高中数学：正弦定理和余弦定理配套练习(人教版必修5)

《1.1 正弦定理和余弦定理》同步训练(答案在后面)一、单选题（本大题有8小题，每小题5分，共40分）1、在三角形ABC 中，已知角A 的余弦值为12，角B 的余弦值为√32，则角C 的余弦值为：A.12B.√32C.−12D.−√32 2、在△ABC 中，已知a=5，b=7，∠C=60°，根据正弦定理求边c 的长度。

（选项中的值保留两位小数）A. 8.09B. 7.00C. 6.08D. 5.003、在三角形ABC 中，已知a=10，b=8，∠B=60°，则c 的长度为（ ）A. 10B. 12C. 14D. 164、在三角形ABC中，已知角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=5，b=7，角A 的余弦值为3，则角B的正弦值为（）5A.45B.35C.2425D.7255、在三角形ABC中，已知a=5，b=8，∠A=60°，则边c的长度为（）A. 13B. 5√3C. 10D. 2√36、在三角形ABC中，已知角A、B、C的对边分别为a、b、c，且sinA=3/5，sinB=4/5，则cosC的值为（）A. 7/25B. 24/25C. 3/5D. 4/57、在三角形ABC中，已知∠A=60°，∠B=45°，AB=5，则边AC的长度是：A.√10B.√5C.√2D. 58、在三角形ABC 中，已知a=6，b=8，∠A=120°，则sinB 的值为：A. 3√2/4B. 3√3/4C. √3/4D. √2/4二、多选题（本大题有3小题，每小题6分，共18分）1、在三角形ABC 中，已知角A 的余弦值为12，角B 的余弦值为√32，则角C 的余弦值为：A.√32B.12C.−√32D.−122、在三角形ABC 中，已知角A=60°，边长a=10，b=8，则下列说法正确的是（ ）A. 角B 小于45°B. 边c 大于10C. 三角形ABC 为锐角三角形D. 三角形ABC 面积为20√33、在三角形ABC 中，已知角A 的余弦值为1/2，角B 的余弦值为3/5，且角A 大于角B ，下列选项中，可能成立的边长关系是：A. a < b < cB. a > b > cC. a = b = cD. a < b = c三、填空题（本大题有3小题，每小题5分，共15分）1、在△ABC中，已知a=6，b=8，∠C=60°，则c=______.2、在三角形ABC中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=10，b=8，∠A=30°，则c=______ 。

习题课 正弦定理和余弦定理基础过关1.在△ABC 中，若a ＝7，b ＝8，cos C ＝1314，则最大角的余弦值是( ) A.－15 B.－16 C.－17D.－18解析 c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝9，c ＝3，B 为最大角，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝49＋9－642×7×3＝－17.答案 C2.某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为113，111，15，则此人能( )A.不能作出这样的三角形B.作出一个锐角三角形C.作出一个直角三角形D.作出一个钝角三角形解析 假设能作出△ABC ，不妨设高113，111，15对应的边分别为a ＝26S ，b ＝22S ，c ＝10S ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝（22S ）2＋（10S ）2－（26S ）22×22S ×10S ＝－23110<0，∴A 为钝角. 答案 D3.已知△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，AC ＝6.则AB →·BC →的值为( )A.19B.14C.－18D.－19解析 由余弦定理的推论知： cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝1935.所以AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|·cos(π－B )＝7×5×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1935＝－19，故选D.答案 D4.在△ABC 中，B ＝60°，a ＝1，S △ABC ＝32，则csin C ＝________.解析 S △ABC ＝12ac sin B ＝12×1×c ×32＝32， ∴c ＝2，∴b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝1＋4－2×1×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝3，∴b ＝3，∴c sin C ＝b sin B ＝332＝2.答案 25.在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ＝ccos C ，则△ABC 是________三角形. 解析 ∵a cos A ＝bcos B ，∴sin A cos B －sin B cos A ＝0，∴sin(A －B )＝0， ∵A ，B ∈(0，π)，∴A －B ∈(－π，π)， ∴A －B ＝0，∴A ＝B . 同理B ＝C ，∴A ＝B ＝C ， ∴△ABC 为等边三角形. 答案 等边6.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a sin A ＝4b sin B ，ac ＝5(a 2－b 2－c 2). (1)求cos A 的值；(2)求sin(2B －A )的值.解 (1)由a sin A ＝4b sin B 及a sin A ＝bsin B ，得a ＝2b .由ac ＝5(a 2－b 2－c 2)及余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－55ac ac ＝－55.(2)由(1)，可得sin A ＝255，代入a sin A ＝4b sin B ，得sin B ＝a sin A 4b ＝55.由(1)知，A 为钝角，所以cos B ＝1－sin 2B ＝255.于是sin 2B ＝2sin B cos B ＝45，cos 2B ＝1－2sin 2B ＝35，故sin(2B －A )＝sin 2B cos A －cos 2B sin A ＝45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－55－35×255＝－255. 7.在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2a sin B ＝3b . (1)求角A 的大小；(2)若a ＝6，b ＋c ＝8，求△ABC 的面积.解 (1)由2a sin B ＝3b 及正弦定理a sin A ＝bsin B ， 得sin A ＝32. 因为A 是锐角，所以A ＝π3.(2)因为a ＝6，cos A ＝12，所以由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 得b 2＋c 2－bc ＝36.又因为b ＋c ＝8，所以bc ＝283. 由三角形面积公式S ＝12bc sin A ， 得△ABC 的面积为12×283×32＝733.能力提升8.△ABC 的两边长分别为2，3，其夹角的余弦值为13，则其外接圆半径为( ) A.922B.924C.928D.229解析 不妨设c ＝2，b ＝3，则cos A ＝13，sin A ＝223. ∵a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴a 2＝32＋22－2×3×2×13＝9，∴a ＝3. ∵a sin A ＝2R ，∴R ＝a sin A ＝32×223＝928. 答案 C9.已知△ABC 中，三边与面积的关系为S △ABC ＝a 2＋b 2－c 243，则cos C 的值为( ) A.12B.22C.32D.0解析 S △ABC ＝12ab sin C ＝a 2＋b 2－c 243＝2ab cos C 43，∴tan C ＝33，C ∈(0，π)，∴C ＝π6，∴cos C ＝32. 答案 C10.在△ABC 中，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝________. 解析 由sin C ＝23sin B ，根据正弦定理，得c ＝23b ， 代入a 2－b 2＝3bc ，得a 2－b 2＝6b 2，即a 2＝7b 2.由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋12b 2－7b 22b ·23b ＝6b 243b 2＝32.又∵0°＜A ＜180°，∴A ＝30°. 答案 30°11.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知b －c ＝12a ，2sin B ＝3sin C ，则cos A 的值为________.解析 由2sin B ＝3sin C 及正弦定理可得：2b ＝3c ，由b －c ＝12a 可得：a ＝c ，b ＝32c ，由余弦定理可得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝34. 答案 3412.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b 2＝ac ，且cos B ＝34.(1)求1tan A ＋1tan C 的值； (2)设BA →·BC→＝32，求a ＋c 的值. 解 (1)由cos B ＝34及0<B <π，得sin B ＝1－（34）2＝74，由b 2＝ac 及正弦定理，得sin 2 B ＝sin A sin C ， 于是1tan A ＋1tan C ＝cos A sin A ＋cos C sin C ＝sin C cos A ＋cos C sin A sin A sin C ＝sin （A ＋C ）sin 2B＝sin B sin 2B ＝1sin B ＝477.(2)由BA →·BC→＝32得ca cos B ＝32， 由cos B ＝34，可得ca ＝2，即b 2＝2. 由余弦定理得a 2＋c 2＝b 2＋2ac cos B ＝5， ∴(a ＋c )2＝a 2＋c 2＋2ac ＝5＋4＝9，∴a ＋c ＝3.创新突破13.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A ＋3cos A ＝0，a ＝27，b ＝2. (1)求c ；(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积. 解(1)由sin A＋3cos A＝0及cos A≠0得tan A＝－3，又0<A<π，所以A＝2π3.由余弦定理，得28＝4＋c2－4c·cos 2π3.即c2＋2c－24＝0，解得c＝－6(舍去)，c＝4.(2)由题设可得∠CAD＝π2，所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝π6.故△ABD面积与△ACD面积的比值为12AB·AD sin π612AC·AD＝1.又△ABC的面积为12×4×2sin∠BAC＝23，所以△ABD的面积为 3.。

第一章 1.1 第3课时一、选择题1．在△ABC 中，若sin A a ＝cos B b ，则角B 等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°[答案] B[解析] 由正弦定理知sin A a ＝sin B b ，∵sin A a ＝cos B b ，∴sin B ＝cos B ，∵0°<B <180°，∴B ＝45°.2．在△ABC 中，若a ＝8，b ＝7，cos C ＝1314，则最大角的余弦值是() A ．－15 B ．－16C ．－17D ．－18[答案] C[解析] 由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C＝82＋72－2×8×7×1314＝9，所以c ＝3，故a 最大，所以最大角的余弦值为cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝72＋32－822×7×3＝－17.3．在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝3bc ，则角A 等于( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°[答案] B[解析] ∵(b ＋c )2－a 2＝b 2＋c 2＋2bc －a 2＝3bc ，∴b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∴A ＝60°.4．在△ABC 中，已知2sin A cos B ＝sin C ，那么△ABC 一定是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．正三角形[答案] B[解析] ∵2sin A cos B ＝sin(A ＋B )，∴sin(A －B )＝0，∴A ＝B .5．在△ABC 中，已知a ＝x ，b ＝2，B ＝60°，如果△ABC 有两解，则x 的取值范围是() A ．x >2 B ．x <2C ．2<x <433 D ．2<x ≤433[答案] C[解析] 欲使△ABC 有两解，须a sin60°<b <A ．即32x <2<x ，∴2<x <433. 6．已知锐角△ABC 的面积为33，BC ＝4，CA ＝3，则角C 的大小为( )A ．75°B ．60°C ．45°D ．30°[答案] B[解析] ∵33＝12×4×3sin C ，∴sin C ＝32，∵△ABC 为锐角三角形，∴C ＝60°，故选B.二、填空题7．已知a ，b ，c 为△ABC 的三边，B ＝120°，则a 2＋c 2＋ac －b 2＝________.[答案] 0[解析] ∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝a 2＋c 2－2ac cos120°＝a 2＋c 2＋ac ，∴a 2＋c 2＋ac －b 2＝0.8．在△ABC 中，A ＝60°，最大边与最小边是方程x 2－9x ＋8＝0的两个实根，则边BC 长为________．[答案] 57[解析] ∵A ＝60°，∴可设最大边与最小边分别为b ，C ．又b ＋c ＝9，bc ＝8，∴BC 2＝b 2＋c 2－2bc cos A＝(b ＋c )2－2bc －2bc cos A＝92－2×8－2×8×cos60°＝57，∴BC ＝57.三、解答题9．在△ABC 中，S △ABC ＝153，a ＋b ＋c ＝30，A ＋C ＝B 2，求三角形各边边长． [解析] ∵A ＋C ＝B 2，∴3B 2＝180°，∴B ＝120°.由S △ABC ＝12ac sin B ＝34ac ＝153得：ac ＝60，由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos120°)＝(30－b )2－60得b ＝14，∴a ＋c ＝16∴a ，c 是方程x 2－16x ＋60＝0的两根．所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝10c ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6c ＝10， ∴该三角形各边长为14,10和6.10．在△ABC 中，sin(C －A )＝1，sin B ＝13. (1)求sin A 的值；(2)设AC ＝6，求△ABC 的面积．[解析] (1)由sin(C －A )＝1，－π<C －A <π，知C ＝A ＋π2. 又∵A ＋B ＋C ＝π，∴2A ＋B ＝π2，即2A ＝π2－B,0<A <π4. 故cos2A ＝sin B ，即1－2sin 2A ＝13，sin A ＝33. (2)由(1)得cos A ＝63. 又由正弦定理，得BC ＝AC sin A sin B ＝3 2. ∴S △ABC ＝12·AC ·BC ·sin C ＝12AC ·BC ·cos A ＝3 2.一、选择题1．在钝角三角形ABC 中，若sin A <sin B <sin C ，则( )A ．cos A ·cos C >0B ．cos B ·cosC >0 C ．cos A ·cos B >0D ．cos A ·cos B ·cos C >0[答案] C[解析] 由正弦定理得，a <b <c ，∴角C 是最大角，∴角C 为钝角，∴cos C <0，cos A >0，cos B >0.2．在△ABC 中，B ＝60°，b 2＝ac ，则此三角形一定是( )A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰直角三角形D ．钝角三角形 [答案] B[解析] 由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－ac ，又∵b 2＝ac ，∴a 2＋c 2－2ac ＝0，即(a －c )2＝0，∴a ＝c ，∵B ＝60°，∴A ＝C ＝60°.故△ABC 是等边三角形．3．在△ABC 中，有下列关系式：①a sin B ＝b sin A ； ②a ＝b cos C ＋c cos B ；③a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ； ④b ＝c sin A ＋a sin C ．一定成立的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个[答案] C[解析] 对于①③，由正弦、余弦定理，知一定成立．对于②，由正弦定理及sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋sin C cos B ，知显然成立．对于④，利用正弦定理，变形得sin B ＝sin C sin A ＋sin A sin C ＝2sin A sin C ，又sin B ＝sin(A ＋C )＝cos C sin A ＋cos A sin C ，与上式不一定相等，所以④不一定成立．故选C ．4．△ABC 中，BC ＝2，B ＝π3，当△ABC 的面积等于32时，sin C 等于( ) A ．32 B ．12 C ．33 D ．34[答案] B[解析] 由正弦定理得S △ABC ＝12·AB ·BC ·sin B ＝32AB ＝32，∴AB ＝1，∴AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝1＋4－4×12＝3，∴AC ＝3，再由正弦定理，得1sin C ＝3sin π3，∴sin C ＝12. 二、填空题5．△ABC 中，B ＝120°，AC ＝7，AB ＝5，则△ABC 的面积为________．[答案] 1534[解析] 由余弦定理知72＝52＋BC 2＋5BC ，即BC 2＋5BC －24＝0，解之得BC ＝3，所以S ＝12×5×3×sin120°＝1534. 6．已知三角形两边长分别为1和3，第三边上的中线长为1，则三角形的外接圆半径为__________．[答案] 1[解析] 如图，AB ＝1，BD ＝1，BC ＝3，设AD ＝DC ＝x ，在△ABD 中，cos ∠ADB ＝x 2＋1－12x ＝x 2， 在△BDC 中，cos ∠BDC ＝x 2＋1－32x ＝x 2－22x， ∵∠ADB 与∠BDC 互补，∴cos ∠ADB ＝－cos ∠BDC ，∴x 2＝－x 2－22x， ∴x ＝1，∴∠A ＝60°，由3sin60°＝2R 得R ＝1.三、解答题7．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos A ＝14，a ＝4，b ＋c ＝6，且b <c ，求b ，c 的值．[解析] ∵a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＋c 2＝(b ＋c )2－2bc ，a ＝4，cos A ＝14， ∴16＝(b ＋c )2－2bc －12bC ． 又b ＋c ＝6，∴bc ＝8.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧b ＋c ＝6，bc ＝8， 得b ＝2，c ＝4，或b ＝4，c ＝2.又∵b <c ，∴b ＝2，c ＝4.8．(2014·浙江理，18)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，C ．已知a ≠b ，c ＝3，cos 2A －cos 2B ＝3sin A cos A －3sin B cos B .(1)求角C 的大小；(2)若sin A ＝45，求△ABC 的面积． [解析] (1)由已知cos 2A －cos 2B ＝3sin A cos A －3sin B cos B 得．12(1＋cos2A )－12(1＋cos2B )＝32sin2A －32sin2B ， ∴12cos2A －32sin2A ＝12cos2B －32sin2B ，即sin(－π6＋2A )＝sin(－π6＋2B )， ∴－π6＋2A ＝－π6＋2B 或－π6＋2A －π6＋2B ＝π， 即A ＝B 或A ＋B ＝2π3， ∵a ≠b ，∴A ＋B ＝2π3，∴∠C ＝π3. (2)由(1)知sin C ＝32，cos C ＝12， ∴sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝33＋410由正弦定理得：a sin A ＝c sin C， 又∵c ＝3，sin A ＝45.∴a ＝85. ∴S △ABC ＝12ac sin B ＝18＋8325.。

第一章 1.1 第1课时一、选择题1．(2013·北京文，5)在△ABC 中，a ＝3，b ＝5，sin A ＝13，则sin B ＝( )A ．15B ．59C ．53D ．1[答案] B[解析] 本题考查了正弦定理，由a sin A ＝b sin B 知313＝5sin B ，即sin B ＝59，选B. 2．在锐角△ABC 中，角A 、B 所对的边长分别为a 、b .若2a sin B ＝3b ，则角A 等于( ) A ．π12B ．π6C ．π4D ．π3[答案] D[解析] 由正弦定理得2sin A sin B ＝3sin B ，∴sin A ＝32，∴A ＝π3. 3．在△ABC 中，下列关系式中一定成立的是( ) A ．a >b sin A B ．a ＝b sin A C ．a <b sin A D ．a ≥b sin A[答案] D[解析] 由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ，∴a ＝b sin A sin B， 在△ABC 中，0<sin B ≤1，故1sin B≥1，∴a ≥b sin A ． 4．△ABC 中，b ＝30，c ＝15，C ＝26°，则此三角形解的情况是( ) A ．一解 B ．两解 C ．无解 D ．无法确定[答案] B[解析] ∵b ＝30，c ＝15，C ＝26°， ∴c >b sin C ，又c <b ，∴此三角形有两解．5．已知△ABC 的面积为32，且b ＝2，c ＝3，则sin A ＝( )A ．32B ．12C ．34D ． 3[答案] A[解析] 由已知，得32＝12×2×3×sin A ，∴sin A ＝32. 6．已知△ABC 中，a ＝x ，b ＝2，∠B ＝45°，若三角形有两解，则x 的取值范围是( ) A ．x >2 B ．x <2 C ．2<x <2 2 D ．2<x <2 3[答案] C[解析] 由题设条件可知⎩⎨⎧x >2x sin45°<2，∴2<x <2 2.二、填空题7．已知△ABC 外接圆半径是2 cm ，∠A ＝60°，则BC 边长为__________． [答案] 23cm [解析] ∵BCsin A＝2R ， ∴BC ＝2R sin A ＝4sin60°＝23(cm)．8．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 所对的边．若∠A ＝105°，∠B ＝45°，b ＝22，则c ＝______.[答案] 2[解析] C ＝180°－105°－45°＝30°. 根据正弦定理b sin B ＝c sin C 可知22sin45°＝csin30°，解得c ＝2. 三、解答题9．根据下列条件，解三角形．(1)△ABC 中，已知b ＝3，B ＝60°，c ＝1； (2)△ABC 中，已知c ＝6，A ＝45°，a ＝2.[解析] (1)由正弦定理，得sin C ＝c b ·sin B ＝13×32＝12.∴C ＝30°或C ＝150°.∵A ＋B ＋C ＝180°，故C ＝150°不合题意，舍去． ∴A ＝90°，a ＝b 2＋c 2＝2.(2)由正弦定理，得sin C ＝c ·sin A a ＝6sin45°2＝32.∴C ＝60°或C ＝120°. 当C ＝60°时，B ＝75°，b ＝c sin B sin C ＝6sin75°sin60°＝3＋1. 当C ＝120°时，B ＝15°，b ＝c sin B sin C ＝6sin15°sin120°＝3－1.∴b ＝3＋1，B ＝75°，C ＝60°或b ＝3－1，B ＝15°， C ＝120°.10．在△ABC 中，若sin A ＝2sin B cos C ，且sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，试判断三角形的形状． [解析] ∵A 、B 、C 是三角形的内角， ∴A ＝π－(B ＋C )， ∴sin A ＝sin(B ＋C ) ＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B cos C ．∴sin B cos C －cos B sin C ＝0， ∴sin(B －C )＝0， 又∵0<B <π，0<C <π， ∴－π<B －C <π，∴B ＝C ． 又∵sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ， ∴a 2＝b 2＋c 2，∴A 是直角， ∴△ABC 是等腰直角三角形.一、选择题1．在△ABC 中，a ＝1，A ＝30°，C ＝45°，则△ABC 的面积为( ) A ．22B ．24C ．32D ．3＋14[答案] D[解析] c ＝a sin Csin A ＝2，B ＝105°，sin105°＝sin(60°＋45°) ＝sin60°cos45°＋cos60°sin45°＝6＋24， ∴S △ABC ＝12ac sin B ＝3＋14.2．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、C ．若a cos A ＝b sin B ，则sin A cos A ＋cos 2B ＝( )A ．－12B ．12C ． －1D ． 1[答案] D[解析] ∵a cos A ＝b sin B ， ∴sin A cos A ＝sin 2B ＝1－cos 2B ， ∴sin A cos A ＋cos 2B ＝1.3．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，且a >b ，则∠B ＝( )A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6[答案] A[解析] 本题考查解三角形，正弦定理，已知三角函数值求角．由正弦定理可得sin B (sin A cos C ＋sin C cos A )＝12sin B ，∵sin B ≠0，∴sin(A ＋C )＝12，∴sin B＝12，由a >b 知A >B ，∴B ＝π6.选A ． 4．设a 、b 、c 分别是△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 所对边的边长，则直线x sin A ＋ay ＋c ＝0与bx －y sin B ＋sin C ＝0的位置关系是( )A ．平行B ．重合C ．垂直D ．相交但不垂直 [答案] C[解析] ∵k 1＝－sin A a ，k 2＝bsin B ，∴k 1·k 2＝－1，∴两直线垂直． 二、填空题5．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．[答案] π6[解析] sin B ＋cos B ＝2sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π4＝2， ∴sin(B ＋π4)＝1，∵0<B <π，∴π4<B ＋π4<54π，∴B ＝π4， 又∵b sin B ＝a sin A ，∴sin A ＝12，∵a <b ，∴A <B ，故A ＝π6.6．在△ABC 中，若a cos A 2＝b cos B 2＝ccos C 2，则△ABC 一定是________三角形．[答案] 等边[解析] 由正弦定理得，sin A cos A 2＝sin B cos B 2＝sin Ccos C 2， ∴sin A 2＝sin B 2＝sin C2，∵0<A ，B ，C <π，∴0<A 2，B 2，C 2<π2，∴A 2＝B 2＝C2，∴A ＝B ＝C ．故△ABC 为等边三角形． 三、解答题7．在△ABC 中，cos A ＝－513，cos B ＝35.(1)求sin C 的值；(2)设BC ＝5，求△ABC 的面积．[解析] (1)在△ABC 中，由cos A ＝－513，cos B ＝35得，sin A ＝1213，sin B ＝45.∴sin C ＝sin(A ＋B ) ＝sin A cos B ＋cos A sin B＝1213×35＋(－513)×45 ＝1665. (2)根据正弦定理， AB ＝BC ·sin Csin A ＝5×16651213＝43，∴△ABC 的面积S ＝12AB ·BC ·sin B ＝12×43×5×45＝83.8．在△ABC 中，a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A ． (1)求cos A 的值； (2)求c 的值．[解析] (1)因为a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A ， 所以在△ABC 中，由正弦定理，得3sin A ＝26sin2A， 所以2sin A cos A sin A ＝263，故cos A ＝63.(2)由(1)知cos A ＝63， 所以sin A ＝1－cos 2A ＝33. 又因为∠B ＝2∠A ，所以cos B ＝2cos 2A －1＝13.所以sin B ＝1－cos 2B ＝223，在△ABC 中，sin C ＝sin(A ＋B ) ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝539.所以c ＝a sin Csin A＝5.。

第一章 1.1 第3课时一、选择题1．在△ABC 中，若sin A a ＝cos Bb ，则角B 等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°[答案] B[解析] 由正弦定理知sin A a ＝sin B b ，∵sin A a ＝cos Bb ，∴sin B ＝cos B ，∵0°<B <180°，∴B ＝45°.2．在△ABC 中，若a ＝8，b ＝7，cos C ＝1314，则最大角的余弦值是( )A ．－15B ．－16C ．－17D ．－18[答案] C[解析] 由余弦定理，得 c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝82＋72－2×8×7×1314＝9，所以c ＝3，故a 最大， 所以最大角的余弦值为cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝72＋32－822×7×3＝－17.3．在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝3bc ，则角A 等于( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．150° [答案] B[解析] ∵(b ＋c )2－a 2＝b 2＋c 2＋2bc －a 2＝3bc ， ∴b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∴A ＝60°.4．在△ABC 中，已知2sin A cos B ＝sin C ，那么△ABC 一定是( ) A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．正三角形[答案] B[解析] ∵2sin A cos B ＝sin(A ＋B )，∴sin(A －B )＝0，∴A ＝B .5．在△ABC 中，已知a ＝x ，b ＝2，B ＝60°，如果△ABC 有两解，则x 的取值范围是( ) A ．x >2 B ．x <2 C ．2<x <433D ．2<x ≤433[答案] C[解析] 欲使△ABC 有两解，须a sin60°<b <A ． 即32x <2<x ，∴2<x <433. 6．已知锐角△ABC 的面积为33，BC ＝4，CA ＝3，则角C 的大小为( ) A ．75° B ．60° C ．45° D ．30°[答案] B[解析] ∵33＝12×4×3sin C ，∴sin C ＝32， ∵△ABC 为锐角三角形， ∴C ＝60°，故选B. 二、填空题7．已知a ，b ，c 为△ABC 的三边，B ＝120°，则a 2＋c 2＋ac －b 2＝________. [答案] 0[解析] ∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－2ac cos120° ＝a 2＋c 2＋ac ， ∴a 2＋c 2＋ac －b 2＝0.8．在△ABC 中，A ＝60°，最大边与最小边是方程x 2－9x ＋8＝0的两个实根，则边BC 长为________．[答案]57[解析] ∵A ＝60°，∴可设最大边与最小边分别为b ，C ． 又b ＋c ＝9，bc ＝8， ∴BC 2＝b 2＋c 2－2bc cos A＝(b ＋c )2－2bc －2bc cos A ＝92－2×8－2×8×cos60° ＝57， ∴BC ＝57. 三、解答题9．在△ABC 中，S △ABC ＝153，a ＋b ＋c ＝30，A ＋C ＝B2，求三角形各边边长．[解析] ∵A ＋C ＝B 2，∴3B 2＝180°，∴B ＝120°.由S △ABC ＝12ac sin B ＝34ac ＝153得：ac ＝60，由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos120°)＝(30－b )2－60得b ＝14， ∴a ＋c ＝16∴a ，c 是方程x 2－16x ＋60＝0的两根．所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝10c ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6c ＝10， ∴该三角形各边长为14,10和6.10．在△ABC 中，sin(C －A )＝1，sin B ＝13.(1)求sin A 的值；(2)设AC ＝6，求△ABC 的面积．[解析] (1)由sin(C －A )＝1，－π<C －A <π，知C ＝A ＋π2.又∵A ＋B ＋C ＝π，∴2A ＋B ＝π2，即2A ＝π2－B,0<A <π4.故cos2A ＝sin B ，即1－2sin 2A ＝13，sin A ＝33.(2)由(1)得cos A ＝63. 又由正弦定理，得BC ＝AC sin Asin B ＝3 2.∴S △ABC ＝12·AC ·BC ·sin C ＝12AC ·BC ·cos A ＝3 2.一、选择题1．在钝角三角形ABC 中，若sin A <sin B <sin C ，则( )A．cos A·cos C>0 B．cos B·cos C>0C．cos A·cos B>0 D．cos A·cos B·cos C>0[答案] C[解析]由正弦定理得，a<b<c，∴角C是最大角，∴角C为钝角，∴cos C<0，cos A>0，cos B>0.2．在△ABC中，B＝60°，b2＝ac，则此三角形一定是()A．直角三角形B．等边三角形C．等腰直角三角形D．钝角三角形[答案] B[解析]由余弦定理，得b2＝a2＋c2－ac，又∵b2＝ac，∴a2＋c2－2ac＝0，即(a－c)2＝0，∴a＝c，∵B＝60°，∴A＝C＝60°.故△ABC是等边三角形．3．在△ABC中，有下列关系式：①a sin B＝b sin A；②a＝b cos C＋c cos B；③a2＋b2－c2＝2ab cos C；④b＝c sin A＋a sin C．一定成立的有()A．1个B．2个C．3个D．4个[答案] C[解析]对于①③，由正弦、余弦定理，知一定成立．对于②，由正弦定理及sin A＝sin(B ＋C)＝sin B cos C＋sin C cos B，知显然成立．对于④，利用正弦定理，变形得sin B＝sin C sin A＋sin A sin C＝2sin A sin C，又sin B＝sin(A＋C)＝cos C sin A＋cos A sin C，与上式不一定相等，所以④不一定成立．故选C．4．△ABC中，BC＝2，B＝π3，当△ABC的面积等于32时，sin C等于()A．32B．12C．33D．34[答案] B[解析]由正弦定理得S△ABC ＝12·AB·BC·sin B＝32AB＝32，∴AB＝1，∴AC2＝AB2＋BC2－2AB ·BC ·cos B ＝1＋4－4×12＝3，∴AC ＝3，再由正弦定理，得1sin C ＝3sin π3，∴sin C ＝12.二、填空题5．△ABC 中，B ＝120°，AC ＝7，AB ＝5，则△ABC 的面积为________． [答案]1534[解析] 由余弦定理知72＝52＋BC 2＋5BC ，即BC 2＋5BC －24＝0， 解之得BC ＝3，所以S ＝12×5×3×sin120°＝1534.6．已知三角形两边长分别为1和3，第三边上的中线长为1，则三角形的外接圆半径为__________．[答案] 1[解析] 如图，AB ＝1，BD ＝1，BC ＝3，设AD ＝DC ＝x ，在△ABD 中， cos ∠ADB ＝x 2＋1－12x ＝x2，在△BDC 中，cos ∠BDC ＝x 2＋1－32x ＝x 2－22x ，∵∠ADB 与∠BDC 互补，∴cos ∠ADB ＝－cos ∠BDC ，∴x2＝－x 2－22x ，∴x ＝1，∴∠A ＝60°，由3sin60°＝2R 得R ＝1.三、解答题7．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos A ＝14，a ＝4，b ＋c ＝6，且b <c ，求b ，c 的值．[解析] ∵a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＋c 2＝(b ＋c )2－2bc ，a ＝4，cos A ＝14，∴16＝(b ＋c )2－2bc －12bC ．又b ＋c ＝6，∴bc ＝8.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧b ＋c ＝6，bc ＝8，得b ＝2，c ＝4，或b ＝4，c ＝2. 又∵b <c ，∴b ＝2，c ＝4.8．(2014·浙江理，18)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，C ．已知a ≠b ，c ＝3，cos 2A －cos 2B ＝3sin A cos A －3sin B cos B .(1)求角C 的大小；(2)若sin A ＝45，求△ABC 的面积．[解析] (1)由已知cos 2A －cos 2B ＝3sin A cos A －3sin B cos B 得． 12(1＋cos2A )－12(1＋cos2B )＝32sin2A －32sin2B ， ∴12cos2A －32sin2A ＝12cos2B －32sin2B ， 即sin(－π6＋2A )＝sin(－π6＋2B )，∴－π6＋2A ＝－π6＋2B 或－π6＋2A －π6＋2B ＝π，即A ＝B 或A ＋B ＝2π3，∵a ≠b ，∴A ＋B ＝2π3，∴∠C ＝π3.(2)由(1)知sin C ＝32，cos C ＝12， ∴sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝33＋410由正弦定理得：a sin A ＝csin C ，又∵c ＝3，sin A ＝45.∴a ＝85.∴S △ABC ＝12ac sin B ＝18＋8325.。

一、选择题：1．在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B ＝( )A ．－223 B.223 C ．－63 D.63 2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°3．(xx·江西)E ，F 是等腰直角△ABC 斜边AB 上的三等分点，则tan∠ECF ＝( )A.1627B.23C.33D.344．△ABC 中，若lg a －lg c ＝lgsin B ＝－lg 2且B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则△ABC 的形状是( )A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形5．△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，如果a 、b 、c 成等差数列，∠B ＝30°，△ABC 的面积为0.5，那么b 为( )A ．1＋ 3B ．3＋ 3 C.3＋33 D ．2＋3 6．已知锐角A 是△ABC 的一个内角，a 、b 、c 是三角形中各内角的对应边，若sin2A－cos2A＝12，则( )A．b＋c＝2a B．b＋c<2ª C．b＋c≤2a D．b＋c≥2a7、若的内角满足，则A. B． C． D．8、如果的三个内角的余弦值分别等于的三个内角的正弦值，则A．和都是锐角三角形 B．和都是钝角三角形C．是钝角三角形，是锐角三角形D．是锐角三角形，是钝角三角形9、的三内角所对边的长分别为设向量,,若,则角的大小为(A) (B) (C) (D)10、已知等腰的腰为底的2倍，则顶角的正切值是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．11、的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且，则A． B． C． D．12、在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,A=,a=,b=1，则c=(A)1 （B）2 （C）—1 （D）二、填空题：13、在中，若，则的大小是___________.14、在ABC中，已知，b＝4，A＝30°，则sinB＝ .15、在△ABC中，已知BC＝12，A＝60°，B＝45°，则AC＝16、已知△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且AB＝1，BC＝4，则边BC上的中线AD的长为．三、解答题：17。

正弦定理与余弦定理【知识概述】在△ABC 中，a , b, c 分别为内角A, B, C 的对边，R 为△ABC 外接圆半径. 1. 正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === 定理变式：A R a sin 2=，B R b sin 2=，C R c sin 2=R a A 2sin =，R b B 2sin =，Rc C 2sin = ,sin sin ,sin sin ,sin sin C b B c A c C a A b B a ===C B A c b a sin :sin :sin ::=2.余弦定理：C ab b a c B ac c a b A bc c b a cos 2,cos 2,cos 2222222222-+=-+=-+=定理变式：,2cos ,2cos ,2cos 222222222abc b a C ac b c a B bc a c b A -+=-+=-+=3.射影定理：,cos cos ,cos cos ,cos cos A c C a c A c C a b B c C b a +=+=+=4.面积公式：A bc B ac C ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆【学前诊断】1．[难度] 易在△ABC 中，若0030,6,90===B a C ，则b c -等于（ ） A ．1 B ．1- C ．32 D ．32- 2．[难度] 易在△ABC 中，若B a b sin 2=，则A 等于（ ）A ．006030或B ．006045或C ．0060120或D ．0015030或3．[难度] 易在ΔABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c , 且ba b a c -=-222，∠C = .【经典例题】例1．在△ABC 中，若 ,则△A =45°，a = 2,c ，则△B =_______, b =___________.例2．已知△ ABC 满足条件cos cos ,a A b B =判断△ ABC 的形状.例3． 在△ABC 中，△A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，且满足 cos3.25A AB AC =⋅= （1）求△ ABC 的面积；（2）若b + c =6，求a 的值．例4．在△ABC 中，a , b , c 分别为内角A , B , C 的对边，且2sin (2)sin (2)sin .a A b c B c b C =+++ （1）求A 的大小；（2）求sin sin B C +的最大值.例5．在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是 a ，b ，c ，已知 c =2，C =π3．（1）若△ABC a ，b ； （2）若sin 2sin B A =，求△ABC 的面积．【本课总结】一、合理选择使用定理解三角形需要利用边角关系，正弦定理和余弦定理是刻画三角形边角关系的重要定理，如何恰当的选择公式则是解题的关键，一般来说，如果题目中含有边的一次式或角的正弦，可考虑选择正弦定理，如果题目中含有边的二次式或角的余弦，可考虑选择余弦定理.二、确定三角形的形状常用归一法 在解三角形的题目中，条件中往往会同时涉及边和角，解题策略则是选择合适的公式把已知条件转化成只含有边或角的关系式.三、解三角形主要涉及的问题解三角形主要处理的是三角形中各边的长度、角的大小以及三角形面积等问题，在三角形中有六个基本元素，三条边、三个角，通常是给出三个独立条件，可求出其它的元素，如果是特殊三角形，如直角三角形，则给出两个条件就可以了.如，若已知两边a,b 和角A,则解的情况如下：（1）当A 为钝角或直角时，必须a b >才能有且只有一解；否则无解. （2）当A 为锐角时，如果a≥b ，那么只有一解；如果a<b ，那么可以分下面三种情况来讨论： （1）若>sin a b A ，则有两解； （2）若sin a b A =，则只有一解； （3）若sin a b A <，则无解.【活学活用】1．[难度] 易在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，A =60°，a =3，b =1，则c 的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3－1 D. 32. [难度] 易△ABC 中，若a =2b cos C ，则△ABC 的形状一定为（ ） A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形3. [难度] 中在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，若满足c a )13(-=，tan 2tan B a cC c-=，求A 、B 、C 的大小.。

（完整）人教版高中数学必修五专题余弦定理习题(含答案)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（完整）人教版高中数学必修五专题余弦定理习题(含答案)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为（完整）人教版高中数学必修五专题余弦定理习题(含答案)的全部内容。

余弦定理一、选择题1．(2016·天津高考）在△ABC中,若AB＝错误!，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝( ）A．1 B．2C．3 D．42．在△ABC中，已知a2＝b2＋bc＋c2，则角A为( ）A。

错误! B.错误!C.错误!D.错误!或错误!3．若△ABC的内角A，B，C所对的边a,b，c满足（a＋b）2－c2＝4，且C＝60°，则ab 的值为( )A.错误!B．8－4错误!C．1 D。

错误!4．在△ABC中，角A,B，C的对边分别为a，b，c,若(a2＋c2－b2)tan B＝错误!ac,则角B为( )A。

错误! B.错误!C.错误!或错误!D。

错误!或错误!5．在△ABC中，角A,B，C所对的边分别为a，b，c。

若a＝1，c＝4错误!,B＝45°，则sin C 等于（)A.错误!B。

错误!C.错误!D。

错误!二、填空题6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b,c，若a＝1，b＝错误!，c＝错误!,则B ＝________.7．在△ABC中,已知a，b是方程x2－5x＋2＝0的两根，C＝120°，则边c＝________.8．（2015·重庆高考)设△ABC的内角A,B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，cos C＝－错误!,3sin A＝2sin B，则c＝________。

课程目标掌握解三角形的题型课程重点正弦定理余弦定理综合应用，解三角形课程难点正弦定理余弦定理综合应用教学方法建议在掌握正余弦定理的前提下，熟悉并掌握解三角形的题型，典型例题与课本知识相结合，精讲精练。

复习与总结同时进行，逐步掌握解三角形的方法。

选材程度及数量课堂精讲例题搭配课堂训练题课后作业A类（ 3）道（ 2）道（ 5 ）道B类（ 5 ）道（ 4 ）道（10 ）道C类（ 3 ）道（ 3）道（ 5）道一、知识梳理1．内角和定理：在ABC ∆中，A B C ++=π；sin()A B +=sin C ；cos()A B +=cos C -面积公式:111sin sin sin 222ABC S ab C bc A ac B ∆===在三角形中大边对大角，反之亦然.2．正弦定理：在一个三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等.形式一：RC c B b A a 2sin sin sin === (解三角形的重要工具)形式二：⎪⎩⎪⎨⎧===C R c B R b AR a sin 2sin 2sin 2 (边角转化的重要工具)形式三：::sin :sin :sin a b c A B C =形式四：sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R ===3.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍..形式一：2222cos a b c bc A =+-2222cos b c a ca B =+- (解三角形的重要工具)2222cos c a b ab C =+-形式二：222cos 2b c a A bc +-=222cos 2a c b B ac +-=222cos 2a b c C ab +-=二、方法归纳(1)已知两角A 、B 与一边a ,由A +B +C =π及sin sin sin a b cA B C ==，可求出角C ，再求b 、c .(2)已知两边b 、c 与其夹角A ，由a 2=b 2+c 2-2b c cosA ，求出a ，再由余弦定理，求出角B 、C .(3)已知三边a 、b 、c ，由余弦定理可求出角A 、B 、C .(4)已知两边a 、b 及其中一边的对角A ，由正弦定理sin sin a bA B =，求出另一边b 的对角B ，由C =π-(A +B )，求出c ，再由sin sin a c A C =求出C ，而通过sin sin a bA B =求B 时，可能出一解，两解或无解的情况，其判断方法，如下表：A >90° A =90° A <90° a >b 一解 一解 一解 a =b无解 无解 一解a <ba >bsinA 两解 无解 无解 a =bsinA 一解a <bsinA无解（见图示）．a =b sinA 有一解 b >a >b sinA 有两解 a ≥b 有一解 a >b 有一解三、课堂精讲例题问题一：利用正弦定理解三角形 【例1】在ABC ∆中，若5b =，4B π∠=,1sin 3A =，则a = .523【例2】在△ABC 中，已知a =3,b =2,B=45°,求A 、C 和c . 【解析】 ∵B=45°＜90°且a sinB ＜b ＜a ,∴△ABC 有两解. 由正弦定理得sinA=b B a sin =245sin 3︒=23, 则A 为60°或120°.①当A=60°时，C=180°-(A+B)=75°, c=B C b sin sin =︒︒45sin 75sin 2=︒︒+︒45sin )3045sin(2=226+.②当A=120°时，C=180°-(A+B)=15°,c=B C b sin sin =︒︒45sin 15sin 2=︒︒-︒45sin )3045sin(2=226-.故在△ABC 中，A=60°,C=75°,c=226+或 A=120°,C=15°, c =226-. 【思考】从所得到式子看，为什么会有两解：sinA =23,在(0,)π上显然有两个解。

习题课——正弦定理和余弦定理的综合应用课后篇巩固提升基础巩固1.在△ABC 中,sin A ∶sin B ∶sin C=3∶2∶3,则cos C 的值为( ) A.13B.-23C.14D.-14sin A ∶sin B ∶sin C=3∶2∶3,由正弦定理,得a ∶b ∶c=3∶2∶3,设a=3k ,b=2k ,c=3k (k>0),则cos C=a 2+b 2-c 22ab=9k 2+4k 2-9k212k2=13.2.已知△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,设向量m =(a+b ,sin C ),n =(√3a+c ,sin B-sin A ),若m ∥n ,则角B 的大小为( ) A.30°B.60°C.120°D.150°m ∥n ,∴(a+b )(sin B-sin A )-sin C (√3a+c )=0.由正弦定理,得(a+b )(b-a )=c (√3a+c ),即a 2+c 2-b 2=-√3ac.由余弦定理,得cos B=-√32.又B 为△ABC 的内角,∴B=150°.故选D .3.已知在△ABC 中,sin A+sin B=(cos A+cos B )·sin C ,则△ABC 的形状是( ) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.等腰三角形D.直角三角形,原式可变形为c (cos A+cos B )=a+b ,所以c (b 2+c 2-a 22bc +a 2+c 2-b22ac)=a+b ,整理得a 2+b 2=c 2,可得C=90°.故选D .4.已知在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且c 2-b 2=ab ,C=π3,则sinAsinB 的值为( ) A.12B.1C.2D.3c 2-b 2=a 2-2ab cos C=a 2-ab=ab ,所以a=2b ,所以由正弦定理得sinAsinB =ab =2.5.已知△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且2b ·cos C=2a+c ,若b=3,则△ABC 的外接圆面积为( ) A.π48B.π12C.12πD.3π2b ·cos C=2a+c ,若b=3,∴cos C=2a+c=a 2+b 2-c 2,可得a 2+c 2-b 2=-ac ,∴cos B=a 2+c 2-b 2=-1,∴由B ∈(0,π),可得B=2π,设△ABC 的外接圆半径为R ,由正弦定理可得2R=bsinB=√32,解得R=√3,可得△ABC 的外接圆面积为S=πR 2=3π.故选D .6.设△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c.若b+c=2a ,且3sin A=5sin B ,则角C=.3sin A=5sin B 结合正弦定理,得3a=5b.因为b+c=2a ,所以b=35a ,c=75a.由余弦定理,得cos C=a 2+(35a )2-(75a )22·a ·35a =-12,故C=120°.°7.在△ABC 中,B=60°,a=1,c=2,则csinC= .由余弦定理得,b 2=a 2+c 2-2ac cos B=3,∴b=√3,∴由正弦定理得,csinC =bsinB =√332=2.8.已知△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若a cos B=5b cos A ,a sin A-b sin B=2sin C ,则边c 的值为 .a cos B=5b cos A ,∴由余弦定理可得a ·a 2+c 2-b22ac=5b ·b 2+c 2-a 22bc ,整理可得3(a 2-b 2)=2c 2. 又∵a sin A-b sin B=2sin C ,∴由正弦定理可得a 2-b 2=2c ,∴6c=2c 2,解得c=3.9.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且b cos C=3a cos B-c cos B. (1)求cos B 的值;(2)若BA⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2,且b=2√2,求a 和c 的值.由正弦定理,得a=2R sin A ,b=2R sin B ,c=2R sin C ,其中R 为△ABC 外接圆半径,则2R sin B cos C=6R sin A cos B-2R sin C cos B ,即sin B cos C=3sin A cos B-sin C cos B ,可得sin B cos C+sin C cos B=3sin A cos B ,即sin(B+C )=3sin A cos B ,可得sin A=3sin A cos B.又sin A ≠0,因此cos B=13.(2)由BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2,得ac cos B=2.由(1)知cos B=13,故ac=6,由b 2=a 2+c 2-2ac cos B ,得a 2+c 2=12,所以(a-c )2=0,即a=c ,所以a=c=√6.能力提升1.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且c cos A+a cos C=2c ,若a=b ,则sin B 等于( ) A.√154B.14C.√34D.√32c cos A+a cos C=2c ,∴由正弦定理可得sin C cos A+sin A cos C=2sin C , ∴sin(A+C )=2sin C ,∴sin B=2sin C ,∴b=2c.又a=b ,∴a=2c.∴cos B=a 2+c 2-b2=4c 2+c 2-4c 22=1,∵B ∈(0,π),∴sin B=√1-cos 2B =√154.2.如图,在△ABC 中,B=45°,D 是BC 边上一点,AD=5,AC=7,DC=3,则AB 的长为( ) A.√615 B.5 C.5√62D.5√6△ADC 中,由余弦定理,得cos ∠ADC=AD 2+DC 2-AC 22AD ·DC=25+9-492×5×3=-12,所以∠ADC=120°,则∠ADB=60°.在△ABD 中,由正弦定理,得AB=ADsin∠ADB sinB=5×√32√22=5√62.3.设△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若a=(b+c )cos C ,则△ABC 的形状是( ) A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形D.锐角三角形,得sin A=(sin B+sin C )cos C ,即sin(B+C )=(sin B+sin C )cos C ,所以sin B cos C+cos Bsin C=sin B cos C+sin C cos C ,所以cos B sin C=sin C cos C.因为sin C ≠0,所以cos B=cos C ,故必有B=C ,从而△ABC 是等腰三角形.4.在△ABC 中,A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,B=π,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗=-2,且满足sin A+sin C=2sin B ,则该三角形的外接圆的半径R 为( ) A.4√3B.2√3C.√3D.2√3AB⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =ac cos(π-B )=-12ac=-2, 所以ac=4.由余弦定理得b 2=a 2+c 2-2ac cos B. 又因为sin A+sin C=2sin B ,所以a+c=2b.所以(a+c )24=(a+c )2-3ac ,所以3(a+c )24=12,所以(a+c )2=16,所以a+c=4,所以b=2,所以2R=bsinB =2sin60°=4√33, 所以R=2√33.5.在△ABC 中,B=π3,AC=√3,且cos 2C-cos 2A-sin 2B=-√2sin B sin C ,则BC= .cos 2C-cos 2A-sin 2B=-√2sin B sin C ,∴(1-sin 2C )-(1-sin 2A )-sin 2B=-√2sin B sin C , ∴-sin 2C+sin 2A-sin 2B=-√2sin B sin C ,由正弦定理可得a 2-c 2-b 2=-√2bc ,∴cos A=√2,∴A=π.由正弦定理可得BC sinA=AC sinB=√332=2,∴BC=2×√2=√2.√26.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若a=√3,√3+bc=sinC+sinAsinC+sinA -sinB,则b+2c 的最大值等于 .原等式可化为a+bc =c+ac+a -b ,整理,得a 2=b 2+c 2-bc ,故cos A=b 2+c 2-a 22bc=12,由A ∈(0,π),可得A=π3.因为bsinB =csinC =asinA =2,可得b+2c=2sin B+4sin C=2sin B+4sin (2π3-B)=4sin B+2√3cos B=2√7sin(B+θ),其中θ为锐角,tan θ=√32.由于B ∈(0,2π3),故当B+θ=π2时,b+2c 取得最大值为2√7.√77.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c.已知sin B+sin C=m sin A (m ∈R ),且a 2-4bc=0. (1)当a=2,m=54时,求b ,c 的值; (2)若角A 为锐角,求m 的取值范围.,得b+c=ma ,a 2-4bc=0.(1)当a=2,m=54时,b+c=52,bc=1. 解得{b =2,c =1或{b =12,c =2. (2)∵cos A=b 2+c 2-a 22bc=(b+c )2-2bc -a 22bc=m 2a 2-a 22-a 2a 22=2m 2-3∈(0,1),∴32<m 2<2.由b+c=ma ,得m>0,故√62<m<√2.8.在△ABC 中,a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 的对边,且2a sin A=(2b-c )sin B+(2c-b )sin C. (1)求角A 的大小;(2)若sin B+sin C=√3,试判断△ABC 的形状.∵2a sin A=(2b-c )sin B+(2c-b )sin C ,∴2a 2=(2b-c )b+(2c-b )c ,即bc=b 2+c 2-a 2,∴cos A=b 2+c 2-a 22bc=12.∵0°<A<180°,∴A=60°.(2)∵A+B+C=180°,∴B+C=180°-60°=120°,由sin B+sin C=√3,得sin B+sin(120°-B )=√3,∴sin B+sin 120°cos B-cos 120°sin B=√3, ∴3sin B+√3cos B=√3,即sin(B+30°)=1.又∵0°<B<120°,∴30°<B+30°<150°,∴B+30°=90°,即B=60°,∴A=B=C=60°,∴△ABC 为正三角形.。