专题2.2 垂径定理及其推论【十大题型】【苏科版】【题型1 由垂径定理及其推论判断正误】 (1)【题型2 根据垂径定理与勾股定理综合求值】 (3)【题型3 根据垂径定理与全等三角形综合求值】 (8)【题型4 在坐标系中利用垂径定理求值或坐标】 (14)【题型5 利用垂径定理求平行弦问题】 (19)【题型6 利用垂径定理求同心圆问题】 (23)【题型7 垂径定理的实际应用】 (27)【题型8 垂径定理在格点中的运用】 (33)【题型9 利用垂径定理求整点】 (37)【题型10 利用垂径定理求最值或取值范围】 (41)【知识点1垂径定理及其推论】（1）垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）垂径定理的推论推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．【题型1由垂径定理及其推论判断正误】【例1】（2023春·九年级单元测试）如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，连接BC、BD，下列结论中不一定正确的是（）A．AE=BE B．AD=BD C．OE=DE D．AC=BC【答案】C【分析】根据垂径定理判断即可；【详解】∵直径CD垂直于弦AB于点E，则由垂径定理可得，AE=BE，AD=BD，AC=BC，故选项A，B，D 正确；OE=DE无法得出，故C错误．故选C．【点睛】本题主要考查了垂径定理的应用，准确分析判断是解题的关键．【变式1-1】（2023春·北京海淀·九年级人大附中校考阶段练习）在学习了《圆》这一章节之后,甲、乙两位同学分别整理了一个命题:甲:相等的弦所对的圆心角相等;乙:平分弦的直径垂直于这条弦.下面对这两个命题的判断,正确的是A．甲对乙错B．甲错乙对C．甲乙都对D．甲乙都错【答案】D【分析】根据在同圆或等圆中, 如果两个圆心角以及它们对应的两条弧、两条弦中有一组量相等, 则另外两组量也相等，可判断甲命题；由垂径定理可得判断乙命题.【详解】(1)在同圆或等圆中, 相等的弦所对的弧对应相等,故甲命题错误; (2)平分弦的直径垂直于不是直径的弦; 故乙命题项错误;故选D.【点睛】本题主要考查同圆或等圆中，弧、弦、圆心角的关系及垂径定理.【变式1-2】（2023春·全国·九年级专题练习）下列命题正确的是（）A．垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧B．弦的垂直平分线经过圆心C．平分弦的直径垂直于弦D．平分弦所对的两条弧的直线垂直于弦【答案】ABD【分析】根据垂径定理及其推论进行判断即可．【详解】A、垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧，正确；B、弦的垂直平分线经过圆心，正确；C、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故错误；D、平分弦所对的两条弧的直线垂直于弦，正确；故选ABD．【点睛】本题考查了垂径定理：熟练掌握垂径定理及其推论是解决问题的关键．【变式1-3】（2023·福建三明·泰安模拟）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，则下列结论正确的是（ ）A ．DE=BEB ．BC =BD C ．△BOC 是等边三角形D ．四边形ODBC 是菱形【答案】B【详解】试题分析：∵AB ⊥CD ，AB 过O ，∴DE=CE ，BC =BD ，根据已知不能推出DE=BE ，△BOC 是等边三角形，四边形ODBC 是菱形．故选B ．【考点】垂径定理．【题型2 根据垂径定理与勾股定理综合求值】【例2】（2023·贵州遵义·统考三模）在半径为r 的圆中，弦BC 垂直平分OA ，若BC =6，则r 的值是（ ）A B ．C ．D 【答案】C【分析】设BC 、OA 交于D ，根据题意和垂径定理得到OD =12r ，BD =3，∠ODB =90°，在Rt △OBD 由勾股定理得到r 2=32+，解方程即可得到答案．【详解】解：设BC 、OA 交于D ，∵弦BC 垂直平分OA ，BC =6，∴OD =12OA =12r ，BD =12BC =3，∠ODB =90°，在Rt△OBD中，由勾股定理得OB2=OD2+BD2，∴r2=32+，解得r=故选C．【点睛】本题主要考查了勾股定理和垂径定理，利用方程的思想求解是解题的关键．【变式2-1】（2023春·浙江·九年级统考阶段练习）如图，已知⊙O的半径为5，弦AB=8，点E在AB上运动，连结OE，过点E作EF⊥OE交⊙O于点F，当EF最大时，OE+EF的值为．【答案】7【分析】当OE⊥AB，EF最大，即点F与点B重合，过O作OE⊥AB于E，连接OB，根据垂径定理得到BE=4，根据勾股定理得到【详解】解：当OE⊥AB，EF最大，即点F与点B重合，过O作OE⊥AB于E，连接OB，∵AB=8，∴BE=4，∵OB=5，∴，∴OE+EF=OE+OB=7，故答案为7．【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键.【变式2-2】（2023·湖北孝感·校联考一模）如图，△ABC内接于⊙O，OC⊥OB，OD⊥AB于D交AC于E 点，已知⊙O的半径为1，则AE2+CE2的值为（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【分析】连接BE，根据垂径定理得到AD=DB，得到EA=EB，∠EAO=∠EBO=∠ACO，根据勾股定理计算即可．【详解】解：连接BE，如图，∵OD⊥AB，∴AD=DB，∴EA=EB，∠EAO=∠EBO=∠ACO，∵∠ECB+∠EBC=∠ECO+45°+∠EBC=∠OBE+45°+∠EBC=90°，∴∠BEC=90°，在直角△BEC中，BE2+CE2=BC2，∵OC⊥OB，且OC=OB=OA∴BC2=2OA2=2，∴BE2+CE2=2，即AE2+CE2=2．故选：B．【变式2-3】（2023春·江苏泰州·九年级校考阶段练习）如图，在⊙O中，AB是直径，P为AB上一点，过点P作弦MN，∠NPB=45°．（1）若AP=2，BP=6，求MN的长；（2）若MP=3，NP=5，求AB的长；（3）当P在AB上运动时（∠NPB=45°不变）请求出其范围．【答案】（1）2）3）不变，值为12【分析】（1）作OH⊥MN于H，连接ON，先计算出OA=4，OP=2，在Rt△POH中，由于∠OPH=45°，则Rt△OHN中，利用勾股定理计算出OH⊥MN得到HM=HN，所以（2）作OH⊥MN于H，连接ON，先计算出HM=HN=4，PH=1，在Rt△POH中，由∠OPH=45°得到OH=1，再在Rt△OHN中利用勾股定理可计算出(3) 作OH⊥MN于H，连接ON，根据垂定理得HM=HN，设圆的半径为R，在Rt△OHN中，利用勾股定理得到OH2+NH2=ON2=R2，在Rt△POH中，由∠OPH=45°得OH=PH，则PH2+NH2=R2，然后变形PM2+PN2可得到2（PH2+NH2），所以PM2+PN2的值为2R2，又AB=2R，代入计算即可求出答案．【详解】解：（1）作OH⊥MN于H，连接ON，∵AP=2，BP=6，∴AB=8，∴OA=4，OP=2，在Rt△POH中，∵∠OPH=45°，∴在Rt△OHN中，∵ON=4，∴∵OH⊥MN，∴HM=HN，∴（2）作OH⊥MN于H，连接ON，则HM=HN，∵MP=3，NP=5，∴MN=8，∴HM=HN=4，∴PH=1，在Rt△POH中，∵∠OPH=45°，∴OH=1，在Rt△OHN中，∵HN=4，OH=1，∴∴（3的值不发生变化，为定值1，2作OH⊥MN于H，连接ON，则HM=HN，设圆的半径为R，在Rt△OHN中，OH2+NH2=ON2=R2，在Rt△POH中，∵∠OPH=45°，∴OH=PH，∴PH2+NH2=R2，∵PM2+PN2=（HM-PH）2+（NH+PH）2=（NH-PH）2+（NH+PH）2=2（PH2+NH2）=2R2．又AB2=4R2，=2R2 4R2=1 2的值不发生变化，为定值12．【点睛】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．【题型3根据垂径定理与全等三角形综合求值】【例3】（2023春·江苏·九年级专题练习）如图，⊙O的弦AB垂直于CD，点E为垂足，连接OE．若AE＝1，AB=CD=6，则OE的值是（ ）A．B．C．D．【答案】A【分析】如图所示，过O点作OH⊥AB于H点，OF⊥CD于F点，连接OB、OC，根据垂径定理可求出EH的值，再证Rt△OBH≌Rt△OCF(HL)，可得OH=OF，根据正方形的判定可得四边形OHEF为正方形，由此即可求解．【详解】解：如图所示，过O点作OH⊥AB于H点，OF⊥CD于F点，连接OB、OC，∴根据垂径定理得，DF =CF =12CD =12×6=3，AH =BH =12AB =12×6=3，∵AE =1，∴EH =AH−AE =3−1=2，在Rt △OBH 和Rt △OCF 中，OB =OC BH =CF ，∴Rt △OBH≌Rt △OCF(HL)，∴OH =OF ，∵CD ⊥AB ，∴∠HEF =90°，∵∠OHE =∠OFE =90°，∴四边形OHEF 为正方形，OE 是正方形的对角线，∴OE ==故选：A ．【点睛】本题考查圆与三角形的综合，掌握圆的基础值，垂径定理，全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质等知识的综合运用是解题的关键．【变式3-1】（2023春·全国·九年级专题练习）如图，AB 为圆O 直径，F 点在圆上，E 点为AF 中点，连接EO ，作CO ⊥EO 交圆O 于点C ，作CD ⊥AB 于点D ，已知直径为10，OE ＝4，求OD 的长度．【答案】3【分析】根据垂径定理的逆定理得到OE ⊥AF ，由CO ⊥EO ，得到OC ∥AF ，即可得到∠OAE ＝∠COD ，然后通过证得△AEO ≌△ODC ，证得CD ＝OE ＝4，然后根据勾股定理即可求得OD ．【详解】解：∵E 点为AF 中点，∴OE ⊥AF ，∵CO ⊥EO ，∴OC ∥AF ，∴∠OAE ＝∠COD ，∵CD ⊥AB ，∴∠AEO ＝∠ODC ，在△AEO 和△ODC 中，∠OAE =∠COD ∠AEO =∠ODC OA =OC，∴△AEO ≌△ODC （AAS ），∴CD ＝OE ＝4，∵OC ＝5，∴OD3．【点睛】本题考查垂径定理的逆定理、平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握垂径定理和全等三角形的判定与性质是解答的关键【变式3-2】（2023·上海·统考中考真题）已知：在圆O 内，弦AD 与弦BC 交于点G,AD =CB,M,N 分别是CB 和AD 的中点，联结MN,OG ．（1）求证：OG ⊥MN ；（2）联结AC,AM,CN ，当CN//OG 时，求证：四边形ACNM 为矩形．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）连结OM,ON ，由M 、N 分别是CB 和AD 的中点，可得OM ⊥BC ，ON ⊥AD ，由AB =CD ， 可得OM =ON ，可证RtΔEOP≌RtΔFOP (HL )，MG =NG ，∠MGO =∠NGO ，根据等腰三角形三线合一性质OG ⊥MN ;（2）设OG 交MN 于E ，由RtΔEOP≌RtΔFOP ，可得MG =NG ，可得∠CMN =∠ANM ，CM =12CB =12AD =AN ，可证△CMN≌△ANM 可得AM =CN ，由CN ∥OG ，可得∠AMN =∠CNM =90°，由∠AMN +∠CNM=180°可得AM ∥CN ，可证ACNM 是平行四边形，再由∠AMN =90°可证四边形ACNM 是矩形．【详解】证明：（1）连结OM,ON ，∵M 、N 分别是CB 和AD 的中点，∴OM ，ON 为弦心距，∴OM ⊥BC ，ON ⊥AD ，∴∠GMO =∠GNO =90°，在⊙O 中，AB =CD ，∴OM =ON ，在Rt △OMG 和Rt △ONG 中，OM =ON OG =OG ，∴RtΔGOM≌RtΔGON (HL )，∴MG =NG ，∠MGO =∠NGO ，∴OG ⊥MN ;（2）设OG 交MN 于E ，∵RtΔGOM≌RtΔGON (HL )，∴MG =NG ，∴∠GMN =∠GNM ，即∠CMN =∠ANM ，∵CM =12CB =12AD =AN ，在△CMN 和△ANM 中CM =AN ∠CMN =∠ANM MN =NM，∴△CMN≌△ANM，∴AM=CN,∠AMN=∠CNM，∵CN∥OG，∴∠CNM=∠GEM=90°，∴∠AMN=∠CNM=90°，∴∠AMN+∠CNM=90°+90°=180°，∴AM∥CN，∴ACNM是平行四边形，∵∠AMN=90°，∴四边形ACNM是矩形．【点睛】本题考查垂径定理，三角形全等判定与性质，等腰三角形判定与性质，平行线判定与性质，矩形的判定，掌握垂径定理，三角形全等判定与性质，等腰三角形判定与性质，平行线判定与性质，矩形的判定是解题关键．【变式3-3】（2023春·江西赣州·九年级统考期末）按要求作图(1)如图1，已知AB是⊙O的直径，四边形ACDE为平行四边形，请你用无刻度的直尺作出∠AOD的角平分线OP；(2)如图2，已知AB是⊙O的直径，点C是BD的中点，AB∥CD，请你用无刻度的直尺在射线DC上找一点P，使四边形ABPD是平行四边形．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）连接AD，EC交于点F，作射线OF交⊙O于点P，OP即为所求；（2）连接DB，OC交于点E，作射线AE交DC于点P，四边形ABPD即为所求．【详解】（1）解：如图1，连接AD，EC交于点F，作射线OF交⊙O于点P，OP即为所求；∵四边形ACDE 为平行四边形，∴AF =DF ，∵OA =OD ，∴ OP 是∠AOD 的角平分线；（2）如图2，连接OD ，连接DB ，OC 交于点E ，作射线AE 交射线DC 于点P ，四边形ABPD 即为所求；∵点C 是BD 的中点，∴OC ⊥DB ,∵OD =OB ，∴DE =EB ，∵AB∥CD ，∴∠ABE =∠PDE ，在△ABE 与△PDE 中，∠ABE =∠PDE∠AEB =∠PED DE =BE，∴△ABE≌△PDE ，∴AB =DP，∵AB∥DP，∴四边形ABPD是平行四边形．【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，垂径定理，三线合一，掌握以上知识是解题的关键．【题型4在坐标系中利用垂径定理求值或坐标】【例4】（2023春·九年级单元测试）如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是(3,a)(a>3)，半径为3，函数y=x的图像被⊙P截得的弦AB的长为a的值是（ ）A．4B．3+C．D．3+【答案】B【分析】作PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连接PB，求出D点坐标为(3,3)，可得△OCD为等腰直角三角形，从而△PED也为等腰直角三角形．根据垂径定理得AE=BE=Rt△PBE中，利用勾股定理求出PE=1，再求出PD的长即可求解．【详解】解：作PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连接PB，如图，∵⊙P的圆心坐标是(3,a)，∴OC=3,PC=a，把x=3代入y=x得y=3，∴D点坐标为(3,3)，∴CD=3，∴△OCD为等腰直角三角形，∴∠PDE =∠ODC =45°，∵PE ⊥AB ，∴△PED 为等腰直角三角形，AE =BE =12AB =12×=在Rt △PBE 中，PB =3，∴PE =1，∴PD =∴a =3故选B ．【点睛】本题考查了一次函数的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，以及垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．正确作出辅助线是解答本题的关键．【变式4-1】（2023·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标是(10,0)，点B 的坐标是(8,0)，点C ，D 在以OA 为直径的半圆M 上，且四边形OCDB 是平行四边形，求点C 的坐标．【答案】点C 的坐标为(1,3)【分析】连接CM ，作MN ⊥CD 于N ，CH ⊥OA 于H ，根据题意得CD =OB =8，CN =MH ，CH =MN ，根据垂径定理得出CN =DN = 12 CD =4．MO =MC =5, 在Rt △MNC 中，勾股定理得出MN =3,进而得出C 的纵坐标为3，又OH =OM−MH =5−4=1，即可求解．【详解】解：如图，连接CM ，作MN ⊥CD 于N ，CH ⊥OA 于H ．∵四边形OCDB 为平行四边形，B 点的坐标是(8,0)，∴CD =OB =8，CN =MH ，CH =MN ．又∵MN⊥CD，CD=4．∴CN=DN=12∵点A的坐标是(10,0)，∴OA=10，∴MO=MC=5．在Rt△MNC中，MN===3．∴CH=3．又OH=OM−MH=5−4=1．∴点C的坐标为(1,3)．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形，垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键．【变式4-2】（2023·江苏南京·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，一个圆与两坐标轴分别交于A、B、C、D四点．已知A（6，0），B（﹣2，0），C（0，3），则点D的坐标为．【答案】(0,−4)【详解】设圆心为P，过点P作PE⊥AB于点E，PF⊥CD于点F，先根据垂径定理可得EA＝EB＝4，FC＝FD，进而可求出OE＝2，再设P（2，m），即可利用勾股定理表示出PC2，PA2，最后利用PA＝PA列方程即可求出m值，进而可得点D坐标．【解答】解：设圆心为P，过点P作PE⊥AB于点E，PF⊥CD于点F，则EA＝EB＝AB＝4，FC＝FD，2∴OE ＝EB ﹣OB ＝4﹣2＝2，∴E （2，0），设P （2，m ），则F （0，m ），连接PC 、PA ，在Rt △CPF 中，PC 2＝（3﹣m ）2+22，在Rt △APE 中，PA 2＝m 2+42，∵PA ＝PC ，∴（3﹣m ）2+22＝m 2+42，∴m ＝±12（舍正），∴F （0，−12），∴CF ＝DF ＝3−(−12)＝72，∴OD ＝OF +DF ＝12+72＝4，∴D （0，﹣4），故答案为：（0，﹣4）．【点睛】本题考查垂径定理，涉及到平面直角坐标系，勾股定理等，解题关键是利用半径相等列方程．【变式4-3】（2023春·湖北鄂州·九年级校联考期末）如图，在平面直角坐标系中，⊙O 经过点(0,10)，直线y =kx +2k−4与⊙O 交于B 、C 两点，则弦BC 的最小值是（ ）A．B．C．D．以上都不对【答案】C【分析】易知直线y=kx+2k−4过定点D(−2,−4)，运用勾股定理可求出OD，由⊙O经过点(0,10)，可求出半径OB=10，由于过圆内定点D的所有弦中，与OD垂直的弦最短，因此只需运用垂径定理及勾股定理就可解决问题．【详解】解：对于直线y=kx+2k−4，当x=−2时，y=−4，故直线y=kx+2k−4恒经过点(−2,−4)，记为点D．由于过圆内定点D的所有弦中，与OD垂直的弦最短，即当OD⊥BC时，BC最短，连接OB，如图所示，∵D(−2,−4)，∴OD==∵⊙O经过点(0,10)，∴OB=10，∴BD∵OB⊥BC，∴BC=2BD=∴弦BC的最小值是故选：C．【点睛】本题主要考查了直线上点的坐标特征、垂径定理、勾股定理等知识，发现直线恒经过点(−2,−4)以及运用“过圆内定点D的所有弦中，与OD垂直的弦最短”这个经验是解决该题的关键．【题型5利用垂径定理求平行弦问题】【例5】（2023·全国·九年级专题练习）在半径为10的⊙O中，弦AB=12，弦CD=16，且AB∥CD，则AB 与CD之间的距离是．【答案】2或14【分析】由于弦AB与CD的具体位置不能确定，故应分两种情况进行讨论：①弦AB与CD在圆心同侧；②弦AB 与CD在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可．【详解】解：①当弦AB与CD在圆心同侧时，如图①，过点O作OF⊥AB，垂足为F，交CD于点E，连接OA，OC，∵AB∥CD，∴OE⊥CD，∵AB=12，CD=16，∴CE=8，AF=6，∵OA=OC=10，∴由勾股定理得：EO=6，OF=8，∴EF=OF−OE=2；②当弦AB与CD在圆心异侧时，如图，过点O作OE⊥CD于点E，反向延长OE交AB于点F，连接OA，OC，同理EO==6，OF=8，EF=OF+OE=14，所以AB与CD之间的距离是2或14．故答案为：2或14．【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理，解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．【变式5-1】（2023春·浙江杭州·九年级校考阶段练习）如图，矩形ABCD与圆心在AB上的☉O交于点G，B，F，E，GB =5，EF =4，那么AD = ．【答案】32【分析】连接OF，过点O作OH⊥EF，垂足为H，根据垂径定理，在△OHF中，勾股定理计算．【详解】如图，连接OF，过点O作OH⊥EF，垂足为H，EF=2，则EH=FH=12∵GB=5，∴OF =OB =52，在△OHF 中，勾股定理，得OH =32，∵四边形ABCD 是矩形，∴四边形OADH 也是矩形，∴AD =OH =32，故答案为：32．【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理，熟练掌握两个定理是解题的关键．【变式5-2】（2023春·九年级课时练习）如图，AB ，CD 是半径为15的⊙O 的两条弦，AB ＝24，CD ＝18，MN 是直径，AB ⊥MN 于点E ，CD ⊥MN 于点F ，P 为EF 上任意一点，则PA ＋PC 的最小值为 ．【答案】【分析】由于A 、B 两点关于MN 对称，因而PA ＋PC ＝PB ＋PC ，即当B 、C 、P 在一条直线上时，PA ＋PC 的值最小，即BC 的值就是PA ＋PC 的最小值．【详解】解：连接BC ，OB ，OC ，作CH 垂直于AB 于H ．∵AB ＝24，CD ＝18，MN 是直径，AB ⊥MN 于点E ，CD ⊥MN 于点F ，∴BE ＝12AB ＝12，CF ＝12CD ＝9，∴OE =9，OF =12，∴CH ＝OE ＋OF ＝9＋12＝21，BH ＝BE ＋EH ＝BE ＋CF ＝12＋9＝21，在Rt △BCH 中，根据勾股定理得：BC即PA ＋PC 的最小值为故答案为：【点睛】本题考查垂径定理以及最短路径问题，灵活根据垂径定理确定最短路径是解题关键．【变式5-3】（2023·全国·九年级专题练习）如图，A，B，C，D在⊙O上，AB//CD经过圆心O的线段EF⊥AB 于点F，与CD交于点E，已知⊙O半径为5．（1）若AB=6，CD=8，求EF的长；（2）若CD=EF=BF，求弦AB的长；【答案】（1）7；（2）8AB=3，再由勾股定理求出OF的长，同理求出OE的【分析】（1）连接AO和DO，由垂径定理得AF=12长，即可求出EF的长；（2）连接BO和DO，先由垂径定理和勾股定理求出OE的长，设EF=BF=x，在Rt△OBF中，利用勾股定理列式求出x的值，得到BF的长，即可求出AB的长．【详解】解：（1）连接AO和DO，∵EF⊥AB，且EF过圆心，AB=3，∴AF=12∵AO=5，∴OF=4，∵AB//CD，∴EF⊥CD，CD=4，同理DE=12OE=3，∴EF=OF+OE=4+3=7；（2）如图，连接BO和DO，∵CD=∴DE=∴OE=1，设EF=BF=x，则OF=x−1，在Rt△OBF中，OF2+BF2=BO2，(x−1)2+x2=25，解得x1=4，x2=−3（舍去），∴BF=4，∴AB=2BF=8．【点睛】本题考查垂径定理，解题的关键是熟练掌握垂径定理，并能够结合勾股定理进行运用求解．【题型6利用垂径定理求同心圆问题】【例6】（2023春·湖北孝感·九年级校联考阶段练习）如图，两个圆都是以O为圆心．（1）求证：AC=BD；（2）若AB=10，BD=2，小圆的半径为5，求大圆的半径R的值．【答案】（1）见解析；（2【分析】（1）作OE⊥AB，由垂径定理得AE=BE，CE=DE，即可得到AC=BD；（2）连接OB，OD，由AB=10，则BE=5，由勾股定理，得OE2=OD2−DE2，OE2=OB2−BE2，DE=BE−BD=5−2=3，即可求出大圆半径.【详解】解：（1）如图：作OE⊥AB于E，由垂径定理，得：AE=BE，CE=DE，∴BE−DE=AE−CE，即AC=BD；（2）如图，连接OD，OB，∵AB=10，∴BE=AE=5，DE=5-2=3，在Rt△OBE和Rt△ODE中，由勾股定理，得：OE2=OD2−DE2，OE2=OB2−BE2，∴OD2−DE2=OB2−BE2，即52−32=OB2−52，解得：OB∴【点睛】本题考查了垂径定理，以及勾股定理，熟练掌握垂径定理和勾股定理进行计算是解题的关键.【变式6-1】（2023春·浙江台州·九年级统考期末）如图，一人口的弧形台阶，从上往下看是一组同心圆被一条直线所截得的一组圆弧．已知每个台阶宽度为32cm（即相邻两弧半径相差32cm），测得AB=200cm，AC=BD=40cm，则弧AB所在的圆的半径为cm【答案】134【分析】由于所有的环形是同心圆，画出同心圆圆心，设弧AB所在的圆的半径为r，利用勾股定理列出方程即可解答．【详解】解：设弧AB所在的圆的半径为r，如图．作OE⊥AB于E，连接OA，OC，则OA=r，OC=r+32，∵OE⊥AB，∴AE=EB=100cm，在RT△OAE中OE2=OA2−AE2=r2−1002，在RT△OCE中，OE2=OC2−CE2=(r+32)2−1402，则r2−1002=(r+32)2−1402解得：r=134．故答案为：134．【点睛】本题考查垂径定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．【变式6-2】（2023春·九年级课时练习）将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB的宽度是（ ）cm.A．6B．C．D．【答案】C【分析】作OD ⊥AB 于C ，交小圆于D ，可得CD=2，AC=BC ，由AO 、BO 为半径，则OA=OD=4；然后运用勾股定理即可求得AC 的长，即可求得AB 的长.【详解】解：作OD ⊥AB 于C ，交小圆于D ，则CD=2，AC=BC ，∵OA=OD=4，CD=2，∴OC=2，∴∴AB=2AC=故答案为C.【点睛】本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，作出辅助线、构造出直角三角形是解答本题的关键.【变式6-3】（2023·浙江杭州·九年级）如图，两个同心圆的半径分别为2和4，矩形ABCD 的边AB 和CD 分别是两圆的弦，则矩形ABCD 面积的最大值是 ．【答案】16【分析】过点O 作OP ⊥AB 于P 并反向延长交CD 于N ，作OM ⊥AD 于点M ，连接OA 、OD ，根据面积之间的关系得出S △AOD =12S 矩形APND =14S 矩形ABCD ，从而得出S 矩形ABCD 最大时，S △AOD 也最大，过点D 作AO 边上的高h ，根据垂线段最短可得h≤OD ，利用三角形的面积公式即可求出S △AOD 的最大值，从而求出结论．【详解】解：过点O 作OP ⊥AB 于P 并反向延长交CD 于N ，作OM ⊥AD 于点M ，连接OA 、OD∴AO=2，OD=4，四边形APND 和四边形PBCN 为矩形，PN ⊥CD ，∴OM=AP根据垂径定理可得：点P 和点N 分别为AB 和CD 的中点，∴S 矩形APND =12S 矩形ABCD∵△AOD 的高OM 等于矩形APND 的宽，△AOD 的底为矩形APND 的长∴S △AOD =12S 矩形APND =14S 矩形ABCD∴S 矩形ABCD 最大时，S △AOD 也最大过点D 作AO 边上的高h ，根据垂线段最短可得h≤OD （当且仅当OD ⊥OA 时，取等号）∴S △AOD =12AO·h≤12AO·OD=12×2×4=4故S △AOD 的最大值为4∴S 矩形ABCD 的最大值为4÷14=16故答案为：16．【点睛】此题考查的是垂径定理、各图形面积的关系和三角形面积的最值问题，掌握垂径定理、利用边的关系推导面积关系和垂线段最短是解决此题的关键．【题型7 垂径定理的实际应用】【例7】（2023·浙江温州·校联考二模）如图，是某隧道的入口，它的截面如图所示，是由APB 和直角∠ACB 围成，且点C 也在APB 所在的圆上，已知AC =4m ，隧道的最高点P 离路面BC 的距离DP =7m ，则该道路的路面宽BC = m ；在APB 上，离地面相同高度的两点E ，F 装有两排照明灯，若E 是AP 的中点，则这两排照明灯离地面的高度是m ．【答案】【分析】先求得圆心的位置，根据垂径定理得到AM=CM=2，即可求得半径为5，根据勾股定理即可求得CD，进而求得BC，根据勾股定理求得PA，从而以及垂径定理求得PN，利用勾股定理求得ON，通过证得△EOK≅△OPN求得EK=ON，进一步即可求得EQ．【详解】作AC的垂直平分线OM，交PD于O，交AC于M，则O是圆心，连接OC，∴OD=MC=1AC=2，2∵PD=7，∴圆的半径为7−2=5，∴CD∴BC=2CD=连接PA、OE交于N，作AH⊥PD于H，EQ⊥BC于Q，∵PD=7，DH=AC=4，∴PH=7−4=3，∵AH=CD=∴PA==∵E是AP的中点，∴OE垂直平分PA，∴PN∴ON∵EQ∥PD，∴∠OEK=∠EOP，在△EOK和△OPN中，∠OEK=∠PON∠EKO=∠ONP=90°EO=PO，∴△EOK≅△OPN(AAS)，∴EK=ON=∴EQ=EK+KQ+2，故答案为．【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，三角形全等的判定和性质，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．【变式7-1】（2023春·浙江嘉兴·九年级平湖市林埭中学校联考期中）某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．(1)请你用直尺和圆规补全这个输水管道的圆形截面（保留作图痕迹）；(2)若这个输水管道有水部分的水面宽AB=8cm，水面最深地方的高度为2cm，求这个圆形截面的半径．【答案】(1)见解析(2)5cm【分析】（1）运用尺规作图的步骤和方法即可解答；（2）作OD⊥AB于D，并延长交⊙O于C，则D为AB的中点，则AD=4cm，设这个圆形截面的半径为x cm，在Rt△AOD中，运用勾股定理求出x即可．【详解】（1）如图所示；（2）作OD⊥AB于D，并延长交⊙O于C，则D为AB的中点，∵AB=8cm，AB=4cm．∴AD=12设这个圆形截面的半径为x cm，又∵CD=2cm，∴OD=(x−2)cm，在Rt△AOD中，∵OD2+AD2=OA2，即(x−2)2+42=x2，解得x=5cm．∴圆形截面的半径为5cm．【点睛】本题考查了垂经定理和勾股定理，根据题意画出图形和灵活应用勾股定理是解答本题的关键．【变式7-2】（2023春·河北邢台·九年级校联考期末）“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具．如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O始终在水面上方．且当圆被水面截得的弦AB 为6米时，水面下盛水筒的最大深度为1米（即水面下方部分圆上一点距离水面的最大距离）．(1)求该圆的半径；(2)若水面上涨导致圆被水面截得的弦AB从原来的6米变为8米时，则水面下盛水筒的最大深度为多少米？【答案】(1)5米(2)2米AB=3，DE=1，再由勾股定理【分析】（1）作OD⊥AB于点E，交⊙O于点D，由垂径定理可得AE=12即可求出圆的半径；AB=4米．在Rt△AOE中，由勾股定理可得，AE2+OE2=OA2，则OE=3米，（2）当AB=8米时，AE=12即可求出DE的长．【详解】（1）解：如图，作OD⊥AB于点E，交⊙O于点D．AB=3米，DE=1米．则AE=12设圆的半径为r米，在Rt△AOE中，AE2+OE2=OA2，∴32+(r−1)2=r2，解得r=5，∴该圆的半径为5米；AB=4米．（2）解：当AB=8米时，AE=12在Rt△AOE中，AE2+OE2=OA2，∴42+OE2=52，∴OE=3米，∴DE=5−3=2（米）．答：水面下盛水筒的最大深度为2米．【点睛】本题考查垂径定理，熟练掌握垂径定理的定义并运用是解题的关键．【变式7-3】（2023·湖南·统考中考真题）问题情境：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图①）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120秒．问题设置：把筒车抽象为一个半径为r的⊙O．如图②，OM始终垂直于水平面，设筒车半径为2米．当t=0时，某盛水筒恰好位于水面A处，此时∠AOM=30°，经过95秒后该盛水筒运动到点B处．（参考数据，≈1.414 1.732）问题解决：(1)求该盛水筒从A处逆时针旋转到B处时，∠BOM的度数；(2)求该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离．（结果精确到0.1米）【答案】(1)∠BOM=45°；(2)该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离为0.3米．【分析】（1）先求得该盛水筒的运动速度，再利用周角的定义即可求解；（2）作BC⊥OM于点C，在Rt△OAD中，利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求得OD的长，在Rt△OBC中，利用勾股定理求得OC的长，据此即可求解．【详解】（1）解：∵旋转一周用时120秒，=3°，∴每秒旋转360°120当经过95秒后该盛水筒运动到点B处时，∠AOB=360°−3°×95=75°，∵∠AOM=30°，∴∠BOM=75°−30°=45°；（2）解：作BC⊥OM于点C，设OM与水平面交于点D，则OD⊥AD，在Rt△OAD中，∠AOD=30°，OA=2，OA=1，OD=∴AD=12在Rt△OBC中，∠BOC=45°，OB=2，∴BC=OC=∴CD=OD−OC=≈0.3(米)，答：该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离为0.3米．【点睛】本题考查了圆的性质，含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．【题型8垂径定理在格点中的运用】【例8】（2023春·湖北武汉·九年级校联考期末）如图是由小正方形组成的7×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．(1)在图（1）中，A，B，C三点是格点，画经过这三点的圆的圆心O，并在该圆上画点D，使AD=BC；(2)在图（2）中，A，E，F三点是格点，⊙I经过点A．先过点F画AE的平行线交⊙I于M，N两点，再画弦MN的中点G．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）首先根据网格的特点和圆的性质求得点D，然后根据矩形的对角线互相平分和圆的性质求得点O即可；（2）设AE与⊙I的交点为C，根据网格的特点和平行线的求得直线BF交⊙I于M，N两点，然后连接AN，CM 交于点D，连接DI并延长交MN与点G即可求解．【详解】（1）如图所示，连接AD，BC相交于点O，由网格可得，AD1=BC=3，由网格的特点可得，D2B∥AC∵点A，C，B，D2在同一个圆上∴AD2=BC=3∴点D1和D2即为所要求作的D点；∵∠DAB=∠ABC=∠BCD=90°∴四边形ABCD是矩形，∴OA=OB=OC=OD，∴点O即为经过A，B，C三点的圆的圆心，∴点O即为所求作的点；‘（2）如图所示，∵AC∥MN，点A，C，N，M在⊙I上∴AM=CN∴四边形AMNC是等腰梯形，。
