用构造法求数列的通项公式
上海外国语大学嘉定外国语实验学校 徐红洁
在高中数学教材中，有很多已知等差数列的首项、公比或公差(或者通过计算可以求出数列的首项,公比),来求数列的通项公式。但实际上有些数列并不是等差、等比数列,给出数列的首项和递推公式,要求出数列的通项公式。而这些题目往往可以用构造法，根据递推公式构造出一个新数列，从而间接地求出原数列的通项公式。对于不同的递推公式，我们当然可以采用不同的方法构造不同的类型的新数列。下面给出几种我们常见的构造新数列的方法：
一．利用倒数关系构造数列。
例如：}{n a 数列中，若),(411,
211N n a a a n
n ∈+==+求a n n n n
n b b a b ==+1,1
则设+4, 即n n b b -+1＝４， n b {∴｝是等差数列。
可以通过等差数列的通项公式求出n b ,然再求后数列{ a n }的通项。
练习：1)数列{ a n }中，a n ≠0，且满足),(,311
,2
111N n a a a n
n ∈+==+求a n 2)数列{ a n }中，,2
2,111+=
=+n n
n a a a a 求a n 通项公式。 3)数列{ a n }中,),,2(02,0,1111N n n a a a a a a n n n n n ∈≥=-⋅+≠=--且求a n . 二．构造形如2
n n a b =的数列。
例：正数数列{ a n }中，若n n n a N n a a a 求),(4,52
2
11∈-==+ 解：设4,4,112
-=--==++n n n n n n b b b b a b 即则
)
,71(,429429429)4()1(25254}{2
2
11N n n n a n
a n n
b a b b n n n n ∈≤≤-=∴-=-=-⋅-+=∴==-即，是等差数列，公差是数列
练习：已知正数数列{ a n }中，),2(2,211N n n a a a n n ∈≥==-, 求数列{ a n }的通项公式。 三．构造形如n n a b lg =的数列。 例：正数数列{ a n }中，若a 1=10,且),,2(,lg 2
1
lg 1N n n a a n n ∈≥=-求a n . 解：由题意得：n n n n a b a a lg 2
1
lg lg 1=∴=-可设，， 即
,2
1
1=-n n b b
110lg 2
1
1==∴b b n ，是等比数列，公比为
)(,)2
1
()21(111N n b n n n ∈=⋅=∴--.
即1)21
(1
10,)2
1(lg -=∴=-n n n n a a
练习：（选自2002年高考上海卷）
数列{ a n }中，若a 1=3,2
1n n a a =+,n 是正整数，求数列{ a n }的通项公式。 四．构造形如m a b n n +=的数列。 例：数列{ a n }中，若a 1=6,a n+1=2a n +1, 求数列{ a n }的通项公式。 解：a n+1+1=2a n +2, 即a n+1+1=2（a n +1） 设 b n = a n +1, 则b n = 2 b n-1
则数列{ b n }是等比数列，公比是2,首项b １= a １+1＝7, 11271,27--⋅=+⋅=∴n n n n a b 即
1271-⋅=∴-n n a ，)(N n ∈
构造此种数列，往往它的递推公式形如：
的形式和2)1(,1+=+≠+⋅=+n a S c d a c a n n n n 。
如：a n+1＝c a n +d,设可化成a n+1+x=c(a n +x),
a n+1=c a n +(c-1)x
用待定系数法得： (c-1)x ＝d
∴ x=1
-c d
.
又如：Ｓn +a n =n+2, 则 Ｓn-1+a n-1=n+1,
二式相减得：Ｓn －Ｓn-1 +a n －a n-1 =１，即a n +a n －a n-1 =１，
∴ 2 a n －a n-1=１，
a n =21a n-1+2
1.
如上提到b n = a n ＋1
1
-c d = a n –1
练习：1.数列{ a n }满足a n+1=3a n +2, 求a n
2.数列{ a n }满足Ｓn +a n =2n+1,求a n 五．构造形如n n n a a b -=+1的数列。
例：数列{ a n }中，若a 1=１，a ２=3,a n+2 + 4 a n+1 - 5a n =0 (n ∈N),求a n 。
解： a n+2 + 4 a n+1 - 5a n =0得： a n+2 － a n+1 = - 5（a n ＋１ － a n ） 设b n = a n ＋１ －a n ，
则数列{ b n }是等比数列，公比是-5,首项b １= a 2- a 1＝2,
∴a n ＋１ －a n =2•(-5)n-1
即a ２ －a １=2•(-5) a ３ －a ２=2•(-5)２ a ４ －a ３=2•(-5)３
┄
a n －a n －１=2•(-5)n-2
以上各式相加得：a n －a １=2•［（-5）＋(-5)２＋(-5)３＋┄＋（-5）n-1］
