第6章网络模型
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第6章 网络模型
如图6－42所示，建立求最小部分树的0－1整数规划数学模型。
【解】边[i，j]的长度记为cij，设
否则包含在最小部分树内边0],[1jixij
数学模型为：
,12132323243434364635365612132434343546562324463612132446362335244656121324354656min52,22,233344,510ijijijijijZcxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx或,[,]ij所有边
如图6－43所示，建立求v1到v6的最短路问题的0－1整数规划数学模型。
【解】弧(i，j)的长度记为cij，设
否则包含在最短路径中弧0),(1jixij
数学模型为： 图6－42
图6－43 ,1213122324251323343524344546253545564656min100,00110,(,)ijijijijZcxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxij或所有弧
如图6－43所示，建立求v1到v6的最大流问题的线性规划数学模型。
【解】 设xij为弧（i,j）的流量，数学模型为
),(,0min56453525464534243534231325242312564613121312jicxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxZijij所有弧
求图6－41的最小部分树。图6-41（a）用破圈法,图6-41（b）用加边法。
图6－44
【解】图6-44（a），该题有4个解，最小树长为22，其中一个解如下图所示。
图6-44（b），最小树长为20。最小树如下图所示。
某乡政府计划未来3年内，对所管辖的10个村要达到村与村之间都有水泥公路相通的目标。根据勘测，10个村之间修建公路的费用如表6-20所示。乡镇府如何选择修建公路的路线使总成本最低。
表6-20
两村庄之间修建公路的费用(万元)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
【解】属于最小树问题。用加边法，得到下图所示的方案。
最低总成本万元。
在图6－45中，求A到H、I的最短路及最短路长，并对图(a)和(b)的结果进行比较。
图6－45
【解】图6－45(a):
A到H的最短路PAH={A,B,F,H},{A,C,F,H}最短路长22；A到I的最短路PAI={A,B,F,I},{A,C,F,I}最短路长21。
对于图6－45(b)：
A到H的最短路PAH={A,C,G,F,H},最短路长21；A到I的最短路PAI={A,C,G,F,I},最短路长20；
结果显示有向图与无向图的结果可能不一样。
已知某设备可继续使用5年，也可以在每年年末卖掉重新购置新设备。已知5年年初购置新设备的价格分别为、、、和万元。使用时间在1～5年内的维护费用分别为、、、和3万元。试确定一个设备更新策略，使5年的设备购置和维护总费用最小。
【解】设点vj为第j年年初购置新设备的状态，（i，j）为第i年年初购置新设备使用到第j年年初，弧的权为对应的费用（购置费＋维护费），绘制网络图并计算，结果见下图所示。
总费用最小的设备更新方案为：第一种方案，第1年购置一台设备使用到第5年年末；第二种方案，第1年购置一台设备使用到第2年年末，第3年年初更新后使用到第5年年末。总费用为万元。
图6－46是世界某6大城市之间的航线，边上的数字为票价（百美元），用Floyd算法设计任意两城市之间票价最便宜的路线表。
【解】教师可利用模板求解：data\chpt6\
L1
v1 v2 v3 v4 v5 v6
v1 0
9
8 6
v2
0 10 5 100 4
v3 9 10 0 3
14
v4
5 3 0 12 100
v5 8 100
12 0 9
v6 6 4 14 100 9 0
L2
v1 v2 v3 v4 v5 v6
v1 0
8 6
v2
0 8 5 13 4 图6－46 v3
8 0 3
14
v4
5 3 0
9
v5 8 13
0 9
v6 6 4 14 9 9 0
L3
v1 v2 v3 v4 v5 v6
v1 0
8 6
v2
0 8 5 13 4
v3
8 0 3
12
v4
5 3 0
9
v5 8 13
0 9
v6 6 4 12 9 9 0
最优票价表：
v1 v2 v3 v4 v5 v6
v1 0
8 6
v2 0 8 5 13 4
v3 0 3
12
v4 0
9
v5 0 9
v6 0
v1、v2、…、v6到各点的最优路线图分别为：
设图6－46是某汽车公司的6个零配件加工厂，边上的数字为两点间的距离(km)。现要在6个工厂中选一个建装配车间。
（1）应选那个工厂使零配件的运输最方便。
（2）装配一辆汽车6个零配件加工厂所提供零件重量分别是、、、、和吨，运价为2元/吨公里。应选那个工厂使总运费最小。
【解】(1)利用习题表L3的结果
minmax8.8ijijLL
v1 v2 v3 v4 v5 v6 Max
v1 0
8 6
v2
0 8 5 13 4
v3
8 0 3
12 12
v4
5 3 0
9 9
v5 8 13
0 9
v6 6 4 12 9 9 0 12
选第1个工厂最好。 (2)计算单件产品的运价，见下表最后一行。计算单件产品的运费，见下表最后一列。
v1 v2 v3 v4 v5 v6
单件产品运费
v1 0
8 6
v2
0 8 5 13 4
v3
8 0 3
12
v4
5 3 0
9
v5 8 13
0 9
v6 6 4 12 9 9 0
运价 1
选第4个工厂最好。
如图6－47，（1）求v1到v10的最大流及最大流量；（2）求最小割集和最小割量。
【解】给出初始流如下
第一轮标号：得到一条增广链，调整量等于5，如下图所示 图6－47
调整流量。
第二轮标号：得到一条增广链，调整量等于2，如下图所示
调整流量。
第三轮标号：得到一条增广链，调整量等于3，如下图所示
调整流量。
第四轮标号：不存在增广链，最大流量等于45，如下图所示
取 1123456817910{,,,,,,},{,,}VvvvvvvvVvvv，最小截集{(3,7),(4,7),(6,9),(8,10)，最小截量等于45。
将3个天然气田A1、A2、A3的天然气输送到2个地区C1、C2，中途有2个加压站B1、B2，天然气管线如图6－48所示。输气管道单位时间的最大通过量cij及单位流量的费用dij标在弧上(cij, dij)。求(1)流量为22的最小费用流；（2）最小费用最大流。
图6－48
【解】虚拟一个发点和一个收点
－1
得到流量v＝22的最小费用流，最小费用为271。求解过程参看习题部分答案PPT文档。
－13
最小费用最大流如下图，最大流量等于27，总费用等于351。
如图6－46所示，（1）求解旅行售货员问题；（2）求解中国邮路问题。
图6-46
【解】（1）旅行售货员问题。
距离表C
1 2 3 4 5 6
1 ∞
9
8 6
2
∞ 10 5 ∞ 4
3 9 10 ∞ 3
14
4
5 3 ∞ 12 ∞
![神经网络与深度学习[邱锡鹏]第六章习题解析](https://imgs-1438308264.cos.ap-hongkong.myqcloud.com/61fcd5dab04e852458fb770bf78a6529647d356c.webp)