(新)激光物理汇总

1. 不考虑原子在态上的衰减时，二能级系统态的运动方程为()()()()()()()()a b i a t a t E b t V t i b t b t E a t V t =+⎧⎪⎨=+⎪⎩ 式中()()exp[]a a t A t i t ω=-；()()exp[]b b t B t i t ω=-；/a a E ω=，/b b E ω=；0()cos V t DE t ω=-。

假设光场与二能级原子共振（共20分）（1） 推导旋波近似条件下的()A t 和()B t 所满足的方程（2） 假设初始条件为(0)1A =和(0)0B =，试利用迭代法求解旋波近似条件下()A t 和()B t 的一级近似解(1)()A t 和(1)()B t 以及三级近似解(3)()A t 和(3)()B t解：（1）将()A t 和()B t 的表达式代入两能级运动方程，约化得到00()exp[()]()exp[]()exp[()]()exp[]b a b a i A BV t i t BV t i t i B AV t i t AV t i t ωωωωωω⎧=--=-⎪⎨=--=⎪⎩ （1.1） 式中0b a ωωω=-。

由共振条件0ωω=，上式可简化为00000000(cos )exp[](1exp[2])2(cos )exp[](1exp[2])2DE i A B DE t i t B i t DE i B A DE t i t A i t ωωωωωω⎧=--=-+-⎪⎪⎨⎪=-=-+⎪⎩ （1.2） 旋波近似即忽略上式中的快变量，0exp[2]i t ω-和0exp[2]i t ω，即得到旋波近似条件下的()A t 和()B t 所满足的方程0022DE i A B gB DE i B A gA⎧=-=⎪⎪⎨⎪=-=⎪⎩ 其中02DE g =- （1.3）（2）假定级数解形式如下0()0/b a ωεε=-(0)(1)(2)(3)(0)(1)(2)(3)A A A A A B B B B B ⎧=++++⎪⎨=++++⎪⎩ （1.4）由题可得，(0)(0)1;0A B ==。

将微扰形式解代入式（1.3），可得(1)(0)(1)(0)g A B i g B A i ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（1.5）(2)(1)(2)(1)g A B i g B A i ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（1.6）(3)(2)(3)(2)g A B ig B A i ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（1.7） 由方程（1.5）—（1.7）可得(1)(1)0A gB t i ⎧=⎪⎨=⎪⎩；2(2)2(2)120g A t i B ⎧⎛⎫=⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪=⎩；(3)3(3)3013!A g B t i ⎧=⎪⎨⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎩一级近似解为：1A g B t i =⎧⎪⎨=⎪⎩（1.8） 三级近似解为：223311213!g A ti g g B t t i i ⎧⎛⎫=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=+ ⎪⎪⎝⎭⎩（1.9）2. 设原子系统哈密顿量为：01221112222H εεω=+≡（其中10ε=），能级图如图所示。

电磁场()()001cos 2i t i t E E t E e e ωωω-==+，原子偶极矩μ为实数，Rabi 频率为0/E μΩ=。

推导旋波近似条件下的Bloch 方程，并阐述各方程物理意义。

解：系统的哈密顿量为()()021*******cos iH H H t ωω=+=-Ω+密度矩阵方程服从刘维方程2ωω∆=-()ij ikkj ik kj kkii j HH ii H kk j i k k H j ρρρρρρ==--⎡⎤=--⎣⎦∑∑两能级密度矩阵方程为()212121212211()it i V ρωρρρ=-+- ()122112122211()it i V ρωρρρ=--2221122112()it V V ρρρ=--⎡⎤⎣⎦ 1121121221()it V V ρρρ=-⎡⎤⎣⎦其中2112V E V μ=-=。

唯相加入衰减之后，密度矩阵方程为()21221212211()()()()it i t E t t ρωρμρρ=-Γ+--⎡⎤⎣⎦ ()12221122211()()()()it i t E t t ρωρμρρ=-Γ-+-⎡⎤⎣⎦22122221221()()()()it t E t t ρρρμρρ⎡⎤=Γ-+-⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 011111111221()()()()it t E t t ρρρμρρ⎡⎤=Γ---⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 令21211212()()()()i t i t t t e t t e ωωρρρρ-==，上式可写为[]()21212221122211002i t i i i E e E t ωρρωωρρρ-∂⎡⎤+=-Γ-+-⋅+⎡⎤⎣⎦⎣⎦∂ []()22121221212211002i ti i i E E e t ωρμρωωρρρ∂⎡⎤+-=-Γ+--⋅+⎡⎤⎣⎦⎣⎦∂ 02222122220120120210212i t i t i E E e E e E t ωωρρρμρμρμρμρ-∂⎡⎤⎡⎤=Γ-++--⎣⎦⎣⎦∂2211111110120120210212i t i t i E E e E e E t ωωρρρμρμρμρμρ-∂⎡⎤⎡⎤=Γ--+--⎣⎦⎣⎦∂ 旋波近似，忽略快速震荡项，则可简化为：（21ωω∆=-）()12212022112i i E t ρμρρρ∂=-Γ-∆+-⎡⎤⎣⎦∂ ()21221022112i i E t ρμρρρ∂=-Γ+∆--⎡⎤⎣⎦∂ 022122220120212i E E t ρρρμρμρ∂⎡⎤=Γ-+-⎡⎤⎣⎦⎣⎦∂ 011111110120212i E E t ρρρμρμρ∂⎡⎤=Γ---⎡⎤⎣⎦⎣⎦∂ 令下列一组矢量211221122211()()()()()()()()()u t t t v t i t i t w t t t ρρρρρρ=+⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，同时111T Γ=，221T Γ=，可得到21u v u T =-∆⋅-⋅ 21v v u w T =-⋅+∆⋅+Ω⋅ 1eqw w w v T -=--Ω⋅其中,u v 对于介质极化强度的实部和虚部，分别表示单原子的色散，吸收。

w 表示反转粒子数大小。

3. 推导Lamb 方程，并阐述各方程所表示的物理意义。

解：先考虑腔长为L 无源腔方程：220022000z z L E Ez t E E με==⎫∂∂-=⎪∂∂⎬⎪==⎭的解。

用分离变效法可得其解。

由于谐振腔的存在，只有沿z 轴且同时满足驻波条件的光波才能在腔内形成稳定模式。

λn 是第n 个纵模模式为n L n 2=λ，L n k n n ππ2==λ， 腔内电场应是所有模式场的叠加：{sin (k n z )}是区间(0，L )(即激光腔)内的正交函数集，它满足对于腔长一定的激光器来说，本征函数集{sin(k n z )}可作为已知量对待，因而求解电场E (z ，t )主要是求解场随时间变化部分A n (t )。

A n (t )满足一定的运动方程。

将式(1-1)代入单向含极化介质的Maxwell 方程可得在方程两边同乘以{sin(k n z )}并对区间(0，L )积分，最后利用正交关系式，并将m 改为n ，同时定义 ：(P n (t )为P n (z ，t )的空间傅立叶分量)可得：(1-1)假设方程解为(1-2)式中，E n (t )和φn (t )为时间t 的慢变函数。

由于宏观电极化强度P 是由电场E 诱导产生的，在响应上会有滞后，不会是瞬时的。

考虑到这一滞后效应，P n (t )应写成如下的形式(1-3)式中第一项分量与A n (t )同位相，第二项与A n (t )差π/2相位，C n (t )仍与S n (t )也是时间的慢变化函数。

因此有(1-4)/n n c Lωπ=(,)cos()sin()sin()n n n n n n nnE z t E t k z A k z ωφ=+=∑∑nmLm n dz z k z k L δ=⎰0)sin()sin(2∑∑∑-=∂∂++nn n n n n n n n nt d t A d z k t Pdt t dA z k z k t A k 220022002)()sin()()sin()sin()(εμμσμ02(,)()sin();()sin()Ln n n n nP P z t P t k z P t P k z dz L ===∑⎰(,)cos()n n n n A z t E t ωφ=+222000022()()()()0n n n n n d A t dA t P t k A t d t dt tμεμσμ∂+++=∂()cos '()sin '()n n n n n n n P t C t t S t t ωφωφ=+++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦222()'()n n n P t P t tω∂≈∂2202200022t Pt E t E z E ∂∂=∂∂-∂∂-∂∂μεμσμ将唯象参量σ。

用谐振腔第n 个模的品质因数Q n 来代替，令(1-5)将式(1-2)、(1-3)、(1-4)代入式(1-1)中，忽略 等小量．并比较方程两端正弦项和余弦项的系数，可得在上面两方程中，忽略较小项 ，同时，ω’n ≈ωn ，所以有于是上面两方程变为(1.6) (1-7) 式(1-6)和式(1-7)就是激光振荡半经典理论中描述激光场的基本方程，称为激光电磁场方程，也称兰姆方程。

其中第一个方程表示极化强度的同相位分量(即C n (t ))在使场的频率(有源腔频率)偏离非激活腔场的频率(无源腔振荡频率)中所起的作用，从而描述了频率牵引和排斥。

第二个方程描写阻尼和激活介质对模的振幅的影响：如果极化强度的正交分量为零(即S n (t )＝0)，则就像非激活介质损耗腔那样，振幅按指数规律衰减。

所以含有极化强度的正交分量S n (t )代表激活介质所起的增益，它克服腔的损耗，使振荡得以发生。

4. 激光半经典理论框架下使用了哪些近似？并分别加以论述答：主要使用了下述近似，1）两能级近似；2）原子间没有相互作用；3）电偶极近似；4）旋波近似；5）缓变振幅近似；6）绝热近似。

各个近似论述如下：1）两能级近似。

实际原子，分子等拥有许多的能级，在激光器理论中，只有与激光直接相关的上下能级才与光发生只要作用。

泵浦作于与衰减作用，只要是提供初始条件，用光与两能级原子作用作为基本模型，即简捷又能反映问题的本质。