数学复习椭圆的简单几何性质

第八篇平面解析几何专题8.05椭圆及其几何性质【考试要求】1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.【知识梳理】1.椭圆的定义在平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.其数学表达式：集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：(1)若a＞c，则集合P为椭圆；(2)若a＝c，则集合P为线段；(3)若a＜c，则集合P为空集.2.椭圆的标准方程和几何性质【微点提醒】点P (x 0，y 0)和椭圆的位置关系(1)点P (x 0，y 0)在椭圆内⇔x 20a 2＋y 20b 2<1；(2)点P (x 0，y 0)在椭圆上⇔x 20a 2＋y 20b 2＝1；(3)点P (x 0，y 0)在椭圆外⇔x 20a 2＋y 20b2>1.【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.( ) (2)椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆.( )(3)方程mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )表示的曲线是椭圆.( ) (4)x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的焦距相同.( )【教材衍化】2.(选修2－1P49T1改编)若F 1(3，0)，F 2(－3，0)，点P 到F 1，F 2的距离之和为10，则P 点的轨迹方程是________.3.(选修2－1P49A6改编)已知点P 是椭圆x 25＋y 24＝1上y 轴右侧的一点，且以点P 及焦点F 1，F 2为顶点的三角形的面积等于1，则点P 的坐标为________.【真题体验】4.(2018·张家口调研)椭圆x 216＋y 225＝1的焦点坐标为( )A.(±3，0)B.(0，±3)C.(±9，0)D.(0，±9)5.(2018·全国Ⅰ卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 24＝1的一个焦点为(2，0)，则C 的离心率为( )A.13B.12C.22D.2236.(2018·武汉模拟)曲线x 225＋y 29＝1与曲线x 225－k ＋y 29－k ＝1(k <9)的( )A.长轴长相等B.短轴长相等C.离心率相等D.焦距相等【考点聚焦】考点一 椭圆的定义及其应用【例1】 (1)如图，圆O 的半径为定长r ，A 是圆O 内一个定点，P 是圆上任意一点，线段AP 的垂直平分线l 和半径OP 相交于点Q ，当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹是( )A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆(2)(2018·德阳模拟)设P 为椭圆C ：x 249＋y 224＝1上一点，F 1，F 2分别是椭圆C 的左、右焦点，且△PF 1F 2的重心为点G ，若|PF 1|∶|PF 2|＝3∶4，那么△GPF 1的面积为( ) A.24 B.12C.8D.6【规律方法】 (1)椭圆定义的应用主要有：判断平面内动点的轨迹是否为椭圆，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等.(2)通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题.【训练1】 (1)(2018·福建四校联考)已知△ABC 的顶点B ，C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是( ) A.2 3B.6C.4 3D.2(2)(2018·衡水中学调研)设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上任意一点，点M 的坐标为(6，4)，则|PM |－|PF 1|的最小值为________.考点二 椭圆的标准方程【例2】 (1)已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( ) A.x 264－y 248＝1 B.x 248＋y 264＝1 C.x 248－y 264＝1D.x 264＋y 248＝1 (2)(一题多解)若椭圆经过两点(2，0)和(0，1)，则椭圆的标准方程为________________.【规律方法】 根据条件求椭圆方程的主要方法有：(1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义.(2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a ，b .当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )，不必考虑焦点位置，用待定系数法求出m ，n 的值即可. 【训练2】 (1)(2018·济南模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，若长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为( ) A.x 236＋y 232＝1 B.x 29＋y 28＝1 C.x 29＋y 25＝1D.x 216＋y 212＝1 (2)(2018·榆林模拟)已知F 1(－1，0)，F 2(1，0)是椭圆C 的焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交椭圆C 于A ，B 两点，且|AB |＝3，则C 的方程为( ) A.x 22＋y 2＝1 B.x 23＋y 22＝1 C.x 24＋y 23＝1D.x 25＋y 24＝1考点三 椭圆的几何性质多维探究角度1 椭圆的长轴、短轴、焦距【例3－1】 (2018·泉州质检)已知椭圆x 2m －2＋y 210－m ＝1的长轴在x 轴上，焦距为4，则m 等于( )A.8B.7C.6D.5角度2 椭圆的离心率【例3－2】 (2018·全国Ⅱ卷)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为( ) A.23 B.12C.13D.14角度3 与椭圆性质有关的最值或范围问题【例3－3】 (2017·全国Ⅰ卷)设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2m ＝1长轴的两个端点.若C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则m 的取值范围是( )A.(0，1]∪[9，＋∞)B.(0，3]∪[9，＋∞)C.(0，1]∪[4，＋∞)D.(0，3]∪[4，＋∞)【规律方法】1.求椭圆离心率的方法(1)直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解.(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝a2－c2消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解.2.在求与椭圆有关的一些量的范围，或者最值时，经常用到椭圆标准方程中x，y的范围、离心率的范围等不等关系.【训练3】(1)以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为()A.1B. 2C.2D.2 2(2)(2019·豫南九校联考)已知两定点A(－1，0)和B(1，0)，动点P(x，y)在直线l：y＝x＋3上移动，椭圆C 以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为()A.55 B.105 C.255 D.2105【反思与感悟】1.椭圆的定义揭示了椭圆的本质属性，正确理解、掌握定义是关键，应注意定义中的常数大于|F 1F 2|，避免了动点轨迹是线段或不存在的情况.2.求椭圆的标准方程，常采用“先定位，后定量”的方法(待定系数法).先“定位”，就是先确定椭圆和坐标系的相对位置，以椭圆的中心为原点的前提下，看焦点在哪条坐标轴上，确定标准方程的形式；再“定量”，就是根据已知条件，通过解方程(组)等手段，确定a 2，b 2的值，代入所设的方程，即可求出椭圆的标准方程.若不能确定焦点的位置，这时的标准方程常可设为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0且m ≠n )【易错防范】1.判断两种标准方程的方法为比较标准形式中x 2与y 2的分母大小.2.在解关于离心率e 的二次方程时，要注意利用椭圆的离心率e ∈(0，1)进行根的取舍，否则将产生增根.3.椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式.例如，－a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b ，0＜e ＜1等，在求椭圆相关量的范围时，要注意应用这些不等关系. 【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：40分钟) 一、选择题1.椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距为2，则m 的值等于( )A.5B.3C.5或3D.82.(2019·聊城模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为23，过F 2的直线l交C 于A ，B 两点，若△AF 1B 的周长为12，则C 的方程为( ) A.x 23＋y 2＝1 B.x 23＋y 22＝1 C.x 29＋y 24＝1D.x 29＋y 25＝1 3.已知圆(x －1)2＋(y －1)2＝2经过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点F 和上顶点B ，则椭圆C 的离心率为( ) A.12 B. 2 C.2 D.224.(2019·湖北重点中学联考)已知椭圆x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2且垂直于长轴的直线交椭圆于A ，B 两点，则△ABF 1内切圆的半径为( ) A.43 B.1C.45D.345.已知椭圆x 24＋y 22＝1的两个焦点是F 1，F 2，点P 在该椭圆上，若|PF 1|－|PF 2|＝2，则△PF 1F 2的面积是( ) A. 2 B.2 C.2 2 D. 3二、填空题6.已知椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，－23)且a ＝2b ，则椭圆的标准方程为________.7.设F 1，F 2为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，经过F 1的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若△F 2AB的面积为43的等边三角形，则椭圆C 的方程为______________.8.(2019·昆明诊断)椭圆x 29＋y 225＝1上的一点P 到两焦点的距离的乘积为m ，当m 取最大值时，点P 的坐标是________.三、解答题9.已知椭圆的中心在原点，两焦点F 1，F 2在x 轴上，且过点A (－4，3).若F 1A ⊥F 2A ，求椭圆的标准方程.10.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B .(1)若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率；(2)若AF 2→＝2F 2B →，AF 1→·AB →＝32，求椭圆的方程.【能力提升题组】(建议用时：20分钟)11.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点为M ，上顶点为N ，右焦点为F ，若NM →·NF →＝0，则椭圆的离心率为( ) A.32 B.2－12 C.3－12 D.5－1212.(2019·湖南湘东五校联考)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是椭圆上一点，△PF 1F 2是以F 2P 为底边的等腰三角形，且60°<∠PF 1F 2<120°，则该椭圆的离心率的取值范围是( )A.(3－12，1)B.(3－12，12)C.⎝⎛⎭⎫12，1D.⎝⎛⎭⎫0，12 13.(2018·浙江卷)已知点P (0，1)，椭圆x 24＋y 2＝m (m >1)上两点A ，B 满足AP →＝2PB →，则当m ＝________时，点B 横坐标的绝对值最大.14.(2019·石家庄月考)已知点M (6，2)在椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上，且椭圆的离心率为63. (1)求椭圆C 的方程；(2)若斜率为1的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P (－3，2)，求△PAB 的面积.【新高考创新预测】15.(多填题)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F (1，0)，其关于直线y ＝bx 的对称点Q 在椭圆上，则离心率e ＝________，S △FOQ ＝________.。

高考数学一轮复习考点知识专题讲解椭圆及其性质考点要求1.理解椭圆的定义、几何图形、标准方程.2.掌握椭圆的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).3.掌握椭圆的简单应用．知识梳理1．椭圆的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F 1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离|F1F2|叫做椭圆的焦距．2．椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)范围－a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a顶点A1(－a,0)，A2(a,0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b,0)，B2(b,0)轴长 短轴长为2b ，长轴长为2a焦点 F 1(－c ,0)，F 2(c ,0) F 1(0，－c )，F 2(0，c )焦距 |F 1F 2|＝2c对称性 对称轴：x 轴和y 轴，对称中心：原点离心率e ＝ca (0<e <1)a ，b ，c 的关系a 2＝b 2＋c 2常用结论 椭圆的焦点三角形椭圆上的点P (x 0，y 0)与两焦点构成的△PF 1F 2叫做焦点三角形．如图所示，设∠F 1PF 2＝θ.(1)当P 为短轴端点时，θ最大，12F PF S △最大． (2)12F PF S △＝12|PF 1||PF 2|sin θ＝b 2tan θ2＝c |y 0|. (3)|PF 1|max ＝a ＋c ，|PF 1|min ＝a －c . (4)|PF 1|·|PF 2|≤⎝⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝a 2. (5)4c 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos θ. 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．(×)(2)椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形．(√)(3)y 2m 2＋x 2n 2＝1(m ≠n )表示焦点在y 轴上的椭圆．(×) (4)x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的焦距相等．(√) 教材改编题 1．设P 是椭圆x 225＋y 216＝1上的点，若F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于()A ．4B ．5C ．8D ．10 答案D解析依椭圆的定义知， |PF 1|＋|PF 2|＝2×5＝10.2．若椭圆C ：x 24＋y 23＝1，则该椭圆上的点到焦点距离的最大值为()A ．3B ．2＋ 3C ．2 D.3＋1 答案A解析由题意知a ＝2，b ＝3，所以c ＝1，距离的最大值为a ＋c ＝3.3．(2022·深圳模拟)已知椭圆C 的焦点在x 轴上，且离心率为12，则C 的方程可以为________．答案x 24＋y 23＝1(答案不唯一)解析因为焦点在x 轴上，所以设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，a >b >0，因为离心率为12，所以c a ＝12，所以c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝14，则b 2a 2＝34.题型一 椭圆的定义及其应用例1(1)已知圆(x ＋2)2＋y 2＝36的圆心为M ，设A 是圆上任意一点，N (2,0)，线段AN 的垂直平分线交MA 于点P ，则动点P 的轨迹是()A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线 答案B解析点P 在线段AN 的垂直平分线上，故|PA |＝|PN |.又AM 是圆的半径，所以|PM |＋|PN |＝|PM |＋|PA |＝|AM |＝6>|MN |.由椭圆的定义知，P 的轨迹是椭圆．(2)设点P 为椭圆C ：x 2a 2＋y 24＝1(a >2)上一点，F 1，F 2分别为C 的左、右焦点，且∠F 1PF 2＝60°，则△PF 1F 2的面积为________． 答案433解析由题意知，c ＝a 2－4.又∠F 1PF 2＝60°，|F 1P |＋|PF 2|＝2a ， |F 1F 2|＝2a 2－4，∴|F 1F 2|2＝(|F 1P |＋|PF 2|)2－2|F 1P ||PF 2|－2|F 1P |·|PF 2|cos60° ＝4a 2－3|F 1P |·|PF 2|＝4a 2－16，∴|F 1P |·|PF 2|＝163， ∴12PF F S △＝12|F 1P |·|PF 2|sin60°＝12×163×32 ＝433. 延伸探究 若将本例(2)中“∠F 1PF 2＝60°”改成“PF 1⊥PF 2”，求△PF 1F 2的面积． 解∵PF 1⊥PF 2，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝4(a 2－4) ＝4a 2－16，又|PF 1|＋|PF 2|＝2a ， ∴|PF 1|·|PF 2|＝8， ∴12PF F S △＝4. 教师备选1．△ABC 的两个顶点为A (－3,0)，B (3,0)，△ABC 周长为16，则顶点C 的轨迹方程为() A.x 225＋y 216＝1(y ≠0) B.y 225＋x 216＝1(y ≠0) C.x 216＋y 29＝1(y ≠0) D.y 216＋x 29＝1(y ≠0)答案A解析由题知点C 到A ，B 两点的距离之和为10，故C 的轨迹为以A (－3,0)，B (3,0)为焦点，长轴长为10的椭圆，故2a ＝10，c ＝3，b 2＝a 2－c 2＝16.所以方程为x 225＋y 216＝1.又A ，B ，C 三点不能共线，所以x 225＋y 216＝1(y ≠0)．2．若F 1，F 2是椭圆x 29＋y 27＝1的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠AF 1F 2＝45°，则△AF 1F 2的面积为()A ．7 B.74 C.72 D.752答案C解析由题意得a ＝3，b ＝7，c ＝2， ∴|F 1F 2|＝22，|AF 1|＋|AF 2|＝6.∵|AF 2|2＝|AF 1|2＋|F 1F 2|2－2|AF 1|·|F 1F 2|cos45° ＝|AF 1|2＋8－4|AF 1|，∴(6－|AF 1|)2＝|AF 1|2＋8－4|AF 1|， 解得|AF 1|＝72.∴△AF 1F 2的面积S ＝12×22×72×22＝72. 思维升华 椭圆定义的应用技巧(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程、求焦点三角形的周长、面积及求弦长、最值和离心率等．(2)通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积问题．跟踪训练1(1)已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9.动圆M 在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程是()A.x264－y248＝1 B.x248＋y264＝1C.x248－y264＝1 D.x264＋y248＝1答案D解析设动圆的圆心M(x，y)，半径为r，圆M与圆C1：(x－4)2＋y2＝169内切，与圆C2：(x＋4)2＋y2＝9外切．所以|MC1|＝13－r，|MC2|＝3＋r.|MC1|＋|MC2|＝16>|C1C2|＝8，由椭圆的定义，M的轨迹是以C1，C2为焦点，长轴长为16的椭圆．则a＝8，c＝4，所以b2＝82－42＝48，动圆的圆心M的轨迹方程为x264＋y248＝1.(2)(2022·武汉调研)设椭圆x24＋y23＝1的一个焦点为F，则对于椭圆上两动点A，B，△ABF周长的最大值为()A．4＋ 5 B．6 C．25＋2 D．8答案D解析设F1为椭圆的另外一个焦点，则由椭圆的定义可得|AF|＋|BF|＋|AB|＝2a－|AF1|＋2a－|BF1|＋|AB|＝4a＋|AB|－|BF1|－|AF1|＝8＋|AB|－|BF1|－|AF1|，当A，B，F1三点共线时，|AB|－|BF1|－|AF1|＝0，当A，B，F1三点不共线时，|AB|－|BF1|－|AF1|<0，所以当A，B，F1三点共线时，△ABF的周长取得最大值8.题型二椭圆的标准方程命题点1定义法例2已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为()A.x22＋y2＝1B.x23＋y22＝1C.x24＋y23＝1D.x25＋y24＝1答案B解析设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，由椭圆定义可得|AF1|＋|AB|＋|BF1|＝4a. ∵|AB|＝|BF1|，∴|AF1|＋2|AB|＝4a.又|AF2|＝2|F2B|，∴|AB|＝32|AF2|，∴|AF1|＋3|AF2|＝4a.又|AF1|＋|AF2|＝2a，∴|AF2|＝a，∴A为椭圆的短轴端点．如图，不妨设A(0，b)，又F 2(1,0)，AF 2—→＝2F 2B —→， ∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－b 2.将B 点坐标代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1，得94a 2＋b 24b2＝1， ∴a 2＝3，b 2＝a 2－c 2＝2. ∴椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1.命题点2待定系数法例3已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P 1(6，1)，P 2(－3，－2)，则该椭圆的方程为________． 答案x 29＋y 23＝1解析设椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，且m ≠n )． 因为椭圆经过P 1，P 2两点， 所以点P 1，P 2的坐标满足椭圆方程，则⎩⎨⎧6m ＋n ＝1，3m ＋2n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝19，n ＝13.所以所求椭圆的方程为x 29＋y 23＝1.教师备选1．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为12，过F 2的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，若△F 1AB 的周长为8，则椭圆方程为() A.x 24＋y 23＝1 B.x 216＋y 212＝1C.x 22＋y 2＝1 D.x 24＋y 22＝1 答案A 解析如图，由椭圆的定义可知，△F 1AB 的周长为4a ， 所以4a ＝8，a ＝2， 又离心率为12，所以c ＝1，b 2＝3， 所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1.2．设椭圆x 2m 2＋y 2n 2＝1(m >0，n >0)的右焦点为(2,0)，离心率为22，则此椭圆的方程为________．答案x 28＋y 24＝1解析椭圆的右焦点为(2,0)， 所以m 2－n 2＝4，e ＝22＝2m，所以m ＝22，代入m 2－n 2＝4，得n 2＝4， 所以椭圆方程为x 28＋y 24＝1.思维升华 根据条件求椭圆方程的主要方法(1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义．(2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a ，b .当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )，不必考虑焦点位置，用待定系数法求出m ，n 的值即可．跟踪训练2(1)已知椭圆的两个焦点为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，M 是椭圆上一点，若MF 1⊥MF 2，|MF 1|·|MF 2|＝8，则该椭圆的方程是() A.x 27＋y 22＝1 B.x 22＋y 27＝1 C.x 29＋y 24＝1 D.x 24＋y 29＝1 答案C解析设|MF 1|＝m ，|MF 2|＝n ， 因为MF 1⊥MF 2，|MF 1|·|MF 2|＝8， |F 1F 2|＝25，所以m 2＋n 2＝20，mn ＝8， 所以(m ＋n )2＝36，所以m ＋n ＝2a ＝6，所以a ＝3. 因为c ＝5， 所以b ＝a 2－c 2＝2. 所以椭圆的方程是x 29＋y 24＝1.(2)已知F 1(－1,0)，F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交C 于A ，B 两点，且|AB |＝3，则C 的方程为() A.x 22＋y 2＝1 B.x 23＋y 22＝1 C.x 24＋y 23＝1 D.x 25＋y 24＝1 答案C解析如图，|AF 2|＝12|AB |＝32，|F 1F 2|＝2，由椭圆定义， 得|AF 1|＝2a －32.①在Rt△AF 1F 2中，|AF 1|2＝|AF 2|2＋|F 1F 2|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋22.②由①②得a ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝3. ∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.题型三 椭圆的几何性质 命题点1离心率例4(1)(2022·湛江模拟)已知F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点，过椭圆C 的下顶点且斜率为34的直线与以点F 为圆心、半焦距为半径的圆相切，则椭圆C 的离心率为()A.55 B.12 C.33 D.22答案A解析过椭圆C 的下顶点(0，－b )且斜率为34的直线方程为y ＝34x －b ，即34x －y －b ＝0，F (c ,0)，由点到直线距离公式， 得c ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪34c －b ⎝ ⎛⎭⎪⎫342＋1，即c 2＝－32bc ＋b 2，即(2c －b )(c ＋2b )＝0，则2c －b ＝0，b ＝2c .又a 2＝b 2＋c 2，即a 2＝(2c )2＋c 2＝5c 2， 解得c a ＝55. (2)已知F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P ，使∠F 1PF 2＝90°，则椭圆的离心率e 的取值范围为()A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，1答案B解析若椭圆上存在点P ，使得PF 1⊥PF 2，则以原点为圆心，F 1F 2为直径的圆与椭圆必有交点，如图，可得c ≥b ，即c 2≥b 2， 所以2c 2≥a 2，即e 2≥12，又e <1，所以e ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1.思维升华 求椭圆离心率或其范围的方法 (1)直接求出a ，c ，利用离心率公式e ＝ca求解．(2)由a 与b 的关系求离心率，利用变形公式e ＝1－b 2a2求解． (3)构造a ，c 的齐次式．可以不求出a ，c 的具体值，而是得出a 与c 的关系，从而求得e .命题点2与椭圆有关的范围(最值)例5(1)以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为()A ．1 B. 2 C ．2 D ．2 2 答案D解析设a ，b ，c 分别为椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距，依题意知，当三角形的高为b 时，以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积最大，所以12×2cb ＝1，故bc＝1，故2a ＝2b 2＋c 2≥22bc ＝22(当且仅当b ＝c ＝1时取等号)．(2)如图，焦点在x 轴上的椭圆x 24＋y 2b 2＝1(b >0)的离心率e ＝12，F ，A 分别是椭圆的左焦点和右顶点，P 是椭圆上任意一点，则PF →·PA →的最大值为________．答案4解析由题意知a ＝2，因为e ＝c a ＝12，所以c ＝1， 所以b 2＝a 2－c 2＝3， 故椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.设P 点的坐标为(x 0，y 0)， 所以－2≤x 0≤2，－3≤y 0≤ 3. 因为F (－1,0)，A (2,0)， 所以PF →＝(－1－x 0，－y 0)， PA →＝(2－x 0，－y 0)，所以PF →·PA →＝x 20－x 0－2＋y 20＝14x 20－x 0＋1＝14(x 0－2)2，所以当x0＝－2时，PF→·PA→取得最大值4.教师备选1．嫦娥四号在绕月飞行时是以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道③所示，其近月点与月球表面距离为100公里，远月点与月球表面距离为400公里，已知月球的直径约为3476公里，则下列选项中正确的是()A．焦距长约为400公里 B．长轴长约为3988公里C．两焦点坐标约为(±150,0) D．离心率约为75 994答案D解析设该椭圆的长半轴长为a，半焦距长为c.依题意可得月球半径约为12×3476＝1738，a－c＝100＋1738＝1838，a＋c＝400＋1738＝2138，所以2a＝1838＋2138＝3976，a＝1988，c＝2138－1988＝150,2c＝300，椭圆的离心率约为e＝ca＝1501988＝75994，可得D正确，A，B错误；因为没有给坐标系，焦点坐标不确定，所以C错误．2．(2022·太原模拟)若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为()A ．2B ．3C ．6D ．8 答案C解析由椭圆x 24＋y 23＝1可得F (－1,0)，点O (0,0)．设P (x ，y )(－2≤x ≤2)．则OP →·FP →＝x 2＋x ＋y 2＝x 2＋x ＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 24＝14x 2＋x ＋3＝14(x ＋2)2＋2，－2≤x ≤2， 当且仅当x ＝2时，OP →·FP →取得最大值6.思维升华 与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法 (1)利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质； (2)利用函数，尤其是二次函数； (3)利用不等式，尤其是基本不等式．跟踪训练3(1)(2022·济南质检)设椭圆E 的两焦点分别为F 1，F 2，以F 1为圆心，|F 1F 2|为半径的圆与E 交于P ，Q 两点．若△PF 1F 2为直角三角形，则E 的离心率为() A.2－1 B.5－12 C.22D.2＋1 答案A解析不妨设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，如图所示，∵△PF 1F 2为直角三角形， ∴PF 1⊥F 1F 2，又|PF 1|＝|F 1F 2|＝2c ， ∴|PF 2|＝22c ，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2c ＋22c ＝2a ， ∴椭圆E 的离心率e ＝c a＝2－1.(2)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，点A ，B 是长轴的两个端点，若椭圆上存在点P ，使得∠APB ＝120°，则该椭圆的离心率的取值范围是() A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫63，1 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，1 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，34答案A 解析如图，当P 在上顶点时，∠APB 最大， 此时∠APB ≥120°，则∠APO ≥60°，所以tan∠APO ≥tan60°＝3， 即a b≥3，a 2≥3b 2，a 2≥3(a 2－c 2)， 所以2a 2≤3c 2，则c a ≥63， 所以椭圆的离心率的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫63，1.课时精练1．已知动点M 到两个定点A (－2,0)，B (2,0)的距离之和为6，则动点M 的轨迹方程为() A.x 29＋y 2＝1 B.y 29＋x 25＝1C.y 29＋x 2＝1D.x 29＋y 25＝1 答案D解析由题意有6>2＋2＝4，故点M 的轨迹为焦点在x 轴上的椭圆， 则2a ＝6，c ＝2，故a 2＝9， 所以b 2＝a 2－c 2＝5， 故椭圆的方程为x 29＋y 25＝1.2．若椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为()A.12B.33C.22D.24 答案C解析依题意可知，c ＝b ， 又a ＝b 2＋c 2＝2c ， ∴椭圆的离心率e ＝ca ＝22. 3．椭圆x 22＋y 2＝1的两个焦点分别是F 1，F 2，点P 是椭圆上任意一点，则PF 1—→·PF 2—→的取值范围是()A ．[－1,1]B ．[－1,0]C ．[0,1]D ．[－1,2] 答案C解析设F 1为左焦点，则由椭圆方程得F 1(－1,0)，F 2(1,0)， 设P (x ，y )，－2≤x ≤2，∴PF 1—→＝(－1－x ，－y )，PF 2—→＝(1－x ，－y )， 则PF 1—→·PF 2—→＝x 2＋y 2－1＝x 22∈[0,1]．4．设e 是椭圆x 24＋y 2k ＝1的离心率，且e ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，则实数k 的取值范围是()A ．(0,3) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫3，163C ．(0,3)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫163，＋∞ D ．(0,2)答案C解析当k >4时，c ＝k －4， 由条件知14<k －4k <1，解得k >163； 当0<k <4时，c ＝4－k ， 由条件知14<4－k4<1，解得0<k <3.5．已知F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，现以F 2为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M ，N ，若过F 1的直线MF 1是圆F 2的切线，则椭圆的离心率为() A.3－1 B ．2－ 3 C.22 D.32答案A解析∵过F 1的直线MF 1是圆F 2的切线， ∴∠F 1MF 2＝90°，|MF 2|＝c ， ∵|F 1F 2|＝2c ， ∴|MF 1|＝3c ， 由椭圆定义可得|MF 1|＋|MF 2|＝c ＋3c ＝2a ， ∴椭圆的离心率e ＝21＋3＝3－1.6．(2022·济南模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|＝2，点P (1,1)在椭圆内部，点Q 在椭圆上，则以下说法不正确的是()A ．|QF 1|＋|QP |的最小值为2a －1B ．椭圆C 的短轴长可能为2C ．椭圆C 的离心率的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，5－12 D ．若PF 1—→＝F 1Q —→，则椭圆C 的长轴长为5＋17 答案B解析由题意可知2c ＝2，则c ＝1，因为点Q 在椭圆上， 所以|QF 1|＋|QF 2|＝2a ，|QF 1|＋|QP |＝2a －|QF 2|＋|QP |， 又－1≤－|QF 2|＋|QP |≤1，所以A 正确； 因为点P (1,1)在椭圆内部，所以b >1,2b >2， 所以B 错误；因为点P (1,1)在椭圆内部，所以1a 2＋1b2<1，即b 2＋a 2－a 2b 2<0，又c ＝1，b 2＝a 2－c 2， 所以(a 2－1)＋a 2－a 2(a 2－1)<0， 化简可得a 4－3a 2＋1>0(a >1)， 解得a 2>3＋52或a 2<3－52(舍去)， 则椭圆C 的离心率e ＝ca<13＋52＝15＋12＝5－12，又0<e <1，所以椭圆C 的离心率的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，5－12， 所以C 正确；由PF 1—→＝F 1Q —→可得，F 1为PQ 的中点， 而P (1,1)，F 1(－1,0)， 所以Q (－3，－1)， |QF 1|＋|QF 2|＝(－3＋1)2＋(－1－0)2＋(－3－1)2＋(－1－0)2 ＝5＋17＝2a ， 所以D 正确．7.如图是篮球在太阳光照射下的影子，已知篮球的直径为22cm ，现太阳光与地面的夹角为60°，则此椭圆形影子的离心率为________．答案12解析由图可得，椭圆的短轴长2b ＝22⇒b ＝11，2a ＝22sin60°＝2232⇒a ＝223，∴e ＝c a＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝1－34＝12. 8．(2021·全国甲卷)已知F 1，F 2为椭圆C ：x 216＋y 24＝1的两个焦点，P ，Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且|PQ |＝|F 1F 2|，则四边形PF 1QF 2的面积为________． 答案8解析根据椭圆的对称性及|PQ |＝|F 1F 2|可以得到四边形PF 1QF 2为对角线相等的平行四边形，所以四边形PF 1QF 2为矩形．设|PF 1|＝m ，则|PF 2|＝2a －|PF 1|＝8－m ，则|PF 1|2＋|PF 2|2＝m 2＋(8－m )2＝2m 2＋64－16m ＝|F 1F 2|2＝4c 2＝4(a 2－b 2)＝48，得m (8－m )＝8，所以四边形PF 1QF 2的面积为|PF 1|×|PF 2|＝m (8－m )＝8. 9．已知椭圆的长轴长为10，两焦点F 1，F 2的坐标分别为(3,0)和(－3,0)． (1)求椭圆的标准方程；(2)若P 为短轴的一个端点，求△F 1PF 2的面积． 解(1)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)， 依题意得⎩⎨⎧2a ＝10，c ＝3，因此a ＝5，b ＝4，所以椭圆的标准方程为x 225＋y 216＝1.(2)易知|y P |＝4，又c ＝3，所以12F PF S △＝12|y P |×2c ＝12×4×6＝12.10．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，焦点F 1(－c ,0)，F 2(c ,0)，左顶点为A ，点E 的坐标为(0，c )，A 到直线EF 2的距离为62b .(1)求椭圆C 的离心率；(2)若P 为椭圆C 上的一点，∠F 1PF 2＝60°，△PF 1F 2的面积为3，求椭圆C 的方程． 解(1)由题意得，A (－a ,0)，EF 2：x ＋y ＝c ， 因为A 到直线EF 2的距离为62b ， 即|－a －c |12＋12＝62b ，所以a ＋c ＝3b ，即(a ＋c )2＝3b 2，又b 2＝a 2－c 2， 所以(a ＋c )2＝3(a 2－c 2)， 所以2c 2＋ac －a 2＝0， 因为离心率e ＝c a， 所以2e 2＋e －1＝0， 解得e ＝12或e ＝－1(舍)，所以椭圆C 的离心率为12.(2)由(1)知离心率e ＝c a ＝12，即a ＝2c ，①因为∠F 1PF 2＝60°，△PF 1F 2的面积为3， 则12|PF 1||PF 2|sin60°＝3， 所以|PF 1||PF 2|＝4，又⎩⎨⎧|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos60°＝(2c )2，所以a 2－c 2＝3，②联立①②得a ＝2，c ＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝3， 所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.11．(2022·大连模拟)已知椭圆C ：x 216＋y 29＝1的左、右焦点分别是F 1，F 2，左、右顶点分别是A 1，A 2，点P 是椭圆C 上异于A 1，A 2的任意一点，则下列说法正确的是() A ．|PF 1|＋|PF 2|＝4B ．存在点P 满足∠F 1PF 2＝90°C ．直线PA 1与直线PA 2的斜率之积为－916D ．若△F 1PF 2的面积为27，则点P 的横坐标为453答案C解析由椭圆方程知a ＝4，b ＝3，c ＝7， |PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝8，A 错误； 当P 在椭圆上、下顶点时， cos∠F 1PF 2＝2a 2－4c 22a 2＝18>0，即∠F 1PF 2最大值小于π2，B 错误； 若P (x ′，y ′)，则1PA k ＝y ′x ′＋4，2PA k ＝y ′x ′－4，有1PA k ·2PA k ＝y ′2x ′2－16，而x ′216＋y ′29＝1，所以－16y ′2＝9(x ′2－16)， 即有1PA k ·2PA k ＝－916，C 正确；若P (x ′，y ′)，△F 1PF 2的面积为27， 即2c ·|y ′|2＝27， 故y ′＝±2，代入椭圆方程得x ′＝±453，D 错误． 12．2021年10月16日，神舟十三号发射圆满成功，人民日报微博发了一条“跨越时空的同一天”，致敬每一代人的拼搏！已知飞船在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即飞船的向径(卫星与地球的连线)在相同的时间内扫过的面积相等．设椭圆的长轴长、焦距分别为2a ,2c ，下列结论不正确的是()A ．飞船向径的取值范围是[a －c ，a ＋c ]B ．飞船在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间C ．飞船向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁D ．飞船运行速度在近地点时最大，在远地点时最小答案C解析根据椭圆定义知飞船向径的取值范围是[a －c ，a ＋c ]，A 正确；当飞船在左半椭圆弧上运行时，对应的面积更大，根据面积守恒规律，知在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间，B 正确；a －c a ＋c ＝1－e 1＋e ＝21＋e－1，比值越大，则e 越小，椭圆轨道越圆，C 错误； 根据面积守恒规律，飞船在近地点时向径最小，故速度最大，在远地点时向径最大，故速度最小，D 正确．13．设F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，若在直线x ＝a 2c 上存在点P ，使线段PF 1的中垂线过点F 2，则椭圆离心率的取值范围是() A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，33C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1 答案D解析设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，m ，F 1(－c ,0)，F 2(c ,0)，由线段PF 1的中垂线过点F 2得 |PF 2|＝|F 1F 2|， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c －c 2＋m 2＝2c ， 得m 2＝4c 2－⎝⎛⎭⎪⎫a 2c －c 2＝－a 4c 2＋2a 2＋3c 2≥0， 即3c 4＋2a 2c 2－a 4≥0，得3e 4＋2e 2－1≥0，解得e 2≥13，又0<e <1，故33≤e <1. 14．(2021·浙江)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，焦点F 1(－c ，0)，F 2(c ,0)(c >0)．若过F 1的直线和圆⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12c 2＋y 2＝c 2相切，与椭圆的第一象限交于点P ，且PF 2⊥x 轴，则该直线的斜率是________，椭圆的离心率是________． 答案25555解析设过F 1的直线与圆的切点为M ，圆心A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12c ，0，则|AM |＝c ，|AF 1|＝32c ，所以|MF 1|＝52c ， 所以该直线的斜率k ＝|AM ||MF 1|＝c 52c ＝255. 因为PF 2⊥x 轴，所以|PF 2|＝b 2a ，又|F 1F 2|＝2c ，所以k ＝255＝b 2a 2c ＝a 2－c 22ac ＝1－e 22e (0<e <1)，得e ＝55.15．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的短轴长为2，上顶点为A ，左顶点为B ，左、右焦点分别为F 1，F 2，且△F 1AB 的面积为2－32，若点P 为椭圆上的任意一点，则1|PF 1|＋1|PF 2|的取值范围是________． 答案[1,4]解析由已知得2b ＝2，故b ＝1. ∵△F 1AB 的面积为2－32，∴12(a －c )b ＝2－32， ∴a －c ＝2－3，又a 2－c 2＝(a －c )(a ＋c )＝b 2＝1， ∴a ＝2，c ＝3， ∴1|PF 1|＋1|PF 2|＝|PF 1|＋|PF 2||PF 1||PF 2|＝2a|PF 1|(2a －|PF 1|)＝4－|PF 1|2＋4|PF 1|.又2－3≤|PF 1|≤2＋3， ∴1≤－|PF 1|2＋4|PF 1|≤4，∴1≤1|PF 1|＋1|PF 2|≤4， 即1|PF 1|＋1|PF 2|的取值范围为[1,4]．16．已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，∠F 1PF 2＝60°.(1)求椭圆的离心率的取值范围；(2)求证：△F 1PF 2的面积只与椭圆的短轴长有关．(1)解不妨设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，焦距为2c . 在△F 1PF 2中，由余弦定理得，cos60°＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2|－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|， 即4a 2－2|PF 1|·|PF 2|－4c 22|PF 1|·|PF 2|＝12， 所以|PF 1|·|PF 2|＝4a 2－2|PF 1|·|PF 2|－4c 2，所以3|PF 1|·|PF 2|＝4b 2，所以|PF 1|·|PF 2|＝4b 23. 又因为|PF 1|·|PF 2|≤⎝ ⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝a 2， 当且仅当|PF 1|＝|PF 2|时等号成立，所以3a 2≥4(a 2－c 2)， 所以c a ≥12，所以e ≥12. 又因为0<e <1，所以所求椭圆的离心率的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1. (2)证明由(1)可知|PF 1|·|PF 2|＝43b 2， 所12F PF S △＝12|PF 1|·|PF 2|sin 60° ＝12×43b 2×32＝33b 2， 所以△F 1PF 2的面积只与椭圆的短轴长有关．。

教学内容：椭圆的简单几何性质【基础知识精讲】22a x +22by =1(a ＞b ＞0)；范围：椭圆位于直线x=±a 和y=±b 所围成的矩形里；即｜x ｜≤a ；｜y ｜≤b.2.对称性：椭圆关于x 轴；y 轴和原点都是对称的.坐标轴为椭圆的对称轴；原点是椭圆的对称中心；即为椭圆的中心.3.顶点：椭园与坐标轴的交点为椭圆的顶点为A 1(-a ；0)；A 2(a ；0)；B 1(0；b)；B 2(0；-b)4.离心率：e=ac；(o ＜e ＜1)；e 越接近于1；则椭圆越扁；e 越接近于0；椭圆就越接近于圆.5.椭圆的第二定义：平面内的点到定点的距离和它到定直线的距离的比为常数e(0＜e ＜1)的点的轨迹.定点即为椭圆的焦点；定直线为椭圆的准线.6.椭圆的焦半径公式：设P(x 0；y 0)是椭圆22a x +22by =1(a ＞b ＞0)上的任意一点；F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点；则｜PF 1｜=a+ex 0；｜PF 2｜=a-ex 0.⎩⎨⎧==ϕϕϕsin )(cos b y a x 是参数 本节学习要求：椭圆的几何性质内容多.它与直线的位置关系的确定离不开一元二次方程中的判别式及韦达定理.如椭圆中的弦长问题：若直线y=kx+b 和二次曲线Ax 2+Cy 2+Dx+Ey+F=0相交；所得弦长可由下法求之；由两方程中消去y ；得ax 2+bx+c=0；记△=b 2-4ac ；则弦长=ak )1(2+△;若弦过焦点；则用焦半径公式更为简洁.这要求大家针对具体的题目；灵活采用方法计算弦长或与焦半径有关的问题.【重点难点解析】通过“圆的方程”的学习我们知道；圆的几何性质问题用代数的方法解题简便；计算量小的特点；同样；椭圆也有类似的几何性质；那么在学习本节之前要复习椭圆的定义及标准方程；在此基础上来学习椭圆的几何性质；掌握椭圆的性质；标准方程；及椭圆的第二定义.例1 设直线l 过点P(-1；0)；倾角为3π；求l 被椭圆x 2+2y 2=4所截得的弦长. 解：直线l 的方程为y=3x+3；代入椭圆方程；得7x 2+12x+2=0；∵△=144-4×7×2=88∴弦长=7)31(88+=7224 例2 求椭圆252x +812y =1上的点到直线3x+4y-64=0的最长距离与最短距离.解：设椭圆上的点为(5cos θ；9sin θ)；则 d=564sin 36cos 53-θ+θ⨯=564cos 15sin 36-+θθ=564)125arctan sin(39-+θ∴d max =564139-⨯例3 已知椭圆42x +32y =1内有一点P(1；-1)；F 是右焦点；M 是椭圆上的动点；求|MP|+2|MF|的最小值；并求此时M 的坐标.解：过M 作右准线x=4的垂线；垂足为M 1；由椭圆第二定义；有1MM MF =21∴2｜MF ｜=｜MM 1｜∴｜MP ｜+2｜MF ｜=｜MP ｜+｜MM 1｜过P 作右准线的垂线交椭圆于N ；垂足为N 1；垂线方程为y=-1.显然｜MP ｜+｜MM 1｜≥｜NP ｜+｜NN 1｜(当M 与N 重合时等号成立)而｜NP ｜+｜NN 1｜=｜PN 1｜=3由方程组⎩⎨⎧==+1124322y y x 得N(362；-1)∴｜MP ｜+2｜MF ｜的最小值是3；此时M 的坐标是(362；-1)【难题巧解点拨】例1 P 是椭圆方程为162y +92x =1上的任意一点；F 1；F 2是椭圆的两个焦点；试求｜PF 1｜·｜PF 2｜的取值范围.解：设｜PF 1｜=t ；则t ∈［a-c ；a+c ］；即t ∈［4-7；4+7］且｜PF 2｜=2a-t=8-t. ∴｜PF 1｜·｜PF 2｜=t(8-t)=-(t-4)2+16 t ∈［4-7；4+7］当t=4时；取最大值为16 当t=4±7时；取最小值为9.∴所求范围为［9；16］ 例2 F 1、F 2是椭圆的两个焦点；过F 2作一条直线交椭圆于P 、Q 两点；使PF 1⊥PQ ；且｜PF 1｜=｜PQ ｜；求椭圆的离心率e.解：如下图；设｜PF 1｜=t ；则｜PQ ｜=t ；｜F 1Q ｜=2t ；由椭圆定义有：｜PF 1｜+｜PF 2｜=｜QF 1｜+｜QF 2｜=2a∴｜PF 1｜+｜PQ ｜+｜F 1Q ｜=4a 即(2+2)t=4a ；t=(4-22)a ∴｜PF 2｜=2a-t=(22-2)a 在Rt △PF 1F 2中；｜F 1F 1｜2=(2c)2∴［(4-22)a ］2+［(22-2)a ］2=(2c)2∴22ac =9-62 ∴e=a c =6-3例3 已知P 是椭圆22a x +22by =1(a ＞b ＞0)上的一点；F 1F 2为两焦点；且F 1P ⊥F 2P ；若P到两准线的距离分别为6和12；求此椭圆方程.解：(利用椭圆第二定义求解)∵点P 到两准线的距离分别是6和12∴2·ca 2 =6+12 即a 2=9c由椭圆第二定义知；e=11d PF =22d PF∵d 1=6；d 2=12 ∴｜PF 1｜=6e ；｜PF 2｜=12e又∵PF 1⊥PF 2 ∴｜PF 1｜2+｜PF 2｜2=｜F 1F 2｜2∴36e 2+144e 2=4c 2∵e=ac ∴a 2=45 又a 2=9c ∴c=5 ∴b 2=a 2-c 2=20∴所求椭圆的方程的452x +202y =1例4 在椭圆3x 2+4y 2=12上；是否存在相异的两点A 、B 关于直线y=4x+m 对称并说明理由.解：设A(x 1；y 1)；B(x 2；y 2)；AB 的中点M(x 0；y 0) 直线AB ：y=-41x+t ；将AB 的方程代入椭圆的方程消去y 得；13x 2-8tx+16t 2-48=0 ∴△=(-8t)2-4×13×(16t 2-48)＞0 ∴-213＜t ＜213①且x 1+x 2=138t又AB 的中点M 在直线y=4x+m 上； ∴1312t=4×134t+m ∴t=-413m 代入①式得： -13213＜m ＜13213 解法二：设A(x 1；y 1)；B(x 2；y 2)是椭圆上关于直线l :y=4x+m 对称的两点；则421x +321y =1 ① 422x +322y =1 ② ①-②得42221x x -+32221y y -=0∴2121x x y y --=)(4)(32121y y x x +-+而K AB =2121x x y y -- =-41故有)(4)(32121y y x x +-+=-41设AB 的中点为(x ；y)；则有x 1+x 2=2x ；y 1+y 2=2y 代入即得AB 中点的轨迹方程为y=3x. 由⎩⎨⎧-=-=⇒⎩⎨⎧+==my mx m x y x y 343 由于AB 的中点在椭圆内部∴4)(2m -+3)3(2m -＜1⇒m 2＜134⇒-13213＜m ＜13213 故当m ∈(-13213；13213)时；椭圆C 上有不同的两点关于直线对称. 例5 椭圆92522y x +=1上不同三点A(x 1；y 1)；B(4； 159)；C(x 2；y 2)与焦点F(4；0)的距离成等差数列.(1)求证：x 1+x 2=8(2)若线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点为T ；求直线BT 的斜率k. 解：由题知a=5；b=3；c=4. (1)由椭圆的第二定义知：12x ca AF -=a c ⇒｜AF ｜=a-ac x 1=5-54x 1同理有｜CF ｜=5-54x 2 ∵｜AF ｜+｜CF ｜=2｜BF ｜ 且｜BF ｜=159 ∴(5-54x 1)+(5-54x 2)=518 即x 1+x 2=8(2)∵线段AC 的中点为(4；221y y +) ∴它的垂直平分线方程为y-221y y + =1221y y x x --(x-4)又点T 在x 轴上；设其坐标为(x 0；0)；代入上式得；x 0-4=)(2212221x x y y -- ①点A(x 1；y 1)；B(x 2；y 2)都在椭圆上∴y 21=259(25-x 21)；y 22=259 (25-x 22) ∴y 21-y 22=-259(x 1+x 2)(x 1-x 2) 将此式代入①并利用x 1+x 2=8得 x 0-4=-2536 ∴k BT =04059x --=45【命题趋势分析】1.熟练掌握椭圆的第二定义；两种形式的标准方程及几何性质；运用它们及参数间的关系解决相关问题.2.必要时；椭圆方程可设为mx 2+ny 2=1(m ＞0；n ＞0)；这样计算简洁；还可避免对焦点位置的讨论.3.遇到弦的中点问题时；常用点差法.例1 椭圆31222y x +=1的焦点为F 1；F 2；点P 在椭圆上；如果线段PF 1的中点在y 轴上；那么｜PF 1｜是｜PF 2｜的( )A.7倍B.5倍C.4倍解：设F 1(-3；0)；e=23；P(x 0；y 0) ∵线段PF 1的中点的横坐标为0；∴230-x =0 即x 0=3 ∴｜PF 1｜=a+ex 0=23+23×3=273∴｜PF 2｜=2a-｜PF 1｜=43 -273 =23 ∴｜PF 1｜=7｜PF 2｜ 故选A例2 设椭圆的中心是坐标原点；长轴在x 轴上；离心率e=23；已知点P(0；23)到这个椭圆上的点的最远距离为7；求这个椭圆方程；并求椭圆上到P 的距离等于7的点的坐标.解：设所求椭圆方程为22a x +22b y =1(a ＞b ＞0)由e 2=22a c =222ab a - =1-22a b 和e=23得a=2b 设椭圆上的点(x ；y)到P 点的距离为d ；则d 2=x 2+(y-23)2=a 2(1-22by )+y 2-3y+49=-3(y+21)2+4b 2+3 (-b ≤y ≤b) 若b ＜21时；则当y=-b 时；d 2(从而d)有最大值；由题设得(7)2=(b+23)2；由此得b=7 -23＞21与b ＜21矛盾.若b ≥21时；当y=-21时；d 2有最大值；从而d 有最大值；有(7)2=4b 2+3；∴b=1；a=2∴所求椭圆方程为42x +y 2=1；椭圆上的点(-3；-21)；点(3；-21)到P 点的距离都是7.说明：本题体现了数学的转化与函数思想；本题关键是讨论距离函数d 2=-3(y+21 )2+4b 2+3在区间［-b ；b ］上的最值；二次函数在区间上的最值问题要就对称轴与区间的关系来讨论.例3 已知椭圆的中心在原点O ；焦点在坐标轴上；直线y=x+1与该椭圆相交于P 和Q ；且OP ⊥OQ ；｜PQ ｜=210.求椭圆方程. 分析 设P(x 1；y 1)；Q(x 2；y 2；)由OP ⊥OQ 知x 1x 2+y 1y 2=0；再结合弦长公式与韦达定理求解.解：设椭圆的方程为22a x +22by =1(a ＞0；b ＞0；a ＞b 或a ＜b)；点P 、Q 的坐标别为P(x 1；y 1)；Q(x 2；y 2).由⎪⎩⎪⎨⎧+==+112222x y b y a x 消去y 得 (a 2+b 2)x 2+2a 2x+a 2-a 2b 2=0；当△=(2a 2)2-4(a 2+b 2)(a 2-a 2b 2)＞0时由韦达定理得x 1+x 2=-2222ba a +；x 1x 2=22222b a b a a +-. 且y 1=x 1+1；y 2=x 2+1； ∵OP ⊥OQ ；∴11x y ·22x y=-1；即y 1y 2+x 1x 2=0； ∴(x 1+1)(x 2+1)+x 1x 2=0；∴2x 1x 2+(x 1+x 2)+1=0；①又｜PQ ｜=210；由弦长公式有： 211+｜x 2-x 1｜=210； ∴2［(x 1+x 2)2-4x 1x 2］=410； ∴4(x 1+x 2)2-16x 1x 2-5=0②解由①、②组成的方程组得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=,32,412121x x x x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=•21412121x x x x ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=+-32241)1(2222222b a a b a b a ；或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+--=+-,212,41)1(2222222b a a b a b a解得⎪⎩⎪⎨⎧==32222b a 或⎪⎩⎪⎨⎧==23222b a故所求椭圆方程为22x +322y =1或322x +22y =1【同步达纲练习】A 级一、选择题22a x +22b y =1与22a x +22by =k(a ＞b ＞0；k ＞0)一定具有相同的( )A.长轴B.焦点 C .离心率23；且过点(2；0)的椭圆标准方程为( ) A. 42x +y 2=1B. 42x +y 2=1或x 2+42y =1C. x 2+412y =1D. 42x +y 2=1或42x +162y =1m x -252+my +162=1表示焦点在y 轴上的椭圆；则实数m 的取值范围是( )A.(-16；25)B.(29；25) C.(-16；29) D.(29；+∞) 4.若圆(x-a)2+y 2=9与椭圆92x +42y =1有公共点；则实数a 的取值范围是( )A.(-∞；+∞)B.［-6；6］C.［-35；35］ D.φ5.若椭圆的两个焦点三等分两条准线间的距离；则椭圆的离心率为( )B.51C.3D.33二、填空题42+m x +82y =1的离心率e=21；则实数m 的值为 .52-k x +ky -32=-1表示椭圆；则实数k 的取值范围是 . 8.若椭圆的长轴长、短轴长；焦距依次成等差数列；则其离心率e= .三、解答题92x +42y =1上的点P 到其右焦点的距离是长轴两端点到右焦点的距离的等差中项；求P 点坐标.92x +42y =1上的点；且∠F 1PF 2=90°；求△F 1PF 2的面积.AA 级一、选择题1.不论k 为何值；直线y=kx+1与焦点在x 轴上的椭圆72x +my 2=1有公共点；则实数m的范围是( )A.(0；1)B.(0；7) C .［1；7］ D.(1；7］ 2.椭圆的两个焦点和中心将两准线间的距离四等分；则一焦点与短轴两端点连线的夹角为( )A.4π B.3π C.2π D.32π 1、F 2是椭圆22a x +22by =1(a ＞b ＞0)的两个焦点AB 是过F 1的弦；则△ABF 2的周长是( ) D.2a+2b4.已知(0；-4)是椭圆3kx 2+ky 2=1的一个焦点；则实数k 的值是( )B.61D.241 2为圆心作圆；使这圆过椭圆的中心；且交椭圆于M 点；若直线MF 1是圆F 2的切线；则椭圆的离心率是( )A. 3-13C.22 D.23二、填空题6.以椭圆的两个焦点为直径端点的圆交椭圆于四个点；若顺次连接四个点及两个焦点恰好组成一个正六边形；则椭圆的离心率e= .1F 2是椭圆两焦点；P 是椭圆上一点；△PF 1F 2满足∠PF 1F 2：∠PF 2F 1：∠F 1PF 2=1∶2∶3；则此椭圆的离心率e=8.已知A(1；1) B(2；3)；椭圆C:x 2+4y 2=4a 2；如果椭圆C 和线段AB 有公共点；则正数a 的取值范围是 .三、解答题9.已知A 、B 是椭圆22a x +22925a y =1上的两点；F 2是椭圆的右焦点；若｜AF 2｜+｜BF 2｜=58a ；AB 中点到椭圆左准线距离为23；求椭圆方程.22a x +22by =1(a ＞b ＞0)的左顶点为A ；若椭圆上存在一点P ；使∠OPA=2π；求椭圆离心率的取值范围.【素质优化训练】一、选择题1.已知M 为椭圆上一点；F 1F 2是两焦点；且∠MF 1F 2=2α；∠MF 2F 1=α(α≠0)；则椭圆的离心率是( )α α α α-12+y 2=1上的点到直线y=3x-4的距离的最小值是( ) A. 3102- B. 3105- C. 432+ D.4108- 22a x +22b y =1(a ＞b ＞0)的一个焦点；PQ 是过其中心的一条弦；则△FQP 面积的最大值是( ) A.21ab22a x +22by =1(a ＞b ＞0)的离心率等于53；若将此椭圆绕右焦点按逆时针方向旋转2π后；新位置的椭圆有一条准线方程是y=316；则原椭圆方程是( ) A.1292x +482y =1 B. 1002x +642y =1 C.252x +162y =1 D. 162x +92y =1 122x +62y =1的一个焦点为F 1；点P 在椭圆上；若线段PF 1的中点M 在y 轴上；则M 的纵坐标是( )A.±43B.±23C.±22D.±43二、填空题6.已知圆柱底面的直径为2k ；一个与底面成30°角的平面截这个圆柱；则截面上的椭圆的离心率是22a x +22b y =1(a ＞b ＞0)上的点；且∠F 1PF 2=θ；则△F 1PF 2的面积是8.点P(0；1)到椭圆22x +y 2=1上点的最大距离是 .三、解答题9.已知椭圆长轴｜A 1A 2｜=6；｜F 1F 2｜=42；过椭圆焦点F 1作一直线；交椭圆于M 、N 两点；设∠F 2F 1M=α(0≤α≤π)；问当α取何值时；｜MN ｜等于椭圆的短轴长.22a x +22by =1(a ＞b ＞0)与x 轴交于AB 两点；F 1F 2为焦点. (1)过一焦点F 2作垂直于长轴的弦MN ；求∠AMB 的大小范围(2)若椭圆上有一点P ；使得∠APB=120°；求P 点的纵坐标；并求椭圆离心率满足什么条件时；这样的点P 才存在.【生活实际运用】要把一个边长分别为52cm 和30cm 的矩形板锯成椭圆形；使它的长轴和短轴长分别为52cm 和30cm 用简便的方法在木板上画出这个椭圆的草图.参考答案：【同步达纲练习】A 级 1.C 2.D 3.B 4.B 5.D 6. 323或517 7.3＜k ＜5且k ≠4 8. 53 AA 级 1.C 2.C 3.B 4.D 5.A 6. 3 -1 7.3-1 8.［25； 102+925y 2=1 10.22＜e ＜1 【素质优化训练】 1.D 2.D 3.D 4.C 5.A 6.212tan 2θ 8.2 9.α=6π或65π 10.(1) 2π＜∠AMB ＜π-arccot2 (2)e ∈［36；1］。

可编辑修改精选全文完整版椭圆的简单几何性质单县教研室 周启杰一、教学目标知识与技能：掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率这四个几何性质，掌握标准方程中 以及 的几何意义， 之 间的相互关系。

过程与方法：用代数的方法研究曲线的几何性质．情感、态度、价值观：通过用代数的方法研究曲线的几何性质，让学生充分认识 、 体会数与形的联系与统一，认识椭圆的美学价值和应用价值 。

二、教学重点椭圆的简单几何性质：椭圆的范围、对称性、顶点、离心率。

三、教学难点利用椭圆的方程研究椭圆的几何性质.四、教学过程【课前自主复习】中椭圆的有关知识； 2.复习必修2第二章第11页---12页上头的内容，及必修2第三章的有关知识:与直线 平行的直线方程可写为两平行直线 间的距离为 。

【课内探究】1、出示学习目标：椭圆的几何性质学习方法：利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质。

2. 直观感知：观察椭圆的形状，你能 从图上看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆哪些点比较特殊？3．椭圆的几何性质下面我们根据椭圆的标准方程来研究椭圆的几何性质．（1）范围对观察结果，引导学生从标准方程 ，得出不等式 ， ，即，．yxo++=0Ax By C 11:++=0l Ax By C 22:++=0l Ax By C（引导学生由等式向不定式转化，克服难点） 这说明椭圆位于直线 和直线b y ±= 所围成的矩形框里．(2）对称性可以看出，椭圆关于 轴对称，关于 轴对称，关于原点对称。

在中，以代 ， 以代，或以代 ，同时以 代，方程解不变．说明椭圆上的任一点关于 轴的对称点，关于 轴的对称点，关于原点的对称点也在椭圆上，故椭圆关于 轴对称。

同理关于 轴对称，关于原点对称。

轴、 轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心。

椭圆的对称中心叫做椭 圆的中心． （3）顶点引导学生从椭圆的标准方程 分析它与 轴、轴的交点，只须令得，说明()()b B b B ,0,,021- 是椭圆与轴的两个交点。

椭圆的简单几何性质（2）高考频度：★★★★☆ 难易程度：★★★☆☆典例在线正方形的四个顶点都在椭圆22221x y a b +=上，若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是A ．⎫⎪⎪⎝⎭B ．⎛⎝⎭C ．⎫⎪⎪⎝⎭D ．⎛ ⎝⎭【参考答案】B【解题必备】本题主要考查利用椭圆的简单几何性质求椭圆的离心率，属于中档题.求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴、离心率等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率范围问题时应先将与有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的不等式，从而求出的范围.本题是利用椭圆的焦点在正方形的内部，m c >构造出关于的不等式，最后解出的范围.学霸推荐1．直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为 A ．13B ．12C ．23D ．342．如图，在平面直角坐标系xOy 中，A 1，A 2，B 1，B 2为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的四个顶点，F 为其右焦点，直线A 1B 2与直线B 1F 相交于点T ，线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段OT 的中点，则该椭圆的离心率为___________．2．【答案】5【解析】设F (c ，0)，则222c a b =-．由题意，易得直线A 1B 2，B 1F 的方程分别为1x y a b +=-，1x y c b+=-．将上述两个方程联立，求解可得点T 的坐标为T 2()(,)ac b a c a c a c+--，则M ()(,)2()ac b a c a c a c +--． 又点M 在椭圆上，所以2222()1()4()c a c a c a c ++=--，整理得221030c ac a +-=，两边同时除以2a ，可得21030e e +-=，解得5e =或5e =-(舍去)．。

椭圆的几何性质要点梳理一、椭圆两个标准方程的几何性质：二、规律总结1．通过对椭圆的X围、对称性、特殊点（顶点、焦点、中心）、对称轴及其他特性的讨论，从整体上把握曲线的形状、大小和位置，进而掌握椭圆的性质。

学习过程中应注意：图形与性质对照，方程与性质对照，通过数形结合的方式牢固掌握椭圆的几何性质。

2 涉及直线与椭圆位置关系问题时，注意判别式及韦达定理的运用，特别是方程思想、整体思想在解题中的应用。

3．待定系数法是解决问题的一种重要方法，同时要注意方程思想、分类讨论思想在解题中的应用。

4．在由椭圆的标准方程写出椭圆的性质，如长轴长、短轴长、顶点坐标、焦点坐标等，要分清焦点在x 轴上还是在y 轴上，不要弄错。

三、X 例点悟例1 已知椭圆()()2230x m y m m ++=>的离心率2e =，求m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标。

分析：解决本题的关键是确定m 的值，因此，应先将椭圆方程化为标准形式，用m 表示a 、b 、c，再由e =m 的值。

解析：椭圆方程可化为2213x y m mm +=+。

∵()2033m m m m m m +-=>++，∴3m m m >+，即22,,3ma mbc m ====+由2e ==1m =。

∴椭圆的标准方程为22114y x +=，∴11,,22a b c ===。

∴椭圆的长轴为2，短轴长为1；两焦点坐标分别为1F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，2F ⎫⎪⎪⎝⎭；四个顶点分别为()()1212111,0,1,0,0,,0,22A A B B ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

评注：解决有关椭圆问题，首先应弄清椭圆的类型，而椭圆的类型又决定于焦点的位置。

例2 求长轴长为20，离心率等于35的椭圆的标准方程。

分析：根据椭圆的几何性质确定椭圆的标准方程。

解析：由已知3220,5c a e a ===，∴2222210,6,12880a c b a c ===-=-=。