当前位置：文档之家 › 人教版高中数学教案-二项式定理

人教版高中数学教案-二项式定理

  • 格式：doc
  • 大小：311.51 KB
  • 文档页数：15

1 §1.3.1 二項式定理

【教學目標】

1.理解二項式定理及推導方法，識記二項展開式的有關特徵，能對二項式定理進行簡單應用；

2.通過對二項式定理內容的研究，體驗特殊到一般的發現規律，一般到特殊指導實踐的認識事物過程。

【教學重難點】

教學重點：二項式定理的內容及歸納過程 ；

教學難點：在二項式展開的過程中，發現各項及各項係數的規律。

【教學過程】

一、設置情景，引入課題

引入：二項式定理研究的是（a+b）n的展開式。

如（a+b）2=a2+2ab+b2, （a+b）3=？，（a+b）4=­­？，那麼（a+b）n的展開式是什麼呢？

二、引導探究，發現規律

1、多項式乘法的再認識

問題1：（a1+ b1）(a2+b2) (a3+ b3)展開式中每一項是怎樣構成的？展開式有幾項？

2、（a+b）3展開式的再認識

問題2：將上式中，若令a1=a2=a3=a, b1=b2= b3=b,則展開式又是什麼？

合作探究1：合併同類項後，為什麼a2b的係數是3？

教師引導：可以發現a2b是從（a+b）（a+b）（a+b）這三個括弧中的任意兩個中選a，剩下的一個括弧中選b；利用組合知識可以得到a2b應該出現了C23· C11=3次，所以a2b的係數是3。

問題3：（a+b）4的展開式又是什麼呢？

可以對（a+b）4按a或按b進行分類：

（1）四個括弧中全都取a，得：C44 a4

（2）四個括弧中有3個取a，剩下的1個取b，得：C34 a3· C11b

（3）四個括弧中有2個取a，剩下的2個取b，得：C24 a2· C22b2 2 （4）四個括弧中有1個取a，剩下的3個取b，得：C14 a· C33b3

（5）四個括弧中全都取b，得：C44 b4

小結：對於展開式，只要按一個字母分類就可以了，可以按a分類，也可以按b分類，再如：（1）不取b：C04 a4；（2）取1個b：C14 a3b；（3）取2個b：C24 a2 b2；（4）取3個b：C34 ab3；（5）取4個b：C44 b4，然後將上面各式相加得到展開式。

結論：（a+b）4= C04 a4+ C14 a3b+ C24 a2 b2+ C34 ab3+ C44b4

三、形成定理，說理證明

問題4：（a+b）n的展開式又是什麼呢？

合作探究2: (1) 將（a+b）n展開有多少項？

（2）每一項中，字母a，b的指數有什麼特點？

（3）字母“a”、“b”指數的含義是什麼？是怎麼得到的？

（4）如何確定“a”、“b”的係數？

猜想：)()(*110NnbCbaCbaCaCbannnkknknnnnnn

證明：對（a+b）n分類，按b可以分n+1類，

（1）不取b：C0n an；

（2）取1個b：C1n an-1b；

（3）取2個b：C2n an-2b2；

………………

（k+1）取k個b：Ckn an-kbk；

………………

(n+1)取n個b：Cnn bn；

然後將這n+1個式子加起來，就得到二項展開式，

(a+b)n=0nCan+1nCan-1b+…+knCan-kbk+…+nnCbn(n∈N+)

這就是二項式定理。 3 四、熟悉定理，簡單應用

二項式定理的公式特徵（由學生歸納，讓學生熟悉公式）

（1）項數：共有n+1項；

（2）次數：字母a按降冪排列，次數由n遞減到0；字母b按升冪排列，次數由0遞增到n；

（3）二項式係數：下標為n，上標由0遞增至n；

（4）通項:Tk+1= Ckn an-kbk；指的是第k+1項，該項的二項式係數為Ckn；

（5）公式所表示的定理叫二項式定理，右邊的多項式叫做（a＋b）n的二項展開式。

例1 求6)12(xx的展開式

分析：為了方便，可以先化簡後展開。

例2 ①7)21(x的展開式的第4項的係數及第4項的二項式係數。

②求9)1(xx的展開式中含3x的係數。

五、當堂檢測

1.寫出（p+q）7的展開式；

2.求（2a+3b）6的展開式的第3項；

3.寫出nxx3321的展開式的第r+1項；

4.（x-1）10的展開式的第6項的係數是（ ）

（A）610C (B) 610C (C) 510C (D) 510C

答案：1.（p+q）7=p7+7p6q+21p5q2+35p4q3+35p3q4+21p2q5+7pq6+q7.

六、課堂小結

1. 公式： )()(*110NnbCbaCbaCaCbannnkknknnnnnn

2. 思想方法：（1）從特殊到一般的思維方式. （2）用計數原理分析二項式的展開過程.

七、佈置作業

課本43頁習題1.3 A組 2、3 4 §1.3.1 二項式定理

課前預習學案

一、預習目標

通過分析(a+b)2的展開式，歸納得出二項式定理;掌握二項式定理的公式特徵並能簡單應用。

二、預習內容

1、（a+b）2=

（a1+ b1）(a2+b2) (a3+ b3)=______________________________

（a+b）3=

（a+b）4=­­

2、二項式定理的證明過程

3、（a+b）n=­­

4、（a+b）n的二項展開式中共有______項，其中各項的係數______叫做二項式係數，式中的____________叫做二項展開式的通項，用Tk+1表示，即通項為展開式的第k+1項：_____________________

5、在二項式定理中，若a=1，b=x，則有

（1+x）n=_______________________________________

三、提出疑惑

同學們，通過你的自主學習，你還有哪些疑惑，請把它填在下面的表格中

疑惑點 疑惑內容

課內探究學案

一、學習目標

1.用計數原理分析（a+b）3的展開式，進而探究（a+b）4的展開式，從而猜想二項式定理。 5 2.熟悉二項式定理中的公式特徵，能夠應用它解決簡單問題。

3. 培養學生觀察、分析、概括的能力。

二、學習重難點： 教學重點：二項式定理的內容及應用

教學難點：二項式定理的推導過程及內涵

三、學習過程

（一）探究（a+b）3、（a+b）4的展開式

問題1：（a1+ b1）(a2+b2) (a3+ b3)展開式中每一項是怎樣構成的？展開式有幾項？

問題2：將上式中，若令a1=a2=a3=a, b1=b2= b3=b,則展開式又是什麼？

合作探究一：合併同類項後，為什麼a2b的係數是3？

問題3：（a+b）4的展開式又是什麼呢？

結論：（a+b）4= C04 a4+ C14 a3b+ C24 a2 b2+ C34 ab3+ C44b4

（二）猜想、證明“二項式定理”

問題4：（a+b）n的展開式又是什麼呢？

合作探究二: (1) 將（a+b）n展開有多少項？

（2）每一項中，字母a，b的指數有什麼特點？

（3）字母“a”、“b”指數的含義是什麼？是怎麼得到的？

（4）如何確定“a”、“b”的係數？

二項式定理：

(a+b)n=0nCan+1nCan-1b+…+knCan-kbk+…+nnCbn(n∈N+)

（三）歸納小結：二項式定理的公式特徵

（1）項數：_______;（2）次數：字母a按降冪排列，次數由____遞減到_____；字母b按升冪排列，次數由____遞增到______；

（3）二項式係數：下標為_____，上標由_____遞增至_____；

（4）通項:Tk+1=__________；指的是第k+1項，該項的二項式係數為______；

（5）公式所表示的定理叫_____________，右邊的多項式叫做（a＋b）n的二項展開式。 6 （四）典型例題

例1 求6)12(xx的展開式

分析：為了方便，可以先化簡後展開。

例2 ①7)21(x的展開式的第4項的係數及第4項的二項式係數。

②求9)1(xx的展開式中含3x的係數。

（五）當堂檢測

1.寫出（p+q）7的展開式；

2.求（2a+3b）6的展開式的第3項；

3.寫出nxx3321的展開式的第r+1項；

4.（x-1）10的展開式的第6項的係數是（ ）

（A）610C (B) 610C (C) 510C (D) 510C

課後練習與提高

1．在103x的展開式中，6x的係數為 （ ）

A．610C27 B．410C27 C．610C9

D．410C9

2．已知（naa)132的展開式的第三項與第二項的係數的比為11∶2，則n是 （ ）

A．10 B．11 C．12 D．13

3．92)21(xx展開式中9x的係數是

4.1231xx 的展開式中常數項為

5. 10311xx的展開式中，含5x項的係數是 . 7 6. 若100ax的展開式中98x前的係數是9900，求實數a的值。

答案：1.D； 2.C； 3．221； 4.220; 5.207 ； 6. a=±2 8 §1.3.2 “楊輝三角”與二項式係數的性質

【教學目標】

1. 使學生建立“楊輝三角”與二項式係數之間的直覺，並探索其中的規律；

2．能運用函數觀點分析處理二項式係數的性質；

3. 理解和掌握二項式係數的性質，並會簡單的應用。

【教學重難點】

教學重點：二項式係數的性質及其應用；

教學難點：楊輝三角的基本性質的探索和發現。

【教學過程】

一、複習引入

1、二項式定理：________________________________________________；

二項式係數：______________________________________________；

2、( 1+x) n =________________________________________________；

二、楊輝三角的來歷及規律

練一練：把( a+b) n （n=1，2，3，4，5，6）展開式的二項式係數填入課本P37的表格，為了方便，可將上表改寫成如下形式：

(a+b)1 …………………………………………………1 1

(a+b)2…………………………………………………1 2 1

(a+b)3………………………………………………1 3 3 1

(a+b)4……………………………………………1 4 6 4 1

(a+b)5…………………………………………1 5 10 10 5 1

合集下载

人教版高中数学《二项式定理》教学设计(全国一等奖)

人教版高中数学《二项式定理》教学设计(全国一等奖)

二项式定理（第1课时）

一、内容和内容解析

内容：二项式定理的发现与证明．

内容解析：本节是高中数学人教A版选修2－3第一章第3节的内容．二项式定理是多项式乘法的特例，是初中所学多项式乘法的延伸，此内容安排在组合数模型之后，随机变量及其分布之前，既是组合计数模型的一个应用，也是为学习二项分布作准备．另外，由于二项式系数是一些特殊的组合数，由二项式定理可以导出一些组合数的恒等式，这对深化组合数的认识有好处。

由于二项式定理的发现，可以通过从特殊到一般进行归纳概括，在归纳概括过程中还可以用到组合计数模型，因此，这部分内容对于培养学生数学抽象与数学建模素养有着不可忽略的价值．教学中应当引起充分重视．

二、学情分析

这一堂课是面对高二学生。学生已经初步具备了多项式乘法，同类项合并，排列计数原理，组合数计数原理以及归纳推理等知识储备。能够在教师的引导下理解并掌握本节课中的推理演绎过程。但是，学生的自我探究，归纳，分析的能力还有待提高。

三、课程学习目标

（1）知识目标：使学生掌握二项式定理及推导方法，二项式展开式、通项公式的特点，并能利用二项式定理计算或证明一些简单问题。

（2）能力目标：在学生对二项式定理形成的参与讨论过程中，培养学生观察、猜想、归纳的能力，以及学生的化归意识及知识迁移能力。

（3）情感目标：通过二项式定理的学习，培养学生解决数学问题的兴趣和信心，让学生感受数学内在的和谐、对称美及数学符号应用的简洁美。

四、设计思想：

本课采用合作探究、自主学习、合作交流的研究性学习方式，重点放在定理的形成、证明的探究及定理基本应用上，在知识的形成、发展过程中展开思维，逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力和创造性思维的能力。

目标解析：

（1）二项式展开式是依多项式乘法获得的特殊形式，因此从多项式乘法出发去发现二项式定理符合学生的认知规律．但归纳概括的结论，如果不加以严格的证明不符合数学的基本要求．因此，在归纳概括的过程中，用好组合模型不仅可以更自然地得到结论，还能为证明二项式定理提供方法．

高中数学《二项式定理整除问题》教案导学案

高中数学《二项式定理整除问题》教案导学案

二项式定理4---整除问题

一、 例题选讲

1.求4713被5除所得的余数.

2.求x10-3除以(x-1)2所得的余式.

3.求证34n+2+52n+1能被14整除.

二、练习与检测

1.10110-1的末尾连续零的个数是…………………………………（ ）

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

2.若n为奇数，7n+7C7C7C1nn2n2n1n1n被9除所得的余数是……（ ）

A.0 B.2 C.7 D.8

3.5n+13n(nN)除以3的余数是……………………………………（ ）

A.0 B.0或1 C.0或2 D.2

4.求5555除以8所得的余数.

5.用二项式定理证明6363+17能被16整除.

6.求9192除以100的余数.

7.今天是星期二，不算今天，251天后的第一天是星期几？

人教版 高中数学选修2-3 教案1.3.1二项式定理(含反思)

人教版 高中数学选修2-3 教案1.3.1二项式定理(含反思)

人教版高中数学精品资料

§1．3．1二项式定理

教学目标：

知识与技能：进一步掌握二项式定理和二项展开式的通项公式

过程与方法：能解决二项展开式有关的简单问题

情感、态度与价值观：教学过程中，要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。

教学重点：二项式定理及通项公式的掌握及运用

教学难点：二项式定理及通项公式的掌握及运用

授课类型：新授课

课时安排：3课时

内容分析：

二项式定理是初中乘法公式的推广，是排列组合知识的具体运用，是学习概率的重要基础．这部分知识具有较高应用价值和思维训练价值．中学教材中的二项式定理主要包括：定理本身，通项公式，杨辉三角，二项式系数的性质等．

通过二项式定理的学习应该让学生掌握有关知识，同时在求展开式、其通项、证恒等式、近似计算等方面形成技能或技巧；进一步体会过程分析与特殊化方法等等的运用；重视学生正确情感、态度和世界观的培养和形成．

二项式定理本身是教学重点，因为它是后面一切结果的基础．通项公式，杨辉三角，特殊化方法等意义重大而深远，所以也应该是重点．

二项式定理的证明是一个教学难点．这是因为，证明中符号比较抽象、需要恰当地运用组合数的性质2、需要用到不太熟悉的数学归纳法．

在教学中，努力把表现的机会让给学生，以发挥他们的自主精神；尽量创造让学生活动的机会，以让学生在直接体验中建构自己的知识体系；尽量引导学生的发展和创造意识，以使他们能在再创造的氛围中学习．

教学过程：

一、复习引入：

⑴22202122222()2abaabbCaCabCb；

⑵33223031222333333()33abaababbCaCabCabCb

⑶4()()()()()ababababab的各项都是4次式，

即展开式应有下面形式的各项：4a，3ab，22ab，3ab，4b，

展开式各项的系数：上面4个括号中，每个都不取b的情况有1种，即04C种，4a的系数是04C；恰有1个取b的情况有14C种，3ab的系数是14C，恰有2个取b的情况有24C种，22ab的系数是24C，恰有3个取b的情况有34C种，3ab的系数是34C，有4都取b的情况有44C种，4b的系数是44C，

人教版高中数学《二项式定理》全国一等奖教学设计

人教版高中数学《二项式定理》全国一等奖教学设计

1 《二项式定理（一）》教学设计

一、教学内容解析

《1.3.1二项式定理》是《普通高中课程标准实验教科书-数学》选修2-3第一章第三部分第一节的内容，这节课内容上只有一个二项式定理但它却是前面内容的继续，也是后面内容的开始。在计数原理之后学习二项式定理，一方面是因为它的证明要用到计数原理，可以把它看做为计数原理的一个应用。另一方面也是为后面学习随机变量及分布做准备。

二项式定理具有较高应用价值和思维训练价值,不仅能解决某些整除性、近似计算问题的一种方法，并能解释集合的子集个数问题；再者，二项式定理不仅仅是初中多项式乘法的拓展，它又是学生进一步学习数学分析中函数级数展开式的一个特例，在组合理论、开高次方、高阶等差数列求和中有广泛的应用，因此这节课在高中数学中有着十分重要的作用。通过本课的教学，进一步提高学生的归纳演绎能力，让学生感受体验数学的简洁美、和谐美和对称美。

教材中的二项式定理主要包括：定理本身，通项公式，二项式系数的性质等．通过二项式定理的学习应该让学生掌握有关知识，同时在求展开式、其通项、证恒等式、近似计算等方面形成技能或技巧；进一步体会过程分析与特殊化方法等等的运用；重视学生正确情感、态度和世界观的培养和形成。

二项式定理本身是教学重点，因为它是后面各种应用的基础．通项公式，二项式系数的性质，特殊化方法等意义重大而深远，所以也应该是重点。

二项式定理的证明是一个教学难点．这是因为证明中符号比较抽象、需要恰当地运用组合数的性质。

二、学情分析

学生已经学习了计数原理、排列组合及合情推理的相关知识，已经具备了一定的归纳演绎和分析事件方法种数的能力。但是学生对数学严谨性的把握还不够，研究问题的方法和能力有待提高，有些学生容易粗心，对细节知识的把握还不够好。本节课二项式定理的推导运用了先猜想后证明，由特殊到一般的研究问题的思想方法。因此 2 本堂课采用小组讨论学习，让学生在相互讨论的过程中直接或间接地感受和体验知识的产生、发展和演变过程，提高学生分析解决问题的能力。