中山大学固体物理第五章参考答案 ppt课件

固体物理习题一、 固体电子论基础1． 已知金属铯的E F =1.55eV ，求每立方厘米的铯晶体中所含的平均电子数。

(提示:常温下F E 与0F E 相差不大，可以令0F FE E ≈)解：因为常温下费米能级E F 与绝对零度时的费米能级E F 0相差不大，可令E F ≈E F 0。

金属中的电子可近似地按自由电子气处理，在E ～E+dE 能量区间内的电子态数(计及自旋)为:()dE CE dE E hm VdZ 212132324==π其中：()2132324E hm VC π=， V 为金属的体积，m 为电子的质量。

由于电子遵循费米分布，于是在能量区间E ～E+dE 中的电子数为：dE E E Cf dZ E f dN )()(==式中)(E f 是费米分布函数。

由于在绝对零度时有：⎪⎩⎪⎨⎧><=)E (E 0)E (E 1)(0F 0F E f因此电子总数为：23032300)2(38)(32 )(0F F E mE hV E C dEE C dE E E Cf N Fπ====⎰⎰∞单位体积内的电子数为：2303)2(38F mE hV N n π==代入有关数据得到：)(108.7 )106.155.1101.92()1063.6(314.38321231228327----⨯≈⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=cm n2． 证明：在T=0K 时，费米能级0F E 处的能态密度为：023)(FF E NE N =，式中N 为金属中的自由电子数。

证明：在K 空间中，在周期性边界条件下，以K K =为半径的球内，电子的数目为（记及自旋）：3342K V n π⋅= 因此：dK K V dn 28π⋅= （1）已知自由电子的能量为：mK h E 222=，代入（1）式得：dE E hm V dn 21323)2(4π= （2） 因此电子按照能量分布的状态密度：21323)2(4)(E hm V dE dn E N π== （3） 当T=0K 时，全部电子处于费米球内。

本组成员：李丹、孟加龙、党康康、王越、吴叶榕、隋佳伟 分工如下：李丹 习题孟加龙、党康康 固体结合的主要内容 王越、吴叶榕 晶体缺陷的主要内容隋佳伟 固体结合、晶体缺陷的知识框架第五章 晶体的缺陷一、知识框架定义 肖特基缺陷 点缺陷 起因 弗仑克尔缺陷 分类 杂志原子 色心 基本类型线缺陷 定义分类 刃位错 特点 性质螺位错 与晶体生长 受力情况 生长情况 触媒 晶面位错 定义 体分类 层错 小角晶界热缺陷统计理论 热缺陷产生几率 热缺陷运动、产生、复合 缺 空隙、填隙复合率 填隙产生率热缺陷数目：空位数、填隙数、Frenkel 缺陷数 陷缺陷扩散 扩散方程微观机制离子晶体中点缺陷和离子独立性二、基本内容5.1 晶体缺陷的类型区分并理解晶体中的各种缺陷; 具体为：按缺陷在空间的几何构型可将缺陷分为点缺陷、线缺陷、面缺陷和体缺陷： 一.点缺陷1.定义：由于晶体中出现填隙原子和杂质原子等等，它们引起晶格周期性的破坏发生在一个或几个晶格常数的限度范围内，这类缺陷统称为点缺陷。

这些()C jD C t ∂=-∇⋅=∇⋅∇∂空位和填隙原子是由热起伏原因所产生的，因此又称为热缺陷。

2.空位、填隙原子和杂质空位：由于晶体中原子热运动，某些原子振动剧烈而脱离格点跑到表面上，在内部留下了空格点，即空位。

晶体内部的空格点就是空位。

填隙原子：由于晶体中原子的热运动，某些原子振动剧烈而脱离格点进入晶格中的间隙位置，形成了填隙原子。

即位于理想晶体中间隙中的原子。

杂质：杂质原子是理想晶体中出现的异类原子。

3.点缺陷类型①弗仑克尔缺陷：若晶体中的空位与填隙原子的数目相等，这样的热缺陷称为弗仑克尔缺陷。

弗仑克尔缺陷的产生机理：原子（或离子）在格点平衡位置附近振动，由于非线性的影响，使得当粒子能量大到某一程度时，原子就会脱离格点，而到达邻近的原子空隙中，当它失去多余动能后，就会被束缚在那里，这样产生一个暂时的空位和一个暂时的填隙原子，当又经过一段时间后，填隙原子会与空位相遇，并同空位复合；也有可能跳到较远的间隙中去。

1、什么是Peierl不稳定性和Peierls相变？【解答】：假设的晶格内原子状态：假定一维系统是由晶格常数为 a 的N个原子组成，每个晶格原胞只带一个传导电子，电子波函数满足周期条件；第一布里渊区边缘在±π/a，第一布里渊区可以填充2N个电子，因为N个价电子正好填充了最低能带的一半，费米能量恰好位于能带1/2处(Kf=±π/2a)，空能级和占据能级各一半。

然而，Peierls指出这种等距离排列的一维晶格是不稳定的，在低温下，原子发生移动，晶格常数由a变为2a，即第一布里渊区边缘移至费米面且打开了一个能隙，系统总能量降低（。

这就说明，原来等距离排列的具有较高能量的一维晶格经原子移动后变成具有较低能量的畸变晶格，所以原来的晶格是不稳定的。

经过晶格畸变，从半满能带的导体变成为稳定的只有满带和空带的半导体，这就是Peierls不稳定性。

只有在0K时，体系才完全处于上述半导体基态中，当T升高，晶格原子的振动逐步加强以至畸变模糊。

存在相变温度Tp，T＜Tp，体系呈现半导体；T≥Tp，体系相变为导体，这种半导体变为导体的相变称为Peierls相变。

2、简述金刚石、石墨的结构和物性，比较它们性质的异同？【解答】：金刚石和石墨的化学成分都是碳，科学家们称之为“同质多像变体”，也有人称“同素异形体”。

从这种称呼可以知道它们具有相同的“质”，但“形”或“性”却不同，且有天壤之别，金刚石是目前最硬的物质，而石墨却是最软的物质之一。

大家都知道铅笔芯就是用石墨粉和粘土配比而制成的，石墨粉多则软，用“B“表示，粘土掺多了则硬，用“H”表示。

矿物学家用摩氏硬度来表示相对硬度，金刚石为10，而石墨的摩氏硬度只有1。

它们的硬度差别那么大，关键在于它们的内部结构有很大的差异。

石墨内部的碳原子呈层状排列，一个碳原子周围只有3个碳原子与其相连，碳与碳组成了六边形的环状，无限多的六边形组成了一层。

层与层之间联系力非常弱，而层内三个碳原子联系很牢，因此受力后层间就很容易滑动，这就是石墨很软能写字的原因。

8.45
×1022
⎤1/ ⎦
3
=
5.2 限制在边长为 L 的正方形的 N 个电子，单电子能量为
( ) ( ) E kx, ky
=
2
k
2 x
+
k
2 y
2m
（1）求能量 E 到 E+dE 之间的状态数； (2) 求绝对零度时的费米能量。 解：（参考中南大学 4.6，王矜奉 6.2.2，林鸿生 1.1.83，徐至中 5-2） （1）如《固体物理学》图 5-1 所示，每个状态点占据的面积为
G′(E) = 2 dZ ⋅ dk = 2 L2 k • dk dE 2π
m = L2m 2k π 2
得二维金属晶体中自由电子的状态密度为：
…………………………（4）
g(E)
=
G′(E) S
=
1 L2
L2m π2
=
m π2
………………………（5）
（2）根据《固体物理学》式 金属的电子浓度
3
∫ ∫ n =
2π i 2π = (2π )2
Lx Ly
L2
所以每个单位
k
空间面积中应含的状态数为
L2
(2π )2
，
d k 面积元中应含有的状态数为
dZ
=
L2
(2π )2
d
k
而单电子能量为
( ) ( ) E kx, ky
=
2
k
2 x
+
k
2 y
2m
= 2k2 2m
E+dE E
可见在 k 空间中等能曲线为一圆，如图所示，在 E——E+dE 两个等能圆之间的
2

剪切应力：
F' / S'
F F cos( ) F sin 2
'

S ' S / cos
因此
F / S sin cos
当角度为45 度时，剪切力最大，滑移容易在这一平面上发生。
5.4 滑移与位错
范性形变对应于晶体不同部分之间沿滑移面发生相对移动，


对于螺位错， 其滑移面 不唯一确定，而与外加切应 力有关。使螺位错滑移，外 b

加切应力则平行于位错线。

对于棱位错，位错线与滑移方向垂直 对于螺位错，位错线与滑移方向平行
几乎所有晶体中都存在位错，正是由于这些位错的 运动导致金属在很低的外加切应力的作用下就出现滑移。 因此，晶体中位错的存在是造成金属强度大大低于理论 值的最主要原因。 不含位错的金属晶须的确具有相当接近于理论值的强度。
第五章 固体的机械性质
5.1 晶体结合的基本类型
一、离子晶体
正负离子的电子壳层饱和，电子云分布基本上球对称， 满足球密堆积原则。 结合能 ~ 150 kcal/mol
典型晶体：NaCl、LiF等
二、共价晶体 共价结合的特征是具有方向性和饱和性。电子云分 布不是球对称的，不满足球密堆积原则。 共价结合的键合能力相当强，共价晶体一般硬度高， 熔点高。 结合能：~150 kcal/mol 典型晶体：金刚石、SiC等
点缺陷
空位、填隙原子、色心、替位式杂质。。。
面缺陷
小角晶界、堆垛层错
作业：
1、固体的结合类型有几种，其特点各是什么？
2、在晶体缺陷的分类中，有哪几种位错？有什么区别？
3、晶体缺陷可以分成几类，并各自举例说明。

T →0
5.8 什么是逸出功？在热电子发射问题中，逸出功与那些因素有关？ 解答：将电子离开金属表面至少需要从外界得到的能量称为逸出功。 逸出功跟温度和晶体表面特性（如点整结构、杂质吸附等）有关。 5.9 什么是热电子效应？它是怎样形成的？当金属表面附近施加一高强度电场时，对热电子发射有何 影响？ 解答：在 T = 0 时，所有电子能量不超过费米能量 EF ，因此没有电子脱离金属；但是，当金属被加 热到很高温度时，将有一部分电子获得的能量大于逸出功，从而脱离金属表面形成热电子发射电流，这种 现象称为热电子效应。 5.10 产生接触电势差的原因是什么？ 解答：当两块不同的金属 1 和 2 相接触， 或用导线连接时， 两块金属将彼此带电并产生不同的电势 U1 和 U 2 ，称为接触电势差。 接触电势差来源于两块金属的费米 能级不一样高。由于两块金属具有不同 的费米能级 EF 1 和 EF 2 ，所以当两块金 属接触时，电子从费米能级较高的金属 1 流到费米能级较低的金属 2， 而接触电 势差正好补偿了两块金属的费米能级差
（4）根据《固体物理学》式 5-17 和式 5-19，与费米能级对应的能态密度
1 ⎛ 2m ⎞ g (E) = ⎜ ⎟ 2π 2 ⎝ = 2 ⎠
3/ 2
E
1/ 2
1 ⎛ 2m ⎞ = ⎜ ⎟ 2π 2 ⎝ = 2 ⎠
3/ 2
2 ⎛ = 2kF ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 2m ⎠
1/ 2
=
m k π 2= 2 F
G
G′
ρl ∝ n ( q ) Δp
因为 Δp ∝ T ， n ( q ) ∝ T
2
3
所以 ρ l ∝ T 5 5.7 简述化学势的意义，它与费米能级满足什么样的关系。 解答：化学势的意义是：在体积不变的条件下，系统没增加一个电子所需要的自由能。在温度接近于

22
简立方（Simple Cubic，简称 SC ）
三个基矢等长并且互相垂直。
a3 a
a2
原胞与晶胞相同。 a1
a1 ai a 2 aj a3 ak
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23
体心立方(Body
问题一
Centered
Cub8ic以1, 体B1心C原C2子个)为原顶子
点，分8别向三个顶角
体心立方晶胞中含有几个原子？ 原子引基矢。
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11
固体物理学原胞（原胞）特点：
只反映晶格周期性特征 体积最小的周期性重复单元 结点必为顶点，边长等于该方向周期的平行六
面体 六面体内部和面上皆不含其他的结点
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结晶学原胞（晶胞）的特点：
除反映晶体周期性特征外，还反映其特有 的对称性；
不一定是最小的重复单元； 结点不仅在顶角上，还可在体心或面心； 原胞边长总是一个周期，并各沿三个晶轴
任何基元中相应原子周围的情况相同，但每个基 元中各原子周围情况不同。
c 基元
b a
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10
3、晶格、原胞
晶格：通过点阵中 的结点，做许多平 行的直线族和平行 的晶面族，点阵就 成为一些网格，即 晶格。
原胞：用来反映晶 体周期性（及对称 性）特征的六面体 单元，有：
固体物理学原胞 结晶学原胞
问题二
体心立方原胞如何选取？
问题三
原胞的基a1矢 a形2 式 a？3
1 2
a3
问题原四胞体a1积 a？2 (i
j
k)
a2
a 2
(i
j
k)
a3
a 2
(i
j
k)
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劳厄斑
德国物理学家劳厄
ue (1879-1960)
1913年英国布喇格父子提出了一种解释Ｘ射线
衍射的方法，给出了定量结果，并于1915年荣获物
理学诺贝尔奖．
晶格常数 d 掠射角
布拉格反射
Δ AC CB
入射波
散射波
2d sin
o
dA B
C
相邻两个晶面反射的 两X射线干涉加强的条件
DNA 晶体的X衍射照片
DNA 分子的双螺旋结构
1.10.1 X射线衍射的基本原理
晶体对辐射的散射可看作 是一系列晶面对辐射的散 射。 单色辐射源，且和观测点 距晶体的距离都大于晶体 的线度，入射光和散射光 都看作是平行光。散射前 后波长不变。 散射辐射间相互加强的条 件为：
2d sin n
n=1,2,3…..称为衍射级数 布拉格定律
k k0
2
Gh k-k0
1.10.2 厄瓦尔反射球
由于Gh是倒易矢量， 其两端必是两个倒易 格点。
k0
k
k0
k Gh
k 2
k0 2
Gh k k0
Gh 2 / d
二维晶格点阵：a1× a2 倒易点阵：b 1×b2
b 2 a
aa
倒易点阵：b 1×b2
b 2 a
aa
举例：晶格常数为d的简立方晶体，
1.10 晶体结构的实验确定与X和射线衍射
X射线衍射 劳厄提出晶体作为X光衍射光栅 衍射理论:当辐射波长与晶格中原子间距相 比数量级相等或更小时，可发生显著衍射。 晶体中原子数量级为10-10m，辐射波长应小 于10-10m。 X射线：由高压电加速后的电子高速撞击金 属靶材后产生X射线。铝、镁、钨、钼

一、简单立方晶格（SC格子） 1·配位数：每个原子的上下左右前后各有一个最近邻
原子 — 配位数为6
2·堆积方式：最简单的原子球规则排列形式 — 没有 实际的晶体具有此种结构
简单立方晶 格堆积方式
简单立方晶 格典型单元
3·原胞： SC格子的立方单元是最小的周期性单元 — 选取其本身为原胞
4·晶格的三个基矢：
③
∵面上原子密度大，对X 射线的散射强
∴简单的晶面族，在 X 射 线的散射中，常被选做 衍射面
金刚石晶格中双层密排面
第四节 倒格子
晶格的周期性描写方式: 正格子
※ 坐标空间（ 空间）的布拉伐格子表示 ※ 波矢空间（ 空间）的倒格子表示
Reason?
∵晶体中原子和电子的运动状态，以及各种微观粒子 的相互作用 → 都是在波矢空间进行描写的 晶格振动形成的格波，X 射线衍射均用波矢来表征
晶
列
1· 晶列：在布拉伐格子中，所有格点可以分列在一
系列相互平行的直线系上，这些直线系称
为晶列
2· 晶向：同一个格子可以形成方向不同的晶列，每 一个晶列定义了一个方向，称为晶向
3·晶向指数: 若从一个原子沿晶向到最近的原子的
位移矢量为
， 则用
标志晶向，称为晶向指数
同一晶向族的各晶向
4· 晶面：布拉伐格子的格点还可以看成分列在平行 等距的平面系上，这样的平面称为晶面。
倒易点阵本质
如果把晶体点阵本身理解为周期函数，则倒 易点阵就是晶体点阵的傅立叶变换，所以倒
易点阵也是晶体结构周期性的数学抽象，只
是在不同空间(波矢空间)来反映,其所以要变 换到波矢空间是由于研究周期性结构中波动 过程的需要。
一个三维周期性函数u(r)（周期为T=n1a1+ n2a2+ n3a3）

(kBT
)2

'
(
EF0
)
1
一维： ( E )

dZ ( E)

L(2m) 2
1
E2
1
CE 2
dE


'
(
E
)


1
CE

3 2
2
3
三维： ( E )

dZ ( E ) dE

V (2m)2 2 23
1
E2

1
CE 2
'(E)

1
1
CE 2
2
EF

EF0

6(
2
EF0
)
(kBT
体中狭窄的内壳层能带的粗略近似，例如，过渡金属的3d能带。
电子论复习 第四章 电子能带论
3、紧束缚近似
（2）紧束缚的计算
例：用紧束缚方法处理体心立方晶系，求出： 1）s态电子能带；2）画出第一布里渊区[111]方向的能带曲线； 解：对于体心立方，参考点为（0，0，0），则有8个最近邻
( a , a , a) 222
（3）T=0K时的计算
系统的自由电子总数为
N


0
f
E


E
dE
系统的总能量：
U0
Ef E E dE
0
EF0

h2 2m

3
2
N V
2
3

h2 2m
3 2n
2 3
电子论复习 第二章 自由电子论
2、Sommerfeld展开的应用