2017上海高考数学试题

2017年上海市春季高考数学试卷一.填空题（本大题共12题，满分48分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1．设集合A={1，2，3}，集合B={3，4}，则A∪B= ．2．不等式|x﹣1|＜3的解集为．3．若复数z满足2﹣1=3+6i（i是虚数单位），则z= ．4．若，则= ．5．若关于x、y的方程组无解，则实数a= ．6．若等差数列{an }的前5项的和为25，则a1+a5= ．7．若P、Q是圆x2+y2﹣2x+4y+4=0上的动点，则|PQ|的最大值为．8．已知数列{an}的通项公式为，则= ．9．若的二项展开式的各项系数之和为729，则该展开式中常数项的值为．10．设椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，点P在该椭圆上，则使得△F1F2P是等腰三角形的点P的个数是．11．设a1、a2、…、a6为1、2、3、4、5、6的一个排列，则满足|a1﹣a2|+|a3﹣a4|+|a5﹣a6|=3的不同排列的个数为．12．设a、b∈R，若函数在区间（1，2）上有两个不同的零点，则f（1）的取值范围为．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．函数f（x）=（x﹣1）2的单调递增区间是（）A．[0，+∞）B．[1，+∞）C．（﹣∞，0] D．（﹣∞，1]14．设a∈R，“a＞0”是“”的（）条件．A．充分非必要 B．必要非充分C．充要D．既非充分也非必要15．过正方体中心的平面截正方体所得的截面中，不可能的图形是（）A．三角形B．长方形C．对角线不相等的菱形 D．六边形16．如图所示，正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8的边长为2，若P为该正八边形边上的动点，则的取值范围为（）A．B．C D．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（12分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=3；（1）求四棱锥A1﹣ABCD的体积；（2）求异面直线A1C与DD1所成角的大小．18．（12分）设a∈R，函数；（1）求a的值，使得f（x）为奇函数；（2）若对任意x∈R成立，求a的取值范围．19．（12分）某景区欲建造两条圆形观景步道M1、M2（宽度忽略不计），如图所示，已知AB⊥AC，AB=AC=AD=60（单位：米），要求圆M1与AB、AD分别相切于点B、D，圆M2与AC、AD分别相切于点C、D；（1）若∠BAD=60°，求圆M1、M2的半径（结果精确到0.1米）（2）若观景步道M1与M2的造价分别为每米0.8千元与每米0.9千元，如何设计圆M1、M2的大小，使总造价最低？最低总造价是多少？（结果精确到0.1千元）20．（12分）已知双曲线（b＞0），直线l：y=kx+m（km≠0），l与Γ交于P、Q两点，P'为P关于y轴的对称点，直线P'Q与y轴交于点N（0，n）；（1）若点（2，0）是Γ的一个焦点，求Γ的渐近线方程；（2）若b=1，点P的坐标为（﹣1，0），且，求k的值；（3）若m=2，求n关于b的表达式．21．（12分）已知函数f（x）=log2；（1）解方程f（x）=1；（2）设x∈（﹣1，1），a∈（1，+∞），证明：∈（﹣1，1），且f（）﹣f（x）=﹣f（）；（3）设数列{xn }中，x1∈（﹣1，1），xn+1=（﹣1）n+1，n∈N*，求x1的取值范围，使得x3≥xn对任意n∈N*成立．2017年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共12题，满分48分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1．设集合A={1，2，3}，集合B={3，4}，则A∪B= {1，2，3，4} ．2．不等式|x﹣1|＜3的解集为（﹣2，4）．3．若复数z满足2﹣1=3+6i（i是虚数单位），则z= 2﹣3i ．4．若，则= ．5．若关于x、y的方程组无解，则实数a= 6 ．6．若等差数列{an }的前5项的和为25，则a1+a5= 10 ．7．若P、Q是圆x2+y2﹣2x+4y+4=0上的动点，则|PQ|的最大值为 2 ．8．已知数列{an}的通项公式为，则= ．9．若的二项展开式的各项系数之和为729，则该展开式中常数项的值为160 ．10．设椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，点P在该椭圆上，则使得△F1F2P是等腰三角形的点P的个数是 6 ．11．设a1、a2、…、a6为1、2、3、4、5、6的一个排列，则满足|a1﹣a2|+|a3﹣a4|+|a5﹣a6|=3的不同排列的个数为48 ．12．设a、b∈R，若函数在区间（1，2）上有两个不同的零点，则f（1）的取值范围为（0，1）．解：函数在区间（1，2）上有两个不同的零点，即方程x2+bx+a=0在区间（1，2）上两个不相等的实根，⇒⇒，如图画出数对（a，b）所表示的区域，目标函数z=f（1）═a+b+1∴z的最小值为z=a+b+1过点（1，﹣2）时，z的最大值为z=a+b+1过点（4，﹣4）时∴f（1）的取值范围为（0，1）故答案为：（0，1）二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．函数f（x）=（x﹣1）2的单调递增区间是（ B ）A．[0，+∞）B．[1，+∞）C．（﹣∞，0] D．（﹣∞，1]14．设a∈R，“a＞0”是“”的（ C ）条件．A．充分非必要 B．必要非充分C．充要D．既非充分也非必要15．过正方体中心的平面截正方体所得的截面中，不可能的图形是（ A ）A．三角形B．长方形C．对角线不相等的菱形 D．六边形16．如图所示，正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8的边长为2，若P为该正八边形边上的动点，则的取值范围为（ B ）A．B．C．D．解：由题意，正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8的每一个内角为135°，且，，，．再由正弦函数的单调性及值域可得，当P与A8重合时，最小为==．结合选项可得的取值范围为．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（12分）长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=3；（1）求四棱锥A1﹣ABCD的体积；（2）求异面直线A1C与DD1所成角的大小．解：（1）∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=3，∴四棱锥A1﹣ABCD的体积：====4．（2）∵DD1∥CC1，∴∠A1CC1是异面直线A1C与DD1所成角（或所成角的补角），∵tan∠A1CC1===，∴=．∴异面直线A1C与DD1所成角的大小为；18．（12分）设a∈R，函数；（1）求a的值，使得f（x）为奇函数；（2）若对任意x∈R成立，求a的取值范围．解：（1）由f（x）的定义域为R，且f（x）为奇函数，可得f（0）=0，即有=0，解得a=﹣1．则f（x）=，f（﹣x）===﹣f（x），则a=﹣1满足题意；（2）对任意x∈R成立，即为＜恒成立，等价为＜，即有2（a﹣1）＜a（2x+1），当a=0时，﹣1＜0恒成立；当a＞0时，＜2x+1，由2x+1＞1，可得≤1，解得0＜a≤2；当a＜0时，＞2x+1不恒成立．综上可得，a的取值范围是[0，2]．19．（12分）某景区欲建造两条圆形观景步道M1、M2（宽度忽略不计），如图所示，已知AB⊥AC，AB=AC=AD=60（单位：米），要求圆M1与AB、AD分别相切于点B、D，圆M2与AC、AD分别相切于点C、D；（1）若∠BAD=60°，求圆M1、M2的半径（结果精确到0.1米）（2）若观景步道M1与M2的造价分别为每米0.8千元与每米0.9千元，如何设计圆M1、M2的大小，使总造价最低？最低总造价是多少？（结果精确到0.1千元）解：（1）M1半径=60tan30°≈34.6，M2半径=60tan15°≈16.1；（2）设∠BAD=2α，则总造价y=0.8•2π•60tanα+0.9•2π•60tan（45°﹣α），设1+tanα=x，则y=12π•（8x+﹣17）≥84π，当且仅当x=，tanα=时，取等号，∴M1半径30，M2半径20，造价42.0千元．20．（12分）已知双曲线（b＞0），直线l：y=kx+m（km≠0），l与Γ交于P、Q两点，P'为P关于y轴的对称点，直线P'Q与y轴交于点N（0，n）；（1）若点（2，0）是Γ的一个焦点，求Γ的渐近线方程；（2）若b=1，点P的坐标为（﹣1，0），且，求k的值；（3）若m=2，求n关于b的表达式．解：（1）∵双曲线（b＞0），点（2，0）是Γ的一个焦点，∴c=2，a=1，∴b2=c2﹣a2=4﹣1=3，∴Γ的标准方程为： =1，Γ的渐近线方程为．（2）∵b=1，∴双曲线Γ为：x2﹣y2=1，P（﹣1，0），P′（1，0），∵=，设Q（x2，y2），则有定比分点坐标公式，得：，解得，∵，∴，∴=．（3）设P（x1，y1），Q（x2，y2），kPQ=k，则，由，得（b2﹣k2）x2﹣4kx﹣4﹣b2=0，，，由，得（）x2﹣2knx﹣n2﹣b2=0，﹣x1+x2=，﹣x1x2=，∴x1x2==，即，即=，====，化简，得2n2+n（4+b2）+2b2=0，∴n=﹣2或n=，当n=﹣2，由=，得2b2=k2+k2，由，得，即Q（，），代入x2﹣=1，化简，得：，解得b2=4或b2=kk，当b2=4时，满足n=，当b2=kk0时，由2b2=k2+k2，得k=k（舍去），综上，得n=．21．（12分）已知函数f（x）=log2；（1）解方程f（x）=1；（2）设x∈（﹣1，1），a∈（1，+∞），证明：∈（﹣1，1），且f（）﹣f（x）=﹣f（）；（3）设数列{xn }中，x1∈（﹣1，1），xn+1=（﹣1）n+1，n∈N*，求x1的取值范围，使得x3≥xn对任意n∈N*成立．解：（1）∵f（x）=log2=1，∴=2，解得；（2）令g （x ）=，ax a a x g --+-=21)(∵a ∈（1，+∞），∴g （x ）在（﹣1，1）上是增函数， 又g （﹣1）=，g （1）==1，∴﹣1＜g （x ）＜1，即∈（﹣1，1）．∵f （x ）﹣f （）=log 2﹣log 2=log 2﹣log 2=log 2（）=log 2，f （）=log 2=log 2．∴f （）=f （x ）﹣f （），∴f （）﹣f （x ）=﹣f （）．（3）∵f （x ）的定义域为（﹣1，1）， f （﹣x ）=log 2=﹣log 2=﹣f （x ），∴f （x ）是奇函数．∵x n+1=（﹣1）n+1，∴x n+1=．①当n 为奇数时，f （x n+1）=f （）=f （x n ）﹣f （）=f （x n ）﹣1，∴f （x n+1）=f （x n ）﹣1；②当n 为偶数时，f （x n+1）=f （﹣）=﹣f （）=1﹣f （x n ），∴f （x n+1）=1﹣f （x n ）．∴f （x 2）=f （x 1）﹣1，f （x 3）=1﹣f （x 2）=2﹣f （x 1）， f （x 4）=f （x 3）﹣1=1﹣f （x 1），f （x 5）=1﹣f （x 4）=f （x 1）， f （x 6）=f （x 5）﹣1=f （x 1）﹣1，…∴f （x n ）=f （x n+4），n ∈N +． 设12111)(---=-+=x x x x h ∴h （x ）在（﹣1，1）上是增函数， ∴f （x ）=log 2=log 2h （x ）在（﹣1，1）上是增函数．∵x 3≥x n 对任意n ∈N *成立，∴f （x 3）≥f （x n ）恒成立，∴，即，解得：f （x 1）≤1，即log 2≤1，∴0＜≤2，解得：﹣1＜x 1≤．。

第1页（共41页）2017-2021年上海市高考数学真题分类汇编：平面解析几何
一．选择题（共5小题）
1．（2022•上海）上海海关大楼的顶部为逐级收拢的四面钟楼，如图，四个大钟分布在四棱柱的四个侧面，则每天0点至12点（包含0点，不含12点）相邻两钟面上的时针相互垂直的次数为（
）
A ．0
B ．2
C ．4
D ．12
2．（2020
•上海）已知椭圆+y 2＝1，作垂直于x 轴的垂线交椭圆于A 、B 两点，作垂直
于y 轴的垂线交椭圆于C 、D 两点，且AB ＝CD ，两垂线相交于点P ，则点P 的轨迹是（
）A ．椭圆B ．双曲线C ．圆D ．抛物线
3．（2020•上海）已知直线方程3x +4y +1＝0的一个参数方程可以是（
）A ．（t 为参数）
B ．（t 为参数）
C ．（t 为参数）
D ．（t 为参数）
4．（2018•上海）设P
是椭圆
＝1上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为（
）A ．
2B ．
2C ．
2
D ．
4。

2017年上海市春季高考数学试卷一.填空题（本大题共12题，满分48分，第1〜6题每题4分，第7〜12题每题5分）I •设集合A=｛1, 2, 3｝，集合B=｛3, 4｝，则A U B= .2•不等式|x- 1| V 3的解集为______ .3. 若复数z满足2 --仁3+6i （i是虚数单位），则z= _____ .4. 若cos ____________ ，则或口（収一^）= .5. 若关于x、y的方程组无解，则实数a=—.6. __________________________________________ 若等差数列｛an｝的前5项的和为25,则a计a5= _____________________________________ .7 .若P、Q是圆x2+y2- 2x+4y+4=0上的动点，则| PQ的最大值为_____ .8 .已知数列｛an｝的通项公式为，贝U9.若•的二项展开式的各项系数之和为729，则该展开式中常数项的值为 _ .2 G10 .设椭圆乡+脊二1的左、右焦点分别为F1、F2,点P在该椭圆上，则使得厶F1F2P是等腰三角形的点P的个数是_______ .II .设a1、a2、…、a s为1、2、3、4、5、6 的一个排列，则满足| a1 - a z|+| a3 - a4|+| a5- a6| =3的不同排列的个数为____ .12 .设a、b € R,若函数fG'p+g+b在区间（1, 2）上有两个不同的零点，贝U f （1）的取值范围为 .二•选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13 .函数f （x）= （x- 1）2的单调递增区间是（）A . [0, +x）B . [ 1, +x）C. （-X, 0] D . （-X, 1]14 .设a€ R, “A0”是的（）条件.A.充分非必要B .必要非充分C.充要D.既非充分也非必要15 .过正方体中心的平面截正方体所得的截面中，不可能的图形是（A.三角形B.长方形C.对角线不相等的菱形 D .六边形16•如图所示，正八边形 A 1A 2A 3A 4A 5A 5A 7A 8的边长为2,若P 为该正八边形边上的动点，则三•解答题（本大题共 5题，共14+14+14+16+18=76分）17. （ 12 分）如图，长方体 ABCD- A 1B 1C 1D 1 中，AB=BC=2 AA 1=3; （1 ）求四棱锥A 1 - ABCD 的体积； （2）求异面直线A 1C 与DD 1所成角的大小.18. （ 12 分）设 a € R,函数 f ^ = 2s fl ； （1 ）求a 的值，使得f （x ）为奇函数；（2）若卫罚对任意x € R 成立，求a 的取值范围.19. （ 12分）某景区欲建造两条圆形观景步道 M 1、M 2 （宽度忽略不计），如图所示，已知 AB 丄AC, AB=AC=AD=60（单位：米），要求圆 M 1与AB 、AD 分别相切于点 B 、D ,圆M 2与 AC AD 分别相切于点C 、D ;（1） 若/ BAD=60，求圆M 1、M 2的半径（结果精确到0.1米）（2） 若观景步道M 1与M 2的造价分别为每米0.8千元与每米0.9千元，如何设计圆M 1、M 2 的大小，使总造价最低？最低总造价是多少？（结果精确到0.1千元）A . 仁B . 一［ 「1. CD [■卜6近，2+6血]20. r 2 y i（12分）已知双曲线：工辛 (b >0)，直线 I ： y=kx+m (km 工0), l 与 r 交于 P 、Q 两点，P 为P 关于y 轴的对称点，直线 P'Q 与y 轴交于点N （0，n ）； （1） 若点（2, 0）是『的一个焦点，求 『的渐近线方程； （2） 若b=1,点P 的坐标为（-1, 0），且尸 二亠匚\求k 的值; (3) 21. 若m=2，求n 关于b 的表达式. （12分）已知函数f （x ） (1) 解方程 f (x ) =1; (2) 设 x € (- 1，1)，a €1=-f (D ；(3) 设数列｛X n ｝中，X 1 € (- （1，+x ），证明: € (- 1, 1)，且 f ( ax-1 -f (x ) % 71, 1), X n +1= (- 1) n +1■:. , n € N *，求为的取值范围，使得x 3> x n 对任意n € N *成立.2017年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共12题，满分48分，第1〜6题每题4分，第7〜12题每题5 分）1. 设集合A={1, 2, 3}，集合B={3, 4}，则A U B= {1, 2, 3, 4}.【考点】并集及其运算.【分析】根据集合的并集的定义求出A、B的并集即可.【解答】解：集合A={1, 2, 3},集合B={3, 4},则A U B={1, 2, 3, 4},故答案为：{1 , 2, 3, 4}.【点评】本题考查了集合的并集的定义以及运算，是一道基础题.2. 不等式|x- 1| V 3的解集为（-2, 4）.【考点】绝对值不等式的解法.【分析】根据绝对值的性质去掉绝对值，求出不等式的解集即可.【解答】解：I |x- 1| V3,3 V x - 1 V 3,•••- 2 V x v 4,故不等式的解集是（-2, 4）,故答案为：（-2, 4）.【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，是一道基础题.3. 若复数z满足2之-仁3+6i （i是虚数单位），则z= 2 - 3i .【考点】复数代数形式的乘除运算.【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.【解答】解：：2 -仁3+6i,•［二］贝则血一詔:打• z=2 - 3i.故答案为：2 - 3i.【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题.1 z K v 14. 若cos =—，则盟口（口一^）=_一_.【考点】运用诱导公式化简求值.【分析】由已知利用诱导公式即可化简求值.【解答】解：T ss口#,. H . 1轧口工一）=—cOS a=匚.故答案为：-£【点评】本题主要考查了诱导公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题.f x+2y=45 .若关于x、y的方程组_「无解，贝U实数a=6 .【考点】根的存在性及根的个数判断.f z+2y=4【分析】把方程组”「一工无解转化为两条直线无交点，然后结合两直线平行与系数的关系列式求得a值.f s+2y=4【解答】解：若关于x、y的方程组I計穷丸无解，说明两直线x+2y - 4=0与3x+ay - 6=0无交点.乂已一3X2=0叫M〔-6〕-3X （T）/，解得：a=6故答案为：6.【点评】本题考查根的存在性与根的个数判断，考查数学转化思想方法，是中档题.6.若等差数列｛&｝的前5项的和为25,则a什a5= 10 .【考点】等差数列的前n项和.5【分析】由等差数列前n项和公式得比已小=25,由此能求出a i+a5.【解答】解：•••等差数列｛a n｝的前5项的和为25，5九=25，2_--a什a5=25x - =10.故答案为：10.【点评】本题考查等差数列中两项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列 的性质的合理运用.7 •若P 、Q 是圆x 2+y 2- 2x+4y+4=0上的动点，则| PQ 的最大值为 2 .【考点】直线与圆的位置关系.【分析】圆x 2+y 2-2x+4y+4=0，可化为(x- 1) 2+ (y+2) 2=1，|PQ|的最大值为直径长. 【解答】解：圆 x 2+y 2 - 2x+4y+4=0，可化为(x - 1) 2+ (y+2) 2=1， ■/ P 、Q 是圆 x 2+y 2 - 2x+4y+4=0 上的动点， •••| PQ 的最大值为2， 故答案为2.【点评】本题考查圆的方程，考查学生的计算能力，比较基础.【考点】等比数列的前n 项和；极限及其运算.故答案为：二.【点评】本题考查等比数列的求和公式，考查极限方法，属于中档题.9.若"二•的二项展开式的各项系数之和为 729,则该展开式中常数项的值为 160【考点】二项式系数的性质.【分析】令x=1，由题意可得：3n =729,解得n .再利用二项式定理的通项公式即可得出. 【解答】解：令x=1，由题意可得：3n =729，解得n=6. •••展开式的通项公式为：T r +i =2r C 6r x 6-2r ，令 6 -2r=0,解得 r=3， •其展开式中常数项=8X 20=160, 故答案为：160.【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.8 .已知数列｛&｝的通项公式为【分析】利用等比数列的求和公式，结合极限，即可得出结论.解:11ID ---------------------------------10•设椭圆乡的左、右焦点分别为F l、F2,点P在该椭圆上，则使得厶F1F2P是等腰三角形的点P 的个数是 6 .【考点】椭圆的简单性质.【分析】如图所示，①当点P与短轴的顶点重合时，△ RF2P构成以F1F2为底边的等腰三角形，此时有2个.②当△ F1F2P构成以F1F2为一腰的等腰三角形时，共有4个.【解答】解：如图所示，①当点P与短轴的顶点重合时，△ F1F2P构成以F1F2为底边的等腰三角形，此种情况有2个满足条件的等腰△ F1F2P;②当△ F1F2P构成以F1F2为一腰的等腰三角形时，共有4个.以F2P作为等腰三角形的底边为例，t F1F2=RP,•••点P在以F1为圆心，半径为焦距2c的圆上因此，当以F1为圆心，半径为2c的圆与椭圆C有2交点时，存在2个满足条件的等腰△ F1F2P.同理可得：当以F2为圆心，半径为2c的圆与椭圆C有2交点时，存在2个满足条件的等腰△F1F2P.综上可得：满足条件的使得△ F1F2P是等腰三角形的点P的个数为6.【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、等腰三角形，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.11.设a1、a2、…、a s为1、2、3、4、5、6 的一个排列，则满足| a1 -宠|+| a3 - a4|+| a5- a6| =3的不同排列的个数为48【考点】排列、组合的实际应用.【分析】根据题意，分析可得需要将1、2、3、4、5、6分成3组，其中1和2, 3和4, 5和6必须在一组，进而分2步进行分析：首先分析每种2个数之间的顺序，再将分好的三组对应三个绝对值，最后由分步计数原理计算可得答案.【解答】解：根据题意，若| a i - a2|+| a3 - a4|+| a5 - a6| =3，则| a i —ct?| =| a3_a4| =| a5 - a6| =1，需要将1、2、3、4、5、6分成3组，其中1和2, 3和4, 5和6必须在一组，每组2个数，考虑其顺序，有A22种情况，三组共有A22X A e2X A22=8种顺序，将三组全排列，对应三个绝对值，有A33=6种情况，则不同排列的个数为8X 6=48;故答案为：48.【点评】本题考查排列、组合的应用，注意分析1、2、3、4、5、6如何排列时，能满足—a2|+| a3 - a4|+| a5 - a s| =3.12•设a、b € R,若函数f 3刃十+十b在区间（1, 2）上有两个不同的零点，贝U f （1）的取值范围为（0， 1）.【考点】函数零点的判定定理.【分析】函数二「亍^在区间（1, 2）上有两个不同的零点，即方程x2+bx+a=0在区间（1,2）上两个不相等的实根，2b2-4a>0?l+a+b>01+五眾＞04+2b+a>04f2b+a>0I画出数对（a, b）所表示的区域，求出目标函数z=f （1）一a+b+1的范围即可.I【解答】解：函数在区间（1, 2）上有两个不同的零点，即方程x2+bx+a=0在区间（1, 2）上两个不相等的实根，2< b2-4a>0?l+a+b>0L+址E>Q4+2b+a>04f2b+a>0I如图画出数对(a, b)所表示的区域，目标函数z=f (1) 一a+b+1••• z的最小值为z=a+b+1过点(1, - 2)时，z的最大值为z=a+b+1过点(4,- 4)时••• f (1)的取值范围为(0, 1)【点评】本题是函数零点的考查，涉及到规划问题的结合，属于难题.二•选择题(本大题共4题，每题5分，共20分)13•函数f (x) = (x- 1) 2的单调递增区间是( )A. [0，+x)B. [1，+x)C.(-x，0]D.(-x，1]【考点】函数的单调性及单调区间.【分析】根据二次函数的性质求出函数的递增区间即可.【解答】解：函数f (x)的对称轴是x=1，开口向上，故f (X)在[1，+X)递增，故选：B.【点评】本题考查了二次函数的性质，是一道基础题.14. 设a€ R，“A0”是的( )条件.A.充分非必要B.必要非充分C.充要D.既非充分也非必要【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【分析】根据充分必要条件的定义判断即可.【解答】解：由解得：a>0,故a>0”是丄的充要条件，故选：C.【点评】本题考查了充分必要条件，考查不等式问题，是一道基础题.15. 过正方体中心的平面截正方体所得的截面中，不可能的图形是（）A.三角形B.长方形C.对角线不相等的菱形D.六边形【考点】平行投影及平行投影作图法.【分析】根据截面经过几个面得到的截面就是几边形判断即可.【解答】解：过正方体中心的平面截正方体所得的截面，至少与正方体的四个面相交，所以不可能是三角形，故选：A.【点评】解决本题的关键是理解截面经过几个面得到的截面就是几边形.16. 如图所示，正八边形A1A2A3A4A5A5A7A8的边长为2,若P为该正八边形边上的动点，则■ ■ ■坷心的取值范围为（）A [0，眈应]B卜2血* 2+E"] C近，A/2] D〔■卜6近，区+6血]【考点】平面向量数量积的运算.【分析】由题意求出以A i为起点，以其它顶点为向量的模，再由正弦函数的单调性及值域可--------- * ---------A A * ft 卩得当P与A8重合时，•厂取最小值，求出最小值，结合选项得答案.【解答】解：由题意，正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8的每一个内角为135°I 石爲=1 石£ 1=2^2+72 |A[A；| 二二2+逅再由正弦函数的单调性及值域可得,当 P 与 A 重 合 时，弘利“P 最 小 为 "癥 =护閉耳X （ 结合选项可得即的取值范围为卜2换时必］. 故选：B.【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查数形结合的解题思想方法，属中档题.三•解答题（本大题共 5题，共14+14+14+16+18=76分）17. （ 12 分）（2017?上海模拟）如图，长方体 ABC — A 1B 1C 1D 1 中，AB=BC=2 AA 1=3; （1 ）求四棱锥A 1 - ABCD 的体积； （2）求异面直线A 1C 与DD 1所成角的大小.【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角.【分析】（1）四棱锥A 1 - ABCD 的体积%厂區口吉喝沁x 人打，由此能求出结果.（2 ）由DDi // CC ,知/ AQC 是异面直线A 1C 与DD 1所成角（或所成角的补角），由此能求 出异面直线A 1C 与DD 1所成角的大小.【解答】 解：（1 长方体 ABCD- A 1B 1C 1D 1 中，AB=BC=2 AA 1=3， •••四棱锥A 1 - ABCD 的体积：寺x 皿 XADXA 応［書X2X 2X 3=4.（2）：DD 1//CC ,.・./A 1CC 是异面直线A 1C 与DD 1所成角（或所成角的补角），•••异面直线A 1C 与DD 1所成角的大小为；宀-宁< 1,【点评】本题考查三棱锥的体积的求法，考查异面直线所成角的求法，是中档题，解题时要 认真审题，注空间思维能力的培养.18. ( 12分)(2017?上海模拟)设a € R,函数代工"亦孑; (1 )求a 的值，使得f (x )为奇函数；(2)若■对任意x € R 成立，求a 的取值范围. 【考点】函数恒成立问题；函数奇偶性的性质.【分析】(1 )由f (x )在R 上为奇函数，可得f (0) =0,解方程可得a 的值，检验即可;「，即有 2 (a - 1 )< a (2x +1)，讨论a=0, a >0, a < 0,由参数分离，求得右边的范围，运用恒成立思想即可得到 a 的范围.【解答】解：(1 )由f (x )的定义域为R , 且f (x )为奇函数，可得f (0) =0, 即有丁 =0,解得a=- 1 .严~L尹T 1-0则 f (x ) —| , f (- x )=八］=丨「=-f (x ), 则a= - 1满足题意；(2)丄对任意x € R 成立,严十己-即为莎;< 2恒成立，2H +a a+2厂十1 <2 (2 )由题意可得即为 恒成立，等价为2x fl即有 2 (a- 1)< a (2x+1), 当a=0时，-1<0恒成立；< 1,当 a >0 时，…；v 2x +1, 综上可得，a 的取值范围是[0, 2].【点评】本题考查函数的奇偶性的运用：求参数的值，考查不等式恒成立问题的解法，注意 运用分类讨论和参数分离的思想方法，考查运算能力，属于中档题.19. （12分）（2017?上海模拟）某景区欲建造两条圆形观景步道 M I 、M 2（宽度忽略不计）， 如图所示，已知AB 丄AC, AB=AC=AD=6（单位：米），要求圆M 1与AB 、AD 分别相切于点B 、 D ,圆M 2与AC AD 分别相切于点 C D ;（1） 若/ BAD=60,求圆M 1、M 2的半径（结果精确到0.1米）（2） 若观景步道M 1与M 2的造价分别为每米0.8千元与每米0.9千元，如何设计圆M 1、M 2 的大小，使总造价最低？最低总造价是多少？（结果精确到0.1千元）【考点】直线与圆的位置关系.【分析】（1）直接利用三角函数，可得结论；（2）设/ BAD=a ，则总造价 y=0.8?2 n ?60tar+0）.9?2 n ?60ta （45°- a ），换元，利用基本不 等式，可得结论.【解答】 解：（1） M 1 半径=60tan30 *34.6, M 2半径=60tan15 ° 16.1; （2）设/ BAD=a ，则总造价 y=0.8?2 n ?60tan+0.9?2 n ?60ta （45°- a ）,18 gl 111设 1+tan a =,则 y=12n?（8x+盘-17）>84n,当且仅当 x=< , tan 口=时，取等号， ••• M 1半径30, M 2半径20,造价42.0千元.【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查基本不等式的运用，属于中档题.由2x+1 > 1,可得2Ca-l)解得O v a w 2； a当a v 0时,> 2x +1不恒成立.2 p 2 y __ 120. ( 12分)(2017?上海模拟)已知双曲线’ *匚頁(b>0),直线I：y=kx+m ( km工0), I与r交于P、Q两点，P为P关于y轴的对称点，直线P'Q与y轴交于点N (0, n);(1)若点(2, 0)是r的一个焦点，求r的渐近线方程；(2)若b=1,点P的坐标为(-1, 0),且▽二二匸求k的值；(3 )若m=2，求n关于b的表达式.【考点】双曲线的简单性质.厂;y2_【分析】(1)由双曲线：X 它二1 (b>0),点(2, 0)是r的一个焦点，求出c=2, a=1,由此能求出r的标准方程，从而能求出r的渐近线方程.(2)双曲线r为：x2-y2=1，由定比分点坐标公式，结合已知条件能求出k的值.P C -X ! 1叶)・1冋利科+口产滋检(3)设P (X1,屮)，Q (X2, y2), k pQ=k0,则，由"/丿二二［,Il b2Vk o x+n b2-k02得(b2- k2) x2-4kx- 4-b2=0，由丿2 /，得( )x2-2k°nx-n2-呼=0，由此利X 丐丄用韦达定理，结合已知条件能求出n关于b的表达式.2【解答】解：(1 )•••双曲线'玄(b>0),点(2, 0)是r的一个焦点，/. c=2, a=1,A b2=c?- a2=4- 1=3,•••r的标准方程为:豪飞=1,r的渐近线方程为厂二''.(2 )V b=1,A 双曲线r为：x2- y2=1, P (- 1, 0), P( 1, 0),丁|3「*，b ■,设Q (x2, y2),则有定比分点坐标公式，得:叼「-匕2二1 七二土寻，解得(3 )设 P (x i , y i ) , Q (x 2, y 2), k pc =k o ,P C -_K 11 〔pg 二/三二 1，得(b 2- k 2) x 2- 4kx - 4-b 2=0, b 2"1^2业 b 2v ,i U K +D2，得2k o n -4-b"b2_k o 2 )x 2- 2k o nx - n 2 - b 2=0, -xi+x2已 T 匚-X1X2= - --r.； b 2-l a1 ■- 1 ■= =-4-b2 h y 宀 X 2 + y 2 2 , 2 2k b _k o 2k _n 2+b 2ko PF k o n ' b 2-k 2 kpix -4-b 2 化简，得 2n 2+n (4+b 2) +2b 2=0,拐， 2 2 bf /+哄 b 2-fc 2= -4-b ，1+丄 =: 2 -4-b 2 2 , 2 即 ，即 •-X 1X 2=「「= •计 n 2 + b 2当n= - 2,由 ,得 2b 2=k 2+k o 2, 二 n=- 2 或 n4『 宀门T 〕丁 ！二丄|「〔，解得b 2=4或b 2=kk 0,当b 2=4时，满足n=1 ,当 b 2=kk o 时，由 2b 2=k 2+k o 2，得 k=k o (舍去)，1 2综上，得门丄頁.-2【点评】本题考查双曲线的渐近线的求法，考查直线的斜率的求法，考查 n 关于b 的表达式 的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意双曲线、直线、韦达定理的合理运用.21. ( 12分)(2017?上海模拟)已知函数f (x ) =log=，;(1) 解方程 f (x ) =1；ajc —L —]_ (2) 设 x € (— 1, 1)，a €( 1, +x),证明： € ( — 1, 1)，且 f 「 )— f (x )1,=-f O ；(3) 设数列｛x n ｝中，X 1 € (— 1, 1), X n +1= ( — 1) n +1 --匚,n € N *，求冷的取值范围，使 得x 3> x n 对任意n € N *成立.【考点】函数与方程的综合运用.|l+x|【分析】(1)根据对数运算性质得 =2,从而解出x 的值；(2)令g (x ) =_，判断g (x )的单调性得出g (x )的值域，根据对数的运算性质化简aK-11 即可证明f ( )- f (x ) = — f 厂)；(3)利用(2)中的结论得出f ( x n +1)与f (X n )的关系，判断f (X n )的周期，分别用f ( X 1) V(勺)Af( it ])表示出f ( X 2), f (X 3), f (X 4),根据f (X )的单调性得出丿巩勺)>f&J ，从而求出f ( X 1) f (式总) 的范围，继而解出X 1的范围.，得 2kH-2 kg42k+2k 0 即 Q (「i ,——) ,代入X 2 —2 話=1，化简，得:【解答】解：(1 f (x ) =log 2-T7=1,=2, 解得厂丄; (2)令 g (x )= (xT),则 g ' (x ) = :- ■.••• g' (x)> 0,••• g (x )在(—1, 1) 上是增函数, -a _l 又g (-1)=Tn" =,g (1) = j=1,•••- 1 v g (x )v 1,即 •- f (x )- f () a-i 1+K 1-"K € (- 1,i-4- a 1).1+K1-*K=log 2 - log 2 7 a=log2 MI a-l. log 2 L+x _ a-1 ax+a-x-1l-*x a+1 )_log2a-k-az+l=log 2 ( a~3ax-1 a-x+ IK -L=log2 _d_] a"K=log 2a^-1a-y )=f (x )- f (| a^-1a-s )-f (x ) =-f ••• f ( • -f ( 13)l-x 1+xf (- x ) =log^K , ..=- Iog 2 _； =- f • f (x ) 是奇函数.X n +1= (-1) n+1 ：，.,(3f (x )的定义域为(-1,1),(x ),1厂)•3v -1导一r 为奇数二 X n +1 =P JE —1伪偶数3-% ①当 n 为奇数时，f (x n +1) =f (A ：； ) =f (x n )1 -f (E) =f (x n ) - 1,f ( x n +1) =f (X n ) —1 ；②当 n 为偶数时，f (X n +1) =f (—--f ( x n +1) =1 — f ( X n ).f ( X 2)=f (X 1)— 1 , f ( X 3) =1 — f (X 2) =2 — f (X 1),f (X 5) =1 — f (X 4) =f (X 1), f (X 6) =f ( X 5) — 1=f (X 1)• . f ( X n ) =f (X n +4), n € N .• h (x )在(-1, 1)上是增函数,• f ( X ) =log 2二Z^=log 2h ( X )在(-1, 1)上是增函数. T X 3> X n 对任意n € N *成立,f ( X 3)> f ( X n ) 恒成立，(巾)二玖巧) 2 亠f ( “)a#(丈 J』f (3 ，即 2-f ( (x J T! ^2-f( (K P14 s i解得：f (X 1)w 1,即 Iog 21 — K[ w 1,1+ x I• 0 v w 2,解得：-1 v X 1 w 丄.【点评】本题考查了对数的运算性质，复合函数的单调性，不等式的解法，属于难)=—f ( 3-咛 )=1 - f (X n ),0,设 h (x )三二，则 h' (x ) f (X 4) =f (X 3)— 1=1 — f ( X 1),题.。

2017普通高等学校招生全国统一考试 上海 数学试卷（部分内容）一、 填空题：9.给出四个函数：①y x =- ，②1y x=- ，③3y x = ，④12y x = ，从四个函数中任选2个，事件A ：“所选2个函数的图像有且只有一个公共点”的概率为 。

【答案】1310.已知数列}{n a 满足：2,N n a n n *=∈ ，若对于一切}{N n n b *∈，中的第n a 项恒等于}{n a 中的第n b 项，则()()149161234lg lg b b b b b b b b = 。

【答案】211.已知121122sin 2sin 2αα+=++，其中12,R αα∈，则1210παα--的最小值为________。

【答案】4π二、 选择题：13.二元线性方程组50234x y x y +=⎧⎨+=⎩的系数矩阵D = （ ）A ．0534⎛⎫⎪⎝⎭B ．1023⎛⎫⎪⎝⎭C ．1523⎛⎫⎪⎝⎭D ．1024⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C15．已知数列2*,N n x an bn c n =++∈，使得100200300,,k k k x x x +++成等差数列的必要条件是（ ）A ．0a ≥B ．0b ≤C ．0c =D ．20a b c -+=【答案】A16．已知点P 在椭圆221:1364x y C +=上，点Q 在椭圆222:19y C x +=上，O 为坐标原点，记=OP OQ ω⋅，集合(){},|=P Q OP OQ ω⋅，当ω取得最大值时，集合中符合条件的元素有几个（ ）A ．2个B ．4个C ．8个D ．无数个【答案】D三、解答题：17．如图，直三棱柱111ABC A B C -中，90ABC ∠=，15BB =，4AB =， 2BC =． （1）求三棱柱111ABC A B C V -的体积；（2）若M 是棱AC 中点，求1B M 与平面ABC 所成角的大小。

【答案】（1）1111245202ABC A B C V -⎛⎫=⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭（2）11tan B B B MB BM ∠===所以1B M 与平面ABC所成角的大小为A 1CAB18．已知()()221cos sin ,0,2f x x x x π=-+∈。

2017年上海市高考数学试卷一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1．（4分）已知集合A={1，2，3，4}，集合B={3，4，5}，则A∩B=．2．（4分）若排列数=6×5×4，则m=．3．（4分）不等式＞1的解集为．4．（4分）已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于．5．（4分）已知复数z满足z+=0，则|z|=．6．（4分）设双曲线﹣=1（b＞0）的焦点为F1、F2，P为该双曲线上的一点，若|PF1|=5，则|PF2|=．7．（5分）如图，以长方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为（4，3，2），则的坐标是．8．（5分）定义在（0，+∞）上的函数y=f（x）的反函数为y=f﹣1（x），若g（x）=为奇函数，则f﹣1（x）=2的解为．9．（5分）已知四个函数：①y=﹣x，②y=﹣，③y=x3，④y=x，从中任选2个，则事件“所选2个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为．10．（5分）已知数列{a n}和{b n}，其中a n=n2，n∈N*，{b n}的项是互不相等的正整数，若对于任意n∈N*，{b n}的第a n项等于{a n}的第b n项，则= ．11．（5分）设a 1、a 2∈R ，且，则|10π﹣a 1﹣a 2|的最小值等于 ．12．（5分）如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点P 1、P 2、P 3、P 4以及四个标记为“▲”的点在正方形的顶点处，设集合Ω={P 1，P 2，P 3，P 4}，点P ∈Ω，过P 作直线l P ，使得不在l P 上的“▲”的点分布在l P 的两侧．用D 1（l P ）和D 2（l P ）分别表示l P 一侧和另一侧的“▲”的点到l P 的距离之和．若过P 的直线l P 中有且只有一条满足D 1（l P ）=D 2（l P ），则Ω中所有这样的P 为 ．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13．（5分）关于x 、y 的二元一次方程组的系数行列式D 为（ ）A ．B ．C ．D ．14．（5分）在数列{a n }中，a n =（﹣）n ，n ∈N *，则a n （ ）A ．等于B ．等于0C ．等于D ．不存在15．（5分）已知a 、b 、c 为实常数，数列{x n }的通项x n =an 2+bn +c ，n ∈N *，则“存在k ∈N *，使得x 100+k 、x 200+k 、x 300+k 成等差数列”的一个必要条件是（ ） A ．a ≥0B ．b ≤0C ．c=0D ．a ﹣2b +c=016．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：=1和C 2：x 2+=1．P为C 1上的动点，Q 为C 2上的动点，w 是的最大值．记Ω={（P ，Q ）|P 在C 1上，Q 在C 2上，且=w }，则Ω中元素个数为（ ）A．2个 B．4个 C．8个 D．无穷个三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为直角三角形，两直角边AB 和AC的长分别为4和2，侧棱AA1的长为5．（1）求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积；（2）设M是BC中点，求直线A1M与平面ABC所成角的大小．18．（14分）已知函数f（x）=cos2x﹣sin2x+，x∈（0，π）．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）设△ABC为锐角三角形，角A所对边a=，角B所对边b=5，若f（A）=0，求△ABC的面积．19．（14分）根据预测，某地第n（n∈N*）个月共享单车的投放量和损失量分别为a n和b n（单位：辆），其中a n=，b n=n+5，第n个月底的共享单车的保有量是前n个月的累计投放量与累计损失量的差．（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第n个月底的单车容纳量S n=﹣4（n﹣46）2+8800（单位：辆）．设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？20．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆Γ：=1，A为Γ的上顶点，P为Γ上异于上、下顶点的动点，M为x正半轴上的动点．（1）若P在第一象限，且|OP|=，求P的坐标；（2）设P（），若以A、P、M为顶点的三角形是直角三角形，求M的横坐标；（3）若|MA|=|MP|，直线AQ与Γ交于另一点C，且，，求直线AQ的方程．21．（18分）设定义在R上的函数f（x）满足：对于任意的x1、x2∈R，当x1＜x2时，都有f（x1）≤f（x2）．（1）若f（x）=ax3+1，求a的取值范围；（2）若f（x）是周期函数，证明：f（x）是常值函数；（3）设f（x）恒大于零，g（x）是定义在R上的、恒大于零的周期函数，M是g（x）的最大值．函数h（x）=f（x）g（x）．证明：“h（x）是周期函数”的充要条件是“f（x）是常值函数”．2017年上海市高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1．（4分）已知集合A={1，2，3，4}，集合B={3，4，5}，则A∩B={3，4} ．【分析】利用交集定义直接求解．【解答】解：∵集合A={1，2，3，4}，集合B={3，4，5}，∴A∩B={3，4}．故答案为：{3，4}．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．2．（4分）若排列数=6×5×4，则m=3．【分析】利用排列数公式直接求解．【解答】解：∵排列数=6×5×4，∴由排列数公式得，∴m=3．故答案为：m=3．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意排列数公式的合理运用．3．（4分）不等式＞1的解集为（﹣∞，0）．【分析】根据分式不等式的解法求出不等式的解集即可．【解答】解：由＞1得：，故不等式的解集为：（﹣∞，0），故答案为：（﹣∞，0）．【点评】本题考查了解分式不等式，考查转化思想，是一道基础题．4．（4分）已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于9π．【分析】由球的体积公式，可得半径R=3，再由主视图为圆，可得面积．【解答】解：球的体积为36π，设球的半径为R，可得πR3=36π，可得R=3，该球主视图为半径为3的圆，可得面积为πR2=9π．故答案为：9π．【点评】本题考查球的体积公式，以及主视图的形状和面积求法，考查运算能力，属于基础题．5．（4分）已知复数z满足z+=0，则|z|=．【分析】设z=a+bi（a，b∈R），代入z2=﹣3，由复数相等的条件列式求得a，b 的值得答案．【解答】解：由z+=0，得z2=﹣3，设z=a+bi（a，b∈R），由z2=﹣3，得（a+bi）2=a2﹣b2+2abi=﹣3，即，解得：．∴．则|z|=．故答案为：．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件以及复数模的求法，是基础题．6．（4分）设双曲线﹣=1（b＞0）的焦点为F1、F2，P为该双曲线上的一点，若|PF1|=5，则|PF2|=11．【分析】根据题意，由双曲线的方程可得a的值，结合双曲线的定义可得||PF1|﹣|PF2||=6，解可得|PF2|的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为：﹣=1，其中a==3，则有||PF1|﹣|PF2||=6，又由|PF1|=5，解可得|PF2|=11或﹣1（舍）故|PF2|=11，故答案为：11．【点评】本题考查双曲线的几何性质，关键是掌握双曲线的定义．7．（5分）如图，以长方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为（4，3，2），则的坐标是（﹣4，3，2）．【分析】由的坐标为（4，3，2），分别求出A和C1的坐标，由此能求出结果．【解答】解：如图，以长方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，∵的坐标为（4，3，2），∴A（4，0，0），C1（0，3，2），∴．故答案为：（﹣4，3，2）．【点评】本题考查空间向量的坐标的求法，考查空间直角坐标系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．8．（5分）定义在（0，+∞）上的函数y=f（x）的反函数为y=f﹣1（x），若g（x）=为奇函数，则f﹣1（x）=2的解为．【分析】由奇函数的定义，当x＞0时，﹣x＜0，代入已知解析式，即可得到所求x＞0的解析式，再由互为反函数的两函数的自变量和函数值相反，即可得到所求值．【解答】解：若g（x）=为奇函数，可得当x＞0时，﹣x＜0，即有g（﹣x）=3﹣x﹣1，由g（x）为奇函数，可得g（﹣x）=﹣g（x），则g（x）=f（x）=1﹣3﹣x，x＞0，由定义在（0，+∞）上的函数y=f（x）的反函数为y=f﹣1（x），且f﹣1（x）=2，可由f（2）=1﹣3﹣2=，可得f﹣1（x）=2的解为x=．故答案为：．【点评】本题考查函数的奇偶性和运用，考查互为反函数的自变量和函数值的关系，考查运算能力，属于基础题．9．（5分）已知四个函数：①y=﹣x，②y=﹣，③y=x3，④y=x，从中任选2个，则事件“所选2个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为．【分析】从四个函数中任选2个，基本事件总数n=，再利用列举法求出事件A：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”包含的基本事件的个数，由此能求出事件A：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”的概率．【解答】解：给出四个函数：①y=﹣x，②y=﹣，③y=x3，④y=x，从四个函数中任选2个，基本事件总数n=，③④有两个公共点（0，0），（1，1）．事件A：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”包含的基本事件有：①③，①④共2个，∴事件A：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”的概率为P（A）==．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．10．（5分）已知数列{a n}和{b n}，其中a n=n2，n∈N*，{b n}的项是互不相等的正整数，若对于任意n∈N*，{b n}的第a n项等于{a n}的第b n项，则= 2．【分析】a n=n2，n∈N*，若对于一切n∈N*，{b n}中的第a n项恒等于{a n}中的第b项，可得==．于是b1=a1=1，=b4，=b9，=b16．即n可得出．【解答】解：∵a n=n2，n∈N*，若对于一切n∈N*，{b n}中的第a n项恒等于{a n}中的第b n项，∴==．∴b1=a1=1，=b4，=b9，=b16．∴b1b4b9b16=．∴=2．故答案为：2．【点评】本题考查了数列递推关系、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．（5分）设a1、a2∈R，且，则|10π﹣a1﹣a2|的最小值等于．【分析】由题意，要使+=2，可得sinα1=﹣1，sin2α2=﹣1．求出α1和α2，即可求出|10π﹣α1﹣α2|的最小值【解答】解：根据三角函数的性质，可知sinα1，sin2α2的范围在[﹣1，1]，要使+=2，∴sinα1=﹣1，sin2α2=﹣1．则：，k1∈Z．，即，k2∈Z．那么：α1+α2=（2k1+k2）π，k1、k2∈Z．∴|10π﹣α1﹣α2|=|10π﹣（2k1+k2）π|的最小值为．故答案为：．【点评】本题主要考察三角函数性质，有界限的范围的灵活应用，属于基本知识的考查．12．（5分）如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点P1、P2、P3、P4以及四个标记为“▲”的点在正方形的顶点处，设集合Ω={P1，P2，P3，P4}，点P∈Ω，过P作直线l P，使得不在l P上的“▲”的点分布在l P的两侧．用D1（l P）和D2（l P）分别表示l P一侧和另一侧的“▲”的点到l P的距离之和．若过P的直线l P中有且只有一条满足D1（l P）=D2（l P），则Ω中所有这样的P为P1、P3、P4．【分析】根据任意四边形ABCD两组对边中点的连线交于一点，过此点作直线，使四边形的四个顶点不在该直线的同一侧，则该直线两侧的四边形的顶点到直线的距离之和相等；由此得出结论．【解答】解：设记为“▲”的四个点是A，B，C，D，线段AB，BC，CD，DA的中点分别为E，F，G，H，易知EFGH为平行四边形，如图所示；又平行四边形EFGH的对角线交于点P2，则符合条件的直线l P一定经过点P2，且过点P2的直线有无数条；由过点P1和P2的直线有且仅有1条，过点P3和P2的直线有且仅有1条，过点P4和P2的直线有且仅有1条，所以符合条件的点是P1、P3、P4．故答案为：P1、P3、P4．【点评】本题考查了数学理解力与转化力的应用问题，也考查了对基本问题的阅读理解和应用转化能力．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）关于x、y的二元一次方程组的系数行列式D为（）A．B．C．D．【分析】利用线性方程组的系数行列式的定义直接求解．【解答】解：关于x、y的二元一次方程组的系数行列式：D=．故选：C．【点评】本题考查线性方程组的系数行列式的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意线性方程组的系数行列式的定义的合理运用．14．（5分）在数列{a n}中，a n=（﹣）n，n∈N*，则a n（）A．等于 B．等于0 C．等于D．不存在【分析】根据极限的定义，求出a n=的值．【解答】解：数列{a n}中，a n=（﹣）n，n∈N*，则a n==0．故选：B．【点评】本题考查了极限的定义与应用问题，是基础题．15．（5分）已知a 、b 、c 为实常数，数列{x n }的通项x n =an 2+bn +c ，n ∈N *，则“存在k ∈N *，使得x 100+k 、x 200+k 、x 300+k 成等差数列”的一个必要条件是（ ）A ．a ≥0B ．b ≤0C ．c=0D ．a ﹣2b +c=0【分析】由x 100+k ，x 200+k ，x 300+k 成等差数列，可得：2x 200+k =x 100+k x 300+k ，代入化简即可得出．【解答】解：存在k ∈N *，使得x 100+k 、x 200+k 、x 300+k 成等差数列，可得：2[a （200+k ）2+b （200+k ）+c ]=a （100+k ）2+b （100+k ）+c +a （300+k ）2+b （300+k ）+c ，化为：a=0．∴使得x 100+k ，x 200+k ，x 300+k 成等差数列的必要条件是a ≥0．故选：A ．【点评】本题考查了等差数列的通项公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：=1和C 2：x 2+=1．P 为C 1上的动点，Q 为C 2上的动点，w 是的最大值．记Ω={（P ，Q ）|P 在C 1上，Q 在C 2上，且=w }，则Ω中元素个数为（ ）A ．2个B ．4个C ．8个D ．无穷个【分析】设出P （6cosα，2sinα），Q （cosβ，3sinβ），0≤α\β＜2π，由向量数量积的坐标表示和两角差的余弦公式和余弦函数的值域，可得最大值及取得的条件，即可判断所求元素的个数．【解答】解：椭圆C 1：=1和C 2：x 2+=1．P 为C 1上的动点，Q 为C 2上的动点，可设P （6cosα，2sinα），Q （cosβ，3sinβ），0≤α\β＜2π， 则=6cosαcosβ+6sinαsinβ=6cos （α﹣β）， 当α﹣β=2kπ，k ∈Z 时，w 取得最大值6，则Ω={（P，Q）|P在C1上，Q在C2上，且=w}中的元素有无穷多对．另解：令P（m，n），Q（u，v），则m2+9n2=36，9u2+v2=9，由柯西不等式（m2+9n2）（9u2+v2）=324≥（3mu+3nv）2，当且仅当mv=nu，即O、P、Q共线时，取得最大值6，显然，满足条件的P、Q有无穷多对，D项正确．故选：D．【点评】本题考查椭圆的参数方程的运用，以及向量数量积的坐标表示和余弦函数的值域，考查集合的几何意义，属于中档题．三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为直角三角形，两直角边AB 和AC的长分别为4和2，侧棱AA1的长为5．（1）求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积；（2）设M是BC中点，求直线A1M与平面ABC所成角的大小．【分析】（1）三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积V=S△ABC×AA1=，由此能求出结果．（2）连结AM，∠A1MA是直线A1M与平面ABC所成角，由此能求出直线A1M 与平面ABC所成角的大小．【解答】解：（1）∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为直角三角形，两直角边AB和AC的长分别为4和2，侧棱AA1的长为5．∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积：V=S△ABC×AA1===20．（2）连结AM，∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为直角三角形，两直角边AB和AC的长分别为4和2，侧棱AA1的长为5，M是BC中点，∴AA1⊥底面ABC，AM==，∴∠A1MA是直线A1M与平面ABC所成角，tan∠A1MA===，∴直线A1M与平面ABC所成角的大小为arctan．【点评】本题考查三棱柱的体积的求法，考查线面角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．18．（14分）已知函数f（x）=cos2x﹣sin2x+，x∈（0，π）．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）设△ABC为锐角三角形，角A所对边a=，角B所对边b=5，若f（A）=0，求△ABC的面积．【分析】（1）由二倍角的余弦公式和余弦函数的递增区间，解不等式可得所求增区间；（2）由f（A）=0，解得A，再由余弦定理解方程可得c，再由三角形的面积公式，计算即可得到所求值．【解答】解：（1）函数f（x）=cos2x﹣sin2x+=cos2x+，x∈（0，π），由2kπ﹣π≤2x≤2kπ，解得kπ﹣π≤x≤kπ，k∈Z，k=1时，π≤x≤π，可得f（x）的增区间为[，π）；（2）设△ABC为锐角三角形，角A所对边a=，角B所对边b=5，若f（A）=0，即有cos2A+=0，解得2A=π，即A=π，由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA，化为c2﹣5c+6=0，解得c=2或3，若c=2，则cosB=＜0，即有B为钝角，c=2不成立，则c=3，△ABC的面积为S=bcsinA=×5×3×=．【点评】本题考查二倍角公式和余弦函数的图象和性质，考查解三角形的余弦定理和面积公式的运用，考查运算能力，属于中档题．19．（14分）根据预测，某地第n（n∈N*）个月共享单车的投放量和损失量分别为a n和b n（单位：辆），其中a n=，b n=n+5，第n个月底的共享单车的保有量是前n个月的累计投放量与累计损失量的差．（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第n个月底的单车容纳量S n=﹣4（n﹣46）2+8800（单位：辆）．设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？【分析】（1）计算出{a n}和{b n}的前4项和的差即可得出答案；（2）令a n≥b n得出n≤42，再计算第42个月底的保有量和容纳量即可得出结论．【解答】解：（1）∵a n=，b n=n+5∴a1=5×14+15=20a2=5×24+15=95a3=5×34+15=420a4=﹣10×4+470=430b1=1+5=6b2=2+5=7b3=3+5=8b4=4+5=9∴前4个月共投放单车为a1+a2+a3+a4=20+95+420+430=965，前4个月共损失单车为b1+b2+b3+b4=6+7+8+9=30，∴该地区第4个月底的共享单车的保有量为965﹣30=935．（2）令a n≥b n，显然n≤3时恒成立，当n≥4时，有﹣10n+470≥n+5，解得n≤，∴第42个月底，保有量达到最大．当n≥4，{a n}为公差为﹣10等差数列，而{b n}为等差为1的等差数列，∴到第42个月底，单车保有量为×39+535﹣×42=×39+535﹣×42=8782．S42=﹣4×16+8800=8736．∵8782＞8736，∴第42个月底单车保有量超过了容纳量．【点评】本题考查了数列模型的应用，等差数列的求和公式，属于中档题．20．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆Γ：=1，A为Γ的上顶点，P为Γ上异于上、下顶点的动点，M为x正半轴上的动点．（1）若P在第一象限，且|OP|=，求P的坐标；（2）设P（），若以A、P、M为顶点的三角形是直角三角形，求M的横坐标；（3）若|MA|=|MP|，直线AQ与Γ交于另一点C，且，，求直线AQ的方程．【分析】（1）设P（x，y）（x＞0，y＞0），联立，能求出P点坐标．（2）设M（x0，0），A（0，1），P（），由∠P=90°，求出x0=；由∠M=90°，求出x0=1或x0=；由∠A=90°，则M点在x轴负半轴，不合题意．由此能求出点M的横坐标．（3）设C（2cosα，sinα），推导出Q（4cosα，2sinα﹣1），设P（2cosβ，sinβ），M（x0，0）推导出x0=cosβ，从而4cosα﹣2cosβ=﹣5cosβ，且2sinα﹣sinβ﹣1=﹣4sinβ，cosβ=﹣cosα，且sinα=（1﹣2sinα），由此能求出直线AQ．【解答】解：（1）设P（x，y）（x＞0，y＞0），∵椭圆Γ：=1，A为Γ的上顶点，P为Γ上异于上、下顶点的动点，P在第一象限，且|OP|=，∴联立，解得P（，）．（2）设M（x0，0），A（0，1），P（），若∠P=90°，则•，即（x0﹣，﹣）•（﹣，）=0，∴（﹣）x0+﹣=0，解得x0=．如图，若∠M=90°，则•=0，即（﹣x0，1）•（﹣x0，）=0，∴=0，解得x0=1或x0=，若∠A=90°，则M点在x轴负半轴，不合题意．∴点M的横坐标为，或1，或．（3）设C（2cosα，sinα），∵，A（0，1），∴Q（4cosα，2sinα﹣1），又设P（2cosβ，sinβ），M（x0，0），∵|MA|=|MP|，∴x02+1=（2cosβ﹣x0）2+（sinβ）2，整理得：x0=cosβ，∵=（4cosα﹣2cosβ，2sinα﹣sinβ﹣1），=（﹣cosβ，﹣sinβ），，∴4cosα﹣2cosβ=﹣5cosβ，且2sinα﹣sinβ﹣1=﹣4sinβ，∴cosβ=﹣cosα，且sinα=（1﹣2sinα），以上两式平方相加，整理得3（sinα）2+sinα﹣2=0，∴sinα=，或sinα=﹣1（舍去），此时，直线AC的斜率k AC=﹣=（负值已舍去），如图．∴直线AQ为y=x+1．【点评】本题考查点的坐标的求法，考查直线方程的求法，考查椭圆、直线方程、三角函数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方思想，是中档题．21．（18分）设定义在R上的函数f（x）满足：对于任意的x1、x2∈R，当x1＜x2时，都有f（x1）≤f（x2）．（1）若f（x）=ax3+1，求a的取值范围；（2）若f（x）是周期函数，证明：f（x）是常值函数；（3）设f（x）恒大于零，g（x）是定义在R上的、恒大于零的周期函数，M是g（x）的最大值．函数h（x）=f（x）g（x）．证明：“h（x）是周期函数”的充要条件是“f（x）是常值函数”．【分析】（1）直接由f（x1）﹣f（x2）≤0求得a的取值范围；（2）若f（x）是周期函数，记其周期为T k，任取x0∈R，则有f（x0）=f（x0+T k），证明对任意x∈[x0，x0+T k]，f（x0）≤f（x）≤f（x0+T k），可得f（x0）=f（x0+nT k），n∈Z，再由…∪[x0﹣3T k，x0﹣2T k]∪[x0﹣2T k，x0﹣T k]∪[x0﹣T k，x0]∪[x0，x0+T k]∪[x0+T k，x0+2T k]∪…=R，可得对任意x∈R，f（x）=f（x0）=C，为常数；（3）分充分性及必要性证明．类似（2）证明充分性；再证必要性，然后分类证明．【解答】（1）解：由f（x1）≤f（x2），得f（x1）﹣f（x2）=a（x13﹣x23）≤0，∵x1＜x2，∴x13﹣x23＜0，得a≥0．故a的范围是[0，+∞）；（2）证明：若f（x）是周期函数，记其周期为T k，任取x0∈R，则有f（x0）=f（x0+T k），由题意，对任意x∈[x0，x0+T k]，f（x0）≤f（x）≤f（x0+T k），∴f（x0）=f（x）=f（x0+T k）．又∵f（x0）=f（x0+nT k），n∈Z，并且…∪[x0﹣3T k，x0﹣2T k]∪[x0﹣2T k，x0﹣T k]∪[x0﹣T k，x0]∪[x0，x0+T k]∪[x0+T k，x0+2T k]∪…=R，∴对任意x∈R，f（x）=f（x0）=C，为常数；（3）证明：充分性：若f（x）是常值函数，记f（x）=c1，设g（x）的一个周期为T g，则h（x）=c1•g（x），则对任意x0∈R，h（x0+T g）=c1•g（x0+T g）=c1•g（x0）=h（x0），故h（x）是周期函数；必要性：若h（x）是周期函数，记其一个周期为T h．若存在x1，x2，使得f（x1）＞0，且f（x2）＜0，则由题意可知，x1＞x2，那么必然存在正整数N1，使得x2+N1T k＞x1，∴f（x2+N1T k）＞f（x1）＞0，且h（x2+N1T k）=h（x2）．又h（x2）=g（x2）f（x2）＜0，而h（x2+N1T k）=g（x2+N1T k）f（x2+N1T k）＞0≠h（x2），矛盾．综上，f（x）＞0恒成立．由f（x）＞0恒成立，任取x0∈A，则必存在N2∈N，使得x0﹣N2T h≤x0﹣T g，即[x0﹣T g，x0]⊆[x0﹣N2T h，x0]，∵…∪[x0﹣3T k，x0﹣2T k]∪[x0﹣2T k，x0﹣T k]∪[x0﹣T k，x0]∪[x0，x0+T k]∪[x0+T k，x0+2T k]∪…=R，∴…∪[x0﹣2N2T h，x0﹣N2T h]∪[x0﹣N2T h，x0]∪[x0，x0+N2T h]∪[x0+N2T h，x0+2N2T h]∪…=R．h（x0）=g（x0）•f（x0）=h（x0﹣N2T h）=g（x0﹣N2T h）•f（x0﹣N2T h），∵g（x0）=M≥g（x0﹣N2T h）＞0，f（x0）≥f（x0﹣N2T h）＞0．因此若h（x0）=h（x0﹣N2T h），必有g（x0）=M=g（x0﹣N2T h），且f（x0）=f（x0﹣N2T h）=c．而由（2）证明可知，对任意x∈R，f（x）=f（x0）=C，为常数．综上，必要性得证．【点评】本题考查抽象函数及其应用，考查逻辑思维能力与理论运算能力考查分类讨论的数学思想方法，题目设置难度过大．。

2017年上海市高考数学试卷1. 已知集合{1,2,3,4}A =，集合{3,4,5}B =，则A B =I2. 若排列数6654m P =⨯⨯，则m =3. 不等式11x x->的解集为 4. 已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于 5. 已知复数z 满足30z z+=，则||z =6. 设双曲线22219x y b -=(0)b >的焦点为1F 、2F ，P 为该双曲线上的一点，若1||5PF =，则2||PF =7. 如图，以长方体1111ABCD A B C D -的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若1DB uuu u r 的坐标为(4,3,2)，则1AC u u u u r的坐标为8. 定义在(0,)+∞上的函数()y f x =的反函数为1()y f x -=，若31,0()(),0x x g x f x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩为奇函数，则1()2f x -=的解为9. 已知四个函数：① y x =-；② 1y x=-；③ 3y x =；④ 12y x =. 从中任选2个，则事件“所选2个函数的图像有且仅有一个公共点”的概率为10. 已知数列{}n a 和{}n b ，其中2n a n =，*n ∈N ，{}n b 的项是互不相等的正整数，若对于 任意*n ∈N ，{}n b 的第n a 项等于{}n a 的第n b 项，则149161234lg()lg()b b b b b b b b =11. 设1a 、2a ∈R 且121122sin 2sin(2)αα+=++，则12|10|παα--的最小值等于12. 如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点1P 、2P 、3P 、4P 以及四个标记为“”的 点在正方形的顶点处，设集合1234{,,,}P P P P Ω=，点P ∈Ω，过P 作直线P l ，使得不在P l 上的“”的点分布在P l 的两侧. 用1()P D l 和2()P D l 分别表示P l 一侧 和另一侧的“”的点到P l 的距离之和. 若过P 的直线P l 中有且只有一条满足12()()P P D l D l =，则Ω中所有这样的P 为二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. 关于x 、y 的二元一次方程组50234x y x y +=⎧⎨+=⎩的系数行列式D 为（ ）A.0543 B. 1024 C. 1523 D. 605414. 在数列{}n a 中，1()2n n a =-，*n ∈N ，则lim n n a →∞（ ）A. 等于12-B. 等于0C. 等于12D. 不存在 15. 已知a 、b 、c 为实常数，数列{}n x 的通项2n x an bn c =++，*n ∈N ，则“存在*k ∈N ， 使得100k x +、200k x +、300k x +成等差数列”的一个必要条件是（ ）A. 0a ≥B. 0b ≤C. 0c =D. 20a b c -+=16. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆221:1364x y C +=和222:19y C x +=. P 为1C 上的动 点，Q 为2C 上的动点，w 是OP OQ ⋅u u u r u u u r的最大值. 记{(,)|P Q P Ω=在1C 上，Q 在2C 上，且}OP OQ w ⋅=u u u r u u u r，则Ω中元素个数为（ ）A. 2个B. 4个C. 8个D. 无穷个 三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图，直三棱柱111ABC A B C -的底面为直角三角形，两直角边AB 和AC 的长分别为4和2，侧棱1AA 的长为5.（1）求三棱柱111ABC A B C -的体积；（2）设M 是BC 中点，求直线1A M 与平面ABC 所成角的大小.18. 已知函数221()cos sin 2f x x x =-+，(0,)x π∈.（1）求()f x 的单调递增区间；（2）设△ABC 为锐角三角形，角A 所对边a =，角B 所对边5b =，若()0f A =，求△ABC 的面积.19. 根据预测，某地第n *()n ∈N 个月共享单车的投放量和损失量分别为n a 和n b （单位：辆），其中4515,1310470,4n n n a n n ⎧+≤≤⎪=⎨-+≥⎪⎩，5n b n =+，第n 个月底的共享单车的保有量是前n 个月的累计投放量与累计损失量的差.（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第n 个月底的单车容纳量24(46)8800n S n =--+（单位：辆）. 设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？20. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:14x y Γ+=，A 为Γ的上顶点，P 为Γ上异于上、下顶点的动点，M 为x 正半轴上的动点.（1）若P 在第一象限，且||OP =P 的坐标；（2）设83(,)55P ，若以A 、P 、M为顶点的三角形是直角三角形，求M 的横坐标；（3）若||||MA MP =，直线AQ 与Γ交于另一点C ，且2AQ AC =u u u r u u u r ，4PQ PM =u u u r u u u u r，求直线AQ 的方程.21. 设定义在R 上的函数()f x 满足：对于任意的1x 、2x ∈R ，当12x x <时，都有12()()f x f x ≤.（1）若3()1f x ax =+，求a 的取值范围；（2）若()f x 为周期函数，证明：()f x 是常值函数；（3）设()f x 恒大于零，()g x 是定义在R 上、恒大于零的周期函数，M 是()g x 的最大值. 函数()()()h x f x g x =. 证明：“()h x 是周期函数”的充要条件是“()f x 是常值函数”.。

2017年上海市春季高考数学试卷
16．如图所示，正八边形A 1A 2A 3A 4A 5A 6A 7A 8的边长为2，若P 为该正八边形边上的动点，则的取值范围为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【试题再现】若变量,x y 满足约束条件11y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩
且2z x y =+的最大值和最小值分别
为M 和m ，则M m -=（ ）．
（A ）8 （B ）7 （C ）6 （D ）5
解析四：（向量法）如图2，画出不等式组表示的可行域——由点
11(1,1),(2,1),(,)22
A B C ---围成的三角形区域（包括边界）. 构造向量(2,1),(,)OP OQ x y ==，并设向量OP 与OQ 的夹角为θ，则因为2c o s 5c o s z x y O P O Q O P O Q O Q θθ=+=⋅=⋅=⋅，所以本题关键是考查向量OQ 在OP 方向上的投影（即：cos OQ θ）何时取得最值.
让点(,)Q x y 在可行域内运动变化，分析易知：当点(,)Q x y 与点(2,1)B -重合时，向量OQ 在OP 方向上的投影取得最大值，所以22(1)3M =⨯+-=；当点(,)Q x y 与点(1,1)A --重合时，向量OQ 在
OP
方向上的投影取得最小值，
所以
2
(1)
(1)3m =⨯-+-=-.故3(3)6M m -=--=，选C ．
图2
评注：上述求解的关键是，先根据目标函数的表达式灵活构造向量，再借助动态分析法考查最值情景.显然，这种解法揭示了常规解法中动直线平移的实质——始终保证动直线与向量OP所在直线垂直.故值得我们去回味、深思！。

2017年上海市春季高考数学试卷　一.填空题（本大题共12题，满分48分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1．设集合A={1，2，3}，集合B={3，4}，则A∪B= ．2．不等式|x﹣1|＜3的解集为 ．3．若复数z满足2﹣1=3+6i（i是虚数单位），则z= ．4．若，则= ．5．若关于x、y的方程组无解，则实数a= ．6．若等差数列{a n}的前5项的和为25，则a1+a5= ．7．若P、Q是圆x2+y2﹣2x+4y+4=0上的动点，则|PQ|的最大值为 ．8．已知数列{a n}的通项公式为，则= ．9．若的二项展开式的各项系数之和为729，则该展开式中常数项的值为 ．10．设椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，点P在该椭圆上，则使得△F1F2P是等腰三角形的点P的个数是 ．11．设a1、a2、…、a6为1、2、3、4、5、6的一个排列，则满足|a1﹣a2|+|a3﹣a4|+|a5﹣a6|=3的不同排列的个数为 ．12．设a、b∈R，若函数在区间（1，2）上有两个不同的零点，则f（1）的取值范围为 ．　二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．函数f（x）=（x﹣1）2的单调递增区间是（ ）A．[0，+∞）B．[1，+∞）C．（﹣∞，0]D．（﹣∞，1]14．设a∈R，“a＞0”是“”的（ ）条件．A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．既非充分也非必要15．过正方体中心的平面截正方体所得的截面中，不可能的图形是（ ）A．三角形B．长方形C．对角线不相等的菱形D．六边形16．如图所示，正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8的边长为2，若P为该正八边形边上的动点，则的取值范围为（ ）A．B．C D．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（12分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=3；（1）求四棱锥A1﹣ABCD的体积；（2）求异面直线A1C与DD1所成角的大小．18．（12分）设a∈R，函数；（1）求a的值，使得f（x）为奇函数；（2）若对任意x∈R成立，求a的取值范围．19．（12分）某景区欲建造两条圆形观景步道M1、M2（宽度忽略不计），如图所示，已知AB⊥AC，AB=AC=AD=60（单位：米），要求圆M1与AB、AD分别相切于点B、D，圆M2与AC、AD分别相切于点C、D；（1）若∠BAD=60°，求圆M1、M2的半径（结果精确到0.1米）（2）若观景步道M1与M2的造价分别为每米0.8千元与每米0.9千元，如何设计圆M1、M2的大小，使总造价最低？最低总造价是多少？（结果精确到0.1千元）20．（12分）已知双曲线（b＞0），直线l：y=kx+m（km≠0），l与Γ交于P、Q两点，P'为P关于y轴的对称点，直线P'Q与y轴交于点N（0，n）；（1）若点（2，0）是Γ的一个焦点，求Γ的渐近线方程；（2）若b=1，点P的坐标为（﹣1，0），且，求k的值；（3）若m=2，求n关于b的表达式．21．（12分）已知函数f（x）=log2；（1）解方程f（x）=1；（2）设x∈（﹣1，1），a∈（1，+∞），证明：∈（﹣1，1），且f（）﹣f（x）=﹣f（）；（3）设数列{x n}中，x1∈（﹣1，1），x n+1=（﹣1）n+1，n∈N*，求x1的取值范围，使得x3≥x n对任意n∈N*成立．2017年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共12题，满分48分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1．设集合A={1，2，3}，集合B={3，4}，则A∪B=　{1，2，3，4}　．2．不等式|x﹣1|＜3的解集为　（﹣2，4）　．3．若复数z满足2﹣1=3+6i（i是虚数单位），则z=　2﹣3i　．4．若，则= ．5．若关于x、y的方程组无解，则实数a=　6　．6．若等差数列{a n}的前5项的和为25，则a1+a5=　10　．7．若P、Q是圆x2+y2﹣2x+4y+4=0上的动点，则|PQ|的最大值为　2　．8．已知数列{a n}的通项公式为，则= ．9．若的二项展开式的各项系数之和为729，则该展开式中常数项的值为　160　．10．设椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，点P在该椭圆上，则使得△F1F2P是等腰三角形的点P的个数是　6　．11．设a1、a2、…、a6为1、2、3、4、5、6的一个排列，则满足|a1﹣a2|+|a3﹣a4|+|a5﹣a6|=3的不同排列的个数为　48　．12．设a、b∈R，若函数在区间（1，2）上有两个不同的零点，则f（1）的取值范围为　（0，1）　．解：函数在区间（1，2）上有两个不同的零点，即方程x2+bx+a=0在区间（1，2）上两个不相等的实根，⇒⇒，如图画出数对（a，b）所表示的区域，目标函数z=f（1）═a+b+1∴z的最小值为z=a+b+1过点（1，﹣2）时，z的最大值为z=a+b+1过点（4，﹣4）时∴f（1）的取值范围为（0，1）故答案为：（0，1）二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．函数f（x）=（x﹣1）2的单调递增区间是（　B　）A．[0，+∞）B．[1，+∞）C．（﹣∞，0]D．（﹣∞，1]14．设a∈R，“a＞0”是“”的（　C　）条件．A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．既非充分也非必要15．过正方体中心的平面截正方体所得的截面中，不可能的图形是（　A　）A．三角形B．长方形C．对角线不相等的菱形D．六边形16．如图所示，正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8的边长为2，若P为该正八边形边上的动点，则的取值范围为（　B　）A．B．C．D．解：由题意，正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8的每一个内角为135°，且，，，．再由正弦函数的单调性及值域可得，当P与A8重合时，最小为==．结合选项可得的取值范围为．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（12分）长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=3；（1）求四棱锥A1﹣ABCD的体积；（2）求异面直线A1C与DD1所成角的大小．解：（1）∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=3，∴四棱锥A1﹣ABCD的体积：====4．（2）∵DD1∥CC1，∴∠A1CC1是异面直线A1C与DD1所成角（或所成角的补角），∵tan∠A1CC1===，∴=．∴异面直线A1C与DD1所成角的大小为；18．（12分）设a∈R，函数；（1）求a的值，使得f（x）为奇函数；（2）若对任意x∈R成立，求a的取值范围．解：（1）由f（x）的定义域为R，且f（x）为奇函数，可得f（0）=0，即有=0，解得a=﹣1．则f（x）=，f（﹣x）===﹣f（x），则a=﹣1满足题意；（2）对任意x∈R成立，即为＜恒成立，等价为＜，即有2（a﹣1）＜a（2x+1），当a=0时，﹣1＜0恒成立；当a＞0时，＜2x+1，由2x+1＞1，可得≤1，解得0＜a≤2；当a＜0时，＞2x+1不恒成立．综上可得，a的取值范围是[0，2]．19．（12分）某景区欲建造两条圆形观景步道M1、M2（宽度忽略不计），如图所示，已知AB⊥AC，AB=AC=AD=60（单位：米），要求圆M1与AB、AD分别相切于点B、D，圆M2与AC、AD分别相切于点C、D；（1）若∠BAD=60°，求圆M1、M2的半径（结果精确到0.1米）（2）若观景步道M1与M2的造价分别为每米0.8千元与每米0.9千元，如何设计圆M1、M2的大小，使总造价最低？最低总造价是多少？（结果精确到0.1千元）解：（1）M1半径=60tan30°≈34.6，M2半径=60tan15°≈16.1；（2）设∠BAD=2α，则总造价y=0.8•2π•60tanα+0.9•2π•60tan（45°﹣α），设1+tanα=x，则y=12π•（8x+﹣17）≥84π，当且仅当x=，tanα=时，取等号，∴M1半径30，M2半径20，造价42.0千元．20．（12分）已知双曲线（b＞0），直线l：y=kx+m（km≠0），l与Γ交于P、Q两点，P'为P关于y轴的对称点，直线P'Q与y轴交于点N（0，n）；（1）若点（2，0）是Γ的一个焦点，求Γ的渐近线方程；（2）若b=1，点P的坐标为（﹣1，0），且，求k的值；（3）若m=2，求n关于b的表达式．解：（1）∵双曲线（b＞0），点（2，0）是Γ的一个焦点，∴c=2，a=1，∴b2=c2﹣a2=4﹣1=3，∴Γ的标准方程为： =1，Γ的渐近线方程为．（2）∵b=1，∴双曲线Γ为：x2﹣y2=1，P（﹣1，0），P′（1，0），∵=，设Q（x2，y2），则有定比分点坐标公式，得：，解得，∵，∴，∴=．（3）设P（x1，y1），Q（x2，y2），k PQ=k0，则，由，得（b2﹣k2）x2﹣4kx﹣4﹣b2=0，，，由，得（）x2﹣2k0nx﹣n2﹣b2=0，﹣x1+x2=，﹣x1x2=，∴x1x2==，即，即=，====，化简，得2n2+n（4+b2）+2b2=0，∴n=﹣2或n=，当n=﹣2，由=，得2b2=k2+k02，由，得，即Q（，），代入x2﹣=1，化简，得：，解得b2=4或b2=kk0，当b2=4时，满足n=，当b2=kk0时，由2b2=k2+k02，得k=k0（舍去），综上，得n=．21．（12分）已知函数f（x）=log2；（1）解方程f（x）=1；（2）设x∈（﹣1，1），a∈（1，+∞），证明：∈（﹣1，1），且f（）﹣f（x）=﹣f（）；（3）设数列{x n}中，x1∈（﹣1，1），x n+1=（﹣1）n+1，n∈N*，求x1的取值范围，使得x 3≥x n 对任意n∈N *成立．解：（1）∵f（x ）=log 2=1，∴=2，解得；（2）令g （x ）=， ax a a x g --+-=21)(∵a∈（1，+∞），∴g（x ）在（﹣1，1）上是增函数，又g （﹣1）=，g （1）==1，∴﹣1＜g （x ）＜1，即∈（﹣1，1）．∵f（x ）﹣f（）=log 2﹣log 2=log 2﹣log 2=log 2（）=log 2，f （）=log 2=log 2．∴f（）=f （x ）﹣f（），∴f（）﹣f（x ）=﹣f（）．（3）∵f（x ）的定义域为（﹣1，1），f （﹣x）=log 2=﹣log 2=﹣f（x ），∴f（x ）是奇函数．∵x n+1=（﹣1）n+1，∴x n+1=．①当n 为奇数时，f （x n+1）=f （）=f （x n ）﹣f（）=f （x n ）﹣1，∴f（x n+1）=f （x n ）﹣1；②当n 为偶数时，f （x n+1）=f （﹣）=﹣f（）=1﹣f（x n ），∴f（x n+1）=1﹣f（x n ）．∴f（x 2）=f （x 1）﹣1，f （x 3）=1﹣f（x 2）=2﹣f（x 1），f （x 4）=f （x 3）﹣1=1﹣f（x 1），f （x 5）=1﹣f（x 4）=f （x 1），f （x 6）=f （x 5）﹣1=f（x 1）﹣1，…∴f（x n ）=f （x n+4），n∈N +．设12111)(---=-+=x x x x h ∴h（x ）在（﹣1，1）上是增函数，∴f（x ）=log 2=log 2h （x ）在（﹣1，1）上是增函数．∵x 3≥x n 对任意n∈N *成立，∴f（x 3）≥f（x n ）恒成立，∴，即，解得：f （x 1）≤1，即log 2≤1，∴0＜≤2，解得：﹣1＜x 1≤．。