2021-2022学年湖南省长沙市雅礼教育集团高二（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 已知集合U ={1,2,3,4}，A ={1,3}，B ={1,4}，则A ∩(∁U B)=( )A. {2,3}B. {3}C. {1}D. {1,2,3,4}2. 在定义域内既是奇函数又是减函数的是( )A. f(x)=1x B. f(x)=x +1xC. f(x)=−x|x|D. f(x)={−x +1,x ∈(0,+∞)−x −1,x ∈(−∞,0]3. 设复数z =1−√2i(p 是虚数单位)，则|z +z −|的值为( )A. 3√2B. 2C. 1D. 2√24. 若不等式ax 2+bx +2>0的解集是{x|−12<x <13}，则a +b 的值为( )A. −10B. −14C. 10D. 145. 在△ABC 中，若sinC =2cosAsinB ，则此三角形必是( )A. 等腰三角形B. 正三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形6. 已知双曲线x 2a 2−y 22=1(a >√2)的两条渐近线的夹角为π3，则双曲线的离心率为( ) A. 2√33B. 2√63C. √3D. 27. 如图，点A ，B ，C ，M ，N 为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线MN//平面ABC 的是( )A. B.C. D.8.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)与双曲线x2m2−y2n2=1(m>0,n>0)具有相同焦点F1、F2，P是它们的一个交点，且∠F1PF2=π3，记椭圆与双曲线的离心率分别为e1、e2，则3e12+e22的最小值是()A. 2B. 3C. 4D. 5二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.下列数列中，是等差数列的是()A. 1，4，7，10B. lg2，lg4，lg8，lg16C. 25，24，23，22D. 10，8，6，4，210.下列各式中，值为√32的是()A. √1−cos120°2B. cos2π12−sin2π12C. cos15°sin45°−sin15°cos45°D. tan15°1−tan215∘11.对于直线l：x=my+1，下列说法错误的是()A. 直线l恒过定点(1,0)B. 直线l斜率必定存在C. m=√3时直线l的倾斜角为60°D. m=2时直线l与两坐标轴围成的三角形面积为1412.圆C：x2+y2+4x−6y−3=0，直线l：3x−4y−7=0，点P在圆C上，点Q在直线l上，则下列结论正确的是()A. 直线l与圆C相交B. |PQ|的最小值是1C. 从Q 点向圆C 引切线，切线长的最小值是3D. 直线y =k(x −2)+4与曲线y =1+√4−x 2有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是(512,34]三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 圆(x −3)2+(y +4)2=1关于点(1,2)的对称圆的方程是______．14. 在△ABC 中，O ，D 分别为边AB ，BC 的中点，若OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则x +y =______． 15. 如图①至图④，作一个正三角形，挖去一个“中心三角形”(即以原三角形各边的中点为顶点的三角形)，然后在剩下的每一个小三角形中又挖去一个“中心三角形”，以此类推，如果我们用着色三角形代表挖去的部分，那么剩下的白三角形则称为谢尔宾斯基三角形，该概念由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出．下列4个图形中，若着色三角形的个数依次构成数列{a n }的前4项，则a 6=______．16. 已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线上.若△PF 1F 2为直角三角形，且tan∠PF 1F 2=512，则双曲线的离心率为______ ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 设递增等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3=1，a 42=a 3⋅a 7．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a n }的前n 项和S n ．18.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点F(2,0)，直线l：y=k(x−2)与抛物线C相交于不同的两点A、B．(1)求抛物线C的方程；(2)若|AB|=9，求k的值．19.某中学(含初高中6个年级)随机选取了40名男生，将他们的身高作为样本进行统计，得到如图所示的频率分布直方图．(1)求a的值及样本中男生身高在[185,195](单位：cm)的人数；(2)根据频率分布直方图估计该校男生身高的85%分位数．20.已知函数f(x)=sin(π2+x)+cos(x+π3)．(1)求函数f(x)在[0,π]上的单调递增区间；(2)将函数f(x)的图象向右平移π3个单位长度，然后将所得图象上所有点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标变为原来的12倍，再向上平移1个单位长度得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在[0,π2]上的取值范围．21.如图，正方形ABB1A1的边长为2，AB，A1B1的中点分别为C，C1，正方形ABB1A1沿着CC1折起形成三棱柱ABC−A1B1C1，三棱柱ABC−A1B1C1中，AC⊥BC，AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAA1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ．(1)证明：当λ=12时，求证：DC1⊥平面BCD；(2)若二面角D−BC1−C的余弦值为3√2929，求λ的值．22.已知椭圆C：y2a2+x2b2=1(a>b>0)的短轴长为2，过下焦点且与x轴平行的弦长为2√33．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若A，B分别为椭圆C的右顶点与上顶点，直线y=kx(k>0)与椭圆C相交于M，N两点，求四边形AMBN的面积的最大值及此时k的值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵U ={1,2,3,4}，B ={1,4}， ∴∁U B ={2,3}，又∵A ={1,3}， ∴A ∩(∁U B)={3}， 故选：B ．利用集合的基本运算即可算出结果． 本题主要考查了集合的基本运算，是基础题．2.【答案】C【解析】解：由f(x)=1x 在(−∞,0)和(0,+∞)内递减，可得A 错误； 由f(x)=x +1x 在(1,+∞)内递增，可得B 错误；由f(x)=−x|x|的定义域为R ，f(−x)=x|−x|=x|x|=−f(x)，可得f(x)为奇函数； 又当x ≥0时，f(x)=−x 2递减，可得x <0时，f(x)递减，且f(x)为连续函数，可得f(x)为R 上的减函数，可得C 正确；由x >0时，f(x)=−x +1；x ≤0时，f(x)=−x −1.即f(0)=−1≠0，由f(0)=0是f(x)为R 上的奇函数的必要条件，所以f(x)={−x +1,x ∈(0,+∞)−x −1,x ∈(−∞,0]不为R 上的奇函数，可得D 错误．故选：C ．由常见函数的奇偶性和单调性可判断结论．本题考查函数的奇偶性和单调性的判断，考查定义法的运用，以及推理能力，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：∵z =1−√2i ，∴z −=1+√2i ， 则z +z −=2， ∴|z +z −|=2．故选：B．由已知求得z+z−，则|z+z−|的值可求．本题考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题．4.【答案】B【解析】解：∵不等式ax2+bx+2>0的解集为(−12,1 3 )∴−12，13为方程ax2+bx+2=0的两个根∴根据韦达定理：−12+13=−ba①−12×13=2a②由①②解得：{a=−12b=−2∴a+b=−14故选：B．将不等式解集转化为对应方程的根，然后根据韦达定理求出方程中的参数a，b，从而求出所求．本题主要考查了一元二次不等式的应用，以及韦达定理的运用和一元二次不等式解集与所对应一元二次方程根的关系，属于中档题．5.【答案】A【解析】【分析】由三角形的内角和定理及诱导公式得到sinC=sin(A+B)，利用两角和与差的正弦函数公式化简，代入已知的等式中，整理后，再利用两角和与差的正弦函数公式变形，得到sin(A−B)=0，由A和B都为三角形的内角，得到A−B的范围，利用特殊角的三角函数值得到A−B=0，即A=B，从而得到三角形必是等腰三角形．此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有两角和与差的正弦函数公式，诱导公式，三角形的内角和定理，以及特殊角的三角函数值，根据已知的等式，利用三角函数的恒等变换得到sin(A−B)=0是解本题的关键．【解答】解：由A+B+C=π，得到C=π−(A+B)，∴sinC=sin[π−(A+B)]=sin(A+B)，又sinC=2cosAsinB，∴sin(A+B)=2cosAsinB，即sinAcosB+cosAsinB=2cosAsinB，整理得sinAcosB−cosAsinB=sin(A−B)=0，又A和B都为三角形的内角，∴−π<A−B<π，∴A−B=0，即A=B，则此三角形必是等腰三角形．故选A．6.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查双曲线的标准方程和简单性质，属于基础题，由题意可得斜率为√2a的渐近线的倾斜角为π6，由tanπ6=√2a，求得a的值，可得双曲线的离心率．【解答】解：双曲线x2a2−y22=1(a>√2)的两条渐近线的夹角为π3，可得斜率为√2a的渐近线的倾斜角为π6，∴tanπ6=√2a=√33，求得a=√6，∴双曲线的离心率为ca=√6+2√6=2√33，故选A．7.【答案】D【解析】解：对于A，作出完整的截面ABCD，由正方体的性质可得MN//EF//AC，可得直线MN//平面ABC，能满足；对于B，作出完整的截面ABDCEF，由正方体的性质可得MN//BF，可得直线MN//平面ABC，能满足；对于C，作出完整的截面ABCD，由正方体的性质可得MN//BD，可得直线MN//平面ABC，能满足；对于D，作出完整的截面，如下图ABNMHC，可得MN在平面ABC内，不能得出平行，不能满足．故选：D．根据正方体的性质相应作出完整的截面，然后根据正方体的性质及线面平行的判定即可得解．本题考查空间中线面平行的判定定理，考查了数形结合思想的应用，注意解题方法的积累，属于中档题．8.【答案】B【解析】解：设|PF1|=s，|PF2|=t，P为第一象限的交点，由椭圆和双曲线的定义可得s+t=2a，s−t=2m，解得s=a+m，t=a−m，在三角形F1PF2中，∠F1PF2=π3，可得4c2=s2+t2−2stcosπ3=a2+m2+2am+a2+m2−2am−(a2−m2)，即有a2+3m2=4c2，可得a2c2+3m2c2=4，即为1e12+3e22=4，则3e12+e22=14(1e12+3e22)(3e12+e22)=14(6+e22e12+9e12e22)≥14(6+2√9)=3，当且仅当e22e12=9e12e22，即e22=9e12，取得最小值3．故选：B．设|PF1|=s，|PF2|=t，由椭圆和双曲线的定义，解方程可得s，t，再由余弦定理，可得a，m与c的关系，结合离心率公式，以及基本不等式，可得所求最小值．本题考查椭圆和双曲线的定义和性质，主要是离心率，考查解三角形的余弦定理，以及基本不等式的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．9.【答案】ABD【解析】解：由4−1=7−4=10−7=3，得数列1，4，7，10是等差数列，选项A 正确；由lg4−lg2=lg8−lg4=lg16−lg8=lg2，得数列lg2，lg4，lg8，lg16是等差数列，选项B正确；因为24−25=−16≠23−24=−8，所以数列25，24，23，22不是等差数列，选项C 错误；由8−10=6−8=4−6=2−4=−2，得数列10，8，6，4，2是等差数列，选项D 正确．故选：ABD．对选项进行逐一判断，满足等差数列的定义的即为正确选项．本题考查等差数列的判断，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．10.【答案】AB【解析】解：选项A，原式=√1−(2cos260°−1)2=sin60°=√32，即A正确；选项B，原式=cosπ6=√32，即B正确；选项C，原式=sin(45°−15°)=sin30°=12，即C错误；选项D，原式=12tan30°=√36，即D错误．故选：AB．由二倍角公式，可判断选项A，B和D，由两角差的正弦公式可判断选项C．本题考查三角恒等变换公式，熟练掌握二倍角公式，两角差的正弦公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．11.【答案】BC【解析】【分析】本题考查直线系方程的应用，直线的斜率与直线的倾斜角的关系，考查分析问题解决问题的能力，属于基础题．利用直线系方程判断A；判断直线的斜率，判断B；求解直线的倾斜角判断C；求解三角形的面积判断D．【解答】解：直线l：x=my+1，是恒过定点(1,0)的直线方程，所以A正确，不符合题意；当m=0时，直线l斜率不存在，所以B不正确，符合题意；m=√3时直线l的斜率为：√33，直线的倾斜角为30°，所以C不正确，符合题意；m=2时直线l：x=2y+1，直线与坐标轴的交点为：(1,0)，(0,−12)，所以直线l与两坐标轴围成的三角形面积为：12×1×12=14，所以D正确，不符合题意．故选BC．12.【答案】BCD【解析】解：对于A：由圆C：x2+y2+4x−6y−3=0，得圆C的标准方程为(x+2)2+ (y−3)2=16，圆心C(−2,3)到直线l：3x−4y−7=0的距离d=√32+(−4)2=5>4，所以直线与圆相离，故A错误；对于B：圆心到直线l：3x−4y−7=0的距离d=5，所以|PQ|的最小值为5−4=1；故B正确；对于C：根据图形知，点Q到圆心C的最小值为圆心到直线的距离d=5，由勾股定理得切线长的最小值为3，故C正确；对于D：根据题意画出图形，如图所示：由题意可得：直线l过A(2,4)，B(−2,1)，又曲线y=1+√4−x2图象为以(0,1)为圆心，2为半径的半圆，当直线l与半圆相切，C为切点时，圆心到直线l的距离d=r，即3−2k√k2+1=2，解得：k=512；当直线l过B点时，直线l的斜率为4−12−(−2)=34，则直线l与半圆有两个不同的交点时，实数k的范围为(512,34].故D正确；故选：BCD．求出圆心到直线的距离可判断A的正确性，以及可求PQ的最小值判断B，求出切线长的最小值可判断C，对于D，作出图形，结合图形求出k的范围判断D．本题考查圆的性质，判断直线与圆的位置关系，求圆上的动点到直线上一点的距离的最小值和切线长的最小值问题，以及直线与曲线有两个公共点时的斜率的范围，属中档题．13.【答案】(x+1)2+(y−8)2=1【解析】解：圆(x−3)2+(y+4)2=1的圆心O(3,−4)，半径为r=1，设所求圆的圆心为(a,b)，则(a,b)关于点(1,2)对称，∴{3+a2=1−4+b2=2，解得a=−1，b=8，∴圆(x −3)2+(y +4)2=1关于点(1,2)的对称圆的方程是(x +1)2+( y −8)2=1． 故答案为：(x +1)2+( y −8)2=1．设所求圆的圆心为(a,b)，则(a,b)关于点P(0,1)对称，由此能求出圆(x −3)2+y 2=1关于点P(0,1)对称的圆的方程．本题考查圆的方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对称性质的合理运用．14.【答案】12【解析】解：∵OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−32AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又∵OC⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴x =−32，y =2，故x +y =12， 故答案为：12．根据向量的线性运算法则，及平面向量的基本定理，可得答案．本题主要考查了向量的线性运算法则，及平面向量的基本定理，属于基础题．15.【答案】364【解析】解：由图可得a 1=1， a 2=4=3×1+1， a 3=13=3×4+1， a 4=40=3×13+1，以此类推可得a 5=3×40+1=121， 则a 6=3×121+1=364， 故答案为：364．由图可计算出a 1，a 2，a 3，a 4，进而找到规律即可计算得到a 6．本题考查简单的归纳推理，结合图形变化规律是解题的关键，属于基础题．16.【答案】137或32【解析】解：根据双曲线的对称性，不妨设点P在双曲线的右支上，∵△PF1F2为直角三角形，∴PF1⊥PF2或PF2⊥F1F2，①当PF1⊥PF2时，如图所示：，由tan∠PF1F2=512，可设|PF1|=12x，|PF2|=5x，∴|F1F2|=√|PF1|2+|PF2|2=13x=2c，∴c=13x2，又∵|PF1|−|PF2|=2a=7x，∴a=7x2，∴离心率e=ca =13x27x2=137．②当PF2⊥F1F2时，如图所示：，由tan∠PF1F2=512，可得|PF2|=5x，|F1F2|=12x，∴|PF1|=√|PF2|2+|F1F2|2=13x，∴|PF1|−|PF2|=8x=2a，∴a=4x，又∵|F1F2|=12x=2c，∴c=6x，∴离心率e =c a =6x 4x =32， 综上，双曲线的离心率为137或32． 故答案为：137或32．根据双曲线的对称性，不妨设点P 在双曲线的右支上，由题意可知，然后分PF 1⊥PF 2或PF 2⊥F 1F 2两种情况，分别利用勾股定理和双曲线的定义，即可求出双曲线的离心率． 本题主要考查了双曲线的性质，考查了分类讨论思想，同时考查了学生的计算能力，是中档题．17.【答案】解：(1)根据题意，设等差数列{a n }的公差为d(d >0)，由a 3=1，a 42=a 3⋅a 7，得(1+d)2=1+4d ，化简并整理得d 2−2d =0，解得d =2或d =0(舍去)，又a 3=a 1+2d ，得1=a 1+4，解得a 1=−3， 所以a n =a 1+(n −1)=−3+2(n −1)=2n −5； (2)由(1)可知{a n }是等差数列，∴S n =n2(a 1+a n )=n2(−3+2n −5)=n 2−4n ．【解析】(1)根据题意，设等差数列{a n }的公差为d(d >0)，利用a 3=1，a 42=a 3⋅a 7即可求得a 1与d 的值，从而可得{a n }的通项公式； (2)直接利用等差数列的前n 项和公式即可求出S n ．本题考查等差数列的通项公式与前n 项和公式，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．18.【答案】解：(1)由抛物线的焦点(2,0)，∴p 2=2，∴p =4，所以抛物线方程为：y 2=8x ；(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由直线l 过抛物线的焦点， 所以|AB|=x 1+x 2+4=9， ∴x 1+x 2=5，联立方程{y 2=8x y =k(x −2)，∴k 2x 2−(8+4k 2)x +4k 2=0，∴x1+x2=8+4k2k2=5，∴k=±2√2．【解析】(1)由抛物线焦点坐标即可解出p的值，进而确定抛物线的方程；(2)联立直线与抛物线方程，利用弦长公式即可解出．本题考查了抛物线与直线相交，相交弦长，学生的数学运算能力，属于基础题．19.【答案】解：(I)根据题意，(0.005+a+0.020+0.025+0.040)×10=1，解得a=0.010，所以样本中学生身高在[185,195]内(单位：cm)的人数为40×0.01×10=4；(2)由a=0.010，根据直方图，因为(0.005+0.020+0.040)×10=0.65<0.85，(0.005+0.020+0.040+0.025)×10=0.9>0.85，所以样本中的85%分位数落在[175,185)内，设85%分位数为x，则(x−175)×0.025=0.2，解得x=183，所以估计该校男生身高的85%分位数为183cm．【解析】(1)利用频率分布直方图能求出a的值，由此能求出身高在[185,195]的频率及人数．(2)先判断85%分位数位于哪一个区间，再根据频率分布直方图中百分位数的定义计算即可．本题考查了频率分布直方图的频率，频数以及数字特征等知识，属于基础题．20.【答案】解：(1)函数f(x)=sin(π2+x)+cos(x+π3)=cosx+12cosx−√32sinx=√3cos(x+π6)；由于x∈[0,π]，所以x+π6∈[π6,7π6]，由于函数y=cosx在[π,2π]上单调递增，故函数的单调递增区间为[5π6,π].(2)函数f(x)=√3cos(x+π6)向右平移π3个单位，得到y=√3cos(x−π6)的图象，然后将所得图象上所有点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标变为原来的12倍，再向上平移1个单位长度得到函数g(x)=2√3cos(2x−π6)+1的图象．由于x∈[0,π2]，所以2x−π6∈[−π6,5π6]；故cos(2x−π6)∈[−√32,1]，则g(x)∈[−2,2√3+1]．【解析】(1)首先利用三角函数的关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的性质求出函数的单调递增区间；(2)利用函数的平移变换和伸缩变换的应用求出函数的关系式，进一步利用函数的定义域求出函数的值域．本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．21.【答案】(1)证明：当λ=12时，点D为AA1的中点，因为AC=AD=A1D=A1C1=1，则DC=DC1=√2，又CC1=2，所以DC2+DC12=CC12，故DC⊥DC1，因为BC⊥AC，BC⊥CC1，AC∩CC1=C，AC，CC1⊂平面ACC1A1，所以BC⊥平面ACC1A1，又DC1⊂平面ACC1A1，故BC⊥DC1，因为DC∩BC=C，DC，BC⊂平面BCD，故DC 1⊥平面BCD；(2)解：因为CC1，CA，CB两两互相垂直，故以点C为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，设AD =ℎ，则B(0,1,0)，C 1(0,0,2)，D(1,0,ℎ)， 所以BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−1,2),BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−1,ℎ)， 设平面DBC 1的法向量为n⃗ =(x,y,z)， 故{BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0，即{x −y +ℎz =0−y +2z =0，令z =1，则x =2−ℎ，y =2， 故n⃗ =(2−ℎ,2,1)， 又平面BCC 1的一个法向量为CA⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,0)， 所以|cos <CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ >|=|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=√1+4+(2−ℎ)2，因为二面角D −BC 1−C 的余弦值为3√2929，所以2=3√2929， 解得ℎ=12，所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即λ=14时，二面角D −BC 1−C 的余弦值为3√2929．【解析】(1)利用线面垂直的判定定理证明BC ⊥平面ACC 1A 1，可得BC ⊥DC 1，利用勾股定理证明DC ⊥DC 1，即可证明结论；(2)建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面DBC 1的法向量，由向量的夹角公式求解即可．本题考查了立体几何的综合应用，涉及了线面垂直的判定定理和性质定理的应用，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．22.【答案】解：(1)2b =2⇒b =1，2⋅b 2a =2√33⇒a =√3， ∴椭圆C ：y 23+x 2=1．(2)A(1,0)，B(0,√3)，l AB ：√3x +y −√3=0． 不妨设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)且x 1<x 2，{y 23+x 2=1y =kx⇒x 1=√3√k 2+3，x 2=√3√k 2+3， 设M 到l AB 的距离为d 1=|√3x 1+kx 1−√3|2，N 到l AB 的距离为d 2=|√3x 2+kx 2−√3|2， S AMBN =12|AB|(d 1+d 2)=√3(√3+k)√k 2+32=√3k+32 =√3k 2+6√3k+9k 2+3=√3√k 2+2√3k+3k 2+3=√3√2√3k k 2+3=√3√1+2√3k+3k≤√6，当且仅当k =3k 即k =√3时取“=”．【解析】(1)利用椭圆的短轴长求解b ，过下焦点且与x 轴平行的弦长为2√33求解a ，得到椭圆方程．(2)求出A(1,0)，B(0,√3)，l AB 的方程，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)且x 1<x 2，{y 23+x 2=1y =kx ⇒x 1=√3√k 2+3，x 2=√3√k 2+3，联立直线与椭圆方程，求出M 、N 的横坐标，转化求解三角形的面积，利用基本不等式转化求解即可．本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．。
