数学必修一 函数的零点教案

3.1.2函数零点的存在性定理（一）教学目标1．知识与技能体验零点存在性定理的形成过程，理解零点存在性定理，并能应用它探究零点的个数及存在的区间 .2．过程与方法经历由特殊到一般的过程，在由了解零点存在性定理到理解零点存在性定理，从而掌握零点存在性定理的过程中，养成研究问题的良好的思维习惯3．情感、态度与价值观经历知识发现、生成、发展、掌握、理解的过程，学会观察问题，发现问题，从而解决问题；养成良好的科学态度，享受探究数学知识的乐趣（二）教学重点与难点重点：掌握零点存在性定理并能应用难点：零点存在性定理的理解（三）教学方法通过问题发现生疑，通过问题解决析疑，从而获取知识形成能力；应用引导与动手尝试结合教学法，即学生自主探究与教师启发，引导相结合.（四）教学过程教学环节教学内容1．函数零点的概念复习回顾2．函数零点与方程根的关系3．实例探究提出问题已知函数 y= x2+4 x–5，则其零点有几个？分别为多少？2–51．探究函数 y = x + 4 x的零点所在区间及零点存在区间的端点函数值的正负情况的关系示例探究引入课题师生互动设计意图生：口答零点的定义，零点与根的关系回顾旧知，师：回顾零点的求法引入新知生：函数 y= x2 +4x–5 的零点有 2 个，分别为–5， 1师：引导学生利用图象观察零点的所在区间，说明区间端一般取整数 .由特殊到一生：零点–5∈( –6，–4)般，归纳一零点 1∈ (0， 2)般结论，引且 f (–6)· f (–4)＜ 0入零点存在f (0)· f (2)＜ 0性定理师：其它函数的零点是否具有相同规律呢？观察下列函数的零点及零点所在区间 .零点存在性定理如果函数y = f (x) 在区间 [a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f (a) ·f (b)发现定理＜ 0 那么，函数 y = f (x)在区间 [a，b]内有零点，即存在 c∈(a，b)，使得 f (c) = 0 这个c 也就是方程 f (x) = 0 的根定理的理解（1）函数在区间 [ a，b] 上的图象连续不断，又它在区间[ a， b] 端点的函数值异号，①f (x) = 2x –1，②f (x) = log 2(x –1)生：函数 f (x) = 2x – 1 的零点为1(0,1) 且f (0) f (1)＜0.2函数 f (x) = log 2(x –1)的零点为2∈(1 ，3)且 f (1) f (3) ＜ 0师生合作分析，并剖析定理中的关键词①连续不断形成定理，② f (a)· f (b)＜ 0分析关键师：由于图象连续不断，词，了解定若 f (a) ＞ 0， f (b)＜ 0，则 y = f (x) 的理.图象将从 x 轴上方变化到下方，这样必通过 x 轴，即与 x 轴有交点师：函数 y = f (x) = x2–ax + 2 在 (0，3)内，①有 2 个零点 .②有 1 个零点，分别求 a 的取值范围 .则函数在 [ a， b] 上一定存在零点（ 2）函数值在区间 [ a ， b]上连续且存在零点，则它在区间 [ a， b] 端点的函数值可能异号也可能同号深化理解（3）定理只能判定零点的存在性，不能判断零点的个数生：① f(x)在 (0， 1)内有 2 个零点，则其图象如下yO 3 xf (0)0f (3)0则0a0 32b a 2 2通过实例分析，从而进一步理解定理，深化定理 .②f(x)在 (0， 3)内有 1 个零点f (0)011则af (3)3师生合作探求解题思路，老师板书例 1 求函数 f (x) = ln x + 2x –解答过程6 的零点的个数 .例 1解：用计算器或计算机作出x，f (x)的对应值表和图象 .师生合作交应用举例流，体会定x12345f (x)–4–1.0369 1.0986理的应用3.3863 5.6094x6789f (x) 7.79189.945912.0794 14.1972由表和图可知， f(2)＜ 0， f (3) ＞ 0，则 f (2)· f (3)＜ 0，这说明函数 f (x)在区间 (2，3)内有零点 .由于函数 f (x)在定义域 (0,) 内是增函数，所以它仅有一个零点 .学生尝试动手练习，老师借助计算机作图，师生合作交流分析，求解问题 .练习 1. 利用信息技术作出练习 1 解：（ 1）作出函数图象，因函数的图象，并指出下列函为 f (1) = 1 ＞ 0， f (1,5 ) =–2.875＜ 0数零点所在的大致区间：所以 f (x) = –x3–3x+ 5 在区间 (1，（ 1） f (x) = –x3–3x + 5； 1.5)上有一个零点 .（ 2）f (x) = 2x·ln(x –2) –3；又因为 f(x)是 (,) 上的减函数，（ 3） f (x) =e x–1 + 4x –4；所以 f(x) = –x3–3x+ 5 在区间 (1 ，1.5)尝试学生动（ 4）f (x) = 3 ( x + 2) ( x –3) (x上有且只有一个零点 .手模仿练+ 4) + x.（ 2）作出函数图象，因为f(3) ＜0，习，老师引f(4)＞ 0，所以 f(x)=2 x·ln(x–2) –3在导、启发，区间 (3， 4)上有一个零点 .师生合作完练习巩固又因为 f( x)=2 x·ln(x–2) –3在 (2,)成问题求上是增函数，所以f(x) 在 (2,) 上解，从而固有且仅有一个 (3， 4)上的零点化知识与方（ 3）作出函数图象，因为f(0) ＜0，法，提升思x–1f(1)＞ 0，所以 f (x) = e + 4 x –4维能力 .在区间 (0， 1)上有一个零点又因为 f(x) =e x–1 + 4x –4 在 (,)上是增函数，所以 f(x)在 (,) 上有且仅有一个零点 .（ 4）作出函数图象，因为 f (–4)＜ 0，f(–3)＞ 0， f (–2)＜ 0，f (2) ＜0， f (3)＞ 0，所以 f (x) = 3 ( x + 2) ( x –3) (x +4) + x 在 (–4，–3)， (–3, –2)， (2， 3)上各有一个零点.1．数形结合探究函数零点学会整理知2．应用定理探究零点及存在识，培养自归纳总结区间 .学生总结师生完善补充3．定理应用的题型：判定零我归纳知识的能力点的存在性及存在区间 .课后练习 3.1 第二课时习案整合知识，学生自主完成提升能力备选例题例 1已知集合 A = { x∈R|x2–4ax + 2 a + 6 = 0} ，B = { x∈R|x＜0} ，若 A∩ B≠，求实数 a 的取值范围 .【解析】设全集U = { a|△ = ( –4a)2–4 (2a + 6) ≥0}={ a | (a1)(a 3) 0} 2={ a | a 1或a3}2若方程 x2–4ax + 2a + 6 = 0的两根 x1， x2均非负，则a U3 .x1x24a0,ax1x22a 60.2因为在全集 U 中集合{ a | a3} 的补集为{ a|a≤ –1}，所以实数a的取值范围是{ a|a≤–1}.2例 2设集合 A = { x | x2 + 4x = 0 ， x∈R} ， B = { x | x2 + 2 ( a + 1) x + a2–1 = 0， x∈R} ，若 A∪ B = A，求实数 a 的值 .【解析】∵ A = { x | x2 + 4x = 0 ， x∈R} ，∴ A = { –4， 0}.∵ A∪ B=A，∴ B A.1°当 B = A，即 B = { –4，0} 时，由一元二次方程根与系数的关系得2( a 1)4a2 1 0,解之得 , a 1.222°当 B=，即方程x + 2 ( a + 1)x + a –1 = 0 无实解 .解得， a＜–1.3°当 B = {0} ，即方程22–1 = 0 有两个相等的实数根且为零时，x+ 2(a + 1)x + a8a 8 0,a2 1 0.解得 , a 1.4°当 B = { –4} 时，即需8a 8 0,无解 .16 8(a 1) a2 1 0.综上所述，若A∪ B=A，则 a≤–1 或 a = 1.。

《函数的零点与方程的解》教学设计【教材分析】1、教材来源：2019年人教A 版新教材《普通高中教科书》数学必修第一册第四章第五节函数的应用(二)第一小节。

2、地位与作用：函数零点存在定理提供了判断方程是否存在实数解的一个新工具，为下一小节建立求方程的近似解提供理论依据;同时教材编排上进一步采用从特殊到一般的方式，帮助学生从函数的观点认识方程。

【教学目标分析】1.了解函数的零点、方程的根与图象交点三者之间的联系。

2.会借助零点存在性定理判断函数的零点所在的大致区间。

3.能借助函数单调性及图象判断零点个数。

4.了解中外历史上的方程解法，将思政融入课堂，帮助学生认识数学，形成正确的数学观。

【教学重难点】重点：零点的概念，及零点与方程根的联系； 难点：零点的概念的形成。

【教学方法】以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。

【教学过程】教学环节（五环）过程设计设计意图读带领学生了解中外历史上的方程解法，在课堂中融入数学历史，帮助学生认识数学，形成正确的数学观。

【提问】你能求lnx=−2x+6方程的根吗？议（一）【探究一】方程的根与函数零点的关系问题1：合作探究，求出表中一元二次方程的实数根，画出相应的二次函数图像的简图，完成下列的表格。

方程 3x +3=0 x 2−2x −3=0 x 2−2x +3=0 函数 y =3x +3y =x 2−2x −3y =x 2−2x +3函数的图像方程的的根 函数图像与x 轴交点的横坐标观察：根的个数与图像与x 轴交点个数 。

函数的零点概念：对于一般函数y=f(x), 把使f(x)=0的 叫做函数y=f(x)的 .追问1：零点是一个点吗？通过问题探究，使学生深入理解函数零点的概念，由特殊到一般，培养数学抽象的核心素养。

练（一） 练一：【算一算，看一看】(1)函数y=f(x)的图像如右所示，则函数的零点为 ；(2)函数y =log2x 的零点为；通过例题及练习的学习，使学生掌握求函数零点的方法，强化数学运算的核心素养。

2.4.函数的零点-人教B版必修一教案1. 学习目标本课程着重介绍函数的零点的概念和求解方法。

通过学习，学生应该能够：1.理解零点的概念；2.理解函数零点的意义；3.掌握二分法求解零点的方法；4.掌握牛顿迭代法求解零点的方法。

2. 教学重点1.理解函数零点的意义；2.掌握二分法求解零点的方法；3.掌握牛顿迭代法求解零点的方法。

3. 教学难点1.理解零点的概念；2.掌握求解零点的方法。

4. 教学准备1.课件；2.小班黑板标记笔。

5. 教学过程5.1 引入首先，通过一个例子引导学生猜测一下函数 f(x)=x3-x-1 的零点在 [1, 2] 之间，然后让他们自行使用二分法求解函数的零点，以此来引入零点的概念。

5.2 阐述函数的零点的概念在学生已经了解了二分法的情况下，进一步介绍零点的概念。

要求学生能够正确的理解函数零点的含义。

5.3 介绍二分法阐述二分法的思想和步骤，掌握二分法的模板，让学生能够熟练掌握二分法，进而运用到求解零点中。

5.4 介绍牛顿迭代法介绍更高效的牛顿迭代法，学生应该在知道二分法的情况下便容易理解牛顿迭代法的思想和步骤，进而进行练习。

5.5 习题讲解对于二分法和牛顿迭代法进行讲解，并举例演示具体的求解过程。

5.6 辅助练习教师可以分发相关的作业，让学生进行辅助练习。

6. 总结本课程主要介绍了函数的零点的概念和求解方法，要求学生掌握二分法和牛顿迭代法，在教学过程中，教师要时刻激发学生求知的欲望，鼓励学生多思考、多探究，从而提高学生的学习和思考能力。

函数的零点教案详细教学目标：1.理解函数的零点概念；2.掌握求解函数零点的方法；3.能够应用函数零点解决实际问题。

教学准备：1.教师准备白板、黑板和彩色粉笔；2.学生准备教材和笔记。

教学步骤：第一步：概念讲解（10分钟）教师首先解释函数的零点的定义：当函数的自变量取一些值时，函数的值等于零。

即，在坐标系中，函数图像与x轴的交点即为函数的零点。

教师示范画出一条函数图像并指出该图像的零点，并要求学生观察和思考。

第二步：解决一元一次方程（10分钟）教师给出一元一次方程的定义并解释其与函数的零点的关系。

然后，教师以具体的一元一次方程为例，介绍求解一元一次方程的步骤和方法。

第三步：求解函数的零点（20分钟）教师示范以一元一次函数为例，介绍如何求解函数的零点。

教师解释首先要将函数转化为一元一次方程，然后解方程得到函数的零点。

第四步：练习与巩固（20分钟）教师出示几个函数图像，并要求学生找出函数的零点并解释其含义。

然后，教师提供一些函数的表达式，要求学生求解函数的零点。

第五步：应用实例（20分钟）教师给出一些实际问题，要求学生将其转化为函数并求解函数的零点。

例如，商品制造企业的销售函数为y=500-2x，其中x为单位时间内生产的商品数量，y为单位时间内的销售额。

学生需要求解销售额为零的情况，即找出生产多少单位商品时销售额为零。

第六步：总结与展望（10分钟）教师与学生共同总结函数的零点的概念和求解方法，并回顾本节课所学的内容。

最后，教师展望下节课的内容，引起学生的兴趣和思考。

教学反思：本节课通过理论讲解和实际问题的应用，使学生对函数的零点概念有了深入的理解，并掌握了求解函数零点的方法。

通过练习和实例的训练，学生的求解能力得到了提高。

然而，在实际问题的应用中，一些学生仍然存在困难，需要进一步加强训练和巩固。

因此，下节课将继续举一些实际问题进行训练和拓展。