北师大版高一数学必修2模块试题及答案

高一数学必修二模块考试题命题人：高一年级组 侯雪慧参考公式： 球的表面积公式S 球24R π=，其中R 是球半径．锥体的体积公式V锥体13Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．台体的体积V台体1()3h S S '=，其中,S S '分别是台体上、下底面的面积，h 是台体的高．球的体积公式V 球343R π=，其中R 是球半径．一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、 图（1）是由哪个平面图形旋转得到的 （ ）A B C D2．若a ，b 是异面直线，直线c ∥a ，则c 与b 的位置关系是（ ）A ． 相交B ． 异面C ． 平行D ．异面或相交 3．在正方体1111ABCD A B C D -中，下列几种说法正确的是 （ ）A 、11AC AD ⊥B 、11DC AB ⊥ C 、1AC 与DC 成45o 角D 、11AC 与1B C 成60o 角4．正三棱锥的底面边长为6，高为3，则这个三棱锥的全面积为（ ） A.39 B.183 C.9(3+6) D. 65．如果两个球的体积之比为8:27,那么两个球的表面积之比为( )A.8:27B. 2:3C.4:9D. 2:9 6、有一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位cm ），则该几何体的表面积及体积为：（ ）A.24πcm 2，12πcm 3B.15πcm 2，12πcm 3C.24πcm 2，36πcm 3D.以上都不正确7一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为２ｃｍ，则球的表面积是（ ） Ａ、８Лｃｍ２ Ｂ、１２Лｃｍ２ Ｃ、１６Лｃｍ２ Ｄ、２０Лｃｍ２8、已知在四面体ABCD 中，E 、F 分别是AC 、BD 的中点，若CD=2AB=4，EF AB ，则EF 与CD 所成的角为（ ）Ａ、９００ Ｂ、４５０ Ｃ、６００ Ｄ、３００9、一个棱柱是正四棱柱的条件是 （ ） A 、底面是正方形，有两个侧面是矩形 B 、底面是正方形，有两个侧面垂直于底面 C 、底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直 D 、每个侧面都是全等矩形的四棱柱 10.下列四个命题① 垂直于同一条直线的两条直线相互平行； ② 垂直于同一个平面的两条直线相互平行； ③ 垂直于同一条直线的两个平面相互平行；④ 垂直于同一个平面的两个平面相互垂直. 其中错误．．的命题有 （ ） A. 1个 B. 2个 C. 3 个 D. 4个11．已知各面均为等边三角形的四面体的棱长为2，则它的表面积是（ ） A. 3 B. 23 C. 43 D. 8312．在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体,则截去8个三棱锥后,剩下的凸多面体的体积是 （ ）A 、23B 、76C 、45D 、56二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）651．长方体的共顶点的三个侧面面积分别为3，5，15，则它的体积为_______________.2.如图：四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，其他四个侧面都是侧棱长为5的等腰三角形，则二面角V-AB-C的平面角为度⊥，平行则四边形3. 已知PA垂直平行四边形ABCD所在平面，若PC BDABCD一定是 .4．有下列命题：（m，n是两条直线，α是平面）○1若m║α，n║α，则m║n ○2若m║n ，n║α，则m║α○3若 m║α则m平行于α内所有直线○4若m平行于α内无数直线，则m║α以上正确的有个三、解答题（共66分）1、将圆心角为1200，面积为3π的扇形，作为圆锥的侧面，求圆锥的表面积和体积.2．如图，在四边形ABCD中，，，，，AD=2，求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积.3.作图（不要求写出作法，请保留作图痕迹）（１）画出下图几何体的三视图（尺寸自定）；（7分）（２）画出一个底面直径为４ｃｍ，高为２ｃｍ的圆锥的直观图（6分）4、空间四边形ＡＢＣＤ中，Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈ分别是ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、ＤＡ的中点，且ＡＣ＝ＢＤ，判断四边形ＥＦＧＨ的形状，并加以证明。

北师大版必修2 模块综合测评卷一、选择题（60分）1、直线0333=-+y x 的倾斜角为（ ）A 、-30°B 、30°C 、120°D 、150°2、已知直线l 过点P （-1，3），圆C ：422=+y x ，则直线l 与圆C 的位置关系是（ ）。

A 、相切B 、相交C 、相切或相交D 、相离3、有以下四种说法：①棱台的两条不相邻的侧棱延长后相交于一点；②四条侧棱长都相等的棱台，一定是正四棱台；③棱台的高可以和它的某一条侧棱长相等；④有两个面是相互平行的相似多边形，其余各面都是梯形的多面体一定是棱台。

其中错误说法的个数为（ ）。

A 、1B 、2C 、3D 、44、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A 、10B 、6C 、12D 、85、若点P （2，-1）为圆()25122=+-y x 的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是（ ） A 、x-y-3=0 B 、2x+y-3=0 C 、x+y-1=0 D 、2x-y-5=06、已知直线1l ：y=kx 和2l ：x+ky-2=0相交于点P ，则点P 的轨迹方程是（ ）。

A 、122=+y xB 、()1122=+-y x C 、)0(122≠=+x y x D 、()()01122≠=+-x y x 7、表面积为π16的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若△ABC 是边长为3的等边三角形，则三棱锥D-ABC 体积的最大值为（ ）。

A 、439B 、239 C 、39 D 、3188、设βα,是两个平面，a ，b ，c 是三条直线，则下列说法正确的是（ ）①若a//b ，a//c ，则b//c ；②若a ⊥α，b ⊥α，则a//b ；③若a ⊥α，a ⊥β，则α//β；④若α⊥β，b =βα ，α⊆a ，a ⊥b ，则a ⊥β。

A 、①③B 、②③④C 、①②④D 、①②③④9、三棱锥P-ABC 中，PC ⊥平面ABC ，且AB=BC=CA=PC=2，则该三棱锥的外接球的表面积是（ ）。

高一年级数学学科必修2模块试题命题人：宝鸡市斗鸡中学 谌晓敏卷面满分为100分 考试时间90分钟一：选择题（本题共10小题，每题4分，共40分） 1．下图是由哪个平面图形旋转得到的（ ）ABCD2．下列四个结论：⑴两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行。

⑵两条直线没有公共点，则这两条直线平行。

⑶两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行。

⑷一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行。

其中正确的个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．33．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在 同一球面上，则这个球的表面积是（ ）A ．25πB ．50πC ．125πD ．都不对4．设直线0ax by c ++=的倾斜角为α，且sin cos 0αα+=， 则,a b 满足（ ） A ．1=+b a B ．1=-b a C ．0=+b aD ．0=-b a5．已知0,0ab bc <<，则直线ax by c +=通过（ ） A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限6．圆22(2)5x y ++=关于原点(0,0)P 对称的圆的方程为（ ）A ．22(2)5x y -+=B ．22(2)5x y +-=C ．22(2)(2)5x y +++=D ．22(2)5x y ++= 7.在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有（ ） A.4个 B.2个 C.3个 D.1个8.如果底面直径和高相等的圆柱的侧面积是S,那么圆柱的体积等于（ ）A.S 2S B.πS 2S C.S 4S D.πS 4S 9.三棱锥A-BCD 中，AC ⊥BD ，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，则四边形EFGH 是（ ）A.菱形B.矩形C.梯形D.正方形10.已知圆锥的全面积是底面积的3倍,那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为（ ） A.1200B.1500C.1800D.2400二：填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分） 11.如图是一个长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1截去一个角后的多面体的三视图，在这个多面体中，AB=4,BC=6,CC 1=3.则这个多面体的体积为.12.光线自点M （2，3）射到N （1，0）后被x 轴反射，则反射光线所在的直线方程为______13．若三个球的表面积之比是1:2:3，则它们的体积之比是_____________14．若经过点(1,0)P -的直线与圆032422=+-++y x y x 相切，则此直线在y 轴上的截距是______________.三：解答题（本题共4小题，每题10分，共 40分）15.将圆心角为0120，面积为3π的扇形，作为圆锥的侧面，求圆锥的表面积和体积16.求经过直线0323:,0532:21=--=-+y x l y x l 的交点且平行于直线032=-+y x 的直线方程。

C .2＋22 D ．1＋ 2解析：由题意得原平面图形是一个上底为1，下底为1＋2，高为2的直角梯形，∴它的面积S ＝1＋(1＋2)2×2＝2＋2，故选A . 答案：A4．长方体的一个顶点处的三条棱长之比为123，全面积为88，则它的对角线长为( )A .14B ．214C ．213D .13解析：设长方体的三条棱长分别为k,2k,3k ，则它的全面积S ＝2(2k 2＋3k 2＋6k 2)＝88，所以k 2＝4，所以对角线的长为14k 2＝214.答案：B5．设点P(a ，b ，c)关于原点对称的点为P ′，则|PP ′|＝( ) A .a 2＋b 2＋c 2 B ．2a 2＋b 2＋c 2 C ．|a ＋b ＋c| D ．2|a ＋b ＋c|解析：P(a ，b ，c)关于原点对称的点为P ′(－a ，－b ，－c)，则|PP ′|＝[a －(－a )2]＋[b －(－b )]2＋[c －(－c )]2＝2a 2＋b 2＋c 2.答案：B6．一正四面体木块如图所示，若P 是棱V A 的中点，过点P 将木块锯开，使截面平行于棱VB 和AC ，若木块的棱长为a ，则截面面积为( )A .a 22B .a 23 C .a 24 D .a 25解析：过P 的截面为正方形，边长为a 2，所以面积为a 24. 答案：C7．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，与AD 1垂直的平面是( ) A ．平面DD 1C 1C B ．平面A 1DCB 1 C ．平面A 1B 1C 1D 1 D ．平面A 1DB解析：连接A1D、B1C，如图．由ABCD－A1B1C1D1为正方体可知，AD1⊥A1B1，AD1⊥A1D，又A1B1∩A1D＝A1，故AD1⊥平面A1DCB1.答案：B8．如图所示，定圆半径为a，圆心为(b，c)，则直线ax＋by＋c ＝0与直线x－y＋1＝0的交点在()A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限解析：解方程组⎩⎨⎧ax＋by＋c＝0，x－y＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x＝－b＋ca＋b，y＝a－ca＋b.由题意，知a>0，b<0，c>0，a<－b，a>c，－b>c，所以x＝－b＋ca＋b<0，y＝a－ca＋b <0.故交点在第三象限．答案：B9．设α表示平面，a、b表示两条不同的直线，给定下列四个命题：①若a∥α，a⊥b，则b⊥α②若a∥b，a⊥α，则b⊥α③若a⊥α，a⊥b，则b∥α④若a⊥α，b⊥α，则a∥b.其中为假命题的是()A．①③B．②③C．②④D．①③④解析：①中b还可能平行于α或与α斜交；③中b还可能在α内；②④是真命题．故选A.答案：A10．已知点P(x ，y)满足(x ＋2)2＋y 2＝1，则yx 的取值范围是( ) A .⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33B ．[－3，3]C ．(－∞，－3]∪[3，＋∞)D .⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－33∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，＋∞解析：(x ＋2)2＋y 2＝1表示圆心为(－2,0)，半径为1的圆，过点(0,0)和P(x ，y)的直线的斜率为yx .如图，可知这样的直线的倾斜角的范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π6，π.故y x 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33.答案：A11．半径为6的圆与x 轴相切，且与圆x 2＋(y －3)2＝1内切，则此圆的方程为( )A ．(x －4)2＋(y －6)2＝6B ．(x±4)2＋(y －6)2＝6C ．(x －4)2＋(y －6)2＝36D ．(x±4)2＋(y －6)2＝36解析：由题意知，半径为6的圆与x 轴相切，且圆心在x 轴上方． 设所求圆的圆心坐标为(a ，b)， 则b ＝6， 再由a 2＋32＝5，可以解得a ＝±4，故所求圆的方程为(x±4)2＋(y －6)2＝36.故选D . 答案：D12．若直线y ＝kx －1与曲线y ＝－1－(x －2)2有公共点，则k 的取值范围是( )A .⎝ ⎛⎦⎥⎤0，43B .⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，43C .⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 D ．[0,1]解析：曲线y ＝－1－(x －2)2表示的图形是一个半圆，直线y＝kx －1过定点(0，－1)，在同一坐标系中画出直线和半圆的草图，由图可知，k 的取值范围是[0,1]，故选D .答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．如下图所示，Rt △A ′B ′C ′为水平放置的△ABC 的直观图，其中A ′C ′⊥B ′C ′，B ′O ′＝O ′C ′＝1，则△ABC 的面积为________．解析：由直观图画法规则将△A ′B ′C ′还原为△ABC ，如图所示，则有BO ＝OC ＝1，AO ＝2 2.故S △ABC ＝12BC·AO ＝12×2×22＝2 2.答案：2 214．已知点P(0，－1)，点Q 在直线x －y ＋1＝0上，若直线PQ 垂直于直线x ＋2y －5＝0，则点Q 的坐标是________．解析：设Q(x 0，y 0)，因为点Q 在直线x －y ＋1＝0上，所以x 0－y 0＋1＝0①又直线x ＋2y －5＝0的斜率k ＝－12，直线PQ 的斜率k PQ ＝y 0＋1x 0，所以由直线PQ 垂直于直线x ＋2y －5＝0，得y 0＋1x 0·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1② 由①②解得x 0＝2，y 0＝3，即点Q 的坐标是(2,3)．答案：(2,3)15．直线y ＝2x ＋3被圆x 2＋y 2－6x －8y ＝0所截得的弦长等于________．解析：先求弦心距，再求弦长． 圆的方程可化为(x －3)2＋(y －4)2＝25， 故圆心为(3,4)，半径r ＝5. 又直线方程为2x －y ＋3＝0，所以圆心到直线的距离为d ＝|2×3－4＋3|4＋1＝5，所以弦长为2r 2－d 2＝2×25－5＝220＝4 5.答案：4 516．已知正四棱锥O －ABCD 的体积为322，底面边长为3，则以O 为球心，OA 为半径的球的表面积为________．解析：本题先求出正四棱锥的高h ，然后求出侧棱的长，再运用球的表面积公式求解．∵V 四棱锥O －ABCD ＝13×3×3h ＝322，∴h ＝322，∴OA 2＝h 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫AC 22＝184＋64＝6，∴S 球＝4πOA 2＝24π.答案：24π三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)一几何体按比例绘制的三视图如图(单位：m )：(1)试画出它的直观图； (2)求它的表面积和体积． 解析：(1)直观图如图①.(2)解法一：由三视图可知该几何体是由长方体截去一个角而得到的，且该几何体的体积是以A 1A 、A 1D 1，A 1B 1为棱的长方体的体积的34，在直角梯形AA 1B 1B 中，作BE ⊥A 1B 1于E ，如图②，则四边形AA 1EB 是正方形， ∴AA 1＝BE ＝1 m .在Rt △BEB 1中，BE ＝1 m ，EB 1＝1 m ， ∴BB 1＝ 2 m .∴几何体的表面积S ＝S 正方形AA 1D 1D ＋2S 梯形AA 1B 1B ＋S矩形BB 1C 1C ＋S 正方形ABCD ＋S 矩形A 1B 1C 1D 1＝1＋2×12×(1＋2)×1＋1×2＋1＋1×2＝(7＋2) m 2，几何体的体积V ＝34×1×2×1＝32 m 3.∴该几何体的表面积为(7＋2) m 2，体积为32 m 3.解法二：该几何体可看成以四边形AA 1B 1B 为底面的直四棱柱，其表面积求法同解法一，V 直四棱柱D 1C 1CD －A 1B 1BA ＝Sh ＝12×(1＋2)×1×1＝32 m 3.∴该几何体的表面积为(7＋2) m 2，体积为32 m 3. 18．(12分)(2017·福建八县一中联考)已知直线l ：kx －y ＋1－2k ＝0(k ∈R )．(1)证明：直线l 过定点；(2)若直线l 交x 轴正半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，且|OA |＝|OB |，求k 的值．解析：(1)有两种证法．证法一：直线l 的方程可化为y －1＝k (x －2)， 故无论k 取何值，直线l 总过定点(2,1)． 证法二：设直线过定点(x 0，y 0)，则kx 0－y 0＋1－2k ＝0对任意k ∈R 恒成立， 即(x 0－2)k －y 0＋1＝0恒成立，所以⎩⎨⎧x 0－2＝0，－y 0＋1＝0，解得x 0＝2，y 0＝1，故直线l 总过定点(2,1)． (2)因为直线l 的方程为y ＝kx －2k ＋1，则直线l 在y 轴上的截距为1－2k ，在x 轴上的截距为2－1k ， 依题意1－2k ＝2－1k >0，解得k ＝－1或k ＝12(经检验，不合题意)， 所以所求k ＝－1. 19．(12分)(2017·保定高一检测)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，点D 是AB 的中点．求证：(1)AC ⊥BC 1.(2)AC 1∥平面B 1CD .证明：(1)在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CC 1⊥平面ABC ， 所以CC 1⊥AC ，又AC ⊥BC ，BC ∩CC 1＝C ， 所以AC ⊥平面BCC 1B 1， BC 1⊂平面BCC 1B 1 所以AC ⊥BC 1.(2)设BC 1与B 1C 的交点为O ，连接OD ，因为BCC 1B 1为平行四边形，所以O 为B 1C 的中点， 又D 是AB 的中点，所以OD是△ABC1的中位线，OD∥AC1，又因为AC1⊄平面B1CD，OD⊂平面B1CD，所以AC1∥平面B1CD.20．(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，P A⊥平面ABCD，M，N分别是AB，PC的中点，P A＝AD.(1)求证：MN∥平面P AD；(2)求证：平面PMC⊥平面PCD.证明：(1)如图，取PD的中点E，连接EN，AE.∵N是PC的中点，∴EN綊12DC，又∵AM綊12DC，∴EN綊AM，∴四边形AENM是平行四边形，∴AE∥MN.又∵AE平面P AD，MN 平面P AD，∴MN∥平面P AD.(2)∵P A＝AD，E是PD的中点，∴AE⊥PD.∵P A⊥平面ABCD，∴P A⊥CD.又AD⊥CD，P A∩AD＝A，∴CD⊥平面P AD.AE平面MN平面∴圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.。

模块综合测评(满分：150分 时间：120分钟)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知向量a ＝(cos 75°，sin 75°)，b ＝(cos 15°，sin 15°)，则|a －b |的值为( )A ．12B ．1C ．2D ．3B [如图，将向量a ，b 的起点都移到原点，即a ＝OA →，b ＝OB →，则|a －b |＝|BA →|且∠xOA ＝75°，∠xOB ＝15°，于是∠AOB ＝60°，又因为|a |＝|b |＝1，则△AOB 为正三角形，从而|BA →|＝|a －b |＝1.]2．函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－3x ＋3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－3x 的最小正周期为( )A ．2π3B ．π3C ．8D ．4A [y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－3x ＋3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－3x＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12－3x ，所以T ＝2π|－3|＝2π3.]3．已知cos (α＋β)＝13，cos (α－β)＝15，则tan αtan β等于( )A ．14B ．－14C ．16D ．－16B[因为cos (α＋β)＝13，cos (α－β)＝15，所以⎩⎪⎨⎪⎧cos αcos β－sin αsin β＝13，cos αcos β＋sin αsin β＝15，解得⎩⎪⎨⎪⎧cos αcos β＝415，sin αsin β＝－115，所以tan αtan β＝sin αsin βcos αcos β＝－14.]4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若B ＝π2，a ＝6，sin 2B ＝2sin A sin C ，则△ABC 的面积S ＝( )A ．32B ．3C ． 6D ．6B [由sin 2B ＝2sin A sinC 及正弦定理，得b 2＝2ac ，① 又B ＝π2，所以a 2＋c 2＝b 2.②联立①②解得a ＝c ＝6，所以S ＝12×6×6＝3.]5．已知|p |＝22，|q |＝3，p ，q 的夹角为π4，如图，若AB →＝5p ＋2q ，AC →＝p －3q ，D 为BC 的中点，则|AD →|为( )A ．152B ．152C ．7D ．18A [∵AD →＝12(AC →＋AB →)＝12(6p －q )，∴|AD →|＝|AD →|2＝12（6p －q ）2＝1236p 2－12p ·q ＋q 2 ＝1236×（22）2－12×22×3×cos π4＋32＝152.]6．若直线l 1和l 2是异面直线，l 1在平面α内，l 2在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是( )A ．l 与l 1，l 2都不相交B ．l 与l 1，l 2都相交C ．l 至多与l 1，l 2中的一条相交D ．l 至少与l 1，l 2中的一条相交D [法一：由于l 与直线l 1，l 2分别共面，故直线l 与l 1，l 2要么都不相交，要么至少与l 1，l 2中的一条相交．若l ∥l 1，l ∥l 2，则l 1∥l 2，这与l 1，l 2是异面直线矛盾．故l 至少与l 1，l 2中的一条相交．法二：如图1，l 1与l 2是异面直线，l 1与l 平行，l 2与l 相交，故A ，B 不正确；如图2，l 1与l 2是异面直线，l 1，l 2都与l 相交，故C 不正确．]图1 图27．如图，在圆O 中，若弦AB ＝3，弦AC ＝5，则AO →·BC →的值是( )A ．－8B ．－1C ．1D ．8D [取BC 的中点D ，连接AD ，OD (图略)，则有OD ⊥BC .∵AD →＝12(AB →＋AC →)，AO →＝AD →＋DO →，BC →＝AC →－AB →，∴AO →·BC →＝(AD →＋DO →)·BC →＝AD →·BC →＋DO →·BC →＝AD →·BC →＝12(AB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝12(AC →2－AB →2)＝12(52－32)＝8，故选D.]8．函数y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4[cos (x ＋π4)－sin (x ＋π4)]在一个周期内的图象是( )A BC DB [y ＝(22cos x －22sin x ＋22sin x ＋22cos x )·(22cos x －22sin x －22sinx －22cos x )＝2cos x ·(－2sin x )＝－2sin x cos x ＝－sin 2x ，故选B.]二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分．9．已知复数z ＝i1－2i ，则以下说法正确的是( )A ．复数z 的虚部为i5B ．z 的共轭复数z －＝25－i5C ．|z |＝55D ．在复平面内与z 对应的点在第二象限CD [∵z ＝i 1－2i ＝i （1＋2i ）（1－2i ）（1＋2i ）＝－25＋15i ，∴复数z 的虚部为15，z 的共轭复数z －＝－25－i 5，|z |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－252＋⎝ ⎛⎭⎪⎫152＝55，复平面内与z 对应的点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－25，15，在第二象限．故选CD.]10．已知A ，B ，C 表示不同的点，l 表示直线，α，β表示不同的平面，则下列推理正确的是( )A ．A ∈l ，A ∈α，B ∈l ，B ∈α⇒l ⊂αB ．A ∈α，A ∈β，B ∈α，B ∈β⇒α∩β＝ABC ．l ⊄α，A ∈l ⇒A ∉αD ．A ∈α，A ∈l ，l ⊄α⇒l ∩α＝AABD [对于选项A ：由基本事实2知，l ⊂α，故选项A 正确；对于选项B ：因为α，β表示不同的平面，由基本事实3知，平面α，β相交，且α∩β＝AB ，故选项B 正确；对于选项C ：l ⊄α分两种情况：l 与α相交或l ∥α.当l 与α相交时，若交点为A ，则A ∈α，故选项C 错误；对于选项D ：由基本事实2逆推可得结论成立，故选项D 成立；故选ABD.] 11．已知函数f ()x ＝2cos 22x －2，下列命题中的真命题有( ) A ．∃β∈R ，f ()x ＋β为奇函数B ．∃α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，3π4，f ()x ＝f ()x ＋2α对x ∈R 恒成立C ．∀x 1，x 2∈R ，若||f ()x 1－f ()x 2＝2，则||x 1－x 2的最小值为π4D ．∀x 1，x 2∈R ，若f ()x 1＝f ()x 2＝0，则x 1－x 2＝k π()k ∈Z BC [由题意f ()x ＝2cos 22x －2＝cos4x －1； ∵f ()x ＝cos 4x －1的图象如图所示；函数f ()x ＋β的图象是f ()x 的图象向左或向右平移||β个单位， 它不会是奇函数的，故A 错误；若 f ()x ＝f ()x ＋2α，∴cos 4x －1＝cos ()4x ＋8α－1，∴8α＝2k π，∴α＝k π4，k ∈Z ；又∃α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，3π4，∴取α＝π4或π2时，f ()x ＝f ()x ＋2α对x ∈R 恒成立，故B 正确；||f ()x 1－f ()x 2＝||cos 4x 1－cos 4x 2＝2时，||x 1－x 2的最小值为T2＝2π2×4＝π4，故C 正确；当f ()x 1＝f ()x 2＝0时， x 1－x 2＝kT ＝k ·2π4＝k π2()k ∈Z ，故D 错误；故选BC.]12．如图，在四棱锥P ­ABCD 中，PC ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 是直角梯形，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB ＝2AD ＝2CD ＝2，F 是AB 的中点，E 是PB 上的一点，则下列说法正确的是( )A ．若PB ＝2PE ，则EF ∥平面PACB ．若PB ＝2PE ，则四棱锥P ­ABCD 的体积是三棱锥E ­ACB 体积的6倍C ．三棱锥P ­ADC 中有且只有三个面是直角三角形D ．平面BCP ⊥平面ACEAD [对于选项A ，因为PB ＝2PE ，所以E 是PB 的中点， 因为F 是AB 的中点，所以EF ∥PA ，因为PA ⊂平面PAC ，EF ⊄平面PAC ，所以EF ∥平面PAC ，故A 正确； 对于选项B ，因为PB ＝2PE ，所以V P ­ABCD ＝2V E ­ABCD ， 因为AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB ＝2AD ＝2CD ＝2，所以梯形ABCD 的面积为12()CD ＋AB ·AD ＝12×()1＋2×1＝32，S △ABC ＝12AB ·AD ＝12×2×1＝1，所以V E ­ABCD ＝32V E ­ABC ，所以V P ­ABCD ＝3V E ­ABC ，故B 错误；对于选项C ，因为PC ⊥底面ABCD ，所以PC ⊥AC ，PC ⊥CD ，所以△PAC ，△PCD 为直角三角形，又AB ∥CD ，AB ⊥AD ，所以AD ⊥CD ，则△ACD 为直角三角形， 所以PA 2＝PC 2＋AC 2＝PC 2＋AD 2＋CD 2，PD 2＝CD 2＋PC 2，则PA2＝PD2＋AD2，所以△PAD是直角三角形，故三棱锥P­ADC的四个面都是直角三角形，故C错误；对于选项D，因为PC⊥底面ABCD，所以PC⊥AC，在Rt△ACD中，AC＝AD2＋CD2＝2，在直角梯形ABCD中，BC＝AD2＋()AB－CD2＝2，所以AC2＋BC2＝AB2，则AC⊥BC，因为BC∩PC＝C，所以AC⊥平面BCP，因为AC⊂平面ACE，所以平面BCP⊥平面ACE，故D正确，故选AD.]三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．已知复数z满足(1＋2i)z＝－3＋4i，则|z|＝________．5 [∵(1＋2i)z＝－3＋4i，∴|1＋2i|·|z|＝|－3＋4i|，则|z|＝（－3）2＋4212＋22＝ 5.]14．设向量a＝(3，3)，b＝(1，－1).若(a＋λb)⊥(a－λb)，则实数λ＝________．±3 [因为a＋λb＝(3＋λ，3－λ)，a－λb＝(3－λ，3＋λ)，又(a＋λb)⊥(a －λb)，所以(a＋λb)·(a－λb)＝(3＋λ)·(3－λ)＋(3－λ)(3＋λ)＝0，解得λ＝±3.]15．如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于________．60°[如图，取A 1B1的中点M，连接GM，HM.由题意易知EF∥GM，且△GMH为正三角形．∴异面直线EF与GH所成的角即为GM与GH的夹角∠HGM.而在正三角形GMH中∠HGM＝60°.]16．关于函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，有下列说法：①y ＝f (x )的最大值为2；②y ＝f (x )是以π为最小正周期的周期函数；③y ＝f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π24，13π24上是减少的； ④将函数y ＝2cos 2x 的图象向左平移π24个单位长度后，将与已知函数的图象重合．其中正确说法的序号是________．①②③ [f (x )＝cos (2x －π3)＋cos (2x ＋π6)＝cos (2x －π3)＋cos [π2＋(2x －π3)] ＝cos (2x －π3)－sin (2x －π3)＝2cos (2x －π3＋π4)＝2cos (2x －π12)，所以①②③正确，④错误．]四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)设向量e 1，e 2的夹角为60°且|e 1|＝|e 2|＝1，如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1＋8e 2，CD →＝3(e 1－e 2).(1)证明：A ，B ，D 三点共线；(2)试确定实数k 的值，使k 的取值满足向量2e 1＋e 2与向量e 1＋k e 2垂直． [解] (1)证明：因为AB →＝e 1＋e 2，BD →＝BC →＋CD →＝5e 1＋5e 2，所以BD →＝5AB →，即AB →，BD →共线，又AB →，BD →有公共点B ，所以A ，B ，D 三点共线． (2)因为(2e 1＋e 2)⊥(e 1＋k e 2)，所以(2e 1＋e 2)·(e 1＋k e 2)＝0，2e 21＋2k e 1·e 2＋e 1·e 2＋k e 22＝0，即2＋k ＋12＋k ＝0，解得k ＝－54.18．(本小题满分12分)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且sin α2＋cos α2＝62.(1)求cos α的值；(2)若sin (α－β)＝－35，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求cos β的值．[解] (1)因为sin α2＋cos α2＝62，两边同时平方，得sin α＝12.又π2<α<π，所以cos α＝－32.(2)因为π2<α<π，π2<β<π，所以－π<－β<－π2，故－π2<α－β<π2.又sin (α－β)＝－35，所以cos (α－β)＝45.cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos (α－β)＋sin αsin (α－β) ＝－32×45＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－43＋310.19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝4tan x sin (π2－x )cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3.(1)求f (x )的定义域与最小正周期；(2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的单调性．[解] (1)f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠π2＋k π，k ∈Z .f (x )＝4tan x cos x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－3＝4sin x cos (x －π3)－3＝4sin x ⎝⎛⎭⎪⎪⎫12cos x ＋32sin x －3＝2sin x cos x ＋23sin 2x －3＝sin2x ＋3(1－cos 2x )－3＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)令z ＝2x －π3，则函数y ＝2sin z 的递增区间是[－π2＋2k π，π2＋2k π](k ∈Z ).由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π(k ∈Z )，得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π(k ∈Z ).设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，B ＝{x ⎪⎪⎪－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z }，易知A ∩B ＝[－π12，π4].所以当x ∈[－π4，π4]时，f (x )在区间[－π12，π4]上是递增的，在区间[－π4，－π12]上是递减的．20．(本小题满分12分)如图，在三棱锥S ­ABC 中，平面SAB ⊥平面SBC ，AB ⊥BC ，AS ＝AB .过A 作AF ⊥SB ，垂足为F ，点E ，G 分别是棱SA ，SC 的中点．求证：(1)平面EFG ∥平面ABC ； (2)BC ⊥SA .[证明] (1)因为AS ＝AB ，AF ⊥SB ，垂足为F ，所以F 是SB 的中点． 又因为E 是SA 的中点，所以EF ∥AB .因为EF ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以EF ∥平面ABC . 同理EG ∥平面ABC .又EF ∩EG ＝E ，所以平面EFG ∥平面ABC .(2)因为平面SAB ⊥平面SBC ，且交线为SB ，又AF ⊂平面SAB ，AF ⊥SB ，所以AF ⊥平面SBC .因为BC ⊂平面SBC ，所以AF ⊥BC .又因为AB ⊥BC ，AF ∩AB ＝A ，AF ⊂平面SAB ，AB ⊂平面SAB ，所以BC ⊥平面SAB . 因为SA ⊂平面SAB ，所以BC ⊥SA .21．(本小题满分12分)在平面四边形ABCD 中，∠ADC ＝90°，∠A ＝45°，AB ＝2，BD ＝5.(1)求cos ∠ADB ； (2)若DC ＝22，求BC .[解] (1)在△ABD 中，由正弦定理得BD sin A ＝ABsin ∠ADB ，由题设知，5sin 45°＝2sin ∠ADB ，所以sin ∠ADB ＝25.由题设知，∠ADB <90°，所以cos ∠ADB ＝1－225＝235.(2)由题设及(1)知，cos ∠BDC ＝sin ∠ADB ＝25.在△BCD 中，由余弦定理得BC 2＝BD 2＋DC 2－2BD ·DC ·cos ∠BDC ＝25＋8－2×5×22×25＝25，所以BC ＝5.22．(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，AC ＝BC ，AB ＝2A 1A ＝4，以AB ，BC 为邻边作平行四边形ABCD ，连接A 1D ，DC 1.(1)求证：DC 1∥平面A 1ABB 1； (2)若二面角A 1－DC －A 为45°； ①求证：平面A 1C 1D ⊥平面A 1AD ；②求直线AB 1与平面A 1AD 所成角的正切值．[解] (1)证明：连接AB 1，∵AD ∥BC ∥B 1C 1且AD ＝BC ＝B 1C 1， ∴四边形ADC 1B 1为平行四边形，∴AB 1∥DC 1，又∵AB 1⊂平面A 1ABB 1，DC 1⊄平面A 1ABB 1，∴DC 1∥平面A 1ABB 1. (2)①证明：取DC 的中点M ，连接A 1M ，AM .易知Rt △A 1AD ≌Rt △A 1AC ，∴A 1D ＝A 1C ，∴A 1M ⊥DC ，又AM ⊥DC ，∴∠A 1MA 为二面角A 1­DC ­A 的平面角，∴∠A 1MA ＝45°. ∴在Rt △A 1AM 中，AA 1＝AM ＝2，∴AD ＝AC ＝22， ∴AC 2＋AD 2＝DC 2，∴AC ⊥AD ，又∵AC ⊥AA 1，AD ∩AA 1＝A ， ∴AC ⊥平面A 1AD ，又∵AC ∥A 1C 1，∴A 1C 1⊥平面A 1AD . ∵A 1C 1⊂平面A 1C 1D ，∴平面A 1C 1D ⊥平面A 1AD . ②∵AB 1∥C 1D ，∴C 1D 与平面A 1AD 所成角与AB 1与平面A 1AD 所成角相等． 由①知C 1A 1⊥平面A 1AD ，∴A 1D 为C 1D 在平面A 1AD 内的射影， 故∠A 1DC 1为直线DC 1与平面A 1AD 所成角，在Rt △A 1DC 1中，tan ∠A 1DC 1＝A 1C 1A 1D ＝63，∴直线AB 1与平面A 1AD 所成角的正切值为63.。

模块综合测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设等差数列{a n }的公差为2,前n 项和为S n ,则下列结论正确的是()A.S n =na n -2n (n-1)B.S n =na n +2n (n-1)C.S n =na n -n (n-1)D.S n =na n +n (n-1)等差数列{a n }的公差为2,前n 项和为S n ,∴S n =na 1+n (n -1)2×2=na n -n (n-1).2.如图,直线l 是曲线y=f (x )在x=2处的切线,则f'(2)=()A.1B.2C.3D.4l 与曲线y=f (x )相切的切点为(2,3),直线l 经过点(0,1), 可得直线l 的斜率为k=3-12-0=1,由导数的几何意义可得f'(2)=k=1.3.已知函数f (x )=2x 3-6x 2-18x+1在区间(m ,m 2-2m )内单调递减,则实数m 的取值X 围是 ()A.(-3,0)B.[-1,0)C.(3,5)D.(5,7)f (x )=2x 3-6x 2-18x+1,∴f'(x )=6x 2-12x-18=6(x-3)(x+1),令f'(x )<0,则-1<x<3,即函数f (x )的单调递减区间为(-1,3).∵f (x )在区间(m ,m 2-2m )上单调递减,∴{m 2-2m >m ,m ≥-1,m 2-2m ≤3,解得-1≤m<0.∴实数m 的取值X 围是[-1,0).4.已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若a 1=-2 019,S 20192019−S20042004=15,则S 2 020=()A.2 020B.2 019C.0D.-2 020{a n}的公差为d,∵S20192019−S20042004=a1+20182d-a1+20032d=152d=15,∴d=2,∴S2020=2020×(-2019)+2020×20192×2=0.5.若a,b是函数f(x)=x2-px+q(p>0,q>0)的两个不同的零点,a,b,-2这三个数适当排序后可成等比数列,点(a,2b)在直线2x+y-10=0上,则p+q的值等于()A.6B.7C.8D.9a+b=p,ab=q,∵p>0,q>0,可得a>0,b>0,又a,b,-2这三个数适当排序后可成等比数列,∴ab=4.∵点(a,2b)在直线2x+y-10=0上,∴2a+2b-10=0,即a+b=5,∴p=5,q=4,∴p+q=9.6.已知函数f(x)的定义域为R,且f(2)=1,对任意x∈R,f(x)+xf'(x)<0,则不等式xf(x+1)>2-f(2)·f(x+1)的解集是()A.(-∞,1)B.(-∞,2)C.(1,+∞)D.(2,+∞)g(x)=xf(x),则g(2)=2f(2)=2,因为任意x∈R,f(x)+xf'(x)<0,所以g'(x)=f(x)+xf'(x)<0恒成立,即g(x)在R上单调递减,由xf(x+1)>2-f(2)·f(x+1)可得(x+1)f(x+1)>g(2),即g(x+1)>g(2),所以x+1<2,即x<1.7.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时,发现有这样的一列数:1,1,2,3,5,8,….该数列的特点是:前两个数均为1,从第三个数起,每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数所组成的数列{a n}称为“斐波那契数列”,则(a1a3-a22)+(a2a4-a32)+(a3a5-a42)+…+(a2 013a2 015-a20142)=()A.1B.0C.1 007D.-1 006a1a3-a22=1×2-1=1,a 2a 4-a 32=1×3-22=-1, a 3a 5-a 42=2×5-32=1.所以(a 1a 3-a 22)+(a 2a 4-a 32)+(a 3a 5-a 42)+…+(a 2013a 2015-a 20142)=1+(-1)+1+(-1)+…+1=1.8.已知在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若函数f (x )=13x 3+12bx 2+14(a 2+c 2-ac )x 存在极值,则角B 的取值X 围是() A.0,π3 B.π6,π3C.π3,π D.π6,πf (x )=13x 3+12bx 2+14(a 2+c 2-ac )x ,∴f'(x )=x 2+bx+14(a 2+c 2-ac ),∵f (x )存在极值,∴f'(x )=0有两个不相等的实数根, ∴Δ=b 2-4×14(a 2+c 2-ac )>0,即a 2+c 2-b 2<ac ,由余弦定理知,cos B=a 2+c 2-b 22ac<ac 2ac=12,∵B ∈(0,π),∴B ∈π3,π.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知等比数列{a n }的公比为q ,前4项的和为a 1+14,且a 2,a 3+1,a 4成等差数列,则q 的值可能为 ()A.1B.1C.2D.3a 2,a 3+1,a 4成等差数列,所以a 2+a 4=2(a 3+1),因此,a 1+a 2+a 3+a 4=a 1+3a 3+2=a 1+14, 故a 3=4.又{a n }是公比为q 的等比数列, 所以由a 2+a 4=2(a 3+1), 得a 3q+1q=2(a 3+1),即q+1q=52,解得q=2或12.10.已知定义在0,π2上的函数f (x ),f'(x )是f (x )的导函数,且恒有cos xf'(x )+sin xf (x )<0成立,则() A.fπ6>√2fπ4 B.√3f π6>fπ3C.fπ6>√3fπ3D.√2fπ6>√3fπ4解析根据题意,令g(x)=f(x)cosx ,x∈0,π2,则其导数g'(x)=f'(x)·cosx+sinx·f(x)cos2x,又由x∈0,π2,且恒有cos x·f'(x)+sin x·f(x)<0, 则有g'(x)<0,即函数g(x)为减函数,又由π6<π3,则有gπ6>gπ3,即f(π6)cosπ6>f(π3)cosπ3,分析可得fπ6>√3fπ3;又由π6<π4,则有gπ6>gπ4,即f(π6)cosπ6>f(π4)cosπ4,分析可得√2fπ6>√3fπ4.11.设正项等差数列{a n}满足(a1+a10)2=2a2a9+20,则()A.a2a9的最大值为10B.a2+a9的最大值为2√10C.1a22+1a92的最大值为15D.a24+a94的最小值为200正项等差数列{a n}满足(a1+a10)2=2a2a9+20=(a2+a9)2,∴a22+a92=20.①a2a9≤12(a22+a92)=10,当且仅当a2=a9=√10时,等号成立,故A选项正确.②∵a2+a922≤12(a22+a92)=10,∴a2+a92≤√10,a2+a9≤2√10,当且仅当a2=a9=√10时,等号成立,故B选项正确.③1a22+1a92=a22+a92a22a92=20a22a92≥20(a22+a922)2=20102=15,当且仅当a2=a9=√10时,等号成立,∴1a22+1a92的最小值为15,故C选项错误.④结合①的结论,有a24+a94=(a22+a92)2-2a22a92≥400-2×102=200,当且仅当a2=a9=√10时,等号成立,故D选项正确.12.关于函数f(x)=1x+ln x,下列说法正确的是()A.f(1)是f(x)的极小值B.函数y=f(x)-x有且只有1个零点C.f(x)在(-∞,1)内单调递减D.设g(x)=xf(x),则g1e<g(√e)函数f(x)的定义域为{x|x>0},故C错误.f'(x)=-1x2+1x=-1+xx2在(0,1)上f'(x)<0,f(x)单调递减, 在(1,+∞)上,f'(x)>0,f(x)单调递增, 所以f(x)极小值=f(1)=1,故A正确.②y=f(x)-x=1x+ln x-x,y'=-1x2+1x-1=-x2+x-1x2=-(x-12)2-34x2<0,所以函数y=f(x)-x=1x+ln x-x,在(0,+∞)上单调递减,x=1时y=0,所以y=f(x)-x有且只有一个零点,故B正确.③g(x)=xf(x)=1+x ln x,g'(x)=x·1x+ln x=1+ln x,所以在(e-1,+∞)上,g'(x)>0,g(x)单调递增,在(0,e-1)上,g'(x)<0,g(x)单调递减,所以g(x)最小值=g(e-1)=g1e,所以g1e<g(√e),故D正确.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知f(x)=x3+x2f'(1)+2x,则f'(1)的值为.5,f(x)=x3+x2f'(1)+2x,其导数f'(x)=3x2+2f'(1)x+2,令x=1,得f'(1)=3+2f'(1)+2,所以f'(1)=-5.14.设S n是等比数列{a n}的前n项和,S n+S n+4=2S n+2(n∈N+),且S1=2,则a2 020+a2 021=.或4{a n}的公比为q,由S n+S n+4=2S n+2可得S n+4-S n+2=S n+2-S n,即a n+4+a n+3=a n+1+a n+2,∴q2(a n+2+a n+1)=a n+2+a n+1,若a n+2+a n+1=0,则q=-1,此时a n=2·(-1)n-1,若a n+2+a n+1≠0,则q=1,此时a n=2,故a2020+a2021=0或a2020+a2021=4.15.将自然数1,2,3,4,…排成数阵(如图所示),在2处转第一个弯,在3处转第二个弯,在5处转第三个弯,……,则转第100个弯处的数是.1起每一个转弯时递增的数字,可发现为“1,1,2,2,3,3,4,4,…”,即第一、二个转弯时递增的数字都是1,第三、四个转弯时递增的数字都是2,第五、六个转弯时递增的数字都是3,第七、八个转弯时递增的数字都是4,……故在第100个转弯处的数为:1+2(1+2+3+ (50)=1+2×50(1+50)2=2551.16.已知f(x)=x3-4x,若过点A(-2,0)的动直线l与f(x)有三个不同交点,这三个交点自左向右分别为A,B,C,设线段BC的中点是E(m,t),则m=;t的取值X围为.-3,24),作出如下的函数图象,设B (x 1,y 1),C (x 2,y 2),l :y=k (x+2), 由x 3-4x=k (x+2),得(x+2)(x 2-2x-k )=0,所以x 1,x 2是方程x 2-2x-k=0的两个根,所以m=x 1+x 22=22=1.因为f (x )=x 3-4x ,所以f'(x )=3x 2-4,过点A 作f (x )的切线,设切点为P (x 0,y 0)(x 0≠-2), 则f'(x 0)=y 0-0x 0+2=x 03-4x 0x 0+2,即x 02+x 0-2=0,解得x 0=1或-2(舍负),此时切线的斜率为f'(1)=-1,切线方程l 1为y-0=-(x+2),即y=-x-2,因为f'(-2)=8,所以函数f (x )在点A 处的切线方程l 2为y-0=8(x+2),即y=8x+16, 因为两条切线l 1和l 2与x=m=1的交点纵坐标分别为-3和24, 所以t 的取值X 围为(-3,24).四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(10分)已知函数f (x )=ax 3+12x 2-2x ,其导函数为f'(x ),且f'(-1)=0.(1)求曲线y=f (x )在点(1,f (1))处的切线方程; (2)求函数f (x )在[-1,1]上的最大值和最小值.函数f (x )=ax 3+12x 2-2x ,可得f'(x )=3ax 2+x-2,∵f'(-1)=0,∴3a-1-2=0,解得a=1, ∴f (x )=x 3+12x 2-2x ,f'(x )=3x 2+x-2, ∴f (1)=-12,f'(1)=2.∴曲线y=f (x )在点(1,f (1))处的切线方程为4x-2y-5=0.(2)由(1),当f'(x )=0时,解得x=-1或x=23,当x 变化时,f (x ),f'(x )的变化情况如下表:-1,2323,1) -0+∴f (x )的极小值为f23=-2227,又f (-1)=32,f (1)=-12,∴f (x )max =f (-1)=32,f (x )min =f23=-2227.18.(12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n =-n 2+2kn (其中k ∈N +),且S n 的最大值为16. (1)求常数k 的值;(2)求数列{a n }的通项公式; (3)记数列9-a n 2n的前n 项和为T n ,证明:T n <4.S n =-n 2+2kn=-(n-k )2+k 2,∵k ∈N +,∴当n=k 时,S n 取得最大值k 2,∴k 2=16, ∴k=4.(2)由(1)得,S n =-n 2+8n ,∴当n=1时,a 1=S 1=7;当n ≥2时,a n =S n -S n-1=9-2n ,∵a 1=7符合上式,故{a n }的通项公式为a n =9-2n (n ∈N +). (3)由(2)得9-a n 2n =n 2n -1.∴T n =120+221+322+…+n 2n -1,∴12T n =121+222+323+…+n -12n -1+n2n ,两式相减得,12T n =120+121+122+…+12n -1−n2n =1×(1-12n )1-12−n 2n =2-12n -1−n2n ,∴T n =4-n+22n -1<4.故命题得证.19.(12分)已知函数f (x )=ln(ax )-x (a>0)在(0,+∞)上有极值2. (1)某某数a 的值;(2)若f (x )≤tx+3恒成立,某某数t 的取值X 围.f'(x )=1x -1=1-x x,当0<x<1时,f'(x )>0,函数单调递增,当x>1时,f'(x )<0,函数单调递减, 故当x=1时,函数取得极大值f (1)=ln a-1=2, 故a=e 3.(2)由f (x )≤tx+3恒成立可得,ln x ≤(t+1)x ,即t+1≥lnx x,令g (x )=lnx x,则g'(x )=1-lnx x 2,由g'(x )>0可得0<x<e,故g (x )在(0,e)内单调递增,在(e,+∞)内单调递减, 所以g (x )max =g (e)=1e , 故t+1≥1e ,所以t ≥1e -1.20.(12分)等差数列{a n }(n ∈N +)中,a 1,a 2,a 3分别是如表第一、二、三行中的某一个数,且其中的任何两个数不在如表的同一列.行数 列数第一列 第二列 第三列(1)请选择一个可能的{a1,a2,a3}组合,并求数列{a n}的通项公式.(2)记(1)中您选择的数列{a n}的前n项和为S n,判断是否存在正整数k,使得a1,a k,S k+2成等比数列.若有,请求出k的值;若没有,请说明理由.由题意可知,有两种组合满足条件:①a1=8,a2=12,a3=16,此时等差数列{a n},a1=8,d=4,所以其通项公式为a n=8+4(n-1)=4n+4.②a1=2,a2=4,a3=6,此时等差数列{a n},a1=2,d=2,所以其通项公式为a n=2n.=2n2+6n.(2)若选择①,S n=n(8+4n+4)2则S k+2=2(k+2)2+6(k+2)=2k2+14k+20.若a1,a k,S k+2成等比数列,则a k2=a1·S k+2,即(4k+4)2=8(2k2+14k+20),整理,得5k=-9,此方程无正整数解,故不存在正整数k,使a1,a k,S k+2成等比数列.=n2+n,若选择②,S n=n(2+2n)2则S k+2=(k+2)2+(k+2)=k2+5k+6,若a1,a k,S k+2成等比数列,则a k2=a1·S k+2,即(2k)2=2(k2+5k+6),整理得k2-5k-6=0,因为k为正整数,所以k=6.故存在正整数k=6,使a1,a k,S k+2成等比数列.21.(12分)函数f(x)满足:对任意α,β∈R,都有f(αβ)=αf(β)+βf(α),且f(2)=2,数列{a n}满足a n=f(2n)(n∈N+).为等差数列,并求数列{a n}的通项公式;(1)证明数列a n2n,是否存在正整数m,使得(m+1)(S m-4)+19b m<0成立?若存在,(2)记数列{b n}前n项和为S n,且b n=n(n+1)a n求m的最小值;若不存在,请说明理由.∵数列{a n}满足a n=f(2n)(n∈N+),∴a1=f(2)=2.又∵对任意α,β∈R,都有f(αβ)=αf(β)+βf(α),∴a n+1=f (2n+1)=2f (2n )+2n f (2)=2a n +2n+1,两边同时除以2n+1得,a n+12n+1−a n 2n=1,∴数列a n 2n为等差数列,首项为a12=1,公差为1,∴an 2n =n ,即a n =n ·2n .(2)由(1)可知b n =n (n+1)a n=n+12n,得S n =2×12+3×122+4×123+…+n×12n -1+(n+1)×12n ,12S n =2×122+3×123+…+n×12n +(n+1)×12n+1, 两式相减得12S n =121+122+…+12n -(n+1)×12n+1+12=32−n+32n+1,∴S n =3-n+32n .假设存在正整数m ,使得(m+1)(S m -4)+19b m <0成立,即2m +m-16>0, 由指数函数与一次函数单调性知,F (m )=2m +m-16,m ∈N +为增函数. 又∵F (3)=23+3-16=-5<0,F (4)=24+4-16=4>0,∴当m ≥4时恒有F (m )=2m +m-16>0成立.故存在正整数m ,使得(m+1)(S m -4)+19b m <0成立,m 的最小值为4. 22.(12分)已知函数f (x )=e x -ln(x+m ).(1)设x=0是f (x )的极值点,求m 的值,并讨论f (x )的单调性; (2)证明:e x -ln(x+2)>0.(x )=e x -1x+m,由题意可得,f'(0)=1-1m=0,解得m=1, f'(x )=e x-1x+1=e x (x+1)-1x+1,令g (x )=e x (x+1)-1,则g'(x )=(x+2)e x >0, 故g (x )在(-1,+∞)上单调递增且g (0)=0, 当x>0时,g (x )>0,即f'(x )>0,函数f (x )单调递增, 当-1<x<0时,g (x )<0,即f'(x )<0,函数f (x )单调递减.h (x )=e x -ln(x+2),则h'(x )=e x -1x+2在(-2,+∞)内单调递增,因为h'(-1)<0,h'(0)>0,所以h'(x )=0在(-2,+∞)存在唯一实数根x 0,且x 0∈(-1,0), 当x ∈(-2,x 0)时,h'(x )<0,当x ∈(x 0,+∞)时,h'(x )>0, 当x=x 0时,函数h (x )取得最小值, 因为e x 0=12+x 0,即x 0=-ln(2+x 0),故h (x )≥h (x 0)=e x 0-ln(2+x 0)=12+x 0+x 0=(1+x 0)22+x 0>0,所以e x -ln(x+2)>0.。

高中数学必修二模块测试题（2018北师大版有答案和解释）
5 模块学习评价
(时间120分钟满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．直线x3－3＝1的倾斜角的大小为( )
A．30° B．60°
c．120° D．150°x
【解析】设直线斜率＝33，∴tan α＝33，∴α＝30°
【答案】 A
2．(2018 周口高一检测)如图1所示，空心圆柱体的主视图是( ) 图1
【解析】看不到的部分用虚线表示，主视图应是矩形．
【答案】 c
3．已知点A(1,2)、B(3,1)，则线段AB的垂直平分线的方程是( ) A．4x＋2＝5 B．4x－2＝5
c．x＋2＝5 D．x－2＝5
【解析】 AB的中点坐标为(2，32)，AB＝－12，
∴AB中垂线的斜率为2，
∴中垂线方程为－32＝2(x－2)即4x－2＝5
【答案】 BX
4．空间直角坐标系中，点A(－3,4,0)与点B(x，－1,6)的距离为86，则x等于( )
A．2 B．－8
c．2或－8 D．8或2
【解析】由空间两点距离式得
－3－x 2＋ 4＋1 2＋ 0－6 2＝86，∴x＝2或－8。

模块综合检测(时间1２０分钟满分１50分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1.在平面直角坐标系中,正△ABＣ的边BC所在直线的斜率是0,则AC,AB所在直线的斜率之和为(）A．－2错误!未定义书签。

B.0C.错误!未定义书签。

ﻩD.2错误!未定义书签。

解析:选B易知k AB＝错误!未定义书签。

，k AC=－错误!,∴k AB+k AC＝０.2．直线（2m2+ｍ-3）x+（m2-m）y＝4m-1在x轴上的截距为1，则m等于（ )Ａ.1 B.２Ｃ．-错误!未定义书签。

ﻩＤ.2或-错误!未定义书签。

解析：选D 令ｙ=0,则(2m2＋m－3)x＝4ｍ－1,所以直线在x轴上的截距为错误!=１，所以ｍ=2或ｍ＝－错误!未定义书签。

３．在空间直角坐标系中，点Ｂ是点A（1，２，3)在yOz坐标平面内的射影,Ｏ为坐标原点,则｜OＢ|等于( )Ａ．＼ｒ(14) B．错误!未定义书签。

C.2错误!未定义书签。

ﻩD．错误!未定义书签。

解析：选B点A（１，2，3）在yＯz坐标平面内的射影为B(０,2,3），∴|OB|＝错误!未定义书签。

=错误!.4．已知直线nｘ-y＝n－1和直线ny－x＝２n的交点在第二象限,则实数n的取值范围是(）Ａ．(０,1) ﻩＢ．错误!未定义书签。

∪(1，+∞)C.错误!D．错误!未定义书签。

解析:选Ｃ由题意，知当n=1时，两直线平行，当n=－1 时，两直线重合,故n≠±1.解方程组错误!得ｘ＝错误!,y=错误!。

∴错误!<0且错误!>0，解得０<n<错误!未定义书签。

5．下列说法不正确的是()A.空间中,一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形 B ．同一平面的两条垂线一定共面C ．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直,且这些直线都在同一平面内D ．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直解析：选D 如图所示，在正方体AB ＣD .Ａ１B 1C １D 1中，AD ⊥平面ＤＣＣ1D 1，因此平面ＡB ＣD 、平面AA 1D １D 均与平面DC Ｃ1D 1垂直而且平面ＡA １D 1Ｄ∩平面ABCD ＝A Ｄ，显然选项D 不正确,故选D 。

最新（新课标）北师大版高中数学必修二模块综合测评(一)(时间：90分钟 满分：120分) 第Ⅰ卷(选择题，共50分)一、选择题：本大题共10小题，共50分．1．过点(－1,3)且垂直于直线x －2y ＋3＝0的直线方程是( ) A ．x －2y ＋7＝0 B ．2x ＋y －1＝0 C ．x －2y －5＝0D ．2x ＋y －5＝0解析：设所求直线方程为－2x －y ＋m ＝0，则－2×(－1)－3＋m ＝0，所以m ＝1，即－2x －y ＋1＝0，故直线方程为2x ＋y －1＝0.答案：B2．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.8π3B ．3πC.10π3D ．6π解析：显然由三视图我们易知原几何体为一个圆柱体的一部分，并且由正视图知是一个34的圆柱体，底面圆的半径为1，圆柱体的高为4，则V＝34×π×12×4＝3π. 答案：B3．长方体一个顶点上的三条棱长分别为3、4、5，若它的八个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是( )A ．202πB ．252πC ．50πD ．200π解析：设长方体的体对角线长为l ，球半径为R ，则⎩⎪⎨⎪⎧l ＝2R ，l 2＝32＋42＋52，所以R ＝522，所以S 球＝4πR 2＝50π.答案：C4．在空间直角坐标系中，O 为坐标原点，设A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，12，12，B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，12，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13，13，13，则( ) A ．OA ⊥AB B ．AB ⊥AC C ．AC ⊥BCD ．OB ⊥OC解析：|AB|＝12，|AC|＝36，|BC|＝66，因为|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，所以AC⊥BC.答案：C5．已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是( )A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC．若m∥α，m∥β，则α∥βD．若m⊥α，n⊥α，则m∥n解析：A中还可能m，n相交或异面，所以A不正确；B、C中还可能α，β相交，所以B、C不正确．很明显D正确．答案：D6．若P(2，－1)为圆(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程为( )A．x－y－3＝0 B．2x＋y－3＝0C．x＋y－1＝0 D．2x－y－5＝0解析：设圆心为C(1,0)，则AB⊥CP，∵k CP＝－1，∴k AB＝1，∴y＋1＝x －2，即x－y－3＝0.答案：A7．在三棱柱ABC－A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是( ) A．30°B．45°C ．60°D ．90°解析：过A 作AE ⊥BC 于点E ，则易知AE ⊥面BB 1C 1C ，则∠ADE 即为所求，又tan ∠ADE ＝AEDE＝3，故∠ADE ＝60°.答案：C8．过点M(－2,4)作圆C ：(x －2)2＋(y －1)2＝25的切线l ，且直线l 1：ax ＋3y ＋2a ＝0与l 平行，则l 1与l 间的距离是( )A.85B.25C.285D.125解析：因为点M(－2,4)在圆C 上，所以切线l 的方程为(－2－2)(x －2)＋(4－1)(y －1)＝25，即4x －3y ＋20＝0.因为直线l 与直线l 1平行，所以－a 3＝43，即a ＝－4，所以直线l 1的方程是－4x ＋3y －8＝0，即4x －3y ＋8＝0.所以直线l 1与直线l 间的距离为|20－8|42＋(－3)2＝125. 答案：D9．当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以C 为圆心，半径为5的圆的方程为( )A ．x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0B ．x 2＋y 2＋2x ＋4y ＝0C ．x 2＋y 2＋2x －4y ＝0D ．x 2＋y 2－2x －4y ＝0解析：令a ＝0，a ＝1，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ －x －y ＋1＝0，－y ＋2＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2，所以C(－1,2)．则圆C 的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，即x 2＋y 2＋2x －4y ＝0.答案：C10．设P(x ，y)是圆x 2＋(y ＋4)2＝4上任意一点，则(x －1)2＋(y －1)2的最小值为( )A.26＋2B.26－2 C ．5D ．6解析：如图，设A(1,1)，(x －1)2＋(y －1)2＝|PA|，则|PA|的最小值为|AC|－r ＝26－2.答案：B第Ⅱ卷(非选择题，共70分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．11．如图所示，Rt △A ′B ′C ′为水平放置的△ABC 的直观图，其中A′C ′⊥B ′C ′，B ′O ′＝O ′C ′＝1，则△ABC 的面积为__________．解析：由直观图画法规则将△A ′B ′C ′还原为△ABC ，如图所示，则有BO ＝OC ＝1，AO ＝2 2.∴S △ABC ＝12BC ·AO＝12×2×2 2 ＝2 2.答案：2 212．经过点P(1,2)的直线，且使A(2,3)，B(0，－5)到它的距离相等的直线方程为__________．解析：x ＝1显然符合条件；当A(2,3)，B(0，－5)在所求直线同侧时，所求直线与AB 平行，∵k AB ＝4，∴y －2＝4(x －1)，即4x －y －2＝0. 答案：4x －y －2＝0或x ＝113．与x 轴相切并和圆x 2＋y 2＝1外切的圆的圆心的轨迹方程是__________．解析：设M(x ，y)为所求轨迹上任一点，则由题意知1＋|y|＝x 2＋y 2，化简得x 2＝2|y|＋1.答案：x 2＝2|y|＋114．圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0关于直线l 1：x －y ＋4＝0与直线l 2：x ＋3y ＝0都对称，则D ＝__________，E ＝__________.解析：由题设知直线l 1，l 2的交点为已知圆的圆心．由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋4＝0，x ＋3y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝1，所以－D 2＝－3，D ＝6，－E2＝1，E ＝－2.答案：6；－2三、解答题：本大题共4小题，满分50分．15．(12分)直线l 经过点P(2，－5)，且到点A(3，－2)和B(－1,6)的距离之比为1∶2，求直线l 的方程．解：∵直线l 过P(2，－5)，∴可设直线l 的方程为y ＋5＝k ·(x －2)， 即kx －y －2k －5＝0.(2分) ∴A(3，－2)到直线l 的距离为 d 1＝|k ·3－(－2)－2k －5|k 2＋1＝|k －3|k 2＋1. B(－1,6)到直线l 的距离为d 2＝|k ·(－1)－6－2k －5|k 2＋1＝|3k ＋11|k 2＋1. (6分)∵d 1∶d 2＝1∶2，∴|k －3||3k ＋11|＝12.化简得k 2＋18k ＋17＝0.(10分) 解得k 1＝－1，k 2＝－17.∴所求直线方程为x ＋y ＋3＝0或17x ＋y －29＝0.(12分)16．(12分)如图所示，已知四棱锥P－ABCD的底面是边长为a的菱形，且∠ABC＝120°，PC⊥平面ABCD，PC＝a，E为PA的中点．(1)求证：平面EBD⊥平面ABCD；(2)求点E到平面PBC的距离．(1)证明：如图所示，连接AC，设AC∩BD＝O，连接OE，在△PAC中，E为PA的中点，O为AC的中点，∴OE∥PC.(2分)又PC⊥平面ABCD，∴OE⊥平面ABCD.又OE⊂平面EBD，∴平面EBD⊥平面ABCD.(4分)(2)解：∵OE∥PC，PC⊂面PBC，而OE⊄面PBC，∴OE∥面PBC，∴E到平面PBC的距离等于O到平面PBC的距离．过O在底面ABCD内作OG⊥BC于G，又平面PBC⊥面ABCD，且面PBC ∩面ABCD＝BC，∴OG ⊥面PBC ，即线段OG 的长度为点O 到平面PBC 的距离．(8分) 在菱形ABCD 中，∵∠ABC ＝120°，∴∠BCD ＝60°，∴△BCD 为正三角形，且BC ＝a ，由余弦定理可得AC ＝3a ， ∴OB ＝a 2，OC ＝32a.(10分)在Rt △BOC 中，OG ·BC ＝OB ·OC ， 即OG ·a ＝a 2·32a ，∴OG ＝34a.即E 到平面PBC 的距离为34a.(12分)17．(12分)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝9内有一点P(2,2)，过点P 作直线l 交圆C 于A 、B 两点．(1)当l 经过圆心C 时，求直线l 的方程； (2)当弦AB 被点P 平分时，写出直线l 的方程； (3)当直线l 的倾斜角为45°时，求弦AB 的长．解：(1)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝9的圆心为C(1,0)，因直线l 过点P 、C ，所以直线l 的斜率为2.故直线l 的方程为y ＝2(x －1)，即2x －y －2＝0.(4分)(2)当弦AB 被点P 平分时，l ⊥PC ，直线l 的方程为y －2＝－12(x －2)，即x ＋2y －6＝0.(8分)(3)当直线l 的倾斜角为45°时，其斜率为1，直线l 的方程为y －2＝x －2，即x －y ＝0，圆心C 到直线l 的距离为12，圆的半径为3，弦AB 的长为232－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫122＝34.(12分)18．(14分)如图，在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点O 、E 分别是A 1C 1、AA 1的中点，AO ⊥平面A 1B 1C 1.已知∠BCA ＝90°，AA 1＝AC ＝BC ＝2.(1)证明：OE ∥平面AB 1C 1；(2)求异面直线AB 1与A 1C 所成的角； (3)求A 1C 1与平面AA 1B 1所成角的正弦值． (1)证明：∵点O 、E 分别是A 1C 1、AA 1的中点， ∴OE ∥AC 1，又∵EO ⊄平面AB 1C 1，AC 1⊂平面AB 1C 1， ∴OE ∥平面AB 1C 1.(4分)(2)解：∵AO ⊥平面A 1B 1C 1，∴AO ⊥B 1C 1， 又∵A 1C 1⊥B 1C 1，且A 1C 1∩AO ＝O ，∴B 1C 1⊥平面A 1C 1CA ， ∴A 1C ⊥B 1C 1. 又∵AA 1＝AC ，∴四边形A 1C 1CA 为菱形， ∴A 1C ⊥AC 1，且B 1C 1∩AC 1＝C 1， ∴A 1C ⊥平面AB 1C 1，∴AB 1⊥A 1C ，即异面直线AB 1与A 1C 所成的角为90°.(9分) (3)解：设点C 1到平面AA 1B 1的距离为d ， ∵VA －A 1B 1C 1＝VC 1－AA 1B 1，即13·12·A 1C 1·B 1C 1·AO ＝13·S △AA 1B 1·d. 又∵在△AA 1B 1中，A 1B 1＝AB 1＝22， ∴S △AA 1B 1＝7. ∴d ＝2217，∴A 1C 1与平面AA 1B 1所成角的正弦值为217.(14分)。

模块综合测评(A )(满分：150分 时间：120分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．直线x 3－y3＝1的倾斜角的大小为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°A [由x 3－y 3＝1，得该直线的斜率k ＝33，故倾斜角为30°.]2．在空间直角坐标系中，点B 是A (1,2,3)在yOz 坐标平面内的射影，O 为坐标原点，则|OB |等于( )A.14B.13 C ．2 3 D.11B [点A (1,2,3)在yOz 坐标平面内的投影为B (0,2,3)， ∴|OB |＝02＋22＋32＝13.]3．点(a ，b )关于直线x ＋y ＋1＝0的对称点是( ) A ．(－a －1，－b －1) B ．(－b －1，－a －1) C ．(－a ，－b )D ．(－b ，－a )B [设对称点为(x ′，y ′)，则⎩⎨⎧y ′－bx ′－a×(－1)＝－1，x ′＋a 2＋y ′＋b2＋1＝0，解得x ′＝－b －1，y ′＝－a －1.]4．已知M ，N 分别是正方体AC 1的棱A 1B 1，A 1D 1的中点，如图是过M ，N ，A 和D ，N ，C 1的两个截面截去两个角后所得的几何体，则该几何体的主视图为( )B [由主视图的性质知，几何体的正投影为一正方形，正面有可见的一棱和背面有不可见的一棱，故选B.]5．若{(x ，y )|ax ＋2y －1＝0}∩{(x ，y )|x ＋(a －1)y ＋1＝0}＝∅，则a 等于( ) A.32B ．2C ．－1D ．2或－1 B [依题意，两直线平行．由a (a －1)－2×1＝0，得a 2－a －2＝0，a ＝2或－1.又当a ＝－1时，两直线重合，故选B.]6．已知m 是平面α的一条斜线，点A ∉α，l 为过点A 的一条动直线，那么下列情形中可能出现的是( )A ．l ∥m ，l ⊥αB ．l ⊥m ，l ⊥αC ．l ⊥m ，l ∥αD ．l ∥m ，l ∥αC [如图，l 可以垂直m ，且l 平行α.]7．已知A ，B ，C ，D 是空间不共面的四个点，且AB ⊥CD ，AD ⊥BC ，则直线BD 与AC ( )A ．垂直B ．平行C ．相交D ．位置关系不确定A [过点A 作AO ⊥平面BCD ，垂足为O ，连接BO ，CO 并延长分别交CD ，BD 于F ，E 两点，连接DO .因为AB ⊥CD ，AO ⊥CD ，所以CD ⊥平面AOB ，所以BO ⊥CD ， 同理DO ⊥BC ，所以O 为△BCD 的垂心，所以CO ⊥BD ， 所以BD ⊥AC .故选A.]8．已知一个正六棱锥的体积为12，底面边长为2，则它的侧棱长为( ) A ．4 B.433C. 6D ．2A [由正六棱锥可知，底面是由六个正三角形组成的， ∴底面积S ＝6×12×2×3＝63，∴体积V ＝13Sh ＝12，∴h ＝36S ＝3663＝23，在直角三角形SOB 中， 侧棱长为SB ＝OB 2＋h 2＝4＋12＝4.故选A.]9．过点P (－3，－1)的直线l 与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的倾斜角的取值X 围是( )A ．(0°，30°]B ．(0°，60°]C ．[0°，30°]D ．[0°，60°]D [如图，过点P 作圆的切线P A ，PB ，切点为A ，B . 由题意知|OP |＝2，|OA |＝1， 则sin α＝12，所以α＝30°，∠BP A ＝60°.故直线l 的倾斜角的取值X 围是[0°，60°]．选D.]10．若M (2，－1)为圆(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是( ) A ．x －y －3＝0 B ．2x ＋y －3＝0 C ．x ＋y －1＝0D ．2x －y －5＝0A [设圆心为C ，其坐标为(1,0)．则AB ⊥CM ，k CM ＝－1， ∴k AB ＝1，∴直线AB 的方程为y －(－1)＝1×(x －2)， 即x －y －3＝0，故选A.]11．过点P (－3,4)作圆x 2＋y 2＝4的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( )A ．3x ＋4y －7＝0B ．3x －4y ＋25＝0C ．3x －4y ＋4＝0D ．3x －4y ＝0C [先求出以PO (O 为原点)为直径的圆C 的方程为⎝⎛⎭⎫x ＋322＋(y －2)2＝⎝⎛⎭⎫522，即x 2＋y 2＋3x －4y ＝0，再将两圆方程相减得3x －4y ＋4＝0，因为这条直线经过两圆的交点即切点A ，B ，所以3x －4y ＋4＝0就是直线AB 的方程，故选C.]12.若直线y ＝kx －1与曲线y ＝－1－(x －2)2有公共点，则k 的取值X 围是( ) A.⎝⎛⎦⎤0，43B.⎣⎡⎦⎤13，43 C.⎣⎡⎦⎤0，12 D ．[0,1]D [曲线y ＝－1－(x －2)2可化为(x －2)2＋y 2＝1它表示以(2,0)为圆心，1为半径的x 轴下方的半圆，直线y ＝kx －1过定点(0，－1)，要使直线与曲线有公共点(如图)，易知0≤k ≤1.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若球的体积为9π2，则正方体的棱长为________．3[设正方体的棱长为x ，其外接球的半径为R ，则由球的体积为9π2，得43πR 3＝9π2，解得R ＝32.由2R ＝3x ，得x ＝2R3＝ 3.]14．在空间四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，对角线AC ＝BD ＝2，且AC ⊥BD ，则四边形EFGH 的面积为______．1[如图，由条件，易判断EH 綊FG 綊12BD ，所以EH ＝FG ＝1，同样有EF 綊GH 綊12AC ，EF ＝GH ＝1，又BD ⊥AC ，所以EF ⊥EH ，所以四边形EFGH 是边长为1的正方形，其面积S ＝12＝1.]15．已知圆O ：x 2＋y 2＝5和点A (1,2)，则过点A 且与圆O 相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积为______．254[由题意知，点A 在圆上，切线斜率为－1k OA ＝－121＝－12，用点斜式可直接求出切线方程为y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0，从而求出在两坐标轴上的截距分别是5和52，所以所求面积为12×52×5＝254.]16．如图，三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧棱AA 1垂直于底面A 1B 1C 1，底面三角形A 1B 1C 1是正三角形，E 是BC 的中点，则下列叙述正确的是________．①CC 1与B 1E 是异面直线； ②AC ⊥平面ABB 1A 1；③AE 与B 1C 1是异面直线，且AE ⊥B 1C 1； ④A 1C 1∥平面AB 1E .③[①中，直线CC 1与B 1E 都在平面BCC 1B 1中，不是异面直线；②中，平面ABC ⊥平面ABB 1A 1，而AC 与AB 不垂直，则AC 与平面ABB 1A 1不垂直； ③中，AE 与B 1C 1不平行也不相交，是异面直线，又由已知得平面ABC ⊥平面BCC 1B 1，由△ABC 为正三角形，且E 为BC 的中点知AE ⊥BC ，所以AE ⊥平面BCC 1B 1，则AE ⊥B 1C 1；④中，A 1C 1与平面AB 1E 相交，故错误．]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)将圆心角为120°，面积为3π的扇形作为圆锥的侧面，求圆锥的表面积和体积．[解]设扇形的半径和圆锥的母线都为l ，圆锥的半径为r ，则 120360πl 2＝3π，l ＝3；2π3×3＝2πr ，r ＝1； S 表面积＝S 侧面＋S 底面＝πrl ＋πr 2＝4π， V ＝13Sh ＝13×π×12×22＝223π.18．(本小题满分12分)已知直线l 过两直线3x －y －10＝0和x ＋y －2＝0的交点，且直线l 与点A (1,3)和点B (5,2)的距离相等，求直线l 的方程．[解]由⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －10＝0，x ＋y －2＝0，得交点为(3，－1)，当直线l 斜率存在时，设直线l 的方程为y ＋1＝k (x －3)， 则|－2k －4|k 2＋1＝|2k －3|k 2＋1，解得k ＝－14，所以直线l 的方程为y ＋1＝－14(x －3)，即x ＋4y ＋1＝0；又当直线l 的斜率不存在时，其方程为x ＝3，也满足题意． 故x ＋4y ＋1＝0或x ＝3为所求方程．19．(本小题满分12分)如图所示，在三棱锥P -ABC 中，D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点，且P A ⊥AC ，P A ＝3，BC ＝4，DF ＝52.求证：(1)直线P A ∥平面DEF ； (2)平面BDE ⊥平面ABC .[证明] (1)∵在三棱锥P -ABC 中，D ，E 分别为棱PC ，AC 的中点，∴DE ∥P A . ∵DE平面DEF ，P A平面DEF ，∴直线P A ∥平面DEF .(2)∵DE ∥P A ，P A ⊥AC ，P A ＝3，∴DE ⊥AC ，且DE ＝12P A ＝32.∵E ，F 分别为AC ，AB 的中点，BC ＝4，∴EF ＝12BC ＝2.∵DF ＝52，∴DE 2＋EF 2＝DF 2，∴DE ⊥EF .又EF ∩AC ＝E ，EF ，AC 平面ABC ，∴DE ⊥平面ABC .∵DE平面BDE ，∴平面BDE ⊥平面ABC .20．(本小题满分12分)已知以点A (－1,2)为圆心的圆与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切，过点B (－2,0)的动直线l 与圆A 相交于M ，N 两点．(1)求圆A 的方程；(2)当|MN |＝219时，求直线l 的方程．[解] (1)设圆A 的半径为r ，因为圆A 与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切，所以r ＝|－1＋4＋7|5＝25，所以圆A 的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝20.(2)设Q 是MN 的中点，所以AQ ⊥MN ，所以|AQ |2＋⎝⎛⎭⎫12|MN |2＝r 2，又因为|MN |＝219，r ＝25，所以|AQ |＝20－19＝1.当直线l 与x 轴垂直时，直线l 的方程为x ＝－2，此时有|AQ |＝|－2－(－1)|＝1，即x ＝－2符合题意．当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0，所以|AQ |＝|k －2|k 2＋1＝1，得k ＝34，所以此时直线l 的方程为y ＝34(x ＋2)，即3x －4y ＋6＝0.综上所得，直线l 的方程为x ＝－2或3x －4y ＋6＝0.21．(本小题满分12分)如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，A 1B 1＝A 1C 1，D ，E 分别是棱BC ，CC 1上的点(点D 不同于点C )，且AD ⊥DE ，F 为B 1C 1的中点．求证：(1)平面ADE ⊥平面BCC 1B 1； (2)直线A 1F ∥平面ADE .[证明] (1)因为ABC -A 1B 1C 1是直三棱柱，所以CC 1⊥平面ABC . 又AD平面ABC ，所以CC 1⊥AD .又因为AD ⊥DE ，CC 1，DE 平面BCC 1B 1，CC 1∩DE ＝E ，所以AD ⊥平面BCC 1B 1.又AD平面ADE ，所以平面ADE ⊥平面BCC 1B 1.(2)因为A 1B 1＝A 1C 1，F 为B 1C 1的中点，所以A 1F ⊥B 1C 1.因为CC1⊥平面A1B1C1，且A1F平面A1B1C1，所以CC1⊥A1F.又因为CC1，B1C1平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1，所以A1F⊥平面BCC1B1.由(1)知AD⊥平面BCC1B1，所以A1F∥AD.又AD平面ADE，A1F平面ADE，所以A1F∥平面ADE.22．(本小题满分12分)已知点A(－3,0)，B(3,0)，动点P满足|P A|＝2|PB|.(1)若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程；(2)若点Q在直线l1：x＋y＋3＝0上，直线l经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，求|QM|的最小值．[解](1)设点P的坐标为(x，y)，则(x＋3)2＋y2＝2(x－3)2＋y2，化简可得(x－5)2＋y2＝16，此即为所求．(2)曲线C是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图，则直线l是此圆的切线，连接CQ，则|QM|＝|CQ|2－|CM|2＝|CQ|2－16.当CQ⊥l1时，|CQ|取最小值，|CQ|＝|5＋3|2＝42，∴|QM|最小＝4.。