{}n c 的前n 项和. 【小问1详解】 根据题意知1,2n n n a S S n −=−≥0n a +≠=②，1,2n =≥，所以可得1=为首项，1为公差的等差数列，11n n =+−=，所以2n S n =，121,2n n n a n S S n −−==−≥，当1n =时11a =也满足该式，所以21na n =−. 【小问2详解】由(1)结论可知21n a n =−，所以()()1(1)(1)(1)11212142121n n n n n n n n c a a n n n n +−−− ===+ −+−+， 设{}n c 的前n 项和为n T ，则当n 为偶数时，111111111111433557212142142n n T n n n n =−+++−++++=−+=− −+++则当n 为奇数时，1111111111111433557212142142n n T n n n n + =−+++−++−+=−−=− −+++所以421,42n n n n T n n n − += + − + ，为偶数为奇数.16. 如图，在以,,,,,A B C D E F 为顶点的五面体中，四边形ABCD 与四边形CDEF 均为等腰梯形，AB∥,CD EF ∥,224CD CD AB EF ===，AD DE AE ===.（1）证明：平面ABCD ⊥平面CDEF ；（2）若M 为线段CD 1=，求二面角A EM B −−的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）通过勾股定理及全等得出线线垂直，应用线面垂直判定定理得出OE ⊥平面ABCD ，由OE ⊂平面CDEF 进而得出面面垂直；（2）由面面垂直建立空间直角坐标系，分别求出法向量再应用向量夹角公式计算二面角余弦值.【小问1详解】证明：在平面CDEF 内，过E 做EO 垂直于CD 交CD 于点O ，由CDEF 为等腰梯形，且24CD EF ==，则1,DO =又OE =，所以2OE ，连接AO ，由ADO EDO ≅ ，可知AO CD ⊥且2AO =，所以在三角形OAE 中，222AE OE OA =+，从而OE OA ⊥，又,,,OE CD OA CD O OA CD ⊥∩=⊂平面ABCD ，，所以OE ⊥平面ABCD ， 又OE ⊂平面CDEF ，所以平面ABCD ⊥平面CDEF【小问2详解】由（1）知，,,OE OC OA 两两垂直，以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()0,0,2,2,0,0,0,2,0,0,2,2A E M B ，()()()2,0,2,2,2,0,0,0,2AE EM MB =−=−= ，设平面AEM 的一个法向量为(),,n x y z =， 则00n AE n EM ⋅= ⋅=，即220220x z x y −= −+= ， 取1z =，则()1,1,1n = ，设平面BEM 的一个法向量为()111,,m x y z =， 则00m MB m EM ⋅= ⋅=，即11120220z x y = −+= ， 取11y =，则()1,1,0m = ，所以cos,m nm nm n⋅==⋅由图可以看出二面角A EM B−−为锐角，故二面角A EM B−−.17. 已知函数2()e2,Rxf x ax a=−∈．（1）求函数()f x的单调区间；（2）若对于任意的0x>，都有()1f x≥恒成立，求a的取值范围．【答案】（1）答案见解析（2）(],1−∞【解析】【分析】（1）对2()e2xf x ax=−求导，可得2()2e2xf x a′=−，再分类讨论a的取值，得出导数的正负即可得出单调区间；（2）对a进行分类讨论，根据导数正负求得()f x的最小值，判断是否满足()1f x≥，即可求解．【小问1详解】对2()e2xf x ax=−求导，可得2()2e2xf x a′=−，令()0f x′=，即22e20x a−=，即2e x a=，当0a≤时，ff′(xx)>0恒成立，()f x在R上单调递增；当0a>时，21e,2ln,ln2x a x a x a===，当1ln2x a<时，()()0,f x f x′<在1,ln2a∞−上单调递减；当1ln2x a>时，ff′(xx)>0，()f x在1ln,2a∞+上单调递增；综上，当0a≤时，()f x单调递增区间为R；当0a>时，()f x的单调递减区间为1,ln2a∞−，单调递增区间为1ln,2a∞+．【小问2详解】因为对于任意的0x>，都有()1f x≥恒成立，的的对2()e 2x f x ax =−求导，可得2()2e 2x f x a ′=−，令()0f x ′=，即22e 20x a −=，即2e x a =，①当0a ≤时，ff ′(xx )>0，则()f x 在(0,+∞)单调递增，()()01f x f >=，符合题意； ②当01a <≤时，2e x a =，则1ln 02x a ≤， 则()0f x ′>，()f x 在(0,+∞)单调递增，()()01f x f >=，符合题意； ③当1a >时，2e x a =，则1ln 02xa >， 当10,ln 2x a∈ 时，()0f x ′<，则()f x 在10,ln 2a单调递减， 当1ln ,2x a ∞ ∈+ 时，()0f x ′>，则()f x 在1ln ,2a ∞ +单调递增， 所以()ln 11ln e 2ln ln 22a f x f a a a a a a ≥=−⋅=−， 令()ln ,1g a a a a a =−>，则()ln 0g a a ′=−<， 所以()g a 在(1,+∞)上单调递减，所以()()11g a g <=，不合题意； 综上所述，(],1a ∞∈−．18. 已知双曲线()2222:10,0x y E a b a b−=>>的左､右焦点分别为12,,F F E 的一条渐近线方程为y =，过1F 且与x 轴垂直的直线与E 交于P ，Q 两点，且2PQF 的周长为16.（1）求E 的方程；（2）,A B 为双曲线E 右支上两个不同的点，线段AB 的中垂线过点()0,4C ，求ACB ∠的取值范围.【答案】（1）22:13y E x −=； （2）2π0,3. 【解析】 【分析】（1）将x c =−代入曲线E 得2b y a =±，故得211b PF QF a==，从而结合双曲线定义以及题意得24416b a b a a = +=，解出,a b 即可得解. （2）设:AB y kx m =+，联立双曲线方程求得中点坐标，再结合弦长公式求得ACM ∠的正切值，进而得ACM ∠范围，从而由2ACB ACM ∠=∠即可得解.【小问1详解】将x c =−代入2222:1(0,0)x y E a b a b −=>>，得2b y a=±， 所以211b PF QF a==，所以2222b PF QF a a ==+，所以由题得24416b a b a a= +=，1a b = ⇒ = 所以双曲线E 的方程为22:13y E x −=. 【小问2详解】由题意可知直线AB斜率存在且k ≠，设:AB y kx m =+，AA (xx 1,yy 1),BB (xx 2,yy 2),设AB 的中点为M . 由2233y kx m x y =+ −=消去y 并整理得222(3)230k x kmx m −−−−=，230k −≠， 则22222(2)4(3)(3)12(3)0km k m m k ∆=+−+=+−>，即223m k >−， 12223km x x k+=−，212233m x x k +=−−，12122226()2233km m y y k x x m k m k k +=++=⋅+=−−，于是M 点为2(3km k −，23)3m k −，2223431243M C MC M m y y m k k k km x kmx k −−−+−===−. 由中垂线知1A MC B k k ⋅=−，所以231241m k km k−+=−，解得：23m k =−. 所以由,A B 在双曲线的右支上可得：22221220333033m m x x m k k k m+−<+=−=>⇒⇒=−>−， 且12222003km x x k k k+>⇒>−， 且()()()()()22222222Δ43390333403m k k k k k k =−+>⇒−+−=−−>⇒<或24k >， 综上24k >即2k >，又CM =， 所以tan AM ACM CM ∠===因为24k >，所以213m k =−<−，故2333k 0−−<<(， 所以π0,3ACM∠∈. 所以2π20,3ACB ACM∠=∠∈ . 19. 对于集合,A B ，定义运算符“Δ”:Δ{,A B x x A x B =∈∈∣两式恰有一式成立}，A 表示集合A 中元素的个数．（1）设][1,1,0,2A B =−= ，求ΔA B ；（2）对于有限集,,A B C ，证明ΔΔΔA B B C A C +≥，并求出固定,A C 后使该式取等号的B 的数量；（用含,A C 的式子表示）（3）若有限集,,A B C 满足ΔΔΔA B B C A C +=，则称有序三元组(),,A B C 为“联合对”，定义{}*1,2,,,I n n ∈N ，(){},,,,u A B C A B C I ⊆∣． ①设m I ∈，求满足ΔA C m =的“联合对”(),,A B C u ⊆的数量；（用含m 的式子表示） ②根据（2）及（3）①的结果，求u 中“联合对”的数量．【答案】（1）[1,0)(1,2]−∪（2）||2A C ∆（3）①C 2m n m n +⋅②6n【解析】【分析】（1）根据新定义，对区间逐一分析即可得解；（2）利用韦恩图及新定义，求出不等式等号成立的条件，利用集合的性质转化为求子集个数； （3）①分别求出(),A C ,B 取法的种数，再由分步乘法计数原理得解②结合（2）及（3）①的结果，利用二项式定理求解.【小问1详解】对于,,[1),0x x A x B −∈∈∉，故x A B ∈∆；对于,,[0,1]x x A x B ∈∈∈，故x A B ∉∆；对于,,(1,2]x x A x B ∉∈∈，故x A B ∈∆；对于,,[1],2x x A x B ∉−∉∉，故x A B ∉∆，即[10)(12],,A B −∆ .【小问2详解】画出Venn 图，如图，将A B C 划分成7个集合17,,S S ，则14562547||||||||||,||||||||||A B S S S S B C S S S S ∆=+++∆=+++，1267||||||||||A C S S S S ∆=+++，故45||||||2||2||0A B B C A C S S ∆+∆−∆=+≥不等式成立，当且仅当45S S ==∅时取等号， 4S =∅等价于()A C B ∩⊆，5S =∅等价于()B A C ⊆∪，故当且仅当()()A C B A C ∩⊆⊆∪取等号. 设()B A C D =∩∪，其中集合D 与A C 无交集，由于()\()A C A C A C ∆= ，故有()()\ΔD A C A C A C ∅⊆⊆∪∩=，即D 为A C ∆的某一子集，有||2A C ∆种，从而使上式取等的B 有||2A C ∆个.【小问3详解】①设X A C u =∆⊆，有||X m =，故X 有C m n 种取法，对于每一个x ，知X 中每一个元素x 有两种情形：,x A x C ∈∉或,x A x C ∉∈，且/I X 中每一个元素x 有两种情形：,x A x C ∈∉或,x A x C ∉∈，故,x I x ∀∈共有两种选择，也就是这样的(),A C 有||22I n =种，对于每一个(),A C ，由（2）知B 有||22A C m ∆=种取法.故由乘法原理，这样的“联合对(),,A B C 有C 2m n m n +⋅个.②由①知，u 中“联合对”的数量为()00C 22C 212216n n n m n m n m m n m n n nnm m +−===⋅=+=∑∑(二项式定理)， 故u 中“联合对”(),,A B C 的数量为6n .【点睛】关键点点睛：集合新定义问题的关键在于理解所给新定义，会抽象的利用集合的知识，分步乘法计数原理，二项式定理推理运算，此类问题难度大.。