导数不等式

利用导数证明不等式的常见题型及解题技巧

利用导数证明不等式是高考中的一个热点问题，利用导数证明不等式主要有两种通法，即函数类不等式证明和常数类不等式证明。下面就有关的两种通法用列举的方式归纳和总结。 技巧精髓

1、利用导数研究函数的单调性，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，也是近几年高考的热点。

2、解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键。 一、利用题目所给函数证明

函数类不等式证明的通法可概括为：证明不等式()()f x g x >（()()f x g x <）的问题转化为证明()()0

f x

g x ->（()()0f x g x -<），进而构造辅助函数()()()

h x f x g x =-，然后利用导数证明函数()h x 的单调性或证明函数()h x 的最小值（最大值）大于或等于零（小于或等于零）。 【例1】

已知函数x x x f -+=)1ln()(，求证：当1->x 时，恒有x x x ≤+≤+-

)1ln(1

1

1 分析：本题是双边不等式，其右边直接从已知函数证明，左边构造函数

11

1

)1ln()(-++

+=x x x g ，从其导数入手即可证明。

【绿色通道】1

111)(+-=-+=

'x x x x f ∴当01<<-x 时，0)(>'x f ，即)(x f 在)0,1(-∈x 上为增函数

当0>x 时，0)(<'x f ，即)(x f 在),0(+∞∈x 上为减函数

故函数()f x 的单调递增区间为)0,1(-，单调递减区间),0(+∞

于是函数()f x 在),1(+∞-上的最大值为0)0()(max ==f x f ，因此，当1->x 时，0)0()(=≤f x f ，

即0)1ln(≤-+x x ∴x x ≤+)1ln( （右面得证）， 现证左面，令111)1ln()(-++

+=x x x g ， 2

2)1()1(111)(+=+-+='x x

x x x g 则 当0)(,),0(;0)(,)0,1(>'+∞∈<'-∈x g x x g x 时当时 ， 即)(x g 在)0,1(-∈x 上为减函数，在),0(+∞∈x 上为增函数， 故函数)(x g 在),1(+∞-上的最小值为0)0()(min ==g x g ，

∴当1->x 时，0)0()(=≥g x g ，即011

1

)1ln(≥-+++x x ∴111)1ln(+-≥+x x ，综上可知，当x x x x ≤+≤-+->)1ln(11

1

,1有

时 【警示启迪】如果()f a 是函数()f x 在区间上的最大（小）值，则有()f x ≤()f a （或()f x ≥()f a ），

那么要证不等式，只要求函数的最大值不超过0就可得证．

【例2】 已知(0,

)2

x π

∈，求证：sin tan x x x <<

分析：欲证sin tan x x x <<，只需证函数()sin f x x x =-和()tan g x x x =-在(0,)2

π

上单调递减即可。

【绿色通道】令()sin f x x x =- ，其中(0,)2

x π

∈

则/

()cos 1f x x =-，而(0,)cos 1cos 102

x x x π

∈⇒<⇒-<

所以()sin f x x x =-在(0,)2

π

上单调递减，即()sin (0)0f x x x f =-<=

所以sin x x <；

令()tan g x x x =- ，其中(0,

)2

x π

∈

则/

2

21()1tan 0cos g x x x

=-

=-<，所以()tan g x x x

=-在(0,)2π上单调递减， 即()tan (0)0g x x x g =-<=

所以tan x x <。

综上所述，sin tan x x x <<

【警示启迪】证明函数类不等式时，构造辅助函数比较容易，只需将不等式的其中一边变为0，然后另一边的函数作为辅助函数，并利用导数证明其单调性或其最值，进而构造我们所需的不等式的结构即可。根据不等式的对称性，本例也可以构造辅助函数为在(0,)2

π

上是单调递增的函数（如：利用()sin h x x x

=-在(0,

)2

π

上是单调递增来证明不等式sin x x <），另外不等式证明时，区间端点值也可以不是我们所需要

的最恰当的值（比如此例中的(0)f 也可以不是0，而是便于放大的正数也可以）。因此例可变式为证明如下不等式问题：已知(0,

)2

x π

∈，求证：sin 1tan 1x x x -<<+

分析：证明这个变式题可采用两种方法：

第一种证法：运用本例完全相同的方法证明每个不等式以后再放缩或放大，即证明不等式 sin x x <以后，根据sin 1sin x x x -<<来证明不等式sin 1x x -<；

第二种证法：直接构造辅助函数()sin 1f x x x =--和()tan 1g x x x =--，其中(0,)2

x π

∈

然后证明各自的单调性后再放缩或放大（如：()sin 1(0)10f x x x f =--<=-<） 【例3】 求证：ln(1)x x +<

分析：令()ln(1)f x x x =+-，经过求导易知，()f x 在其定义域(1,)-+∞上不单调，但可以利用最值证明不等式。