1利用直角坐标系计算1.1 积分区域为X型或Y型区域时二重积分的计算
对于一些简单区域上的二重积分，可以直接化成二次积分来解决．在直角坐标系下，被积分函数(,)
f x y在积分区域D上连续时，若D为x型区域（如图1），即
{}
12
(,)()(),
D x y x x x a x b
ϕϕ
=≤≤≤≤，其中
12
(),()
x x
ϕϕ在[,]
a b上连续，则有
2
1
()
()
(,)(,)
b x
a x
D
f x y d dx f x y dy
ϕ
ϕ
σ=
⎰⎰⎰⎰；（1）
若D为y型区域（如图2），即{}
12
(,)()(),
D x y y y y c y d
ψψ
=≤≤≤≤，其中
12
(),()
y y
ψψ在[,]
c d上连续，则有
2
1
()
()
(,)(,)
d y
c y
D
f x y d dy f x y dx
ψ
ψ
σ=
⎰⎰⎰⎰．[1]（2）例1 计算
2
2
D
y
dxdy
x
⎰⎰，其中D是由2
x=，y x
=，及1
xy=所围成．
分析积分区域如图3所示，为x型区域()1
D=,12,
x y x y x
x
⎧⎫
≤≤≤≤
⎨⎬
⎩⎭
．确定了积分区
域然后可以利用公式（1）进行求解．
解 积分区域为x 型区域
()1D=,12,x y x y x x ⎧⎫≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭
则
1.2 积分区域非X 型或Y 型区域二重积分的计
算
当被积函数的原函数比较容易求出，
是简单的x 型或y 型区域，不能直接使用公式（1行计
算，这是可以将复杂的积分区域划分为若干x 型或
y 型区域，然
后利用公式
1
2
3
(,)(,)(,)(,)D
D D D f x y d f x y d f x y d f x y d σσσσ=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ （3）
进行计算，
例2 计算二重积分D
d σ⎰⎰，其中D 为直线2,2y x x y ==及3x y +=所围成的区域．
分析：积分区域D 如图5所示，区域D 既不是x 型区域也不是y 型区域，但是将可D 划
分为()(){}12,01,22,13,23x D x y x y x D x y x y y x ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬
⎩⎭=≤≤≤≤-均为x 型
区域，
进而通过公式（3）和（1）可进行计算．
解 D 划分为
()1,01,22x D x y x y x ⎧⎫
=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭
，(){}2,13,23D x y x y y x =≤≤≤≤-
则
1.3 被积函数较为复杂时二重积分的计算
二重积分化为二次定积分后的计算可以按定积分的求解进行，但是当被积函数较为复杂，虽然能定出积分限，但被积函数的原函数不易求出或根本求不出，这时可根据被积函数划分积分区域，然后进行计算．
例3 计算二重积分
D
，其中D 为区域1x ≤，
02y ≤≤．
分析 由于被积函数含有绝对值，其原函数不能直接求得，以至于不能直接化为二次积分进行计算，观察函数本
身，不难
发现当我们把积分区域划分为212
11
x y D x ⎧≤≤=⎨-≤≤⎩，
2
2011y x D x ⎧≤≤=⎨-≤≤⎩两部分后，被积函数在每一个积分区域都可以化为基本函数，其原函数很
容易求得．
解 区域D 如图6可分为12D D U ，其中
21211x y D x ⎧≤≤=⎨-≤≤⎩，2
2011
y x D x ⎧≤≤=⎨-≤≤⎩
由公式（3）则
2 利用变量变换法计算
定理1 设(,)f x y 在有界区域D 上可积，变换():,T x x u v =，(),y y u v =，将,u v 平面按段光滑封闭曲线所围成的区域∆一对一地映成,x y 平面上的区域D ，函数(),x u v ，(),y u v 在
∆内分别具有一阶连续偏导数且它们的雅克比行列式()()
()
,,0,x y J u v u v ∂=
≠∂，(),u v ∈∆．则
()()()()(,),,,,D
f x y d f x u v y u v J u v dudv σ∆
=⎰⎰⎰⎰ （4）
（4）式叫做二重积分的变量变换公式，
2.1 根据被积函数选取新变量使被积函数简化
当被积函数较为复杂，这时可以考虑利用变量变换化被积函数为简单函数，原积分区域相应的转化为新的积分区域，进而利用公式进行计算．
例4 求x y x y
D
e
dxdy -+⎰⎰，其中D 是由0,0,1x y x y ==+=所围曲线（图7）
分析 由于被积函数含有e 的指数，且较为复杂，这时可以考虑替换变量，简化被积函数，如果做替换T ：,.u x y v x y =+=-在变换T 作用下区域D 的原像∆如图8所示，根据二重积分的变量变换公式，积分计算就简单了．
解 做变换()()
12:12
x u v T y u v ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ ()1,02J u v =>
所以
