高等数学一答案

第一学期高等数学试题(一)

一、 1.［5分］ 设，求 。

2.［5分］ 求

3.［5分］ 讨论极限

4.［5分］ 函数 与函数 y = x 是否表示同一函数，并说明理由。

二、 1.［6分］ 讨论数列当 时的极限。

2.［6分］ 讨论函数在 x = 0 处的可导性。

3．［6分］ 设求 。

4.［6分］ 求曲线 的凹凸区间。

三、 1.［8分］ 求 。

2.［8分］ 求 。

3.［8分］ 计算 。

4.［8分］ 求 。

四、 ［8分］ 设试讨论f (x) 的单调性和有界性。

五、 ［8分］ 求曲线 及 x 轴所围图形绕y 轴旋转所得旋转体的体积 V 。

六、 ［8分］ A ，B 两厂在直河岸的同侧，A沿河岸，B离岸4公里，A与B相距5公里，今在河岸边建一水厂C，从水厂到B厂的每公里水管材料费是A厂的倍，问水厂C设在离A厂多远处才使两厂所耗总的水管材料费为最省。

3222xxxf2xf3423lim431xxxxxxxxsinlim0xyarcsinsin,2,1,161212nnnnnann010sinxxxxxfttteyex22dxyd212xxydxxx23sinsindxxx33xdxxx202cos02dxxexxxxxf012221,xyxy5第一学期高等数学试题(一)解答

一、 1.［5分］， 。

2.［5分］

3.［5分］ 因 ，故原极限不存在。

4.［5分］ 函数 与函数 y = x 不表示同一函数。因前者定义域为［-1,1］，后者定义域为［-∞，∞］。

二、 1.［6分］ 。

2.［6分］ 函数 在 x = 0 处的左右极限不等，故f (x) 在x=0处不连续亦不可导。

3．［6分］ 设 。

4.［6分］ 曲线 的凹凸区间为：(-∞ ，0)上凸，(0，∞)上凹。

一、单项选择题

1. 设,nnxy的极限分别是1和2，则数列112233,,,,,xyxyxy的极限是 .

A 1 B 2 C 3 D 不存在

2. 若

0lim()xxfx与0lim()xxfx均存在，则 .

A

0lim()xxfx存在 B

00lim()()xxfxfx

C

00lim()()xxfxfx D

0lim()xxfx不一定存在

3．曲线33yxx上切线平行x轴的点有 .

A (0,0) B (1,2) C (1,0) D (1,2)

4．函数0()0xxxfxxex在0x处 .

A 不连续 B 可导 C 不可微 D 不可导

5．函数()yfx在点0xx处取得极大值，则必有 .

A '0()0fx B "0()0fx

C '0()0fx且"0()0fx D '0()0fx或不存在

6．在区间(,)ab内，如果''()()fxx，则一定有 .

A ()fxx B ()fxxc

C 2()fxx D ()fxcx

7.若()()fxgx，且00lim(),lim()xxxxfxAgxB，则 .

A AB B AB C AB D AB

8. 下列函数在给定的变化过程中是无穷小的是 .

A 21(0)xx B sin(0)xxx

C 23()1xxx D 32(34sin)()1xxxx 9．设210()0xexfxxxx，则'(0)f .

高等数学(1)标准化作业题参考答案第一章班级姓名学号

1第一章函数与极限

第一节映射与函数

一、填空题

1.函数21ln(2)yxx的定义域为[1,)(2,1].

2.设函数2(1)fxxx，则)(xfxx2

.

3.设函数()fx的定义域为[0,1]，则(e)xf的定义域为(,0].

4.已知()sinfxx,2()1fxx,则()x2arcsin(1)x,其定义域为[2,2].

5.设2,0,

()

e,0,xxx

fx

x







()lnxx，则复合函数

()fx2ln,1

,01xx

xx

.6.设函数1,1,

()

0,1,x

fx

x











则

()ffx1.

7.函数21(10)yxx

的反函数为21(01)yxx.

二、单项选择题

1.函数lnarcsin

23xx

y

x

的定义域为C.

A．(,3)(3,2)B.(0,3)C.[3,0)(2,3]D.(,)

2.设(1)fx的定义域为[0,](0)aa，则()fx的定义域为B.

A.[1,1]aB.[1,1]aC.[1,1]aaD.[1,1]aa

3.函数1

1x

y

x



的反函数是D.

A.1

1x

y

x

B.1

1x

y

x

C.1

1x

y

x



D.1

1x

y

x





4.设()fx为奇函数，()x

为偶函数，且[()]fx

有意义，则[()]fx

为B.

A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.以上均不正确高等数学(1)标准化作业题参考答案第一章班级姓名学号

2三、解答题

1.判断函数

2ln1yxx的奇偶性，并求其反函数.

解：

因为22

21

()ln(1)lnln(1)()

1fxxxxxfx

xx

，

所以()fx是奇函数.

由21eyxx

，21eyxx，得ee

2yy

x

，所以反函数为ee

2xx

y

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1 高等数学实验1 函数与极限 参考答案

一．用MATLAB计算：

1． 4333sinlog210.23452435

sin(3*pi/5)+log(21)/log(3)-0.23^4+452^(1/3)-sqrt(43)

ans =

4.8365

2．2ln6451.2374cos48

4*cos(4*pi/7)+3*2.1^8/(sqrt (645))-log(2)

ans =

43.0950

二. 用MATLAB计算：

设向量(1,2,3,4,5)x，求

1．sin2yxx

clear

>> x=[1,2,3,4,5];

>> y=sin(x)+2*x

y =

2.8415 4.9093 6.1411 7.2432 9.0411

2．23sinzxxx

z=3*x.*sin(x)-x.^2

z =1.5244 1.4558 -7.7299 -25.0816 -39.3839

3． 2cos2sin1ln(21)xxxuex

u=((cos(2.*x)).^2+(sin(x)+1).^(1/2))./(exp(x)-log(2.*x+1))

u =

0.9448 0.3130 0.1097 0.0098 0.0062

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2 三．用MATLAB绘图：

1． 设数据表如下：

x 1 2.1 3 3.9 5.3 6.1 6.9 8 9.1

y 1.01 3.98 8.99 16.01 25.41 37.01 48.89 63.89 81.21

在坐标系中描出点(x,y);

clear

>> x=[1,2.1,3,3.9,5.3,6.1,6.9,8,9.1];

>> y=[1.01,3.98,8.99,16.01,25.41,37.01,48.89,63.89,81.21];