4-5多缝夫琅禾费衍射和衍射光栅
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夫琅禾费衍射现象的观察和定量研究
激光器 光线
衍射狭缝
接收器
控制箱
USB
计算机
仪器摆放示意图 计算机控制系统操作方法 1. 工作界面介绍 进入系统后，首先弹出如图 10 的友好界面，等待用户单击鼠标或键盘上的任意键；当接收到鼠标、 键盘事件或等待五秒钟后显示工作界面，同时弹出初始化对话框（图 11） 。
图 11 图 10 当初化对话框消失后，就可以在 SGS-1 软件平台上工作了。 2. 功能介绍 (1) 基本设置 s 工作参数→起始位置：设定扫描或显示的位置起点。 s 工作参数→终止位置：设定扫描或显示的位置终止点。 s 工作参数→最大值：设定扫描的起始最大值或显示光强（相对）的最大值。 s 工作参数→最小值：设定扫描的起始最小值或显示光强（相对）的最小值。 s 工作参数→工作区刷新：工作区屏幕刷新。 s 工作参数→增益：设置放大器增益，有１－８挡可供选择。 s 工作参数→采集次数：设置每个数据的采样次数，取平均后记录下来。 s 寄存器：修改各寄存器的画线颜色。 (2) 寄存器信息 在寄存器信息显示区中显示了各寄存器的主要信息： 寄存器：显示寄存器的序号。 数据： “ ”表示寄存器中有数据，“ ”表示寄存器中无数据 显示：寄存器中保存的谱线是否处于可视状态。 点击详细信息按钮，弹出“寄存器信息”对话框。在“寄存器”下拉列表框中选择寄存器，下面的列 表框中将列出该寄存器的详细信息。点击对话框右上角的“ (3) 当前寄存器 ”按钮，关闭对话框。
由式（8） 、 （9）可知，矩形孔衍射的相对强度 I(p)／I0 是两个单缝衍射因子的乘积。
图 4 矩形孔的夫琅禾费衍射示意图 3、 多缝夫琅禾费衍射强度公式
图 5 多缝间的干涉
如图 5 是多缝的示意图，每条缝的宽度均为 a，两条缝的中心距均为 d。每个单缝的衍 射强度仍与式（1）和式（2）一致。多缝与单缝衍射的最大区别在于每条缝之间存在干涉。 对相同的衍射角 θ，相邻两缝间的光程差均为 ∆L = d × sin θ ，如缝的数目为 N，则干涉引 起的强度分布因子为：
夫琅禾费衍射实验报告
dsinu??在单缝衍射因子具有极大值的地方即在???0的地方duu??除了在u???0处出现衍射主极强外还在一系列位置上出现衍射的次极强
[实验题目]
夫琅禾费衍射的定量研究
[实验目的]
1、掌握在光学平台上组装、调整光路的基本方法； 2、观察并定量测定不同衍射元件产生的光衍射图样； 3、学习微机自动控制和测量衍射光强的分布及其相关参量。
[实验内容]
1、掌握在光学平台上组装、调试产生夫琅禾费衍射的光路； 2、 定量研究单缝衍射图样分布规律 （光强比、 对称性、 缝宽等） ， 统一取第二排第四列的单狭缝（缝.宽 b=175μm） ； 3、定量研究三缝衍射光强分布，计算缝间距和缝宽(缝宽 b=40 μm,缝间距 d=90μm)，定性分析干涉和衍射的相互关系； 4、定性观察 10 个不同衍射屏衍射的光强分布。
2
2
表示衍射光场任意方向的相对光强。
单缝衍射光强分布的特点： 单缝的夫琅禾费衍射图样的中心有一 个主极强(零级衍射斑)，两侧都有一系列次极强和暗斑。主极强出现 在 sin
0 的地方， 原因是到这里的各条衍射光线有相同的
相位，它们相干叠加的结果具有最大的光强。 几何光学中的光线就是零级衍射线， 几何光学中的象点就是零级 衍射斑的中心。 在单缝衍射因子具有极大值的地方， 即在
一、单缝衍射 计算光强比： 背景光： I p
I 3 I 4 4 15 9.5 2 2
I1 I 2 175 172 1.83%( 10%) . 对称性要求： I I 172 175 1 2 Ip 9.5 2 2
4
主极强位置与缝数目 N 无关，但 N 越大，主极强宽度越小；相 邻主极强之间有 N-1 个暗纹和 N-2 个次极强；光强分布的外部轮廓 （包络线型）与单缝衍射的形状相同，这是单缝衍射因子的作用。
[实验题目]
夫琅禾费衍射的定量研究
[实验目的]
1、掌握在光学平台上组装、调整光路的基本方法； 2、观察并定量测定不同衍射元件产生的光衍射图样； 3、学习微机自动控制和测量衍射光强的分布及其相关参量。
[实验内容]
1、掌握在光学平台上组装、调试产生夫琅禾费衍射的光路； 2、 定量研究单缝衍射图样分布规律 （光强比、 对称性、 缝宽等） ， 统一取第二排第四列的单狭缝（缝.宽 b=175μm） ； 3、定量研究三缝衍射光强分布，计算缝间距和缝宽(缝宽 b=40 μm,缝间距 d=90μm)，定性分析干涉和衍射的相互关系； 4、定性观察 10 个不同衍射屏衍射的光强分布。
2
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表示衍射光场任意方向的相对光强。
单缝衍射光强分布的特点： 单缝的夫琅禾费衍射图样的中心有一 个主极强(零级衍射斑)，两侧都有一系列次极强和暗斑。主极强出现 在 sin
0 的地方， 原因是到这里的各条衍射光线有相同的
相位，它们相干叠加的结果具有最大的光强。 几何光学中的光线就是零级衍射线， 几何光学中的象点就是零级 衍射斑的中心。 在单缝衍射因子具有极大值的地方， 即在
一、单缝衍射 计算光强比： 背景光： I p
I 3 I 4 4 15 9.5 2 2
I1 I 2 175 172 1.83%( 10%) . 对称性要求： I I 172 175 1 2 Ip 9.5 2 2
4
主极强位置与缝数目 N 无关，但 N 越大，主极强宽度越小；相 邻主极强之间有 N-1 个暗纹和 N-2 个次极强；光强分布的外部轮廓 （包络线型）与单缝衍射的形状相同，这是单缝衍射因子的作用。
物理光学 衍射光栅
光栅面法线
d
R1
斜入射时光栅方程
i
R2
＝d (sin sin i) m
光线位于光栅法线异侧
光栅面法线
i
d
R1
R2 ＝d (sin sin i) m
光线位于光栅法线同侧
2、光栅的色散本领(衡量物理量)
d sin m
由光栅方程可知波长 λ 越小，衍射角 θ 越小。因此， 随着级次的增高，会出现不同级次的光谱线重叠现象。
解决的方法是：衍射的极大方向变换到高级谱线上
——闪耀光栅
光栅面法线与刻划面 法线分开，使光强度
栅面法线
的分布发生改变。
g
i
衍射面
g
1、光强度分布最大的 方向满足反射定律：
=
a d
2、衍射级次应由光栅方程决定
由 ＝d (sin sin i) m, 知衍射零级方向为 = i
3、光栅闪耀角 g 的控制
光谱的不重叠区可由 m( ) (m 1)
得到：
m
由于光栅使用的光谱级m很小，所以它的自由 光谱范围比较大，而F-P标准具只能在很窄 的光谱区使用。
2. 自由光谱的范围（能测量的最大波长差）
当e e 时， 2 , 正好两组条纹重合,
2h
此时有m 1 2 m1
当 2 ，将无法判断是否越级。
1.93h cos2 S
m
cos2 1, 2h m, 有
1
2
A＝ 0.97mS
m
0.97s称为标准具的有效光束数， 记为N，A＝mN。
由于标准具精细度 S 极大，因此标准具的分辨本领 是很高的。如
h
5mm, S
30(R
0.9),
光的衍射夫琅禾费单缝衍射
k
0
1
-1
-2
-3
2
3
f
sin
0.047
0.017
1
I / I0
0
相对光强曲线
0.047
0.017
四. 光强：
中央明纹最亮，其它明纹光强迅速下降。
条纹间距
五、讨论
波长对衍射条纹的影响
缝宽对衍射条纹的影响
单缝位置对衍射条纹的影响
光源位置对衍射条纹的影响
ห้องสมุดไป่ตู้
Single slit Double slit Three slit Seven slit More slit Double hole Square aperture
惠更斯- 菲涅耳原理：波前S上每一个面元dS都可以看成是发射球面子波的新波源，波场中P点的强度由各个子波在该点的相干叠加决定。
菲涅耳在惠更斯子波假说的基础上补充了子波相干叠加的概念。
波在前进过程中引起前方某点的总振动，为面 S 上各面元 dS 所产生子波在 P 点引起分振动的总和，即这些子波在 P 点的相干叠加。
夫琅禾费单缝衍射
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01
夫琅禾费 (Joseph von Fraunhofer 1787—1826)
夫琅禾费是德国物理学家。1787年3月6日生于斯特劳宾，父亲是玻璃工匠，夫琅禾费幼年当学徒，后来自学了数学和光学。1806年开始在光学作坊当光学机工，1818年任经理，1823年担任慕尼黑科学院物理陈列馆馆长和慕尼黑大学教授，慕尼黑科学院院士。夫琅禾费自学成才，一生勤奋刻苦，终身未婚，1826年6月7日因肺结核在慕尼黑逝世。
（3）当 时会出现明显的衍射现象。 a <λ时条纹太暗。
光的衍射原理与夫琅禾费衍射
光的衍射原理与夫琅禾费衍射夫琅禾费衍射是一种重要的光学现象，它是基于光的衍射原理而发展起来的。
光的衍射原理是指当光通过一个孔径或者绕过一条障碍物时，会发生弯曲现象从而形成衍射图样。
光的衍射原理是基于赫兹的波动理论建立的。
赫兹认为，光是一种波动，它的传播与声波等物质波有相似之处。
当光波传播到一个开口或者经过一个细缝时，由于波长与孔径的比值非常接近，光波会在孔径或细缝周围发生弯曲和干涉现象，进而产生衍射。
由于夫琅禾费衍射是基于光的波动性质而产生的，因此它也具有波动的特点。
夫琅禾费衍射是通过一个或多个光源，使光经过一个有规则的孔径或者障碍物后，形成衍射图样的现象。
这个孔径或者障碍物可以是光透过的物体，也可以是光透过的光栅。
夫琅禾费衍射现象的发生与孔径或细缝的大小有关。
当孔径或细缝的大小与光波的波长相当时，衍射图样会显示出明暗交替的条纹。
夫琅禾费衍射的特点是衍射波束比原来波束更加扩大，这是由于波像不单纯是简单的传播而已，波超出了衍射孔的范围。
夫琅禾费衍射的应用非常广泛，尤其在光学仪器和光学测量中得到了广泛的应用。
例如在显微镜中，通过夫琅禾费衍射观察样品的细微结构，可以获得更加清晰和详细的图像。
在衍射光栅中，夫琅禾费衍射图样的特点被用于测量光波的波长和频率。
此外，夫琅禾费衍射还被应用于激光器、干涉仪和光纤通信等领域。
除了夫琅禾费衍射，光的衍射还有其他形式的表现，如菲涅尔衍射和菲涅尔-半圆衍射。
这些衍射现象都是基于光的波动性质而产生的，它们加深了我们对光的认识和理解。
光的衍射现象不仅仅是一种物理现象，更是一种美妙的艺术。
通过对光的衍射原理的深入研究和理解，我们可以创造出各种各样的光影效果，从而使艺术作品更具表现力和魅力。
光的衍射不仅在艺术领域有所应用，还在建筑设计中得到了广泛的应用。
通过合理的设计和利用光的衍射原理，我们可以创造出独特的建筑形式和室内光环境。
总之，光的衍射原理与夫琅禾费衍射是光学领域中的核心概念。
夫琅禾费衍射
[
e
a
+e a
]dx
−
2
2
=
− i~c a [ sin(
πa sin λ
θ
（3）
故：
d = f ′λ
（4）
∆y
把 f’=500、λ＝632.8nm、和 ∆y = 1.5 代入式（4）得：
d＝0.21mm
又根据缺级的已知条件，可知： b＝d/4=0.21/4=0.05mm
可见，我们可以借助于双缝衍射实验来做微小尺度的测量。
2、一发射波长为 600 nm 的激光平面波，投射于一双缝上，通过双缝后，在 距双缝 100cm 的屏上，观察到干涉图样如图所示．试求：
λ＝600 nm
3、波长为λ＝546nm 的单色光准直后垂直投射在缝宽 b＝0.10mm 的单缝上， 在缝后置一焦距为 50 cm、折射率为 1.54 的凸透镜．试求：
(1) 中央亮条纹的宽度； (2) 若将该装置浸入水中，中央亮条纹的宽度将变成多少？
解：(1) 置于空气中时．单缝衍射的中央亮纹的宽度为：
5、如题 5 图所示，宽度为 a 的单缝平面上覆盖着一块棱角为 α 的棱镜．波 长为 λ 的平行光垂直入射于棱镜的棱面 AB 上，棱镜材料对该光的折射率为 n，试
求单缝夫琅和费衍射图样中央衍射极大和各级衍射极小的衍射方向．
A a
αB
题5图
解：题 5 解图表示出一个被修饰了的夫琅和费单缝衍射装置．若单缝未被修 饰时，中央衍射极大出现在沿缝宽划分的各子波带等光程的方向上．各衍射极小 出现在边缘子带具有波长整数倍光程差的衍射方向上．这个结论仍可以用来确定 本题中经过修饰后的单缝．
所以为了观察夫琅和费衍射．光屏应置于透镜的焦平面处，即光屏由原来在 透镜后 50cm 处移至 171cm 处。这时．在水中的夫琅和费衍射中央亮条纹的宽度
夫琅禾费衍射的实验报告
一、实验目的1. 理解夫琅禾费衍射的基本原理和现象。
2. 通过实验验证夫琅禾费衍射的光强分布规律。
3. 掌握单缝衍射和双缝衍射实验的基本操作和数据处理方法。
二、实验原理夫琅禾费衍射是波动光学中的一个重要现象，当光波通过狭缝或圆孔时，由于光的波动性，光波会绕过障碍物并在其后方产生衍射现象。
当衍射光到达一个远处的屏幕上时，会形成一系列明暗相间的衍射条纹，这种现象称为夫琅禾费衍射。
夫琅禾费衍射的原理基于惠更斯-菲涅耳原理，即光波在传播过程中，波前的每一点都可以看作是次级波源，这些次级波源发出的波在空间中传播并相互干涉，最终在屏幕上形成衍射图样。
三、实验仪器与材料1. 夫琅禾费衍射实验装置（包括单缝和双缝狭缝装置、光源、透镜、屏幕等）。
2. 单色光源（如氦氖激光器）。
3. 光具座。
4. 刻度尺。
5. 记录纸。
四、实验步骤1. 单缝衍射实验- 将单缝狭缝装置固定在光具座上，调整光源使其发出平行光。
- 将透镜置于狭缝装置后，使衍射光通过透镜聚焦到屏幕上。
- 移动屏幕，观察并记录屏幕上的衍射条纹。
- 使用刻度尺测量条纹间距，并计算条纹间距与狭缝间距之间的关系。
2. 双缝衍射实验- 将双缝狭缝装置固定在光具座上，调整光源使其发出平行光。
- 将透镜置于狭缝装置后，使衍射光通过透镜聚焦到屏幕上。
- 移动屏幕，观察并记录屏幕上的衍射条纹。
- 使用刻度尺测量条纹间距，并计算条纹间距与狭缝间距之间的关系。
五、实验数据与结果分析1. 单缝衍射实验- 根据实验数据，绘制单缝衍射的光强分布曲线。
- 分析光强分布曲线，验证夫琅禾费衍射的光强分布规律。
2. 双缝衍射实验- 根据实验数据，绘制双缝衍射的光强分布曲线。
- 分析光强分布曲线，验证夫琅禾费衍射的光强分布规律。
- 通过观察双缝衍射条纹的间距，验证杨氏双缝干涉公式。
六、实验总结1. 通过本次实验，我们成功地验证了夫琅禾费衍射的光强分布规律。
2. 实验结果表明，单缝衍射和双缝衍射的光强分布曲线与理论公式相符。
光的衍射
49
⒏ 若想用衍射光栅准确测定一单色可见光的 波长，在下列各种光栅常数的光栅中选用哪 一种最好？ (A)1.010-1mm (B)5.010-1mm (C) 1.010-2mm (D) 1.010-3mm
ab k k ——当k取某些非零 a 整数使k为整数时, k级
谱线缺失. Note: 在斜入射时，上式仍成立。
27
⒍光栅的应用 ⑴单色仪(monochrometer)
把复色光中某一波长成分分离出来 光谱分析
e.g.
Raman spectroscopy
⑵光栅光谱仪(grating spectrograph)
第四章 光的衍射 (Diffraction of Light)
——光能绕过障碍物进入几何阴影区的现象 衍射分类： ⒈夫琅禾费(Fraunhofer)衍射——入射 光与衍射光都是平行光 (远场衍射)
e.g.
*
1
⒉菲涅耳(Fresnel)衍射——入射光与衍 射光不都是平行光 (近场衍射)
e.g.
*
本章主要内容
kN *⑶分辨本领： R
ab ⑷谱线缺级： k k a
(k取非零整数，使k为整数)
38
*⒌晶体的X射线衍射 布拉格公式：
2d sin k
(掠射角)
(k 1,2,3,)
39
EXERCISES
⒈惠－菲原理的基本内容是：波阵面上各面 积元所发出的子波在观察点P的 ， 决定了P点的合振动及光强。
望远镜： 不可选择, d R 显微镜： d不会很大， R
1
16
[例4-3]人眼的瞳孔直径约为3mm，对于可见 光的平均波长5500Å，人眼的最小分 辨角是多大？ 解：
光的衍射与多缝衍射知识点总结
光的衍射与多缝衍射知识点总结光的衍射是指当光通过一个障碍物或通过具有一定结构的物体时，光的传播方向发生偏折或扩散的现象。
而多缝衍射是光通过多个缝隙时所产生的衍射效应。
在本文中，我们将对光的衍射和多缝衍射的知识点进行总结和探讨。
1. 光的衍射现象光的衍射现象最早可以追溯到17世纪，由意大利物理学家威廉·格拉萨对单缝和双缝衍射的观察所发现。
光的衍射是一种波动现象，它与光的波长、衍射物体的尺寸以及光的传播距离等因素有关。
当光通过一个缝隙时，缝隙的尺寸和光的波长决定了衍射的效应，较小的缝隙和较长的波长会产生更显著的衍射效应。
2. 衍射的数学描述衍射现象可以用数学方程进行描述。
根据夫琅禾费衍射公式，当光通过一个缝隙时，衍射角度θ和缝隙的宽度d之间的关系为：sinθ = λ/d，其中λ代表光的波长。
这个公式说明，当缝隙越小或光的波长越大时，衍射角度也会越大，衍射效应也会越明显。
3. 单缝衍射和双缝衍射单缝衍射是指光通过一个缝隙时的衍射现象。
当光通过一个非常窄的缝隙时，会发生衍射效应，导致光的传播方向偏折。
这种衍射现象在日常生活中广泛存在，比如透过窗帘时的光斑就是由单缝衍射所产生的。
双缝衍射是指光通过两个狭缝时的衍射效应。
由于双缝之间的距离较小，光通过每个缝隙后的衍射波会相互干涉，形成一系列明暗相间的条纹，称为干涉条纹。
双缝衍射是衍射和干涉效应的综合体现，对于研究光的波动性质具有重要意义。
4. 多缝衍射多缝衍射是指光通过多个缝隙时的衍射现象。
当光通过多个缝隙时，会产生多个衍射波，这些衍射波之间会相互干涉，形成复杂的干涉图样。
多缝衍射的观察和研究为我们深入理解光的波动性质提供了重要的证据和实验依据。
5. 衍射的应用光的衍射在很多领域中都具有广泛的应用价值。
例如在显微镜中，通过利用光的衍射现象，可以将缩小的物体放大并清晰可见。
在激光技术中，光的衍射被用于制造光栅，用于分析和处理光信号。
此外，光的衍射还在天文学、无线电通信、图像处理等方面具有重要的应用。
第二章 光的衍射
· Q
θ
r
面元dS发出的各次波的 面元dS发出的各次波的 和位相满足： dE(p) 和位相满足：
~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~
· p
1. S上各面元位相相同； 上各面元位相相同 上各面元位相相同；
S(波前 波前) 波前 设初相为零
2. 次波在 点引起的振动的振幅 次波在P点引起的振动的 点引起的振动的振幅 成反比； 与r成反比； 成反比 3. 次波在 点的位相由光程 决定。 次波在P点的位相由光程∆决定 点的位相由光程 决定。
b 2 b b b sinu ， 由 I = I0 可得到以下结果： 可得到以下结果： u
1.主最大（中央明纹中心）位置： 1.主最大（中央明纹中心）位置： 主最大 单缝衍射 sin u = 1 →I = I0 = Imax θ = 0处 u = 0 → ， u 即为几何光学像点位置
1. 波面在 点产生的振动 波面在P点产生的振动
A(Q) dE( p) ∝ K(θ) cos(ω −kr) dS t r A(Q)取决于波面上Q点处的强度。 点处的强度。 ( )
K(θ)：方向因子
θ ≥ 90o，K = 0
θ ↑→ θ )↓ ↑→K( ↓
θ = 0， K=Kmax ，
( K(θ)A Q) dE( p) = C dS ⋅ cos(ωt −kr) r ( K(θ) A Q) cos(ω −kr)dS t EP = ∫∫ dE = C∫∫ S S r ——菲涅耳衍射积分 菲涅耳衍射积分
圆孔的衍射图样： 圆孔的衍射图样：
屏上 图形： 图形：
孔的投影 菲涅耳衍射 夫琅禾费衍射
二、圆屏衍射
P点合振幅为： 点合振幅为： 点合振幅为 A = ak+1 −ak+2 +ak+3 −ak+4 +... P
夫琅禾费衍射光强分布研究
第34卷第5期2021年10月大学物理实验PHYSICAL EXPERIMENT OF COLLEGEVol.34 No.5Oct.2021文章编号：1007-2934(2021 )05-0004-04夫琅禾费衍射光强分布研究安盼龙1,赵瑞娟I ,2，郑永秋2(1.陕西铁路工程职业技术学院，陕西渭南714000；2.中北大学测控技术与仪器国家级实验教学示范中心，山西 太原 030051)摘 要：衍射、干涉、偏振均是光波动性的重要体现。
针对光的夫琅禾费衍射现象,分析了产生夫 琅禾费衍射的方法,系统地对单缝及双缝的夫琅禾费衍射光强分布问题进行理论与实验研究,增强对惠更斯-菲涅耳原理的理解。
关 键 词：夫琅禾费衍射;光强分布;单缝衍射中图分类号：O 4-33；TP 212.1 文献标志码：A DOI ： 10.14139/22-1228.2021.05.002衍射和干涉一样，均为波动的重要特征之 一⑴。
波在传播过程中遇到障碍物时，能够绕过 障碍物前进,这种偏离直线传播的现象称为波的衍射现象。
波的衍射现象可以用惠更斯原理作定 性说明，但不能解释光的衍射图样中光强的分布。
菲涅耳发展了惠更斯原理,为衍射理论奠定了基础。
菲涅耳假设波在传播过程中，从同一波阵面上各点发出的子波,经传播而在空间相遇时,产生 相干叠加。
这个发展了的惠更斯原理称为惠更斯-菲涅耳原理［2-4］。
1产生夫琅禾费衍射的各种光路夫琅禾费衍射的定义是:当光源S 和接收屏E都距离衍射屏D 无限远(或相当于无限远)时，在接收屏处由光源及衍射屏产生的衍射为夫琅禾费 衍射。
但是把S 和Y 放在无限远，实验上是办不到 的。
在实验中常常借助于凸透镜来实现，实际接收夫琅和费衍射的装置有下列四种［5,6］ O1.1焦面接收装置(单缝衍射)把点光源S 放在凸透镜L 1的前焦点上，在凸透镜L 2的后焦面上接收衍射场。
「/ —图1近场平行光入射夫琅禾费衍射1.2远场接收装置在满足远场条件下,狭缝前后也可以不用透镜,而获得夫琅禾费衍射图样。
物理光学第5篇,光的衍射
2、惠更斯-菲涅耳原理：
子波叠加与子波干涉的假设。
波阵面上各面积元所发出的球 面子波在观察点 P 的相干叠加决 定了P 点的合振动及光强。
dS n
r
p
衍射就是无限多、无限小子波的干涉效应。
惠更斯-菲涅尔原理的数学表达式：
设S与P之间任一波面上各点发出的子波在P点产生迭加：
单色点光源S在波面Σ上一点Q产生的复振幅为:
1） cos(n,l) = -1; cos(n,r) = cos 1
所以： K 1
2）在孔径范围内，r变化对P点振幅影响不大(但影响位
相），所以:
11 rz
3）在上述近似下，衍射场P点的复振幅分布可写为：
E~P 1
Aeikl eikrd
iz l
二、菲涅尔近似： 事实上r≠z，对待具体衍射问
一个点物经光学系统形成的衍射斑就是光学系统孔径的 (例如限制光束的透镜的外框或专门加进去的光栏)衍射图样。
(1)无穷远处点物在焦平面成像是圆孔夫琅和费衍射:
(2)共轭光学成像系统的衍射（近处物点成像）:
点物在像平面上光场分布经推算和夫琅禾费衍射公 式相似。 成像系统对点物在它的像面上所成的像是夫琅和费衍射图像。
5.3.2 两类衍射的近似计算公式
衍射计算都是基于菲涅尔-基尔霍夫衍射公式
E~P
1
i
Aeikl l
cosn，r cosn，l
2
eikr r
d
假设单色平面波垂直入射衍射孔：
y1
Q C
x1
r
z
y
P
x
P0
K
E
一、旁轴近似：
通常,衍射孔径的线度比观察屏到孔径的距离 z 小得 多，在观察屏上的考察范围也比 z 小得多。
第二十章 光的衍射
以相邻两带在P点振动的贡献相互削弱，即为相消干涉。
A
A 1
P
a
A2
A3
B
f
2
O
当 a sin 时，可将缝分为两个半波 带:
B θ
1 2 1′ 2′ 1 2 1′ 2′
a
半波带 半波带
半波带
半波带
A
/2
两个“半波带”发的光在 P处干涉相消形成暗纹。
3 · 当 a sin 2
3 菲涅耳衍射——入射光与衍射光不都是平行光 (近场衍射)
*
（5）
§20.1 光的衍射和惠更斯-菲涅尔原理
4.夫琅禾费衍射——衍射屏与光源和接收屏三者之间均为
无限远。(远场衍射)
*
（实际上是：入射光为平行光，出射光亦为平行光→用透镜 获 取平行光→再用透镜汇聚平行光于光屏。)
（6）
§20.1 光的衍射和惠更斯-菲涅尔原理
θ=1.22/D =/a
两相对比：说明二者除在反映障碍物几何形状的系数不同以外， 其在定性方面是一致的。
2、圆孔衍射对成象质量的影响
在几何光学中，是一个物点对应一个象点。 在波动光学中，是一个物点（发光点），对应一个爱里斑。
因此，当两个物点 的爱里斑重叠到一定程 度时，这两个物点在底 片上将不能区分，故爱 里斑的存在就引发了一 个光学仪器的分辨率问 题。
-6
-5 -4
-3 -2 -1
0
1 2
3
4
5
6
I单 单缝衍射光强曲线 I0 单 N=4, d=4a sin -2 -1 N2
0
1
I/I0
2
(/a)
多缝干涉光强曲线
sin -8 -4
A
A 1
P
a
A2
A3
B
f
2
O
当 a sin 时，可将缝分为两个半波 带:
B θ
1 2 1′ 2′ 1 2 1′ 2′
a
半波带 半波带
半波带
半波带
A
/2
两个“半波带”发的光在 P处干涉相消形成暗纹。
3 · 当 a sin 2
3 菲涅耳衍射——入射光与衍射光不都是平行光 (近场衍射)
*
（5）
§20.1 光的衍射和惠更斯-菲涅尔原理
4.夫琅禾费衍射——衍射屏与光源和接收屏三者之间均为
无限远。(远场衍射)
*
（实际上是：入射光为平行光，出射光亦为平行光→用透镜 获 取平行光→再用透镜汇聚平行光于光屏。)
（6）
§20.1 光的衍射和惠更斯-菲涅尔原理
θ=1.22/D =/a
两相对比：说明二者除在反映障碍物几何形状的系数不同以外， 其在定性方面是一致的。
2、圆孔衍射对成象质量的影响
在几何光学中，是一个物点对应一个象点。 在波动光学中，是一个物点（发光点），对应一个爱里斑。
因此，当两个物点 的爱里斑重叠到一定程 度时，这两个物点在底 片上将不能区分，故爱 里斑的存在就引发了一 个光学仪器的分辨率问 题。
-6
-5 -4
-3 -2 -1
0
1 2
3
4
5
6
I单 单缝衍射光强曲线 I0 单 N=4, d=4a sin -2 -1 N2
0
1
I/I0
2
(/a)
多缝干涉光强曲线
sin -8 -4
多缝夫琅禾费衍射现象仿真实现及分析
ｈ ｆｒｄｆ ａ ｔ ｎｐ ｅ ｏ ｎ ｅｐ ｅｅ ｔｄ ｎ ｅＦａ ｎ ｏｅ ｉ ｒｃｉｎｐ ｅ ｏ ｎ ｆ ｌ —ｌｓｆ ａ— ｏｅ ｉ ｒｃｉ ｈ ｎ ｍｅ ａａ ｒｓｎｅ ． ｒｕ ｈ ｆｒ ｆ ａ ｔ ｈ ｎ ｍｅ ａｏ ｔ ｓｉ ｔ ｏ ｒ ｄ ｏ ｍｕｉ ｔ ｇ ｒ
ｉｇ ｉ ｉｅｅ ｔ ｕ ｂ ｒ ｃ ｕｒｄｂ ｅｅｔｏｍ ｔ ｄ ｒ ｕｅ ｌ ｏ ｏｌ ｐ ｒｈ ｎ ｅｐｉ－ ｎ ）ｗｔ ｄｆ ｒｎ ｎ ｍ ｅ ｑ ｉ ｙｔ ｓ ｗ ｅ ｏ ｓ ｅ ｓｆ ｔ ｎｙｔ ａｐｅｅ ｄｔ ｒ ｈ ａ ｅ ｈ ｈ ａ ｕｎ ｏ ｈ ｎ
周 峰 徐代升 ，
（． １ 昆明理工大学理学 院， 云南 昆明 ６０ ９ ；． ５０ ３ ２ 厦门理工学 院数理系 ， 福建 厦 门 ３ １２ ） ６０４
摘要 ： 光的衍射理论 出发 ， 从 论述 了借助计算机和可视 化程序设计语 言仿真 实现 夫琅 禾费衍射现 象的衍射 积 分法和傅立叶变换 法。运用上述 ２种方法仿真 实现 不同形式多缝 （ 光栅） 夫琅禾 费衍射现 象， 其结果有 助于
理解 多缝夫琅 禾费衍射现 象的特性和光栅的分光机理 ， 为更好的设计和利 用衍射光栅提供 了有益参考。
关键词 ： 夫琅禾 费衍射 ； 计算机 仿真； 多缝 （ 光栅） ＭＡ Ｌ Ｂ ； ＴＡ
中图 分 类 号 ： ４８２ ０ ３ ． 文 献 标 识 码 ： Ａ
Ａｎ ｌｓｓａ ｄ ｉ ｕ ａ ｏ ｆＦｒ ｕ ｈｏ ｅ ｆｒ ｃｉ ｎ ｏ ｕ ｔ－ｌ ｓ ａｙ ｉ ｎ Ｓ ｍ ｌ ｔ ｎ ｏ ａ ｎ ｆｒ Ｄｉ ａ ｔｏ ｆＭ ｌ ｓｉ ｉ ｉ ｔ
光栅光谱பைடு நூலகம்。光栅的分光原理可以用求多缝夫琅
禾费衍 射 图样 中亮纹 位置 的公 式来进 行解 释。 目
第22章 光的衍射
l k 1 f k f
f
b
（4）单缝衍射的动态变化 单缝上下移动，根据透镜成像原理衍射图不变 .
R
f
o
单缝上移，零级明 纹仍在透镜光轴上.
（5）入射光非垂直入射时光程差的计算
Δ DB BC
b
D
A
C
b(sin sin )
（中央明纹向下移动）
B A
b
3
b
sin
S
L1
b
R
L2
P
x
O
x
f
I
3 2 b b 3 f 2 f b b
sin 当 较小时，
x f
b
b f b
o
b f b
2
sin 3
b 3 f b
2 f b
x
讨论
sin ,
2 b sin (2k 1) 2
B
/2
b sin (2k 1)
A1
C
P
Q
k 1,2,3,
B
A2
o
R
A1
A
C
L
P
B
A2
/2
BC b sin Q k o 2 （ k 个半波带）
b sin 0
b sin 2k
中央明纹中心
2 b sin (2k 1) 干涉加强（明纹） 2k 1 个半波带 2
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20.0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ． 解
物理光学第三章 光的衍射
E G G n E n d 0 E G E G G n E n d G n E n d E G E G d 4 E P n n
P d E P C K , E Q exp ikr d E 0 r
பைடு நூலகம்
当S为点光源时，Q点的光场复振幅为
Q A exp ikR E R
6.1.2 惠更斯-菲涅耳原理
惠更斯-菲涅耳公式的意义：对于简单孔径的衍射可 以获得满意的结果。 惠更斯-菲涅耳公式存在的问题： • 计算所得的相位比实际相位落后 2 ； • 为了解释没有倒退波存在，菲涅耳假设当 0 时， 有 K 1 ，而当 2 时，有 K 0 ，这是在原理之外 附加的假设，而且他没有给出倾斜因子 K 的具体形 式，因此，从理论上讲，惠更斯-菲涅耳原理是不够 完善的。
2 E P k 2 E P 0
6.1.3 基尔霍夫衍射公式
假设另一个任意复函数也满足亥姆赫兹方程
2G k 2G 0
16
并且在 面内和 面上有连续的一、二阶偏微商（个 别点除外）。 构造积分
E G Q G E d n n
6.1.2 惠更斯-菲涅耳原理
惠更斯原理
惠更斯在1690年发表的《论光》一书中提出了惠更 斯原理：波源S在某一时刻所产生的波阵面∑，则∑ 面上的每一点都可以看作是一个次波源，它们发出 球面次波，其后某一时刻的波阵面∑’即是该时刻这 些球面次波的包络面，波阵面的法线方向就是该光 波的传播方向。 利用惠更斯原理可以决定光波从一个时刻到另一个 时刻的传播，也可以说明衍射现象的存在，但是不 能说明衍射过程及其强度分布。
P d E P C K , E Q exp ikr d E 0 r
பைடு நூலகம்
当S为点光源时，Q点的光场复振幅为
Q A exp ikR E R
6.1.2 惠更斯-菲涅耳原理
惠更斯-菲涅耳公式的意义：对于简单孔径的衍射可 以获得满意的结果。 惠更斯-菲涅耳公式存在的问题： • 计算所得的相位比实际相位落后 2 ； • 为了解释没有倒退波存在，菲涅耳假设当 0 时， 有 K 1 ，而当 2 时，有 K 0 ，这是在原理之外 附加的假设，而且他没有给出倾斜因子 K 的具体形 式，因此，从理论上讲，惠更斯-菲涅耳原理是不够 完善的。
2 E P k 2 E P 0
6.1.3 基尔霍夫衍射公式
假设另一个任意复函数也满足亥姆赫兹方程
2G k 2G 0
16
并且在 面内和 面上有连续的一、二阶偏微商（个 别点除外）。 构造积分
E G Q G E d n n
6.1.2 惠更斯-菲涅耳原理
惠更斯原理
惠更斯在1690年发表的《论光》一书中提出了惠更 斯原理：波源S在某一时刻所产生的波阵面∑，则∑ 面上的每一点都可以看作是一个次波源，它们发出 球面次波，其后某一时刻的波阵面∑’即是该时刻这 些球面次波的包络面，波阵面的法线方向就是该光 波的传播方向。 利用惠更斯原理可以决定光波从一个时刻到另一个 时刻的传播，也可以说明衍射现象的存在，但是不 能说明衍射过程及其强度分布。
11 光的衍射
a sin
0， 0
表明P点在哪儿？
—— 中央明纹中心
当
时，可将缝分为两个“半波带” a sin
B 半波带 a 半波带
A
θ
1 2 1′ 2′
1 2 1′ 2′
半波带 半波带
2
两个“半波带”上发的光在P处干涉相消形成暗纹。
3 当 a sin 时，可将缝 2 分成三个“半波带”
P处近似为明纹中心Βιβλιοθήκη B aθA
2
当 a sin 2 时,可将缝分成四个“半波带”, 四个“半波带”上发的光在P处干涉相消形成暗纹。 B θ 一般情况
a sin 2k
2
a
，k 1,2,3„
——暗纹 A
a sin (2k 1) ， k 1,2,3„ 2
——明纹(中心)
f 1 ② 其他明纹(次极大) x x0 a 2
③ 波长对条纹宽度的影响
x
波长越长，条纹宽度越宽 ④ 缝宽变化对条纹的影响
衍射屏 透镜
λ
观测屏 x2
x1
1
Δx
Δ x0
0
0
I
1 f x x 0 f 2 a 缝宽越小，条纹宽度越宽，衍射越显著；缝宽越大，衍射越 不明显。 当 a 时，
sin u I I0 u
相对光强曲线
0.017 0.047
2
a sin 其中 u
I / I0
1
0.047
0.017
-2(
/a) -(
/a) 0
/a 2(
/a)
sin
sin u a sin 由 ( 其中 ) 可得： I I u 讨论 0 u (1) 主极大（中央明纹中心）位置： sin u 0处， u 0 1 I I 0 I max u (2) 极小（暗纹）位置：
《物理光学》第5章 光的衍射
R 2
1 Aeikl cosn，l cosn，r e ikr ~ E P r d i l 2
1、P点的场是由开孔平面的无穷多个虚设的次波源产生的。
2、次波源的复振幅与入射波在该点的复振幅成正比，与λ成
反比； 3、因子 1 / i 表明，次波源的振动位相超前于入射波90°。 4、倾斜因子在各个方向上是不同的，其值在0与1之间。
二、菲涅尔-基尔霍夫衍射
基尔霍夫（ Kirchhoff ）从波动方程出发，用场论的数学工 具导出了比较严格的公式 ：
ikr e ikr E e P 1 E 1 2 3 { n r E n [ r ]}d 4
(n,r) l S 1
e ikr e ikr ~ ~ ~ E P C E Q K d C E Q K d 1 2 r r ~ ~ ~ E P E1 P E 2 P
互补屏单独产生的衍射场复振幅之和，等于没有屏时的复
振幅。
在复振幅为0的点，互补屏分别产生的场位相差为，强度
第5章 光的衍射
“光的衍射” 就是光可以“绕过”障碍物而在某种程度上 传播到障碍物的几何阴影区。点光源透过圆孔Σ照射屏幕， 逐渐改变圆孔的大小: 1、圆孔大，光斑大小就是几何投影。 2、圆孔小，圆斑外产生若干同心圆环。 3、圆孔更小，光斑及圆环不但不 跟着变小，反而会增大起来。
按光源、衍射开孔和观察衍射的幕三者之间距离的大小， 分为两种类型：1、菲涅耳(Fresnel)衍射； 2、夫琅和费(Fraunhofer)衍射。
z1大到使得上式第三项的后项对kr位相的作用远小于时.
即
第三项以后的诸项均可忽略,观察平面上的衍射是近场衍射。
光学 第2章 光的衍射
r0 R
R
r0 R
drk
2
可以看出
dSk rk
与k无关，说明它对每个半
波带均相同，因此对
ak 和Ak 均无影响。
又由于： k rk K ak K ，其相位依次相差 ，如图。
a1 a3
ak
a2
a4
从图可以看出:
a2
a1 2
a3 2
，a4
a3 2
a5 2
，
ak
ak 1 2
ak 1 2
(2) 水波的衍射——水波绕过小孔继续传播
水波的衍射现象随障碍物的线度(如挡板上的小孔的尺寸)变化的情况：
孔的尺寸比波长大很多时，水波沿直线传播； 孔 的尺寸和波长可比拟时，有明显的衍射现象。
结论：在传播路径上遇到障碍物时，机械波能绕过障碍物继续向前传 播，这种现象称为机械波的衍射。
3
(3) 电磁波的衍射——偏远山区能接收到电台广播是由于无线电波能 绕过大山
ak
a1 2
ak 1 2
ak
k足够大时，ak
ak
1，
ak 1 2
ak
ak 2
Ak
a1 2
ak 2
(P点相消,暗点)
a1 a3 k为奇数
a2 a4
ak Ak
1 2
ak
1 2 a1
a1 a3
k为偶数
ak
1 2
ak
a4
Ak
1 2 a1
a2
故得：Ak
1 2
a1 1 k1 ak
1 2
a1
23
三.菲涅耳圆屏衍射
1. 装置：点光源S所发球面波照射到不透光圆屏上，在屏上可观察到衍射花样。
2. P点的合振幅
R
r0 R
drk
2
可以看出
dSk rk
与k无关，说明它对每个半
波带均相同，因此对
ak 和Ak 均无影响。
又由于： k rk K ak K ，其相位依次相差 ，如图。
a1 a3
ak
a2
a4
从图可以看出:
a2
a1 2
a3 2
，a4
a3 2
a5 2
，
ak
ak 1 2
ak 1 2
(2) 水波的衍射——水波绕过小孔继续传播
水波的衍射现象随障碍物的线度(如挡板上的小孔的尺寸)变化的情况：
孔的尺寸比波长大很多时，水波沿直线传播； 孔 的尺寸和波长可比拟时，有明显的衍射现象。
结论：在传播路径上遇到障碍物时，机械波能绕过障碍物继续向前传 播，这种现象称为机械波的衍射。
3
(3) 电磁波的衍射——偏远山区能接收到电台广播是由于无线电波能 绕过大山
ak
a1 2
ak 1 2
ak
k足够大时，ak
ak
1，
ak 1 2
ak
ak 2
Ak
a1 2
ak 2
(P点相消,暗点)
a1 a3 k为奇数
a2 a4
ak Ak
1 2
ak
1 2 a1
a1 a3
k为偶数
ak
1 2
ak
a4
Ak
1 2 a1
a2
故得：Ak
1 2
a1 1 k1 ak
1 2
a1
23
三.菲涅耳圆屏衍射
1. 装置：点光源S所发球面波照射到不透光圆屏上，在屏上可观察到衍射花样。
2. P点的合振幅
衍射光栅
(a b) sin d sin
A
两两相邻光线的光程差都 2 相同。相邻的子光源在P点引 起的振动的位相差为： 1 A1 2 o (a b) sin 这样，N个子光源在P点引起的振动便是N个振幅相等， 2 频率相同，相邻两个振动位相依次相差 (a b ) si n 的简谐振动的合成。
a sin k ' ab k 两式相比: a k' ab 所缺级次： k k k 1, 2 a
缺级现象
ab k 4时 当 a k'
I
缺级条件: (a b) sin k
a sin k '
2
k'
-3
-2
-1
o
1
3
k
-12
-8
-4
衍射角
L
P
o
f
平行单色光垂直照射在有Ｎ个透光缝的光栅上。 单缝的衍射图样与缝在垂直于透镜光轴方向上的位置无关。
通过光栅向各个方向发射的衍射光，经过透镜会聚在其焦平面上。
衍射角相同的光线，会聚在接收屏的相同位置上。
衍射角
L
P
o
f
光栅衍射图样的特点：
明条纹细又亮，相邻明纹间的暗区宽， 衍射条纹十分清晰。
f
ab
0.12( m )
例：用波长为λ= 590nm的钠黄光垂直照射在光栅上， 该光栅在1mm内刻有500条刻痕。在光栅的焦平面上放 一焦距为 f = 20 cm的凸透镜。 求：(1) 第一级与第三级 光谱线之间的距离； (2) 最多能看到第几级光谱？(3) 光 线以300角入射时，最多能看到哪几条光谱？ （2）
（3） (a b)(sin sin ) k 入射线与衍射线同侧时： (a b)(sin900 sin300 ) kmax 5.08
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En(P)Casi n a 0 es xp (i ikn re 0n)x ik 0 p)1 e r(x 2 i(p n 1 ())
En N 1a a0Css ii nn eexx pi(ik p k0r)01 r nn (N )1ex2ip (n (1))
Sn 首项1－1－（公公比比n ）
令：(sinN)2 N（2 取极大值时）
sin
I N2I0(sin)2
1 单缝的调制作用
谢 谢
(m'/N) ,(m'/ N)：非整数。
m' (k m)
N
N
m k 0 1,,2 ,1 , ,2N , 1
(km/N)
在 dsin(km)位置出现极小值。
N
（2）次极强数目
由：m1,2,,N1可知 相邻主极强间有 N1个极小值（暗线） 因此，相邻主极强间共有 N2个次极强。
（3）主极强的半角宽度
0
d
d 2
得： k（ k0,1.2,） 时
sinN 0，sin 0
在dsink的位置出现主极大
主极大的位置与缝数N无关
（2）光强：
I N2I0
（3）数目：
sin1时，
k d / ，k0,1,2,
2 极小值位置、次极强的数目和
主极强的半角宽度
（1）极小值位置：sin N 0 ，sin 0时
N m'，m ' ：整数
（b）复振幅分布中仅仅光程r0 n 不同
2 利用矢量图解法求光强分布
a
a0
sin
,Ldsin
_____
OC
a
2dsin 2 _____ _____
2sin ， ON B2OC sinN()
A
a
sinN sin
合振幅的矢量图
A
a0
sinsinN sin
I a02(sin)2(ssiin N n )
II0(sin)2(ssiinN n)2
3 利用复振幅积分法求光强分布
E (P ) i
N
E (Q )eik rd Ceik rd x E n(P )
r0( 0)
n 1
rr0 （ n 1 ） r0ndsin
，
2dsin 2
r0nr0 1(n1)dsin
E n(P )r n r i0 r(0 n0 － s)E in( x Q s)e iik nrd C a a //2 a2e sx p in(ik rn)d x
En(P)aC exp(ikr0n)
（2）第 n个单缝的光强度：
In(P)I0(sin)2
（3）结论
（a）每个单缝单独产生的光强分布完全相同
，
a0IaCI~0，(sina)2s(inssi，inN n)2d sin
5.4 缝间干涉因子的特点
( sin ) 2：衍射因子
( sin N ) 2：干涉因子
sin
令： (sin)2 1（取极大值时）
I I0(ssiinnN)2
1 主极强峰值的位置、强度和数目
（1）位置 由： dI
0 ， d 2I
3 衍射图样的特征
（1）有一系列主极强、次极强和极小值。
（2）主极强的位置与缝数N无关， 宽度随N增加减小（更细锐）。
（3）相邻主极强间有(N 1)条暗纹（极小）
和 (N2)个次极强。
（4）外部轮廓呈单缝衍射的曲线包络
5.3 多缝夫琅禾费衍射的复振幅和光强分布
1 不同单缝衍射的差异
n （1）第 个单缝的复振幅分布：
E a e i k r 0 1 ( 1 e 2 i e 4 i e 2 ( N 1 ) i)
a eikr01
1e2Ni 1e2i
aei[k0r1 (N1)]
eNieNi eiei
Ea0sinsisninNeikr0
其中：r 0 r 0 1[N ( 1 )dsi]n /2
，
是整个光栅中心到观察点P的光程。
由 dsin(k 1)
sikn sci n o kk ( s s k) iN n k (kc N o 1k) ds (k N 1 )d
k sNi dn ck os k,k中 的c央半o 角主k宽极s 度强(k： 1/N k ) dNd
讨论：Nd越大， 越小，条纹越细锐。
5.5 单缝衍射因子的作用