必修1综合素测试

本册综合素能检测本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

满分150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2012～2013学年度重庆市凤鸣山中学半期考试)已知A B ，A C ，B ＝{1,2,3,6}，C ＝{0,2,4,8}，则A 可以是( )A ．{1,2}B ．{2,4}C ．{2}D ．{4}[答案] C2．(重庆市第49中学2012～2013学年高一期中考试数学)下列函数中是奇函数的是( )A ．f(x)＝x 2B ．f(x)＝－x 3C ．f(x)＝|x|D ．f(x)＝x ＋1 [答案] B3．(2012～2013重庆市安富中学第一期半期考试数学试卷)下列函数中，定义域为(0，＋∞)的是( )A ．y ＝1xB ．y ＝xC ．y ＝1x 2 D ．y ＝12x [答案] A4．化简(27125)－13的结果是( ) A .35B .53C ．3D ．5[答案] B [解析] (27125)－13 ＝(35)3×(－13 )＝(35)－1＝53，故选B .5．(2012～2013合肥模拟)已知符号函数sgn (x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x>00，x ＝0－1，x<0，则函数f(x)＝sgn (ln x)－ln x 的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4[答案] C[解析] 令f(x)＝0，则sgn (ln x)－ln x ＝0，即sgn (ln x)＝ln x ，∴ln x ＝0或ln x ＝±1，∴x ＝e 或x ＝1或x ＝1e .6．下列各式错误的是( ) A ．30.8>30.7 B ．log 0.50.4>log 0.50.6 C ．0.75－0.1<0.750.1 D ．lg 1.6>lg 1.4[答案] C[解析] y ＝0.75x 为减函数，∴0.75－0.1>0.750.1，故选C .7．已知f(x)＝ax 7－bx 5＋cx 3＋2，且f(－5)＝m ，则f(5)＋f(－5)的值为( )A ．4B ．0C ．2mD ．－m ＋4 [答案] A[解析] f(－5)＝a ×(－5)7－b ×(－5)5＋c ×(－5)3＋2＝－a ×57＋b ×55－c ×53＋2，f(5)＝a ×57－b ×55＋c ×53＋2，∴f(5)＋f(－5)＝4，8．函数y ＝log 0.6(6＋x －x 2)的单调增区间是( ) A ．(－∞，12] B ．[12，＋∞) C ．(－2，12] D ．[12，3)[答案] D[解析] 设y ＝log 0.6t ，t ＝6＋x －x 2，y ＝log 0.6(6＋x －x 2)增区间即为t ＝6＋x －x 2的减区间且t>0，故为(12，3)，故选D .9．函数y ＝－1x －1＋1的图象是下列图象中的( )[答案] A[解析] 由于x ≠1，否定C 、D ，当x ＝0时，y ＝2，否定B ，故10．(2012～2013山东省临沂市临沂县实验中学阶段性试题)函数f(x)＝2x－1＋x－5的零点所在区间为()A．(0,1) B．(1,2)C．(2,3) D．(3,4)[答案]C[解析]∵f(2)＝－1＜0，f(3)＝2＞0，∴f(2)f(3)＜0.因此函数f(x)＝2x－1＋x－5在(2,3)上有一零点，故选C.11．幂函数y＝x m，y＝x n，y＝x p的图象如图所示，以下结论正确的是()A．m＞n＞pB．m＞p＞nC．n＞p＞mD．p＞n＞m[答案]C[解析]结合幂函数的性质和幂函数的图象特征可直接得到．12．对任意实数x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x＞0时，f(x)＜0，那么对f(x)在定义域R上结论正确的是()A ．f (x )是奇函数，又是减函数B ．f (x )是奇函数，又是增函数C ．f (x )是偶函数，又是减函数D ．f (x )是偶函数，又是增函数 [答案] A[解析] ∵f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )， 令x ＝y ＝0得f (0)＝0， ∴f (－x )＝－f (x )，即f (x 1)＝f (x 2)＋f (－x 1)＝f (x 2－x 1)， ∵x 2－x 1＞0，∴f (x 2－x 1)＜0，即 f (x 2)＜f (x 1)．因此f (x )为减函数．第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．设集合A ＝{－1,0,3}，B ＝{a ＋3,2a ＋1}，A ∩B ＝{3}，则实数a 的值为________．[答案] a ＝0或1 [解析]若a ＋3＝3则a ＝0，B ＝{1,3}符合题意，若2a ＋1＝3则a ＝1，B ＝{4,3}符合题意，∴a ＝0或1. 14．函数y ＝log 3x 的定义域为______________．(用区间表示) [答案] [1，＋∞)[解析] log 3x ≥0，即x ≥1定义域为[1，＋∞)．15．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4，0≤x ≤22x ，x >2，则f (2)＝________；若f (x 0)＝8，则x 0＝________.[答案] 0 4[解析] f (2)＝22－4＝0，当x 0>2时，2x 0＝8，∴x 0＝4， 当0≤x 0≤2时，x 20－4＝8，∴x 0＝±23(舍)，∴x 0＝4. 16.已知f (x )是定义在[－2,0)∪(0,2]上的奇函数，当x >0时，f (x )的图象如右图所示，那么f (x )的值域是________．[答案] [－3，－2)∪(2,3][解析] 当x >0时，f (x )∈(2,3]，当x <0时，f (x )∈[－3，－2)， 故值域为[－3，－2)∪(2,3]．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)计算： (1)计算27 23－2log 23×log 218＋log 23×log 34；(2)已知0＜x ＜1，且x ＋x －1＝3，求x 12－x －12. [解析] (1)27 23－2log 23×log 218＋log 23×log 34＝9－3×(－3)＋2＝20.(2)(x 12－x－ 12)2＝x 1＋x －1－2＝1，∵0＜x ＜1⇒x12－x－12⇒x12－x－12＝－1.18．(本小题满分12分)已知集合A ＝{x |x ≤a ＋3}，B ＝{x |x <－1或x >5}．(1)若a ＝－2，求A ∩∁R B ； (2)若A ⊆B ，求a 的取值范围．[解析] (1)当a ＝－2时，集合A ＝{x |x ≤1}，∁R B ＝{x |－1≤x ≤5}； ∴A ∩∁R B ＝{x |－1≤x ≤1}．(2)∵A ＝{x |x ≤a ＋3}，B ＝{x |x <－1或x >5}， A ⊆B ， ∴a ＋3<－1， ∴a <－4.19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2，x ∈[－5,5]． (1)当a ＝－1时，求函数的最大值和最小值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－5,5]上是单调减函数． [解析] (1)a ＝－1，f (x )＝x 2－2x ＋2.对称轴x ＝1，f (x )min ＝f (1)＝1，f (x )max ＝f (－5)＝37， ∴f (x )max ＝37，f (x )min ＝1.(2)对称轴x ＝－a ，当－a ≥5时，f (x )在[－5,5]上单调减函数， ∴a ≤－5.20．(本小题满分12分)(山东省潍坊市四县一区2012～2013学年高一上学期11月期中考试数学试题)函数f (x )＝x ＋b 1＋x 2是定义在(－1,1)上的奇函数．(1)求函数f(x)的解析式；(2)用单调性定义证明函数f(x)在(0,1)上是增函数．[解析](1)∵函数f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数，f(－x)＝－f(x)，故－x＋b1＋x2＝－x＋b1＋x2，所以b＝0，所以f(x)＝x1＋x2.(2)设0＜x1＜x2＜1，Δx＝x2－x1＞0，则Δy＝f(x2)－f(x1)＝x21＋x22－x11＋x21＝x2－x1＋x2x21－x1x22(1＋x21)(1＋x22)＝(x2－x1)(1－x1x2) (1＋x21)(1＋x22)＝Δx(1－x1x2) (1＋x21)(1＋x22)，∵0＜x1＜x2＜1，∴Δx＝x2－x1＞0,1－x1x2＞0，∴而1＋x21＞0,1＋x22＞0，∴Δy＝f(x2)－f(x1)＞0，∴f(x)在(0,1)上是增函数．21．(本小题满分12分)投资商拟投资A、B两个项目，预计投资A项目m万元，可获得P＝－1160(m－40)2＋100万元；投资B项目n 万元可获得利润Q＝－159160(60－n)2＋1192(60－n)万元．若这个投资商用60万元来投资这两个项目，则分别投资多少能够获得最大利润？最大利润是多少？[解析]设x万元投资于A项目，而用剩下的(60－x)万元投资于B项目，则其总利润为W ＝－1160(x －40)2＋100＋(－159160x 2＋1192x ) ＝－(x －30)2＋990.当x ＝30时，W max ＝990(万元)．所以投资两个项目各30万元可获得最大利润，最大利润为990万元．22．(本小题满分12分)若函数f (x )为定义域D 上单调函数，且存在区间[a ，b ]⊆D (其中a ＜b )，使得当x ∈[a ，b ]时，f (x )的取值范围恰为[a ，b ]，则称函数f (x )是D 上的正函数，区间[a ，b ]叫做等域区间．(1)已知f (x )＝x 12是[0，＋∞)上的正函数，求f (x )的等域区间； (2)试探究是否存在实数m ，使得函数g (x )＝x 2＋m 是(－∞，0)上的正函数？若存在，请求出实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由．[解析] (1)因为f (x )＝x 是[0，＋∞)上的正函数，且f (x )＝x 在[0，＋∞)上单调递增，所以当x ∈[a ，b ]时，⎩⎪⎨⎪⎧ f (a )＝a ，f (b )＝b ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝a ，b ＝b ，解得a ＝0，b ＝1，故f (x )的等域区间为[0,1] (2)因为函数g (x )＝x 2＋m 是(－∞，0)上的减函数，所以当x ∈[a ，b ]时，⎩⎪⎨⎪⎧ g (a )＝b ，g (b )＝a ，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋m ＝b ，b 2＋m ＝a ，两式相减得a 2－b 2＝b －a ，即b ＝－(a ＋1)， 代入a 2＋m ＝b 得a 2＋a ＋m ＋1＝0， 由a ＜b ＜0，且b ＝－(a ＋1)得－1＜a ＜－12，故关于a 的方程a 2＋a ＋m ＋1＝0在区间(－1，－12)内有实数解，记h (a )＝a 2＋a ＋m ＋1，则⎩⎨⎧h (－1)＞0，h (－12)＜0，解得m ∈(－1，－34)．。