1.6.1 垂直关系的判定

有关垂直关系的证明方法：
2、线面垂直
（1）利用线面垂直的判定定理
（2）利用面面垂直的性质定理
（3）利用向量法
有关垂直关系的证明方法：
3、面面垂直 （1）利用面面垂直的定义
（2）利用面面垂直的判定定理
1、空间四面体ABCD中，若AB=BC， AD=CD，E为AC的中点，则有( 4 ）
A E D B C
空间两条直线的位置关系有三种：
位置关系 相交直线 平行直线 共面情况 在同一平面内 在同一平面内 公共点个数 有且只有一个 没 有 没 有
异面直线 不同在任何一平面内
证明三点共线通常采用以下方法： (1)首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面 的公共点，根据基本性质2，这些点都在交线上． (2)由其中任意两点确定一条直线，再证另一点在这条直 线上．
D F G
A
B
C
E
练习
1.已知：ABCD为正方形，SD⊥平面AC，
问：图中所示的7个平面中，共有多少个平面互相垂直？
1.平面SAD⊥平面ABCD S
2.平面SBD⊥平面ABCD
3.平面SCD⊥平面ABCD 4.平面SAD⊥平面SCD 5.平面SBC⊥平面SCD 6.平面SAB⊥平面SAD
D A O
AD ⊥面BCD
AD ⊥BC DE
④
线面垂直
② ③
线线垂直
例 2、已知在正方体ABCD—A ′B ′C ′D ′中，E 为CC′中点，F为AC和BD的交点，
求证：A′F
⊥平面BED
D′ B′ D F A B P C′ E
（方法一）转化为平面几何 （方法二）三垂线定理
一. 平行直线 1. 平行直线的定义：同一平面内不相交的 两条直线叫做平行线. 2. 平行性质：过直线外一点有且只有一条 直线和这条直线平行. 3. 公理4：平行于同一直线的两条直线互相 平行，此性质又叫做空间平行线的传递性.

教学过程在四棱锥P－ABCD中，P A⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，P A＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.规律方法证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法(若两条平行线中一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面)．解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化；另外，在证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系，如等腰三角形的底边上的高、中线和顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形(或给出线段长度，经计算满足勾股定理)、直角梯形等等.【训练1】(2013·江西卷改编)教学效果分析教学过程如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB∥CD，AD⊥AB，AB＝2，AD＝2，AA1＝3，E为CD上一点，DE＝1，EC＝3.证明：BE⊥平面BB1C1C.考点二平面与平面垂直的判定与性质【例2】(2014·深圳一模)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB＝BC＝AA1，且AC＝2BC，点D是AB的中点．证明：平面ABC1⊥平面B1CD.规律方法证明两个平面垂直，首先要考虑直线与平面的垂直，也教学效果分析教学过程可简单地记为“证面面垂直，找线面垂直”，是化归思想的体现，这种思想方法与空间中的平行关系的证明非常类似，这种转化方法是本讲内容的显著特征，掌握化归与转化思想方法是解决这类问题的关键．【训练2】如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1的中点．证明：平面ABM⊥平面A1B1M.考点三平行、垂直关系的综合问题教学效果分析教学过程【例3】(2013·山东卷)如图，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥AC，AB⊥P A，AB∥CD，AB＝2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点．(1)求证：CE∥平面P AD；(2)求证：平面EFG⊥平面EMN.规律方法线面关系与面面关系的证明离不开判定定理和性质定理，而形成结论的“证据链”依然是通过挖掘题目已知条件来实现的，如图形固有的位置关系、中点形成的三角形的中位线等，都为论证提供了丰富的素材．【训练3】(2013·辽宁卷)如图，AB是圆O的直径，P A垂直圆O所在的平面，C是圆O上的点．(1)求证：BC⊥平面P AC；(2)设Q为P A的中点，G为△AOC的重心，求证：QG∥平面PBC.教学效果分析1．转化思想：垂直关系的转化2．在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决．如有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．故熟练掌握“线线垂直”、“面面垂直”间的转化条件是解决这类问题的关键．创新突破6——求解立体几何中的探索性问题【典例】(2012·北京卷)如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2.(1)求证：DE∥平面A1CB；(2)求证：A1F⊥BE；(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．[反思感悟] (1)解决探索性问题一般先假设其存在，把这个假设作已知条件，和题目的其他已知条件一起进行推理论证和计算，在推理论证和计算无误的前提下，如果得到了一个合理的结论，则说明存在，如果得到了一个不合理的结论，则说明不存在．(2)在处理空间折叠问题中，要注意平面图形与空间图形在折叠前后的相互位置关系与长度关系等，关键是点、线、面位置关系的转化与平面几何知识的应用，注意平面几何与立体几何中相关知识点的异同，盲目套用容易导致错误．【自主体验】(2014·韶关模拟)如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AD＝CD＝12AB＝2，点E为AC中点，将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D－ABC，如图2.(1)求证：DA⊥BC；(2)在CD上找一点F，使AD∥平面EFB.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b 在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的________条件．2．(2014·绍兴调研)设α，β为不重合的平面，m，n为不重合的直线，则下列正确命题的序号是________．①若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥α；②若m⊂α，n⊂β，m⊥n，则n⊥α；③若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥α；④若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β.3.如图，AB是圆O的直径，P A垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任一点，则图形中有________对线面垂直．4．若M是线段AB的中点，A，B到平面α的距离分别是4 cm，6 cm，则M到平面α的距离为________．5．(2014·郑州模拟)已知平面α，β，γ和直线l，m，且l⊥m，α⊥γ，α∩γ＝m，β∩γ＝l，给出下列四个结论：①β⊥γ；②l⊥α；③m⊥β；④α⊥β.其中正确的是________．6.如图，在四棱锥P ABCD中，P A⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可)7．设α，β是空间两个不同的平面，m，n是平面α及β外的两条不同直线．从“①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α”中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题：________(用代号表示)．8.如图，P A⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的正投影，给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.其中正确结论的序号是________．二、解答题9．(2013·北京卷)如图，在四棱锥P ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面P AD⊥底面ABCD，P A⊥AD.E和F分别是CD和PC的中点．求证：(1)P A⊥底面ABCD；(2)BE∥平面P AD；(3)平面BEF⊥平面PCD.10．(2013·泉州模拟)如图所示，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，DB＝BC，DB⊥AC，点M是棱BB1上一点．(1)求证：B1D1∥平面A1BD；(2)求证：MD⊥AC；(3)试确定点M的位置，使得平面DMC1⊥平面CC1D1D.能力提升题组(建议用时：25分钟)一、填空题1.如图，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在直线______上．2.如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列命题中，错误的为________．①AC⊥BD；②AC∥截面PQMN；③AC＝BD；④异面直线PM与BD所成的角为45°.3．(2013·南通二模)如图，已知六棱锥P ABCDEF的底面是正六边形，P A⊥平面ABC，P A＝2AB，则下列结论中：①PB⊥AE；②平面ABC⊥平面PBC；③直线BC∥平面P AE；④∠PDA＝45°.其中正确的有________(把所有正确的序号都填上)．二、解答题4．(2014·北京西城一模)。

请问哪些平面互相垂直的,为什么?
AB 面BCD 面ABC 面BCD AB 面BCD 面ABD 面BCD CD 面ABC 面ABC 面ACD
B
A
D C
小结 1. 知识小结 1）二面角及其平面角 2）两个平面互相垂直 • 2. 思想方法
线线垂直 线面垂直 面面垂直
例1.在正方体中，找出二面角C1-AB-C的平面角，并指 D1 出大小. C1
A1 B1
N M D C
A
B
端点
例2 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求二面角B1AC-B的正切值.
C1 B1 C B
O
D1 A1 D A
二面角的取值范围
0 0
0 ,180 或 [0， ]
β l α
180度角
LOGO
1.6.1 、垂直关系的判定
直线与平面垂直的判定
复习1 直线和平面的位置关系
直线在平面内
直线与平面相交
直线与平面平行
观察 旗杆与地面的位置关系
大桥的桥柱与水面的位置关系 线面垂直
思考1
旗杆与地面中的直线的位置关系如何？
思考2 将一本书打开直立在桌面上， 观察书脊（想 象成一条直线）与桌面的位置关系呈什么状态？此 时书脊与每页书和桌面的交线的位置关系如何？

O
B
m

记为：二面角-m-
二面角的图示
二面角的记号 （1）以直线 l 为棱，以 , （2）以直线AB为棱，以 , 为半平面的二面角记为： 为半平面的二面角记为： l AB

l

B

A

思考3
两个相交平面有几个二面角？

观察图中立柱与地面,立柱与桥面之间是怎样的位置关系? 观察图中立柱与地面,立柱与桥面之间是怎样的位置关系?
观察图中的晾衣架与墙面之间是怎样的位置关系呢？ 观察图中的晾衣架与墙面之间是怎样的位置关系呢？
图中的旗杆与地面之间是怎样的位置关系? 图中的旗杆与地面之间是怎样的位置关系? 如何定义一条直线与一个平面垂直？ 如何定义一条直线与一个平面垂直？
l
α
P
m
n
简记为： 简记为：线线垂直
线面垂直
你能用符号表示判定定理吗？ 你能用符号表示判定定理吗？
符号表示： 符号表示：
l
mI n = P ⇒l ⊥α l ⊥ m, l ⊥ n
m
α, n α
α
P
m
n
练一练
判断下列命题是否正确？ 判断下列命题是否正确？ 1.
m α, l ⊥ m ⇒l ⊥ α×
A
α
C
B
D
解:如图, 旗杆AB = 8m,两绳长AC = AD = 10m CB = DB = 6m QC,B,D三点不共线 ∴C,B,P三点确定平面α QAB ⊥ CB,AB ⊥ BD ∴CB ∩ DB = O ∴AB ⊥ α 因此, 旗杆OP与地面垂直.
A
α
C
B
D
1.直线与平面垂直的定义 2.直线与平面垂直的判定定理 直线与平面垂直的判定定理 3.“平面化” 3.“平面化”是解决立体几何问题的一般思路 平面化
0
所在平面外一点， 所在平面外一点， PA ⊥ 平面 ABC ．问四面体 PABC 共有 几个直角三角形？ 几个直角三角形？
解：因为 PA ⊥ 平面 ABC ,所以
PA ⊥ AB, PA ⊥ AC, PA ⊥ BC ．