江苏专版2019届高三数学备考冲刺140分问题10数列中整数解问题含解析

问题10数列中整数解问题

一、考情分析

数列是高中数学的重要内容,又是学习高等数学的基础,在高考中占有极其重要的地位．数列中整数解问题逐渐成为一个新的热点．本文试图对与数列有关的不定方程的整数解问题的解法作初步的探讨,以期给同学们的学习带帮助

二、经验分享

二元不定方程 双变量的不定方程,在高中阶段主要是求出此类不定方程的整数解,方法较灵活,下面介绍3种常用的方法.

方法1. 因式分解法：先将不定方程两边的数分解为质因数的乘积,多项式分解为若干个因式的乘积,再由题意分类讨论求解.

方法2. 利用整除性质 ：在二元不定方程中,当其中一个变量很好分离时,可分离变量后利用整除性质解决．

方法3.不等式估计法：利用不等式工具确定不定方程中某些字母的范围或等式一边的范围,再分别求解.如转化为型,利用gn的上界或下界估计fm的范围,通过解不等式得出m的范围,再一一验证即可.

三、知识拓展

1、整数的基本性质：

（1）整数的和,差,积仍为整数

（2）整数的奇偶性：若,则称n为奇数；若,则称n为偶数,在加,减,乘法运算中,其结果有以下规律：

① 奇数奇数偶数 ② 奇数偶数奇数

③ 偶数偶数偶数 ④ 奇数偶数偶数

⑤ 偶数偶数偶数 ⑥ 奇数奇数奇数

（3）若,abZ,且ab,则1ab

（4）已知,若nZ,且,nab,则n只能取到有限多个整数（也有可能无解）

（5）若aZb,称a能被b整除,则有：

① ba

② b为a的一个因数

（6）最小数原理：自然数集的任何非空子集,均有一个最小的自然数 2、整数性质的应用：

（1）若变量属于整数,则利用方程与不等式均可求出变量的值：在实数范围内,若要求得变量的值,通常要依赖方程,而不等式只能解得变量的范围.但是在整数范围内,除了方程,在不等式中也可以利用整数的离散性求出变量的值（即性质（4））,例如：若,则n的取值只能是3,4.所以在涉及求整数的值时,思路不要局限于寻找等量关系,构造不等关系依然可以求解.

（2）整除问题：若表达式形式较为简单,可通过对常数进行因数分解,进而确定变量的取值；若表达式次数较高,则可以先利用二项式定理去掉高次的项,再进行处理.

（3）多元整数不定方程：当变量的值为整数时,不定方程的解可能有有限多组解.通常的处理方式有两个：

① 通过对表达式进行因式分解,对另一侧的常数进行因数分解,进而将不定方程拆成多个方程的方程组,进而解出变量

② 将一个字母视为变量（其余视为参数）并进行参变分离,求出含变量函数的值域,进而将参数置于一个范围内,再利用整数离散性求得参数的值

（4）反证法：运用反证法处理整数问题时,常见的矛盾有以下几点：

① 所解得变量非整数,或不符合已知范围

② 等式两侧为一奇一偶

3、整数问题通常会与数列联系起,其特征就是数列中项的序数,以及前n项和的项数,均为正整数.

四、题型分析

(一) 利用整除性质

【例1】已知数列na的通项公式为27nan,若12mmmaaa为数列na中的项,则m____

【解析】,na中的项为大于等于5（15a）的奇数,所以考虑将12mmmaaa向奇数形式变形：

,可得823m应该为大于等于4的偶数,所以8423m或8823m,解得52m（舍）或2m

【答案】2m

【点评】（1）本题的亮点在于对的变形,在有关整数的问题里,通常可对分式进行“分离常数”的变形,从而将复杂的分式简化,并能立刻找到需处理的部分.例如在本题中通过“分离常数”可迅速将目标锁定在823m上.

（2）本题对823m的处理有多个角度,还可以从分母出发,观察到23m应为奇数,而823Zm,而8的奇因数只有1和1,同样可确定m的值.

【牛刀小试】【江苏省清江中学2019届高三第二次教学质量调研】设数列的前项的和为且数列满足且对任意正整数都有成等比数列.

（1）求数列的通项公式.

（2）证明数列为等差数列.

（3）令问是否存在正整数使得成等比数列？若存在，求出的值，若不存在，说明理由.

【解析】（1）因为数列的前项的和，

所以当时，；

当且时，，

当时，上式也成立，

所以数列的通项公式为.

（2）证明：因为对任意正整数都有成等比数列，

所以，即，

所以，

两式相除得，对任意正整数都有，

即，

当为奇数时，，所以，

当为偶数时，，而，所以， 所以.

所以，

所以数列为等差数列.

(3)因为，

所以，

因此存在正整数，使得成等比数列

，

因为都是正整数，则，

即时，对应的.

所以存在或或使得成等比数列.

(二) 不等式估值法

【例2】【江苏省苏州市2019届高三上学期期末】定义：对于任意，仍为数列中的项，则称数列为“回归数列”．

（1）己知()，判断数列是否为“回归数列”，并说明理由；

（2）若数列为“回归数列”，，，且对于任意，均有成立．①求数列的通项公式；②求所有的正整数s，t，使得等式成立．

【答案】（1）不是“回归数列”，说明见解析（2）①，②使得等式成立的所有的正整数s，的值是s＝1，t＝3

【分析】（1）假设是“回归数列”，则对任意，总存在，使成立，列出方程即可求解。

（2）①因为，所以，根据为“回归数列”，得，可得以数列为等差数列，即可求解；

②由，求得，分类讨论，根据数列的单调性，即可求解。

【解析】（1）假设是“回归数列” 则对任意，总存在，使成立，

即，即，

此时等式左边为奇数．右边为偶数，不成立，所以假设不成立

所以不是“回归数列”；

（2）①因为，所以，

所以且，

又因为为“回归数列”，所以，

即，所以数列为等差数列.

又因为所以.

②因为，所以

因为，所以，

又因为，所以，

当时，式整理为，不成立，

当时，式整理为，

设，因为，

所以时，时，

所以，所以s无解

当时，式整理，因为，所以s＝1

综合所述，使得等式成立的所有的正整数s，的值是s＝1，t＝3

【牛刀小试】已知na为等差数列,前n项和为nS,若

（1）求na

（2）对mN,将na中落入区间22,2mm内项的个数记为mb

① 求mb

② 记,mc的前m项和记为mT,是否存在,mtN,使得成立？若存在,求出,mt的值；若不存在,请说明理由 【解析】（1）设na的公差为d

解得：11,2ad

（2）①

nN

② 思路：由①可得：, ,则所解方程变形为：,得到关于,mt的不定方程,可考虑对,mt进行变量分离,以等式左右边的符号作为突破口（左边为正数）,得到40t,即1,2,3t,然后代入t解出符合条件的m即可

解：由①可得：

由可得：

1t时,解得：（舍）

2t时,解得：（舍）

3t时,解得：

存在这样的33mt,满足所给方程

【点评】1、本题中②的方程,并没有在一开始就将mT代入,否则运算会复杂的多,所采取的策略为先化简变形,变形完成之后再代入.可简化不必要的运算

2、本题在解,mt的不定方程所用的方法为变量分离法,将两个只含某一字母的式子用等号连接,则两边式子的范围应当一致.以其中一个式子作为突破口（比如12m）,再结合变量必须取整数的条件,便可用不等关系将变量所能取的值确定下.

(三) 反证法

【例3】已知数列na是等差数列,数列nb是等比数列,且对任意的nN,都有： ,若18a,则：

（1）求数列,nnab的通项公式

（2）试探究：数列nb中是否存在某一项,它可以表示为该数列中其它项的和？若存在,请求出该项,若不存在,请说明理由

（1）【解析】 ①

②

①②可得：

令1n,则

令2n,则

令3n,则

所以有：,解得：42dq

（2）【分析】首先要把命题翻译为等式,将其他r项可设为12,,,rtttbbb,设存在某项mb,则,设,则同除以12t,就会出现左右两侧奇偶不同,从而假设不成立

解：假设存在某项mb及数列中的其他r项

,所以

 两边同时除以12t可得：

,左边为偶数,右边为奇数.所以等式不成立

所以不存在这样的项

【点评】（1）通过本题要学会如何表示数列中某一串项：如果是相邻项,则可表示为：,如果不一定相邻,则可用12,rttt作角标,其中1,2,,r体现出这一串项所成数列中项的序数,而12,rttt表示该项在原数列中的序数

（2）本题还有一个矛盾点：题目中的r项不一定为相邻项,但是可通过放缩将右边的项补全,变为从12 一直加到2rt ,即.则①,由整数性质可得,所以,与①矛盾,所以不存在.

【牛刀小试】【江苏省南京市13校2019届高三12月联合调研】已知数列的前项和为，把满足条件的所有数列构成的集合记为.

（1）若数列通项为，求证：；

（2）若数列是等差数列，且，求的取值范围；

（3）若数列的各项均为正数，且，数列中是否存在无穷多项依次成等差数列，若存在，给出一个数列的通项；若不存在，说明理由.

【解析】（1）因为，所以，所以，所以，即.

（2）设的公差为，因为，

所以

特别的当时，，即，

由得，整理得，因为上述不等式对一切恒成立，所以必有，解得，

又，所以，

于是，即，

所以，即，

所以，

因此的取值范围是.

（3）由得，所以，即，

所以，

从而有，

又，所以，即，

又，，

所以有，所以，

假设数列中存在无穷多项依次成等差数列，

不妨设该等差数列的第项为（为常数），

则存在，，使得，