空间向量与立体几何知识点归纳总结一．知识要点。
1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。
（2）向量具有平移不变性2. 空间向量的运算。
定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。
OB OA AB a b =+=+;BA OA OB a b =-=-;()OP a R λλ=∈运算律：⑴加法交换律：a b b a+=+⑵加法结合律：)()(c b a c b a ++=++⑶数乘分配律：b a b aλλλ+=+)(运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则 3. 共线向量。
（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a平行于b ，记作b a//。
（2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b（b ≠0 ），a //b 存在实数λ，使a＝λb 。
（3）三点共线：A 、B 、C 三点共线<=>AC AB λ=<=>)1(=++=y x OB y OA x OC 其中 （4）与a 共线的单位向量为aa ±4. 共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。
说明：空间任意的两向量都是共面的。
（2）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的条件是存在实数,x y 使p xa yb =+。
（3）四点共面：若A 、B 、C 、P 四点共面<=>AC y AB x AP += <=>)1(=++++=z y x OC z OB y OA x OP 其中 5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++。
若三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。
立体几何中有关平行的证明一、证明“线∥线”的方法1、平面中证明“线∥线”的常用方法 （1）中位线定理 （2）构造平行四边形（3）平行线分线段成比例定理 2、平行公理（平行线的传递性）,a b b c a c ⇒3、直线与平面平行的性质定理（线∥面→线∥线）,,a a b a b αβαβ⊂=⇒4、平面与平面平行的性质定理（面∥面→线∥线）,,a b a b αβαγβγ==⇒5、直线与平面垂直的性质定理（线⊥面→线∥线）,a b a b αα⊥⊥⇒6、向量法直线,a b 的方向向量分别为()()111222,,,,,==a x y z b x y z ，只需证a b λ=，则a b ，则a b . 二、证明“线∥面”的方法1、直线与平面平行的判定定理（线∥线→线∥面）,,a b a b a ααα⊄⊂⇒2、直线与平面平行的定义（面∥面→线∥面）,a a αββα⊂⇒3、向量法直线a 的方向向量分别为()111,,=a x y z ，平面α的法向量为()222,,=n x y z ，只需证1212120⋅=++=a n x x y y z z ，则⊥a n ，再说明α⊄a ，则有αa .三、证明“面∥面”的方法1、平面与平面平行的判定定理（线∥面→面∥面）,,,,a b a b P a b ααββαβ⊂⊂=⇒2、向量法平面,αβ的法向量分别为()()11112222,,,,,==n x y z n x y z ，只需证12n n λ=，则12n n ，则αβ.立体几何中有关垂直的证明一、证明“线⊥线”的方法1、平面中证明“线⊥线”的常用方法 （1）等腰三角形三线合一 （2）勾股定理（3）菱形的对角线相互垂直（4）在圆中，直径所对的圆周角为90° 2、,a b b c a c ⊥⇒⊥,,a b a c b d c d ⊥⇒⊥3、直线与平面垂直的定义（线⊥面→线⊥线）,l a l a αα⊥⊂⇒⊥4、三垂线定理：三垂线定理指的是平面内的一条直线，如果与穿过这个平面的一条斜线在这个平面上的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
