全等三角形变式

BE 交于 AC 于 F，求证：AF=EF.
招式 4： 已知：AB//DC,E 为 BC 的重点，∠BAE=∠EAF，AF 与 DC 的延长线相交于点
F。 证明：AB=AF+CF
招式 5： 如图，AD 为△ABC 的角平分线，M 为 BC 的中点，ME//AD 交 BA 的延长线于
E，交 AC 于 F。求证：BE=CF
如图所示，Rt△ABC 中，AB=BC，BD⊥AC 于点 D，AE 为∠BAC 平分线，交 BD 于点 F。
求证：(1) BF=BE (2)AB+BE=AC
招式 2： 已知等腰△ABC，∠A=100°，∠ABC 的平分线交 AC 于 D，求证：BD+AD=BC
招式 3： 已知，如图，OC 是∠AOB 的平分线，P 是 OC 上一点，PD⊥OA 于点 D，PE⊥OB 于 E,F,G 分别是 OA,OB 上的点，且 PF=PG。 求证：DF=EG
初中全等三角形变换模式 第一式：斗转星移之倍长中线 修炼条件：过中点的线段（D 为 BC 的中点） 修炼方法：
1、 倍长过中点的线段： ①如图一，延长 AD 至 E 使得 ED=AD（注意构造的线段写在等式左边），连接 BE，结 论：△BDE≌△CDA（注意全等的对应关系） ②如图二，延长 ED 至 F 使得 FD=ED,连接 BF，则△BDF≌△CDE
招式 7： 在等腰 Rt△ABC 中，AC=BC,∠ACB=90°，CM⊥AD 于点 M，BN⊥AD 于点 N，求
证：AM=MN+BN。
招式 8： 如图，梯形 ABCD 中，AD//BC,CE⊥AB 于点 E，交梯形的对角线 BD 于 F，连
接 AF，若△BDC 为等腰直角三角形，且∠BDC=90°。求证：CF=AB+AF。

A F E
D
B
C
三角形全等的条件
画一画， 画一画，想一想 • 三角对应相等的两个三角形全等吗？ 三角对应相等的两个三角形全等吗？ • 结论：三角对应相等的两个三角形不一定 结论： 全等。 全等。
三角形全等的条件
• 小组讨论：你能对三角形全等的判定方法做一个 小组讨论： 小结吗？ 小结吗？ • 证明两个三角形全等的条件至少有一条边，三个 证明两个三角形全等的条件至少有一条边， 角对应相等的两个三角形不一定全等， 角对应相等的两个三角形不一定全等，三边对应 相等的两个三角形一定全等， 相等的两个三角形一定全等，两边和它们的夹角 对应相等的两个三角形一定全等， 对应相等的两个三角形一定全等，两边和其中一 边的对角对应相等的两个三角形不一定全等， 边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，两 角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，两 角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等， 个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形 全等。 全等。
人民教育出版社八年级 上册 第十一章第二节
开始
三角形全等的条件
教学目标 1、知识与技能 ）、经历探索三角形全等条件的过程 （1）、经历探索三角形全等条件的过程， ）、经历探索三角形全等条件的过程， 掌握三角形全等的“角边角”“角角边” ”“角角边 掌握三角形全等的“角边角”“角角边” 判定方法。 判定方法。 ）、体会利用操作 （2）、体会利用操作、归纳获得数学结论 ）、体会利用操作、 的过程。 的过程。 ）、培养学生的空间观念 （3）、培养学生的空间观念，推理能力， ）、培养学生的空间观念，推理能力， 发展有条理地表达能力。 发展有条理地表达能力。
三角形全等的条件
能力提高练习 • 如图：已知△ABC≌△A1B1C1，AD、A1D1分别是∠BAC 如图：已知△ 分别是∠ ≌ 、 的角平分线。求证： 和∠B1 A1 C1的角平分线。求证：AD= A1D1

全等三角形变式练习
教学目标
知识目标：掌握证明三角形全等的方法，学会解决全等三角形的有关变式题。

能力目标：培养空间思维能力，看懂三角形的有关变式图形，理解掌握图形的变化中三组不变条件证全等方法。

情感目标：感受几何的动态之美，数学的变化之趣，培养数学学习的兴趣和自信心。

一、温故知新：
1、证明三角形全等可以进而证明：
线段相等；
角相等；
线段的和（差）关系；
角的和（差）关系；
2、利用全等三角形解决变式题口诀
图形多变全等不变
变化之中找寻条件
等腰等边有等线段
等角要看所给条件
看见变式先寻不变
充分条件全等出现
二、问题探究
问题一已知：如图，AB=CD,AD=CB.求证：A B∥BC
变式1 已知：如图，AB∥DE,AB=DE,AF=CD.求证：
变式2 已知：在△ABC和△ADC中，AB=CD,若不添加任何字母和辅助线，要使△ABC≌△ADC，则还需增加一个条件变式3 如图，△ABD中，已知AB=BD,要使BE=BC,需要添加的一个条件是
问题2
已知：如图1，∠B=∠C=900，M是BC中点，DM平分∠ADC,求证：AM平分∠DAB 变式1 已知：如图，AB∥DC,M是BC中点，DM平分∠ADC,求证：AM平分∠DAB 变式2已知：如图，AB∥DC,AD=AB+CD, DM平分∠ADC求证：M是BC中点
归纳
提取六条信息：
①AB∥CD
②AM平分∠DAB
③DM平分∠ADC
④M是BC中点
⑤AM⊥DM
⑥AD=AB+CD。

专题03全等三角形的六种模型全梳理几何探究类问题一直属于考试压轴题范围，在三角形这一章，压轴题主要考查是证明三角形各种模型，或证明线段数量关系等，接来下我们针对其做出详细分析与梳理。

类型一、倍长中线模型目的：①构造出一组全等三角形；②构造出一组平行线。

将分散的条件集中到一个三角形中。

如图1，ABC 中，若86AB AC ==，，求BC 边上的中线小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图连接BE ．请根据小明的方法思考：（1）如图2，由已知和作图能得到ADC EDB ≌△△A ．SSS B ．SAS C ．AAS D ．ASA（2）如图2，AD 长的取值范围是．（2）根据全等三角形的性质得到6AC BE ==，由三角形三边关系得到AB BE AE AB BE -<<+，即可求出17AD <<；（3）延长AD 到点M ，使AD DM =，连接BM ，证明ADC MDB △△≌，得到BM AC CAD M =∠=∠，，由AE EF =得到CAD AFE ∠=∠，进而推出BF BM =，即可证明AC BF =．【详解】解：（1）如图2，延长AD 到点E ，使DE AD =，连接BE ．∵AD 为BC 的中线，∴BD CD =，又∵AD DE ADC BDE =∠=∠，，∴()SAS ADC EDB ≌△△，故答案为：B ；（2）解：∵ADC EDB ≌△△，∴6AC BE ==，在ABE 中，AB BE AE AB BE -<<+，∴86286AD -<<+，∴17AD <<，故答案为：C ；（3）证明：延长AD 到点M ，使AD DM =，连接BM ，∵AD 是ABC 中线，∴CD BD =，∵在ADC △和MDB △中，DC DB ADC MDB AD HD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS ADC MDB ≌△△，∴BM AC CAD M =∠=∠，，∵AE EF =，(1)如图1，求证：12BF AD =；(2)将DCE △绕C 点旋转到如图2所示的位置，连接,AE BD ，过C 点作CM ⊥①探究AE 和BD 的关系，并说明理由；②连接FC ，求证：F ，C ，M 三点共线．【答案】(1)见解析(2)①,AE BD AE BD =⊥，理由见解析②见解析【分析】（1）证明≌ACD BCE V V ，得到AD BE =，再根据点F 为BE 中点，即可得证；则：AGB CBD BHG ∠=∠+∠=∠∵CBD EAC ∠=∠，∴90BHG ACB ∠=∠=︒，∴AE BD ⊥，综上：,AE BD AE BD =⊥；②延长CF 至点P ，使PF CF =∵F 为BE 中点，∴BF FE =，∴()SAS BFP EFC ≌，∴,BP CE BPF ECF =∠=∠，∴CE BP ，∴180CBP BCE ∠+∠=︒，∵360180BCE ACD ACB DCE ∠+∠=︒-∠-∠=︒，∴CBP ACD ∠=∠，又,CE CD BP AC BC ===，∴()SAS PBC DCA ≌，∴BCP CAD ∠=∠，延长FC 交AD 于点N ，则：18090BCP ACN ACB ∠+∠=︒-∠=︒，∴90CAD ACN ∠+∠=︒，∴90ANC ∠=︒，∴CN AD ⊥，∵CM AD ⊥，∴点,M N 重合，即：F ，C ，M 三点共线．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形判定和性质．熟练掌握手拉手全等模型，倍长中线法构造全等三角形，是解题的关键．【变式训练1】如图，ABC 中，BD DC AC ==，E 是DC 的中点，求证：2AB AE =．【答案】见解析【分析】利用中线加倍证DEF CEA △≌△（SAS ），可得DF AC BD ==，FDE C ∠=∠，由DC AC =，可得ADC CAD ∠=∠进而可证ADF ADB ∠=∠.，再证ADB ADF △≌△（SAS ）即可．【详解】证明：延长AE 到F ，使EF AE =，连结DF ，∵E 是DC 中点，∴DE CE =，∴在DEF 和CEA 中，DE CE DEF CEA EF EA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴DEF CEA △≌△（SAS ），∴DF AC BD ==，FDE C ∠=∠，∵DC AC =，∴ADC CAD ∠=∠，又∵ADB C CAD ∠=∠+∠，ADF FDE ADC ∠=∠+∠，∴ADF ADB ∠=∠，在ADB 和ADF △中，AD AD ADB ADF DB DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ADB ADF △≌△（SAS ），∴2AB AF AE ==．【点睛】本题考查中线加倍构图，三角形全等判定与性质，等腰三角形性质，掌握中线加倍构图，三角形全等判定与性质，等腰三角形性质是解题关键．【变式训练2】（1）如图1，已知ABC 中，AD 是中线，求证：2AB AC AD +>；（2）如图2，在ABC 中，D ，E 是BC 的三等分点，求证：AB AC AD AE +>+；（3）如图3，在ABC 中，D ，E 在边BC 上，且BD CE =．求证：AB AC AD AE +>+．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）利用“倍长中线”法，延长AD ，然后通过全等以及三角形的三边关系证明即可；（2）取DE 中点H ，连接AH 并延长至Q 点，使得AH =QH ，连接QE 和QC ，通过“倍长中线”思想全等证明，进而得到AB =CQ ，AD =EQ ，然后结合三角形的三边关系建立不等式证明即可得出结论；（3）同（2）处理方式一样，取DE 中点M ，连接AM 并延长至N 点，使得AM =NM ，连接NE ，CE ，结合“倍长中线”思想证明全等后，结合三角形的三边关系建立不等式证明即可得出结论．【详解】证：（1）如图所示，延长AD 至P 点，使得AD =PD ，连接CP ，∵AD 是△ABC 的中线，∴D 为BC 的中点，BD =CD ，在△ABD 与△PCD 中，BD CD ADB PDC AD PD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△PCD (SAS )，∴AB =CP ，在△APC 中，由三边关系可得AC +PC ＞AP ，∴2AB AC AD +>；（2）如图所示，取DE 中点H ，连接AH 并延长至Q 点，使得AH =QH ，连接QE 和QC ，∵H 为DE 中点，D 、E 为BC 三等分点，∴DH =EH ，BD =DE =CE ，∴DH =CH ，在△ABH 和△QCH 中，BH CH BHA CHQ AH QH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABH ≌△QCH (SAS )，同理可得：△ADH ≌△QEH ，∴AB =CQ ，AD =EQ ，此时，延长AE ，交CQ 于K 点，∵AC +CQ =AC +CK +QK ，AC +CK ＞AK ，∴AC +CQ ＞AK +QK ，又∵AK +QK =AE +EK +QK ，EK +QK ＞QE ，∴AK +QK ＞AE +QE ，∴AC +CQ ＞AK +QK ＞AE +QE ，∵AB =CQ ，AD =EQ ，∴AB AC AD AE +>+；（3）如图所示，取DE 中点M ，连接AM 并延长至N 点，使得AM =NM ，连接NE ，CE ，∵M 为DE 中点，∴DM =EM ，∵BD =CE ，∴BM =CM ，在△ABM 和△NCM 中，BM CM BMA CMN AM NM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABM ≌△NCM (SAS )，同理可证△ADM ≌△NEM ，∴AB =NC ，AD =NE ，此时，延长AE ，交CN 于T 点，∵AC +CN =AC +CT +NT ，AC +CT ＞AT ，∴AC +CN ＞AT +NT ，又∵AT +NT =AE +ET +NT ，ET +NT ＞NE ，∴AT +NT ＞AE +NE ，∴AC +CN ＞AT +NT ＞AE +NE ，∵AB =NC ，AD =NE ，∴AB AC AD AE +>+．【点睛】本题考查全等三角形证明问题中辅助线的添加，掌握“倍长中线”的基本思想，以及熟练运用三角形的三边关系是解题关键．【答案】（1）1.5 6.5AE <<；（2）见解析；（3）BE DF EF +＝，理由见解析【分析】（1）如图①：将ACD △绕着点D 逆时针旋转180 得到EBD △可得BDE ≅ 得出5BE AC ==，然后根据三角形的三边关系求出AE 的取值范围，进而求得AD 范围；（2）如图②：FDC △绕着点D 旋转180︒得到NDB 可得BND CFD ≅ ，得出BN∴1.5 6.5AD ＜＜；故答案为1.5 6.5AD ＜＜；（2）证明：如图②：FDC △绕着点D 旋转180︒得到NDB∴BND CFD ≅ （SAS ），∴BN CF =，DN DF=∵DE DF⊥∴EN EF =，在BNE 中，由三角形的三边关系得：BE BN EN +＞，∴BE CF EF +＞；（3）BE DF EF +＝，理由如下：如图③，将DCF 绕着点C 按逆时针方向旋转100︒∴△DCF ≌△BCH ，∴100CH CF DCB FCH ∠∠=︒＝，＝∴HBC D DF BH∠∠=＝，∵180ABC D ∠+∠︒＝∴180HBC ABC ∠+∠︒＝，∴点A 、B 、H 三点共线∵100FCH ∠=︒，50FCE ∠=︒，∴50ECH ∠=︒∴FCE ECH ∠∠＝，在HCE 和FCE △中，===CF CH ECF ECH CE CE ∠∠⎧⎪⎨⎪⎩，∴HCE FCE ≌ （SAS ）∴EH EF ＝，∵BE BH EH DF BH+=＝，∴BE DF EF +＝．【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查对全等三角形的性质和判定、三角形的三边关系定理、旋转的性质等知识点，通过旋转得到构造全等三角形是解答本题的关键.类型二、截长补短模型截长补短法使用范围：线段和差的证明（往往需证2次全等）(1)求证：CD BC DE=+；(2)若75B∠=︒，求E∠的度数．【答案】(1)见解析(2)105︒【分析】（1）在CD上截取CF∵CA平分BCD∠，∴BCA FCA∠=∠．在BCAV和FCA△中，⎧⎪∠⎨⎪⎩，∠=︒BAC60【答案】（1）5.8；（2）4.3【分析】（1）由已知条件和辅助线的作法，证得△ACD≌△ECD，得到由于∠A＝2∠B，推出∠DEC＝2∠B，等量代换得到∠B＝∠EDB形，得出AC ＝CE ＝3.6，DE ＝BE ＝2.2，相加可得BC 的长；（2）在BA 边上取点E ，使BE ＝BC ＝2，连接DE ，得到△DEB ≌△DBC （SAS ），在DA 边上取点F ，使DF ＝DB ，连接FE ，得到△BDE ≌△FDE ，即可推出结论．【详解】解：（1）如图2，在BC 边上取点E ，使EC ＝AC ，连接DE ．在△ACD 与△ECD 中，AC CE ACD ECD CD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△ECD （SAS ），∴AD ＝DE ，∠A ＝∠DEC ，∵∠A ＝2∠B ，∴∠DEC ＝2∠B ，∴∠B ＝∠EDB ，∴△BDE 是等腰三角形；∴BE ＝DE ＝AD ＝2.2，AC ＝EC ＝3.6，∴BC 的长为5.8；（2）∵△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝20°，∴∠ABC ＝∠C ＝80°，∵BD 平分∠B ，∴∠1＝∠2＝40°，∠BDC ＝60°，在BA 边上取点E ，使BE ＝BC ＝2，连接DE ，在△DEB 和△DBC 中，12BE BC BD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DEB ≌△DBC （SAS ），∴∠BED ＝∠C ＝80°，∴∠4＝60°，∴∠3＝60°，在DA 边上取点F ，使DF ＝DB ，连接FE ，同理可得△BDE ≌△FDE ，∴∠5＝∠1＝40°，BE ＝EF ＝2，∵∠A ＝20°，∴∠6＝20°，∴AF ＝EF ＝2，∵BD ＝DF ＝2.3，∴AD ＝BD +BC ＝4.3．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，熟悉这些定理是解决本题的关键．类型三、一线三等角模型应用：①通过证明全等实现边角关系的转化，便于解决对应的几何问题；②与函数综合应用中有利于点的坐标的求解。