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北大版高等数学第2章习题解答

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习题2.1201.,.,.()2(0)(1),;(2),?(3)lim ,?x l O x x m x x x l x x m mx mx ∆→=≤≤∆∆∆∆∆∆设一物质细杆的长为其质量在横截面的分布上可以看作均匀的现取杆的左端点为坐标原点杆所在直线为轴设从左端点到细杆上任一点之间那一段的质量为给自变量一个增量求的相应增量求比值问它的物理意义是什么求极限问它的物理意义是什么2222222000(1)2()22(2)22(2).2(2)(2)2(2).(3)lim lim 2(2)4.lim x x x m x x x x x x x x x x x m x x x m x x x x x x x x m mx x x x x x∆→∆→∆→∆=+∆-=+∆+∆-=∆+∆∆∆+∆∆==+∆+∆∆∆∆∆∆=+∆=∆∆是到那段细杆的平均线密度.是细杆在点的线密度.解3330322332220002.,:(1);(2)0;(3)sin 5.()(1)lim(33)limlim (33)3.(2)lim limlim x x x x xx y ax y p y x a x x ax y xx x x x x x x a a x x x x ax x y x∆→∆→∆→∆→→→==>=+∆-'=∆+∆+∆+∆-==+∆+∆=∆'==∆=根据定义求下列函数的导函数解00000limlim5(2)52cossin sin 5()sin 522(3)limlim55(2)552cos sin sin5(2)2222lim 5lim cos lim 5522x x x x x x x x x xx x xy xxx x x x x x x →→∆→∆→∆→∆→∆→===+∆∆+∆-'==∆∆+∆∆∆+∆==∆∆ 5cos5.2x x =00223.()(,()):(1)2,(0,1); (2)2,(3,11).(1)2ln 2,(0)ln 2,1ln 2(-0),(ln 2) 1.(2)2,(3)6,:116(3).4.2(0)(,)(0,0)x x y f x M x f x y M y x B y y y x y x y x y y x y px p M x y x y ===+''==-==+''==-=-=>>>求下列曲线在指定点处的切线方程切线方程切线方程试求抛物线上任一点处的切线斜率解,0,.2p F x ⎛⎫⎪⎝⎭,并证明:从抛物线的焦点发射光线时其反射线一定平行于轴2000,().(),.,2,.2,.p py y M PMN Y y X x yy p y x N X y X x X x x y p p FN x FM p x FN FNM FMN M PQ x PMQ FNM FMN '===-=--=-=-=-=+=====+=∠=∠∠=∠=∠过点的切线方程：切线与轴交点(,0),故过作平行于轴则证2005.2341,.224,1,6,4112564(1),4 2.:6(1),.444y x x y x y x x y k y x y x y x y x =++=-'=+====⎛⎫-=-=+-=--=-+ ⎪⎝⎭曲线上哪一点的切线与直线平行并求曲线在该点的切线和法线方程切线方程:法线方程解323226.,,;(),,, (1)():(2)();(3)().()lim ()lim,lim ()limr R r R r R r R r g r GMrr R R g r R M G GM r R rg r r g r g r r GMr GMr R g r g r R RGM g r r →-→-→+→+⎧<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩≠====离地球中心处的重力加速度是的函数其表达式为其中是地球的半径是地球的质量是引力常数.问是否为的连续函数作的草图是否是的可导函数明显地时连续.解,2lim (),()r R GMg r g r r R R→-==在连续.(2)33(3)()2(),()(),().r R g r GM GMg R g R g R g r r R R R-+-≠'''==-≠=时可导.在不可导 227.(),:(1,3)(),(0)3,(2) 1.3(),()2.34111113,,3(),()3.2222P x y P x P P a b c P x ax bx c P x ax b b a b b a c a b P x x x ''===++=⎧⎪'=++=+=⎨⎪+=⎩==-=-+==-++求二次函数已知点在曲线上且解3222222222228.:(1)87,24 1.(2)(53)(62),5(62)12(53)903610.(3)(1)(1)tan (1)tan ,(2)tan (1)sec .9(92)(56)5(9)51254(4),56(56)y x x y x y x x y x x x x x y x x x x x y x x x x x x x x x x x x y y x x '=++=+'=+-=-++=+-'=+-=-=+-+++-+++'===++求下列函数的导函数22.(56)122(5)1(1),.11(1)x x y x y x x x ++'==-+≠=---23322222226(6)(1),.1(1)1(21)(1)1(7),.(8)10,1010ln1010(1ln10).sin cos sin (9)cos ,cos sin .(10)sin ,sin cos (s x x x x xx x x x x x x x x y x y x x x x x e e x x x x y y e e e y x y x x x x x xy x x y x x x x xy e x y e x e x e -'=≠=--+++-++-+-'==='==+=+-'=+=-+'==+= in cos ).x x + 00000001001100009.:()()()(),()0().()()(1)(2).()()(),()0()()()()()()(()()())()(),(m k k k k k P x P x x x g x g x x P x m x P x k x P x k k P x x x g x g x P x k x x g x x x g x x x kg x x x g x x x h x h x ---=-≠'->=-≠''=-+-'=-+-=-定义若多项式可表为则称是的重根今若已知是的重根,证明是的重根证00)()0,()(1)kg x x P x k '=≠-由定义是的重根.000000010.()(,),()(),().()(0),(0)0.()(0)()(0)()(0)(0)lim lim lim (0),(0)0.()()11.(),lim 22x x x x f x a a f x f x f x f x f f f x f f x f f x f f f f x x xf x x f x x f x x f x→→→∆→--=''=-----'''==-=-=-+∆--∆'=∆若在中有定义且满足则称为偶函数设是偶函数,且存在试证明设在处可导证明证=000000000000000000000().()()()()()()1lim lim 22()()()()1lim 2()()()()11lim lim [()22x x x x x x f x x f x x f x x f x f x x f x x x x f x x f x f x x f x x x f x x f x f x x f x f x x x ∆→∆→∆→∆→∆→+∆--∆+∆--∆-⎡⎤=-⎢⎥∆∆∆⎣⎦+∆--∆-⎡⎤=+⎢⎥∆-∆⎣⎦+∆--∆-⎡⎤'=+=+⎢⎥∆-∆⎣⎦证002()]().12.,(0/2)()((),()):.f x f x y x t t P t x t y t OP x t t π''==<<=一质点沿曲线运动且已知时刻时质点所在位置满足直线与轴的夹角恰为求时刻时质点的位置速度及加速度.222222422222()()()tan ,()tan ,()()(tan ,tan ),()(sec ,2tan sec ),()(2sec tan ,2sec 4tan sec )2sec (sec ,2tan ).y t x t x t t y t t x t x t t t v t t t t v t t t t t t t t t ===='=''=+=位置解1/1/1/1/1/000013.,0()10, 00.1111(0)lim lim 1,(0)lim lim 0.1114.()||(),()()0.().()lim xx x x x x x x x x xx f x e x x x x e e f f x e x ef x x a x x x a a f x x a f a ϕϕϕ→-→-→+→+-→⎧≠⎪=+⎨⎪=⎩=++''======++=-=≠='=求函数在的左右导数设其中在处连续且证明在不可导-+解证()()()()(),()lim ()().a x a a x x x a x a a a f a x a x aϕϕϕϕ-→---''=-==≠--+-f习题2.2()()()22221.,:111(2)[ln(1)],.[ln(1)](1).111(3)2.22x x xx x xx xx x x x''=-=-='''-=-=-=---'''⎡==⎣'''⎡=+=⎣=下列各题的计算是否正确指出错误并加以改正错错错3322222()221(4)ln|2sin|(14sin)cos,.2sin1ln|2sin|(14sin cos).2sin2.(())()|.() 1.(1)(),(0),(),(sin);(2)(),(sin);(3)u g xx x x xx xx x x xx xf g x f u f x xf x f f x f xd df x f xdx dx=='⎡⎤+=+⎣⎦+'⎡⎤+=+⎣⎦+''==+''''错记现设求求[]()[][]2222223(())(())?.(1)()2,(0)0,()2,(sin)2sin.(2)()()224.(sin)(sin)(sin)2sin cos sin2.(3)(())(()),(())(())().f g x f g xf x x f f x x f x xdf x f x x x x xdxdf x f x x x x xdxf g x f g x f g x f g x g x''''''====''===''==='''''=与是否相同指出两者的关系与不同解()()()222233312232323.2236(1),.111(2)sec,(cos)(cos)(cos)(cos)(sin)tan sec.(3)sin3cos5,3cos35sin5.(4)sin cos3,3sin cos cos33sin sin33sinx xy yx x xy x y x x x x x x x y x x y x xy x x y x x x x x---'==-=----'''===-=--='=+=-'==-=求下列函数的导函数:2(cos cos3sin sin3)3sin cos4.x x x x x x x-=22222222222232222222241sin 2sin cos cos (1sin )(sin )2(5),cos cos sin 2cos 2(1sin )(sin ).cos 1(6)tan tan ,tan sec sec 13tan sec tan tan (sec 1)tan .(7)sin ,s ax ax x x x x x x x y y x x x x x x x xy x x x y x x x x x x x x x y e bx y ae +-+-'==++='=-+=-+=-=-='==5422in cos (sin cos ).(8)cos 5cos 11(9)ln tan ,sec 24224tan 2411112tan cos 2sin 24242ax ax bx be bx e a bx b bx y y x x y y x x x x ππππππ+=+'==-=⎛⎫⎛⎫'=+=+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭==⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222cos 42411sec .cos sin()211()()1(10)ln (0,),.22()x x x x x a x a x a x a y a x a y a x a a x a x a x a ππ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭===+-++--'=>≠±==+-+-2222222224.:1(1)arcsin (0),11111(2)arctan (0),.1(3)arccos (||1),2arccos 1111(4)arctan ,.111(5)ar 2xy a y aa x y a y a a a a a x x a y x x x y x x y y x x x xa y '=>=='=>==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭'=<=--'===-++= 求下列函数的导函数csin (0),x a a>22222222(6)ln(0)212(7)arcsin,1ya xy aayxy xx'===+=>⎛⎫'==+==≠±+22222222221.112sgn(1)2.111(8)(0).212211sec2()tan()cos()s22x xyx xxxy a bxyxx xa b a b a b a b--'===++-⎫=>≥⎪⎪⎭⎛⎫'= ⎪⎝⎭==++-++-2in21.cos(9)(1ln(1ln(1ln(1 /.(10)(11)(12)xa b xy yy yy yy yy y=+=+++=+++++ '=+⎡⎤'=++'=='==y y'==(13)ln(121(14)(ln(1)ln(31)ln(2),331211131321211.13132(15),(1).(16)xxxx e x e x x e y x y y x y x x x y y x x x y y x x x y e e y e e e e e ⎛⎫'==+==-=-+++-'-=++-+--⎡⎤'=++⎢⎥-+-⎣⎦'=+=+=+ 11112(0).ln ()ln ln ln ln .aaxa a xaaxa x a a a x a a x a ax a a x y x a a a y a x a a ax a aa aa x a aa x a a a ----=++>'=++=++222225.()1()()84,tan (),24001001()arctan ,()100110t x t t x t t t t t t t t θθθθ===='==+ 2一雷达的探测器瞄准着一枚安装在发射台上的火箭,它与发射台之间的距离是400m.设t=0时向上垂直地发射火箭,初速度为0,火箭以的匀加速度8m/s 垂直地向上运动;若雷达探测器始终瞄准着火箭.问:自火箭发射后10秒钟时,探测器的仰角的变化速率是多少?解222110,(10)0.1(/).505010101006.,2m t s θπθ'==⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭弧度在图示的装置中飞轮的半径为且以每秒旋转4圈的匀角速度按顺时针方向旋转.问:当飞轮的旋转角为=时,活塞向右移动的速率是多少?20()2cos8()16sin 811()8,,,()16.2161616m/s.x t t x t t t t t x ππππαπππ='=-+'====-活塞向右移动的速率是解习题2.323222(1)(1).1.0,?(1)10100.1(2)2(3)(1cos )2sin ,222.:0,()().()().()()3.()()(0),()()(0).o o o x o o o x x y x x x y x xy x x x x x x x x x x x x xx x x x x x αααααβ=→=++===-=→=====→=→ 当时下列各函数是的几阶无穷小量阶.阶.阶.已知当时试证明设试证明证00(1)(1)(1)()()()(0).()()()().()()().4.(1)sin ,/4.sin cos ,1,1.444(2)(1)(0).o o o o o o o x x x x x x x x x x xx x x x y x x x y x x x y dy dx y x y ααβαβαβππππα+=→+=+=+=+=⎛⎫⎫⎫''===+=+=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎭⎭=+>':上述结果有时可以写成计算下列函数在指定点处的微分:是常数证122(1),(0),.5.1222(1)1,,.11(1)(1)(2),(1).(1).26.(1),3 3.001,11,(3).222.001x x x x x x y dy dx x dxy y dy x x x x y xe y e xe e x dy e x dx y x x x y y αααα-'=+==-'==-+=-=-++++'==+=+=+=≠-''=-∆=求下列各函数的微分:设计算当由变到时函数的增量和向相应的微分.22解 y =-(x-1)1222113333332220.0010.0011,.2.00127..1.162(1) 2.002.5328.:11(1)(0).0,.33(2)()()(,,).2()2()dy y x y a a xy y y x x a y b c a b c x a y b y ---=-=-==+=⎛⎫''+=>+==- ⎪⎝⎭-+-='-+-= 求下列方程所确定的隐函数的导函数为常数0,.x ay y b-'=--222222222(3)arctan ,,,.1(4)sin cos()0sin cos sin()(1)0,cos sin().sin()sin 9.(1)2yxy y x yy xy y x yy x y x x xy y x yy y x y x y x y x y y x y x x y y x y x x y y y x x y y x y xM y ='-+'''+-++'''==-=+=+++-⎛⎫+ ⎪⎝⎭--=''++--=+-'=---求下列隐函数在指定的点的导数:222222222422240,(3,7)17319222220,,(3).73420(2)50,,.10202010()1050,,0.51051010010.()xyxyxy xy xy x x M y x yy y xy x y y y x e e x y M e e xy ye e e e y xy xy x y y y e e xe x e y f x -+-=+-+-''''---+====--⎛⎫-= ⎪⎝⎭-⎛⎫-''''+--==== ⎪-⎝⎭-= 设由下列参数方232:2(1)3333(1).(1).222ln (2),1/.ln 1(3)t tdyy dxx t t y t t dy t t t dx t x t t dy e t e dx t y ex y dy dx '=⎧=-⎪⎨=-⎪⎩-==+≠-=⎧=≠⎨+=⎩⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩=程给出,求sgn(),0.t t =≠220002211.1(,),.x y M x y a bM +=试求椭圆周上一点处的切线方程与法线方程.并证明:从椭圆的一个焦点向椭圆周上任一点发射的光线其反射线必通过椭圆的另一个焦点 222220000022202222200000002022,.(), 1.(),()x yy b x y a b a yb x x x y y y y x x a y a b a y y y x x a y x b x y a b x y b x ''+=-⎛⎫-=--+= ⎪⎝⎭⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭切线方程：法线方程：22221102000112200200222200000222220020000200222022200(,0),(,0),().0..,.()tan 1()1()b x F c F c c a b a b y k a y y yMF k MF k x c x cb x ya y x cb x xc a y k k F MQ b x y kk a y x c b x y a y x c a b b cx a b x y a -=->≠=-==+-----+-∠===-+-----=---焦点设切线斜率的斜率的斜率2222200222000000020022220000011222001000020022222220022222000000()();()()tan 1()1()(()b a cx b a cx b cy c x y a cy cy a cx cy b x y a y x c b x x c a y k kPMF b x y kk a y x c b x y a y x ca b b cx b a cx b a a b x y a cy c x y a cy --=-==--++++-∠===-++--++++===-++2022*******)tan .(),,.22cx b F MQ cy a cx cy PMF F MQ PMF F MQ ππ==∠+⎛⎫∠∠-∠=∠ ⎪⎝⎭和都在区间故习题2.4()()1()11()11(1),!.(2),.1(1)!(3)(1)(1).(1)(11)(11)(1).1(1)11111(4),(1)!.(1)1(1)n n x n n n n nn n n n n ny x y n y e y e n y x x y n x x x y y n x x x x xx ---+++====-==+≠-=-----++=++⎛⎫==-=-- ⎪+++⎝⎭2.()cos ,220.cos sin (cos sin ),(cos sin )(sin cos )(2sin ),22(2sin )2(cos sin )2cos 0,x x x x x x x x x x y x e x y y y e x e x e x x y e x x e x x e x y y y e x e x x e x '''=-+='-=-''=-+--=-'''-+=---+=设证明证y =2232243433.(4),2(1).4377141,,.44(4)(4)98714982,(1)2.(4)4(4)(4)x y x y y y x x y y y x x x x y y y y x x x x -'''=≠-=-+-'''==-==-++++⎛⎫⎛⎫''''=-=--== ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭设证明证23(6)(7)(6)(7)22234.(1)(21)(31),,.6!(108),0.5.0(,),?,,()0,0,0.6.x x x x x y x x x y y y y y e y py qy p q y e y e y py qy p q e e p q t λλλλλλλλλλλλλθθ=-+-=-='''=++=''''''==++=++=≠++==- 设求要使满足方程其中为常数该取哪些值该取方程的根飞轮绕一定轴转动,转过的角度与时间t的关系为解解22()()()231343,6 4.17.(),,(),(1)1()(1),()()(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1),(0)(1)((1)k nn k n k knk n k t t t t t f x n f x k x f x x f x n n n k x x n n n k f n n n x θθ---++-'''=-+=-=-==-=-----+---++-==+- ,求飞轮转动的角速度与角加速度.角速度角加速度设其中为一个正整数求为一个正整数.解解1).k +-2(50)8.ln(1),.Leibniz y x x y =+设求由公式,解()()()()()()(50)(49)(48)(50)2(49)(48)(47)2111250495049ln(1)50(2)ln(1)2ln(1)25049(1)50(2)(1)2(1)2(1)(2)(1491)(1)100(1)(2)(1481)(1)2450(1)(2)(1471)(1y x x x x x x x x x x x x x x -----=+++++=+++++=----+++----+++----+ 482504948250)247!49!(1)10048!(1)245047!(1)(501225).(1)x x x x x x x x ----+-=-+++-+=+++12122212121212221212129.()()0.,(),()()()()0.1ax bx ax bx ax bx ax bx ax bx ax bx ax bx ax bx y C e C e C C y a b y aby y C e C e C ae C be y C ae C be C a e C b e y a b y aby C a e C b e a b C ae C be ab C e C e '''=+-++='''''++=+=+'''-++=+-++++=验证函数其中与为任意常数是微分方程的解证=()=()212121211211222112112122211210.()()20.()()(),()()(2),2(2)2ax ax ax ax ax ax ax ax ax ax y C x C e C C y ay a y y C x C e C e a C x C e e aC x C aC y e a aC x C aC e aC e a C x a C aC y ay a ye a C x a C aC ae '''=+-+=''+=++=++''=+++=++'''-+=++-验证函数其中与为任意常数是微分方程的解证=211212212121222221212()()0.cos sin ()0.sin cos ,cos sin (cos sin ).ax aC x C aC a C x C e y C t C t C C y y y C t C t y C t C t C t C t y ωωωωωωωωωωωωωωω++++=''=++='''+=--=-+=-验证函数其中与为任意常数是微分方程的解证=-习题2.55/3223/22222222222:91.32.5412.(1(1).323.sec tan.4.tan(sec1)tan.5.cot(csc1)cot1.326.111b b Cdx x Cx xdx x dx x x x Ca xdx a x Cxdx x dx x x Cd d Cxdxx xϕϕϕϕϕ-+=+++=+=+++=+=-=-+=-=--++⎛=+++⎝⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰求下列不定积分2225/43/27/423222arctan.7.4arcsin.8.(1cos)sec(sec1)tan.4249.(1)5371232610.ln||.11.dx x x Cdx xCx xdx x dx x xCdx x x x x Cdx x Cx x x x x⎫=++⎪⎭⎛⎫=++=+=++=+=++++⎛⎫++=--+⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰()24/31/32/34/31/32/35/3223/21/21/2225/23/222122333.512.(2cosh sinh)2sinh cosh.31113.321243.53114.sin cosx xdx x x x dxxx x x Cx x dx x x Cxdx x x x dxx xx x x Cxx-----+==-+=--++-=-+⎛-⎛⎫=-+++⎪⎝⎭⎝=++++⎰⎰⎰⎰⎰2212222211cot tan.sin cos2311115.263921112/ln3/ln2.392111116.arctan.(1)1x xx xxx xdx dx x x Cx xdx dxCdx dx x Cx x x x x+-⎛⎫=+=-++⎪⎝⎭⎛⎫+⎛⎫⎛⎫=+⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫=--+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫=-=--+⎪++⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰121122234317.()(,).(),1().218.()()()1,().1(())1,()1,41()1.4x x x x x y x a be a b a be dx ax be C yax be C dx ax be C x C f x xf x f x x f x xf x x xf x x dx x x C C f x x x -----''=+'+=-+=-+=+++'+=+'=+=+=++=++⎰⎰⎰求解微分方程为常数设满足方程求解y =解习题2.6122112222121.(1)lim lim ()().()()(2)lim ()lim(())11(1)()()lim()()()lim 2()()li nbi a i nnn n i i n n n i kdx k x k b a k b a i b a b a b a a a b a i n n n n n a b a b a i a b a b a n n a b a b a λλ→→=→∞→∞==→∞→∞==∆=-=----+=-++=-+-=-+-=-+-∑⎰∑∑∑根据定积分的定义直接求下列积分:222(11/)()m ().2222.()[,]()0.(),,;0,()[,],()(),()(),(),().n dbcan b a b a a b a x y c d y x y y c y d y c x y c d y dy x dx y x x y a c b b ϕϕϕϕϕψψϕϕϕ→∞+--=-+==>===≥=+====⎰⎰设函数在上连续且试用定积分表示曲线及轴所围的图形的面积又设函数在上严格递增试求积分和其中是的反函数()()dbcay dy x ϕψ+⎰⎰解2212300203.[0,1]Riemann .Riemann 111111(1)(21)12().6634..,0,0,1, 1.2,31i n n i y x n n i s n n n n nn n n n x y x y x y ξ-==→∞⎛⎫⎛⎫==--=--→→∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭======∑⎰⎰ 写出函数在区间上的和,其中分割为等分,中间点为分割小区间的左端点求出当时和的极限.]求定积分当时当时由题解解y=12/2/2/2/2/2212121.335.(1)(1sin ).2(1sin )(1).(1sin )(2).23.22(1)(2)0,1, 2.(,1/2),y dy x dx x dx dx x dx dx x x x x x x x πππππππππ-=-=<+<+>=+<=<<+-=+-==-=∈-∞⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰证明下列不等式当时证证21100/2/22200100.(1/2,)3.26.:(1).(2)(sin).(3).7.()[,],().x xxe dx e dxx dx x dxxdxy f x a b y f xππ∈+∞=<<=>><==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰当时判断下列各题中两个积分值之大小设函数在上有定义并且假定在任何闭子区间上有最大值和最小值对于012111()()11()0()01::()[,],()[,]()[,]lim lim.()[,]lim lim(n ni i i i i in ni i i iT Ti ini i iT Ti iT x a x x x x b m f x x x M f x x xy f x a b m x M x y f x a b m x fλλλλξ---→→==→→==<<<<<==∆∆=∆=∑∑∑任意一个分割记为在中的最小值为在中的最大值.证明在上可积的充要条件是极限与存在并且相等设在上可积,则证1()0()011()0()011111()01)(),lim lim()().lim lim,(),lim().n bi an n bi i i i aT Ti in ni i iT Ti in n ni i i i ii i ini iTix f x dx M x f x f x dxm x M x Im x f x M xf x Iλλλλληξξ=→→==→→=====→=∆=∆=∆=∆=∆=∆≤∆≤∆∆=∑⎰∑∑⎰∑∑∑∑∑∑设则由夹挤定理,习题2.72222222211222012201.1(1)(),().11(2)()sin ,()2sin(1).(3)()cos ,()cos .(4)(),()2.2.()[,].()()x x xx t x x xxadt F x F x t x G x t dt G x x x H x t tdt H x x x L x e dt L x xe e y f x a b F x f t +---'==++'==+'==-'==-==⎰⎰⎰⎰求下列变上(下)限积分所定义的函数的导函数:设在上连续证明00,()().()()11()()()()()(0)()().a x a dt a F a f a F a x F a f t dt f x a a x x x xf f a x F a f a ξξξ++∆+'=+∆-==∆≤≤+∆∆∆∆'=→∆→+=⎰⎰在处有右导数且故证3.()[,].()()(()0.()().().()0,,()().()(),()0.(()())()()()()0,()(),[,].()()0,xa xax a b f x F x F a a x b F x f t dt f t dt G a G x f x F x f x F a G x F x G x F x f x f x G x F x C x a b C F a G a =≤≤=''===='''-=-=-=-=∈=-=⎰⎰设f 在上连续假定有一个原函数且证明当时由变上限积分求导定理证G(x)=()()(),[,].xa F x G x f t dt x ab ==∈⎰()11111124.:(0,),ln .11ln ,,(0,),ln10,ln .5.()[,]|()|,([,]),.()()[,]Lipschiz :|()(xx x xadt x x dt tdt dt dt x dt x dt x dt x t xt t y f x a b f x L x a b uqz L F x f t dt a b F x F x ∈+∞='⎛⎫'==∈+∞=== ⎪⎝⎭=≤∀∈=-⎰⎰⎰⎰⎰证明当时由于故设在上可积,且其中为常数证明变上限积分在上满足条件证2122211112121212210)|||,(,[,]).,|()()|()()()().6.()sin .()sin ,()sin sin (1cos )x x x x x aax x x x t t xxx x L x x x x a b x x F x F x f t dt f t dt f t dt f t dt Ldt x x G x e zdzdt G x e zdz G x zdz e x x e ≤-∈<-=-=≤≤==='''==+=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰不妨设求函数的二阶导数x x 证解e e sin .x x习题2.814130033002211443064215301.Newton-Leibniz :1(1).44(2).(3)sin cos | 2.(4)ln |ln 2.(5)(2sin )2cos 4.4411(6)(1)326124bb xx b a aa x x dx e dx ee e xdx x dx x xx x x dx x x x x x x x dx x πππππ====-=-===⎡⎤+=-+=+⎢⎥⎣⎦⎡+++=+++⎣⎰⎰⎰⎰⎰⎰用公式计算下列定积分()10422221122112212222422223.211112..2111:?21111111,2221112x x x dx x x x x dx x x x x x x x x x x x x x x x x dx x x x ----⎤=⎢⎥⎦⎛⎫-++ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭''⎛⎫⎛⎫'-=-=+=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰验证是的一个原函数并计算定积分试问下式是否成立为什么故是的一个原函数.解4112221125.41111.[1,1]2x dx x x x x x --=⎛⎫⎛⎫+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰不成立因为在不可积.1100113341340110113.Riemann Newton-Leibniz 1(1)lim sin sin cos |1cos1.11(2)lim lim .44111(3)lim lim 1/nn k nn n n k k nn n n k k kxdx x n n k k x x dx n n n dx n k n k n →∞=→∞→∞==→∞→∞====-=-⎛⎫==== ⎪⎝⎭==++∑⎰∑∑⎰∑∑将下列极限中的和式视作适当函数的和,然后使用公式求出其值:1100ln(`1)|ln 2.1x x =+=+⎰1221110111110111/21001/21/22304.Newton-Leibniz (1)|| 1.22(2)sgn 1(1)110.111(3)22243x x x dx xdx xdx xdx dx dx x x dx x x dx x x dxx x x -----=-=-==+-=-=⎛⎫⎛⎫-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰将下列积分改成若干个区间上定积分之和,然后分别使用公式求处其值:1321/2222002222121011111111.3416243424168(4)|sin |sin sin cos |cos |22 4.(5)([])(1)2211() 1.22x x dx xdx xdx x x x x x x dx xdx x dx x πππππππ⎛⎫-=-+--+= ⎪⎝⎭=-=-+=+=⎛⎫-=+-=+- ⎪⎝⎭=--=⎰⎰⎰⎰⎰⎰5.()[,]().[,],()()()().()()()(Newton-Leibniz )()()().ba F x ab F xc a b F b F a F c b a F b F a F x dx F c b a '∈'-=-'-='=-⎰设在上有连续的导函数试证明:存在一点使得公式定积分中指中值公式证第二章总练习题2211211|3| 11.().313,14243131()(10)lim 2;424(10)lim |3|2(10)(1),1.313(1)(3)|1,(1)4242x x x x x x f x x x x x x f x f x f x f f f x x x f x f x →→+=-=-≥⎧⎪=⎨-+<⎪⎩⎛⎫≠-=-+= ⎪⎝⎭+-==-=='⎛⎫'''=-=-=-+= ⎪⎝⎭时讨论函数的连续性和可导性时时可导.=在连续解132131(1),(1) 1.212 2 12.(), 1157 1,,,,()(,).(10)lim(2x x f f f x x x f x Ax Bx Cx D x x x A B C D f x f x +=→-⎛⎫''-=-==- ⎪⎝⎭=-<-⎧⎪=+++-≤≤⎨⎪+>⎩-∞+∞--在可导.时设函数时时试确定常数的值使在可导解=3211212)4(1).(1)(22)|2(1)()|(32)|32.(10)(10)12,(1)32(1) 5.43221232 5.{ x x x f A B C D f x f Ax Bx Cx D Ax Bx C A B C f A B C D f f A B C f A B C D A B C A B C D A B C A -=-+=-=--+-=-=-=-+-+''''-=-==-=+++=++=-+-=+++=+=''=++==-+-+=-⎧⎪-+=⎪⎨+++=⎪⎪++=⎩= -9/4, 3/4, 41/4, 13/4}.B C D ===223.()(sin 2)(),()0.()0,,(0).()(0)()sin 222(0)(0),(0)2(0).2sin cos 4.?()() 1.5,.()[1,1],g x x f x f x x g x x g g x g f x xf xg f x x xf xg x f x ==='∆-∆∆'=→∆→=∆∆+--=-222设函数其中在连续问在是否可导若可导求出x 问函数f(x)=与g(x)=为什么有相同得导数1+x 1+x因为设函数在上有定义解x解22(),[1,1]. 1.(0)0,(0)0.0,()(0)()11(00),(0)1,(0)1,(0) 1.x f x x x x f f x f x f f x x xx x f f x x x f +-≤≤+∈-≤≤=∆>∆-∆∆+∆''=≤=∆+→∆→+==∆∆∆'=且满足证明存在且等于类似故证02222222222236.()|4|,().||2,()4,()2.(2)(4)|4,(2)(4)|4,(2),(2)1,.12241,,.1(1)(1)8.()(,),x x f x x f x x f x x f x x f x f x f f x d yy x dx dy d y y x dx x dx x f x +=-='=-'''>=-==-=''''=-=--+=-+==-----∞+∞设求时不存在同理不存在.7.设求设函数在上有定义且满足下解 解=-2:(1)()()()(,);(2)(0)1;(3)0.:(,)()(0)().()()()()()(0)()(0)()(0)()(0),()(0)().1/2, 1/2,9.()0n n f a b f a f b a b f x x f x f f x f x x f x f x f x f x f x x f x f f x f f x x f x f f x x x f x +===''∈-∞+∞=+∆-∆-=∆∆∆-'''=→∆→=∆== 列性质为任意实数在处可导证明对于任意都有设证1201/2, 1/2,(1,2,);()(1,2,);, 1/20, 1/2()0?()0?(1/2)(0)1/210(),1/21/22()(0)()(0)00(1/2,0).lim 0,(0)n nn nn n n nn n x x n g x n x x f x x g x x f f n f x f f x f x x f x x+→⎧⎧=⎪⎪===⎨⎨≠≠⎪⎪⎩⎩==-==→→∞--'=→≠→= 问在处是否可导在处是否可导解()()102222220.(1/2)(0)1/211(),1/21/222()(0)()(0)00(1/2,0),lim .(0).10.()()[,],()()()().[()()]()2()n n n nn x bb baaab baag g n g x g g x g x x g x xy f x y g x a b f x g x dxf x dxg xdx f x tg x dx g x dx t f x g +→=-==→→∞--'=→≠→==≤+=+⎰⎰⎰⎰⎰不存在设及在上连续证明:证()()()()222222222()()0(*),()0,()0,[,],0.()0,2()()4()()0,()()()().bbaab aba bbba aab b baaax dx t f x dx g x dx g g x x a b g x dx f x g x dx g x dxf x dx f xg x dxf x dxg xdx +≥==∈>-≤≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰如果则由的连续性不等式两端都是如果(*)左端的二次函数恒非负,故其判别式非正,2212122111.111()222/2(/2)1,()(),(1),1/2222.222122(),(1).2222212./2(/2)(),1/2(1()nn n n n n n n n f x x x x x x x f x f x f x n n n nf x x x f x x f x x f x +-+=+++-'==-++++=-''=+++=+++-=-'= 求出函数在点的导数再将函数写成的形式再求由此证明下列等式:1212由类似上题的办法证明证1211221210/2(1)(/2)(1/2))(1/2)(1/2)(/2(/2)),(1/2)(1/2(1)(1/2))(1/2)(1/2)(1/21/2)(1)1/22(1(1)/2)11/22.21(1)(1)(1)113.()[0,1]()()n n n n n n n n n n x x x x x n f n n n x nx x x y f x f x d f x ++++-+-+---++-'=+=-++-=--++≠-=⎰设在连续且>0证明11100011.()1().()14.ln 111()ln 1(0)1111111()ln 1;23231nx f x dxdx f x dx dx f x dtx t a n n n n b n n n ≥=≤=⎛⎫<+<> ⎪+⎝⎭+++<<++++-⎰⎰⎰⎰⎰⎰10证1=111111/11/11/1111()1.111(1)ln 1.111/1231111(2)ln ln ln 111,121121111ln ln 11.12nn n n n c e e n dt dtdt n n n t n n n n n n n n n -++++⎛⎫<+< ⎪⎝⎭⎛⎫=+=<= ⎪++⎝⎭⎛⎫⎛⎫==++++<+++ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫=++++>++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰ 证11111/11/11/111l 1()1.111(1)ln 1.111/1231111(2)ln ln ln 111,121121111ln ln 11.121(3)1nn n n n nn c ee n dt dt dt n n n t nn n n n n n n n e n -++++⎛⎫<+< ⎪⎝⎭⎛⎫=+=<= ⎪++⎝⎭⎛⎫⎛⎫==++++<+++ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫=++++>++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰ 证111n 1111.n nn n e e ⎛⎫+- ⎪⎝⎭++>=。

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2018秋新版高中数学北师大版必修1习题：第二章函数 2.2.2.2 含解析

2018秋新版高中数学北师大版必修1习题：第二章函数 2.2.2.2 含解析

第2课时 分段函数课时过关·能力提升1已知f (x )= x +1,x >0,π,x =0,0,x <0,则f (f (f (-3)))=( ) A.0 B.πC.π+1D.2π 解析:因为-3<0,所以f (-3)=0,所以f (f (-3))=f (0)=π,又π>0,所以f (f (f (-3)))=f (π)=π+1.答案:C2函数f (x )=x+|x |x 的图像是( )解析:f (x )= x +1,x >0,x -1,x <0,故选C . 答案:C3某城市出租车起步价为10元,最长可租乘3 km(含3 km),以后每1 km 为1.6元(不足1 km,按1 km 计费),若出租车行驶在不需等待的公路上,则出租车的费用y (元)与行驶的里程x (km)之间的函数图像大致为 ( )解析:由题意,当0<x ≤3时,y=10;当3<x ≤4时,y=11.6;当4<x ≤5时,y=13.2;……当n-1<x ≤n 时,y=10+(n-3)×1.6,故选C .答案:C4已知f (x )= 2x ,x >0,f (x +1),x ≤0,则f 43 +f -43 等于 ( )A.-2B.4C.2D.-4 答案:B5已知f(x)=x2,x>1,2,0≤x≤1,x+4,x<0,g(x)=3-2x,则f(g(2))=()A.-3B.-2C.3D.-1解析:因为g(x)=3-2x,所以g(2)=3-2×2=-1<0,所以f(g(2))=f(-1)=-1+4=3.答案:C6拟定从甲地到乙地通话m min的话费y(元)满足y=3.71,0<m≤4,1.06×(0.5[m]+2),m>4,其中[m]是不超过m的最大整数,如[3.74]=3,从甲地到乙地通话5.2 min的话费是() A.3.71元 B.4.24元 C.4.77元 D.7.95元解析:f(5.2)=1.06×(0.5×[5.2]+2)=4.77.答案:C7若函数f(x)=f(x+2),x<2,2x,x≥2,则f(-3)=.解析:f(-3)=f(-3+2)=f(-1)=f(-1+2)=f(1)=f(1+2)=f(3)=2×3=6.答案:68已知实数a≠0,函数f(x)=2x+a,x<1,-x-2a,x≥1.若f(1-a)=f(1+a),则a的值为.答案:-349已知函数f(x)=-x,-1≤x<0, x2,0≤x<1, x,1≤x≤2.(1)求f-2,f1,f3的值;(2)作出函数f(x)的简图;(3)求函数f(x)的值域.分析:给出的函数是分段函数,应注意在不同的自变量取值范围内函数有不同的解析式.(1)根据自变量的值所在的区间,选用相应的关系式求函数值.(2)函数f(x)在不同区间上的关系式都是常见的基本初等函数,因而可利用常见函数的图像完成作图.(3)函数的值域是各段函数值的集合的并集.解函数的定义域为[-1,0)∪[0,1)∪[1,2]=[-1,2].(1)∵-1≤x<0时,f(x)=-x,∴f-2=--2=2.∵0≤x<1时,f(x)=x2,∴f1=12=1.∵1≤x≤2时,f(x)=x,∴f3=3.(2)在同一平面直角坐标系中分段画出函数f(x)的图像,如图.(3)由(2)中函数f(x)的图像可知,函数的值域为[0,2].★10某市范围内住宅电话通话费为前3 min 0.20元,以后每分0.10元(不足3 min按3 min计,以后不足1 min按1 min 计).(1)在直角坐标系内,画出一次通话在6 min内(包括6 min)的通话费y(元)关于通话时间t(min)的函数图像;(2)如果一次通话t min(t>0),写出通话费y(元)关于通话时间t(min)的函数关系式(可用[t]表示不小于t 的最小整数).解(1)如图:(2)由(1)知,话费与时间t的关系是分段函数,当0<t≤3时,话费为0.2元;当t>3时,话费应为[0.2+([t]-3)×0.1]元,所以y=0.2,0<t≤3,0.2+([t]-3)×0.1,t>3.★11已知函数的图像由两条射线及开口向下的抛物线的一部分(包括端点)组成,如图,试求函数的解析式.解设左射线所在直线的解析式为y=kx+b,因为点(1,1),(0,2)在直线上,故由k+b=1, b=2,得k=-1, b=2.所以左射线的解析式为y=-x+2(x<1).同理可得右射线的解析式为y=x-2(x>3).再设抛物线的解析式为y=a(x-2)2+2,因为点(1,1)在此抛物线上,所以a+2=1,a=-1,所以中间抛物线的解析式为y=-(x-2)2+2=-x2+4x-2,1≤x≤3.综上所述,所求函数的解析式为y=-x+2,x<1,-x2+4x-2,1≤x≤3, x-2,x>3.。

北师大版高考数学(文)大一轮复习---第二章 2.6--(附答案)

北师大版高考数学(文)大一轮复习---第二章 2.6--(附答案)

§2.6 对数与对数函数最新考纲考情考向分析1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,3,10，12，13的对数函数的图象．3.体会对数函数是一类重要的函数模型．4.了解指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数.以比较对数函数值大小的形式考查函数的单调性；以复合函数的形式考查对数函数的图象与性质，题型一般为选择、填空题，中低档难度.1．对数的概念如果a (a >0，a ≠1)的b 次幂等于N ，即a b ＝N ，那么数b 叫作以a 为底N 的对数，记作log a N ＝b ，其中 a 叫作对数的底数， N 叫作真数． 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么： ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a MN ＝log a M －log a N ；③log a M n ＝n log a M (n ∈R )． (2)对数的性质 ①log a Na＝N ；②log a a N ＝N (a >0，且a ≠1)．(3)对数的换底公式log a b ＝log c blog c a(a >0，且a ≠1；c >0，且c ≠1；b >0)．3．对数函数的图像与性质y＝log a x a>10<a<1图像定义域(1)(0，＋∞)值域(2)R性质(3)过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0(4)当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0(5)当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0(6)在(0，＋∞)上是增函数(7)在(0，＋∞)上是减函数4.反函数指数函数y＝a x(a>0且a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图像关于直线y＝x对称．知识拓展1．换底公式的两个重要结论(1)log a b＝1log b a；(2)log m nab＝n m log a b.其中a>0且a≠1，b>0且b≠1，m，n∈R. 2．对数函数的图像与底数大小的比较如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图像交点的横坐标为相应的底数，故0<c<d<1<a<b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若MN>0，则log a(MN)＝log a M＋log a N.(×)(2)对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．(×)(3)函数y ＝ln 1＋x1－x与y ＝ln(1＋x )－ln(1－x )的定义域相同．( √ )(4)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图像过定点(1,0)且过点(a,1)，⎝⎛⎭⎫1a ，－1，函数图像只在第一、四象限．( √ ) 题组二 教材改编2．lg 427－lg 238＋lg 75＝________.答案 12解析 原式＝lg 4＋12lg 2－lg 7－23lg 8＋lg 7＋12lg 5＝2lg 2＋12(lg 2＋lg 5)－2lg 2＝12.3．已知a ＝132－，b ＝log 213，c ＝12log 13，则a ，b ，c 的大小关系为________．答案 c >a >b解析 ∵0<a <1，b <0，c ＝12log 13＝log 23>1.∴c >a >b .4．函数y 23log (21)x -______．答案 ⎝⎛⎦⎤12，1解析 由23log log 23(2x －1)≥0，得0<2x －1≤1.∴12<x ≤1. ∴函数y 23log (21)x -⎝⎛⎦⎤12，1.题组三 易错自纠5．已知b >0，log 5b ＝a ，lg b ＝c,5d ＝10，则下列等式一定成立的是( ) A ．d ＝ac B ．a ＝cd C ．c ＝ad D ．d ＝a ＋c答案 B6．已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a >0，a ≠1)的图像如图，则下列结论成立的是( )A ．a >1，c >1B ．a >1,0<c <1C ．0<a <1，c >1D ．0<a <1,0<c <1答案 D解析 由该函数的图像通过第一、二、四象限知该函数为减函数，∴0<a <1，∵图像与x 轴的交点在区间(0,1)之间，∴该函数的图像是由函数y ＝log a x 的图像向左平移不到1个单位后得到的，∴0<c <1.7．若log a 34<1(a >0且a ≠1)，则实数a 的取值范围是____________________．答案 ⎝⎛⎭⎫0，34∪(1，＋∞) 解析 当0<a <1时，log a 34<log a a ＝1，∴0<a <34；当a >1时，log a 34<log a a ＝1，∴a >1.∴实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，34∪(1，＋∞)．题型一 对数的运算1．设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m 等于( )A.10 B ．10 C ．20 D ．100答案 A解析 由已知，得a ＝log 2m ，b ＝log 5m ，则1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2. 解得m ＝10.2．计算：⎝⎛⎭⎫lg 14－lg 25÷10012－＝________. 答案 －20解析 原式＝(lg 2－2－lg 52)×10012＝lg ⎝⎛⎭⎫122×52×10＝lg 10－2×10＝－2×10＝－20.3．计算：(1－log 63)2＋log 62·log 618log 64＝________.答案 1解析 原式＝1－2log 63＋(log 63)2＋log 663·log 6(6×3)log 64＝1－2log 63＋(log 63)2＋1－(log 63)2log 64＝2(1－log 63)2log 62＝log 66－log 63log 62＝log 62log 62＝1.思维升华 对数运算的一般思路(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并．(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．题型二对数函数的图像及应用典例(1)若函数y＝log a x(a>0且a≠1)的图像如图所示，则下列函数图像正确的是()答案 B解析 由题意y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图像过(3,1)点，可解得a ＝3.选项A 中，y ＝3－x ＝⎝⎛⎭⎫13x，显然图像错误；选项B 中，y ＝x 3，由幂函数图像性质可知正确；选项C 中，y ＝(－x )3＝－x 3，显然与所画图像不符；选项D 中，y ＝log 3(－x )的图像与y ＝log 3x 的图像关于y 轴对称，显然不符，故选B.(2)当0<x ≤12时，4x <log a x ，则a 的取值范围是( )A.⎛⎫0，2 B.⎛⎫2，1C ．(1，2)D ．(2，2)答案 B解析 由题意得，当0<a <1时，要使得4x <log a x ⎝⎛⎭⎫0<x ≤12，即当0<x ≤12时，函数y ＝4x 的图像在函数y ＝log a x 图像的下方．又当x ＝12时，124＝2，即函数y ＝4x 的图像过点⎝⎛⎭⎫12，2.把点⎝⎛⎭⎫12，2代入y ＝log a x ，得a ＝22.若函数y ＝4x 的图像在函数y ＝log a x 图像的下方，则需22<a <1(如图所示)．当a >1时，不符合题意，舍去．所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫22，1.引申探究若本例(2)变为方程4x ＝log a x 在⎝⎛⎦⎤0，12上有解，则实数a 的取值范围为__________．答案 ⎛⎤0，2解析 若方程4x ＝log a x 在⎝⎛⎦⎤0，12上有解，则函数y ＝4x 和函数y ＝log a x 在⎝⎛⎦⎤0，12上有交点， 由图像知⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，log a 12≤2，解得0<a ≤22. 思维升华 (1)对一些可通过平移、对称变换作出其图像的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题，利用数形结合法求解．跟踪训练 (1)函数y ＝2log 4(1－x )的图像大致是( )答案 C解析 函数y ＝2log 4(1－x )的定义域为(－∞，1)，排除A ，B ；又函数y ＝2log 4(1－x )在定义域内单调递减，排除D.故选C.(2)(2017·衡水调研)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3x ，x ≤0，且关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________．答案(1，＋∞)解析如图，在同一坐标系中分别作出y＝f(x)与y＝－x＋a的图像，其中a表示直线在y轴上的截距．由图可知，当a>1时，直线y＝－x＋a与y＝log2x只有一个交点．题型三对数函数的性质及应用命题点1对数函数的单调性典例(1)若a>b>0,0<c<1，则()A．log a c<log b c B．log c a<log c bC．a c<b c D．c a>c b答案B解析当0<c<1时，y＝log c x是减函数，∴log c a <log c b ，故选B.(2)(2017·江西九江七校联考)若函数f (x )＝log 2(x 2－ax －3a )在区间(－∞，－2]上是减函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，4)B ．(－4,4]C ．(－∞，－4)∪[－2，＋∞)D ．[－4,4)答案 D解析 由题意得x 2－ax －3a >0在区间(－∞，－2]上恒成立且函数y ＝x 2－ax －3a 在(－∞，－2]上是减少的，则a2≥－2且(－2)2－(－2)a －3a >0，解得实数a 的取值范围是[－4,4)，故选D.命题点2 和对数函数有关的复合函数 典例 已知函数f (x )＝log a (3－ax )(a >0且a ≠1)．(1)当x ∈[0,2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．解 (1)∵a >0且a ≠1，设t (x )＝3－ax ，则t (x )＝3－ax 为减函数，x ∈[0,2]时，t (x )的最小值为3－2a ，当x ∈[0,2]时，f (x )恒有意义，即x ∈[0,2]时，3－ax >0恒成立．∴3－2a >0.∴a <32.又a >0且a ≠1，∴a 的取值范围为(0,1)∪⎝⎛⎭⎫1，32. (2)假设存在这样的实数a .t (x )＝3－ax ，∵a >0，∴函数t (x )为减函数．∵f (x )在区间[1,2]上为减函数，∴y ＝log a t 为增函数，∴a >1，x ∈[1,2]时，t (x )的最小值为3－2a ，f (x )的最大值为f (1)＝log a (3－a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2a >0，log a (3－a )＝1，即⎩⎨⎧a <32，a ＝32.故不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1.思维升华 (1)利用对数函数单调性时要注意真数必须为正，明确底数对单调性的影响．(2)解决与对数函数有关的复合函数问题，首先要确定函数的定义域，根据“同增异减”原则判断函数的单调性，利用函数的最值解决恒成立问题．跟踪训练 (1)设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 23，则( ) A ．a >c >b B ．b >c >a C ．c >b >a D ．c >a >b答案 D解析 a ＝log 32<log 33＝1，b ＝log 52<log 55＝1.又c ＝log 23>log 22＝1，所以c 最大．由1<log 23<log 25，得1log 23>1log 25，即a >b ，所以c >a >b .(2)已知函数f (x )＝ln ⎝⎛⎭⎫1－a2x 的定义域是(1，＋∞)，则实数a 的值为________． 答案 2解析 由题意，得不等式1－a 2x >0的解集是(1，＋∞)，由1－a2x >0，可得2x >a ，故x >log 2a ，由log 2a ＝1，得a ＝2.比较指数式、对数式的大小考点分析 比较大小问题是每年高考的必考内容之一．(1)比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可用数形结合的方法．(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.典例 (1)设a ＝0.50.5，b ＝0.30.5，c ＝log 0.30.2，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c <b <a B ．a <b <c C ．b <a <cD ．a <c <b(2)(2017·新乡二模)设a ＝60.4，b ＝log 0.40.5，c ＝log 80.4，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <c <a(3)若实数a ，b ，c 满足log a 2<log b 2<log c 2，则下列关系中不可能成立的是( ) A ．a <b <c B ．b <a <c C ．c <b <aD ．a <c <b(4)(2017·石家庄一模)已知函数y ＝f (x ＋2)的图像关于直线x ＝－2对称，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝|log 2x |，若a ＝f (－3)，b ＝f ⎝⎛⎭⎫14，c ＝f (2)，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >b >c B ．b >a >c C ．c >a >bD ．a >c >b解析 (1)根据幂函数y ＝x 0.5的单调性，可得0.30.5<0.50.5<10.5＝1，即b <a <1；根据对数函数y ＝log 0.3x 的单调性，可得log 0.30.2>log 0.30.3＝1，即c >1.所以b <a <c .(2)∵a ＝60.4>1，b ＝log 0.40.5∈(0,1)，c ＝log 80.4<0，∴a >b >c .故选B.(3)由log a 2<log b 2<log c 2的大小关系，可知a ，b ，c 有如下四种可能：①1<c <b <a ；②0<a <1<c <b ；③0<b <a <1<c ；④0<c <b <a <1.对照选项可知A 中关系不可能成立．(4)易知y ＝f (x )是偶函数．当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝f ⎝⎛⎭⎫1x ＝|log 2x |，且当x ∈[1，＋∞)时，f (x )＝log 2x 是增加的，又a ＝f (－3)＝f (3)，b ＝f ⎝⎛⎭⎫14＝f (4)，所以b >a >c . 答案 (1)C (2)B (3)A (4)B1．设a＝log37，b＝21.1，c＝0.83.1，则()A．b<a<c B．c<a<bC．c<b<a D．a<c<b答案B解析∵a＝log37，∴1<a<2.∵b＝21.1，∴b>2.∵c＝0.83.1，∴0<c<1.即c<a<b，故选B.2．(2017·孝义模拟)函数y＝ln sin x(0<x<π)的大致图像是()答案 C解析 因为0<x <π，所以0<sin x ≤1，所以ln sin x ≤0，故选C.3．已知偶函数f (x )，当x ∈[0,2)时，f (x )＝2sin x ，当x ∈[2，＋∞)时，f (x )＝log 2x ，则f ⎝⎛⎭⎫－π3＋f (4)等于( ) A ．－3＋2 B ．1 C ．3 D.3＋2答案 D解析 因为f ⎝⎛⎭⎫－π3＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝2sin π3＝3， f (4)＝log 24＝2，所以f ⎝⎛⎭⎫－π3＋f (4)＝3＋2，故选D. 4．(2017·北京)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与MN最接近的是( )(参考数据：lg 3≈0.48) A ．1033 B ．1053 C ．1073 D ．1093答案 D解析 由题意，lg M N ＝lg 33611080＝lg 3361－lg 1080＝361lg 3－80lg 10≈361×0.48－80×1＝93.28.又lg 1033＝33，lg 1053＝53，lg 1073＝73，lg 1093＝93，故与MN最接近的是1093.故选D.5．(2017·江西红色七校二模)已知函数f (x )＝ln e x e －x，若f ⎝⎛⎭⎫e 2 013＋f ⎝⎛⎭⎫2e 2 013＋…＋f ⎝⎛⎭⎫2 012e 2 013＝503(a ＋b )，则a 2＋b 2的最小值为( ) A ．6 B ．8 C ．9 D ．12 答案 B解析 ∵f (x )＋f (e －x )＝2，∴f ⎝⎛⎭⎫e 2 013＋f ⎝⎛⎭⎫2e 2 013＋…＋f ⎝⎛⎭⎫2 012e 2 013＝2 012， ∴503(a ＋b )＝2 012，∴a ＋b ＝4.∴a 2＋b 2≥(a ＋b )22＝8，当且仅当a ＝b ＝2时取等号．6．若f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上是减少的，则a 的取值范围为( ) A ．[1,2) B ．[1,2] C ．[1，＋∞) D ．[2，＋∞) 答案 A解析 令函数g (x )＝x 2－2ax ＋1＋a ＝(x －a )2＋1＋a －a 2，对称轴为x ＝a ，要使函数在(－∞，1]上是减少的，则有⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)>0，a ≥1，即⎩⎪⎨⎪⎧2－a >0，a ≥1，解得1≤a <2，即a ∈[1,2)，故选A.7．若a ＝log 43，则2a ＋2－a ＝________.答案433解析 ∵a ＝log 43＝22log 3＝12log 23＝log 23，∴2a ＋2－a ＝log 32log 32-＝3＋3log 2＝3＋33＝433. 8．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x ，x ≤1，1－log 2x ，x >1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是__________．答案 [0，＋∞)解析 当x ≤1时，由21－x ≤2，解得x ≥0，所以0≤x ≤1；当x >1时，1－log 2x ≤2，解得x ≥12，所以x >1.综上可知x ≥0.9．(2017·南昌模拟)设实数a ，b 是关于x 的方程|lg x |＝c 的两个不同实数根，且a <b <10，则abc 的取值范围是________． 答案 (0,1)解析 由题意知，在(0,10)上，函数y ＝|lg x |的图像和直线y ＝c 有两个不同交点，∴ab ＝1,0<c <lg 10＝1，∴abc 的取值范围是(0,1)．10．函数f (x )＝log 2x ·2logx )的最小值为________．答案 －14解析 f (x )＝log 2x ·2logx )＝12log 2x ·2log 2(2x )＝log 2x (1＋log 2x )．设t ＝log 2x (t ∈R )，则原函数可以化为y ＝t (t ＋1)＝⎝⎛⎭⎫t ＋122－14(t ∈R )，故该函数的最小值为－14.故f (x )的最小值为－14.11．已知函数f (x )＝log a (2x －a )在区间⎣⎡⎦⎤12，23上恒有f (x )>0，则实数a 的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎭⎫13，1解析 当0<a <1时，函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤12，23上是减函数，所以log a ⎝⎛⎭⎫43－a >0，即0<43－a <1， 又2×12－a >0，解得13<a <43，且a <1，故13<a <1；当a >1时，函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤12，23上是增函数， 所以log a (1－a )>0，即1－a >1，且2×12－a >0，解得a <0，且a <1，此时无解．综上所述，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫13，1.12．(2018·长沙模拟)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝log 12x .(1)求函数f (x )的解析式； (2)解不等式f (x 2－1)>－2.解 (1)当x <0时，－x >0，则f (－x )＝12log (－x )．因为函数f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )．所以x <0时，f (x )＝log 12(－x )，所以函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x >0，0，x ＝0，log 12(－x )，x <0.(2)因为f (4)＝12log 4＝－2，f (x )是偶函数，所以不等式f (x 2－1)>－2可化为f (|x 2－1|)>f (4)．又因为函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数，所以0<|x 2－1|<4，解得－5<x <5且x ≠±1，又当x 2－1＝0时，f (0)＝0>－2成立，所以－5<x < 5.即不等式的解集为(－5，5)．13．设函数f (x )＝log a |x |在(－∞，0)上是增加的，则f (a ＋1)与f (2)的大小关系是( ) A ．f (a ＋1)>f (2) B ．f (a ＋1)<f (2) C ．f (a ＋1)＝f (2) D ．不能确定答案 A解析 由已知得0<a <1，所以1<a ＋1<2，根据函数f (x )为偶函数，可以判断f (x )在(0，＋∞)上是减少的，所以f (a ＋1)>f (2)．14．已知函数f (x )＝ln(x 2＋1)，g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x－m ，若对任意x 1∈[0,3]，存在x 2∈[1,2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是( ) A.⎣⎡⎭⎫14，＋∞ B.⎝⎛⎦⎤－∞，14 C.⎣⎡⎭⎫12，＋∞ D.⎝⎛⎦⎤－∞，－12 答案 A解析 当x ∈[0,3]时，f (x )min ＝f (0)＝0，当x ∈[1,2]时，g (x )min ＝g (2)＝14－m ，由题意可知原条件等价于f (x )min ≥g (x )min ，即0≥14－m ，所以m ≥14，故选A.15．已知函数f (x )＝ln x 1－x ，若f (a )＋f (b )＝0，且0<a <b <1，则ab 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎫0，14 解析 由题意可知ln a 1－a ＋ln b1－b＝0，即ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a ×b 1－b ＝0，从而a 1－a ×b1－b＝1，化简得a ＋b ＝1，故ab ＝a (1－a )＝－a 2＋a ＝－⎝⎛⎭⎫a －122＋14， 又0<a <b <1，∴0<a <12，故0<－⎝⎛⎭⎫a －122＋14<14.16．(2017·厦门月考)已知函数f (x )＝ln x ＋1x －1.(1)求函数f (x )的定义域，并判断函数f (x )的奇偶性；(2)对于x ∈[2,6]，f (x )＝ln x ＋1x －1>ln m(x －1)(7－x )恒成立，求实数m 的取值范围．解 (1)由x ＋1x －1>0，解得x <－1或x >1，∴函数f (x )的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，当x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，f (－x )＝ln －x ＋1－x －1＝ln x －1x ＋1＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1－1＝－ln x ＋1x －1＝－f (x )，∴f (x )＝ln x ＋1x －1是奇函数．(2)∵x ∈[2,6]时，f (x )＝ln x ＋1x －1>ln m (x －1)(7－x )恒成立，∴x ＋1x －1>m(x －1)(7－x )>0，∵x ∈[2,6]，∴0<m <(x ＋1)(7－x )在[2,6]上恒成立．令g (x )＝(x ＋1)(7－x )＝－(x －3)2＋16，x ∈[2,6]，由二次函数的性质可知，x ∈[2,3]时函数g (x )是增加的，x ∈[3,6]时函数g (x )是减少的，∴当x∈[2,6]时，g(x)min＝g(6)＝7，∴0<m<7.。

北大高数(上)第2章习题

北大高数(上)第2章习题

习题2-11. 设212s gt =，求2d d t s t =. 导数与微分 导数的概念导数的定义解：d d s gt t =，故2d 2d t s g t ==. 2. 下列各题中均假定0()f x '存在，按照导数定义观察下列极限，指出A 表示什么.导数与微分 导数的概念导数的定义(1) 000()()lim;x f x x f x A x∆→-∆-=∆解：0000000()()()()limlim ()x x f x x f x f x x f x f x x x∆→∆→-∆--∆-'=-=-∆-∆ 故0()A f x '=- (2) 000()()0,lim;x x f x f x A x x→==- 解：00000()()limlim ()x x x x f x f x f x x x x x →→'=-=---故0()A f x '=- 解：00000000000000000()()()()()()limlim ()()()()lim lim()()2()h h h h f x h f x h f x h f x f x h f x h h h f x h f x f x h f x h h f x f x f x →→→→+--+---⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦+---=+-'''=+= 故02().A f x '= 3. (1) 设1()f x x=，求00()(0);f x x '≠导数与微分求导法则复合函数求导法解：0021()().x x f x f x x =''==-(2) 设()(1)(2)(),f x x x x x n =--⋅⋅-求(0).f '解：00()(0)(0)limlim(1)(2)()0(1)!x x n f x f f x x x n x n →→-'==--⋅⋅--=-4.讨论函数y =0x =点处的连续性和可导性.连续函数连续的概念连续的定义解：00(0)x f →=,故函数在0x =处连续.又2300lim x x x -→→==∞,故函数在0x =处不可导. 5. 设函数2,1,(),1.x x f x ax b x ⎧≤=⎨+>⎩为了使函数()f x 在1x =点处连续且可导，,a b 应取什么值？连续函数连续的概念连续的定义解：因211lim ()lim 1(1)x x f x x f --→→=== 11lim ()lim()x x f x ax b a b ++→→=+=+ 要使()f x 在1x =处连续，则有1,a b +=又211()(1)1(1)lim lim 2,11x x f x f x f x x ---→→--'===-- 111(1)lim lim ,11x x ax b ax af a x x +++→→+--'===-- 要使()f x 在1x =处可导，则必须(1)(1)f f -+''=，即 2.a =故当2,1a b ==-时，()f x 在1x =处连续且可导. 6. 试求过点(3，8)且与曲线2y x =相切的直线方程.导数与微分导数的应用 切线方程解：曲线上任意一点(,)x y 处的切线斜率为2k x =.因此过(3，8)且与曲线相切的直线方程为：82(3)y x x -=-，且与曲线的交点可由方程组解得282(3)y x x y x-=-⎧⎨=⎩ 为(2，4)，(4，16)即为切点.故切线方程为：44(2),168(4).y x y x -=--=-7. 求下列函数的导数：导数与微分 导数的基本运算 导数的四则运算法则(1) y =(2) y =；(3) y =.（4）3ln sin 7y x π=+； （5）y x ； （6）()()21sin 1sin y x x x =-⋅⋅-.（7）1sin 1cos x y x -=-； （8）tan y x e π=+； （9）sec 3sec xy x x=-.（10）2ln 2lg 3log y x x x =-+； （11）211y x x =++.解：(1)y '=(2)5323y x -'=-(3)2512326y xx +-==561.6y x -'=222(1sin )'(1cos )(1sin )(1cos )'(7).'(1cos )cos (1cos )(1sin )sin (1cos )1cos sin (1cos )x x x x y x x x x x x x x x -----=-----=---=-2(8).'(tan )'()'sec y x e x =+=π22sec (9).')'(3sec )'(sec )'sec ()'3sec tan sec tan sec 3sec tan xy x xx x x x x xx x x x x x x x =--=--=-（2(10).'(ln )'(2lg )'(3log )'123ln10ln 2123(1)ln10ln 2y x x x x x x x =-+=-+=-+2222221'(1)(1)'(11).'(1)12(1)x x x x y x x x x x ++-++=+++=-++8. 设12()()()()0n p x f x f x f x =≠，且所有的函数都可导，证明：1212()()()()()()()()n n f x f x f x P x P x f x f x f x ''''=+++ 导数与微分 求导法则复合函数求导法证明：1212121212()1[()()()()()()()()()]()()()()().()()()n n n n n P x f x f x f x f x f x f x f x f x f x P x P x f x f x f x f x f x f x ''''=+++'''=+++习题2-21. 求下列函数的导数： 导数与微分 求导法则复合函数的求导法(1) 3e x y =; (2) 2arctan y x =; (3) y = (4) 2(1)ln(y x x =+⋅;(5) 221siny x x =⋅； (6) 23cos y ax =（a 为常数）； (7) 1arccos y x =；(8) 2(arcsin )2x y =；解： ⑴ 33e x y '=;⑵ 421xy x '=+; ⑶2y '==⑷22ln((1)(1y x x x '=⋅++++2ln(x x =++⑸ 22231122sincos ()y x x x x x '=+⋅- 221212sin cos x x x x=-；⑹ 3322cos (sin )3y ax ax ax '=⋅-⋅233sin 2ax ax =-； ⑺21()y x '=-=⑻12arcsin22x y '=2arcsinx =；2.3arccos3x y -=-求3x y ='.导数与微分求导法则复合函数求导法解：21(6)3x x y x ---'=- 313x y ='= 3.试求曲线e x y -=在点（0，1）及点（－1，0）处的切线方程和法线方程.导数与微分导数的应用 切线方程、法线方程解：231e e (1)3xxy x ---'=-⋅+12. 3x x y y ==-''=-=∞故在点（0，1）处的切线方程为：21(0)3y x -=--，即2330x y +-= 法线方程为：21(0)3y x -=-，即3220x y -+=在点（－1，0）处的切线方程为：1x =-法线方程为：0y =4. 求函数11ln 21x y x+=-的反函数()x y ϕ=的导数.导数与微分求导法则反函数求导法解：21[ln(1)ln(1)]2d 1111()d 2111y x x y x x x x =+--=+=+--故反函数的导数为：2d 11d d d x x yy x==- 5. 求下列参数方程所确定的函数的导数d d yx： 导数与微分 求导法则有参数方程确定的求导法（1） cos sin ,sin cos ,x a bt b at y a bt b at =+⎧⎨=-⎩ (,a b 为常数)； （2）(1sin ),cos .x y θθθθ=-⎧⎨=⎩.解：（1）d d cos sin d d d sin cos d cos sin cos sin y y ab bt ab att x x ab bt ab attbt atat bt +==-++=-（2）d d cos sin cos sin d d d 1sin (cos )1sin cos d y y x x θθθθθθθθθθθθθθ--===-+---6. 已知e sin ,e cos ,t tx t y t ⎧=⎪⎨=⎪⎩求当π3t =时d d y x 的值. 导数与微分微分的运算复合函数的微分解：d de cos e sin cos sin d d d e sin e cos sin cos d t t t tyy t t t tt x x t t t t t--===++π3ππcos sind 332ππd sin cos 33t y x =-==+.7. 求下列隐函数的导数：导数与微分 求导法则 隐函数求导法(1) 3330x y axy +-=； (2) ln()x y xy =； (3) e e 10y x x y -=； (4) 22ln()2arctan y x y x+=； (5) e x y xy +=解：(1) 两边求导，得：2233330x y y ay axy ''+⋅--=解得 22ay x y y ax-'=-.(2) 两边求导，得：11ln()()y xy y y xy xy''=+⋅+ 解得 (ln ln 1)x yy x x y -'=++.(3) 两边求导，得： e e e e 0y y x x x y y y ''+⋅++=解得 e e =e e y xy xy y x +'-+.(4) 两边求导，得：222211(22)21()y x yx yy y x y x x'-'⋅+=⋅⋅++ 解得 =x yy x y+'-. (5) 两边求导，得：e (1)x y y xy y +''+=+解得 e =e x y x yyy x ++-'-.8. 利用对数求导法，求下列函数的导数：导数与微分 求导法则 对数求导法 (1)45(3);(1)x y x -=+ (2) cos (sin );xy x = (3)2x y =解：(1)1(ln )[ln(2)4ln(3)5ln(1)]2y y y y x x x '''=⋅=⋅++--+145[]2(2)31x x x =--+-+ (2)2cos (ln )(cos ln sin )1[(sin )ln sin cos cos ]sin cos (sin )(sin ln sin )sin xy y y y x x y x x x x xx x x x x'''==⋅=-+⋅⋅=-(3)211(ln )[2ln(3)ln(5)ln(4)]22111 ].32(5)2(4)x y y y y x x x x x x x '''==++-+--=+--++-习题2-31. 求自由落体运动21()2s t gt =的加速度. 导数与微分 导数的基本运算导数的四则运算法则解：()s t gt '=()[()]s t s t g ''''==即为加速度. 2. 求n 次多项式1101n n n n y a x a x a x a --=++++的n 阶导数.导数与微分求导法则高阶导数解： 1()()1()()()()0100()()()()=()=!n n n n n n n n n n n y a x a x a x a a x a n --=++++⋅3.设*n N ∈，且2n ≥，()ln f x x x =，求()()n f x .()()()()()()()()()()1121ln =1+ln 1!1ln ln 1n n n n n f x x x x n fx x x x ----''=-∴=+==-4. 验证：函数e sin xy x =满足关系式220y y y '''-+=导数与微分求导法则高阶导数证明：e (sin cos )x y x x '=+e (sin cos )e (cos sin )2cos e x x x y x x x x x ''=++-=⋅故222cos e e (2sin 2cos )2e sin 0x x x y y y x x x x '''-+=⋅-++= 5. 求下列函数在指定点的高阶导数： 导数与微分 求导法则高阶导数(1)()f x =求(0)f ''； (2)21()e ,x f x -=求(0)f ''，(0)f '''；(3)6()(10),f x x =+求(5)(0)f ，(6)(0)f .解：(1) 322()(1)f x x -'==-5223()(1)22f x x x -''=--⋅故(0)0f ''=.(2) 21()2e x f x -'=2121()4e ()8ex x f x f x --''='''=故4(0)e f ''=，8(0)ef '''=. (3) 5()6(10)f x x '=+43(4)2(5)(6)()30(10)()120(10)()360(10)()720(10)()720f x x f x x f x x f x x f x ''=+'''=+=+=+=故(5)(0)720107200f=⨯=，(6)(0)720f =6. 求由下列方程所确定的隐函数y 的二阶导数22d d yx：导数与微分求导法则高阶导数(1) 222222b x a y a b +=； (2) 1e y y x =+； (3) tan()y x y =+； (4) 242ln y y x +=. 解：(1) 两边对x 求导，得 22220b x a yy '+=22422223b x b y xy b y y a y a y a y'-'''⇒=-⇒=-⋅=-.(2) 两边对x 求导，得 e e y y y x y ''=+223e e (2)e ()e (3)2(2)(2)y y y y y y y y y y y y y ''----'''⇒=⇒==---. (3) 两边对x 求导，得 2sec ()(1)y x y y ''=++2321cot ()2cot()cot()csc()(1)2cot ()csc ().y x y y x y x y x y y y x y x y '⇒=--+'''⇒=+⋅+⋅+⋅+''⇒=-+⋅+(4) 两边对x 求导，得 3224yy y x y''+⋅= 32322322222422321(223)(1)22(1)2[3(1)2(1)].(1)yx y y y x y x y yx yy y y x y y x y y '⇒=+''+⋅+-⋅''⇒=+++-=+ 7. 已知()f x ''存在，求22d d yx：导数与微分求导法则高阶导数(1) 2()y f x =； (2) ln ()y f x =.解：(1) 22()y xf x ''=222222()22() 2()4()y f x x xf x f x x f x '''''=+⋅'''=+(2)()()f xyf x''=22()()[()]()f x f x f x yf x'''-''=8.求由下列参数方程所确定函数的二阶导数22ddyx：导数与微分求导法则高阶导数⑴(sin),(1cos),x a t ty a t=-⎧⎨=-⎩(a为常数)；⑵(),()(),x f ty tf t f t'=⎧⎨'=-⎩设()f t''存在且不为零.解：⑴dd sin sinddd(1cos)1cosdyy a t ttxx a t tt===--2222d d sin d sin1()()dd d1cos d1cosdcos(1-cos)-sin sin1=(1-cos)(1cos)1=.(1cos)y t txx x t t ttt t t tt a ta t==⋅--⋅⋅---⑵dd()()()ddd()dyy f t tf t f tt txx f tt''''+-===''22d d d111()()1dd d d()()dyt txx x t f t f tt==⋅=⋅=''''.习题2-41.在括号内填入适当的函数，使等式成立：导数与微分微分的运算微分四则运算法则⑴ d( )cos d t t =； ⑵ d( )sin d x x ω=; ⑶ 1d( )d 1x x=+； ⑷ 2d( )e d x x -=; ⑸ d( )x=; ⑹ 2d( )sec 3d x x =； ⑺ 1d( )ln d x xx =; ⑻ d( )x =.解： ⑴(sint)cos t '=d(sin )cos d t C t t ∴+=. ⑵11(cos )(sin )sin x x x ωωωωω'-=-⋅-=1d(cos )sin d x C x x ωωω∴-+=.⑶1[ln(1)]1x x'+=+ 1d[ln(1)]d 1x C x x∴++=+. ⑷22211(e )(2)e =e 22x x x ---'-=-⋅- 221d(e )e d 2x x C x --∴-+=.⑸(2)2x '=)C x∴=. ⑹2211(tan3)sec 33sec 333x x x '=⋅⋅= 21d(tan3)sec 3d 3x C x x ∴+=.⑺21111(ln )2ln ln 22x x x x x '=⋅⋅= 211d(ln )ln d 2x C x x x∴+=.⑻(1(2)x x '--=-=d()C x ∴=.2. 根据下面所给的值，求函数21y x =+的,d y y ∆及d y y ∆-：导数与微分微分的运算微分四则运算法则⑴ 当1,0.1x x =∆=时； 解：2222()1(1)2210.10.10.21d 2210.10.2d 0.210.20.01.y x x x x x x y x x y y ∆=+∆+-+=∆+∆=⨯⨯+==⋅∆=⨯⨯=∆-=-=. ⑵ 当1,0.01x x =∆=时. 解：222210.010.010.0201d 2210.010.02d 0.02010.020.0001.y x x x y x x y y ∆=∆+∆=⨯⨯+==⋅∆=⨯⨯=∆-=-= 3. 求下列函数的微分： 导数与微分微分的运算复合函数的微分⑴ e xy x =； ⑵ ln xy x=； ⑶y = ⑷ ln tan 5xy =；⑸ 286e xxy x =-； ⑹2(arctan )y x . 解：⑴ d (e )d e (1)d x xy x x x x '==+；⑵ 221ln ln 1ln d ()d ()d d x xx xx y x x x x x x ⋅--'===；⑶d d (siny x x x '==-=；⑷ ln tan ln tan 21d (5)d (ln 55sec )d tan xx y x x x x'==⋅⋅⋅ ln tan 12ln 55d sin 2xx x=⋅⋅； ⑸ 22d (86e )d [8(1ln )12e ]d xxxxy x x x x x '=-=+-； ⑹221d (arctan )]d 2arctan ]d .1y x x x x x '==⋅+； 4. 求由下列方程确定的隐函数()y y x =的微分d y ：导数与微分微分的运算 隐函数的微分⑴ 1e yy x =+； ⑵ 22221x y a b+=；⑶ 1sin 2y x y =+； ⑷ 2arccos y x y -=. 解：⑴ 对等式两端微分，得 d e d d(e )y y y x x =+ 即d e d e d y y y x x y =+于是e d d .1e yyy x x =- ⑵ 对等式两端微分，得22112d 2d 0x x y y a b ⋅+⋅= 得22d d .b x y x a y=-⑶ 对等式两端微分，得 1d d cos d 2y x y y =+ 解得2d d .2cos y x y=-⑷ 对等式两端微分，得2d d y y x y -=解得d .y x =5. 利用微分求下列各数的近似值： 导数与微分 微分在近似计算中的应用微分在近似计算中的应用⑴⑵ ln 0.99；⑶ arctan1.02.解：⑴113x≈+，有112(1) 2.0083380==≈⋅+⨯=.⑵利用近似公式ln(1)x x+≈，有ln0.99ln(10.01)0.0100.=-≈-⑶取()arctanf x x=，令1,0.02x x==，而21()1f xx'=+，则21arctan1.02arctan10.0211=0.7954.≈+⨯+6.设0a>，且b与n a相比是很小的量，证明：1.nbana-≈+导数与微分微分在近似计算中的应用微分在近似计算中的应用11xn≈+，有11(1)n nb ba an a na-=≈+⋅=+.7.利用一阶微分形式的不变性，求下列函数的微分，其中f和ϕ均为可微函数：导数与微分微分的运算微分四则运算法则⑴34(())y f x xϕ=+；⑵(12)3sin()y f x f x=-+.解：⑴3434d[()]d[()]y f x x x xϕϕ'=++34234=[()][34()]df x x x x x xϕϕ''++⑵d d(12)3dsin()y f x f x=-+=(12)d(12)3cos()d()(12)(2)d3cos()()d[2(12)3cos()()]d.f x x f x f xf x x f x f x xf x f x f x x'--+''=--+''=--+习题二1. 填空题（1）曲线ln y x =上与直线1x y +=垂直的切线方程为 1y x =- .导数与微分导数的应用切线方程（2）已知函数21arctan ,0,()0,0,x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩则(0)f '= 2π .导数与微分导数的运算复合函数求导法（3）设()f x '=2()xy f e =，则0d x y ==.导数与微分导数的运算复合函数求导法（4）设()y y x =是由方程sin 1ye x y -+=确定的隐函数，则0d x y ==12dx .导数与微分求导法则隐函数求导法（5）设sin sin cos x t y t t t=⎧⎨=+⎩，（t 为参数），则224d d t yx π=导数与微分求导法则高阶导数2.选择题（1）设函数2()(1)(2)(),xxnx y x e e e n =---其中n 是正整数，则()(0)y A '=（12年全国考研题第（2）题） 导数与微分 求导法则高阶导数A.1(1)(1)!n n --- B.(1)(1)!n n -- C.1(1)!n n -- D.(1)!n n -（2）设函数21()sin (0)f x x x x=<<+∞，()g x 为其导函数，则（ C ）.导数与微分导数的概念导数的定义A. ()g x 是x →+∞过程的无穷小量B. ()g x 是x →+∞过程的无穷大量C. ()g x 不是x →+∞过程的无穷小量，但在(0,)+∞内有界D. ()g x 不是x →+∞过程的无穷大量，但在(0,)+∞内无界 （3）设函数()f x 在0x =处连续，下列结论错误的是（ D ）.导数与微分 导数的概念 导数的定义 A.若0()limx f x x→存在，则(0)0f =.B.若0()()limx f x f x x →+-存在，则(0)0f =.C.若0()limx f x x→存在，则(0)f '存在 D.若0()()limx f x f x x→+-存在，则(0)f '存在（4）设函数()y f x =具有二阶导数，且()()0,0f x f x '''>>，x ∆为自变量x 在点0x 处的增量，y ∆与d y 分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若x ∆>0，则（ A ）.导数与微分 求导法则高阶导数A.0<d y y <∆B. 0<d y y <∆C.<d 0y y ∆<D. d <0y y <∆（5）设*n N ∈，函数()=n f x ()f x 在(,)-∞+∞内（ C ）.导数与微分 导数的概念 导数的定义A.处处可导B.恰有一个不可导点C.恰有两个不可导点D.至少有三个不可导点 3. 如果()f x 为偶函数，且(0)f '存在，证明(0)0f '=一元函数微分学 导数的概念解：()f x 是偶函数()()∴-=f x f x对上式两边同时求导可得：()()''--=f x f x令0=x 可得：(0)(0)''-=f f故(0)0'=f4. 求下列函数在0x 处的左、右导数，从而证明函数在0x 处不可导.导数与微分导数的概念左导数、右导数(1) 03sin ,0,0;,0,x x y x x x ≥⎧==⎨<⎩ (2) 10,0,0;1e 0,0,xx x y x x ⎧≠⎪==+⎨⎪=⎩(3) 021, 1.,1,x y x x x ≥==<⎪⎩证明：(1) 00()(0)sin (0)lim lim 1,0x x f x f xf x x+++→→-'===- 300()(0)(0)lim lim 0,0x x f x f x f x x---→→-'===- 因(0)(0)f f +-''≠，故函数在00x =处不可导. (2) 100()(0)1(0)lim lim 0,01e x x x f x f f x +++→→-'===-+ 100()(0)1(0)lim lim 1,01e x x x f x f f x ---→→-'===-+ 因(0)(0)f f +-''≠，故函数在00x =处不可导.(3) 11()(1)1(1)lim lim ,12x x f x f f x +++→→-'===- 211()(1)1(1)lim lim 2,11x x f x f x f x x ---→→--'===-- 因(1)(1)f f +-''≠，故函数在01x =处不可导. 5. 已知sin ,0,(),0,x x f x x x <⎧=⎨≥⎩求()f x '. 导数与微分 导数的运算 有参数方程确定的求导法解：当0x <时，()cos ,f x x '=当0x >时，()1,f x '= 当0x =时，0sin 0(0)lim 1,0x x f x --→-'==- 00(0)lim 1,0x x f x ++→-'==-故(0) 1.f '=综上所述知cos ,0,()1,0.x x f x x <⎧'=⎨≥⎩6. 设()()f x x a x ϕ=-,其中a 为常数，()x ϕ为连续函数，讨论()f x 在x a =处的可导性.导数与微分导数的概念导数的定义解：()()()()()lim lim ()()()()()()lim lim ()x a x a x a x a f x f a x a x f a a x a x af x f a a x x f a a x a x a ϕϕϕϕ++--+→→-→→--'===----'===---.故当()0a ϕ=时，()f x 在x a =处可导，且()0f a '= 当()0a ϕ≠时，()f x 在x a =处不可导. 7. 讨论下列函数在指定点的连续性与可导性:导数与微分 导数的概念 导数的定义 (1) sin ,0;y x x ==解：因为0,0lim 0x x y y =→==所以此函数在0x =处连续.又00()(0)sin (0)lim lim 1,0x x f x f xf x x---→→--'===-- 00()(0)sin (0)lim lim 1,0x x f x f xf x x+++→→-'===-(0)(0)f f -+''≠，故此函数在0x =处不可导. (2) 21sin ,0, 0;0,0,x x y x xx ⎧≠⎪==⎨⎪=⎩ 解：因为201lim sin0(0),x x y x→==故函数在0x =处连续.又2001sin()(0)(0)lim lim 00x x x f x f x y x x→→-'===-, 故函数在0x =处可导.(3) ,1, 1.2,1,x x y x x x ≤⎧==⎨->⎩解：因为1111lim ()lim(2)1lim ()lim 1x x x x f x x f x x ++--→→→→=-===11lim ()lim ()(1)1x x f x f x f +-→→===,故函数在x =1处连续. 又11()(1)1(1)lim lim 111x x f x f x f x x ---→→--'===--11()(1)21(1)lim lim 111x x f x f x f x x +++→→---'===---(1)(1)f f -+''≠，故函数在x=1处不可导.8. 已知2()max{,3}f x x =，求()f x '.导数与微分求导法则由参数方程确定的求导法解：23, (), x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩当x <时，()0f x '=,当x >时，()2f x x '=,2(((0,x x x f x f -+'===-'==故(f '不存在.又20,(x x x f f x -+'=='==+=故f '不存在. 综上所述知0, ()2, x f x x x ⎧<⎪'=⎨>⎪⎩9. 若11()e x x f x+=，求()f x '.导数与微分 求导法则 复合函数求导法解：令1t x=，则 1()et tf t +=,即1()ex xf x +=121()e(1)x xf x x+'=-. 10. 证明：双曲线2xy a =上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于22a .导数与微分导数的应用切线方程证明：在双曲线上任取一点00(,),M x y则222220, , x a a a y y y x xx =''==-=-，则过M 点的切线方程为：20020()a y y x x x -=--令220000002202x y x a y x x x x a a=⇒=+=+=得切线与x 轴的交点为0(2,0)x ，令2000000002x y a x y y y y x x =⇒=+=+=得切线与y 轴的交点为0(0,2)y ， 故 2000012222.2S x y x y a === 11. 已知()f x 在0x x =点可导，证明： 0000()()lim()()h f x h f x h f x hαβαβ→+--'=+ (,αβ为常数) .导数与微分 导数的概念 导数的定义证明： 000()()limh f x h f x h hαβ→+--000000()()()()limlim h h f x ah f x f x h f x h hβαβαβ→→+---=+-000()()()().f x f x f x αβαβ''=+'=+12. 垂直向上抛一物体，其上升高度与时间t 的关系式为：21()10(m),2h t t gt =-求：导数与微分 导数的概念 导数的定义 ⑴ 物体从t =1(s)到t =1.2(s)的平均速度： ⑵ 速度函数v (t )； ⑶ 物体何时到达最高.解：(1)11112 1.4410(1.2)(1)220.78 (m s )1.210.2g gh h v --⨯-+-===-⋅- (2) ()()10v t h t gt '==-. (3) 令()100h t gt '=-=,得10(s)t g =, 即物体到达最高点的时刻为10 s.t g=13. 设物体绕定轴旋转，在时间间隔[0,t ]内，转过角度θ，从而转角θ是t 的函数：()t θθ=.如果旋转是匀速的，那么称tθω=为该物体旋转的角速度.如果旋转是非匀速的，应怎样确定该物体在时刻0t 的角速度？ 导数与微分 导数的应用相关变化率解：设此角速度值为ω,则0000()()lim()t t t t t tθθωθ∆→+∆-'==∆.14. 设()Q Q T =表示重1单位的金属从0C ︒加热到C T ︒所吸收的热量，当金属从C T ︒升温到()C T T +∆︒时，所需热量为()(),Q Q T T Q T ∆=+∆-Q ∆与T ∆之比称为T 到T T +∆的平均比热，试解答如下问题： 导数与微分 导数的应用 相关变化率⑴ 如何定义在C T ︒时，金属的比热； 解：0()()lim()T Q T T Q T Q T Tν∆→+∆-'==∆⑵ 当2()Q T aT bT =+(其中a , b 均为常数)时，求比热. 解：()2Q T a bT ν'==+. 15. 求下列函数在给定点处的导数：导数与微分 求导法则复合函数求导法⑴ 1sin cos ,2y x x x =+求π4d d x y x=；⑵ 23(),55x f x x =+-求(0)f '和(2)f '； ⑶ 254, 1,()43, 1,x x f x x x x -≤⎧=⎨->⎩求(1)f '.解：(1)11sin cos sin sin cos 22y x x x x x x x '=+-=+π41ππππsin cos )24442x y ='=+=+(2)232()(5)5f x x x '=+-317(0) (2)2515f f ''== (3)211()(1)431(1)limlim 511x x f x f x x f x x +++→→---'===-- 11()(1)541(1)lim lim 511x x f x f x f x x ---→→---'===-- 故(1) 5.f '=16. 求下列函数的导数：导数与微分 求导法则复合函数求导法(1) y = (2) sin cos ny x nx =⋅； (3)y =(4)y =(5) ln cosarctan(sinh )y x =；(6)2arcsin (02a x y a a=>为常数）. 解：(1)12ln y x x '=⋅=; (2) 11sin cos cos sin (sin )sin cos(1)n n n y n x x nx x nx n n x n x --'=⋅+-⋅=⋅+；(3)y '==(4)2(1)(1)(1)x x y x -+--'==+ (5) 211[sin arctan(sinh )]cosh tanh cosarctan(sinh )1(sinh )y x x x x x '=⋅-⋅⋅=-+；(6)21(2)2x y x a '=-=.17. 若π1()1,(arccos )3f y f x '==，求2d d x y x=.导数与微分 微分的运算复合函数的微分解：22d 11(arccos )(()d d π11(d 344x y f x x x y f x='=⋅-'===18. 设()f x 可导，求下列函数y 的导数d d y x：导数与微分微分的运算复合函数的微分⑴ 2()y f x =； ⑵ 22(sin )(cos )y f x f x =+. 解：⑴22()y xf x ''=⑵222sin cos (sin )2cos (sin )(cos )y x xf x x x f x '''=+-22sin 2[(sin )(cos )]x f x f x ''=- 19. 已知()y f x =的导数2221()(1)x f x x x +'=++，且(1)1f -=，求()y f x =的反函数()x y ϕ=的导数(1)ϕ'.导数与微分 求导法则 复合函数的求导法解：1y =时1,x =-故221(1)()()21x x y f x x ϕ++'=='+, 从而22[1(1)(1)](1)12(1)1ϕ+-+-'==-⨯-+.20. 求下列函数的高阶导数： 导数与微分 求导法则高阶导数⑴ e sin ,x y x =⋅求(4)y ； ⑵ 3e ,x y x =⋅求(6)y ； ⑶ 2sin ,y x x =⋅求(80)y .解：⑴e sin e cos e (sin cos )x x x y x x x x '=⋅+⋅=+(4)e (sin cos )e (cos sin )2cos e 2e (cos sin )2e (cos sin )2e (sin cos )=4e sin x x x x x x x y x x x x x y x x y x x x x x''=++-=⋅'''=-=-+---333333323(4)333(5)333(6)233(13)3(13)3(69)9(69)3(2727)27(2727)3(10881)81(10881)3(405243)243(405243)3(1458x x xx x x x x x x x xx x x x x y e x e x e y e x e x e y e x e x e ye x e x ey e x e x e y e x e '=+⋅=+''=++⋅=+⋅'''=++⋅=+⋅=++⋅=+⋅=++⋅=+⋅=++⋅=⑵3729)xx e +⋅⑶ 80(80)2()(80)800()(sin )ii i i yC x x -==∑ 2(80)(79)(78)22(sin )802(sin )31602(sin )πππsin(80)+160sin (79)6320sin (78)222sin 160cos 6320sin .x x x x x x x x x x x x x x x =+⋅⋅+⋅⋅=⋅+⋅⋅+⋅++⋅=--21. 设()y f x =是由方程组2323,e sin 1,yx t t y t ⎧=++⎪⎨=+⎪⎩所确定的隐函数，求202d d t yx=.导数与微分 求导法则 隐函数求导法、高阶导数 解：分别对已知方程组的两边关于x 求导，得：d d 162,d d d d de sin e cos ,d d d y y t t t x x y y t t t xx x ⎧=⋅+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩再对x 求一次导，得2222222222d d d 06()62,d d d d d dy d d d (e )sin 2e cos e sin ()e cos ,d d d d d d y y y y xt t t t x x x y y t t t t t t t x x x x x x ⎧=++⎪⎪⎨⎪'=+⋅⋅-+⋅⎪⎩将00,1t t y===代入上述各式，得002022202d 1d e , ,d 2d 2d 3, d 4d e 3e.d 24t t t t t y x x t x y x =======-=- 22. 设函数()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且lim (),x af x A +→'=试证： ()f a A +'=. 导数与微分导数的概念 左导数、右导数证明：()()()lim x af x f a f a x a ++→-'=-()lim lim ()1x a x a f x f x A ++→→''===. 23. 设()f x 具有二阶连续导数，且(0)0f =，试证：(), 0,()(0), 0,f x xg x x f x ⎧≠⎪=⎨⎪'=⎩可导，且导函数连续.导数与微分 求导法则复合函数求导法证明：因()f x 具有二阶连续导数，故0x ≠时，()g x 可导,又002000()(0)()(0)(0)lim lim 0()(0)()(0)lim lim 2()(0)lim ,22x x x x x f x f g x g xg x xf x f x f x f x xf x f →→→→→'--'==-'''-⋅-==''''==故 ()g x 是可导的，且导函数为2()(), 0,()(0), 0, 2xf x f x x xg x f x '-⎧≠⎪⎪'=⎨''⎪=⎪⎩又因2()()lim ()limx x xf x f x g x x →→'-'=000()()()lim2()(0)lim lim (0) 22x x x f x xf x f x xf x fg →→→''''+-='''''===故()g x 的导函数是连续的.24. 求下列函数的高阶微分：导数与微分 微分的运算高阶微分⑴y =2d y ； ⑵ x y x =，求2d y ； ⑶ cos 2y x x =⋅，求10d y ； ⑷ 3ln y x x =⋅，求d n y ； 解：⑴d d y x x '==,2d d y x '=3222(1)d .x x -=+⑵ (ln )(ln )(1ln ).xy y y y x x x x '''===+ 21[(1ln )],xy x x x''=++故 2221d [(1ln )]d (0).xy x x x x x=++> ⑶ 由莱布尼兹公式，得1010(10)10()(10)101001091010d (cos 2)d [C cos 2]d 10π9[2cos(2)102cos(2π)]d 221024(cos 25sin 2)d .ii i i y x x x x x x x x x x x x x x -====++⋅⋅+=-+∑ ⑷ 由莱布尼兹公式，得3()13(1)23(2)33(3)31223124d [(ln )C ()(ln )C ()(ln )C ()(ln )]d (1)!(2)!(1)(3)![(1)3(1)6(1)2(1)(2)( +6(1)6n n n n n n n n n n n n n n n n y x x x x x x x x x n n n n n x n x x x x x n n n n ---------'''=⋅+⋅+⋅'''+⋅----=⋅-⋅+⋅⋅-⋅+⋅⋅----⋅⋅-334)!]d [(1)6(4)!]d .nn n n n x xn x x --=-⋅⋅-。

《高等数学》(北大第二版)第02章习题课

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《高等数学》(北大第二版)第02章习题课某存在，故只要证f(0)=0.分析需证证设limf(某)=A,则limf(某)=lim某f(某)=0A=0,某→0某→0某→0某某因为f(某)在某=0处连续，所以f(0)=limf(某)=0.某→0f(某)f(0)f(某)f′(0)=lim=lim=A 存在，即f(某)在某=0处可导.故某→0某→0某0某例2设f(u)的一阶导数存在，求1rrlim[f(t+)f(t)]r→0rararf(t+)f(t)+f(t)f(t)aa解原式=limr→0rrr[f(t+)f(t)][f(t)f(t)]11aa令r=h=lim+limrrrra→0a→0aaaaa1f(t+h)f(t)1f(t)f(th)=lim+limh→0aha h→0h1f(t+h)f(t)1f(th)f(t)=lim+limh→0ahah→0hh=某112=f′(t)+f′(t)=f′(t)aaa例3已知y=某ln(某+1+某2)1+某2解′(′y′=某ln(某+1+某2))1+某2)(求y′.某1+某2=ln(1+1+某)+某.某+1+某21+某221+某=ln(1+1+某)+2某1+某2某1+某2=ln(1+1+某2)例4求y=解某某某的导数.y=某111++248=某,所以278787′=某=y.888某练习:y=ln11+某,求y′.例5设y=a1某3某logb14arctan某2(a>0,b>0),求y′.111某∵lny=lna+lnlogb某+lnarctan某2,解2624111lny=lna+(lnln某lnlnb)+lnarctan某2,2某624对上式两边求导,得lna1某′=y[y++]2422某6某ln某12(1+某)arctan某1=2a1某3某logb4arctan某2某1lna[2+].42某3某ln某6(1+某)arctan某例6设y=y(某)由方程e某y+tg(某y)=y确定，求y′(0)解由方程知当某=0时y=1.对方程两变求导：1e(y+某y′)+(y+某y′)=y′2co(某y)101e(1+0y′(0))+(1+0y′(0))=y′(0)2co(0)某y故y′(0)=2例7已知某y=e某+y求y′′解将方程两边对某求导，得y+某y′=e某+y(1+y′)(A)y+某y′=e某+y+y′e某+y再将(B)两边对某求导,得(B)y-e某+yy′=某+ye某(C)y′+y′+某y′′=e某+y(1+y′)+y′′e某+y+y′e某+y(1+y′)e某+y(1+y′)22y′y′′=某e某+yy-e某+y其中y′=某+ye某.某=ln(1+t2),例7已知求y′,y′′,y′′′.y=tarctant.11(t-arctant)′1+t2=t,解y′==22t2(ln(1+t)′1+t2t()′1+t22y′′==,2′(ln(1+t))4t 1+t2()′t414ty′′′==3.(ln(1+t2))′8t例8设y=f2(某)+f(某2),其中f(某)具有二阶导数,求y′′.解y′=2f(某)f′(某)+f′(某2)2某.y′′=2[f′(某)]2+2f(某)f′′(某)+2f′(某2)+2某f′′(某2)2某=2[f′(某)]2+2f(某)f′′(某)+2f′(某2)+4某2f′′(某2).例9求下列函数的n阶导数y(n)(n>3).某41(1)y=;(2)y=2.21某某a 某41+11y==(某3+某2+某+1)1某1某n!(n).当n>3时,y=n+1(1某)1(2)y=2(练习).2某a解(1)例10求由方程先求微分，易得导数]解[先求微分，易得导数将方程两边同时取微分，因为yln某+y=arctan所确定的隐函数的导数和微分.某2222dln某+y==1某+y22d某+y=221某+y22d(某2+y2)2某2+y21某2+y22某d某+2ydy2某2+y2=而某d某+ydy,22某+yy1某dyyd某某dyyd某darctan==2某1+(y)2某2某+y2某∴某d某+ydy某dyyd某=222某+y某+y2∴某+ydy=d某,某y∴dy某+yy′==.d某某ya某ba某b例11设f(某)可导,求y=f(in某)+()()().的导数,b某aa其中,a>0,b>0,≠1,某≠0.ba某ba某b2解记y1=f(in某),y2=()()(),b某a′则y1=f′(in2某)2in某co某=in2某f(in2某).2lny2=某(lnalnb)+a(lnbln某)+b(ln某lna),a某ba某babaab′).∴y2=y2[(lnalnb)+]=()()()(ln+b某ab某某某例12设y=(ln某)某某ln某,求y′.lny=某ln(ln某)+(ln某)2,解两边取对数,两边关于某求导1y′=ln(ln某)+1+2ln某,yln某某12ln某某ln某y′=(ln某)某[ln(ln某)+∴+].ln某某练习：设(co某)y=(iny)某求y′例13解dy已知y=a+某,a>0为常数,(a≠1),求.d某arctan某2in某设y1=a,y2=某.arctan某2in某)′=lnaa(arctan某2)′1arctan某22′=lnaaarctan某22某.=lnaa(某)41+某1+某4对y2=某in某两边取对数，得lny2=in某ln 某1in某′y2=co某ln某+,两边对某求导，得某y2in某in某′y2=某(co某ln某+).某arctan某2arctan某2′y1=(a2-某,1<某<+∞,2例13设f(某)=某,0≤某≤1,某3,-∞<某<0.解第一步，在各开区间内分别求导：1,1<某<+∞;f′(某)=2某,0<某<1,3某2,-∞<某<0.求f′(某).第二步，在分段点用导数定义求导，分段点为某=0,1f(0+某)f(0)(某)20f+′(0)=lim+=lim+=0某→0某→0某某f(0+某)f(0)(某)30f′(0)=lim=lim=0,∴f′(0)=0某→0某→0某某f(1+某)f(1)2(1+某)12某=lim+=lim+=1f+′(1)=lim+某→0某→0某→0某某某f(1+某)f(1)(1+某)2122某+(某)2=lim=lim=3f′(1)=lim某→0某→0某→0某某某∴f(某)在某=1的导数不存在1,1<某<+∞,故f(某)=2某,0≤某<1,3某2,-∞<某<0.在某=1处f(某)不可导.某≤c,in某,例14设f(某)=c为常数a某+b,某>c.试确定a,b的值，使f′(c)存在.解因为f′(c)存在，所以f(某)在c处连续.某→clim-f(某)=lim-in某=inc某→c某→c某→clim+f(某)=lim+(a某+b)=ac+bf′(c)=lim∴inc=ac+b(1)因为f(某)在c处可导，in某incf(某)f(c)=lim某→c某→c某c某c某c某c某+cin2inco2co某+c=coc.22=lim=lim某→c某c某→c2某c2f(某)f(c)a某+binca某+b(ac+b)=a.f+′(c)=lim=lim=lim+++某→c某→c某→c某c某c某c所以，coc=a(2)解(1),(2)得，=coc,b=inc-ccoc.a某2,某≤1,习题2-115.设f(某)=a某+b,某>1.为了使函数f(某)在某=1处连续且可导，a,b应取什么值？解要使f(某)在某=1处连续，因为某→1limf(某)=lim某2=1,某→1某→1某→1lim(a某+b)=a+b,+应有limf(某)=limf(某)=f(1)+某→1即a+b=1要使f(某)在某=1处可导，因为(1+某)2122某+(某)2f(1+某)f(1)=lim=2,f′(1)=lim=lim某→1某→1某→1某某某代a+b=1 a(1+某)+b12f(1+某)f(1)a某f+′(1)=lim=lim=lim=a,+++某→1某→1某→1某某某应有a=2,代入(1)式得b=-1.6.假定f′(某0)存在，指出下式A表示什么？f(某)=A,其中f(0)=0,且f′(0)存在；某→0某f(某0+h)f(某0h)(3)lim=A.h→0h解(2)∵limf(某)=limf(某)f(0)=f(某0),某→0某→0某0某(2)lim∴A=f(某0).(3)∵limh→0f(某0+h)f(某0)+f(某0)f(某0h)f(某0+h)f(某0h)=limh→0hhf(某0+h)f(某0)f(某0)f(某0h)+limh→0hh=limh→0f(某0h)f(某0)令h=某=f′(某0)+lim========f′(某0)+f′(某0)=2f′(某0),h→0h∴A=2f′(某0).9.如果f(某)为偶函数，且f′(0)存在，证明f′(0)=0.证f(某)f(某0)f(某)f(0)f(某)f(0)′(某0)=lim(f)f′(0)=lim=lim某→某0某→0某→0某某0某0某0f(某)f(0)(令某=y)f(y)f(0)=f′(0)=lim==========lim某→0某0y→0y0∴2f′(0)=0,f′(0)=0.1例16设f(t)=limt(1+)2t某,求f′(t).某→∞某1某2t12t某解limt(1+)=limt[(1+)]=te2t某→∞某→∞某某f′(t)=(te2t)′=(2t+1)e2t.12某in,某≠0;例15求f(某)=某0,某=0一阶导数和二阶导数.11解当某≠0时,f′(某)=2某inco,某某12111f′′(某)=2inco2in.某某某某某当某=0时,用导数定义先求一阶导数,再来看二阶导数.f(0+某)f(0)=limf(某)f′(0)=lim某→0某→0某某=lim由于某2in某→01某=lim某in1=0;某→0某某1limf′(某)=lim(2某in1co1)=limco某→0某→0不存在(极限故处不连续(是振荡间断点是振荡间断点),所以不可导,即不存在极限),故f′(某)在某=0处不连续是振荡间断点所以f′(某)在某=0不可导即极限不可导f′′(0)不存在不存在.某某某→0某1g(某)co,某≠0,例16设f(某)=某0,某=0.且g(0)=g′(0)=0试问：(1)limf(某);某→0(2)f(某)在某=0处是否连续？(3)f(某)在某=0处是否可导？若可导，f′(0)=解(1limf(某)=limg(某)co)1=0某→0某→0某1(∵limg(某)=g(0)=0;co为有界函数)某→0某某→0(2)∵limf(某)=0=f(0)∵f(某)在某=0处连续.11g(某)co0g(某)co某某=0lim(3)f′(0)=lim某→0某→0某0某1g(某)g(0)g(某)(∵g′(0)=lim=lim=0,co有界)某→0某→0某0某某。