概率论学习3_2_1
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概率论学习3_2_1
§2 分布函数与连续型随机变量
⼀、分布函数1.定义
离散型随机变量是⽤分布列来表⽰其概率分布。 但对其它随机变量来说，分布列不存在，例如随机变量可取的值为⼀连续区间的⼀切值时，就⽆法⼀⼀罗列这些值及其概率。为此要引⼊概率分布的新的表⽰法，我们希望它对⼀切随机变量都适⽤。
在第⼀节中，我们曾把概率分布定义为⼀切概率{{()}}P B ξω∈，其中B 是R 上的任⼀波雷尔集。 现在取(,]B x =-∞，它是波雷尔集，从⽽事件{}x ξ≤={x ≤)(:ωξω}有概率{}P x ξ≤。如果我们对⼀切实数x 都定义了上⾯的概率，那么对于任意实数a b <，事件{a b ξ<≤}的概率可⽴即求出：P{a b ξ<≤}={}P b ξ≤－{}P a ξ≤。 (1)
进⼀步， 由于任意波雷尔集B 是左开右闭区间的（有限或可列）并、（有限或可列）交、逆产⽣的集合，所以由（1）可以算出{()}P B ξω∈， 因此， 对任意实数x ,{}P x ξ≤可以代表ξ的概率分布。
定义1 称(){()}F x P x ξω=≤， －∞＜x ＜+∞ (2)
为随机变量()ξω的分布函数 (distribution function)。
对确定的随机变量ξ,其分布函数是唯⼀确定的，它是实变量x 的函数，因此我们可以利⽤实变函数论这⼀有⼒⼯具来研究随机变量。
有了分布函数，则对任⼀波雷尔集B ，概率{()}P B ξω∈可以⽤分布函数来表⽰。事实上，由(1)式，{}()()P a b F b F a ξ<≤=- (3)
再利⽤概率的运算，就可得到其它事件的概率。 例如0()lim ()(0)b a P a P b F a ξξ→-<=≤=-，
()()()P a P a P a ξξξ==≤-<
()(0)F a F a =--，
()1()1()P a P a F a ξξ>=-≤=-，
{}()()P a b P b P a ξξξ<<=<-≤
(0)()F b F a =--。
例1 设随机变量ξ服从伯努⾥分布：???? ?p q 10，写出它的分布函数，并计算(10.5)P ξ-<<。
解 当x <0时，(){}F x P x ξ=≤=0， (不可能事件)；
当0≤x <1时，{}(0)P x P ξξ≤===q ；
当x ≥1时，{}(0)(1)P x P P ξξξ≤==+=1p q =+=；
因此分布函数0,0,(),01,
1, 1.x F x q x x
⽽(10.5)P ξ-<<= F(0.5－0)－F(－1) = q 。
例2 在△ABC 内任取⼀点P ，P 到BC 的距离为ξ，求ξ的分布函数。
解 设BC 边上的⾼为h 。当x < 0时，显然 P(ξ≤x ) = 0； 当0≤x
△ABC 内作平⾏BC 的线段DE ，使与BC 的距离为x ，则{ξ≤x }
表⽰点P 落在梯形DBCE 内。由⼏何概率，{}P x ξ≤= DBCE ABC ?梯形的⾯积的⾯积=1－(1－x /h )2；
当x ≥h 时， {ξ≤x } 表⽰点P 在△ABC 内任意取，故P(ξ≤x )=1； 综上所述，分布函数为20,0,()1(1/),0,
1,.x F x x h x h x h
2.性质
分布函数是事件{ξ≤x }的概率，⾃然有0≤()F x ≤1，除此以外，分布函数还有下⾯三个基本性质：(1) 单调不减性：若a b <,则()()F a F b <；
(2) lim x →-∞
()F x =0，lim x →+∞()F x =1； ① (3) 右连续性：(0)F x +=()F x 。②
证 (1)()()()F b F a P a b ξ-=<≤≥0。(2) 由于F(x) 单调有界，存在极限
F(－∞) =lim
n →∞F(－n )。 但{ξ≤-n }?{ξ≤-(n +1)}且1{}n n ξ∞=≤- =φ，故由概率的连续性定理(§3)
lim n →∞F(-n )=lim n →∞P{ξ≤-n }={}=-≤P ∞= 1
n n ξP(φ)=0。 ⼜{ξ≤n }?{ξ≤(n +1)}及1{}n n ξ∞=≤ =Ω， 故
lim n →∞F(n )=lim n →∞P{
ξ≤n }={}n 1n ξ∞=??P ≤= P(Ω)=1。 A D E
P
h ξ
B C
(3) 由F(x )的单调性，只需证lim
n →+∞F(x +1/n ) = F(x )。 因
{ξ≤x +1/ (n －1)}?{ξ≤x +1/n }
且 1{1/}n x n ξ∞=≤+ ={ξ≤x }
故lim n →+∞F(x +1/n ) =lim
n →∞P{ξ≤x +1/n } = P{ξ≤x } = F(x )。
分布函数有上述三性质，反之可证，有上述三性质的函数必可作为某随机变量的分布函数。
例3 设随机变量的分布函数如下，试确定常数a ，b 。0,1,()arcsin ,11,
1, 1.x F x a b x x x ≤-??=+-<≤??>?。
解 ()F x 应满⾜上⾯三个性质。F(-∞)=0与 F(+∞) =1已成⽴；⼜()F x 在各段内是不减的 (如果b >0)，故只要0≤arcsin a b x+≤1， 就整体单调了；剩下的只需讨论右连续性，这只要考察x =－1与x =1两点，应满⾜F(－1+0)=F(－
1)和F(1+0)=F(1)，即
a -
b π/ 2 = 0， 1= a +b π/2 ，
解之得a =1/2， b =1/π。3.离散型随机变量的分布函数
分布函数作为随机变量概率分布的⼀种表达⽅式，对⼀切随机变量(包括离散型)都适⽤。在例1中已经写出伯努⾥分布的分布函数，这是分段函数，在x =0和x =1处各有⼀跳跃。
⼀般说来，设ξ的分布列为???? ?? )()()(2121k kx p x p x p x x x ，且1x <2x <…
111210,,(),,()(),,i k k i k x x p x x x x F x p x x x x +≤
，
它是间断的分段函数，在k x ，k =1，2， …各有⼀跳跃，跃度为()k p x ，在每⼀段 [k x ，1k x +)中都是常数，呈阶梯形。
⼆、连续型随机变量及密度函数
定义2 若随机变量ξ可取某个区间 （有限或⽆限）中的⼀切值， 并且存在某个⾮负的可积函数()p x ，使分布函数()F x 满⾜()()x
F x p y dy -∞=
， (4)
则称ξ为连续型(continuous)随机变量，称()p x 为ξ的概率密度函数，简称为密度函数(density function)，具有上述性质的函数()F x 称为是绝对连续的。 由连续型随机变量的定义，使它的分布函数()F x 具有下列良好的数学性质。
(1) 在实变函数论中可以证明， 若()F x 绝对连续，则()F x 必定处处连续；并且在()p x 的连续点，()F x 可导，且
'()()F x p x =。 (5)
(2) (4)式表⽰的()F x 与密度函数()p x 的关系使得对⼀连续型随机变量，只要给出密度函数()p x ，就可以直接算得ξ落在任意区间(,]a b 的概率:()()P a b F b ξ<≤=－()F a
=?∞-b dy y p )(－?∞-a
dy y p )(
=?b
a dy y p )(。 (6)
由此对R 上的⼀切波雷尔集都可通过()p x 来计算概率。(3) 特别，对任⼀常数c ，
()()(0)P c F c F c ξ==--
=lim h →+0?-ch c dx x p )(= 0， (7)
因此对连续型随机变量，计算在⼀点的概率是没有意义的，这也是不能⽤分布列描写连续型随机变量的理由之⼀。 但{}c ξ=是⼀个可能发⽣的事件，这⼜说明对连续型随机变量,⼀事件A 的概率为0并不表明A =φ；同样若P(A) =1，也并不表明A =Ω。这些都是与离散型随机变量的根本区别。
密度函数具有下列性质:(1) ⾮负性：()p x ≥0；
(8)
(2)()p x dx +∞-∞?=1。 (9)
后者由F(+∞)=1得到。 反之，对于定义在 (－∞，+∞)上的可积函数， 若它满⾜(8)和(9)式，则它就可作为某⼀随机变量的密度函数。
例4 例3中的()F x 是否可作为连续型随机变量的分布函数？
解 除x =－1，1两点以外, ()F x 处处可导，记其导数为()p x 。
当－1='()F x =； 其它情况()p x =0；
()p x 满⾜(8) (9)两式，故()p x 为密度函数，()F x 表⽰连续型分布函数。
应该指出，除了离散型，连续型以外，随机变量还有其它类型，例如0,0,()(1)/2,01,
1, 1.x F x x x x ?
是分布函数，它不是离散型的，也不是连续型的 ( 因为它不连续 )，它是x =0
处退化分布1()F x 和[0,1]上均匀分布2()F x (见下⼀段) 的混合： ()F x =(1()F x +2()F x )/2。
甚⾄还存在这样的分布，它是⼀个连续函数，却不是绝对连续的。不过常见的是离散型和连续型。 以后如果对⼀般的随机变量进⾏讨论，就⽤分布函数()F x ；如果对离散型情形，主要就⽤分布列；如果对连续型，则主要⽤密度函数()p x ,不另提其它类型了。
三、常见的连续型随机变量1.均匀(Uniform)分布
对a b <，称随机变量ξ服从[]b a ,上的均匀分布，如果它的密度函数为1/(),,()0,.b a a x b p x -≤≤?=??其它。 (10) 简记作ξ～),(b a U 。 当x
()()x P x p y dy ξ-∞≤=
=-x a dy a b )/(1
()/()x a x b =--；
当x ≥b 时，()()x P x p y dy ξ-∞≤=
=-b a dy a b )/(1=1；
因此其分布函数为 0,,()()/(),,1,x a F x x a b a a x b x b
[]b a ,上的均匀分布相当于样本空间为[]b a ,的⼏何概率。 在区间[]b a ,上投点，其落点位置就服从这个分布。 ⼜如考察⼀个数据，它在⼩数点n 位后四舍五⼊，
