金属的结构和性质体心立方堆积中八面体空隙与四面体空隙半径计算
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08金属得结构与性质
【8、1】半径为7?得圆球堆积成正四面体空隙，试作图计算该四面体得边长与爲、中心到顶 点距离、中心距离地面得高度、中心到两顶点连县得夹角以及中心到球面得最短距离。
解：4个等径圆球作紧密堆积得情形示于图9、1(a)与(b),图9、1(c)示出堆积所形成得
正四面体空陳。该正四面体得顶点即球心位置，边长为圆球半径得2倍。
由图与正四面体得立体几何知识可知: 边长AB=2R
1
AM =(AE1 2 3-EM2y 鬲
OA = -AM =—R^\.225R 中心到顶点得距离： 4 2
OM =-AM =~R^ 0.408/?
中心到底边得高度： 4 6
中心到两顶点连线得夹角为：ZAOB
= cosH (-1/3) = 109.47°
中心到球面得最短距离=OA-R^ 0.2257?
本题得计算结果很重要。由此结果可知，半径为R得等径岡球最密堆积结构中四面体空
隙所能容纳得小球得最大半径为0、225Ro而0、225正就是典型得二元离子晶体中正离子
得配位
1
=AB2- -AB
U - -AE 1 厂
=(2町_疋_
OA2 + OB2 - AB2 —COS J 2(品R/2)'-(2R)2
2(04)(03) 2(極/2『 0 = cos"1 D 多面体为正四面体时正.负离子半径比得下限。此题得结果也就是了解hep结构中晶胞参数 得基础（见习题9、04）。
【8、2］半径为尺得圆球堆积成正八面体空隙，计算中心到顶点得距离。
解：正八面体空隙由6个等径圆球密堆枳而成，其顶点即圆球得球心，其棱长即圆球得直 径。空隙得实际体积小于八面体体积。图沢2中三图分别示出球得堆积情况及所形成得正
图9、2
由图（c）知，八面体空隙中心到顶点得距离为：
OC = ^-AC = -42AB = -^2x2R = yf2R
2 2 2 而八面体空隙中心到球面得最短距离为：
OC-R = d-RZ4\4R
此即半径为R得等径圆球最密堆积形成得正八面体空隙所能容纳得小球得最大半径。0. 414 就是典型得二元离子晶体中正离子得配位多面体为正八面体时仃/匚得下限值。
【8、3］半径为R得圆球围成正三角形空隙，计算中心到顶点得距离。
解：由图9、3可见，三角形空隙中心到顶点（球心）得距离为：
2 2
OA = -AD = -^R^\A55R
三角形空隙中心到球面得距离为：
OA-R^lA55R-R = OA55R
此即半径为R得圆球作紧密堆积形成得三角形空隙所能容纳得小球得最大半径,0、155就是 “三角形离子配位多面体”中h得下限值。
【8、4］半径为R得圆球堆积成43结构，计算简单立方晶胞参数"与c得数值。
解：图9、4示出A3型结构得一个简单六方晶胞。该晶胞中有两个圆球、4个正四面体 空隙与两个正八面体空隙。由图可见，两个正四面体空隙共用一个顶点，正四面体高得两倍即晶胞参数c,而正四面体得梭长即为晶胞参数"或°。根据9、01题得结果，可得:
a=b=2R
c = — “R x2 = — &R
3 3
2 c/a = —y/b a 1.633
3
[8.5]证明半咎为R得圆球所作得体心立方堆积中，八面体空隙只能容纳半径为0.154/?得 小球，四面体空隙可容纳半径为o 291R得小球。
证明：等径圆球体心立方堆积结构得晶胞示于图9、5(a)与⑹。由图9、5(a)可见，八面 体空隙中心分别分布在晶胞得面心与棱心上。因此，每个晶胞中6个八面体空隙 ! 6 x — +12 x —
I 2 4
八面体空隙所能容纳得小球得最大半径几即从空隙中心(沿短轴)到球面得距离，该距
JR C
离为2 。体心立方堆积就是一种非最密堆积，圆球只在5轴方向上互相接触，因而
a = ^=R —R ^=1 彳一1 恥0・154/?
爸。代入2 ，得I"丿 。
由图9、5(b)可见，四面体空隙中心分布在立方晶胞得面上，每个面有4个四面体中心，
6x4x— I
因此每个晶胞有12个四面体空隙I 2丿。而每个晶胞有2个球，所以毎个球平均摊到6
个四面体空隙。这些四面体空隙也就是变形得，两条长棱皆为"，4条短棱皆为2 。
四面体空隙所能容纳得小球得最大半径G等于从四面体空隙中心到顶点得距离减去球 o而每个晶胞中含2个圆球，所以每个球平均摊到3个八面体空隙。这些八 面体空隙就是沿着一个轴被压扁了得变形八面体，长轴为血，短轴为“就是晶胞参 数)。 图9、4
(•國球，。八面体空隙中心，•四面体空隙中心)
图9、5 得半径R。而从空隙中心到顶点得距离为L 亘a-R = ：Hx2R-R = 029lR
4 4 ^3
【8、6］计算等径圆球密置单层中平均毎个球所摊到得三角形空隙数目及二维堆积密度。 解：图9、6示出等径圆球密置单层得一部分。由图可见，毎个球(如A)周国有6个三角形空隙，而毎个三角形空隙由3个球国成，所以
6x1 = 2
每个球平均摊到 3 个三角形空隙。也可按图中画出得平行四边形单位计算。该单位 只包含一个球(裁面)与2个三角形空隙，即每个球摊到2个三角形空隙。
设等径圆球得半径为R,则图中平行四边形单位得边长为2Ro所以二维堆积系数为：
= 0.906
(2R\ sin60° 4/?2(V3/2)
【8、7］指出Al型与人3型等径圜球密置单层得方向就是什么？
解:A1型等径团球密堆积中，密置层得方向与G轴垂直，即与(111)面平行°A3型等径圆
球密堆积中，密置层得方向与六重轴垂直，即与(001)面平行。下面将通过两种密堆积型式划 分出来得晶胞进一步说明密置层得方向。
A1型密堆积可划分出如图沢7(a)所示得立方面心晶胞。在该鬲胞中，由虚线连接得圆 球所处得平面即密置层面，该层面垂直于立方晶胞得体对角线即G轴。每一晶胞有4条体对 r
角线，即在4个方向上都有轴得对称性。因此，与这4个方向垂直得层面都就是密置层。
A3型密堆积可划分出如图9、7(b)所示得六方晶胞。球A与球B所在得堆积层都就是密/ \^ /
a a
—+ — (2丿 =—a
4
，所以小球得最大半径为 c
层.这些层面平行于(001)晶面，即垂直于c轴，而c轴平行于六重轴
【8、8】请按下面(a) ~ (c)总结Al、A2及A3型金属晶体得结构特征。
(a) 原子密置层得堆枳方式.莹复周期(A2型除外八 原子得配位数及配位情况。
(b) 空隙得种类与大小、空隙中心得位置及平均每个原子摊到得空隙数目。
(c) 原子得堆积系数、所属晶系、晶胞中原子得坐标参数.晶胞参数与原子半径得关系 以及空间点阵型式等。
解：
(a) A1, A2与A3型金属晶体中原子得堆积方式分别为立方最密堆积(ccp)、体心立方密 堆积(bcp)相六方最密堆积(hep) o A1型堆积中密堆积层得重复方式为ABCABCABC-,三层为 一重复周期,A3型堆积中密堆积层得重复方式为ABABAB…，两层为一重复周期。AI与A3型 堆积中原子得配位数皆为12,而A2型堆积中原子得配位数为8—14,在A1型与A3型堆积中， 中心原子与所有配位原子都接触•同层6个，上下两层各3个。所不同得就是,A1型堆积中， 上下两层配位原子沿G轴得投影相差60。呈G轴得对称性，而A3型堆积中，上下两层配位
-- (1
原子沿C轴得投影互相重合。在A2型堆积中，8个近距离(与中心原子相距为2 )配位原
子处在立方晶胞得顶点上,6个远距离(与中心原子相距为")配位原子处在相邻品胞得体心 上。
(b) A1型堆枳与A3型堆积都有两种空隙，即四面体空隙与八面体空隙。四面体空隙可容 纳半径为0.225/?得小原子.八面体空隙可容纳半径为0.414/?得小原子(R为堆积原子得半 径)。在这两种堆枳中，每个原子平均摊到两个四面体空隙与1个八面体空隙。差别在于，两 种堆积中空隙得分布不同。在A1型堆积中，四面体空隙得中心在立方面心晶胞得体对角线上,
R
到晶胞顶点得距离为2 °八面体空隙得中心分别处在晶胞得体心与棱心上。在A3型堆
3 5 2 1 1 2 17
0,0恬;0號;齐L恰
积中，四面体空晾中心得坐标参数分别为 8 8 3 3 8 3 3 8 o而八面体空隙中
2 £ £ 2 £ 3
心得坐标参数分别为亍亍了亍亍了。A2型堆积中有变形八面体空隙.变形四面体空隙与 三角形空隙(亦可视为变形三方双锥空隙)。八面体空隙与四面体空隙在空间上就是莹复利用 得。八面体空隙中心在体心立方晶胞得面心与棱心上。毎个原子平均摊到3个八面体空隙， 该空隙可容纳得小原子得最大半径为0.154R。四面体空隙中心处在晶胞得面上。每个原子 平均摊到6个四面体空隙，该空隙可容纳得小原子得最大半径0.291/? e三角形空隙实际 上就是上述两种多面体空隙得连接面，算起来，每个原子摊到12个三角形空隙。
(C)
金属得结构形式 A1 A2 A3
原子得堆积系数 74、 05% 68、 02% 74、 05%
所属晶系 立方 立方 六方
晶胞形式 面心立方 体心立方 六方
晶胞中原子 c八八1 1 0,0,0; 0,0,0;
得坐标参数 0^0,0;—, — ,0;
2 2 1 1 1 2 1 1
2 2 2 2 2^2'2 3'3'2
I = 2y/2R a = — R d = b = 2R
C = -y/6R
3
面心立方
体心立方 简单六方
综上所述,A1,A2与A3型结构就是金属单质得三种典型结构形式。它们具有共性，也有差异。 尽管A2型结构与A1型结构同属立方晶体，但A2型结构就是非最密堆积，堆积系数小，且空隙 数目多，形状不規则，分布复杂。搞淸这些空隙得情况对于实际工作很重要。A1型与A3型结 构都就是置密推积结构，它们得配位数.球与空隙得比例以及堆积系数都相同。差别就是它 们得对称性与周期性不同。A3型结构属六方晶系，可划分出包含两个原子得六方晶胞。其密 置层方向与c轴垂直。而A1型结构得对称性比A3型结构得对称性商，它属立方晶系，可划分 出包含4个原子得面心立方晶胞，密置层与晶胞体对角线垂直。A1型结构將原子密置层中°6 轴所包含得G轴对称性保留了下来。另外，A3型结构可抽象出简单六方点阵，而A1型结构 可抽象出面心立方点阵。
【8、9］画出等径圆球密置双层图及相应得点阵素单位，指明结构基元。
解：等径圆球得密置双层示于图9. 9。仔细观察与分子便发现，作周期性重复得最基本 得结构单位包括2个圆球，即2个圆球构成一个结构基元。这两个球分布在两个密置层中， 如球A与球B。密置双层本身就是个三维结构，但由它抽取出来得点阵却为平面点阵。即密置双层仍为 二维点阵结构。图中画出平面点阵得素单位，该单位就是平面六方单位，其形状与密置单层得 点阵素单位一样，每个单位也只包含1个点阵点，但它代麦2个球。
等径圆球密置双层就是两个密置层作最密堆积所得到得唯一得一种堆积方式。在密置 双层结构中，圆球之间形成两种空隙，即四面体空隙与八面体空隙。前者由3个相邻得A球与 1个B球或3个相邻得B球与1个A球构成。后者則由3个相邻得A球与3个相邻得B球构 成。球数：四面体空隙数：八面体空隙数=2:2:1
