数学专题复习：导数
一、导数的定义及运用 f(x)=()()
lim
x x
f x x f x x
→∆+∆-∆
例1．设函数f(x)在0x 处可导，则x
x f x x f x ∆-∆-→∆)
()(lim
000
等于 （ ）
A ．)('0x f
B ．)('0x f -
C ．)('0x f --
D ．)(0x f -- 二、导数与切线： y=f(x)上一点M （x 0,y 0）处的切线
（1）斜率k=f /
(x 0) (2) y 0=f(x 0) (3) M （x 0,y 0）在切线上
例2．（理）设x
x x f 1
)(-
=，则它与x 轴交点处的切线的方程为______________。 （文）P 是抛物线2
x y =上的点，若过点P 的切线方程与直线12
1+-=x y 垂直，
则过P 点处的切线方程是____________。 三、导数与单调性、极值
(1).k=()f x '>0对应的区间为f(x)的单调增区间； （2）.k=()f x '<0对应的区间为f(x)的单调减区间； (3).k=()f x '=0解得的x=x 0可能是极值
例3．((理)函数y=x-sinx,,2x ππ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
的最大值是( C ) A.π-1 B.
2
π
-1 C. π D. π+1 (文). a ax x y ++=3
为R 上为增函数,则a 的取值范围为_________ ),0[∞+∈a 例4.f(x)=3
2
332x x x +++是否有极值?
例5．已知函数)(x f y =，其导函数)(x f y '=的图象如右图，
则)(x f y =：( C )
A ．在(-∞，0)上为减函数
B ．在x=0处取得最大值
C ．在（4，+∞）上为减函数
D ．在x=2处取得最小值
[思路分析]：由导函数的性质知，)(,0)(x f x f >'递增，)(,0)(x f x f <'递减。从图像上知，当x>4时，0)(<'x f ，∴)(x f 在（4，+∞）上递减。
[命题分析]：考查导数的性质，函数的极值与最值，及观察图像的能力
例6．函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，
导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（ A ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ． 4个
四.含参数的导数问题
(一).利用极值时0()0f x '=及(2) y 0=f(x 0)往往可以求出参数
例7.已知函数32()f x ax bx cx =++在点0x 处取得极大值5，其导函数'()y f x =的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示.求：
（Ⅰ）0x 的值； （Ⅱ）,,a b c 的值.
（Ⅰ）0x =1; （Ⅱ）2,9,12a b c ==-=.
例8.已知函数f （x ）＝x 3
＋ax 2
＋bx ＋c 在x ＝－
2
3
与x ＝1时都取得极值
（1） 求a 、b 的值与函数f （x ）的单调区间
（2） 若对x ∈〔－1，2〕，不等式f （x ）恒成立，求c 的取值范围。
解：（1）f （x ）＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，f '（x ）＝3x 2
＋2ax ＋b
由f '（23－
）＝124
a b 093
－＋＝，f '（1）＝3＋2a ＋b ＝0得 a ＝12
－，b ＝－2
f '2
所以函数f （x ）的递增区间是（－∞，－3
）与（1，＋∞） 递减区间是（－
2
3，1） （2）f （x ）＝x 3－12x 2－2x ＋c ，x ∈〔－1，2〕，当x ＝－23时，f （x ）＝22
27
＋c
为极大值，而f （2）＝2＋c ，则f （2）＝2＋c 为最大值。 要使f （x ）>f （2）＝2＋c 解得c <－1或c >2
(二).根据单调性求参数范围或分类讨论参数来判断单调 区间或极值
例9. 已知函数 y=x 3
+ax 2
+bx 在[0，2]上为单调递增，在[2，3]上单调递减，b 的范围_____________
例10．已知函数()θθcos 16
3
cos 342
3
+
-=x x x f ，其中θ,R x ∈为参数，且πθ20≤≤． （1）当时0cos =θ，判断函数()x f 是否有极值；
（2）要使函数()x f 的极小值大于零，求参数θ的取值范围； 无极值；311(
,)(,)6226
ππ
ππ 例11. 已知向量b a x f t x b x x a ⋅=-=+=)(),,1(),1,(2若函数在区间（－1，1）上是增函数，求t 的取值范围.
解：依定义
,)1()1()(232t tx x x x t x x x f +++-=++-=
.23)(2t x x x f ++-='则
.0)()1,1(,)1,1()(≥'--x f x f 上可设则在上是增函数在若
,23)(,)1,1(,230)(22x x x g x x t x f -=--≥⇔≥'∴考虑函数上恒成立在区间
故要使x x t
232-≥在区间（－1，1）上恒成立⇔.5),1(≥-≥t g t 即
(三)导论极值及根的存在情况 例12.（1）求函数y =x 3
-3ax +2(a >0) 的极值.
（2）研究方程x 3
-3ax +2=0 (a >0) 何时有三个不同的实根？何时有唯一的根
练习题：
1．函数f(x)=x 4
-x 在点P 处的切线平行于直线3x-y=0,则点P 的坐标为（ D ） A. (1,3) B. (1,-3) C.17,216⎛⎫
-
⎪⎝⎭
D.(1,0) 2.(理)函数f(x)=x-e x
在点P 处的切线平行于x 轴，则点P 的坐标为（ D ） A. (1.1-e) B.(1,e) C.(0,e) D.(0,-1)
3.若f(x)=x 3+3ax 2
+3(a+2)x+1既有极大值又有极小值，则a 的取值范围是（C ） A.2a ≥或1a ≤- B.12a -≤≤ C.a>2或a<-1 D.1a ≤-
