八年级暑假作业数据的集中趋势与离散程度

集中趋势和离散的关系
集中趋势和离散是描述数据分布特征的两个重要概念。

集中趋势是指数据的中心位置，可以通过平均值、中位数、众数等方式进行描述。

离散是指数据的分散程度，可以通过方差、标准差、四分位差等方式进行度量。

集中趋势与离散之间存在一定的关系。

一般来说，集中趋势较高的数据分布，其离散程度一般较小，即数据点更加集中在中心位置附近。

相反，集中趋势较低的数据分布，其离散程度一般较大，即数据点更加分散。

然而，集中趋势与离散之间的关系也可能因数据分布的形态而有所不同。

例如，对于正态分布的数据，集中趋势用均值来描述，离散程度用标准差来度量。

在正态分布中，集中趋势和离散程度之间存在着一种特殊的关系，即均值决定了正态分布的中心位置，标准差决定了分布的宽度和尖峰程度。

总之，集中趋势和离散是描述数据特征的两个方面，它们在一定程度上反映了数据的集中程度和变异程度。

在实际应用中，可以综合考虑集中趋势和离散两个方面的指标，以全面描述和分析数据的分布特征。

数据的集中趋势和离散程度【知识点1】正确理解平均数、众数和中位数的概念一、平均数：平均数是反映一组数据的平均水平的特征数，反映一组数据的集中趋势．平均数的大小与一组数据里的每一个数据都有关系，任何一个数据的变化都会引起平均数的变化．例1：有四个数每次取三个数,算出它们的平均数再加上另一个数,用这种方法计算了四次,分别得到以下四个数:86, 92, 100, 106, 那么原4个数的平均数是________ .例2：有几位同学参加语文考试,赵峰的得分如果再提高13分,他们的平均分就到达90分,如果赵峰的得分降低5分,他们的平均分就只得87分,那么这些同学共有________人.例3：有5个数,其平均数为138,按从小到大排列,从小端开始前3个数的平均数为127,从大端开始顺次取出3个数,其平均数为148,那么第三个数是_______ .例4：某5个数的平均值为60,假设把其中一个数改为80,平均值为70,这个数是________ .例10：某人沿一条长为12千米的路上山，又从原路返回，上山的速度是2千米/小时，下山的速度是6千米/小时。

那么，他在上山和下山的全过程当中的平均速度是多少千米每小时？例11：假设不选择教材中的引入问题，也可以替换成更贴近学生学习生活中的实例，下举一例可供借鉴参考。

求该校初二年级在这次数学考试中的平均成绩？二、众数：在一组数据中出现次数最多的数据叫做这一组数据的众数．一组数据中的众数有时不唯一．众数着眼于对各数出现的次数的考察，这就告诉我们在求一组数据的众数时，既不需要排列，又不需要计算，只要能找出样本中出现次数最多的那一个〔或几个〕数据就可以了．当一组数据中有数据屡次重复出现时，它的众数也就是我们所要关心的一种集中趋势．注：众数是数据中出现次数最多的数据，是一组数据中的原数据，而不是相应的次数．众数有可能不唯一，注意不要遗漏．例12：在一次数学测验中，甲、乙、丙、丁四位同学的分数分别是90、x 、90、70，假设这四个同学得分的众数与平均数恰好相等，那么他们得分的中位数是【 】A 、100 B 、90 C 、80 D 、70 例13：当5个整数从小到大排列，其中位数是4，如果这组数据的唯一众数是6，那么5个整数可能的最大的和是【 】A 、21 B 、22 C 、23 D 、24例14：10名工人，某天生产同一零件，生产到达件数是：15，17，14，10，15，19，17，16，14，12，那么这一组数据的众数是【 】A 、15 B 、17 15 C 、14 D 、17 15 14 例15：〔1〕计算这9双鞋尺码的平均数、中位数和众数.〔2〕哪一个指标是鞋厂最感兴趣的指标？哪一个指标是鞋厂最不感兴趣的？三、中位数：是将一组数据按大小顺序排列后，处在最中间的一个数〔或处在最中间的两个数的平均数〕．一组数据中的中位数是唯一的． 注：求中位数要先把数据按大小顺序排列，可以从小到大，也可以从大到小．如果数据个数n 为奇数时，第21+n 个数据为中位数；如果数据个数n 为偶数时，第2n 、12+n 个数据的平均数为中位数．例16：李大伯承包了一个果园，种植了100棵樱桃树，今年已进入收获期．收获时，从中任选并采摘了10棵树的樱桃，分别称得每据调查，市场上今年樱桃的批发价格为每千克15元．用所学的统计知识估计今年此果园樱桃的总产量与按批发价格销售樱桃所得的总收入分别约为【 】A ．200千克，3000元B ．1900千克，28500元C ． 2000千克，30000元D ．1850千克，27750元〔1〕该班学生每周做家务劳动的平均时间是多少小时？〔2〕这组数据的中位数、众数分别是多少?〔3〕请你根据〔1〕、〔2〕的结果，用一句话谈谈自己的感受．【知识点2】极差、方差和标准差极差、方差和标准差都是用来研究一组数据的离散程度的，反映一组数据的波动范围或波动大小的量.一、极差一组数据中最大值与最小值的差叫做这组数据的极差，即极差=最大值-最小值.极差能够反映数据的变化范围，实际生活中我们经常用到极差.如一支足球队队员中的最大年龄与最小年龄的差，一个公司成员中最高收入与最低收入的差等都是极差的例子.极差是最简单的一种度量数据波动情况的量，它受极端值的影响较大.二、方差方差是反映一组数据的整体波动大小的特征的量.它是指一组数据中各个数据与这组数据的平均数的差的平方的平均数，它反映的是一组数据偏离平均值的情况.方差越大，数据的波动越大方差越小数据的波动越小. 求一组数据的方差可以简记先求平均，再求差，然后平方，最后求平均数.一组数据x 1、x 2、x 3、…、x n 的平均数为x ，那么该组数据方差的计算公式为：])()()[(1222212x x x x x x nS n -++-+-= . 例18：数据0、1、2、3、x 的平均数是2，那么这组数据的极差和标准差分别是【 】A 4，2B 4，2C 2，10D 4，10三、标准差在计算方差的过程中，可以看出方差的数量单位与原数据的单位不一致，在实际的应用时常常将求出的方差再开平方，此时得到量为这组数据的标准差.即标准差=方差. 例19：数据90，91，92，93的标准差是【 】〔A 〕 2 〔B 〕54 〔C 〕54 〔D 〕52✪注意：极差、方差、标准差的关系方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的量，常用来比拟两组数据的波动大小.两组数据中极差大的那一组并不一定方差也大.在实际问题中有时用到标准差，是因为标准差的单位和原数据的单位一致，且能缓解方差过大或过小的现象.例20：从甲、乙两种玉米苗中各抽10株，分别测得它们的株高如下：〔单位：cm 〕甲： 21 42 39 14 19 22 37 41 40 25乙： 27 16 40 41 16 44 40 40 27 44(1)根据以上数据分别求甲、乙两种玉米的极差、方差和标准差.(2)哪种玉米的苗长得高些;(3)哪种玉米的苗长得齐.例21：市体校准备挑选一名跳高运发动参加全市中学生运动会，对跳高运动队的甲、乙两名运发动进行了8次选拔比赛.他们的成绩〔单位：m 〕如下：甲：1.70 1.65 1.68 1.69 1.72 1.73 1.68 1.67乙：1.60 1.73 1.72 1.61 1.62 1.71 1.70 1.75(1)甲、乙两名运发动的跳高平均成绩分别是多少？(2)哪位运发动的成绩更为稳定？(3)假设预测，跳过1.65m 就很可能获得冠军，该校为了获得冠军，可能选哪位运发动参赛？假设预测跳过1.70m 才能得冠军呢？。

课外作业所用时间进行调查，统计情况如下表，求该班学生平均每天做 课外作业所用的时间（结果取整数，可使用计算器）．
提示
先计算出各小组的组中值， 再利用加权平均数公式进行 计算.
所用时间t/min 0＜t ≤10 10＜t ≤20 20＜t ≤30 30＜t ≤40 40＜t ≤50 50＜t ≤60
第八页，共十九页。
3.请列举生活中用样本平均数估计总体平均数的一个例子．
第十九页，共十九页。
x = 150 2+152+153+154+155 3+157+159 =154. 10
所以，平均每棵梨树上梨的个数为154．
第十三页，共十九页。
（2）果农从这10 棵梨树的每一棵树上分别随机摘4 个梨，这
些梨的质量分布如下表：
梨的质量 x/kg 0.2≤x＜0.3 0.3≤x＜0.4 0.4≤x＜0.5 0.5≤x＜0.6
人数 4 6 14 13 9 4
解：
各组的组中值见下表.
所用时间t/min 0＜t ≤10 10＜t ≤20 20＜t ≤30 30＜t ≤40 40＜t ≤50 50＜t ≤60
组中值 5 15
25
35 45 55
5×4+15×6+25×14+35×13+45×9+55×4
x=
4+6+14+13+9+4
81≤x＜101
91
18
101≤x＜121
111
15
第五页，共十九页。
2.根据频数分布表求加权平均数时，统计中常用各组的组 中值代表各组的实际数据，把各组的频数看作相应组中值的 权．

（ 沪科版）初中 数学 八 年级 下册
1、数据的集中趋势与离散程度 第 2 课时 （2）《加权平均数》教学设计 执教者（编写者）： 课题：（ 2）加权平均数 一、教学目标： 1、巩固和理解算术平均数的意义、计算方法。 2、认 识权、会求加权平均数，并体会权的差异对结果的影响。 3、理解算 术平均数和加权平均数的区别和联系， 并能利用他们解决一些实际问 题。 二、学情分析：学生在小学阶段已经学习过算术平均数的问题，对算 术平均数的理解和算法和是掌握的。 但对于八年级学生来讲已经会遇 到学校招聘学生会笔试、 面试成绩分配的问题； 学生成绩报告册中综 合成绩是如何分配打分的问题。 以及今后面临事业单位、 公务员招聘 笔试、面试成绩分配的问题是如何做。 小学学习过的算术平均数已经 不能解决这些问题， 因此加权平均数的学习对学生现在和将来都有很 大的影响。 三、教学重点难点： 重点 :1 、理解权和加权平均数的概念，会求一组数据的加权平均数。 2、体会权的差异对结果的影响，认识权的重要性。 3、探索算术平均 数和加权平均数的区别和联系。 难点： 1、体会权的差异对结果的影 响，认识权的重要性。 2、探索算术平均数和加权平均数的区别和联 系。 四、教法与学法：设置疑问、活动、交流、引导、归纳、拓展。 五、课时安排： 1 课时
一家公司对 A、B、两名应聘者进行了创新、综合知识和语言三项素
质测试，他们的成绩如下表所示：
测试项目
测试成绩
A
B
创新
72
85
综合知识
50
74
语言
88
45
（ 1）如果根据三项测试的平均成绩确定录用入选，你选谁？
（ 2）如果根据实际需要，广告公司给出了选人标准：将创新、
综
合知识和语言三项测试得分按 4：3：1 的比例确定各人的测试成绩。