高中数学 第一章 三角函数 1.3 三角函数的诱导公式(一)学案(含解析)新人教A版必修4

三角函数的诱导公式(一)(15分钟30分)的值为( ) A. C.【解析】=tan=tan=-.【补偿训练】tan(5π+α)=m,则的值为( ) A. B.【解析】选A.因为tan(5π+α)=tan α=m,所以原式===.2.在平面直角坐标系中,若角α的终边经过点P,则cos= ( )A. B.【解析】,所以cos α=-,所以cos=-cos α=.3.若c os(π+α)=-,π<α<2π,则sin(α-2π)等于( )A. B.± C.【解析】选D.由cos(π+α)=-,得cos α=,故sin(α-2π)=sin α=-=-=-(α为第四象限角).4.的值等于.【解析】原式=====-2.答案:-2<α<,cos=m(m≠0),求tan的值.【解析】因为-α=π-,所以cos=cos=-cos=-m.由于<α<,所以0<-α<.于是sin==.所以tan==-.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分,共20分)=,则cos= ( ) A. C.【解析】+=π,所以cos=-cos=-.2.已知n为整数,化简所得的结果是( )A.tan nαB.-tan nαC.tan αD.-tan α【解析】选C.当n=2k,k∈Z时,===tan α;当n=2k+1,k∈Z时,====tan α.+sin的值为( ) B.C. D.【解析】选C.原式=cos-sin=cos-sin=-cos+sin=.4.若sin(π-α)=log8,且α∈,则cos(π+α)的值为( ) A.C.±【解析】选B.因为sin(π-α)=sin α=log81-log84=0-log822=0-2log82=-,所以cos(π+α)=-cos α=-=-=-.二、填空题(每小题5分,共10分)=,则sin= .【解析】因为sin=,所以sin=sin=-sin=-.答案:-6.已知cos(α-55°)=-,且α为第四象限角,则sin(α+125°)的值为. 【解析】因为cos(α-55°)=-<0且α是第四象限角.所以α-55°是第三象限角. 所以sin(α-55°)=-=-.因为α+125°=180°+(α-55°),所以sin(α+125°)=sin[180°+(α-55°)]=-sin(α-55°)=.答案:三、解答题7.(10分)已知f(α)=.(1)化简f(α).(2)若f(α)=,且<α<,求cos α-sin α的值.(3)若α=-,求f(α)的值.【解析】(1)f(α)==sin α·cos α. (2)由f(α)=sin αcos α=可知(cos α-sin α)2=cos2α-2sin αcos α+sin2α=1-2sin αcos α=1-2×=.又因为<α<,所以cos α<sin α,即cos α-sin α<0.所以cos α-sin α=-.(3)因为α=-=-6×2π+,所以f=cos·sin=cos·sin=cos·sin=cos·sin=cos·=×=-.。

1．3诱导公式（一）教学目标（一）知识与技能目标⑴理解正弦、余弦的诱导公式．⑵培养学生化归、转化的能力．（二）过程与能力目标（1）能运用公式一、二、三的推导公式四、五．（2）掌握诱导公式并运用之进行三角函数式的求值、化简以及简单三角恒等式的证明．（三）情感与态度目标通过公式四、五的探究，培养学生思维的严密性与科学性等思维品质以及孜孜以求的探索精神等良好的个性品质．教学重点掌握诱导公式四、五的推导，能观察分析公式的特点，明确公式用途，熟练驾驭公式．教学难点运用诱导公式对三角函数式的求值、化简以及简单三角恒等式的证明．教学过程一、复习：诱导公式（一）tan )360tan(cos )360(cos sin )360sin(αααααα=+︒=+︒=+︒k k k 诱导公式（二）tan )180tan(cos )180cos( sin )180sin(αααααα=+︒-=+︒-=+︒ 诱导公式（三）tan )tan(cos )cos( sin )sin(αααααα-=-=--=-诱导公式（四）tan )180tan(cos )180cos( sin )180sin(αααααα-=-︒-=-︒=-︒ 对于五组诱导公式的理解 ：①可以是任意角；公式中的α②这四组诱导公式可以概括为：符号。

看成锐角时原函数值的前面加上一个把三角函数值，的同名的三角函数值，等于它ααπαπααπ ,, , ),Z (2-+-∈+k k总结为一句话：函数名不变，符号看象限练习1：P27面作业1、2、3、4。

2：P25面的例2：化简二、新课讲授： 1、诱导公式（五） sin )2cos( cos )2sin(ααπααπ=-=- 2、诱导公式（六） sin )2cos( cos )2sin(ααπααπ-=+=+ 总结为一句话：函数正变余，符号看象限例1．将下列三角函数转化为锐角三角函数：).317sin()4( ,519cos )3( ,3631sin )2( ,53tan )1(πππ-︒ 练习3：求下列函数值：).580tan )4( ,670sin )3( ),431sin()2( ,665cos)1(︒︒-ππ 例2．证明：（1）ααπcos )23sin(-=- （2）ααπsin )23cos(-=- 例3．化简：.)29sin()sin()3sin()cos()211cos()2cos()cos()2sin(αππααπαπαπαπαπαπ+-----++- 的值。

1.3.1三角函数的诱导公式（一）课前预习学案预习目标：回顾记忆各特殊锐角三角函数值，在单位圆中正确识别三种三角函数线。

预习内容：1、背诵30度、45度、60度角的正弦、余弦、正切值；2、在平面直角坐标系中做出单位圆，并分别找出任意角的正弦线、余弦线、正切线。

提出疑惑：我们知道，任一角α都可以转化为终边在)2,0[π内的角，如何进一步求出它的三角函数值？我们对)2,0[π范围内的角的三角函数值是熟悉的，那么若能把)2,2[ππ内的角β的三角函数值转化为求锐角α的三角函数值，则问题将得到解决。

那么如何实现这种转化呢？课内探究学案一、学习目标：（1）.借助单位圆，推导出正弦、余弦和正切的诱导公式，能正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，并解决有关三角函数求值、化简和恒等式证明问题（2）.通过公式的应用，了解未知到已知、复杂到简单的转化过程，培养学生的化归思想，以及信息加工能力、运算推理能力、分析问题和解决问题的能力。

二、重点与难点：重点：四组诱导公式的记忆、理解、运用。

难点：四组诱导公式的推导、记忆及符号的判断； 三、学习过程：（一）研探新知1. 诱导公式的推导由三角函数定义可以知道：终边相同的角的同一三角函数值相等，即有公式一：)(tan )2tan()(cos )2cos()(sin )2sin(Z k k Z k k Z k k ∈=+∈=+∈=+απααπααπα （公式一） 诱导公式（一）的作用：把任意角的正弦、余弦、正切化为)2,0[π之间角的正弦、余弦、正切。

【注意】：运用公式时，注意“弧度”与“度”两种度量制不要混用，如写成︒=+︒80sin )280sin(πk ，3cos)3603cos(ππ=︒⋅+k 是不对的【讨论】：利用诱导公式（一），将任意范围内的角的三角函数值转化到)2,0[π角后，又如何将)2,0[π角间的角转化到)2,0[π角呢？除此之外还有一些角，它们的终边具有某种特殊关系，如关于坐标轴对称、关于原点对称等。

浙江省宁波市鄞州区咸祥中学2014高中数学 1.3 三角函数的诱导公式学案（1）新人教A 版必修4学习目标:1.理解三角函数诱导公式的推导方法；2.会应用三角函数的诱导公式进行简单三角式的求值、化简、恒等式的证明.一、复习同角三角函数关系与诱导公式一1.同角三角函数的基本关系 ①.________________ ②. ________________2.诱导公式一3.各三角函数的值在四个象限内的符号4.求解并记忆下列特殊角的三角函数值二、诱导公式二~四的推导1.设角βαβα≠∈,,R ，在直角坐标系中绘制下列情况时βα,终边，写下你的结论. ① απβ+=,β的终边与α的终边关于__________________； ② αβ-=, β的终边与α的终边关于__________________；③ απβ-=,β的终边与α的终边关于__________________；2.分析βα,终边与单位圆的交点，表示出它们的三角函数，探究结论.为了记忆方便，观察诱导公式一~四，你发现了什么特点？总结：________________________________________ 练习1：已知α为锐角,快速判断下列角的象限. 1.πα- ___________ 2.απ-2___________ 3.23πα+____________ 例1.利用公式求下列三角函数值 1.225cos 2.311sin π 3.⎪⎭⎫⎝⎛-π316sin 4.)2040cos( -利用公式一~四转化任意角的三角函数的步骤：练习2. 求下列三角函数值1.）（420-cos 2.67sinπ 3.()1300sin - 4.)679cos(π-例2 化简)180cos()180sin()360sin()180cos(αααα--⋅--+⋅+思考：将α看作锐角时， 180--α为第___象限角，与)180sin(--α化简结果有何联系？练习3.化简：1.)180sin()cos()180sin(---+ααα 2.)3tan()6cos()sin(πααπα--+-作业（39）三角函数的诱导公式 姓名 班级1. 求解并记忆下列特殊角的三角函数值2. 已知α是任意角，下列等式不成立的是（ ）A. ααπsin )sin(=-B. ααπtan )tan(=+C. ααsin )sin(=-D. ααcos )cos(=- 3.若角A,B,C 是三角形的三个内角，则=+)sin(B A （ ） A.C sin B. C sin - C.C cos D.C tan 4.函数 Z x xx f ∈=,3cos)(π的值域是（ ）A.⎭⎬⎫⎩⎨⎧--1,21,0,21,1 B.⎭⎬⎫⎩⎨⎧--1,21,21,1 C.⎭⎬⎫⎩⎨⎧--1,23,0,23,1 D. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧--1,23,23,1 6.已知,33)6cos(=-απ求)6(sin )65cos(2πααπ--+的值.7.化简()()()())23(2cos 12cos 12cos 12cos 1παπαπαππααπ<<---++-++-8.已知α是第三象限角，且()()()()()αππααπαπαπα-+----=3sin tan 6cos sin 2tan )(f1)化简)(αf ； 2)若53sin -=α，求)(αf ； 3）若πα331-=，求)(αf。

《三角函数的诱导公式（一）》教学设计◆教学目标1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用.2.理解诱导公式的推导过程.3.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题．◆教学重难点◆教学重点：推导出四组的诱导公式，能正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数．教学难点：解决有关三角函数求值、化简和恒等式证明问题．◆课前准备PPT课件．◆教学过程一、新课导入对称美是日常生活中最常见的，在三角函数中－α、π±α、2π－α等角的终边与角α的终边关于坐标轴或原点对称，那么它们的三角函数值之间是否也存在对称美呢？引语：要解决这个问题，就需要进一步学习三角函数的诱导公式.（板书：7.2.3三角函数的诱导公式（一））设计意图：情境导入，引入新课。

【探究新知】问题1：当角α分别为30°，390°，－330°时，它们的终边有什么特点？它们的三角函数之间有什么关系？师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：它们的终边重合．由三角函数的定义知，它们的三角函数值相等．诱导公式一：sin（α＋k·2π）＝sinα，cos（α＋k·2π）＝cosα，tan（α＋k·2π）＝tanα，其中k∈Z.即终边相同的角的同一三角函数值相等．问题2：角π＋α的终边与角α的终边有什么关系？角π＋α的终边与单位圆的交点P1(cos(π＋α)，sin(π＋α))与点P(cosα，sinα)呢？它们的三角函数之间有什么关系？师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：角π＋α的终边与角α的终边关于原点对称，P1与P也关于原点对称，它们的三角函数关系如下：诱导公式二：sin(π＋α)＝－sinα，cos(π＋α)＝－cosα，tan(π＋α)＝tanα.问题3：角－α的终边与角α的终边有什么关系？角－α的终边与单位圆的交点P2(cos(－α)，sin(－α))与点P(cosα，sinα)有怎样的关系？它们的三角函数之间有什么关系？师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：角－α的终边与角α的终边关于x轴对称，P2与P也关于x轴对称，它们的三角函数关系如下：诱导公式三：sin（－α）＝－sinα，cos（－α）＝cosα，tan（－α）＝－tanα.问题4：角π－α的终边与角α的终边有什么关系？角π－α的终边与单位圆的交点P3(cos(π－α)，sin(π－α))与点P(cosα，sinα)有怎样的关系？它们的三角函数之间有什么关系？师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：角π－α的终边与角α的终边关于y轴对称，P3与P也关于y轴对称，它们的三角函数关系如下：诱导公式四：sin(π－α)＝sinα，cos(π－α)＝－cosα，tan(π－α)＝－tanα.追问1：如何记忆这四组诱导公式呢？预设的答案：2kπ＋α(k∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，可以简单地说成“函数名不变，符号看象限”．“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名；“符号”是指等号右边是正号还是负号；“看象限”是指假设α是锐角，要看原三角函数值是取正值还是负值，如sin (π＋α)，若把α看成锐角，则π＋α是第三象限角，故sin (π＋α)＝－sinα． 追问2：诱导公式一、二、三、四的作用是什么？预设的答案：公式一的作用在于把绝对值大于2π的任一角的三角函数问题转化为绝对值小于2π的角的三角函数问题；公式三的作用在于把负角的三角函数转化成正角的三角函数；公式二、公式四的作用在于把钝角或大于180°的角的三角函数转化为0°～90°之间的角的三角函数．设计意图：培养学生分析和归纳的能力.【巩固练习】例1. 求值：(1)sin (-60°)+cos 120°+sin 390°+cos 210°；（2师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：(1) 原式=-sin 60°+cos (180°-60°)+sin (360°+30°)+cos (180°+30°) =-sin 60°-cos 60°+sin 30°-cos 30°1122=+=（2 cos1012cos102︒=︒.反思与感悟：利用诱导公式求任意角三角函数的步骤： (1)“负化正”——用公式一或三来转化；(2)“大化小”——用公式一将角化为0°到360°间的角； (3)“小化锐”——用公式二或四将大于90°的角转化为锐角； (4)“锐求值”——得到锐角的三角函数后求值．设计意图：掌握利用诱导公式求任意角三角函数的方法。

第1课时 三角函数的诱导公式（一）【基础练习】1．化简1－sin 21 180°的结果是( ) A ．cos 100° B ．cos 80° C ．sin 80° D ．cos 10°【答案】B【解析】原式＝1－sin 21 180°＝1－sin 2100°＝cos 2100°＝cos 280°＝cos 80°.故选B ． 2．(2018年福建厦门校级月考)已知sin(π＋α)＝35，α是第四象限的角，则cos(α－2π)＝( )A ．45B ．－45C ．±45D ．35【答案】A【解析】由sin(π＋α)＝35，得sin α＝－35，而cos(α－2π)＝cos α且α是第四象限角，所以cos α＝1－sin 2α＝45.故选A ．3．下列等式恒成立的是( ) A ．cos(－α)＝－cos α B ．si n(360°－α)＝sin α C ．tan(2π－α)＝tan(π＋α) D ．cos(π＋α)＝cos(π－α) 【答案】D【解析】根据诱导公式可得cos(－α)＝cos α，sin(360°－α)＝－sin α，tan(2π－α)＝tan(－α)＝－tan(π＋α)，可得A ，B ，C 都不正确，再由cos(π＋α)＝－cos α＝cos(π－α)，可得D 正确．故选D ．4．sin 2(2π－α)＋cos(π＋α)·cos(π－α)＋1的值是( ) A ．1 B ．2 C ．0 D ．2sin 2α【答案】B【解析】原式＝sin 2α＋(－cos α)·(－cos α)＋1＝sin 2α＋cos 2α＋1＝1＋1＝2.故选B ． 5．化简sin 2?α＋π?·cos?π＋α?cos 3?－α－π?·tan 2?α－2π?的结果是( ) A ．1 B ．－1 C ．cos αD ．1cos α【答案】A【解析】sin 2?α＋π?·cos?π＋α?cos 3?－α－π?·tan 2?α－2π?＝sin 2α·?－cos α??－cos 3α?·tan 2α＝sin 2αcos 2α·sin 2αcos 2α＝1.故选A ． 6．(2019年江西南昌模拟)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝32，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－α的值为________．【答案】32【解析】因为3π4－α＝π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝32.7．(2019年江苏苏州期末)已知3sin(α－π)＝cos α，则tan(π－α)的值是________． 【答案】13【解析】因为3sin(α－π)＝－3sin (π－α)＝－3sin α，所以－3sin α＝cos α，则tan α＝sin αcos α＝－13.所以tan(π－α)＝－tan α＝13.8．求值：(1)sin 1 650°；(2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－28π3. 【解析】(1)sin 1 650°＝sin(4×360°＋210°)＝sin 210°＝sin(180°＋30°)＝－sin 30°＝－12. (2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－28π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－10π＋2π3＝cos 2π3 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π3＝－cos π3＝－12.9．已知cos?180°＋α?sin?α＋360°?sin?540°＋α?sin?－α－180°?cos?－180°－α?＝lg 1310，求cos ?π＋α?cos α[cos ?π－α?－1]＋cos?α－2π?cos αcos ?π－α?＋cos?α－2π?的值．【解析】∵cos?180°＋α?sin?α＋360°?sin?540°＋α?sin?－α－180°?cos?－180°－α?＝－cos α?sin αsin?180°＋α?－sin?180°＋α?cos?180°＋α?＝－cos α?sin α?－sin α?sin α?－cos α?＝－sin α＝lg 1310，∴sin α＝－lg1310＝lg 310＝13.∴cos ?π＋α?cos α[cos ?π－α?－1]＋cos?α－2π?cos αcos ?π－α?＋cos?α－2π?＝－cos αcos α?－cos α－1?＋cos αcos α?－cos α?＋cos α＝1cos α＋1＋11－cos α＝?1－cos α?＋?1＋cos α?1－cos 2α ＝2sin 2α＝18. 【能力提升】10．(2018年湖南株洲期中)已知tan(π－α)＝－23，则cos?－α?＋3sin?π＋α?cos?π－α?＋9sin α的值为( )A ．－15B ．－37C ．15D ．37【答案】A【解析】tan(π－α)＝－tan α＝－23，可得tan α＝23，∴cos?－α?＋3sin?π＋α?cos?π－α?＋9sin α＝cos α－3sin α－cos α＋9sin α＝1－3tan α9tan α－1＝1－3×239×23－1＝－15.故选A ．11．已知角α与角β终边关于y 轴对称，有四个等式：①sin α＝sin(π＋β)；②sin α＝sin β；③cos α＝cos(π＋β)；④cos α＝cos(－β)，其中恒成立的是( )A ．②③B ．①④C ．①③D ．②④ 【答案】A【解析】设角α终边上一点P (x ，y )，则点P 关于y 轴对称的点为P ′(－x ，y )且点P 与点P ′到原点的距离相等，设为r ，则P ′(－x ，y )在β的终边上，由三角函数的定义得sin α＝y r ，sin β＝y r，cosα＝x r ，cos β＝－xr，∴sin α＝sin β，cos α＝－cos β.故①④错误，②③正确．故选A ．12．设f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，其中a ，b ，α，β为非零常数．若f (2 018)＝－1，则f (2 019)＝________.【答案】1【解析】∵f (2 019)＝a sin(2 019π＋α)＋b cos(2 019π＋β)＝a sin(π＋2 018π＋α)＋b cos(π＋2 018π＋β)＝－a sin(2 018π＋α)－b cos(2 018π＋β)＝－f (2 018)，又f (2 018)＝－1，∴f (2 019)＝1.13．化简：1＋2sin 280°·cos 440°sin 260°＋cos 800°.【解析】原式＝1＋2sin?360°－80°?·cos?360°＋80°? sin?180°＋80°?＋cos?720°＋80°?＝1－2sin 80°·cos 80°－sin 80°＋cos 80°＝sin280°＋cos280°－2sin 80°·cos 80°－sin 80°＋cos 80°＝sin 80°－cos 80°2－sin 80°＋cos 80°＝|sin 80°－cos 80°|cos 80°－sin 80°＝sin 80°－cos 80°cos 80°－sin 80°＝－1.。

难点16 三角函数的诱导公式运用 三角函数式的化简与求值三角函数式的化简和求值是高考考查的重点内容之一.通过本节的学习使考生掌握化简和求值问题的解题规律和途径，特别是要掌握化简和求值的一些常规技巧，以优化我们的解题效果，做到事半功倍.●难点磁场 (★★★★★)已知2π＜β＜α＜43π,cos(α－β)=1312,sin(α+β)=－53,求sin2α的值_________.●案例探究［例1］不查表求sin 220°+cos 280°+3cos20°cos80°的值.命题意图：本题主要考查两角和、二倍角公式及降幂求值的方法，对计算能力的要求较高.属于★★★★级题目.知识依托：熟知三角公式并能灵活应用. 错解分析：公式不熟，计算易出错.技巧与方法：解法一利用三角公式进行等价变形；解法二转化为函数问题，使解法更简单更精妙，需认真体会.解法一：sin 220°+cos 280°+3sin 220°cos80° =21 (1－cos40°)+21 (1+cos160°)+ 3sin20°cos80°=1－21cos40°+21cos160°+3sin20°cos(60°+20°)=1－21cos40°+21 (cos120°cos40°－sin120°sin40°)+3sin20°(cos60°cos20°－sin60°sin20°)=1－21cos40°－41cos40°－43sin40°+43sin40°－23sin 220°=1－43cos40°－43(1－cos40°)=41解法二：设x =sin 220°+cos 280°+3sin20°cos80°y =cos 220°+sin 280°－3cos20°sin80°，则 x +y =1+1－3sin60°=21，x －y =－cos40°+cos160°+3sin100°=－2sin100°sin60°+3sin100°=0 ∴x =y =41，即x =sin 220°+cos 280°+3sin20°cos80°=41.［例2］设关于x 的函数y =2cos 2x －2a cos x －(2a +1)的最小值为f (a )，试确定满足f (a )=21的a 值，并对此时的a 值求y 的最大值.命题意图：本题主要考查最值问题、三角函数的有界性、计算能力以及较强的逻辑思维能力.属★★★★★级题目知识依托：二次函数在给定区间上的最值问题.错解分析：考生不易考查三角函数的有界性，对区间的分类易出错.技巧与方法：利用等价转化把问题化归为二次函数问题，还要用到配方法、数形结合、分类讲座等.解：由y =2(cos x －2a )2－2242+-a a 及cos x ∈［－1，1］得：f (a )⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-<<-----≤)2( 41)22( 122)2( 12a a a a a a∵f (a )=21,∴1－4a =21⇒a =81∉［2,+∞)故－22a－2a －1=21，解得：a =－1，此时，y =2(cos x +21)2+21，当cos x =1时，即x =2k π，k ∈Z ，y max =5.［例3］已知函数f (x )=2cos x sin(x +3π)－3sin 2x +sin x cos x(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求f (x )的最小值及取得最小值时相应的x 的值； (3)若当x ∈［12π，127π］时，f (x )的反函数为f －1(x )，求f -－1(1)的值.命题意图：本题主要考查三角公式、周期、最值、反函数等知识，还考查计算变形能力，综合运用知识的能力，属★★★★★级题目.知识依托：熟知三角函数公式以及三角函数的性质、反函数等知识. 错解分析：在求f -－1(1)的值时易走弯路. 技巧与方法：等价转化，逆向思维. 解：(1)f (x )=2cos x sin(x +3π)－3sin 2x +sin x cos x=2cos x (sin x cos3π+cos x sin3π)－3sin 2x +sin x cos x=2sin x cos x +3cos2x =2sin(2x +3π)∴f (x )的最小正周期T =π (2)当2x +3π=2k π－2π，即x =k π－125π (k ∈Z )时，f (x )取得最小值－2.(3)令2sin(2x +3π)=1，又x ∈［27,2ππ］,∴2x +3π∈［3π,23π］,∴2x +3π=65π，则x =4π，故f -－1(1)=4π.●锦囊妙计本难点所涉及的问题以及解决的方法主要有：1.求值问题的基本类型：1°给角求值，2°给值求值，3°给式求值，4°求函数式的最值或值域，5°化简求值.2.技巧与方法：1°要寻求角与角关系的特殊性，化非特角为特殊角，熟练准确地应用公式. 2°注意切割化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用.3°对于条件求值问题，要认真寻找条件和结论的关系，寻找解题的突破口，很难入手的问题，可利用分析法.4°求最值问题，常用配方法、换元法来解决.●歼灭难点训练 一、选择题1.(★★★★★)已知方程x 2+4ax +3a +1=0(a ＞1)的两根均tan α、tan β，且α，β∈ (－2,2ππ)，则tan 2βα+的值是( ) A.21B.－2C.34 D.21或－2二、填空题2.(★★★★)已知sin α=53，α∈(2π，π)，tan(π－β)=21，则tan(α－2β)=_________. 3.(★★★★★)设α∈(43,4ππ)，β∈(0，4π)，cos(α－4π)=53，sin(43π+β)=135，则sin(α+β)=_________.三、解答题 4.不查表求值:.10cos 1)370tan 31(100sin 130sin 2︒+︒+︒+︒5.已知cos(4π+x )=53，(1217π＜x ＜47π)，求xxx tan 1sin22sin 2-+的值.6.(★★★★★)已知α－β=38π，且α≠k π(k ∈Z ).求)44(sin 42sin2csc)cos(12βπαααπ-----的最大值及最大值时的条件.7.(★★★★★)如右图，扇形OAB 的半径为1，中心角60°，四边形PQRS 是扇形的内接矩形，当其面积最大时，求点P 的位置，并求此最大面积.8.(★★★★★)已知cos α+sin β=3，sin α+cos β的取值范围是D ，x ∈D ，求函数y =10432log 21++x x 的最小值，并求取得最小值时x的值.参考答案难点磁场 解法一：∵2π＜β＜α＜43π,∴0＜α－β＜4π.π＜α+β＜43π,∴sin(α－β)=.54)(sin 1)cos(,135)(cos 122-=+--=+=--βαβαβα∴sin2α=sin ［(α－β)+(α+β)］=sin(α－β)cos(α+β)+cos(α－β)sin(α+β).6556)53(1312)54(135-=-⨯+-⨯= 解法二：∵sin(α－β)=135,cos(α+β)=－54,∴sin2α+sin2β=2sin(α+β)cos(α－β)=－6572sin2α－sin2β=2cos(α+β)sin(α－β)=－6540∴sin2α=6556)65406572(21-=--歼灭难点训练一、1.解析：∵a ＞1，tan α+tan β=－4a ＜0. tan α+tan β=3a +1＞0,又α、β∈(－2π,2π)∴α、β∈(－2π,θ),则2βα+∈(－2π,0),又tan(α+β)=342tan12tan2)tan(,34)13(14tan tan 1tan tan 2=β+α-β+α=β+α=+--=βα-β+α又a a ,整理得2tan 222tan32-β+α+β+α=0.解得tan 2β+α=－2.答案：B2.解析：∵sin α=53,α∈(2π,π),∴cos α=－54则tan α=－43,又tan(π－β)=21可得tan β=－21,247)34()43(1)34(432tan tan 1tan tan )2tan(.34)21(1)21(2tan 1tan 22tan 222=-⨯-+---=β⋅α+β-α=β-α-=---⨯=β-β=β答案：2473.解析：α∈(43,4ππ),α－4π∈(0,2π),又cos(α－4π)=53.6556)sin(.655613554)1312(53)43sin()4sin()43cos()4cos()]43()4cos[(]2)43()4sin[()sin(.1312)43cos(,135)43sin().,43(43).4,0(,54)4sin(=β+α=⨯+-⨯-=β+π⋅π-α+β+π⋅π-α-=β+π+π-α-=π-β+π+π-α=β+α∴-=β+π∴=β+πππ∈β+π∴π∈β=π-α∴即答案：6556三、4.答案：2752853)54(257)4cos()4sin(2sin sin cos cos )cos (sin sin 2cos sin 1sin2cos sin 2tan 1sin22sin 54)4sin(,2435,471217.257)4(2cos 2sin ,53)4cos(:.522=-⨯=++=-+=-+=-+-=+∴<+<∴<<=+-=∴=+x x x xx xx x x x x xx x xx x x x x x x x ππππππππππ又解2)322sin(22)21()322sin(4.32243824,3822cos2sin42)2sin 2(sin2)2sin 2121(42cos2cos22sin2)22cos(142sin 1)cos 1(2sin )44(sin 42sin2csc)cos(1:.62222-π-α-=--⨯π-α=∴π-α=π-α=β-α∴π=β-α-β-αβ+α=-β+α=β--αα⋅α=β-π--α-α+α=β-π-α-αα-π-=t t 令解π≠αk （k ∈Z ）,322322π-π≠π-α∴k （k ∈Z ）∴当,22322π-π=π-αk 即34π+π=αk （k ∈Z ）时,)322sin(π-α的最小值为－1.7.解：以OA 为x 轴.O 为原点，建立平面直角坐标系，并设P 的坐标为(cos θ,sin θ)，则｜PS ｜=sin θ.直线OB 的方程为y =3x ，直线PQ 的方程为y =sin θ.联立解之得Q (33sinθ；sin θ)，所以｜PQ ｜=cos θ－33sin θ.于是S PQRS =sin θ(cos θ－33sin θ)=33(3sin θcos θ－sin 2θ)=33(23sin2θ－22cos 1θ-)=33(23sin2θ+21cos2θ－21)=33sin(2θ+6π)－63.∵0＜θ＜3π,∴6π＜2θ+6π＜65π.∴21＜sin(2θ+6π)≤1.∴sin(2θ+6π)=1时，PQRS 面积最大，且最大面积是63，此时，θ=6π，点P 为的中点，P (21,23). 8.解：设u =sin α+cos β.则u 2+(3)2=(sin α+cos β)2+(cos α+sin β)2=2+2sin(α+β)≤4.∴u 2≤1,－1≤u ≤1.即D =［－1,1］,设t =32+x ,∵－1≤x ≤1,∴1≤t ≤5.x =232-t ..21,232,2,258log2log82log,0log .82,2,42.8224142142104325.05.05.0min 5.0max2-==+==-==∴>=====≤+=+=++=∴x x t y M M y Mt t t tt t t x x M 此时时时是减函数在时即当且仅当。

课题: 1.3.1三角函数的诱导公式【教学目标】1、利用单位圆探究得到诱导公式二，三，四，并且概括得到诱导公式的特点。

2、能初步运用诱导公式进行求值与化简。

3、理解求任意角三角函数值所体现出来的化归思想。

学习过程：【知识铺垫】诱导公式一：用弧度制可表示如下：2、诱导公式（一）的作用：其方法是先在0º―360º内找出与角α终边相同的角，再把它写成诱导公式（一）的形式，然后得出结果。

3.α与α+π , α与-α , α与π-α, α与α+π的终边的位置有何关系?4．三角函数线(同学们仔细复习,上课不再提问)【教材解读】1．由正弦函数、余弦函数的定义，即可得sinα=y，cosα=x, 所以 :诱导公式二：用弧度制可表示如下：sin(180º+α)=cos(180º+α)=tan(180º+α)=类比公式二的得来，得：诱导公式三：sin(-α)=sin(-α)=tan(-α)=诱导公式四：用角度制可表示如下: 用弧度制可表示如下：sin(180º-α)= _ cos(180º-α)= tan(180º-α)=对诱导公式一，二，三，四用语言概括为：α+k·2π（k∈Z），—α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，________________________________．（函数名不变，符号看象限。

）【牛刀小试】1．将下列三角函数转化为锐角三角函数。

（1）cosπ913(2)tan(π-1) (3)sin(5π-) (4)cos(π513-)2．求下列三角函数值： （1）cos210º；(2)tan （—45π） （3）11sin 6π； (4）17sin()3π-．【课堂小结】1.问题再现.2.你还有什么疑惑？ 【作业】1、化简：（1）sin(α+180º)cos(—α)sin(—α—180º)（2）sin 3(—α)cos(2π+α)tan(—α—π) 2、求下列三角函数值：(1)cos （—420º） （2）sin(π67-)(3)sin(—1305º) (4)tan(π679-)。

．三角函数的诱导公式第一课时三角函数的诱导公式(一)[提出问题]问题：锐角α的终边与π＋α角的终边位置关系如何？它们与单位圆的交点的位置关系如何？任意角α与π＋α呢？提示：无论α是锐角还是任意角，π＋α与α的终边互为反向延长线，它们与单位圆的交点关于原点对称．问题：任意角α与－α的终边有怎样的位置关系？它们与单位圆的交点有怎样的位置关系？试用三角函数的定义验证－α与α的三角函数值的关系．提示：α与－α的终边关于轴对称，它们与单位圆的交点与关于轴对称，设的坐标为(，)，则的坐标为(，－)．(－α)＝－＝－α，(－α)＝＝α，(－α)＝－＝－α.问题：任意角α与π－α的终边有何位置关系？它们与单位圆的交点的位置关系怎样？试用三角函数定义验证α与π－α的各三角函数值的关系．提示：α与π－α的终边关于轴对称，如图所示，设(，)是α的终边与单位圆的交点，则π－α与单位圆的交点为′(－，)，，′关于轴对称，由三角函数定义知，(π－α)＝＝α，(π－α)＝－＝－α，(π－α)＝＝－α.[导入新知]．诱导公式二＋π角()α与角原点的终边关于α对称．如图所示．＋(π公式：()α)α－＝.＋(π.)αα－＝＋π(αα).＝．诱导公式三()角－α与角α的终边关于轴对称．如图所示．－(公式：.α())－α＝－(α＝).α)(－α.＝α－．诱导公式四()角π－α与角α的终边关于轴对称．如图所示．(π公式：()－αα＝.)α(π－)＝α.－α－)(π.＝α－[化解疑难]对诱导公式一～四的理解()公式两边的三角函数名称应一致．()符号由将α看成锐角时α所在象限的三角函数值的符号决定．但应注意，将α看成锐角只是为了公式记忆的方便，事实上α可以是任意角.[例]()(－°)；() °；().[解]()(－°)＝－°＝－(×°＋°)＝－°＝－(°－°)＝－°＝－；。

第1课时 诱导公式二、三、四1.掌握π±α，－α，π2－α的终边与α的终边的对称性.2.理解和掌握诱导公式二、三、四的内涵及结构特征，掌握这三个诱导公式的推导方法和记忆方法.3.会初步运用诱导公式二、三、四求三角函数的值，并会进行一般的三角关系式的化简和证明.1.特殊角的终边对称性(1)π＋α的终边与角α的终边关于 对称，如图①； (2)－α的终边与角α的终边关于 对称，如图②； (3)π－α的终边与角α的终边关于 对称，如图③； (4)π2－α的终边与角α的终边关于直线 对称，如图④.【做一做1】 已知α的终边与单位圆的交点为PA. P 11,22⎛- ⎝⎭B.P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32C.P 3⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32D.P 4⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12诱导公式一～四可用口诀“函数名不变，符号看象限”记忆，其中“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名，“符号”是指等号右边是正号还是负号，“看象限”是指把α看成锐角时等式左边三角函数值的符号.【做一做2－1】 若cos α＝m ，则cos(－α)等于( )A.mB.－mC.|m |D.m 2【做一做2－2】 若sin(π＋α)＝13，则sin α等于( )A.13B.－13C.3D.－3 【做一做2－3】 已知tan α＝4，则tan(π－α)等于( )A.π－4B.4C.－4D.4－π 3.公式一～四的应用【做一做3】 若cos 61°＝m ，则cos(－2 041°)＝( ) A.m B.－m C.0 D.与m 无关答案：1．(1)原点 (2)x 轴 (3)y 轴 (4)y ＝x【做一做1】 C 由于π＋α，－α，π－α，π2－α的终边与α的终边分别关于原点、x 轴、y 轴、直线y ＝x 对称，则P 1⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32，P 3⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，P 4⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12. 2．tan α －sin α cos α －cos α －tan α 同名函数值 【做一做2－1】 A 【做一做2－2】 B 【做一做2－3】 C【做一做3】 B cos(－2 041°)＝cos 2 041°＝cos(5×360°＋241°)＝cos 241°＝cos(180°＋61°)＝－cos 61°＝－m .对诱导公式一～四的理解剖析：(1)在角度制和弧度制下，公式都成立.(2)公式中的角α可以是任意角.但对于正切函数而言，公式成立是以正切函数有意义为前提条件的.(3)公式一～公式四，等式两边的“函数名”不变，是对三角函数名称而言.(4)利用公式求三角函数.“符号看象限”看的应该是诱导公式中，把α看成锐角时原函数值的符号，而不是α的三角函数值的符号，例如sin(2π－α)＝－sin α，当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，易错误地认为sin(2π－α)＝sin α.题型一 求任意角的三角函数值【例1】 求值：(1)sin 1 320°；(2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－316π. 反思：求任意角的三角函数值的步骤是：先用诱导公式三化为正角的三角函数值，再用诱导公式一化为0～2π的三角函数值，再用公式二或四化为锐角的三角函数值.这实质上也是将任意角的三角函数值化为锐角的三角函数值的过程，即负→正→［0，2π)→锐角.题型二 化简三角函数式【例2】 化简：cos(α＋π)sin 2(α＋3π)tan(α＋π)cos 3(－α－π). 分析：先用诱导公式化为α的三角函数，使角统一，再切化弦或弦化切，以保证三角函数名最少.反思：利用诱导公式主要是进行角的转化，可以达到统一角的目的. 题型三 求三角函数式的值【例3】 已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝33，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π6的值.分析：注意到⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝π，可以把5π6＋α化成π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α，又α－π6＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α，利用诱导公式即可. 反思：此类题目要灵活运用诱导公式，在做题时要注意观察角与角之间的关系，例如5π6＋α＝π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α，从而利用诱导公式把未知三角函数值用已知三角函数值表示出来. 题型四 易错辨析易错点 在化简求值中，往往对n π＋α(n ∈Z )与2k π＋α(k ∈Z )混淆而忽略对n 的讨论【例4】 化简：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4n ＋14π＋x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4n －14π－x (n ∈Z ).错解：原式＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π＋π4＋x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π－π4－x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＋cos 4x π⎡⎤⎛⎫-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋x .错因分析：错在没有对n 进行分类讨论，关键是对公式一没有理解透.反思：化简sin(k π＋α)，cos(k π＋α)(k ∈Z )时，需对k 是奇数还是偶数分类讨论，可以证明tan(k π＋α)＝tan α(k ∈Z )是成立的.答案：【例1】 解：(1)sin 1 320°＝sin(3×360°＋240°)＝sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－32； (2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－316π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6π＋5π6＝cos 5π6 ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π－π6＝－cos π6＝－32.【例2】 解：原式＝－cos α－sin α2tan α－cos α3＝sin 2αtan α·cos 2α＝tan 2αtan α＝tan α. 【例3】 解：∵cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－33，sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝sin 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝23，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝－33－23＝－2＋33.【例4】 正解：原式＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π＋π4＋x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π－π4－x .(1)当n 为奇数时，即n ＝2k ＋1(k ∈Z )时， 原式＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k ＋1π＋π4＋x ＋cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k ＋π－π4－x ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4－x ＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ；(2)当n 为偶数时，即n ＝2k (k ∈Z )时， 原式＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π4＋x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－π4－x＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4－x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x .故原式＝⎩⎪⎨⎪⎧－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ，n 为奇数，2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ，n 为偶数.1．20cos 3π⎛⎫- ⎪⎝⎭等于( )A.12C.12-D.2．sin 600°＋tan 240°的值是( )A.2-B.2 C.12- D.12+3．已知sin(45°＋α)＝513，则sin(135°－α)＝________.4．已知α∈0,2π⎛⎫⎪⎝⎭，tan(π－α)＝34-，则sin α＝________.5．化简tan(2)sin(2)cos(6)cos()sin(5)πθπθπθθππθ-----+.答案：1．C 20πcos 3⎛⎫-⎪⎝⎭＝20πcos 3＝2πcos 6π3⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝2πcos 3＝12-. 2．B sin 600°＋tan 240°＝sin(360°＋240°)＋tan(180°＋60°)＝sin 240°＋tan 60°＝sin(180°＋60°)＋tan 60°＝－sin 60°＋tan 60°＝-. 3.513 sin(135°－α)＝sin [180°－(45°＋α)]＝sin(45°＋α)＝513. 4.35 由于tan(π－α)＝－tan α＝34-，则tan α＝34.解方程组2sin 3,cos 4sin cos 1,αααα2⎧=⎪⎨⎪+=⎩得sin α＝±35，又α∈π0,2⎛⎫⎪⎝⎭，所以sin α＞0.所以sin α＝35. 5．解：原式＝tan()sin()cos()(cos )(sin )θθθθθ-----＝(tan )(sin )cos cos sin θθθθθ--＝tan θ.。

第一章三角函数4-1.3三角函数的诱导公式一、教材分析（一）教材的地位与作用：1、本节课教学内容“诱导公式（二）、（三）、（四）”是人教版数学4，第一章1、3节内容，是学生已学习过的三角函数定义、同角三角函数基本关系式及诱导公式（一）等知识的延续和拓展，又是推导诱导公式（五）的理论依据。

2、求三角函数值是三角函数中的重要问题之一。

诱导公式是求三角函数值的基本方法。

诱导公式的重要作用是把求任意角的三角函数值问题转化为求0°～90°角的三角函数值问题。

诱导公式的推导过程，体现了数学的数形结合和归纳转化思想方法，反映了从特殊到一般的数学归纳思维形式。

这对培养学生的创新意识、发展学生的思维能力，掌握数学的思想方法具有重大的意义。

（二）教学重点与难点：1、教学重点：诱导公式的推导及应用。

2、教学难点：相关角边的几何对称关系及诱导公式结构特征的认识。

二、目标分析根据教学内容的结构特征，依据学生学习的心理规律和新课程标准的要求，结合学生的实际水平，本节课的教学目标为：1、知识目标：（1）识记诱导公式。

（2）理解和掌握公式的内涵及结构特征，会初步运用诱导公式求三角函数的值，并进行简单三角函数式的化简和证明。

2、能力目标：（1）通过诱导公式的推导，培养学生的观察力、分析归纳能力，领会数学的归纳转化思想方法。

（2）通过诱导公式的推导、分析公式的结构特征，使学生体验和理解从特殊到一般的数学归纳推理思维方式。

（3）通过基础训练题组和能力训练题组的练习，提高学生分析问题和解决问题的实践能力。

3、情感目标：（1）通过诱导公式的推导，培养学生主动探索、勇于发现的科学精神，培养学生的创新意识和创新精神。

（2）通过归纳思维的训练，培养学生踏实细致、严谨科学的学习习惯，渗透从特殊到一般、把未知转化为已知的辨证唯物主义思想。

300 2100 х三、过程分析（一）创设问题情景，引导学生观察、联想，导入课题I 重现已有相关知识，为学习新知识作铺垫。

§1.3 三角函数的诱导公式(一)自主学习1．设α为任意角，则π＋α，－α，π－α的终边与(1)公式一：sin(α＋2k π)＝________， cos(α＋2k π)＝________，tan(α＋2k π)＝________，其中k ∈Z . (2)公式二：sin(π＋α)＝__________， cos(π＋α)＝__________， tan(π＋α)＝________. (3)公式三：sin(－α)＝________， cos(－α)＝________， tan(－α)＝________. (4)公式四：sin(π－α)＝________， cos(π－α)＝__________， tan(π－α)＝__________.你能否利用π＋α与α终边之间的对称关系，从任意角三角函数的定义出发推导诱导公式二吗？对点讲练给角求值问题例1 求下列各三角函数值．(1)sin(－1 200°)；(2)cos 47π6；(3)tan 945°.回顾归纳 此类问题是给角求值，主要是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值求解．如果是负角，一般先将负角的三角函数化为正角的三角函数，要记住一些特殊角的三角函数值．变式训练1 求sin 1 200°·cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＋tan(－495°)的值．给值求值问题例2 已知sin (3π－α)cos (3π－α)＝2，求sin (α－3π)＋cos (π－α)sin (－α)－cos (π＋α)的值．回顾归纳 (1)诱导公式的使用将三角函数式中的角都化为单角．(2)弦切互化是本题的一个重要技巧，值得关注．变式训练2 已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33，求cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋α－sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6的值．化简三角函数式例3 化简：sin (－2π－θ)cos (6π－θ)tan (2π－θ)cos (θ－π)sin (5π＋θ).回顾归纳 解答此类题目的关键是正确运用诱导公式，如果含有参数k (k 为整数)一般需按k 的奇、偶性分类讨论．变式训练3化简：sin[(k ＋1)π＋θ]·cos[(k ＋1)π－θ]sin (k π－θ)·cos (k π＋θ)(其中k ∈Z )．课堂小结:课时作业一、选择题 1．sin 585°的值为( )A ．－22 B.22 C ．－32 D.322．若n 为整数，则代数式sin (n π＋α)cos (n π＋α)的化简结果是( )A ．tan nαB ．－tan nαC ．tan αD ．－tan α 3．记cos(－80°)＝k ，那么tan 100°等于( )A.1－k 2k B ．－1－k 2k C.k 1－k 2 D ．－k 1－k 24．tan(5π＋α)＝m ，则sin (α－5π)cos (π＋α)的值为( )A ．mB ．－mC ．－1D ．15．若sin(π－α)＝log 8 14，且α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则cos(π＋α)的值为( )A.53 B ．－53 C ．±53 D ．以上都不对6．sin ⎝⎛⎭⎫－π3＋2sin 5π3＋3sin 2π3＝______. 7．代数式1＋2sin 290°cos 430°sin 250°＋cos 790°的化简结果是________．8．设f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)＋2，其中a 、b 、α、β为非零常数．若f (2 009)＝1，则f (2 010)＝________.三、解答题9．若cos(α－π)＝－23，求sin (α－2π)＋sin (－α－3π)cos (α－3π)cos (π－α)－cos (－π－α)cos (α－4π)的值．10．已知sin(α＋β)＝1，求证：tan(2α＋β)＋tan β＝0.§1.3 三角函数的诱导公式(一)参考答案知识梳理(2)－sin α －cos α tan α (3)－sin α cos α －tan α (4)sin α －cos α －tan α 自主探究解 设P (x ，y )为角α终边上任一点， ∵角α与π＋α终边关于原点对称．∴P (x ，y )关于原点的对称点P ′(－x ，－y )位于角π＋α的终边上．∴|OP ′|＝|OP |＝x 2＋y 2＝r . 由任意角三角函数的定义知：sin(π＋α)＝－yr ＝－sin α，cos (π＋α)＝－xr ＝－cos α，tan(π＋α)＝－y －x ＝yx＝tan α.借助任意角三角函数的定义同样可以推得公式三、公式四．对点讲练例1 解 (1)sin(－1 200°)＝sin(－4×360°＋240°)＝sin 240° ＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－32；(2)cos 47π6＝cos(11π6＋6π)＝cos 11π6＝cos(2π－π6)＝cos π6＝32；(3)tan 945°＝tan(2×360°＋225°)＝tan 225° ＝tan(180°＋45°)＝tan 45°＝1.变式训练1 解 原式＝sin(3×360°＋120°)·cos(3×360°＋210°)－cos(2×360°＋300°)·sin(2×360°＋330°)－tan(360°＋135°)＝sin(180°－60°)·cos(180°＋30°)－cos(360°－60°)·sin(360°－30°)－tan(180°－45°)＝－sin 60°·cos 30°＋cos 60°·sin 30°＋tan 45°＝－32×32＋12×12＋1＝12.例2 解 ∵sin (3π－α)cos (3π－α)＝2，∴tan(3π－α)＝2，∴tan α＝－2. ∵sin (α－3π)＋cos (π－α)sin (－α)－cos (π＋α)＝－sin α－cos α－sin α＋cos α＝sin α＋cos αsin α－cos α ＝1＋tan αtan α－1∴sin (α－3π)＋cos (π－α)sin (－α)－cos (π＋α)＝1－2－2－1＝13.变式训练2 解 cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋α－sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6 ＝－cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫5π6＋α－sin 2⎝⎛⎭⎫π6－α ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－α－sin 2⎝⎛⎭⎫π6－α ＝－33－⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫332＝－33－23＝－2＋33.例3 解 原式＝－sin (2π＋θ)·cos θ·(－tan θ)cos (π－θ)·sin (π＋θ)＝sin θ·cos θ·tan θ(－cos θ)·(－sin θ) ＝sin θ·cos θ·tan θsin θ·cos θ＝tan θ变式训练3 解 当k 为偶数时， 不妨设k ＝2n ，n ∈Z ，则原式＝sin[(2n ＋1)π＋θ]·cos[(2n ＋1)π－θ]sin (2n π－θ)·cos (2n π＋θ)＝sin (π＋θ)·cos (π－θ)－sin θ·cos θ＝－sin θ·(－cos θ)－sin θ·cos θ＝－1.当k 为奇数时，设k ＝2n ＋1，n ∈Z ，则原式＝sin[(2n ＋2)π＋θ]·cos[(2n ＋2)π－θ]sin[(2n ＋1)π－θ]·cos[(2n ＋1)π＋θ]＝sin[2(n ＋1)π＋θ]·cos[2(n ＋1)π－θ]sin (π－θ)·cos (π＋θ)＝sin θ·cos θsin θ·(－cos θ) ＝－1.∴上式的值为－1. 课时作业1．A [sin 585°＝sin(360°＋225°)＝sin(180°＋45°)＝－22.]2．C [若n 为偶数，则原式＝sin αcos α＝tan α；若n 为奇数，则原式＝sin (π＋α)cos (π＋α)＝tan α.]3．B [∵cos(－80°)＝k ，∴cos 80°＝k ，∴sin 80°＝1－k 2.∴tan 80°＝1－k 2k .∴tan 100°＝－tan 80°＝－1－k 2k.]4．A [∵tan(5π＋α)＝tan α＝m ，∴tan α＝m .原式＝－sin α－cos α＝tan α＝m .]5．B [∵sin(π－α)＝sin α＝log 2 2－23＝－23，∴cos(π＋α)＝－cos α＝－1－sin 2α＝－1－49＝－53.]6．0解析 原式＝－sin π3＋2sin ⎝⎛⎭⎫2π－π3＋3sin 2π3＝－32－2×32＋3×32＝0.7．－1 解析 原式＝1＋2sin (180°＋110°)·cos (360°＋70°)sin (180°＋70°)＋cos (2×360°＋70°) ＝1－2sin 110°cos 70°cos 70°－sin 70°＝1－2sin 70°cos 70°cos 70°－sin 70°＝|sin 70°－cos 70°|cos 70°－sin 70° ＝－1. 8．3解析 f (2 009)＝a sin(2 009π＋α)＋b cos(2 009π＋β)＋2＝a sin(π＋α)＋b cos(π＋β)＋2 ＝2－(a sin α＋b cos β)＝1. ∴a sin α＋b cos β＝1.f (2 010)＝a sin(2 010π＋α)＋b cos(2 010π＋β)＋2＝a sin α＋b cos β＋2＝3. 9．解 原式＝－sin (2π－α)－sin (3π＋α)cos (3π－α)－cos α－(－cos α)cos α＝sin α－sin αcos α－cos α＋cos 2α ＝sin α(1－cos α)－cos α(1－cos α) ＝－tan α.∵cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cos α＝－23，∴cos α＝23.∴α为第一象限角或第四象限角．当α为第一象限角时，cos α＝23，sin α＝1－cos 2α＝53， ∴tan α＝sin αcos α＝52，则原式＝－52.当α为第四象限角时，cos α＝23，sin α＝－1－cos 2α＝－53，∴tan α＝sin αcos α＝－52，则原式＝52.10．证明 ∵sin(α＋β)＝1，∴α＋β＝2k π＋π2 (k ∈Z )，∴α＝2k π＋π2－β (k ∈Z )．tan(2α＋β)＋tan β＝tan ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫2k π＋π2－β＋β＋tan β ＝tan(4k π＋π－2β＋β)＋tan β ＝tan(4k π＋π－β)＋tan β ＝tan(π－β)＋tan β ＝－tan β＋tan β＝0， ∴原式成立．。

1.3 三角函数的诱导公式（一）学习目标 1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用.2.理解诱导公式的推导过程.3.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题.设角α的终边与单位圆的交点为P，由三角函数定义知P点坐标为(cos α，sin α).知识点一诱导公式二思考角π＋α的终边与角α的终边有什么关系？角π＋α的终边与单位圆的交点P1(cos(π＋α)，sin(π＋α))与点P(cos α，sin α)呢？它们的三角函数之间有什么关系？答案角π＋α的终边与角α的终边关于原点对称，P1与P也关于原点对称，它们的三角函数关系如下：诱导公式二知识点二诱导公式三思考角－α的终边与角α的终边有什么关系？角－α的终边与单位圆的交点P2(cos(－α)，sin(－α))与点P(cos α，sin α)有怎样的关系？它们的三角函数之间有什么关系？答案角－α的终边与角α的终边关于x轴对称，P2与P也关于x轴对称，它们的三角函数关系如下：诱导公式三思考角π－α的终边与角α的终边有什么关系？角π－α的终边与单位圆的交点P3(cos(π－α)，sin(π－α))与点P(cos α，sin α)有怎样的关系？它们的三角函之间有什么关系？答案 角π－α的终边与角α的终边关于y 轴对称，P 3与P 也关于y 轴对称，它们的三角函数关系如下： 诱导公式四梳理 公式一～四都叫做诱导公式，它们分别反映了2k π＋α(k ∈Z )，π＋α，－α，π－α的三角函数与α的三角函数之间的关系，这四组公式的共同特点是：2k π＋α(k ∈Z )，π＋α，－α，π－α的三角函数值等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.简记为“函数名不变，符号看象限”.类型一 利用诱导公式求值 命题角度1 给角求值问题 例1 求下列各三角函数式的值.(1)cos 210°； (2)sin 11π4；(3)sin(－43π6)； (4)cos(－1 920°).解 (1)cos 210°＝cos(180°＋30°) ＝－cos 30°＝－32. (2)sin 11π4＝sin(2π＋3π4)＝sin 3π4＝sin(π－π4)＝sin π4＝22.(3)sin(－43π6)＝－sin(6π＋7π6)＝－sin 7π6＝－sin(π＋π6)＝sin π6＝12.(4)cos(－1 920°)＝cos 1 920°＝cos(5×360°＋120°)＝cos 120°＝cos(180°－60°)＝－cos 60°＝－12.反思与感悟 利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤： (1)“负化正”：用公式一或三来转化.(2)“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角. (3)“角化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角. (4)“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值. 跟踪训练1 求下列各三角函数式的值.(1)sin 1 320°； (2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π6； (3)tan(－945°).解 (1)方法一 sin 1 320°＝sin(3×360°＋240°) ＝sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－32. 方法二 sin 1 320°＝sin(4×360°－120°)＝sin(－120°) ＝－sin(180°－60°)＝－sin 60°＝－32. (2)方法一 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π6＝cos 31π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋7π6＝cos(π＋π6)＝－cos π6＝－32.方法二 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6π＋5π6＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π－π6＝－cos π6＝－32.(3)tan(－945°)＝－tan 945°＝－tan(225°＋2×360°) ＝－tan 225°＝－tan(180°＋45°)＝－tan 45°＝－1. 命题角度2 给值求角问题例2 已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|<π2，则θ等于( )A.－π6B.－π3C.π6D.π3答案 D解析 由sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|<π2，可得－sin θ＝－3cos θ，|θ|<π2，即tan θ＝3，|θ|<π2，∴θ＝π3.反思与感悟 对于给值求角问题，先通过化简已给的式子得出某个角的某种三角函数值，再结合特殊角的三角函数值逆向求角.跟踪训练 2 已知sin(π－α)＝－2sin(π＋β)，3cos(－α)＝－2cos(π＋β)，0<α<π，0<β<π，求α，β.解 由题意，得⎩⎨⎧sin α＝2sin β， ①3cos α＝2cos β. ②①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2， 即sin 2α＋3(1－sin 2α)＝2， ∴sin 2α＝12，∴sin α＝±22.∵0<α<π，∴sin α＝22， ∴α＝π4或α＝34π.把α＝π4，α＝34π分别代入②，得cos β＝32或cos β＝－32.又∵0<β<π，∴β＝π6或β＝56π.∴α＝π4，β＝π6或α＝34π，β＝56π.类型二 利用诱导公式化简 例3 化简下列各式.(1)tan (2π－α)sin (－2π－α)cos (6π－α)cos (α－π)sin (5π－α)；(2)1＋2sin 290°cos 430°sin 250°＋cos 790°.解 (1)原式＝sin (2π－α)cos (2π－α)·s in (－α)cos (－α)cos (π－α)sin (π－α)＝－sin α(－sin α)cos αcos α(－cos α)sin α＝－sin αcos α＝－tan α.＝1－2sin 70°cos 70°－sin 70°＋cos 70°＝|cos 70°－si n 70°|cos 70°－sin 70°＝sin 70°－cos 70°cos 70°－sin 70°＝－1.引申探究若本例(1)改为：tan (n π－α)sin (n π－α)cos (n π－α)cos[α－(n ＋1)π]·sin[(n ＋1)π－α](n ∈Z )，请化简.解 当n ＝2k 时，原式＝－tan α·(－sin α)·cos α－cos α·sin α＝－tan α；当n ＝2k ＋1时，原式＝－tan α·sin α·(－cos α)cos α·(－sin α)＝－tan α.反思与感悟 三角函数式的化简方法(1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数. (2)常用“切化弦”法，即表达式中的切函数通常化为弦函数. (3)注意“1”的变式应用：如1＝sin 2α＋cos 2α＝tan π4.跟踪训练3 化简下列各式. (1)cos (π＋α)·sin (2π＋α)sin (－α－π)·cos (－π－α)； (2)cos 190°·sin (－210°)cos (－350°)·tan (－585°). 解 (1)原式＝－cos α·sin α－sin (π＋α)·cos (π＋α)＝cos α·sin αsin α·cos α＝1.(2)原式＝cos (180°＋10°)·[－sin (180°＋30°)]cos (－360°＋10°)·[－tan (360°＋225°)]＝－cos 10°·sin 30°cos 10°·[－tan (180°＋45°)]＝－sin 30°－tan 45°＝12.1.sin 585°的值为( ) A.－22 B.22 C.－32 D.32答案 A解析 sin 585°＝sin(360°＋225°)＝sin(180°＋45°) ＝－sin 45°＝－22. 2.cos(－16π3)＋sin(－16π3)的值为( )A.－1＋32B.1－32 C.3－12D.3＋12答案 C解析 原式＝cos 16π3－sin 16π3＝cos 4π3－sin 4π3＝－cos π3＋sin π3＝3－12.3.已知cos(π－α)＝32(π2<α<π)，则tan(π＋α)等于( ) A.12 B.33 C.－ 3 D.－33 答案 D解析 方法一 cos(π－α)＝－cos α＝32， ∴cos α＝－32. ∵π2<α<π，∴sin α>0. ∴sin α＝1－cos 2α＝1－34＝12， ∴tan(π＋α)＝tan α＝sin αcos α＝－33.方法二 由cos α＝－32，π2<α<π，得α＝56π，4.sin 750°＝ . 答案 12解析 ∵sin θ＝sin(k ·360°＋θ)，k ∈Z ， ∴sin 750°＝sin(2×360°＋30°) ＝sin 30°＝12.5.化简：cos (α－π)sin (5π＋α)·sin(α－2π)·cos(2π－α).解 原式＝cos (π－α)sin (π＋α)·[－sin(2π－α)]·cos(2π－α)＝－cos α－sin α·sin α·cos α＝cos 2α.1.明确各诱导公式的作用2.诱导公式的记忆这四组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”.其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号，α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角.3.已知角求值问题，一般要利用诱导公式三和公式一，将负角化为正角，将大角化为0～2π之间的角，然后利用特殊角的三角函数求解.必须对一些特殊角的三角函数值熟记，做到“见角知值，见值知角”课时作业一、选择题1.cos 600°的值为( ) A.32 B.12 C.－32D.－12答案 D解析 cos 600°＝cos(360°＋240°)＝cos 240° ＝cos(180°＋60°)＝－cos 60°＝－12.2.若cos(π＋α)＝－12，32π<α<2π，则sin(α－2π)等于( )A.12B.±32C.32D.－32答案 D解析 由cos(π＋α)＝－12，得cos α＝12，故sin(α－2π)＝sin α＝－1－cos 2α ＝－1－(12)2＝－32(α为第四象限角). 3.记cos(－80°)＝k ，那么tan 100°等于( ) A.1－k2k B.－1－k2k C.k1－k2D.－k1－k2答案 B解析 ∵cos(－80°)＝k ，∴cos 80°＝k ， ∴sin 80°＝1－k 2，则tan 80°＝1－k2k.∴tan 100°＝－tan 80°＝－1－k2k.4.已知n 为整数，化简sin (n π＋α)cos (n π＋α)所得的结果是( )A.tan n αB.－tan n αC.tan αD.－tan α答案 C解析 当n ＝2k ，k ∈Z 时，sin (n π＋α)cos (n π＋α)＝sin (2k π＋α)cos (2k π＋α)＝sin αcos α＝tan α； 当n ＝2k ＋1，k ∈Z 时，sin (n π＋α)cos (n π＋α)＝sin (2k π＋π＋α)cos (2k π＋π＋α)＝sin (π＋α)cos (π＋α)＝－sin α－cos α＝tan α.故选C.5.tan(5π＋α)＝m ，则sin (α－3π)＋cos (π－α)sin (－α)－cos (π＋α)的值为( )A.m ＋1m －1B.m －1m ＋1C.－1D.1答案 A解析 ∵tan(5π＋α)＝tan α＝m ，∴原式＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝m ＋1m －1.6.若sin(π－α)＝log 8 14，且α∈(－π2，0)，则cos(π＋α)的值为( )A.53 B.－53C.±53D.以上都不对答案 B解析 ∵sin(π－α)＝sin α＝log 32 2－2＝－23，∴cos(π＋α)＝－cos α＝－1－sin 2α ＝－1－49＝－53. 二、填空题 7.cos (－585°)sin 495°＋sin (－570°)的值是 .答案2－2解析 原式 ＝cos (360°＋225°)sin (360°＋135°)－sin (210°＋360°)＝cos 225°sin 135°－sin 210°＝cos (180°＋45°)sin (180°－45°)－sin (180°＋30°)＝－cos 45°sin 45°＋sin 30°＝－2222＋12＝2－2.8.已知a ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π6，b ＝cos 23π4，c ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－33π4，则a ，b ，c 的大小关系是 .并比较值的大小 答案 b ＞a ＞c解析 ∵a ＝－tan 7π6＝－tan π6＝－33，b ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫6π－π4＝cos π4＝22， c ＝－sin33π4＝－sin π4＝－22， ∴b ＞a ＞c .9.已知cos(π＋α)＝－35，π<α<2π，则sin(α－3π)＋cos(α－π)＝ .答案 15解析 ∵cos(π＋α)＝－cos α＝－35，∴cos α＝35，又∵π<α<2π，∴3π2<α<2π，∴sin α＝－45.∴sin(α－3π)＋cos(α－π)＝－sin(3π－α)＋cos(π－α) ＝－sin(π－α)＋(－cos α)＝－sin α－cos α＝－(sin α＋cos α)＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＋35＝15. 10.已知函数f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，且f (4)＝3，则f (2 017)的值为 .答案 －3解析 ∵f (4)＝a sin(4π＋α)＋b cos(4π＋β)＝a sin α＋b cos β＝3，∴f (2 017)＝a sin(2 017π＋α)＋b cos(2 017π＋β)＝a sin(π＋α)＋b cos(π＋β)＝－a sin α－b cos β＝－3.11.已知sin(π－α)＝log 814，且α∈(－π2，0)，则tan(2π－α)的值为 . 答案 25512.已知cos(508°－α)＝1213，则cos(212°＋α)＝ . 答案 1213三、解答题13.化简下列各式.(1)sin(－193π)cos 76π； (2)sin(－960°)cos 1 470°－cos(－240°)sin(－210°).解 (1)sin(－193π)cos 76π ＝－sin(6π＋π3)cos(π＋π6)＝sin π3cos π6＝34. (2)sin(－960°)cos 1 470°－cos 240°sin(－210°)＝－sin(180°＋60°＋2×360°)cos(30°＋4×360°)＋cos(180°＋60°)sin(180°＋30°)＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝1.四、探究与拓展14.已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ sin πx ，x <0，f (x －1)－1，x >0，则f (－116)＋f (116)的值为 .答案 －2解析 因为f (－116)＝sin(－11π6) ＝sin(－2π＋π6)＝sin π6＝12； f (116)＝f (56)－1＝f (－16)－2＝sin(－π6)－2＝－12－2＝－52， 所以f (－116)＋f (116)＝－2. 15.已知f (α)＝sin (π＋α)cos (2π－α)tan (－α)tan (－π－α)sin (－π－α). (1)化简f (α)；(2)若α是第三象限角，且sin(α－π)＝15，求f (α)的值； (3)若α＝－31π3，求f (α)的值. 解 (1)f (α)＝－sin αcos α(－tan α)(－tan α)sin α＝－cos α. (2)∵sin(α－π)＝－sin α＝15， ∴sin α＝－15.又α是第三象限角， ∴cos α＝－265.∴f (α)＝265. (3)∵－31π3＝－6×2π＋5π3， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6×2π＋5π3 ＝－cos 5π3＝－cos π3＝－12.。

３ 三角函数的诱导公式（一）诱导公式二三四一、关于教学内容的思考教学任务：帮助学生理解,,πααπα+--与α的正弦、余弦、正切值的关系；会利用诱导公式进行化简、求值。

教学目的：引导学生如何利用三角函数线探讨上述关系；教学意义：培养学生数形结合的思想。

二、教学过程１．理解,,πααπα+--与α的正弦、余弦、正切值的关系①,,πααπα+--与α终边的对称性；②观察三角函数线的关系：相等、相反；③得出关系式。

απ+ α- απ- α 关于原点对称 关于x 轴对称关于y 轴对称 三角函数线正弦线、余弦线互为相反 正切线相同 正弦线、正切线互为相反 余弦线相同 正切线、余弦线互为相反 正弦线相同诱导公式 ααπααπααπtan )tan(;cos )cos(;sin )sin(=+-=+-=+ 公式二 sin()sin ;cos()cos ;tan()tan αααααα-=--=-=- 公式三 sin()sin ;cos()cos ;tan()tan πααπααπαα-=-=--=-公式四④总结：,,πααπα+--的三有函数值，等于α的同名函数值，前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。

２．利用诱导公式一二三四求值、化简例 ①=︒225cos ；②π311sin ＝ ；③)316sin(π-＝ ；④=︒-)2040cos( 。

①22-；②23-；③23；④21-。

例 )180cos()180sin()360sin()180cos(︒--︒--︒++︒αααα＝ ；１ 三、教材节后练习（可以在课堂上随着教学内容穿插进行）四、教学备用例子１．在ABC ∆中，31cos =B ，则)cos(C A +等于（ Ｂ ） Ａ．31 Ｂ．31- Ｃ．322 Ｄ．322-２．求)417sin()417cos(ππ---的值。

2 ３．在ABC ∆中，2cos sin =+A A ，)cos(2cos 3B A --=π，求ABC ∆的三个内角。

2017~2018学年人教A版高中数学必修4全册学案解析目录✧第一章三角函数1.1.1任意角✧第一章三角函数1.1.2蝗制✧第一章三角函数1.2.1任意角的三角函数第一课时三角函数的定义✧第一章三角函数1.2.1任意角的三角函数第二课时三角函数线及其应用✧第一章三角函数1.2.2同角三角函数的基本关系✧第一章三角函数1.3三角函数的诱导公式一✧第一章三角函数1.3三角函数的诱导公式二✧第一章三角函数1.4.1正弦函数余弦函数的图象✧第一章三角函数1.4.2正弦函数余弦函数的性质一✧第一章三角函数1.4.2正弦函数余弦函数的性质二✧第一章三角函数1.4.3正切函数的性质与图象✧第一章三角函数1.5函数y＝Asinωx＋φ的图象一✧第一章三角函数1.5函数y＝Asinωx＋φ的图象二✧第一章三角函数1.6三角函数模型的简单应用✧第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念✧第二章平面向量2.2.1向量加法运算及其几何意义✧第二章平面向量2.2.2向量减法运算及其几何意义✧第二章平面向量2.2.3向量数乘运算及其几何意义✧第二章平面向量2.3.1平面向量基本定理✧第二章平面向量2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算✧第二章平面向量2.3.4平面向量共线的坐标表示✧第二章平面向量2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义✧第二章平面向量2.4.2平面向量数量积的坐标表示模夹角✧第二章平面向量2.5平面向量应用举例✧第三章三角恒等变换3.1.1两角差的余弦公式✧第三章三角恒等变换3.1.2两角和与差的正弦余弦正切公式1 ✧第三章三角恒等变换3.1.2两角和与差的正弦余弦正切公式2 ✧第三章三角恒等变换3.1.3二倍角的正弦余弦正切公式✧第三章三角恒等变换3.2简单的三角恒等变换1．1.1任意角[提出问题]问题1：当钟表慢了(或快了)，我们会将分针按某个方向转动，把时间调整准确．在调整的过程中，分针转动的角度有什么不同？提示：旋转方向不同．问题2：在体操或跳水比赛中，运动员会做出“转体两周”“向前翻腾两周半”等动作，做上述动作时，运动员分别转体多少度？提示：顺时针方向旋转了720°或逆时针方向旋转了720°，顺时针方向旋转了900°.[导入新知]角的分类1．按旋转方向2.(1)角的终边在第几象限，则称此角为第几象限角；(2)角的终边在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限．[化解疑难]1．任意角的概念认识任意角的概念应注意三个要素：顶点、始边、终边．(1)用旋转的观点来定义角，就可以把角的概念推广到任意角，包括任意大小的正角、负角和零角．(2)对角的概念的认识关键是抓住“旋转”二字．①要明确旋转方向；②要明确旋转角度的大小；③要明确射线未作任何旋转时的位置．2．象限角的前提条件角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合.[提出问题]在条件“角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合”下，研究下列角：30°，390°，－330°.问题1：这三个角的终边位置相同吗？提示：相同．问题2：如何用含30°的式子表示390°和－330°？提示：390°＝1×360°＋30°，－330°＝－1×360°＋30°.问题3：确定一条射线OB，以它为终边的角是否唯一？提示：不唯一．[导入新知]终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{}β|β＝α＋k·360°，k∈Z，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．[化解疑难]所有与角α终边相同的角，连同角α在内可以用式子k·360°＋α，k∈Z表示，在运用时需注意以下几点．(1)k是整数，这个条件不能漏掉．(2)α是任意角．(3)k·360°，k∈Z与α之间用“＋”连接，如k·360°－30°，k∈Z应看成k·360°＋(－30°)，k∈Z.(4)终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍；相等的角终边一定相同．[例1] 已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，作出下列各角，并指出它们是第几象限角．(1)－75°；(2)855°；(3)－510°.[解] 作出各角，其对应的终边如图所示：(1)由图①可知：－75°是第四象限角．(2)由图②可知：855°是第二象限角．(3)由图③可知：－510°是第三象限角．[类题通法]象限角的判断方法(1)根据图形判定，在直角坐标系中作出角，角的终边落在第几象限，此角就是第几象限角．(2)根据终边相同的角的概念把角转化到0°～360°范围内，转化后的角在第几象限，此角就是第几象限角．[活学活用]在直角坐标系中，作出下列各角，在0°～360°范围内，找出与其终边相同的角，并判定它是第几象限角．(1)360°；(2)720°；(3)2 012°；(4)－120°.解：如图所示，分别作出各角，可以发现：(1)360°＝0°＋360°，(2)720°＝0°＋2×360°，因此，在0°～360°范围内，这两个角均与0°角终边相同．所以这两个角不属于任何一个象限．(3)2 012°＝212°＋5×360°，所以在0°～360°范围内，与2 012°角终边相同的角是212°，所以2 012°是第三象限角．(4)－120°＝240°－360°，所以在0°～360°范围内，与－120°角终边相同的角是240°，所以－120°是第三象限角．[例2] (1)720°≤β＜360°的元素β写出来．(2)分别写出终边在下列各图所示的直线上的角的集合．(3)写出终边落在图中阴影部分(包括边界)的角的集合．[解] (1)与角α＝－ 1 910°终边相同的角的集合为{}β|β＝－1 910°＋k ·360°，k ∈Z .∵－720°≤β＜360°，∴－720°≤－1 910°＋k ·360°＜360°，∴31136≤k ＜61136， 故k ＝4,5,6.k ＝4时，β＝－1 910°＋4×360°＝－470°.k ＝5时，β＝－1 910°＋5×360°＝－110°.k ＝6时，β＝－1 910°＋6×360°＝250°.(2)①在0°～360°范围内，终边在直线y ＝0上的角有两个，即0°和180°，因此，所有与0°角终边相同的角构成集合S 1＝{β|β＝0°＋k ·360°，k ∈Z}，而所有与180°角终边相同的角构成集合S 2＝{β|β＝180°＋k ·360°，k ∈Z}，于是，终边在直线y ＝0上的角的集合为S ＝S 1∪S 2＝{β|β＝k ·180°，k ∈Z}．②由图形易知，在0°～360°范围内，终边在直线y ＝－x 上的角有两个，即135°和315°，因此，终边在直线y ＝－x 上的角的集合为S ＝{β|β＝135°＋k ·360°，k ∈Z}∪{β|β＝315°＋k ·360°，k ∈Z}＝{β|β＝135°＋k ·180°，k ∈Z}．③终边在直线y ＝x 上的角的集合为{β|β＝45°＋k ·180°，k ∈Z}，结合②知所求角的集合为S ＝{β|β＝45°＋k ·180°，k ∈Z}∪{β|β＝135°＋k ·180°，k ∈Z}＝{β|β＝45°＋2k ·90°，k ∈Z}∪{β|β＝45°＋(2k ＋1)·90°，k ∈Z}＝{β|β＝45°＋k ·90°，k ∈Z}．(3)终边落在OA 位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k ·360°，k ∈Z}＝{α|α＝135°＋k ·360°，k ∈Z}，终边落在OB 位置上的角的集合为{β|β＝－30°＋k ·360°，k ∈Z}，故阴影部分角的集合可表示为{α|－30°＋k ·360°≤α≤135°＋k ·360°，k ∈Z}．[类题通法]1．常用的三个结论(1)终边相同的角之间相差360°的整数倍．(2)终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍．(3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍．2．区域角是指终边落在坐标系的某个区域的角，其写法可分三步(1)先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界；(2)由小到大分别标出起始、终止边界对应的一个角α，β，写出所有与α，β终边相同的角；(3)用不等式表示区域内的角，组成集合．[活学活用]1．将下列各角表示为α＋k·360°(k∈Z,0°≤α＜360°)的形式，并指出是第几象限角．(1)420°；(2)－495°；(3)1 020°.答案：(1)420°＝60°＋360°第一象限角(2)－495°＝225°－2×360°第三象限角(3)1 020°＝300°＋2×360°第四象限角2．已知角α的终边在如图所示的阴影部分内，试指出角α的取值范围．答案：{α|30°＋k·180°≤α<105°＋k·180°，k∈Z}分别是第几象限角？[例3] 若α是第二象限角，则2α，2[解] (1)∵α是第二象限角，∴90°＋k·360°<α<180°＋k·360°(k∈Z)，∴180°＋k·720°<2α<360°＋k·720°(k∈Z)，∴2α是第三或第四象限的角，或角的终边在y轴的非正半轴上．(2)∵α是第二象限角，∴90°＋k·360°<α<180°＋k·360°(k∈Z)，∴45°＋k ·180°<α2<90°＋k ·180°(k ∈Z)． ①当k ＝2n (n ∈Z)时，45°＋n ·360°<α2<90°＋n ·360°(n ∈Z)， 即α2是第一象限角； ②当k ＝2n ＋1(n ∈Z)时，225°＋n ·360°<α2<270°＋n ·360°(n ∈Z)， 即α2是第三象限角． 故α2是第一或第三象限角． [类题通法]1．n α所在象限的判断方法确定n α终边所在的象限，先求出n α的范围，再直接转化为终边相同的角即可． 2.αn 所在象限的判断方法已知角α所在象限，要确定角αn所在象限，有两种方法： (1)用不等式表示出角αn的范围，然后对n 的取值分情况讨论：被n 整除；被n 除余1；被n 除余2；……；被n 除余n －1.从而得出结论．(2)作出各个象限的从原点出发的n 等分射线，它们与坐标轴把周角分成4n 个区域．从x 轴非负半轴起，按逆时针方向把这4n 个区域依次循环标上1,2,3,4.标号为几的区域，就是根据α终边所在的象限确定αn 的终边所落在的区域．如此，αn所在的象限就可以由标号区域所在的象限直观地看出．[活学活用]已知角α为第三象限角，试确定角2α，α2分别是第几象限角． 答案：2α可能是第一象限角、第二象限角或终边在y 轴非负半轴上的角α2可能是第二象限角或第四象限角1.角的概念的易错点[典例] 下列说法中正确的是( )A．三角形的内角必是第一、二象限角B．第一象限角必是锐角C．不相等的角终边一定不相同D．若β＝α＋k·360°(k∈Z)，则α和β终边相同[解析] 90°角可以是三角形的内角，但它不是第一、二象限角；390°角是第一象限角，但它不是锐角；390°角和30°角不相等，但终边相同，故A、B、C均不正确．对于D，由终边相同的角的概念可知正确．[答案] D[易错防范]1．若三角形是直角三角形，则有一个角为直角，且直角的终边在y轴的非负半轴上，不属于任何象限．若忽视此点，则易错选A.2．锐角是第一象限角，但第一象限角不一定是锐角，如380°角为第一象限角，但它不是锐角．若混淆这两个概念，则易误选B.3．当角的范围扩充后，相差k·360°(k∈Z)的角的终边相同．若忽视此点，易错选C.4．解决好此类问题应注意以下三点：(1)弄清直角和象限角的区别，把握好概念的实质内容．(2)弄清锐角和象限角的区别．(3)对角的认识不能仅仅局限于0°～360°.[成功破障]下列说法：①锐角都是第一象限角；②第一象限角一定不是负角；③第二象限角大于第一象限角；④第二象限角是钝角；⑤小于180°的角是钝角、直角或锐角．其中正确命题的序号为________．答案：①[随堂即时演练]1．把一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240°所形成的角的大小是( )A．120°B．－120°C．240° D．－240°答案：D2．与－457°角的终边相同的角的集合是( )A．{α|α＝457°＋k·360°，k∈Z}B．{α|α＝97°＋k·360°，k∈Z}C．{α|α＝263°＋k·360°，k∈Z}D．{α|α＝－263°＋k·360°，k∈Z}答案：C3．下列说法中正确的序号有________．①－65°是第四象限角；②225°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－315°是第一象限角．答案：①②③④4．在0°～360°范围内与－1 050°终边相同的角是________，它是第________象限角．答案：30°一5.试写出终边在直线y＝－3x上的角的集合S，并把S中适合不等式－180°≤α<180°的元素α写出来．答案：S＝{α|α＝120°＋k·180°，k∈Z} 适合不等式－180°≤α＜180°的元素α为－60°，120°[课时达标检测]一、选择题1．－435°角的终边所在的象限是( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案：D2．终边在第二象限的角的集合可以表示为( )A．{α|90°<α<180°}B．{α|90°＋k·180°<α<180°＋k·180°，k∈Z}C．{α|－270°＋k·180°<α<－180°＋k·180°，k∈Z}D．{α|－270°＋k·360°<α<－180°＋k·360°，k∈Z}答案：D3．若α是第四象限角，则－α一定是( )A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角答案：A4．集合M＝{α|α＝k·90°，k∈Z}中各角的终边都在( )A．x轴非负半轴上B．y轴非负半轴上C．x轴或y轴上D．x轴非负半轴或y轴非负半轴上答案：C5．角α与角β的终边关于y轴对称，则α与β的关系为( )A．α＋β＝k·360°，k∈ZB．α＋β＝k·360°＋180°，k∈ZC．α－β＝k·360°＋180°，k∈ZD．α－β＝k·360°，k∈Z答案：B二、填空题6．已知角α＝－3 000°，则与角α终边相同的最小正角是________．答案：240°7．如果将钟表拨快10分钟，则时针所转成的角度是________度，分针所转成的角度是________度．答案：－5 －608．已知角2α的终边在x轴的上方，那么α是第________象限角．答案：一或三三、解答题9．如果θ为小于360°的正角，这个角θ的4倍角的终边与这个角的终边重合，求θ的值．解：由题意得4θ＝θ＋k·360°，k∈Z，∴3θ＝k·360°，θ＝k·120°，又0°＜θ＜360°，∴θ＝120°或θ＝240°.10．已知α，β都是锐角，且α＋β的终边与－280°角的终边相同，α－β的终边与670°角的终边相同，求角α，β的大小．解：由题意可知，α＋β＝－280°＋k·360°，k∈Z.∵α，β都是锐角，∴0°<α＋β<180°.取k＝1，得α＋β＝80°.①α－β＝670°＋k·360°，k∈Z，∵α，β都是锐角，∴－90°<α－β<90°.取k＝－2，得α－β＝－50°.②由①②，得α＝15°，β＝65°.11．写出终边在下列各图所示阴影部分内的角的集合．解：先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，则得(1){α|30°＋k·360°≤α≤150°＋k·360°，k∈Z}；(2){α|150°＋k·360°≤α≤390°＋k·360°，k∈Z}．1．1.2 弧 度 制[提出问题]问题1：在角度制中，把圆周等分成360份，其中的一份是多少度？ 提示：1°.问题2：半径为1的圆的周长是2π，即周长为2π时，对应的圆心角是360°，那么弧长为π时，对应的圆心角是多少？提示：180°.问题3：在给定半径的圆中，弧长一定时，圆心角确定吗？ 提示：确定． [导入新知] 1．角度制与弧度制 (1)角度制①定义：用度作为单位来度量角的单位制． ②1度的角：周角的1360作为一个单位． (2)弧度制①定义：以弧度作为单位来度量角的单位制． ②1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角． 2．任意角的弧度数与实数的对应关系正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0. 3．角的弧度数的计算如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝l r.[化解疑难]角度制和弧度制的比较(1)弧度制与角度制是以不同单位来度量角的单位制． (2)1弧度的角与1度的角所指含义不同，大小更不同．(3)无论是以“弧度”还是以“度”为单位来度量角，角的大小都是一个与“半径”大小无关的值．(4)用“度”作为单位度量角时，“度”(即“°”)不能省略，而用“弧度”作为单位度量角时，“弧度”二字或“rad”通常省略不写.[提出问题]问题1：周角是多少度？是多少弧度？ 提示：360°，2π.问题2：半圆所对的圆心角是多少度？是多少弧度？ 提示：180°，π.问题3：既然角度与弧度都是角的度量单位制，那么它们之间如何换算？ 提示：π＝180°. [导入新知]1．弧度与角度的换算[化解疑难]角度与弧度互化的原则和方法 (1)原则：牢记180°＝π rad ， 充分利用1°＝π180 rad ，1 rad ＝⎝⎛⎭⎪⎫180π°进行换算．(2)方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n ， 则α rad ＝⎝⎛⎭⎪⎫α·180π°；n °＝n ·π180 rad.[扇形的弧长及面积公式设扇形的半径为R ，弧长为l ，α(0<α<2π)为其圆心角，则扇形的弧长及面积公式的记忆(1)扇形的弧长公式的实质是角的弧度数的计算公式的变形：|α|＝l r⇔l ＝r |α|. (2)扇形的面积公式S ＝12lR 与三角形的面积公式极为相似(把弧长看作底，把半径看作高)，可以类比记忆．[例1] (1)72°；(2)－300°；(3)2；(4)－2π9.[解] (1)72°＝72×π180＝2π5；(2)－300°＝－300×π180＝－5π3；(3)2＝2×⎝⎛⎭⎪⎫180π°＝⎝ ⎛⎭⎪⎫360π°；(4)－2π9＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫2π9×180π°＝－40°.[类题通法] 角度与弧度互化技巧在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π rad ＝180°是关键，由它可以得到：度数×π180＝弧度数，弧度数×180π＝度数． [活学活用]已知α＝15°，β＝π10，γ＝1，θ＝105°，φ＝7π12，试比较α，β，γ，θ，φ的大小．答案：α<β<γ<θ＝φ[例2] 2. (2)已知一半径为R 的扇形，它的周长等于所在圆的周长，那么扇形的圆心角是多少弧度？面积是多少？[解] (1)4(2)设扇形的弧长为l ，由题意得2πR ＝2R ＋l ，所以l ＝2(π－1)R ，所以扇形的圆心角是lR＝2(π－1)，扇形的面积是12Rl ＝(π－1)R 2.[类题通法]弧度制下涉及扇形问题的攻略(1)明确弧度制下扇形的面积公式是S ＝12lr ＝12|α|r 2(其中l 是扇形的弧长，r 是扇形的半径，α是扇形的圆心角)．(2)涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解．注意：运用弧度制下的弧长公式及扇形面积公式的前提是α为弧度． [活学活用]已知扇形的周长是30 cm ，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？答案：r ＝152 cm 时，α＝2，扇形面积最大，最大面积为2254cm 2.[例3] 的角的集合．[解] (1)如题图①，∵330°角的终边与－30°角的终边相同，将－30°化为弧度，即－π6， 而75°＝75×π180＝5π12，∴终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为⎩⎨⎧θ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2k π－π6<θ<2k π＋5π12，k ∈Z .(2)如题图②，∵30°＝π6，210°＝7π6，这两个角的终边所在的直线相同，因此终边在直线AB 上的角为α＝k π＋π6，k ∈Z ，又终边在y 轴上的角为β＝k π＋π2，k ∈Z ，从而终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪k π＋π6<θ<k π＋π2，k ∈Z . [类题通法]用弧度制表示角应关注的三点(1)用弧度表示区域角，实质是角度表示区域角在弧度制下的应用，必要时需进行角度与弧度的换算．注意单位要统一．(2)在表示角的集合时，可以先写出一周范围(如－π～π，0～2π)内的角，再加上2k π，k ∈Z.(3)终边在同一直线上的角的集合可以合并为{x |x ＝α＋k π，k ∈Z}；终边在相互垂直的两直线上的角的集合可以合并为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝α＋k ·π2，k ∈Z. 在进行区间合并时，一定要做到准确无误． [活学活用]以弧度为单位，写出终边落在直线y ＝－x 上的角的集合． 答案：αα＝34π＋k π，k ∈Z1.弧度制下的对称关系[典例] 若角α的终边与角π6的终边关于直线y ＝x 对称，且α∈(－4π，4π)，则α＝________.[解析] 如图所示，设角π6的终边为OA ，OA 关于直线y ＝x 对称的射线为OB ，则以OB 为终边且在0到2π之间的角为π3，故以OB 为终边的角的集合为αα＝π3＋2k π，k ∈Z.∵α∈(－4π，4π)， ∴－4π<π3＋2k π<4π(k ∈Z)，∴－136<k <116(k ∈Z)．∵k ∈Z ，∴k ＝－2，－1,0,1，∴α＝－11π3，－5π3，π3，7π3.[答案] －11π3，－5π3，π3，7π3[多维探究]在弧度制下，常见的对称关系如下(1)若α与β的终边关于x 轴对称，则α＋β＝2k π(k ∈Z)； (2)若α与β的终边关于y 轴对称，则α＋β＝(2k ＋1)π(k ∈Z)； (3)若α与β的终边关于原点对称，则α－β＝(2k ＋1)π(k ∈Z)； (4)若α与β的终边在一条直线上，则α－β＝k π(k ∈Z)． [活学活用]1．若α和β的终边关于x 轴对称，则α可以用β表示为( ) A ．2k π＋β (k ∈Z) B ．2k π－β (k ∈Z) C ．k π＋β (k ∈Z) D ．k π－β (k ∈Z) 答案：B2．在平面直角坐标系中，α＝－2π3，β的终边与α的终边分别有如下关系时，求β.(1)若α，β的终边关于x 轴对称； (2)若α，β的终边关于y 轴对称； (3)若α，β的终边关于原点对称； (4)若α，β的终边关于直线x ＋y ＝0对称． 答案：(1)β＝2π3＋2k π，k ∈Z(2)β＝－π3＋2k π，k ∈Z(3)β＝π3＋2k π，k ∈Z(4)β＝π6＋2k π，k ∈Z[随堂即时演练]1．下列命题中，错误的是( )A ．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B ．1°的角是周角的1360，1 rad 的角是周角的12πC ．1 rad 的角比1°的角要大D ．用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径有关 答案：D2．若α＝－2 rad ，则α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案：C3．－135°化为弧度为______，11π3化为角度为______．答案：－34π 660°4．已知半径为12 cm ，弧长为8π cm 的弧，其所对的圆心角为α，则与角α终边相同的角的集合为______________．答案：⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫α＝2π3＋2k π，k ∈Z5．设角α＝－570°，β＝3π5.(1)将α用弧度制表示出来，并指出它所在的象限；(2)将β用角度制表示出来，并在－720°～0°之间找出与它有相同终边的所有角． 答案：(1)α＝－19π6；α在第二象限；(2)β＝108°；在－720°～0°之间与β有相同终边的角的大小为－612°和－252°.[课时达标检测]一、选择题1．下列命题中，正确的是( ) A ．1弧度是1度的圆心角所对的弧 B ．1弧度是长度为半径长的弧 C ．1弧度是1度的弧与1度的角之和 D ．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角 答案：D2．1 920°化为弧度数为( ) A.163 B.323 C.16π3D.32π3答案：D 3.29π6是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角答案：B4．圆弧长度等于其所在圆内接正三角形的边长，则该圆弧所对圆心角的弧度数为( ) A.π3B.2π3C. 3 D ．2答案：C5．集合P ＝{α|2k π≤α≤(2k ＋1)π，k ∈Z}，Q ＝{α|－4≤α≤4}，则P ∩Q 等于( ) A ．∅B ．{α|－4≤α≤－π，或0≤α≤π}C ．{α|－4≤α≤4}D ．{α|0≤α≤π} 答案：B二、填空题6．用弧度制表示终边落在x 轴上方的角的集合为________． 答案：{α|2k π<α<2k π＋π，k ∈Z}7．如果一个圆的半径变为原来的一半，而弧长变为原来的32倍，则该弧所对的圆心角是原来的________倍．答案：38．若角α的终边与85π的终边相同，则在[0,2π]上，终边与α4的终边相同的角有________．答案：2π5，9π10，7π5，19π10三、解答题9．已知α＝－800°.(1)把α改写成β＋2k π(k ∈Z,0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限角；(2)求γ，使γ与α的终边相同，且γ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2.解：(1)∵－800°＝－3×360°＋280°，280°＝149π，∴α＝－800°＝14π9＋(－3)×2π.∵α与角14π9终边相同，∴α是第四象限角．(2)∵与α终边相同的角可写为2k π＋14π9，k ∈Z 的形式，而γ与α的终边相同，∴γ＝2k π＋14π9，k ∈Z.又γ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴－π2<2k π＋14π9<π2，k ∈Z ， 解得k ＝－1，∴γ＝－2π＋14π9＝－4π9.10．如图，动点P ，Q 从点A (4,0)出发，沿圆周运动，点P 按逆时针方向每秒钟转π3弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转π6弧度，求P ，Q 第一次相遇时所用的时间及P ，Q 点各自走过的弧长．解：设P ，Q 第一次相遇时所用的时间是t ，则t ·π3＋t ·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－π6＝2π， 所以t ＝4(s)，即P ，Q 第一次相遇时所用的时间为4 s.P 点走过的弧长为4π3×4＝16π3，Q 点走过的弧长为2π3×4＝8π3.11．如图，已知扇形AOB 的圆心角为120°，半径长为6，求弓形ACB 的面积．解：∵120°＝120180π＝23π，∴l ＝6×23π＝4π，∴AB 的长为4π.∵S 扇形OAB ＝12lr ＝12×4π×6＝12π，如图所示，作OD ⊥AB ，有S △OAB ＝12×AB ×OD ＝12×2×6cos 30°×3＝9 3.∴S 弓形ACB ＝S 扇形OAB －S △OAB ＝12π－9 3. ∴弓形ACB 的面积为12π－9 3.1.2.1 任意角的三角函数第一课时 三角函数的定义[提出问题使锐角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，在终边上任取一点P ，PM ⊥x 轴于M ，设P (x ，y )，|OP |＝r .问题1：角α的正弦、余弦、正切分别等于什么？ 提示：sin α＝yr ，cos α＝x r ，tan α＝y x.问题2：对于确定的角α，sin α，cos α，tan α是否随P 点在终边上的位置的改变而改变？提示：否．问题3：若|OP |＝1，则P 点的轨迹是什么？这样表示sin α，cos α，tan α有何优点？提示：P 点的轨迹是以原点O 为圆心，以1为半径的单位圆，即P 点是单位圆与角α终边的交点，在单位圆中定义sin α，cos α，tan α更简便．[导入新知]1．任意角三角函数的定义(1)单位圆：在直角坐标系中，以原点O 为圆心，以单位长度为半径的圆称为单位圆． (2)单位圆中任意角的三角函数的定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么y 叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y ；x 叫做α的余弦，记作cosα，即cos α＝x ；yx 叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝y x(x ≠0).2．三角函数正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，它们统称为三角函数．[化解疑难]对三角函数定义的理解(1)三角函数是一种函数，它满足函数的定义，可以看成是从角的集合(弧度制)到一个比值的集合的对应．(2)三角函数是用比值来定义的，所以三角函数的定义域是使比值有意义的角的范围．(3)三角函数是比值，是一个实数，这个实数的大小与点P(x，y)在终边上的位置无关，只由角α的终边位置决定，即三角函数值的大小只与角有关.[提出问题]问题1：若角α是第二象限角，则它的正弦、余弦和正切值的符号分别怎样？提示：若角α为第二象限角，则x＜0，y＞0, sin α＞0，cos α＜0，tan α＜0.问题2：当角α是第四象限角时，它的正弦、余弦和正切值的符号分别怎样？提示：sin α＜0，cos α＞0，tan α＜0.问题3：取角α分别为30°，390°，－330°，它们的三角函数值是什么关系？为什么？提示：相等．因为它们的终边重合．问题4：取α＝90°，－90°时，它们的正切值存在吗？提示：不存在．[导入新知]1．三角函数的定义域2．三角函数值的符号[化解疑难]巧记三角函数值的符号三角函数值的符号变化规律可概括为“一全正、二正弦、三正切、四余弦”．即第一象限各三角函数值均为正，第二象限只有正弦值为正，第三象限只有正切值为正，第四象限只有余弦值为正.[提出问题]问题：若角α与β的终边相同，根据三角函数的定义，你认为sin α与sin β，cos α与cos β，tan α与tan β之间有什么关系？提示：sin α＝sin β，cos α＝cos β，tan α＝tan β. [导入新知]终边相同的角的同一三角函数的值(1)终边相同的角的同一三角函数的值相等． (2)公式：sin(α＋k ·2π)＝sin_α， cos(α＋k ·2π)＝cos_α，tan(α＋k ·2π)＝tan_α，其中k ∈Z. [化解疑难]诱导公式一的结构特点(1)其结构特点是函数名相同，左边角为α＋k ·2π，右边角为α.(2)由公式一可知，三角函数值有“周而复始”的变化规律，即角的终边每绕原点旋转一周，函数值将重复出现．(3)此公式也可以记为：sin(α＋k ·360°)＝sin α，cos(α＋k ·360°)＝cos α，tan(α＋k ·360°)＝tan α，其中k ∈Z.[例1] ，cos α＝________，tan α＝________.(2)已知角α的终边落在直线3x ＋y ＝0上，求sin α，cos α，tan α的值． [解] (1)－1213 513 －125(2)直线3x ＋y ＝0，即y ＝－3x ，经过第二、四象限，在第二象限取直线上的点(－1，3)，则r ＝－2＋32＝2，所以sin α＝32，cos α＝－12，tan α＝－3；在第四象限取直线上的点(1，－3)，则r ＝12＋－32＝2，所以sin α＝－32，cos α＝12，tan α＝－ 3.[类题通法]利用三角函数的定义求值的策略(1)已知角α的终边在直线上求α的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种： ①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后利用三角函数的定义求出相应的三角函数值．②注意到角的终边为射线，所以应分两种情况来处理，取射线上任一点坐标(a ，b )，则对应角的正弦值sin α＝b a 2＋b2，余弦值cos α＝a a 2＋b2，正切值tan α＝ba. (2)当角的终边上的点的坐标以参数的形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．[活学活用]已知角α终边上一点P 的坐标为(4a ，－3a )(a ≠0)，求2sin α＋cos α的值． 答案：2sin α＋cos α＝⎩⎪⎨⎪⎧－25，a >0，25，a <0[例2] (1)若sin αtan α<0，且tan α<0，则角α是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角(2)判断下列各式的符号：①sin 105°·cos 230°；②cos 3·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3. [解] (1)C(2)①∵105°，230°分别为第二、第三象限角，∴sin 105°>0，cos 230°<0.于是sin 105°·cos 230°<0. ②∵π2<3<π，∴3是第二象限角，∴cos 3<0.又∵－2π3是第三象限角，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3>0，∴cos 3·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3<0. [类题通法]三角函数值的符号规律(1)当角θ为第一象限角时，sin θ>0，cos θ>0或sin θ>0，tan θ>0或cos θ>0，tan θ>0，反之也成立；(2)当角θ为第二象限角时，sin θ>0，cos θ<0或sin θ>0，tan θ<0或cos θ<0，tan θ<0，反之也成立；(3)当角θ为第三象限角时，sin θ<0，cos θ<0或sin θ<0，tan θ>0或cos θ<0，tan θ>0，反之也成立；(4)当角θ为第四象限角时，sin θ<0，cos θ>0或sin θ<0，tan θ<0或cos θ>0，tan θ<0，反之也成立．[活学活用]已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案：B[例3] (1)sin(－1 395°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)·sin 750°；(2)sin ⎝⎛⎭⎪⎫－11π6＋cos 12π5tan 4π. [解] (1)原式＝sin(－4×360°＋45°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＝sin 45°cos 30°＋cos 60°sin 30° ＝22×32＋12×12＝64＋14＝1＋64. (2)原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π＋π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋2π5·tan(4π＋0)＝sin π6＋cos 2π5×0＝12.[类题通法]诱导公式一的应用策略应用诱导公式一时，先将角转化为0～2π范围内的角，再求值．对于特殊角的三角函数值一定要熟记．[活学活用]求下列各式的值：(1)sin 25π3＋tan ⎝⎛⎭⎪⎫－15π4； (2)sin 810°＋cos 360°－tan 1 125°. 答案：(1)32＋1 (2)11．应用三角函数定义求值[典例] (12分)已知角α的终边过点P (－3m ，m )(m ≠0)，求α的正弦、余弦、正切值．[解题流程][规范解答] 由题意可得： 由|OP |＝－3m 2＋m 2＝分)(1)当m >0时，|OP |＝10|m |＝10m ，(4分)则sin α＝m10m＝1010，cos α＝－3m10m＝－3 1010，tan α＝m－3m ＝－13.(7分)[名师批注]由于题目条件中只告诉m ≠0，不知道m 的符|OP |＝\r(10)|m |.此处极易忽视此点，误认为|OP |＝\r(10)m ，从而导致解题不完整而失分.(2)当m <0时，|OP |＝10|m |分)则sin α＝－1010，cos α＝3 1010，tan α＝－13.(12分)根据正切函数的定义tan α＝yx，本题中tan α的取值与m 的符号无关，即无论m >0还是m <0，tan α都是m －3m ＝－13.[活学活用]已知角α的终边上一点P (－3，y )(y ≠0)，且sin α＝24y ，求cos α，tan α的值．解：当y ＝5时，cos α＝－64，tan α＝－153； 当y ＝－5时，cos α＝－64，tan α＝153.[随堂即时演练]1．已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α＝( ) A.45 B.35 C ．－35D ．－45答案：D2．若三角形的两内角α，β满足sin αcos β<0，则此三角形必为( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．以上三种情况都可能 答案：B3．计算：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－196π＝________. 答案：124．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的非负半轴，若P (4，y )是角θ终边上。

第一章 1.3三角函数诱导公式（第2课时）答案解析1.提示：sin(90°-60°)=sin30°= 12，sin60°= .2.提示：sin(90°-60°)=sin30°= 12，cos60°=12，cos(90°-60°)=cos30°=sin60°= 2，故sin(90°-60°)=cos60°，cos(90°-60°)=sin60°，由此可猜想sin(90°-α)=cosα，cos(90°-α)=sinα.3.提示：sin(90°+60°)=sin150°=sin30°=12，cos60°=12，cos(90°+60°)=cos150°=-cos30°=- ，sin60°= 故sin(90°+60°)=cos60°，cos(90°+60°)=-sin60°.由此猜想：sin(90°+α)=cosα，cos(90°+α)=-sinα.4.公式（略).5.【解析】选C.由y=2-sinx，所以当sinx=-1时，y取最大值3，此时x=-错误!未找到引用源。

+2kπ(k∈Z).6.【解析】选D.令2x+错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

+kπ，所以x=错误!未找到引用源。

+错误!未找到引用源。

(k∈Z)，当k=0时为D选项.7.【解析】选D.sin2=cos错误!未找到引用源。

=cos错误!未找到引用源。

，因为0<2-错误!未找到引用源。

<1<π，又y=cosx在(0，π)上是减函数，所以cos错误!未找到引用源。

广东省佛山市顺德区罗定邦中学高一数学 必修四1.3三角函数的诱导公式(一) 学案【学习目标】1. 认识诱导公式。

2. 初步运用诱导公式求三角函数值，并进行三角函数式的化简和证明。

【重点、难点】应用诱导公式进行化简、求值自主学习案【问题导学】P(x,y)关于原点对称的点为_________P(x,y)关于x 轴对称的点为_________P(x,y)关于y 轴对称的点为_________与a 角终边相同的角的集合________与a 角终边关于原点对称的角的集合________与a 角终边关于x 轴对称的角的集合________与a 角终边关于y 轴对称的角的集合________诱导公式（一）终边相同的角的同一三角函数相等sin(2k π+α)=_______ cos(2k π+α)=__________ tan(2k π+α)=_______ 诱导公式（二）终边关于原点对称的三角函数公式sin(π+α)=___________ cos(π+α)=____________ tan(π+α)=_______ 诱导公式（三） 关于x 轴对称的三角函数公式sin(－α)=____________ cos(－α)=____________ tan(－α)=______ 诱导公式（四） 关于y 轴对称的三角函数公式sin(π－α)=____________ cos(π－α)=____________tan(π－α)=______【预习自测】1.把任意角的三角函数问题转化成0°到360°的三角函数值。

(1) sin 1110°=__________ (2) tan 94π = ____________ (3) cos(－ 116π)= ____________ 2.把任意角三角函数转化成0到π的三角函数值(1) cos(－ 3π5)=___________(2) tan 138π= _____________ (3) sin 197π=_________________ 3.求下列三角函数值(1)sin(- π4)=___________ (2) cos(-60°)=____________ (3)tan(-236π) =__________ (4) sin(- 103π)=____________【我的疑问】合作探究案【课内探究】例1 在0°到360°写出下列角终边相同的角（1）1289° （2）-2040°例2 利用公式求下列三角函数值（1）cos 225° (2) sin311π (3) sin(-623π) (4) cos(-2040°)例3（1）化简)180cos()180sin())sin(360180cos(αααα-︒--︒--︒-︒(2)sin(α+180°)cos(-α)sin(-α-180°)【当堂检测】1. 转化为锐角三角函数(1) cos210°=_____________ (2) sin 263°42′=_____________(3)cos(－7π)=____________ (4) tan 617π=_________________ 2. 化简 )sin()an(360)(cos 2αα-+︒--t a = __________3. 化成关于a 的三角函数(1) sin(360°－α)=___________ (2) cos(360°－α)=_______________(3) tan(360°－α)=___________【小结】课后练习案1. 利用公式求下列三角函数值cos(－420°)=_________ sin(－76π)= _____________ sin(－1300°)=_________ cos(679π-)=__________________ 2. 若sin20°=a ，则tan 200°=________________3. sin 34πtan(45π-)=____________ sin 210°=_____________ 4. 已知cos α=31，02<<-a π，求a a a a )tan cos(-))sin(2cos(+--ππ5. 化简(1) sin 3(－a)cos(2π+a)tan(－a －π)(2) ))tan(k -sin(k ))cos((sin 2a a a a k --+πππ。