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数学建模数学实验插值及案例在科学研究和工程实践中，数学建模扮演着至关重要的角色。
通过建立数学模型，我们可以对现实世界的现象进行模拟和预测。
其中，插值方法是一种重要的数学建模工具，用于估计在给定数据点之间的未知值。
本文将探讨插值方法的基础理论以及一个具体的数学实验案例。
插值方法是一种数学技术，通过在给定的数据点之间估计未知的值。
最常用的插值方法包括线性插值、多项式插值和样条插值等。
线性插值是最简单的插值方法，它将数据点之间的变化视为线性的，即变化率保持恒定。
多项式插值方法则通过构建一个多项式函数来逼近数据点的变化趋势。
样条插值则通过将数据点连接成平滑的曲线来进行插值。
本案例将利用多项式插值方法对房价进行预测。
我们收集了一组房屋价格数据，包括房屋的面积、房龄、位置等信息。
然后，我们使用多项式插值方法构建一个函数来描述房价与这些因素之间的关系。
通过调整多项式的阶数，我们可以控制模型的复杂性。
我们使用该模型来预测新的房价。
在本案例中，我们使用了200个样本数据进行训练，并使用另外100个数据点进行测试。
我们发现，通过增加多项式的阶数，模型的预测精度可以得到提高。
然而，当阶数增加到一定程度后，模型的性能改善不再明显。
我们还发现模型的预测结果对训练数据的分布非常敏感，对于分布偏离较大的新数据点，预测结果可能会出现较大误差。
通过本次数学实验，我们深入了解了插值方法在数学建模中的应用。
在实际问题中，插值方法可以帮助我们更好地理解数据的变化趋势和预测未知的值。
然而，插值方法也存在一定的局限性，如本实验中模型对训练数据分布的敏感性。
未来工作中，我们可以尝试采用其他更加复杂的模型，如神经网络、支持向量机等来提高预测精度。
我们还应充分考虑数据的分布特性，以提高模型的泛化能力。
插值方法是数学建模中的重要工具之一，它可以让我们更好地理解和预测数据的趋势。
通过本次数学实验，我们深入了解了多项式插值方法的工作原理和实现过程，并成功地将其应用于房价预测问题中。
数学建模13道题1.某投资者有40000美元用于投资，她所考虑的投资方式的收益为：储蓄利率7%，市政债券9%，股票的平均收益为14%，不同的投资方式的风险程度是不同的。
该投资者列出了她的投资组合目标为：1）年收益至少为5000美元； 2）股票投资至少为10000美元；3）股票投资额不能超过储蓄和市政债券投资额之和；4）储蓄额位于5000-15000美元之间； 5）总投资额不超过40000美元。
2.用长8米的角钢切割钢窗用料。
每副钢窗含长1.5米的料2根，1.45米的2根，1.3米的6根，0.35米的12根，若需钢窗100副，问至少需切割8米长的角钢多少根？3.某照相机厂生产12,A A 两种型号的相机，每台12,A A 型相机的利润分别为25元和40元，生产相机需要三道工序，生产两种不同型号的相机在不同的工序所需要的工作时间（单位：小时）如下表所示：工序相机类型机身制造零件装配检验包装1A 0.1 0.2 0.1 2A0.70.10.3此外三道工序每周可供使用的工作时间为机身制造有150小时，零件装配有250小时，检验包装有100小时，而市场需要12,A A 型相机每周至少为350台和200台，该工厂应如何安排生产，才能使得工厂获得最大利润？4.某饲料公司生产饲养雏鸡，蛋鸡和肉鸡的三种饲料，三种饲料都是由A,B,C 三种原料混合而成，具体要求，产品单价，日销售量表如下：原料A 原料B 原料C 日销量（t ）售价（百元/t ）雏鸡饲料不少于50% 不超过20%5 9 蛋鸡饲料不少于30%不超过30% 18 7 肉鸡饲料不少于50%10 8 原料价格（百元/t ） 505 4 5受资金和生产能力的限制，每天只能生产30t ，问如何安排生产计划才能获利最大？5.某公司用木头雕刻士兵模型出售。
公司的两大主要产品类型分别是“盟军”和“联军”士兵，每件利润分别为28美元和30美元。
制作一个“盟军”士兵需要使用2张木板，花费4小时的木工，再经过2小时的整修。
例1 (任务安排)某厂计划在下月内生产4种产品B1，B2，B3，B4。
每种产品都可用三条流水作业线A1，A2，A3中旳任何一条加工出来．每条流水线（Ai）加工每件产品（Bj）所需旳工时数(i＝1,2,3,j=1,2,3,4)、每条流水线在下月内可供运用旳工时数及多种产品旳需求均列表于4.1中．又A1，A2，A3三条流水线旳生产成本分别为每小时7，8，9元。
现应怎样安排各条流水线下月旳生产任务，才能使总旳生产成本至少？例2 (外购协议)某企业下月需要B1，B2，B3，B4四种型号旳钢板分别为1000，1200，1500，2023吨。
它准备向生产这些钢板旳A1，A2，A3三家工厂订货。
该企业掌握了这三家工厂生产多种钢板旳效率（吨/小时）及下月旳生产能力（小时），如表4.2所示。
而它们销售多种型号钢板旳价格如表4.3所示。
该企业当然但愿能以至少旳代价得到自己所需要旳多种钢板，那么，它应当向各钢厂订购每种钢板各多少吨？假设该企业订购时采用如下原则，要么不订购，要么至少订购100吨以上。
该怎样处理这个问题。
若至少订购50吨，怎样处理？例3 (广告方式旳选择) 中华家电企业近来生产了一种新型洗衣机．为了推销这种新产品，该企业销售部决定运用多种广告宣传形式来使顾客理解新洗衣机旳长处。
通过调查研究，销售部经理提出了五种可供选择旳宣传方式．销售部门并搜集了许多数据。
如每项广告旳费用，每种宣传方式在一种月内可运用旳最高次数以及每种广告宣传方式每进行一次所期望得到旳效果等．这种期望效果以一种特定旳相对价值来度量、是根据长期旳经验判断出来旳．上述有关数据见表4．8中华家电企业拨了20230元给销售部作为第一种月旳广告预算费、同步提出，月内至少得有8个电视商业节目，15条报纸广告，且整个电视广告费不得超过12023元，电台广播至少隔日有一次，现问该企业销售部应当采用怎样旳广告宣传计划，才能获得最佳旳效果?例4 长城家电企业近来研制了一种新型电视机．准备在三种类型旳商场即一家航空商场、一家铁路商场和一家水上商场进行销售．由于三家商场旳类型不同样，它们旳批发价和推销费都不同样。
金融衍生品定价的数学建模与实践金融衍生品是一类金融工具，其价格不仅取决于市场内在价值，还与各种因素之间的关系以及预期未来的变化密切相关。
在金融市场中，衍生品价格的波动性较强，其变化可能导致投资者遭受重大损失。
因此，在金融衍生品市场中，正确的定价模型具有重要意义。
金融衍生品定价的数学建模，就是依据市场上的交易数据和证券价格，将股票和债券等金融资产之间的关系进行抽象，结合贝叶斯原理、微积分和随机过程等数学工具，建立起相应的定价公式或者模型，从而得到金融衍生品的合理价格区间。
定价理论的基础是假设市场是无偏的、完备的和理性的。
然而，实际市场中存在着许多大量的信息获取和传递的成本，投资者自身的不完全理性等因素，这些都会影响到金融衍生品在市场中的表现。
因此，在实践中，定价模型要考虑到市场的特殊情况，适当地进行修正。
最基本的金融衍生品定价模型是Black-Scholes模型，该模型是基于布朗运动理论的。
其核心思想是将金融资产的市场价格视为一个布朗运动过程，利用伊藤引理对其进行分析。
根据这个模型，可以得到期权价格和市场价格、期限、无风险利率、股票价格、波动率等参数之间的函数关系。
这个模型得到了广泛的应用，特别是在欧式期权的定价中表现出色。
然而，实际市场中，股票价格的波动性、利率变化、市场风险溢价等因素的变化使得其预测精度下降。
因此，Black-Scholes模型需要结合其他模型来进行修正和实现对实际市场的适应。
这些改进模型包括渐进式Log-Normal模型、滑动窗口模型、Heston模型、补正模型等。
其中，Heston模型是一种目前应用较多的改进模型。
在Heston模型中，波动率不再是一个固定的参数，而是一个随时间变化的随机变量，并且随股票价格有一定的关系。
这个模型不仅可以适应实际市场，而且可以处理一些非欧式期权的定价问题。
除了基于数学建模的模型外，金融界还广泛使用基于蒙特卡洛模拟的方法进行金融衍生品定价。
这种方法以模拟金融资产价格的变化为基础，通过模拟出从当前时间到期限时间各时间点的资产价格情况，然后计算出不同情况下收益的期望值。
新教育 上旬刊59善于建立数学模型，提升数学建模素养◎海南省陵水黎族自治县陵水中学 赵李三【摘要】数学建模是数学的核心素养，是解决实际问题的有效方式。
而函数、数列、不等式、解三角形等内容与实际问题有着密切联系，因此要探究函数、数列、不等式、解三角形等模型，建立数学世界与现实生活的桥梁，应用数学知识方法解决实际问题，发展提升学生数学建模素养。
【关键词】数学模型；建模素养；数学知识方法高中学生学过的函数、数列、不等式、解三角形等内容与实际问题有着密切联系，建立数学模型能有效解决与此相关的实际问题。
在实际的问题情境中，教师要引导学生从数学的视角发现问题、提出问题、分析问题、建立模型、确定参数、计算求解、检验结果、改进建模，最终解决实际问题。
下面结合笔者自身的教学实践，谈谈如何建立函数、数列、不等式、解三角形模型，发展提升数学建模素养。
一、建立函数模型，提升学生数学建模素养1.根据已知数据，建立函数模型，解决实际问题，提升学生数学建模素养函数应用的教学，要充分发挥好教科书的例题与习题作用，让学生参与函数建模，尤其是已知数据的问题，要引导学生对已知数据进行分析，抓住数量关系与等量关系，注意常量、变量，注意问题中量与量之间变化的基本特征及变化规律，恰当选择所学的函数模型来表达，建立函数模型，活用函数知识解题，提升学生数学建模素养。
问题1：某桶装水店，进价是10元两桶水，每天工作人员工资等固定成本是200元，经营情况如下表1。
此店每桶水定价多少元时才能获得最大利润？表1 某桶装水店经营情况单价（元）6789101112日销量（桶）480440400360320280240学生建模：根据以上表格已知数据发现什么问题，要求获利最大值，应用哪些知识，需要知道哪些量，注意成本有哪些量，注意数量关系：总价、单价、数量之间的关系；特别是从表中发现问题：单价的变化与销售量的变化存在着一定的规律，抓住数据中的单价变化引起销售量的减少。
科院7组：蔡光达、王奇、鲁成组合投资问题摘要本文讨论了投资的风险和收益问题，建立了投资的单目标和多目标决策模型，并将多目标决策问题转化为单目标的决策模型，采用线性规划问题求解以解决公司的投资组合问题。
利用线性规划和灰色预测模型对公司五年投资过程中的投资的收益和风险分别进行了评估预测，求出了在不同的投资环境下第五年末的最大利润数值。
针对问题一：本文以第五年所得总金额为目标函数，应用线性规划理论建立了单目标优化模型，并运用Lingo软件求得第五年所得总金额的最大值：374140.5万，则第五年的最大利润：174140.5万。
针对问题二：本文分别对独立投资和同时投资这两种情况进行分析，对题中表2和表3进行了处理，算出来各项目每一年的到期利润率，分别以到期利润率的时间响应函数和标准差为目标函数建立了模型，运用灰色系统理论对上述两种投资方式近五年的各项目到期利润率进行预测，通过Matlab软件求得了两种不同投资方式的近五年各项目到期利润率预测结果（具体数据见表7.2和表7.3）和各项目标准差（具体数据见表7.5和7.6），并对预测结果进行了级比偏差检验，检验结果显示此时预测结果精度较高。
针对问题三：本文综合考虑了独立投资和同时投资这两种情况，同样以第五年的所得总金额为目标函数，并建立了单目标优化模型，通过Lingo软件求得第五年所得总金额的最优值：558422.0万，则第五年的最大利润358422.0万。
针对问题四：以题三中标准差最大值表示投资最大风险损失率，为此分别以第五年最大总金额和最小风险损失费为目标函数建立了多目标线性优化目标函数，比运用Lingo软件求得：当8.0s时，可得第五年总金额最大值：569975万,=则第五年的最大利润369975万。
针对问题五：假设一部分资金存入银行获取利息，并向银行贷款进行其他项目投资，然后根据题四方法和思想，运用Lingo软件求得：当3.0s时，可得第=五年总金额最大值：79582.4万,则第五年的最大利润59582.4万。
基金公司投资问题模型摘要：针对投资公司提出的问题，首先求出每支股票过去若干年的时间加权年收益率，对其求均值和方差，利用变异系数从各种投资股票中选出最有投资价值的股票和投资价值较高的10支股票。
接下来根据2012年最后两个月股票每日价格的上涨（下跌）计算一步转移概率矩阵，利用马尔柯夫随机过程理论预测2013年每支股票的上涨概率。
其次参照层次分析法的求解模型，权衡收益率和风险，对这10支股计算合理的投资权重，做出10种股票的最佳投资策略，合理分配投资金额，降低投资风险，获得更大的效益。
最后在已知预期收益率的前提下，根据马克维兹的均值——方差模型，问题可转化为二次规划求解，利用LINGO软件求出最终结果。
关键字：时间加权收益率变异系数马尔柯夫随机过程理论层次分析法马克维兹的均值——方差模型二次规划基金公司投资问题模型一、问题重述某基金管理公司现有50000万元于2013年1月1日投资附表1中列出的50种股票，于2013年12月31日之前全部卖出所持有的股票。
请你为该基金公司提出投资方案。
公司经理要求回答以下问题：1. 以我国经济形势与行业变化的分析为背景，从附表所罗列的50种股票寻中 寻找一个你认为最有投资价值的股票做一估值报告。
2. 从附表所罗列的50种股票选出10种股票进行投资，请你预估这10种股票2013年的上涨幅度或者通过其他途径获取这10种股票的上涨幅度。
3. 通过建立数学模型确定最优投资组合的决策，也就是确定在选出的10种股票的分别投资多少万元投资组合的总风险是多少4. 基金公司经理要求至少获得25%预期收益，最小风险是多少5. 请你为基金公司经理撰写一份投资报告。
二、模型假设与符号说明模型假设1. 投资期间社会政策无较大变化经济发展形势较稳定；2. 投资期间的交易费用不计；3. 基金公司在年初投资股票，年末获得收益，期间不的撤资或追加投资；4. 基金投资公司期望收益率（亦称收益率均值）来衡量未来实际收益率的 总体水平，以收益率的方差（或标准差）来衡量收益率的不确定性（风险），因而投资公司在决策中只关心投资的期望收益率和方差。
5. 投资公司都是不知足的和厌恶风险的，遵循占优原则，即：在同一风险水平下，选择收益率较高的股票；在同一收益率水平下，选择风险较低的股票。
符号说明i S （i=1,2,...n ） ：各种可投资的股票 ()i S E ：i S 若干年的收益率的均值（期望收益率） ()i D σ ：i S 若干年的收益率的方差i CV ：i S 的变异系数（亦称方差系数、标准差系数、标准离差率）μ：期望收益率向量 ∑：协方差矩阵ij C ：协方差矩阵∑的第i 行第j 列的元素n Y ：一种股票的第n 天的价格 T P ：股票价格的一步概率转移矩阵 A ：回报风险判断矩阵 m ax λ：A 的最大特征值 X ：m ax λ对应的特征向量 W ：X 的归一化向量的转置 1B ：10个投资项目的回报判断矩阵 2B ：10个投资项目的风险判断矩阵 1P ：1B 对应的最大特征值的特征向量 2P ：2B 对应的最大特征值的特征向量 F ：已知投资权重的风险值2min σ：已知收益率情况下的风险值三、问题分析证劵投资者最关心的问题是投资收益率的高低及投资风险的大小。
由于投资的收益率受证券市场波动的影响因而可以将其看作一个随机变量。
我们用一定时期（一年）内股票的时间加权收益率X 的期望值E(X)来衡量该种股票投资的获利能力，期望值越大，股票的获利能力越强；股票的风险用该种股票投资收益率的方差D(X)（收益的不确定性）来衡量，方差越小，投资的风险越小。
投资者在选择投资策略时，有三种情况：（1）投资公司只能在既定收益率的情况下使投资风险尽可能小的投资策略；（2）公司在愿意承受的风险水平的情况下追求使收益率尽可能大的投资目标；（3）权衡收益与风险的利弊，综合考虑。
降低风险的有效途径是组合投资方式。
由于已知的数据和该公司的情况有限，综合各种因素，将第三种作为首选的投资方案。
问题(1)和问题(2)的分析最有投资价值的股票即时间加权收益率的期望值E(X)大且方差D(X)小且投资方向与我国未来经济形势大致相符的股票。
从每支股票过去若干年的数据中算出每年的时间加权收益率（下面简称收益率），然后计算出它们的期望，即期望收益率。
再计算出它们的方差，从而得出标准差。
最后用股票变异系数对股票进行排序。
股票变异系数=时间加权收益率的标准差/期望收益率，且股票变异系数越小，表示股票相对风险小，收益率高，越有投资价值。
预测股票未来的上涨幅度，我我们用马尔柯夫随机过程理论进行预测。
问题（3）和(4)的分析问题(3)：确定投资的10支股票后，若想合理分配投资资金，需通过适当的方法计算出每支股票的权重，根据权重乘以总投资额，即得该股票的投资金额。
该问题可通过层次分析法计算股票的投资权重，从而解决问题。
问题(4)：在预期收益不低于25%的情况下使股票投资的风险最小，可采用著名的马克维兹均值—方差模型。
由于均值—方差模型是一个二次规划问题，可用现成的的软件（如）进行求解。
四、模型建立与求解问题（1）和（2）的模型建立与求解由对问题（1）和（2）分析，通过对每支股票过去若干年数据，利用复利的思想，计算出每年的时间加权收益率，公式(1)如下:)()()()(1111......11R 121T -+=-+++=∏=nt t n R R R R （1）其中T R 为每支股票每年的时间加权收益率，t R 为股票日收益率。
一支股票过去若干年的收益率的期望()i S E （i 表示第i 支股票） 一支股票过去若干年的加权收益率的方差()i D σ （i 表示第i 只支票） 在知道每支股票收益率的期望()i S E 和方差()i D σ后，给出一个变异系数CV ，用它来度量股票的相对风险。
计算公式如下：()()i i i S E D CV σ==期望收益率标准差（2）CV表示第i支股票的变异系数。
i为了筛选出最具投资价值的股票，由投资价值的俩个因素：收益率高（期望收益率度量）和风险小（方差度量），计算出每支股票的CV，找出最具投资价值的十支股票。
由于给出原始数据的年份不统一，我们截取重叠年份较多即2008--2012年的数据，则对原始数据处理后得出表（1）。
由上表数据给出筛选的标准：若i CV <0,表示近些年该股票的收益下降，排除；i CV >0且越趋向1，表示该股票变异特性弱，风险小，收益率高。
所以， 选择股票600000浦发银行作为2013年最有投资价值的股票。
十支股票的上涨幅度建立模型与求解：我们要预计股票的上涨幅度，可根据转移概率矩阵，用马尔柯夫预测方法进行预测。
设n Y 表示一种股票的第n 天的价格，令1n D --=n n Y Y ，以-1，0，1分别表示n D <，，<=n D <=，n D >。
连续观察该种股票2014年的最后40天的变化。
假设｛n D ，n>=1}具有齐次马尔柯夫性，求｛n D ，n>=1}的一步转移概率矩阵。
其中 该日成交量该日成交额=n Y假设40个数据中-1→-1有a 次，-1→0有b 次，-1→1有c 次， 0→-1有d 次，0→0有e 次，0→1有f 次， 1→-1有g 次，1→0有h 次，1→1有i 次。
所以，｛n D ，n>=1}的一步转移概率矩阵⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧++++++++++++++++++=i h g i i h g h i h g g f e d f f e d e f e d d c b a cc b a b c b a a T P当n 比较大时，⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=l kj l k jl k j nTP ，即按照这个趋势发展下去，长期趋势比较稳定，其中：j 表示该股票下跌的概率； k 表示该股票持平的概率； l 表示该股票上涨的概率；由统计的数据对每支股票运用该模型预测出2013每支股票股票的上涨幅度， 如表（2）。
问题（3）和（4）的模型建立与求解画层次结构图：目标层准则层方案层其中1~10首先我们在准则层对方案层进行赋权（由统计数据得到的回报风险比重），我们采用两两比较判断法：在这张表中，a12=2/1,它表示回报与风险对投资比例的选择这个目标来说的重要之比为2:1.由此我们得到一个比较判断矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡= 1.0000 2.6660 0.37511.0000A并称之为正互反矩阵。
N 阶正互反矩阵()n n ij a A *=的特点是：1,/1;0==>ii ji ij ij a a a a ()n j i ,,2,1, =正互反矩阵一定存在一个最大的正特征值 m ax λ ，并且m ax λ所对应的特征向量 X 为正向量。
即 X AX max λ=，将 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡= 0.9363 0.3512X 归一化变为权向量 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡= 0.7272 0.2728W 。
[v,d]=eig(X)可求出最大特征值 2m ax =λ ，对应的特征向量经过归一化得，[]TW 0.7272 0.2728= 就是准则层对目标层的排序向量。
用相同的方法，给出第三层（方案层）对第二层（准则层）的每一准则比较判断矩阵，由此求出各排序向量（最大特征值所对应的特征向量并归一化）B1=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡ 1.0000 0.8715 1.9346 0.9788 1.8286 1.6563 0.9773 0.7687 3.3004 0.1573 1.1474 1.0000 2.2198 1.1231 2.0981 1.9004 1.1213 0.8820 3.7869 0.1805 0.5169 0.4505 1.0000 0.5060 0.9452 0.85610.5052 0.3973 1.7060 0.0813 1.0216 0.8904 1.9765 1.0000 1.8681 1.6921 0.9984 0.7853 3.3718 0.1607 0.5469 0.4766 1.0580 0.5353 1.0000 0.9058 0.5344 0.4204 1.8049 0.0860 0.6038 0.5262 1.1680 0.5910 1.1040 1.0000 0.5900 0.4641 1.9927 0.0950 1.0233 0.8918 1.9796 1.0016 1.8711 1.6948 1.0000 0.7866 3.3772 0.1610 1.3009 1.1338 2.5167 1.2733 2.3788 2.1546 1.2713 1.0000 4.2935 0.2047 0.3030 0.2641 0.5862 0.2966 0.5540 0.5018 0.2961 0.2329 1.0000 0.0477 6.3563 5.5397 12.2976.2218 11.623 10.527 6.2119 4.8862 20.978 1.0000B2=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡ 1.0000 0.8738 2.0304 0.9533 1.4495 1.5090 0.7801 0.6437 3.0409 0.3873 1.1445 1.0000 2.3237 1.0910 1.6589 1.7270 0.8928 0.7367 3.4801 0.4433 0.4925 0.4303 1.0000 0.4695 0.7139 0.7432 0.3842 0.3170 1.4977 0.1908 1.0490 0.9166 2.1299 1.0000 1.5206 1.5830 0.8183 0.6752 3.1899 0.4063 0.6899 0.6028 1.4007 0.6577 1.0000 1.0411 0.5382 0.4441 2.0978 0.2672 0.6627 0.5790 1.3455 0.6317 0.9606 1.0000 0.5169 0.4266 2.0151 0.2567 1.2819 1.1201 2.6028 1.2220 1.8581 1.9344 1.0000 0.8252 3.8981 0.4965 1.5535 1.3574 3.1543 1.4809 2.2519 2.3443 1.2119 1.0000 4.7241 0.6017 0.3289 0.2873 0.6677 0.3135 0.4767 0.4962 0.2565 0.2117 1.0000 0.1274 2.5817 2.2558 5.2419 2.46113.7422 3.8959 2.0140 1.6618 7.8506 1.0000和P1=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡ 0.0724 0.0830 0.0374 0.0739 0.0396 0.0437 0.0740 0.0941 0.0219 0.4599 P2=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡ 0.0927 0.1061 0.0457 0.0973 0.0640 0.0614 0.1189 0.1441 0.0305 0.2394最后，我们将由各准则层对目标的权向量W 和各方案对每一准则的权向量，计算各方案对目标的权向量，称为组合权向量。
