2015-2016学年浙江省杭州高级中学高一新生分班模拟考试数学试题一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.下列结论正确的是（ ）A ．2232a b a b -= B ．单项式2x -的系数是-1 C ．使式子2x +有意义的x 的取值范围是2x >-D ．若分式211a a -+的值等于0，则1a =±.2.在下列艺术字中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）3.如图所示，将正方形纸片三次对折后，沿图中AB 线剪掉一个等腰直角三角形，展开铺平得到的图形是（ ）4.今年，我省启动了“关爱留守儿童工程”.某村小为了了解各年级留守儿童的数量，对一到六年级留守儿童数量进行了统计，得到每个年级的留守儿童人数分别为10,15,10,17,18,20，对于这组数据，下列说法错误的是（ ）A ．平均数是15B ．众数是10C ．中位数是17D ．方差是4435.如图，,,A B C 三点在正方形网格线的交点处，若将ABC ∆绕着点A 逆时针旋转得到''AC B ∆，则'tan B 的值为（ ） A ．12 B ．13 C ．14 D 26.如图是自行车骑车训练场地的一部分，半圆O 的直径100AB =，在半圆弧上有一运动员C 从B 点沿半圆周匀速运动到M （最高点），此时由于自行车故障原地停留了一段时间，修理好继续以相同的速度运动到A 点停止，设运动时间为t ，点B 到直线OC 的距离为d ，则下列图象能大致刻画d 与t 之间的关系是（ ）7.如图，在平面直角坐标系中，直线33y x =-+与x 轴、y 轴分别交于,A B 两点，以AB 为边在第一象限作正方形ABCD ，点D 在双曲线(0)ky k x=≠上，将正方形沿x 轴负方向平移a 个单位长度后，点C 恰好落在该双曲线上，则a 的值是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．48.如图，分别过点(,0)(1,2,,)i P i i n =作x 轴的垂线，交212y x =的图象于点i A ，交直线12y x =-于点i B ，则1122111n nA B A B A B +++的值为（ ） A ．21n n + B ．2 C ．2(1)n n + D ．21n +二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）9.如图，AB AC =，120BAC ∠=，AB 的垂直平分线交BC 于点D ，那么ADC ∠= ．10.对实数,a b 定义新运算“*”如下：,*,a a b a b b a b≥⎧=⎨<⎩，如3*23=，(5)*22-=，若210x x +-=的两根为12,x x ，则12*x x = ．11.二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，对称轴为1x =，给出下列结论：①0abc >；②24b ac =；③420a b c ++>；④30a c +>，其中正确的结论是 ．（写出正确命题的序号）12.已知两个正数,a b ，可按规则c ab a b =++扩充为一个新数c 在,,a b c 三个数中取两个较大的数，按上述规则扩充得到一个新数，依次下去，将每扩充一次得到一个新数称为一次操作，（1）若1,3a b ==，按上述规则操作三次，扩充所得的数是 ；（2）若0p q >>，经过6次操作后扩充所得的数为(1)(1)1m n q p ++-（,m n 为正整数），则m n +的值为 . 三、解答题 （本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）13.（本小题共两小题，满分12分，每小题6分） （1）先化简，再求值：222()111a aa a a ++÷+--，其中21a =.（2）已知关于,x y 的二元一次方程2231x y mx y m -=⎧⎨+=-⎩的解满足x y <，求m 的取值范围.14.（本小题满分10分）2015年1月，市教育局在全市中小学中选取了63所学校从学生的思想品德、学业水平、学业负担、身心发展和兴趣特长五个维度进行了综合评价，评价小组在选取的某中学七年级全体学生中随机抽取了若干名学生进行问卷调查，了解他们每天在课外用于学习的时间，并绘制成如下不完整的统计图.根据上述信息，解答下列问题：（1）本次抽取的学生人数是 ；扇形统计图中的圆心角α等于 ；补全统计直方图； （2）被抽取的学生还要进行一次50米跑测试，每5人一组进行，在随机分组时，小红、小花两名女生被分到同一个小组，请用列表法或画树状图求出她俩在抽道次时抽在相邻两道的概率. 15.（本小题满分12分）已知，如图，AB 是圆O 的直径，点C 为圆O 上一点，OF BC ⊥于点F ，交圆O 于点E ，AE 与BC 交于点H ，点D 为OE 的延长线上一点，且ODB AEC ∠=∠. （1）求证：BD 是圆O 的切线； （2）求证：2CE EH EA =•； （3）若圆O 的半径为5，3sin 5A =，求BH 的长.16. （本小题满分12分）大学毕业生小王相应国家“自主创业”的号召，利用银行小额无息贷款开办了一家饰品店，该店购进一种今年新上市的饰品进行销售，饰品的进价为每件40元，售价为每件60元，每月可卖出300件，市场调查反映：调整价格时，售价每涨1元每月要少卖10件；售价每下降1元每月多卖20件，为获得更大的利润，现将饰品售价调整为60x +（元/件）（0x >即售价上涨，0x <即售价下降），每月饰品销售为y （件），月利润为w （元）.（1）直接写出y 与x 之间的函数关系式；（2）如何确定销售价格才能使月利润最大？求最大月利润； （3）为了使每月利润不少于6000元，应如何控制销售价格？ 17. （本小题满分14分）如图，把两个全等的Rt AOB ∆和Rt COD ∆分别置于平面直角坐标系中，使直角边,OB OD 在x 轴上，已知点(1,2)A ，过,A C 两点的直线分别交x 轴、y 轴于点,E F . 抛物线2y ax bx c =++经过,,O A C 三点. （1）求该抛物线的函数解析式；（2）点P 为线段OC 上的一个动点，过点P 作y 轴的平行线交抛物线于点M ，交x 轴于点N ，问是否存在这样的点P ，使得四边形ABPM 为等腰梯形？若存在，求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若AOB ∆沿AC 方向平移（点A 始终在线段AC 上，且不与点C 重合），AOB ∆在平移的过程中与COD ∆重叠部分的面积记为S ，试探究S 是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由.参考答案BDACBCBA9．6010．512-11．①④12．255 21（2）解二元一次方程组2231x y mx y m-=⎧⎨+=-⎩，得1727x my⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∵x y<，∴1277n-<-，∴17n <-， 所以n 的取值范围是17n <-. 14．（1）620%30+=，0(303762)30360123026144----÷⨯=÷⨯=， 答：本次抽取的学生人数是30人；扇形统计图中的圆心角α等于144； 故答案为：030,144； 补全统计图如图所示：（2）根据题意列表如下：设竖列为小红抽取的跑道，横排为小花抽取的跑道， 小红 小花 1 2 3 4 5 1 （2,1） （3,1） （4,1） （5,1） 2 （1,2） （3,2） （4,2） （5,2） 3 （1,3） （2,3） （4,3） （5,3） 4 （1,4） （2,4） （3,4） （5,4） 5（1,5）（2,5）（3,5）（4,5）记小红和小花抽在相邻两道这个事件为A ， ∴82()205P A ==. 15．（1）证明：∵ODB AEC ∠=∠，AEC ABC ∠=∠， ∴ODB ABC ∠=∠， ∵OF BC ⊥， ∴90BFD ∠=，∴90ODB DBF ∠+∠=，∴90ABC DBF ∠+∠=， 即90OBD ∠=， ∴BD OB ⊥， ∴BD 是圆O 的切线.（2）证明：连接AC ，如图1所示：∵OF BC ⊥， ∴弧BE =弧CE ， ∴CAE ECB ∠=∠， ∵CEA HEC ∠=∠， ∴CEH ∆∽AEC ∆， ∴CE EAEH CE=， ∴2CE EH EA =•.（3）连接BE ，如图2所示，∵AB 是圆O 的直径， ∴90AEB ∠=，∵圆O 的半径为5，3sin 5BAE ∠=， ∴310,sin 1065AB BE AB BAE ==•∠=⨯=， ∴22221068EA AB BE =-=-=，∵弧BE =弧CE ， ∴6BE CE ==， ∵2CE EH EA =•，∴26982EH ==， 在Rt BEH ∆中，22229156()22BH BE EH =+=+=.16．（1）由题意可得，30010,03030020,200x x y x x -≤≤⎧=⎨--≤<⎩，（2）由题意可得：(20)(30010),030(20)(30020),200x x x w x x x +-≤≤⎧=⎨+--≤<⎩，化简得：22101006000,030201006000,200x x x w x x x ⎧-++≤≤=⎨--+-≤<⎩， 即2210(5)6250,030520()6125,2002x x w x x ⎧--+≤≤⎪=⎨-++-≤<⎪⎩， 由题意可知x 应取整数，故当2x =-或3x =-时，61256250w <<， 故当销售价格为66元时，利润最大，最大利润为6250元. （3）由题意6000w ≥，如图，令6000w =，即2600010(5)6250x =--+，25600020()61252x =-++，解得：15x =-，20x =，310x =，510x -≤≤，故将销售价格控制在55元到70元之间（含55元和70元）才能使每月利润不少于6000元. 17．（1）将(1,2),(0,0),(2,1)A O C 分别代入2y ax bx c =++，得20421a b c c a b c ++=⎧⎪=⎨⎪++=⎩，解得：37,,022a b c =-==，所以23722y x x =-+.（2）如图2，过点,P M 分别作梯形ABPM 的高'',PP MM ，如果梯形ABPM 是等腰梯形，那么''AM BP =因此，''A B M P y y y y -=-，直线OC 的解析式为12y x =，设点P 的坐标为1(,)2x x ，那么237(,)22M x x x -+. 解方程23712()222x x x --+=，得122,23x x ==，2x =的几何意义是P 与C 重合，此时梯形不存在，所以21(,)33P .（3）如图3，AOB ∆与COD ∆重叠部分的形状是四边形EFGH ，作EK OD ⊥于k ， 设点'A 移动的水平距离为m ，那么1OG m =+，'GB m =，在Rt OFG ∆中，11(1)22FG OG m ==+，所以21(1)4OFG S m ∆=+. 在'Rt A HG ∆中，'2AG m =-，所以'111(2)1222HG AG m m ==-=-，所以13(1)(1)22OH OG HG m m m =-=+--=，在Rt OEK ∆中，2OK EK =；在Rt EHK ∆中，2EK HK =；所以4OK HK =. 因此4432332OK OH m m ==⨯=，所以12EK OK m ==， 所以211332224OEH S OH EK m m m ∆=•=⨯•=. 于是222213111113(1)()44224228OFG OEH S S S m m m m m ∆∆=-=+-=-++=--+， 因为01m <<，所以当12m =时，S 取得最大值，最大值为38.。
