江苏省扬州市2014-2015学年高二下学期期末考试数学(文)试卷 Word版含解析

2015．7
（满分160分，考试时间
120分钟）
注意事项：
1．答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方．
2．试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效．一、填空题（本大题共
14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1．直线10x
y 的倾斜角为▲　.2．不等式031x x
的解集是▲　.
3．经过点(2,1),且与直线2350x y 平行的直线方程是▲　.
4．已知数列n a 是等差数列,且2
5815a a a ,则9S ▲　.5．直线x －y －5＝0被圆x 2＋y 2－4x ＋4y ＋6＝0所截得的弦的长为▲　．
6．001cos10
cos85▲　．
7．在约束条件12y x x
y x y
下，目标函数y x z 2的最大值为▲　.
8．已知a R ，直线l ：(1)30a x ay ，则直线l 经过的定点的坐标为▲　.
9．在ABC 中，已知,30,4,33
40A b a 则ABC 的面积为▲　.
10．等差数列
n a 中，n S 是其前n 项和，12014a ，20142012220142012S S ，则2015S 的值为▲　. 2014—2015学年度第二学期期末调研测试试题
高一数学。

江苏省扬州中学2014—2015学年第一学期质量检测高二数学试卷 2014.10一、填空题：本大题共14个小题；每小题5分，共70分。

1、若直线y ＝kx ＋1与直线2x ＋y －4＝0垂直，则k ＝_______.2、若直线3x ＋y ＋a ＝0过圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0的圆心，则a 的值为________． 3、设1AA 是正方体的一条棱，则这个正方体中与1AA 垂直的棱共有 条 4、直线012=-+y x 右上方（不含边界）的平面区域用不等式 表示． 5、若一个球的体积为43π，则它的表面积为__ ______．6、直线a,b 分别是长方体相邻两个面上的对角线所在直线，则a,b 位置关系是7、将一个圆锥的侧面沿一条母线剪开，其展开图是半径为2 的半圆，则该圆锥的高为8、过点C (3,4)且与x 轴，y 轴都相切的两个圆的半径分别为r 1，r 2，则r 1r 2＝______.9、已知直线kx －y ＋1＝0与圆C ：x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，若点M 在圆C 上，且有OM ＝OA ＋OB (O 为坐标原点)，则实数k ＝_______.10. 设βα,为两个不重合的平面，n m ,是两条不重合的直线，给出下列四个命题：①若α⊂m ，α⊂n ，//m β，//n β，则//αβ； ②若,,βα⊂⊂m n βα与相交且不垂直，则m n 与不垂直； ③若,,m m n αβαβ⊥=⊥，则n ⊥β；④若βαα//,,//⊥n n m ，则β⊥m ．其中所有真命题的序号是 ．（写出所有真命题的序号）11、正三棱锥ABC P -高为2，侧棱与底面成045角，则点A 到侧面PBC 的距离是12、过圆x 2＋y 2＝4内一点P (1,1)作两条相互垂直的弦AC ，BD ，当AC ＝BD 时，四边形ABCD 的面积为_______．13、设R n m ∈,，若直线02)1()1(=-+++y n x m 与圆1)1()1(22=-+-y x 相切，则m+n 的取值范围是14、平面直角坐标系中，已知点A (1，－2)，B (4,0)，P (a,1)，N (a ＋1,1)，当四边形PABN 的周长最小时，过三点A ，P ，N 的圆的圆心坐标是________．A BCP（第17题）D二、解答题：本大题共6小题，14+14+14+16+16+16= 90分． 15．如图，在四面体ABCD 中，AB AC DB DC ===，点E 是BC 的中点，点F 在线段AC 上，且AF ACλ=．（1）若EF ∥平面ABD ，求实数λ的值； （2）求证：平面BCD ⊥平面AED ．16．已知：无论a 取何值，直线0)1()2(=++++a y a x a 始终平分半径为2的圆C（1）求圆C 的标准方程（2）自点)4,1(-A 作圆C 的切线l ，求切线l 的方程17．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥平面ABCD ， BC //平面PAD ，PBC ∠90=,90PBA ∠≠．求证：（1）//AD 平面PBC ；（2）平面PBC ⊥平面PAB ．18、如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，E 、F 分别为1DD 、DB 的中点．（1）求证：EF //平面11ABC D ；（2）求证：1EF B C ⊥； （3）求三棱锥EFC B V -1的体积．19. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上．(1)求圆C 的方程；(2)若圆C 与直线x －y ＋a ＝0交于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，求a 的值．20.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝1.(1)若过点C 1(－1,0)的直线l 被圆C 2截得的弦长为65，求直线l 的方程；(2)设动圆C 同时平分圆C 1的周长、圆C 2的周长． ①证明：动圆圆心C 在一条定直线上运动；②动圆C 是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．CDBFED 1C 1B 1A A 1（第15题图）EABCDF高二数学质量检测参考答案 2014.101. 12 2. 1 3. 8 4. 012>-+y x 5. 12π 6.相交或异面 7._25_ 9. 0 10. ④ 11.6 13. ),222[]222,(+∞+⋃--∞ 14. ⎝⎛⎭⎫3，－98 15. 解：（1）因为EF ∥平面ABD ，易得EF ⊂平面ABC ，平面ABC平面ABD AB =，所以//EF AB ，（5分）又点E 是BC 的中点，点F 在线段AC 上， 所以点F 为AC 的中点， 由AF λ=得12λ=；（7分）（2）因为AB AC DB DC ===，点E 是BC 的中点，所以BC AE ⊥，BC DE ⊥，（9分） 又AEDE E =，AE DE ⊂、平面AED ，所以BC ⊥平面AED ，（12分） 而BC ⊂平面BCD ，所以平面BCD ⊥平面AED ．（14分）16. （1）直线过定点)2,1(-据题意知圆心)2,1(-C ，故圆C 的标准方程为4)2()1(22=++-y x（2）直线l 垂直于x 轴时，合题，方程为1-=x直线l 不垂直于轴时，设方程为)1(4+=-x k y 即04=++-k y kx 由214)2(2=+++--k k k 得34-=k 此时方程为0834=-+y x综上，所求直线方程为1-=x 或0834=-+y x（第15题图）EABC DFA BCPDH17. 【证】（1）因为BC //平面PAD ，而BC ⊂平面ABCD ，平面ABCD I 平面PAD = AD ， 所以BC //AD ． …………………………………3分 因为AD ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以//AD 平面PBC ．…………………………………………6分（2）自P 作PH ⊥AB 于H ，因为平面PAB ⊥平面ABCD ，且平面PAB I 平面ABCD =AB ，所以PH ⊥平面ABCD ．…………………………………9分 因为BC ⊂平面ABCD ，所以BC ⊥PH ． 因为PBC ∠90=,所以BC ⊥PB ，而90PBA ∠≠，于是点H 与B 不重合，即PB I PH = H ． 因为PB ，PH ⊂平面PAB ，所以BC ⊥平面PAB ．…………12分 因为BC ⊂平面PBC ，故平面PBC ⊥平面PAB ．…………… 14分18. 证明：（1）连结1BD ，在B DD 1∆中，E 、F 分别为1D D ，DB 的中点，则11111111////EF D BD B ABC D EF ABC D EF ABC D ⎫⎪⊂⇒⎬⎪⊄⎭平面平面平面（2）1111111,B C ABB C BC AB B C ABC D AB BC B ⊥⎫⎪⊥⎪⎬⊂⎪⎪=⎭平面⇒111111B C ABC D BD ABC D ⊥⎫⇒⎬⊂⎭平面平面111//B C BD EF BD ⊥⎫⎬⎭1EF B C ⇒⊥CDBFED 1C 1B 1AA 1（3）11CF BDD B ⊥平面1CF EFB ∴⊥平面 且 C F B F==112EF BD ==1B F ===13B E ===∴22211EF B F B E += 即190EFB ∠=11113B EFC C B EF B EF V V S CF --∆∴==⋅⋅=11132EF B F CF ⨯⋅⋅⋅=11132⨯=19. 解：(1)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)， 与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)． 故可设C 的圆心为(3，t )，则有32＋(t －1)2＝(22)2＋t 2，解得t ＝1. 则圆C 的半径为32＋(t －1)2＝3. 所以圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋a ＝0，(x －3)2＋(y －1)2＝9. 消去y ，得方程2x 2＋(2a －8)x ＋a 2－2a ＋1＝0. 由已知可得，判别式Δ＝56－16a －4a 2>0. 从而x 1＋x 2＝4－a ，x 1x 2＝a 2－2a ＋12. ①由于OA ⊥OB ，可得x 1x 2＋y 1y 2＝0. 又y 1＝x 1＋a ，y 2＝x 2＋a ， 所以2x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋a 2＝0. ②由①②得a ＝－1，满足Δ>0，故a ＝－1.20. [解] (1)设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)， 即kx －y ＋k ＝0.因为直线l 被圆C 2截得的弦长为65，而圆C 2的半径为1，所以圆心C 2(3,4)到l ：kx －y＋k ＝0的距离为|4k －4|k 2＋1＝45. 化简，得12k 2－25k ＋12＝0，解得k ＝43或k ＝34.所以直线l 的方程为4x －3y ＋4＝0或3x －4y ＋3＝0. (2)①证明：设圆心C (x ，y )，由题意，得CC 1＝CC 2， 即(x ＋1)2＋y 2＝(x －3)2＋(y －4)2. 化简得x ＋y －3＝0，即动圆圆心C 在定直线x ＋y －3＝0上运动． ②圆C 过定点，设C (m,3－m )， 则动圆C 的半径为1＋CC 21 ＝1＋(m ＋1)2＋(3－m )2.于是动圆C 的方程为(x －m )2＋(y －3＋m )2 ＝1＋(m ＋1)2＋(3－m )2.整理，得x 2＋y 2－6y －2－2m (x －y ＋1)＝0.由 ⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，x 2＋y 2－6y －2＝0，得⎩⎨⎧x ＝1＋322，y ＝2＋322或 ⎩⎨⎧x ＝1－322，y ＝2－322.所以定点的坐标为。

2014-2015学年江苏省镇江市扬中二中高二（上）期末数学试卷（一）一、填空题1．已知条件p：x≤1，条件q：，则￢p是q的条件．2．命题“∃x∈[0，3]，使x2﹣2x+m≤0”是假命题，则实数m的取值范围为．3．（2015•张家港市校级模拟）已知函数f（x）=2f′（1）lnx﹣x，则f（x）的极大值为．4．若直线y=﹣x+b为函数的一条切线，则实数b= ．5．在平面直角坐标系xoy中，记不等式组表示的平面区域为D．若对数函数y=log a x（a＞1）的图象与D有公共点，则a的取值范围是．6．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为．7．已知p：﹣2≤x≤11，q：1﹣3m≤x≤3+m（m＞0），若¬p是¬q的必要不充分条件，则实数m的取值范围为．8．函数的图象经过四个象限，则a的取值范围是．9．已知函数f（x）=x3﹣x2﹣3x，直线l：9x+2y+c=0．若当x∈[﹣2，2]时，函数y=f（x）的图象恒在直线l的下方，则c的取值范围是．10．若椭圆=1（m＞n＞0）和双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）有相同的焦点F1，F2，P是两条曲线的一个交点，则PF1•PF2的值是．11．已知椭圆的上焦点为F，直线x+y+1=0和x+y﹣1=0与椭圆相交于点A，B，C，D，则AF+BF+CF+DF= ．12．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是．13．长为6的线段AB两端点在抛物线x2=4y上移动，在线段AB中点纵坐标的最小值为．14．定义在R上的函数f（x）满足：f′（x）＞1﹣f（x），f（0）=6，f′（x）是f（x）的导函数，则不等式e x f（x）＞e x+5（其中e为自然对数的底数）的解集为．二、解答题（共6小题，满分46分）15．已知p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0； q：实数x满足2＜x≤3．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．16．在四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，AB=BC=2，CD=SD=1，BC⊥CD，M为SB的中点，DS⊥面SAB．（1）求证：CM∥面SAD；（2）求证：CD⊥SD；（3）求四棱锥S﹣ABCD的体积．17．（某分公司经销某种品牌的产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a（3≤a≤5）元的管理费，预计当每件产品的售价为x（9≤x≤11）元时，一年的销售量为（12﹣x）2万件．（1）求分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x的函数关系式；（2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q（a）．18．已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4、且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5．过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M．（1）求抛物线方程；（2）过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标；（3）以M为圆心，MB为半径作圆M，当K（m，0）是x轴上一动点时，讨论直线AK与圆M 的位置关系．19．如图，已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，以椭圆C的左顶点T为圆心作圆T：（x+2）2+y2=r2（r＞0），设圆T与椭圆C交于点M与点N．（1）求椭圆C的方程；（2）求的最小值，并求此时圆T的方程；（3）设点P是椭圆C上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别与x轴交于点R，S，O 为坐标原点，求证：|OR|•|OS|为定值．20．设函数f（x）=x2，g（x）=alnx+bx（a＞0）．（1）若f（1）=g（1），f′（1）=g′（1）求F（x）=f（x）﹣g（x）的极小值；（2）在（1）的结论下，是否存在实常数k和m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m同时成立？若存在，求出k和m的值．若不存在，说明理由．（3）设G（x）=f（x）+2﹣g（x）有两个零点x1和x2，若x0=，试探究G′（x0）值的符号．2014-2015学年江苏省镇江市扬中二中高二（上）期末数学试卷（一）参考答案与试题解析一、填空题1．已知条件p：x≤1，条件q：，则￢p是q的充分不必要条件．考点：充要条件．专题：阅读型．分析：先求出条件q满足的条件，然后求出¬p，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题¬p的关系．解答：解：条件q：，即x＜0或x＞1￢p：x＞1∴￢p⇒q为真且q⇒￢p为假命题，即¬p是q的充分不必要条件故答案为：充分不必要点评：判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．2．命题“∃x∈[0，3]，使x2﹣2x+m≤0”是假命题，则实数m的取值范围为（1，+∞）．．考点：特称命题．专题：简易逻辑．分析：写出命题的否命题，据已知命题为假命题，得到否命题为真命题；分离出m；通过导函数求出不等式右边对应函数的在范围，求出m的范围．解答：解：∵命题“∃x∈[0，3]时，满足不等式x2﹣2x+m≤0是假命题，∴命题“∀x∈[0，3]时，满足不等式x2﹣2x+m＞0”是真命题，∴m＞﹣x2+2x在[0，3]上恒成立，令f（x）=﹣x2+2x，x∈[0，3]，∴f（x）max=f（1）=1，∴m＞1．故答案为：（1，+∞）．点评：本题考查了命题的真假判断与应用、二次函数恒成立问题．解答关键是将问题等价转化为否命题为真命题即不等式恒成立，进一步将不等式恒成立转化为函数的最值．3．（2015•张家港市校级模拟）已知函数f（x）=2f′（1）lnx﹣x，则f（x）的极大值为2ln2﹣2 ．考点：利用导数研究函数的极值．专题：导数的综合应用．分析：先求导数，当x=1时，即可得到f′（1），再令导数大于0或小于0，解出x的范围，即得到函数的单调区间，进而可得函数的极大值．解答：解：由于函数f（x）=2f′（1）lnx﹣x，则f′（x）=2f′（1）×﹣1（x＞0），f′（1）=2f′（1）﹣1，故f′（1）=1，得到f′（x）=2×﹣1=，令f′（x）＞0，解得：x＜2，令f′（x）＜0，解得：x＞2，则函数在（0，2）上为增函数，在（2，+∞）上为减函数，故f（x）的极大值为f（2）=2ln2﹣2故答案为：2ln2﹣2点评：本题考查了利用导数研究函数的极值，属于基础题．4．若直线y=﹣x+b为函数的一条切线，则实数b= ±2 ．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：设切点为P（m，n），求出函数的导数，得切线斜率为﹣1=，再根据切点P既在切线y=﹣x+b上又在函数图象上，列出关于m、n、b的方程组，解之即可得到实数b之值．解答：解：函数的导数为设直线y=﹣x+b与函数相切于点P（m，n），则解之得m=n=1，b=2或m=n=﹣1，b=﹣2综上所述，得b=±2故答案为：±2点评：本题给出已知函数图象的一条切线，求参数b的值，着重考查了导数的运算公式与法则和利用导数研究曲线上某点切线方程等知识，属于基础题．5．在平面直角坐标系xoy中，记不等式组表示的平面区域为D．若对数函数y=log a x（a＞1）的图象与D有公共点，则a的取值范围是（1，] ．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，根据对数函数的图象和性质，即可得到结论．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：若a＞1，当对数函数图象经过点A时，满足条件，此时，解得，即A（2，3），此时log a2=3，解得a=，∴当1＜a≤时，满足条件．∴实数a的取值范围是1＜a≤，故答案为：（1，]点评：本题主要考查线性规划的应用，利用对数函数的图象和性质，通过数形结合是解决本题的关键．6．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：计算题．分析：通过侧面展开图的面积．求出圆锥的母线，底面的半径，求出圆锥的体积即可．解答：解：由题意一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，因为4π=πl2，所以l=2，半圆的弧长为2π，圆锥的底面半径为2πr=2π，r=1，所以圆锥的体积为：=．故答案为：．点评：本题考查旋转体的条件的求法，侧面展开图的应用，考查空间想象能力，计算能力．7．已知p：﹣2≤x≤11，q：1﹣3m≤x≤3+m（m＞0），若¬p是¬q的必要不充分条件，则实数m的取值范围为[8，+∞）．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：将条件¬p是¬q的必要不充分条件，转化为q是p的必要不充分条件，进行求解．解答：解：因为¬p是¬q的必要不充分条件，所以q是p的必要不充分条件，即p⇒q，但q推不出p，即，即，所以m≥8．故答案为：[8，+∞）点评：本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用逆否命题的等价性，将条件进行转化是解决本题的关键，主要端点等号的取舍．8．函数的图象经过四个象限，则a的取值范围是（﹣96，﹣15）．考点：利用导数研究函数的极值．专题：导数的概念及应用．分析：首先讨论a=0时原函数图象的情况，当a≠0时，求出原函数的导函数，分a＞0和a＜0两种情况讨论原函数的单调性，求出函数的极值点并求解极值，当a＞0时，要使原函数的图象经过四个象限，需要极大值大于0，且极小值小于0，此时a的值不存在；当a＜0时，要使原函数的图象经过四个象限，则需要极小值小于0，且极大值大于0，由此解得a 的取值范围．解答：解：由，若a=0时，原函数化为f（x）=80．为常数函数，不合题意；f′（x）=ax2+ax﹣2a=a（x2+x﹣2）=a（x+2）（x﹣1）．若a＞0时，当x∈（﹣∞，﹣2），x∈（1，+∞）时有f′（x）＞0，函数f（x）在（﹣∞，﹣2），（1，+∞）上为增函数．当x∈（﹣2，1）时，f′（x）＜0，函数f（x）在（﹣2，1）上为减函数．所以函数f（x）在x=﹣2时取得极大值=．函数f（x）在x=1时取得极小值．因为函数的图象先增后减再增，要使函数的图象经过四个象限，则，解①得：a＞﹣15．解②得：a＜﹣96．此时a∈∅；若a＜0，当x∈（﹣∞，﹣2），x∈（1，+∞）时有f′（x）＜0，函数f（x）在（﹣∞，﹣2），（1，+∞）上为减函数．当x∈（﹣2，1）时，f′（x）＞0，函数f（x）在（﹣2，1）上为增函数．所以函数f（x）在x=﹣2时取得极小值=．函数f（x）在x=1时取得极大值．为函数的图象先减后增再减，要使函数的图象经过四个象限，则，解得﹣96＜a＜﹣15．所以使函数的图象经过四个象限的a的取值范围是（﹣96，﹣15）．故答案为（﹣96，﹣15）．点评：本题考查了利用导数研究函数的极值，考查了函数的极值与函数图象之间的关系，思考该问题时考虑数与形的结合，属中档题．9．已知函数f（x）=x3﹣x2﹣3x，直线l：9x+2y+c=0．若当x∈[﹣2，2]时，函数y=f（x）的图象恒在直线l的下方，则c的取值范围是c＜﹣．考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：分离参数，构造函数，求出函数再闭区间上的最值即可．解答：解：∵当x∈[﹣2，2]时，函数y=f（x）的图象恒在直线l的下方，即x3﹣x2﹣3x＜﹣x﹣，在x∈[﹣2，2]时恒成立，即c＜﹣x3+2x2﹣3x，令g（x）=﹣x3+2x2﹣3x，∴g'（x）=﹣2x2+4x﹣3，∵g'（x）=﹣2x2+4x﹣3=﹣2（x﹣1）2﹣1＜0恒成立，∴g（x）在∈[﹣2，2]上单调递减，故当x∈[﹣2，2]时，[g（x）]min=g（2）=﹣∴c＜﹣，故答案为：c＜﹣，点评：本题主要考查函数的求导运算、闭区间上的恒成立问题．闭区间上的恒成立问题一般都是转化为求最值，即使参数大于最大值或小于最小值的问题．10．若椭圆=1（m＞n＞0）和双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）有相同的焦点F1，F2，P是两条曲线的一个交点，则PF1•PF2的值是m﹣a2．考点：椭圆的简单性质；双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：运用椭圆和双曲线的定义写出两个定义式，然后平方，观察之后，两式相减，求出整体未知数PF1•PF2的值．解答：解析：PF1+PF2=2，|PF1﹣PF2|=2a，所以PF+PF+2PF1•PF2=4m，PF﹣2PF1•PF2+PF=4a2，两式相减得：4PF1•PF2=4m﹣4a2，∴PF1•PF2=m﹣a2．故答案：m﹣a2．点评：本题主要考查圆锥曲线的综合问题．解决本题的关键在于根据椭圆和双曲线有相同的焦点F1、F2，利用定义化简．11．（ 2011•南京校级模拟）已知椭圆的上焦点为F，直线x+y+1=0和x+y﹣1=0与椭圆相交于点A，B，C，D，则AF+BF+CF+DF= 8 ．考点：椭圆的应用；直线与圆锥曲线的综合问题．专题：计算题．分析：由题意可知AB=CF+DF=，则AF+BF+AB=4a=8，进而可得AF+BF=8﹣AB=8﹣，由此可知答案．解答：解：直线x+y+1=0代入椭圆，并整理得7x2+6x﹣9=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，∴同理，可得CD=CF+DF=．∵AF+BF+AB=4a=8，∴AF+BF=8﹣AB=8﹣，∴AF+BF+CF+DF=（8﹣）+=8．答案：8．点评：本题考查椭圆的性质及其应用，解题时要注意公式的灵活运用．12．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是．考点：圆与圆的位置关系及其判定；直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：由于圆C的方程为（x﹣4）2+y2=1，由题意可知，只需（x﹣4）2+y2=1与直线y=kx ﹣2有公共点即可．解答：解：∵圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，整理得：（x﹣4）2+y2=1，即圆C是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；又直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，∴只需圆C′：（x﹣4）2+y2=1与直线y=kx﹣2有公共点即可．设圆心C（4，0）到直线y=kx﹣2的距离为d，则d=≤2，即3k2﹣4k≤0，∴0≤k≤．∴k的最大值是．故答案为：．点评：本题考查直线与圆的位置关系，将条件转化为“（x﹣4）2+y2=4与直线y=kx﹣2有公共点”是关键，考查学生灵活解决问题的能力，属于中档题．13．长为6的线段AB两端点在抛物线x2=4y上移动，在线段AB中点纵坐标的最小值为 2 ．考点：抛物线的简单性质．专题：空间位置关系与距离．分析：如图所示，设线段AB的中点为M，分别过点A，B，C，作AD⊥x轴，BE⊥x轴，MN ⊥x轴，垂足分别为D，E，N．利用梯形的中位线和抛物线的定义可得|MN|=（|AD|+|BE|）=（|AF|﹣1+|BF|﹣1）≥（|AB|﹣2）即可得出．解答：解：如图所示，设线段AB的中点为M，分别过点A，B，C，作AD⊥x轴，BE⊥x轴，MN⊥x轴，垂足分别为D，E，N．则|MN|=（|AD|+|BE|）=（|AF|﹣1+|BF|﹣1）≥（|AB|﹣2）=（6﹣2）=2．当且仅当线段AB过焦点时取等号．故AB的中点到y轴的距离的最小值为2．故答案为：2点评：本题考查了抛物线的定义和梯形的中位线定理，考查了分析问题和解决问题的能力．14．定义在R上的函数f（x）满足：f′（x）＞1﹣f（x），f（0）=6，f′（x）是f（x）的导函数，则不等式e x f（x）＞e x+5（其中e为自然对数的底数）的解集为（0，+∞）．考点：导数的乘法与除法法则．专题：函数的性质及应用．分析：构造函数g（x）=e x f（x）﹣e x，（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解解答：解：设g（x）=e x f（x）﹣e x，（x∈R），则g′（x）=e x f（x）+e x f′（x）﹣e x=e x[f（x）+f′（x）﹣1]，∵f'（x）＞1﹣f（x），∴f（x）+f′（x）﹣1＞0，∴g′（x）＞0，∴y=g（x）在定义域上单调递增，∵e x f（x）＞e x+5，∴g（x）＞5，又∵g（0）=e0f（0）﹣e0=6﹣1=5，∴g（x）＞g（0），∴x＞0，∴不等式的解集为（0，+∞）故答案为：（0，+∞）．点评：本题考查函数的导数与单调性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键．二、解答题（共6小题，满分46分）15．已知p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0； q：实数x满足2＜x≤3．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：（1）先通过解一元二次不等式求出p下的x的取值范围：a＜x＜3a，a=1时，所以p：1＜x＜3．根据p∧q为真得p，q都真，所以，所以解该不等式组即得x的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，则：，所以解该不等式组即得a的取值范围．解答：解：（1）p：由原不等式得，（x﹣3a）（x﹣a）＜0，∵a＞0为，所以a＜x＜3a；当a=1时，得到1＜x＜3；q：实数x满足2＜x≤3；若p∧q为真，则p真且q真，∴实数x的取值范围是：（2，3）；（2）p是q的必要不充分条件，即由p得不到q，而由q能得到p；∴，解得1＜a≤2；∴实数a的取值范围是（1，2]．点评：考查解一元二次不等式，p∧q的真假和p，q真假的关系，以及充分条件、必要条件、必要不充分条件的概念．16．在四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，AB=BC=2，CD=SD=1，BC⊥CD，M为SB的中点，DS⊥面SAB．（1）求证：CM∥面SAD；（2）求证：CD⊥SD；（3）求四棱锥S﹣ABCD的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）利用平行线中的一条直线与令一条直线垂直，推出另一条直线垂直证明CD⊥SD；（2）取SA中点N，连接ND，NM，证明NMCD是平行四边形，通过ND∥MC，证明CM∥面SAD；（3）利用V S﹣ABCD：V S﹣ABD=S ABCD：S△ABD，求出V S﹣ABD，即可求四棱锥S﹣ABCD的体积．解答：（1）证明：取SA的中点，∵M为SB的中点，∴MN∥AB，MN=，∵AB=2，CD=1，∴MN∥CD，MN=DC，∴四边形MNDC为平行四边形，∴CM∥ND，ND⊂面SAD，CM⊄面SAD；∴CM∥面SAD证明：（2）∵DS⊥面SAB，AB⊂面SAB．∴DS⊥AB，∵AB∥DC，∴DS⊥DC，解：（3）V S﹣ABCD：V S﹣ABD=S ABCD：S△ABD=3：2，过D作DH⊥AB，交于H，由题意得，BD=AD==，在Rt△DSA，Rt△DSB中，SA=SB==2．所以，V S﹣ABD=V D﹣SAB=S△ABS×DS==，四棱锥S﹣ABCD的体积为：×=；点评：考查直线与直线垂直，直线与平面平行的证明，几何体的体积的求法，考查空间想象能力，计算能力．17．（某分公司经销某种品牌的产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a（3≤a≤5）元的管理费，预计当每件产品的售价为x（9≤x≤11）元时，一年的销售量为（12﹣x）2万件．（1）求分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x的函数关系式；（2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q（a）．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：应用题．分析：（1）根据题意先求出每件产品的利润，再乘以一年的销量，便可求出分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x的函数关系式；（2）根据L与x的函数关系式先求出该函数的导数，令L′（x）=0便可求出极值点，从而求出时最大利润，再根据a的取值范围分类讨论当a取不同的值时，最大利润各为多少．解答：解：（1）分公司一年的利润L（万元）与售价x的函数关系式为：L=（x﹣3﹣a）（12﹣x）2，x∈[9，11]．（2）L′（x）=（12﹣x）2+2（x﹣3﹣a）（12﹣x）×（﹣1）=（12﹣x）2﹣2（x﹣3﹣a）（12﹣x）=（12﹣x）（18+2a﹣3x）．令L′（x）=0得x=6+a或x=12（不合题意，舍去）．∵3≤a≤5，∴8≤6+a≤．在x=6+a两侧L′的值由正值变负值．所以，当8≤6+a≤9，即3≤a≤时，L max=L（9）=（9﹣3﹣a）（12﹣9）2=9（6﹣a）；当9＜6+a≤，即＜a≤5时，L max=L（6+a）=（6+a﹣3﹣a）[12﹣（6+a）]2=4（3﹣a）3，即当3≤a≤时，当每件售价为9元，分公司一年的利润L最大，最大值Q（a）=9（6﹣a）万元；当＜a≤5时，当每件售价为（6+a）元，分公司一年的利润L最大，最大值Q（a）=4（3﹣a）3万元．点评：本题主要考查了函数的导数的求法以及利用导数来求得函数的最值问题，是各地高考的热点和难点，解题时注意自变量的取值范围以及分类讨论等数学思想的运用，属于中档题．18．已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4、且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5．过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M．（1）求抛物线方程；（2）过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标；（3）以M为圆心，MB为半径作圆M，当K（m，0）是x轴上一动点时，讨论直线AK与圆M 的位置关系．考点：抛物线的标准方程；直线与圆的位置关系；抛物线的简单性质．专题：综合题；压轴题．分析：（Ⅰ）抛物线的准线为，于是，p=2，由此可知抛物线方程为y2=4x．（Ⅱ）由题意得B，M的坐标，，，直线FA的方程，直线MN的方程，由此可知点N的坐标即可；（Ⅲ）由题意得，圆M的圆心坐标为（0，2），半径为2．当m=4时，直线AP的方程为x=4，此时，直线AP与圆M相离；当m≠4时，写出直线AP的方程，圆心M（0，2）到直线AP的距离，由此可判断直线AP与圆M的位置关系．解答：解：（1）抛物线，∴p=2．∴抛物线方程为y2=4x．（2）∵点A的坐标是（4，4），由题意得B（0，4），M（0，2），又∵F（1，0），∴，∴，则FA的方程为y=（x﹣1），MN的方程为．*k*s*5*u解方程组，∴．（3）由题意得，圆M的圆心是点（0，2），半径为2．当m=4时，直线AK的方程为x=4，此时，直线AK与圆M相离，当m≠4时，直线AK的方程为，即为4x﹣（4﹣m）y﹣4m=0，圆心M（0，2）到直线AK的距离，令d＞2，解得m＞1∴当m＞1时，直线AK与圆M相离；当m=1时，直线AK与圆M相切；当m＜1时，直线AK与圆M相交．点评：本题考查抛物线的标准方程、抛物线的简单性质、直线和圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答．19．如图，已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，以椭圆C的左顶点T为圆心作圆T：（x+2）2+y2=r2（r＞0），设圆T与椭圆C交于点M与点N．（1）求椭圆C的方程；（2）求的最小值，并求此时圆T的方程；（3）设点P是椭圆C上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别与x轴交于点R，S，O 为坐标原点，求证：|OR|•|OS|为定值．考点：直线与圆锥曲线的关系；圆的标准方程；椭圆的标准方程．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）依题意，得a=2，，由此能求出椭圆C的方程．（2）法一：点M与点N关于x轴对称，设M（x1，y1），N（x1，﹣y1），设y1＞0．由于点M 在椭圆C上，故．由T（﹣2，0），知=，由此能求出圆T的方程．法二：点M与点N关于x轴对称，故设M（2cosθ，sinθ），N（2cosθ，﹣sinθ），设sin θ＞0，由T（﹣2，0），得=，由此能求出圆T的方程．（3）法一：设P（x0，y0），则直线MP的方程为：，令y=0，得，同理：，…（10分）故，由此能够证明|OR|•|OS|=|x R|•|x S|=|x R•x S|=4为定值．法二：设M（2cosθ，sinθ），N（2cosθ，﹣sinθ），设sinθ＞0，P（2cosα，sinα），其中sinα≠±sinθ．则直线MP的方程为：，由此能够证明|OR|•|OS|=|x R|•|x S|=|x R •x S|=4为定值．解答：解：（1）依题意，得a=2，，∴c=，b==1，故椭圆C的方程为．…（3分）（2）方法一：点M与点N关于x轴对称，设M（x1，y1），N（x1，﹣y1），不妨设y1＞0．由于点M在椭圆C上，所以．（*）…（4分）由已知T（﹣2，0），则，，∴=（x1+2）2﹣==．…（6分）由于﹣2＜x1＜2，故当时，取得最小值为．由（*）式，，故，又点M在圆T上，代入圆的方程得到．故圆T的方程为：．…（8分）方法二：点M与点N关于x轴对称，故设M（2cosθ，sinθ），N（2cosθ，﹣sinθ），不妨设sinθ＞0，由已知T（﹣2，0），则=（2cosθ+2）2﹣sin2θ=5cos2θ+8cosθ+3=．…（6分）故当时，取得最小值为，此时，又点M在圆T上，代入圆的方程得到．故圆T的方程为：．…（8分）（3）方法一：设P（x0，y0），则直线MP的方程为：，令y=0，得，同理：，…（10分）故（**）…（11分）又点M与点P在椭圆上，故，，…（12分）代入（**）式，得：．所以|OR|•|OS|=|x R|•|x S|=|x R•x S|=4为定值．…方法二：设M（2cosθ，sinθ），N（2cosθ，﹣sinθ），不妨设sinθ＞0，P（2cosα，sinα），其中sinα≠±sinθ．则直线MP的方程为：，令y=0，得，同理：，…（12分）故．所以|OR|•|OS|=|x R|•|x S|=|x R•x S|=4为定值．…点评：本题考查椭圆的方程和几何性质、圆的方程等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想．20．设函数f（x）=x2，g（x）=alnx+bx（a＞0）．（1）若f（1）=g（1），f′（1）=g′（1）求F（x）=f（x）﹣g（x）的极小值；（2）在（1）的结论下，是否存在实常数k和m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m同时成立？若存在，求出k和m的值．若不存在，说明理由．（3）设G（x）=f（x）+2﹣g（x）有两个零点x1和x2，若x0=，试探究G′（x0）值的符号．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题；函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：（1）只要利用条件f（1）=g（1），f′（1）=g′（1），即可求出a、b的值，再求F（x）的导数，求单调区间，即可得到极小值；（2）由于f（x）与g（x）有一个公共点（1，1），而函数f（x）=x2在点（1，1）的切线方程为y=2x﹣1，只要验证 f（x）≥2x﹣1，g（x）≤2x﹣1 都成立即可；（3）由G（x）=f（x）+2﹣g（x）有两个零点x1和x2，得到x1，x2满足的关系式，由x0=，再经过讨论换元可证得G′（x0）＞0．解答：解：（1）由f（1）=g（1），得 b=1．∵f′（x）=2x，g′（x）=+b，f′（1）=g′（1），∴2=a+b，解得a=b=1，则g（x）=lnx+x．F（x）=x2﹣lnx﹣x（x＞0）的导数为F′（x）=2x﹣1﹣=，当x＞1时，F′（x）＞0，F（x）递增，当0＜x＜1时，F′（x）＜0，F（x）递减，则有x=1时，F（x）取得极小值，且为0；（2）因f（x）与g（x）有一个公共点（1，1），而函数f（x）=x2在点（1，1）的切线方程为y=2x﹣1，下面验证 f（x）≥2x﹣1，g（x）≤2x﹣1，都成立即可．由x2﹣2x+1≥0，得x2≥2x﹣1，知f（x）≥2x﹣1恒成立．设h（x）=lnx+x﹣（2x﹣1），即h（x）=lnx﹣x+1，h′（x）=﹣1=，∴当0＜x＜1时，h′（x）＞0；当x＞1时，h′（x）＜0．∴h（x）在（0，1）上递增，在（1，+∞）上递减，∴h（x）在x=1时取得最大值，∴h（x）=lnx+x﹣（2x﹣1）的最大值为h（1）=0，则lnx+x≤2x﹣1恒成立．故存在这样的k和m，且k=2，m=﹣1，满足条件．（3）G′（x0）的符号为正，理由为：∵G（x）=x2+2﹣alnx﹣bx有两个不同的零点x1，x2，则有 x12+2﹣alnx1﹣bx1=0，x22+2﹣alnx2﹣bx2=0，两式相减得x22﹣x12﹣a（lnx2﹣lnx1）﹣b（x2﹣x1）=0．即x1+x2﹣b=，又x1+x2=2x0，则G′（x0）=2x0﹣﹣b=（x1+x2﹣b）﹣=﹣=[ln ﹣]=[ln﹣]，①当0＜x1＜x2时，令=t，则t＞1，且G′（x0）=[lnt﹣]，故μ（t）=lnt﹣（t＞1），μ′（t）=﹣=＞0，则μ（t）在[1，+∞）上为增函数，而μ（1）=0，∴μ（t）＞0，即lnt﹣＞0，又a＞0，x2﹣x1＞0，∴G′（x0）＞0，②当0＜x2＜x1时，同理可得：G′（x0）＞0，综上所述：G′（x0）值的符号为正．点评：本题考查了导数的综合应用，熟练利用导数求极值和最值及恰当分类讨论、换元是解决问题的关键．专业文档珍贵文档。

2014年江苏扬州市高二下学期期末调研测试数学（理）试卷（全卷满分160分，考试时间120分钟）2014．6注意事项：1． 答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方．2．试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应位置）1．设集合{1,2,3}A =,集合{2,2}B =-,则AB = ▲ ．2．为虚数单位，复数21i-= ▲ ． 3．函数()lg(1)f x x =+的定义域为 ▲ ． 4．“0ϕ=”是“函数()sin()f x x ϕ=+为奇函数”的▲ 条件．（从“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”，“既不充分也不必要”中选择适当的填写） 5．函数xy e =在1x =处的切线的斜率为 ▲ ． 6．若tan θ+1tan θ=4则sin2θ= ▲ ． 7．某工厂将4名新招聘员工分配至三个不同的车间，每个车间至少分配一名员工，甲、乙 两名员工必须分配至同一车间，则不同的分配方法总数为 ▲ （用数字作答）． 8．函数()sin cos f x x x =-的值域为 ▲ ．9．===⋅⋅⋅=， 则21n m+= ▲ ． 10．已知函数2|1|=1x y x --的图象与函数=2y kx -的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是 ▲ ．11．已知函数()f x 是定义在[4,)-+∞上的单调增函数，且对于一切实数x ，不等式22(cos )(sin 3)f x b f x b -≥--恒成立，则实数b 的取值范围是 ▲ ． 12．设T S ,是R 的两个非空子集，如果存在．．一个从S 到T 的函数)(x f y =满足： (i)}|)({S x x f T ∈=；(ii)对任意S x x ∈21,，当21x x <时，恒有)()(21x f x f <． 那么称这两个集合“保序同构”．现给出以下4对集合： ①,{1,1}S R T ==-； ②*,S N T N ==；③{|13},{|810}S x x T x x =-≤≤=-≤≤； ④{|01},S x x T R =<<=其中，“保序同构”的集合对的对应的序号是 ▲ (写出所有“保序同构”的集合对的对应的序号)．13．已知定义在R 上的奇函数()f x 在0x >时满足4()f x x =，且()4()f x t f x +≤在[1,16]x ∈恒成立，则实数的最大值是 ▲． 14．若关于x 的不等式2x ax e ≥的解集中的正整数解有且只有3个，则实数a 的取值范围是 ▲ ．二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分14分）已知a R ∈，命题2:"[1,2],0"p x x a ∀∈-≥，命题2:",220"q x R x ax a ∃∈++-=． ⑴若命题p 为真命题，求实数a 的取值范围；⑵若命题""p q ∨为真命题，命题""p q ∧为假命题，求实数a 的取值范围．16．（本小题满分14分）已知函数()2cos()(0,)6f x x x R πωω=+>∈的最小正周期为10π．⑴求函数()f x 的对称轴方程； ⑵设,[0,]2παβ∈，56516(5),(5)35617f f ππαβ+=--=，求cos()αβ+的值．17．（本小题满分14分）已知*(1)(,)n mx m R n N +∈∈的展开式的二项式系数之和为32，且展开式中含3x 项的系数为80．⑴求,m n 的值；⑵求6(1)(1)n mx x +-展开式中含2x 项的系数．18．（本小题满分16分）如图，某市新体育公园的中心广场平面图如图所示，在y 轴左侧的观光道曲线段是函数sin()(0,0,0)y A x A ωϕωϕπ=+>><<，[4,0]x ∈-时的图象且最高点B （-1，4），在y 轴右侧的曲线段是以CO 为直径的半圆弧．⑴试确定A ，ω和ϕ的值；⑵现要在右侧的半圆中修建一条步行道CDO设计为直线段（造价为2万元/米），从D 到点O 米）．设DCO θ∠=(弧度)，试用θ19．（本小题满分16分）已知函数2()1f x ax bx =++（,a b 为实数，0,a x R ≠∈），(),0()(),0f x x F x f x x >⎧=⎨-<⎩．⑴若(1)0f -=，且函数()f x 的值域为[0,)+∞，求()F x 的表达式；⑵设0,0,0mn m n a <+>>，且函数()f x 为偶函数，判断()()0F m F n +>是否大0？ ⑶设ln 1()xx g x e+=，当1a b ==时，证明：对任意实数0x >，2[()1]'()1F x g x e --<+ (其中'()g x 是()g x 的导函数) ． 20．（本小题满分16分）已知函数2()(,)f x ax bx a b R =+∈，函数()ln g x x =．⑴当0=a 时，函数)(x f 的图象与函数)(x g 的图象有公共点，求实数b 的最大值； ⑵当0b =时，试判断函数)(x f 的图象与函数)(x g 的图象的公共点的个数；⑶函数)(x f 的图象能否恒在函数()y bg x =的上方？若能，求出,a b 的取值范围；若不能，请说明理由．2013-2014学年度第二学期高二期末调研测试数 学 （理科附加题）（全卷满分40分，考试时间30分钟）2014．621．（本小题满分10分）一个口袋中装有大小形状完全相同的红色球个、黄色球2个、蓝色球*()n n N ∈个．现进行从口袋中摸球的游戏：摸到红球得分、摸到黄球得2分、摸到蓝球得3分．若从这个口袋中随机地摸出2个球，恰有一个是黄色球的概率是158． ⑴求n 的值；⑵从口袋中随机摸出2个球，设ξ表示所摸2球的得分之和，求ξ的分布列和数学期望E ξ． 22．（本小题满分10分）已知函数ax x x f +-=3)(在(1,0)-上是增函数． ⑴求实数a 的取值范围A ；⑵当a 为A 中最小值时，定义数列{}n a 满足：1(1,0)a ∈-，且)(21n n a f a =+， 用数学归纳法证明(1,0)n a ∈-，并判断1n a +与n a 的大小． 23．（本小题满分10分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1A A ⊥平面ABC ，90BAC ︒∠=，F 为棱1AA 上的动点，14,2A A AB AC ===．⑴当F 为1A A 的中点，求直线BC 与平面1BFC⑵当1AFFA 的值为多少时，二面角1B FC C --的大小是45． 24．（本小题满分10分）已知数列{}n a 为0123,,,,,()n a a a a a n N ⋅⋅⋅∈，0nn i i b a ==∑表示0123n aa a a a +++++，i N ∈．⑴若数列{}n a 为等比数列2()nn a n N =∈，求0()niini b C =∑；⑵若数列{}n a 为等差数列2()n a n n N =∈，求1()ni ini b C =∑．2014年6月高二期末调研测试理 科 数 学 试 题 参 考 答 案一、填空题：1．{2} 2．1i + 3．(1,)-+∞ 4．充分不必要5．e 6．127．6 8．[9．2014 10．(0,1)(1,4) 11．1[212．②③④131- 14．4[,)16e e二、解答题：15⑴因为命题2:"[1,2],0"p x x a ∀∈-≥，令2()f x x a =-，根据题意，只要[1,2]x ∈时，min ()0f x ≥即可， ……4分 也就是101a a -≥⇒≤； ……7分 ⑵由⑴可知，当命题p 为真命题时，1a ≤，命题q 为真命题时，244(2)0a a ∆=--≥，解得21a a ≤-≥或 ……11分 因为命题""p q ∨为真命题，命题""p q ∧为假命题，所以命题p 与命题q 一真一假，当命题p 为真，命题q 为假时，12121a a a ≤⎧⇒-<<⎨-<<⎩，当命题p 为假，命题q 为真时，11-21a a a a >⎧⇒>⎨≤≥⎩或， 综上：1a >或21a -<<． ……14分 16⑴由条件可知，21105T ππωω==⇔=， ……4分则由155()566x k x k k Z ππππ+=⇒=-+∈为所求对称轴方程； ……7分⑵56334(5)cos()sin ,cos352555f ππαααα+=-⇔+=-⇔==， 因为[0,]2πα∈，所以56334)cos()sin ,cos 352555ππααα=-⇔+=-⇔==， 516815(5)cos ,sin 6171717f πβββ-=⇔==，因为[0,]2πβ∈，所以516815(5)cos ,sin 6171717f πβββ-=⇔== … …11分4831513cos()cos cos sin sin 51751785αβαβαβ+=-=⨯-⨯=-． ……14分17⑴由题意，232n =，则5n =； ……3分由通项15(0,1,,5)r r rr T C m x r +==，则3r =，所以33580C m =，所以2m =；…7分⑵即求56(12)(1)x x +-展开式中含2x 项的系数，56011220122555666(12)(1)[(2)(2)]()x x C C x C x C C x C x +-=+++⋅⋅⋅-++⋅⋅⋅22(11040)(1615)x x x x =+++⋅⋅⋅-++⋅⋅⋅， ……11分所以展开式中含2x 项的系数为11510(6)4015⨯+⨯-+⨯=-． ……14分18⑴因为最高点B （-1，4），所以A =4；又(4,0)E -，所以1(4)3124TT =---=⇒=， 因为2126T ππωω==⇒= ……5分代入点B （-1，4），44sin[(1)]sin()166ππϕϕ=⨯-+⇒-=， 又203πϕπϕ<<⇒=； ……8分⑵由⑴可知：24sin(),[4,0]63y x x ππ=+∈-，得点C (0,即CO =，取CO 中点F ，连结DF ，因为弧CD 为半圆弧，所以2,90DFO CDO θ∠=∠=︒，即2DO θ== ，则圆弧段DO造价预算为万元， Rt CDO ∆中，CD θ=，则直线段CD造价预算为θ万元，所以步行道造价预算()g θθ=+，(0,)2πθ∈． ……13分由'()sin )2sin )g x θθ=-+=-得当6πθ=时，'()0g θ=，当(0,)6πθ∈时，'()0g x >，即()g θ在(0,)6π上单调递增；当(,)62ππθ∈时，'()0g x <，即()g θ在(,)62ππ上单调递减 所以()g θ在6πθ=时取极大值，也即造价预算最大值为（6）万元．……16分19⑴因为(1)0f -=，所以10a b -+=，因为()f x 的值域为[0,)+∞，所以20,40a b a >⎧⎨∆=-=⎩， ……3分所以24(1)02,1b b b a --=⇒==，所以2()(1)f x x =+，所以22(1),0()(1),0x x F x x x ⎧+>⎪=⎨-+<⎪⎩； ……5分⑵因为()f x 是偶函数，所以20,()1b f x ax ==+即，又0a >，所以221,0()1,0ax x F x ax x ⎧+>⎪=⎨--<⎪⎩， ……8分因为0mn <，不妨设0m >，则0n <，又0m n +>，所以0m n >->， 此时2222()()11()0F m F n am an a m n +=+--=->，所以()()0F m F n +>； ……10分 ⑶因为0x >，所以2()()1F x f x ax bx ==++，又1a b ==，则2()1F x x x -=+，因为ln 1()xx g x e +=，所以'1ln 1()x x x g x e --=则原不等式证明等价于证明“对任意实数0x >，221ln 1()1xx x x x e e---+⋅<+ ” ， 即 21(1ln )1xx x x x e e-+⋅--<+. ……12分 先研究 1ln x x x --，再研究1x xe+.① 记()1ln ,0i x x x x x =-->，'()ln 2i x x =--，令'()0i x =，得2x e -=， 当(0x ∈，2)e -时'()0i x >，()i x 单增；当2(x e -∈，)+∞时'()0i x <，()i x 单减 . 所以，22max ()()1i x i e e --==+，即21ln 1x x x e ---≤+.② 记1(),0x x j x x e +=>，'()0x x j x e=-<，所以()j x 在(0,)+∞单减，所以，()(0)1j x j <=，即11x x e+<.综上①、②知，2211()(1ln )(1)1x x x x g x x x x e e e e--++=--≤+<+.即原不等式得证，对任意实数0x >，2[()1]'()1F x g x e --<+ ……16分20⑴bx x f a =∴=)(0 ,由一次函数与对数函数图象可知两图象相切时b 取最大值， ……1分 设切点横坐标为0x ，1(),()f x b g x x''==， 000011,,ln b x x e b e bx x⎧=⎪∴∴=∴=⎨⎪=⎩, 即实数b 的最大值为1b e =； ……4分⑵2ln 0,0,()()xb x f x g x a x =>∴=⇔=， 即原题等价于直线y a =与函数2ln ()xr x x=的图象的公共点的个数， ……5分'432ln 12ln ()x x x xr x x x --==， ()r x ∴在递增且1()(,)2r x e∈-∞，()r x 在)+∞递减且1()(0,)2r x e∈，1(,)2a e∴∈+∞时，无公共点，1(,0]{}2a e ∈-∞⋃时，有一个公共点，1(0,)2a e∈时，有两个公共点； ……9分⑶函数)(x f 的图象恒在函数()y bg x =的上方，即()()f x bg x >在0x >时恒成立， ……10分①0a <时()f x 图象开口向下，即()()f x bg x >在0x >时不可能恒成立， ②0a =时ln bx b x >，由⑴可得ln x x >， 0b ∴>时()()f x bg x >恒成立，0b ≤时()()f x bg x >不成立，③0a >时， 若0b <则2ln a x x b x -<，由⑵可得2ln x xx -无最小值，故()()f x bg x >不可能恒成立， 若0b =则20ax >，故()()f x bg x >恒成立，若0b >则2(ln )0ax b x x +->，故()()f x bg x >恒成立， ……15分 综上，0,0a b =>或0,0a b >≥时函数)(x f 的图象恒在函数()y bg x =的图象的上方． ……16分21⑴由题设158231211=++n n C C C ，即03522=--n n ，解得3=n ； ……4分 ⑵ξ取值为3,4,5,6.则1112262(3)15C C P C ξ===，11213222664(4)15C C C P C C ξ==+=，1123262(5)5C C P C ξ===，23261(6)5C P C ξ===， ……8分ξ的分布列为：故234561515553E ξ⨯+⨯+⨯+⨯==． ……10分22⑴'2()30f x x a =-+≥即23a x ≥在(1,0)x ∈-恒成立，[3,)A ∴=+∞； ……4分 ⑵用数学归纳法证明：(1,0)n a ∈-． （ⅰ）1=n 时，由题设1(1,0)a ∈-； （ⅱ）假设k n =时，(1,0)k a ∈-则当1+=k n 时，)3(21)(2131k k k k a a a f a +-==+ 由⑴知：x x x f 3)(3+-=在(1,0)-上是增函数，又(1,0)k a ∈-， 所以331111((1)3(1))1()(3)0222k k k k a f a a a +--+⨯-=-<==-+<， 综合（ⅰ）（ⅱ）得：对任意*N n ∈，(1,0)n a ∈-． ……8分3111(3)(1)(1)22n n n n n n n n a a a a a a a a +-=-+-=--+ 因为(1,0)n a ∈-，所以10n n a a +-<，即1n n a a +<． … …10分23．如图，以点A 为原点建立空间直角坐标系，依题意得11(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,4),(0,2,4)A B C A C ，⑴因为F 为中点，则1(0,0,2),(2,0,2),(2,2,4),(2,2,0)F BF BC BC =-=-=-， 设(,,)n x y z =是平面1BFC 的一个法向量，则12202240n BF x z n BC x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，得x y z =-= 取1x =，则(1,1,1)n =-，设直线BC 与平面1BFC 的法向量(1,1,1)n =-的夹角为则cos ||||22BC n BC n θ⋅===⋅， 所以直线BC 与平面1BFC ……5分 ⑵设1(0,0,)(04),(2,0,),(2,2,4)F t t BF t BC ≤≤=-=-， 设(,,)n x y z =是平面1BFC 的一个法向量，则1202240n BF x tz n BC x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，取2z =，则(,4,2)n t t =- (2,0,0)AB =是平面1FC C 的一个法向量，cos ,||||2n AB n AB n AB t ⋅<>===⋅ 得52t =，即153,22AF FA ==， 所以当153AF FA =时，二面角1B FC C --的大小是45． ……10分24⑴0121222221n n n b +=+++⋅⋅⋅+=-，所以10213210()(21)(21)(21)(21)ni n ninn n n ni b C C C C C +==-+-+-+⋅⋅⋅+-∑ 100211322121212121n n n n n n n n n n n C C C C C C C C +=⋅-⋅+⋅-⋅+⋅-⋅+⋅⋅⋅+⋅-⋅ 011220122(222)()n n nn n n n n n n n C C C C C C C C =+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅-+++⋅⋅⋅+2(12)2232n n n n =+-=⋅-． ……4分⑵0242(1)n b n n n =+++⋅⋅⋅+=+，1230()122334(1)nininn n n ni b C CC C n n C ==⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅++∑， 因为012233(1)n n nn n n n n x C C x C x C x C x +=++++⋅⋅⋅+，两边同乘以x ，则有01223341(1)n n n n n n n n x x C x C x C x C x C x ++=++++⋅⋅⋅+，两边求导，左边1(1)(1)n n x nx x -=+++，右边012233234(1)n n n n n n n C C x C x C x n C x =++++⋅⋅⋅++，即1012233(1)(1)234(1)n n n n n n n n n x nx x C C x C x C x n C x -+++=++++⋅⋅⋅++（*）， 对（*）式两边再求导，得12123212(1)(1)(1)213243(1)n n n n n n n n n x n n x x C C x C x n nC x---++-+=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅++取1x =，则有22123(3)2122334(1)n n n n n nn n C C C n n C -+⋅=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅++ 所以221()(3)2nin ini b C nn -==+⋅∑． ……10分。

2014-2015学年江苏省扬州市高邮中学高二（上）期末数学试卷一、填空题1．（5分）“a＞1”是“a≠1”的条件（填“充分不必要、必要不充分、充要，既不充分又不必要”）．2．（5分）样本数据18，16，15，16，20的方差s2=．3．（5分）抛物线y=﹣4x2的准线方程是．4．（5分）根据如图所示的伪代码，最后输出的i的值为．5．（5分）如图茎叶图表示的是甲，乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为．6．（5分）如图，正方体的棱长为1，C、D分别是两条棱的中点，A、B、M是顶点，那么点M到截面ABCD的距离是．7．（5分）圆柱形容器内部盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是cm．8．（5分）已知一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，则此圆锥的体积为．9．（5分）已知函数f（x）=2f′（1）lnx﹣x，则f（x）的极大值为．10．（5分）已知直线ℓ⊥平面α，直线m⊂平面β，有下面四个命题：其中正确命题序号是①α∥β⇒ℓ⊥m；②α⊥β⇒ℓ∥m；③ℓ∥m⇒α⊥β；④ℓ⊥m⇒α∥β．11．（5分）椭圆=1（a＞b＞0），F1，F2为椭圆的两个焦点且F1，F2到直线+=1的距离之和为b，则离心率e=．12．（5分）定义在R上的函数f（x）满足：f′（x）＞1﹣f（x），f（0）=6，f′（x）是f（x）的导函数，则不等式e x f（x）＞e x+5（其中e为自然对数的底数）的解集为．13．（5分）已知函数f（x）=x2，x∈[﹣2，2]和函数g（x）=ax﹣1，x∈[﹣2，2]，若对∀x1∈[﹣2，2]，总存在x0∈[﹣2，2]，使f（x1）=g（x0）成立，则实数a的取值范围是．14．（5分）已知椭圆，F1，F2是左右焦点，l是右准线，若椭圆上存在点P，使|PF1|是P到直线l的距离的2倍，则椭圆离心率的取值范围是．二、解答题15．（14分）某校高二年级的一次数学考试中，为了分析学生的得分情况，随机抽取M名同学的成绩，数据的分组统计表如下：（1）求出表中M，n的值；（2）根据上表，请在给出的坐标系（见答题纸）中画出频率分布直方图；（3）为了了解某些同学在数学学习中存在的问题，现从样本中分数在（40，60]中的6位同学中任意抽取2人进行调查，求分数在（40，50]和（50，60]中各有一人的概率．16．（14分）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，已知平面AA1C1C⊥平面ABCD，且AB=BC=CA=，AD=CD=1．（1）求证：BD⊥AA1；（2）在棱BC上取一点E，使得AE∥平面DCC1D1，求的值．17．（14分）学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验．设计方案如图：航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以y轴为对称轴、为顶点的抛物线的实线部分，降落点为D（8，0）．观测点A（4，0）、B（6，0）同时跟踪航天器．（1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；（2）试问：当航天器在x轴上方时，观测点A、B测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？18．（16分）（1）求右焦点坐标是（2，0），且经过点的椭圆的标准方程；（2）已知椭圆C的方程是（a＞b＞0）．设斜率为k的直线l，交椭圆C于A、B两点，AB的中点为M．证明：当直线l平行移动时，动点M在一条过原点的定直线上．19．（16分）已知函数f（x）=x2•e ax，x∈R，其中e为自然对数的底数，a∈R．（1）设a=﹣1，x∈[﹣1，1]，求函数y=f（x）的最值；（2）若对于任意的a＞0，都有成立，x的取值范围．20．（16分）在直角坐标平面中，△ABC的两个顶点为A（0，﹣1），B（0，1），平面内两点G，M同时满足：①G为△ABC的重心；②M到△ABC三点A，B，C的距离相等；③直线GM的倾斜角为．（1）求证：顶点C在定椭圆E上，并求椭圆E的方程；（2）设P，Q，R，N都在曲线E上，点，直线PQ与RN都过点F并且相互垂直，求四边形PRQN的面积S的最大值和最小值．2014-2015学年江苏省扬州市高邮中学高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．（5分）“a＞1”是“a≠1”的充分不必要条件（填“充分不必要、必要不充分、充要，既不充分又不必要”）．【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：若a＞1，则a≠1成立，若a=0，满足a≠1，但a＞1不成立，故“a＞1”是“a≠1”的充分不必要条件，故答案为：充分不必要2．（5分）样本数据18，16，15，16，20的方差s2= 3.2．【分析】欲求“方差”，根据题意，先求出这组数据的平均数，再利用方差公式S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]计算即得．【解答】解：平均数=（18+16+15+16+20）=17，方差s2=[（18﹣17）2+（16﹣17）2+（15﹣17）2+（16﹣17）2+（20﹣17）2]=3.2．故答案为：3.2．3．（5分）抛物线y=﹣4x2的准线方程是．【分析】化抛物线的方程为标准方程，可得p值，结合抛物线的开口方向可得方程．【解答】解：化抛物线方程为标准方程可得，由此可得2p=，故，，由抛物线开口向下可知，准线的方程为：y=，故答案为：4．（5分）根据如图所示的伪代码，最后输出的i的值为9．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出满足条件T=1+3+5+7时，i的值．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加T=1+3+5+7，并输出满足条件时i值．∵T=1+3+5+7=16≥10，故输出的i值为7+2=9．故答案为：9．5．（5分）如图茎叶图表示的是甲，乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为．【分析】由已知的茎叶图，求出甲乙两人的平均成绩，然后求出乙的平均成绩不小于甲的平均成绩的概率，得到答案．【解答】解：由已知中的茎叶图可得甲的5次综合测评中的成绩分别为88，89，90，91，92，则甲的平均成绩：（88+89+90+91+92）=90设污损数字为x则乙的5次综合测评中的成绩分别为83，83，87，99，90+X则乙的平均成绩：（83+83+87+99+90+x）=88.4+，当x=9，甲的平均数＜乙的平均数，即乙的平均成绩超过甲的平均成绩的概率为，当x=8，甲的平均数=乙的平均数，即乙的平均成绩不小于均甲的平均成绩的概率为，甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为1﹣=故答案为：．6．（5分）如图，正方体的棱长为1，C、D分别是两条棱的中点，A、B、M是顶点，那么点M到截面ABCD的距离是．【分析】建立的空间直角坐标系，可得平面ABCD的一个法向量为=（2，﹣2，1），而M到截面ABCD的距离d=，代入计算即可．【解答】解：建立如图所示的空间直角坐标系，可得A（0，0，0），B（1，1，0），D（0，，1），M（0，1，0），∴=（0，1，0），=（1，1，0），=（0，，1），设=（x，y，z）为平面ABCD的法向量，则，取y=﹣2，可得x=2，z=1，∴=（2，﹣2，1），∴M到截面ABCD的距离d===故答案为：7．（5分）圆柱形容器内部盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是4cm．【分析】设出球的半径，三个球的体积和水的体积之和，等于柱体的体积，求解即可．【解答】解：设球半径为r，则由3V球+V水=V柱可得3×，解得r=4．故答案为：48．（5分）已知一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，则此圆锥的体积为π．【分析】由于圆锥侧面展开图是一个圆心角为，半径为3的扇形，可知圆锥的母线长，底面周长即扇形的弧长，由此可以求同底面的半径r，求出底面圆的面积，再由h=求出圆锥的高，然后代入圆锥的体积公式求出体积．【解答】解：∵圆锥侧面展开图是一个圆心角为120°半径为3的扇形∴圆锥的母线长为l=3，底面周长即扇形的弧长为×3=2π，∴底面圆的半径r=1，可得底面圆的面积为π×r2=π又圆锥的高h===2故圆锥的体积为V=×π×=π，故答案为：．9．（5分）已知函数f（x）=2f′（1）lnx﹣x，则f（x）的极大值为2ln2﹣2．【分析】先求导数，当x=1时，即可得到f′（1），再令导数大于0或小于0，解出x的范围，即得到函数的单调区间，进而可得函数的极大值．【解答】解：由于函数f（x）=2f′（1）lnx﹣x，则f′（x）=2f′（1）×﹣1（x＞0），f′（1）=2f′（1）﹣1，故f′（1）=1，得到f′（x）=2×﹣1=，令f′（x）＞0，解得：x＜2，令f′（x）＜0，解得：x＞2，则函数在（0，2）上为增函数，在（2，+∞）上为减函数，故f（x）的极大值为f（2）=2ln2﹣2故答案为：2ln2﹣210．（5分）已知直线ℓ⊥平面α，直线m⊂平面β，有下面四个命题：其中正确命题序号是①③①α∥β⇒ℓ⊥m；②α⊥β⇒ℓ∥m；③ℓ∥m⇒α⊥β；④ℓ⊥m⇒α∥β．【分析】①利用线面垂直、面面平行的判定定理及其性质即可判断出；②由直线ℓ⊥平面α，直线m⊂平面β，α⊥β，则ℓ∥m、相交或为异面直线；③利用面面垂直的判定定理即可判断出；④由直线ℓ⊥平面α，直线m⊂平面β，ℓ⊥m，可得α∥β或相交．【解答】解：①∵直线ℓ⊥平面α，直线m⊂平面β，α∥β⇒ℓ⊥m，正确；②∵直线ℓ⊥平面α，直线m⊂平面β，α⊥β，则ℓ∥m、相交或为异面直线，因此不正确；③∵直线ℓ⊥平面α，直线m⊂平面β，ℓ∥m⇒α⊥β，正确；④∵直线ℓ⊥平面α，直线m⊂平面β，ℓ⊥m，则α∥β或相交．综上可得：其中正确命题序号是①③．故答案为：①③．11．（5分）椭圆=1（a＞b＞0），F1，F2为椭圆的两个焦点且F1，F2到直线+=1的距离之和为b，则离心率e=．【分析】求出两焦点的坐标，根据点到直线的距离公式求出两焦点到直线的距离和，得出a，b的关系，从而求离心率．【解答】解：直线+=1可化为：bx+ay﹣ab=0，由椭圆=1（a＞b＞0）得，F1（﹣c，0），F2（c，0），∴F1，F2到直线+=1的距离之和为，化简得：a=b，∴e====．故答案为：．12．（5分）定义在R上的函数f（x）满足：f′（x）＞1﹣f（x），f（0）=6，f′（x）是f（x）的导函数，则不等式e x f（x）＞e x+5（其中e为自然对数的底数）的解集为（0，+∞）．【分析】构造函数g（x）=e x f（x）﹣e x，（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解【解答】解：设g（x）=e x f（x）﹣e x，（x∈R），则g′（x）=e x f（x）+e x f′（x）﹣e x=e x[f（x）+f′（x）﹣1]，∵f'（x）＞1﹣f（x），∴f（x）+f′（x）﹣1＞0，∴g′（x）＞0，∴y=g（x）在定义域上单调递增，∵e x f（x）＞e x+5，∴g（x）＞5，又∵g（0）=e0f（0）﹣e0=6﹣1=5，∴g（x）＞g（0），∴x＞0，∴不等式的解集为（0，+∞）故答案为：（0，+∞）．13．（5分）已知函数f（x）=x2，x∈[﹣2，2]和函数g（x）=ax﹣1，x∈[﹣2，2]，若对∀x1∈[﹣2，2]，总存在x0∈[﹣2，2]，使f（x1）=g（x0）成立，则实数a的取值范围是a≥2.5或a≤﹣2.5．【分析】根据对于任意x1∈[﹣2，2]，总存在x0∈[﹣2，2]，使得g（x0）=f（x1）成立，得到函数f（x）在[﹣2，2]，上值域是g（x）在[﹣2，2]上值域的子集，然后利用求函数值域的方法求函数f（x）、g（x）在[﹣2，2]，上值域，并列出不等式，解此不等式组即可求得实数a的取值范围即可．【解答】解：①若a=0，g（x）=﹣1，对于任意x1∈[﹣2，2]，f（x1）∈[0，4]，不存在x0∈[﹣2，2]，使g（x0）=f（x1）②当a＞0时，g（x）=ax﹣1在[﹣2，2]是增函数，g（x）∈[﹣2a﹣1，2a﹣1]任给x1∈[﹣2，2]，f（x1）∈[0，4]若存在x0∈[﹣2，2]，使得g（x0）=f（x1）成立则，∴③a＜0，g（x）=ax﹣1在[﹣2，2]是减函数，g（x）∈[2a﹣1，﹣2a﹣1]∴，∴综上，实数a的取值范围是a≥2.5或a≤﹣2.5．故答案为：a≥2.5或a≤﹣2.514．（5分）已知椭圆，F1，F2是左右焦点，l是右准线，若椭圆上存在点P，使|PF1|是P到直线l的距离的2倍，则椭圆离心率的取值范围是．【分析】设点P到直线l的距离为d，根据椭圆的定义可知|PF2|比d的值等于c 比a的值，由题意知|PF1|等于2d，且|PF1|+|PF2|=2a，联立化简得到：|PF1|等于一个关于a与c的关系式，又|PF1|大于等于a﹣c，小于等于a+c，列出关于a与c的不等式，求出不等式的解集即可得到的范围，即为离心率e 的范围，同时考虑e小于1，从而得到此椭圆离心率的范围．【解答】解：设P到直线l的距离为d，根据椭圆的第二定义得=e=，|PF1|=2d，且|PF1|+|PF2|=2a，则|PF1|=2a﹣|PF2|=2a﹣=2d，即d=，而|PF1|∈（a﹣c，a+c]，即2d=，所以得到，由①得：++2＞0，为任意实数；由②得：+3﹣2≥0，解得≥或≤（舍去），所以不等式的解集为：≥，即离心率e≥，又e＜1，所以椭圆离心率的取值范围是[，1）．故答案为：[，1）二、解答题15．（14分）某校高二年级的一次数学考试中，为了分析学生的得分情况，随机抽取M名同学的成绩，数据的分组统计表如下：（1）求出表中M，n的值；（2）根据上表，请在给出的坐标系（见答题纸）中画出频率分布直方图；（3）为了了解某些同学在数学学习中存在的问题，现从样本中分数在（40，60]中的6位同学中任意抽取2人进行调查，求分数在（40，50]和（50，60]中各有一人的概率．【分析】（1）由于样本容量为M满足，由此解得M的值．再根据频率分布表中频率的性质可得n=1﹣0.02﹣0.04﹣0.11﹣0.38﹣0.11，运算求得结果．（2）频率分步直方图如图所示．（3）从6个人中任选两个人，所有的选法共有种，满足条件的选法有2×4=8种，由此求得其中符合两组中各有一人的概率．【解答】解：（1）样本容量为M满足，解得M=2÷0.02=100，再根据频率分布表中频率的性质可得n=1﹣0.02﹣0.04﹣0.11﹣0.38﹣0.11=1﹣0.66=0.34．（2）频率分步直方图如图所示：（3）从6个人中任选两个人，所有的选法共有=15种，满足条件的选法有2×4=8种，故其中符合两组中各有一人的概率为．16．（14分）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，已知平面AA1C1C⊥平面ABCD，且AB=BC=CA=，AD=CD=1．（1）求证：BD⊥AA1；（2）在棱BC上取一点E，使得AE∥平面DCC1D1，求的值．【分析】（1）利用面面垂直的性质，证明BD⊥平面AA1C1C，可得BD⊥AA1；（2）点E为BC中点，即=1，再证明AE∥DC，利用线面平行的判定，可得AE∥平面DCC1D1．【解答】（1）证明：在四边形ABCD中，因为BA=BC，DA=DC，所以BD⊥AC．因为平面AA1C1C⊥平面ABCD，且平面AA1C1C∩平面ABCD=AC，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥平面AA1C1C，因为AA1⊂平面AA1C1C，所以BD⊥AA1；（2）解：点E为BC中点，即=1，下面给予证明：在三角形ABC中，因为AB=AC，E为BC中点，所以AE⊥BC，又在四边形ABCD中，AB=BC=CA=，DA=DC=1，所以∠ACB=60°，∠ACD=30°，所以DC⊥BC，即平面ABCD中有，AE∥DC．因为DC⊂平面DCC1D1，AE⊄平面DCC1D1，所以AE∥平面DCC1D1．17．（14分）学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验．设计方案如图：航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以y轴为对称轴、为顶点的抛物线的实线部分，降落点为D（8，0）．观测点A（4，0）、B（6，0）同时跟踪航天器．（1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；（2）试问：当航天器在x轴上方时，观测点A、B测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？【分析】（1）由题意变轨之后轨迹为开口向下的抛物线，所以利用待定系数法可以先设出方程，再利用条件建立未知数的方程进而求解；（2）由题意及图形可知变轨点C实质为两圆锥曲线的交点，故联立两方程即可求解．【解答】解：（1）设曲线方程为，由题意可知，．∴．∴曲线方程为．（2）设变轨点为C（x，y），根据题意可知得4y2﹣7y﹣36=0，y=4或（不合题意，舍去）．∴y=4．得x=6或x=﹣6（不合题意，舍去）．∴C点的坐标为（6，4），．答：当观测点A、B测得AC、BC距离分别为时，应向航天器发出变轨指令．18．（16分）（1）求右焦点坐标是（2，0），且经过点的椭圆的标准方程；（2）已知椭圆C的方程是（a＞b＞0）．设斜率为k的直线l，交椭圆C于A、B两点，AB的中点为M．证明：当直线l平行移动时，动点M在一条过原点的定直线上．【分析】（1）求椭圆的方程关键是计算a2与b2的值，由焦点F（2，0）且经过点的椭圆的标准方程，构造方程组，解方程组即可求出a2与b2的值，代入即可得到椭圆的标准方程．（2）本题的解答要用到“设而不求”的思想，即设出直线与椭圆两交点的坐标，然后将直线方程代入椭圆的方程，利用韦达定理找出点横、纵坐标和与积的关系，代入验证．【解答】解：（1）设椭圆的标准方程为，a＞b＞0，所以a2=b2+4，即椭圆的方程为，又点（）在椭圆上，所以，解得b2=4或b2=﹣2（舍），由此得a2=8，即椭圆的标准方程为．、（2）设直线l的方程为y=kx+m，与椭圆C的交点A（x1，y1）、B（x2，y2），则有，解得（b2+a2k2）x2+2a2kmx+a2m2﹣a2b2=0，△＞0，所以m2＜b2+a2k2，即．则，所以AB中点M的坐标为．所以线段AB的中点M在过原点的直线b2x+a2ky=0上．19．（16分）已知函数f（x）=x2•e ax，x∈R，其中e为自然对数的底数，a∈R．（1）设a=﹣1，x∈[﹣1，1]，求函数y=f（x）的最值；（2）若对于任意的a＞0，都有成立，x的取值范围．【分析】（1）利用导数先求出函数的极值，再将他与端点值比较，最大的极为最大值，反之极为最小值（2）原命题等价于对任意a＞0，恒成立，即对任意a＞0恒成立．将a分离出来得到，求出的最小值，从而得到即可【解答】解（1）当a=﹣1时，f（x）=x2•e﹣x，x∈[﹣1，1]，f′（x）=2xe﹣x﹣x2e﹣x=﹣x（x﹣2）e﹣x f′（x）=0⇒x=0或x=2，f（x），f′（x）随x变化情况如下表：∴x∈[﹣1，1]时，f max（x）=e，f min（x）=0（2）命题等价于对任意a＞0，x2•e ax≤2x•e ax+ax2•e ax+恒成立，即x2≤2x+ax2+对任意a＞0恒成立．﹣3x，a+（a＞0）又∵a＞0∴a+=2只需≤2⇒x≤﹣2或x≥﹣1．综上：x的取值范围为x≤﹣2或x≥﹣1．20．（16分）在直角坐标平面中，△ABC的两个顶点为A（0，﹣1），B（0，1），平面内两点G，M同时满足：①G为△ABC的重心；②M到△ABC三点A，B，C的距离相等；③直线GM的倾斜角为．（1）求证：顶点C在定椭圆E上，并求椭圆E的方程；（2）设P，Q，R，N都在曲线E上，点，直线PQ与RN都过点F并且相互垂直，求四边形PRQN的面积S的最大值和最小值．【分析】（1）G为△ABC的重心，M为△ABC的外心且M在x轴上，根据MA=MC，利用坐标求解方程．（2）由，得．利用韦达定理求解得出==，再利用均值不等式求解即可．【解答】解：（1）设C（x，y），∵，∴G为△ABC的重心，∴，又∵M为△ABC的外心且M在x轴上，∴，由MA=MC得，整理得：．（2）恰为的右焦点，设PQ的斜率为k（k≠0），则PQ：，由，得．设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，∴=，∵RN⊥PQ，把k换成，得，∴==，∴，∴，当且仅当k=±1时，取等号，又当k不存在或者k=0时，S=2，综上：，∴．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值 （1）函数的单调性②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； yxo（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。

第Ⅰ卷（共60分）一、填空题:本大题共14个小题,每小题5分,共70分.请将答案填写在答题卷相应的位置上在。

1．直线10x y -+=的倾斜角为 . 【答案】4π【解析】试题分析：直线转化为形式为1y x =+，因此直线的斜率为1，而tan 14，因此直线的倾斜角为4π考点：直线的倾斜角；2。

不等式031<+-x x 的解集是 .【答案】()1,3-考点：1。

分式不等式的解法；2。

一元二次不等式的解法； 3。

经过点(2,1)-,且与直线2350x y -+=平行的直线方程是 . 【答案】2370x y -+= 【解析】试题分析：直线2350x y -+=的斜率为23，所求直线与直线2350x y -+=平行，故所求直线斜率为23,又直线过点2,1,因此所求直线方程为2123y x ,即2370x y -+=考点：1。

两条直线平行的条件；2，直线的点斜式方程;4。

已知数列{}na 是等差数列，且25815aa a ++=，则9S = 。

【答案】45 【解析】试题分析：等差数列中2852aa a +=,又由于25815a a a ++=，因此55a =，()199599452a a S a +===考点:1.等差中项；2.等差数列前n 项和公式； 5。

直线50x y --=被圆224460x y x y +-++=所截得的弦的长为 ．【解析】 试题分析:圆224460xy x y +-++=转化为标准式方程22222x y ，圆心2,2到直线50x y --=的距离为|225|2211d，圆的半径为，因此所求弦长为1262考点：1.圆的方程;2。

直线被圆截得的弦长的求法； 6= ．【答案】2【解析】试题分析：由于2cos1012sin55cos85==考点：三角函数式的化简； 7.在约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤≥12y x x y xy 下,目标函数y x z 2+=的最大值为.【答案】35【解析】试题分析：作出满足约束条件的可行域根据图象判断可知，当目标函数的图象过直线2y x 与直线1x y 的交点时取最大值，即过点12,33，时取得最大值，最大值为1252333考点：二元一次不等式组的线性规划；8. 已知a ∈R ，直线l ：(1)30a x ay -++=，则直线l 经过的定点的坐标为 . 【答案】(3,3)- 【解析】试题分析：直线(1)30a x ay -++=变形为30a x yx ,直线l 经过的定点为直线0xy 与3x 的交点，两条直线的交点坐标为(3,3)-考点:直线所过的定点问题； 9。

试卷类型：A肇庆市中小学教学质量评估2014—2015学年第二学期统一检测试题高二数学（文科）本试卷共4页，22小题，满分150分. 考试用时120分钟. 注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔，将自己所在县（市、区）、姓名、试室号、座位号填写在答题卷上对应位置，再用2B 铅笔将准考证号涂黑。

2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能写在试卷或草稿纸上。

3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应的位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再在答题区内写上新的答案； 不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效。

参考公式：线性回归方程a x b yˆˆˆ+=中系数计算公式： ∑∑∑∑====-⋅-=---=ni ini ii ni ini iix n xy x n yx x x y yx x b1221121)())((ˆ，x b y aˆˆ-=，其中x ，y 表示样本均值. 22⨯列联表随机变量))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=. )(2k K P ≥与k 对应值表：一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设i z i z 32,4321-=+-=，则21z z +在复平面内对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知x e x f x sin )(+=，则=')(x fA ．x x cos ln +B ．x x cos ln -C ．x e x cos +D ．x e x cos - 3．若复数i a a a )1()32(2++--是纯虚数，则实数a 的值为A ．3B ．-3C ．1D ．-1或3 4．在曲线3x y =上切线的斜率为3的点是A ．（0，0）B ．（1，1）C ．（-1，-1）D ．（1，1）或（-1，-1） 5．否定“自然数k n m ,,中恰有一个奇数”时正确的反设为A ．k n m ,,都是奇数B ．k n m ,,都是偶数C ．k n m ,,中至少有两个偶数D ．k n m ,,都是偶数或至少有两个奇数 6．下列函数)(x f 中，满足“对任意),0(,21+∞∈x x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f >”的是 A ．x x f 1)(= B ．xx x f 1)(+= C ．2)1()(-=x x f D ．)1ln()(+=x x f 7．复数i z +=11的共轭复数是 A ．i 2121- B ．i 2121+ C ．i -1 D ．i +18．函数221ln )(x x x f -=的单调递增区间为A ．)1,(--∞与),1(+∞B ．),1()1,0(+∞YC ．（0，1）D ．（1，+∞）9．=-+23)1()1(i iA ．i +1B ．i -1C ．i +-1D ．i --1 10．把一段长为12的细铁丝锯成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形的面积之和的最小值是A ．32B ．23C ．233 D ．4 11．若不等式0222<++kx kx 的解集为空集，则实数k 的取值范围是A ．20<<kB ．20<≤kC ．20≤≤kD ．2>k12．已知函数13)(23+-=x ax x f ，若)(x f 存在唯一的零点0x ，且00>x ，则实数a 的取值范围是A ．（1，+∞）B ．（2，+∞）C ．（-∞，-1）D ．（-∞，-2） 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．计算=+-+-+)1()1)(1(i i i ▲ .14．一物体的运动方程为232-=t s ，则其在=t ▲ 时的瞬时速度为1. 15．若复数i a z )1(2++=，且22||<z ，则实数a 的取值范围是 ▲ . 16．数列}{n a 满足nn a a -=+111，28=a ，则=1a ▲ . 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧=+=t y t x 2,1（t 为参数），曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧==θθtan 2,tan 22y x （θ为参数）.（1）求直线l 和曲线C 的普通方程； （2）求直线l 和曲线C 的公共点的坐标.18．（本小题满分12分）某产品的广告费用支出x 与销售额y （单位：百万元）之间有如下的对应数据：（1）求y 与x 之间的回归直线方程；（参考数据：1458654222222=++++，1380708506605404302=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯）（2）试预测广告费用支出为1千万元时，销售额是多少？19.（本小题满分12分）随机询问某大学40名不同性别的大学生在购买食物时是否读营养说明，得到如下22⨯列联表：（1）根据以上列联表进行独立性检验，能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“性别与是否读营养说明之间有关系”？（2）若采用分层抽样的方法从读营养说明的学生中随机抽取3人，则男生和女生抽取的人数分别是多少？（3）在（2）的条件下，从中随机抽取2人，求恰有一男一女的概率. 20．（本小题满分12分）如图，在四面体BCD A -中，⊥AD 平面BCD ，CD BC ⊥. M 是AD 的中点，P 是BM 的中点，点Q 在线段AC 上，且QC AQ 3=.（1）证明：BC ⊥CM ； （2）证明：//PQ 平面BCD . 21．（本小题满分12分）已知数列}{n a 满足11=a ，131+=+n n a a .（1）证明}21{+n a 是等比数列，并求}{n a 的通项公式；（2）证明2311121<+++n a a a Λ.22．（本小题满分12分）已知函数4)(23-+-=ax x x f （R a ∈），)(x f '是)(x f 的导函数.（1）当2=a 时，对于任意的]1,1[-∈m ，]1,1[-∈n ，求)()(n f m f '+的最小值； （2）若存在),0(0+∞∈x ，使0)(0>x f ，求a 的取值范围.ABCD MPQ2014—2015学年第二学期统一检测题 高二数学（文科）参考答案及评分标准一、选择题二、填空题13．i +1 14．61 15．（-3，1） 16． 21三、解答题17．（本小题满分10分） 解：（1）由直线l 的参数方程为⎩⎨⎧=+=t y t x 2,1（t 为参数），得1-=x t ，代入t y 2=，得直线l 的普通方程为022=--y x . （3分） 由曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧==θθtan 2,tan 22y x （θ为参数），得2tan y=θ，代入θ2tan 2=x ，得曲线C 的普通方程x y 22=. （6分）（2）由题意，得⎩⎨⎧==--,2,0222x y y x 解得⎪⎩⎪⎨⎧-==12111y x 或⎩⎨⎧==2222y x . （8分） 故直线l 和曲线C 的公共点的坐标为)2,2(),1,21(-. （10分）18．（本小题满分12分） 解：（1）5586542=++++=x ， （1分）5057050604030=++++=y ， （2分）∑==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=511380708506605404302i ii yx ， （3分）∑==++++=5122222214586542i ix， （4分）5.65514550551380ˆ21221=⨯-⨯⨯-=--=∑∑==ni ini ii x n xyx n yx b， （6分） 5.1755.650ˆˆ=⨯-=-=x b y a， （8分） 所以回归直线方程为5.175.6ˆ+=x y. （9分） （2）当x =10时，5.825.17105.6ˆ=+⨯=y （百万元），即当广告费用支出为1千万元时，销售额是8.25千万元. （12分）19．（本小题满分12分）解：（1）因为635.667.616242020)841216(4022>=⨯⨯⨯⨯-⨯=K ， （3分）所以能在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“性别与是否读营养说明之间有关系”.（5分）（2）男生抽取的人数有：2381616=⨯+（人） （6分） 女生抽取的人数有：138168=⨯+（人） （7分） （3）由（2）可知，男生抽取的人数为2人，设为a ，b ；女生抽取的人数为1人，设为c ；则所有基本事件有：（a ，b ），（a ，c ），（b ，c ）共3种. （9分） 其中满足条件的基本事件有：（a ，c ），（b ，c ）共2种， (11分) 所以，恰有一男一女的概率为32=P . （12分）20．（本小题满分12分）证明：（1）因为AD ⊥平面BCD ，BC ⊂平面BCD ， 所以BC ⊥AD . （1分）AMPQ又BC ⊥CD ，且CD 、AD ⊂平面ACD ，CD ∩AD =D ，所以BC ⊥平面ACD . （2分） 又CM ⊂平面ACD ， （3分） 所以平面BC ⊥CM . （4分）（2）取BD 的中点E ，在线段CD 上取点F ，使得DF =3FC ，连接PE ，EF ，QF . （5分） 因为P 、E 分别是BM 、BD 的中点，所以PE 为△BDM 的中位线， （6分） 所以PE //DM ，且DM PE 21=，即PE //AD ，且AD PE 41=. （7分） 在△CAD 中，AQ =3QC ，DF =3FC ， 所以QF //AD ，且AD QF 41=. （9分） 所以PE //QF ，且PE =QF ，故四边形EFQP 为平行四边形. （10分） 所以PQ //EF . （11分） 又EF ⊂平面BCD ，PQ ⊄平面BCD ，所以PQ //平面BCD . （12分）21．（本小题满分12分）证明：（1）由131+=+n n a a ，得)21(3211+=++n n a a ， （2分） 又23211=+a ，所以}21{+n a 是首项为23，公比为3的等比数列. （4分）故132321-⨯=+n n a ，即213-=n n a . （6分）（2）由（1），得1321-=nn a . 因为当1≥n 时，11132)13(3213---⋅≥-+⋅=-n n n n（0131≥--n ）， （8分） 所以1321131-⋅≤-n n . （9分） 因此23)311(2331311111121<-=+++≤+++-n n n a a a ΛΛ. （11分） 故2311121<+++n a a a Λ. （12分）22．（本小题满分12分）解：（1）当2=a 时，42)(23-+-=x x x f ，x x x f 43)(2+-='. （1分） 令0)(='x f ，得34,021==x x . （2分） 当)0,1(-∈x 时，0)(<'x f ，所以)(x f 在（-1，0）上单调递减； 当)1,0(∈x 时，0)(>'x f ，所以)(x f 在（0，1）上单调递增；所以对于]1,1[-∈m ，)(m f 的最小值为4)0(-=f . （3分） 因为x x x f 43)(2+-='的开口向下，且对称轴为32=x ，所以对于]1,1[-∈n ，)(n f 的最小值为7)1(-=-f . （4分） 故)()(n f m f '+的最小值为-11. （5分） （2）)32(323)(2ax x ax x x f --=+-='. （6分） ①若0≤a ，当0>x 时，0)(<'x f ，所以)(x f 在[)+∞,0上单调递减，又4)0(-=f ，则当0>x 时，4)(-<x f . 所以当0≤a 时，不存在00>x ，使0)(0>x f . （8分） ②若0>a ，当320a x <<时，0)(>'x f ，所以)(x f 在⎥⎦⎤⎝⎛32,0a 上单调递增；当32a x >时，0)(<'x f ，所以)(x f 在⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,32a 上单调递减；故当),0(+∞∈x 时，4274)32()(3max -==a a f x f . （10分） 依题意042743>-a ，解得3>a . （11分） 综上，a 的取值范围是),3(+∞. （12分）。

江苏省扬州中学2014-2015学年高二下学期质量检测试卷（5月）（理）一.填空题（每题5分，合计70分）1. 已知复数z =(1i)(12i)+-(i 为虚数单位)，则z 的实部为 ．2. 设全集{}I 1,2,3,4=，集合{}S 1,3=，{}4T =，则()I S T =ð ．3. 已知,,,a b c R ∈命题“若3,a b c ++=则2223a b c ++≥”的否命题是 ．4. 函数12y x -=的定义域为 ．5. “1x >”是“2x x >”的 条件（在“充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要”中选择作答）。

6. 若ABC ∆内切圆半径为r ，三边长为,,a b c ，则ABC ∆的面积1()2S r a b c =++. 类比到空间，若四面体内切球半径为R ，四个面的面积为1234,,,S S S S ，则四面体的体积V ＝ ．7. 函数1()1(0,1)x f x a a a -=->≠的图象恒过定点 ．8. 函数2y x =的值域为 ．9. 设{}1,2,3,...,10,,A B A B =⊆含有3个元素，且其中至少有2个偶数，则满足条件的集合B 的个数为 ．10.设函数()f x 是定义在R 的偶函数，当0x ≥时，()2 1.x f x =+若()3,f a =则实数a 的值为 ．11.设函数()()(,f x x a x a b a b =--+都是实数），则下列叙述中，正确的是 ．（1）对任意实数,,a b 函数()y f x =在R 上是单调函数；（2）存在实数,,a b 函数()y f x =在R 上不是单调函数；（3）对任意实数,,a b 函数()y f x =的图象都是中心对称图形；（4）存在实数,,a b 函数()y f x =的图象不是中心对称图形；12.已知集合{}{}2(,)20,(,)10,02,A x y x mx y B x y x y x =+-+==-+=≤≤如果,A B ≠∅则实数m 的取值范围是 ．13. 设函数()sin cos .f x ax x x =++若函数()f x 的图象上存在不同的两点,,A B 使得曲线()y f x =在点,A B 处的切线互相垂直，则实数a 的取值范围为 ．14.已知函数,0,()ln ,0,kx k x f x x x +≤⎧=⎨>⎩(其中0)k ≥，若函数(())1y f f x =+有四个零点，则实数k 的最小值是 ．二．解答题(14+14+15+15+16+16=90)15.设全集是实数集R ，{}{}222730,0.A x x x B x x a =-+≤=+<(1) 当4a =-时，求;A B (2) 若()B B,R A =ð求实数a 的取值范围．16. 已知命题:p 指数函数()(26)x f x a =-在R 上单调递减，命题:q 关于x 的方程2x -3ax 2210a ++=的两个实根均大于3.若p 或q 为真,p 且q 为假,求实数a 的取值范围.17. 已知n 的展开式中前三项的系数成等差数列．（1） 求展开式中二项式系数最大的项；（2） 求展开式中所有的有理项．18. 某市环保研究所对市中心每天环境污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合污染指数()f x 与时间x(小时)的关系为()[]212,0,2413x f x a a x x =+-+∈+，其中a 是与气象有关的参数，且30,4a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，若用每天()f x 的最大值为当天的综合污染指数，并记作()M a .(1)令[]2,0,241x t x x =∈+，求t 的取值范围； (2)求函数()M a ；。

苏州市2014 ～2015 学年下学期高二期末调研测试2015.7.4数学（理科）注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1. 本试卷共4 页，包含填空题（第 1 题～第14 题）、解答题（第15 题～第20 题）两部分。

本卷满分160 分，考试时间为120 分钟。

考试结束后请将答题卡交回。

2. 答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5 毫米黑色墨水的签字笔，填写在试卷及答题卡的规定位置。

3. 请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效。

作答必须用0.5 毫米黑色墨水的签字笔。

请注意字体工整、笔迹清楚。

4. 如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。

5. 请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损。

一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔。

数学I 试题一. 填空题：本大题共14 小题，每小题 5 分，共计70分．请把答案填写在答题.卡相应位置上. ．1. 命题“?x ∈N，使x2≤x”的否定为.2. 已知复数（i 为虚数单位），则的值是．3. 从5 名男生和 4 名女生中选出 4 人参加辩论比赛，如果 4 人中男生和女生各 2 人，则不同的选法种数为．4. 已知m为实数，直线，则“m= 1”是“”的条件．（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选一个合适的填空）5. 在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线x2 = ay经过点，则点A到抛物线的焦点的距离为．6. 若离散型随机变量X的概率分布规律为，其中a为常数，则的值为．7. 观察下列等式：的值为．8. 若某人每次射击击中目标的概率均为，此人连续射击三次，至少有两次击中目标的概率为.9. 在平面直角坐标系xoy中，若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x- 3y = 0 和x轴都相切，则该圆的标准方程为．10. 设二项式的展开式中x2项的系数为A，常数项为B，若B = 4A，则非零实数a的值为。