奥数 六年级 千份讲义 150 08春 分班考试 清华北大十一分班考试班 第六讲 杂题 学生版

第三讲数 论1.(2003年一零一培训学校期末考试题(2003年12月)第7题)一个整数m (m ≠1)，除219，270，338得到的余数相同，则这个整数m ＝__________。

【分析】 219，270，338除以m 得到的余数相同，那么他们两两的差就能被m 整除。

270-219=51，33827068-=，338219119-=，m =[51，68，119]=17。

2. 如果2n －1能被31整除，那么自然数n 应满足什么条件？【分析】 31=11111(2)2200000000n = （n 个0）(2)212000000001n -=- =100000000(2)（n 个0）2n －1能被31整除，那么n 是5的倍数即可。

3. 在算式□□□□□□1=-的每个括号内各填入一个数字(所填数字均选自1，2，3，……9)，要求所填的数字都是质数，并使得算式成立。

【分析】 在1，2，3，……，9中只有2，3，5，7为质数，根据分母的特性，可知结果的分母为两分数的最小公倍数，那么只能为5，7。

可得到：3217535-=。

4.5位数291x y 是某个自然数的平方，则47x y += .真题模考【分析】 291x y 是一个自然数的平方，那么这个自然数的末位只能为1或9。

1402<291x y <1802 得1612=25921 x =5，y =2，那么4x +7y =34 5.从1，3，5，7，…。

97，99，101中最多可以选出n 个数，使得选出的这n 个数中，每个都不是另一个数的倍数，那么n =_______【分析】 1，3，5，……，101这些数中，35…101这34个数中，每个数都不是另一个数的倍数。

因为1，3，5，……，101都可以写成3a t ∙的形式（其中a 是0或自然数，t 是不能被3整除的自然数）由于1，3，5，……，101有17个不能被3整除的数，剩下51-17=34个数不是3的倍数。

第三讲数 论1. 从123456789101112…9899100中任意划去100个数字．其他数字顺序不变．剩下的数字组成的数，最大的是多少?最小的是多少?【分析】 为了保证剩下的数最大，最高位数字要尽可能地大，先从12345678910中划去10个数字剩下9；再从1112134950 中划去76个教字剩下4个9；再从515260 中划去14个数字剩下尽可能大的数785960，所以最大的数是99999785960616299100 ．为了保证剩下的数最小，最高位数字要尽可能地小．从12345678910中划去9个数字剩下10：再从1112134950 中划去76个数字，剩下4个0，最后从51525960 中划去15个数字，剩下尽可能小的数12340，所以最小的数是10000012340616299100 ． 解答：最大的是99999785960616299100 ．最小的是10000012340616299100 ． 2.有一个正整数的平方，它的最后三位数字相同但不为0，试求满足上述条件的最小的正整数．【分析】 平方数的末尾只能是014569、、、、、，因为111444555666999、、、、都不是完全平方数，所以所求的数最小是4位数．考察11111444 、可以知道14443838=⨯，所以满足条件的最小正整数是1444．解答：满足条件的最小正整教是1444．3.一次数学考试满分是100分，6位同学在这次考试中的平均分是91分，这6位同学的得分各不相同，其中有一位同学仅得了65分，那么得分排在第三名的同学至少得多少分?【分析】 6(10091)54⨯-= 916526-=542628-= 第一100 第二99 28127-= 271314=+ 所以1001387-= 第三至少得874. 有四个不同的自然数，它们的和是1111，则它们的最大公约数最大是（ ）．【分析】 111111101=⨯， 111235=+++ ∴四个数分别1011101,⨯= 1012202,⨯=1013303,⨯= 1015505⨯= 最大公约数为101． 5.有一种商品，买2个要1角钱，买5个要2角钱，买11个要4角钱，小明和小红都有整数角钱，小明的钱最多能买这种商品51个，要是他们的钱合在一起，则最多能买115个这种商品，那么小红的钱最多能买这种商品（ ）个．【分析】511147÷= 7512÷= 221÷= 小明的钱数：44211119⨯+⨯+⨯= （角） 11511105÷= 551÷=两人一共有钱：4102142⨯+⨯= （角）小红有钱： 421923-=（角）23453÷= 3211÷= 小红最多能买：5115262⨯++= 6. 有两个两位数，它们的差是14，将它们分别平方，得到的两个平方数的末两位数（个位数和十位数）相同，那么这两个两位数是（ ）（请写出所有可能的答案）．【分析】 个位 只能 3和7 或 8和4 (13,27)(23,37)(33,47)(43,57)(53,67)(63,77)(73,87)(83,97)、、、、、、、中 只有(43,57)符合 (18,32)(28,42)(38,52)(48,62)(58,72)(68,82)(78,92)、、、、、、中 只有 (18,32)和(68,82)符合 所以一共有(43,57)(18,32)(68,82)、、三组答案． 7. 令0.1234567891011998999a = ，其中的数字是由依次写下正整数1至999得到的，则小数点右边第2008位数字是（ ）【分析】9902189+⨯= 20081891819==181936081÷=第608个三位数是707707708 即707的下一位是78. 连续7个偶数的和是196．这7个数中最大的一个偶数是多少?【分析】 2468101242+++++= (19642)722-÷=这七个数分别是22,24,26,28,30,32,34 最大是34 9. 一个三位数除以43，商是a ，余数是b （a 、b 都是正数)．求a +b 的最大值．【分析】 999432310÷= 那么一个三位数÷43=2242 为余数最大． 这个数432242988=⨯+= 最大值224264=+=． 10.（1）把17分成两个自然数的和，使它们的乘积最大，应该怎样分？ （2）把17分成若干个自然数的和，要是这几个数的乘积最大，应该怎样分？【分析】 (1)8和9 (2)3,3,3,3,3,2【例1】 如果一个正整数的十进制表示中，任何两个相邻数字的奇偶性不同，则称这个正整数为“交替数”，若正整数n 至少有一个倍数为“交替数”，则把n 称为“好数”．(1)80是“好数”吗？说明理由． (2)证明：2008是“好数”．(3)证明：所有与10互质的正整数都是“好数”．【分析】 （1）80的任何倍数的十位和个位都是偶数．（2）200824016⨯=，前两位都是偶数，用251000“改造”千位，4016251000255016+=．万位和千位都是奇数，“改造”十万位和万位，25100002550162765016+=，满足条件．（3）首先证明任意一个与10互质的数都有倍数可以写成“99…99”的形式，证：设这个与“10”互质的数是A ,取A 个不同的自然数n ，求10n 被A 除所得的余数，根据抽屉原理，必有两个余数相等，将余数相等的两个被除数相减，则可得到“999000 ”，这个数能被A 整除，由于A 与10互质，所以去掉末尾的0后，剩下的999 仍是A 的倍数，设这个数由m 个9构成，即写成9999m，将这个数重复写两遍得到2999999m，它也是A 的倍数，将它除以11，再乘以210210210210210101000100010001000100010001m m m m m -----（能被11整除），得到22-19090909090909m ，这个数仍然是A 的倍数，并且是“交替数”，所以A 是“好数”．【例2】 n 为4位整数，且组成它的各位数码是从左到右呈降序排列连续数字．则n 除以37的所有可能的余数之和为 ．【分析】 n 可能为9876;8765;7654;6543;5432;4321;3210它们的余数分别是34;33;32;31;30;29;28余数之和=342872172+⨯=【例3】 在一次马拉松长跑比赛中，有100位选手参加．大会准备了100块标有整数1到100的号码布，分发给每位选手．选手们被要求在比赛结束时，将自己号码布上的数字与到达终点时的名次数相加，并将这个和数交上去．问这交上来的100个数字的末2位数字是否可能都不相同?请回答可能或不可能，并清楚地说明理由．注：没有同时到达终点的选手．【分析】 (解一)不可能，因为从1100 选出1个加上从1100 选出1个，结果可能是2200 ，共有199种情况，一旦确定一个数，如11+，那么2和102就不能再出现，即确定一个数就减少两种情况，那么确定100个数就需要200种情况，本题只有199种情况，所以不可能．（解二）不可能，末2位数字都不相同说明0099 各有一个．而000102994950++++= ，末2位数字为50．所有选手身上和号码布上的号码总和应该为：(12100)210100+++⨯= ，末2位数字为00．【例4】 已知n 是正整数，规定!12n n =⨯⨯⨯ ，令1!12!23!32007!2007m =⨯+⨯+⨯++⨯ ，则整数m 除以2008的余数为（ ）【分析】 （解一）(1!12!2)3⨯+⨯÷ 余数是2 (1!12!23!3)4⨯+⨯+⨯÷ 余数是3 (1!12!23!34!4)5⨯+⨯+⨯+⨯÷ 余数是4 (1!12!23!34!45!5)6⨯+⨯+⨯+⨯+⨯÷ 余数是5(1!12!23!34!45!52007!2007)2008⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯÷ 余数是2007（解二）1!12!23!32007!20071!(21)2!(31)3!(41)2007!(20081)2!1!3!2!4!3!2008!2007!2008!1⨯+⨯+⨯++⨯=⨯-+⨯-+⨯-++⨯-=-+-+-++-=-2008能够整除2008!，所以2008!1-的余数是2007【例5】 一个分子是1的分数，化成小数后是一个混循环小数，且循环节为两位，不循环也有两位，那么这种分数共有多少个？【分析】 假设该混循环小数是990.99009900abcd ab ab cd abcd-+==，那么其中cd ≠0,11,22,33，44,55,66,77,88,99，且b ≠d ，所以99ab cd +不是11和10的倍数.令ab x =，cd y =，则1990.99009900abcd ab x yabcd n -+===，那么()999900x y n +=，而所以()99x y +是9900的约数，且不是11和10的倍数. 9900的约数中11的倍数有222990023511=⨯⨯⨯，9900的约数中11的倍数有33327⨯⨯=个，10的倍数有232224⨯⨯⨯=个，即是11也是10的倍数有12个，显然对任意值，x 和y 都有99以内的符合条件自然数解，所以符合条件的解有3332(272412)15⨯⨯⨯-+-=个，对应的n 也有15个，即这样的分数有15个，【例6】 有一个四位整数．在它的某位数字前面加上一个小数点，再和这个四位数相加，所得结果是2000.81．这个四位数是（ ）．【分析】 结果的小数点后有两位，说明这个小数要么是.,0x ynm m =，要么是.xy nm 1,9x y ∴== 190 1.92000.81n n +≠ 所以只能是 1919.2000.81nm nm += 8,1n m == 1981xynm =1.一个两位数被它的各个数字之和去除，余数最大是（ ）【分析】 数字和18，991859÷=数字和17，9817513÷=；891754÷=数字和16，971661÷=； 881658÷= ；7916415÷= 所以余数最大是152. 设x 与y 分别表示两个两位整数，并且满足方程1002x y xy +=，则y =（ ）【分析】 方程两边除以x ，得1002y yx+=，即2100y y x=-，y 为偶数，2y ∴被4整除，又 两位数除以两位数只能在19 之间， 4y x ∴=或8y x= 经验证8y x=不符合题意，舍去，所以4,13,52y x y x===3.实验小学的礼堂一共有座位24排．每排有座位30个，全校有650个学生在礼堂开会，那么至少育多少排座位上坐的学生人数同样多?【分析】 假设24排座位上坐的人数都不一样多，那么最多只能坐307242444+⨯÷=（）人；假设有两排坐的人数同样多，最多可以坐30191222588+⨯÷⨯=（）人：假设由3排坐的人数同样多．最多可以坐3023823636+⨯÷⨯=（）.假设相同人数的座位有4排．最多能坐3025624660+⨯÷⨯=（）人，超过650人的总人数．所以至少有4排座位上的人数相等． 解答：至少有4排座位上的人数相等．4.两个整数的最小公倍数是1925，这两个整数分别除以它们的最大公约数，得到两个商的和是16，请写出这两个整数.【分析】 1925=5×5×7×11两个商都是1925的约数，互质，而且和为16，所以这两个商分别1为5、11. 1925÷5=385， 1925÷11=175这两个整数是385与175.。

名校真题 测试卷1 （计算篇）时间：15分钟 满分5分 姓名_________ 测试成绩_________1 （07年人大附中考题）看规律 ， ， 311=22233123+=3331236++=…试求3 3.67...14+++32 （07年人大附中考题） 计算：⎟⎠⎞⎜⎝⎛+++××−+×631351151312.375.3311361.05.41873 （07年西城实验考题）计算2004×2003-2003×2002+2002×2001-2001×2000+……+2×1= ____4 （07年101中学考题） 有一列数：121321432154321,,,,,,,,,,,,,,112123123412345……第2008个数是 .5 (07年四中考题)1111123102612110++++"________________第一讲 小升初专项训练 计算及其规律学而思寄语：秋去冬来，时光荏苒，在四个月殷实的努力后，我们共同迎来了寒假.小升初考前的最后一个假期，是一个难得集中学习，巩固成果的黄金时期，望同学们珍惜时间，和我们优秀的老师一道拼搏进取，您就有可能在未来的竞争中占据先机！奥数网将带给您考前复习的方法和成功的经验，激起您战胜自我，追求卓越的品质！期待在我们这一、小升初考试热点及命题方向计算是小学数学的基础，近两年的试卷又以考察分数的计算和巧算为明显趋势（分值大体在6分～15分），学员应针对两方面强化练习：一 分数小数的混合计算；二 分数的化简和简便运算；二、2008年考点预测2008年的小升初考试将继续考查分数和小数的四则运算，命题的热点在分数的拆分技巧以及换元法的运用，另外还应注意新的题型不断出现．例如通过观察、归纳、总结，找出规律并计算的题型，这类题型为往往用到了等差数列的各类公式，希望同学们熟记.三、常考知识点总结以下是总结的大家需要了解和掌握的常识，曾经在重要考试中用到过.1．基本公式：()21321+=++n n n " 2、()()612121222++=+++n n n n "[讲解练习]：20193221×++×+×" ()()()1921192112222""++++++=∴+=+=原式nn n n a n 3、()()412121222333+=++=+++n n n n "" 4、131171001×××=×=abc abc abcabc 6006610016131177877=×=×××=×⇒如：[讲解练习]：2007×20062006-2006×20072007=____.5、裂项的基本公式： n 1-11+n =)1(1+n n （n 1-k n +1）k m =)(k n n m + 6、 ()(b a b a b a −+=−22)[讲解练习]：8-7+6-5+4-3+2-1____. 222222227、742851.071 = 428571.072 = …… （成达杯考过2次，迎春杯考过1次） [讲解练习]：71化成小数后，小数点后面第2007位上的数字为____. 7n 化成小数后，小数点后若干位数字和为1992，问n=____. 8、1+2+3+4…（n-1）+n+（n-1）+…4+3+2+1=n29、1211111=×12321111111=×112345654321111112=[讲解练习]：123456787654321×(1+2+3+4…8+…4+3+2+1)是一个数的平方，则这个数是_____ 10、等比数列求和偶尔会考 ()qq a s n−−=111 为公比为项数，为首项，q n a 1[讲解练习]：2+2+23 (2)=____ 220081、代上面公式.2、建议用“差项求和”的方法：S=2+2+2 (2)232008 2S=2+2 (2)+2 2320082009 两式相减：S=2-2 （提醒学生不能再接着算了！） 2009[拓展]：2-22007=2×2-22007=220082007200711、111111111912345679=×[讲解练习]：5555555550501111111115091234567945012345679=×=××=×【编者注】：更多的知识需要大家活学活用，希望大家在学习过程中要注意总结归纳，不断充实和巩固自己的知识.四、常用解题方法1 裂项（对应例题：4、5）2 通项归纳3 换元法4 等差数列求和（对应例题：9、12）5 找规律（对应例题：3、7、8、9）6 分数小数混合计算技巧（对应例题：1、2）五、典型题目解析1、分数、小数的混合运算【例1】（★★）()[]3.0016105.15.15.85.82007−÷÷×−×−【例2】（★★★）19956.15.019954.01993(22.550276951922.510939519+××÷+−−+2、庞大数字的四则运算【例3】（★★）3333333334×99999999993、庞大算式的四则运算（拆分和裂项的技巧）【例4】（★★★）101+3401+5881+71541+92381【例5】（★★）45513262223131171113111317131719171923+++××××××××=4、繁分数的化简【例6】（★★）已知1111211111222=Δ+++−+若，那么△=_________5、改变运算顺序简化计算【例7】（★★★）所有分母小于30并且分母是质数的真分数相加，和是__________. 【例8】（★★★）分母为1996的所有最简真分数之和是_________.6、简单的找规律计算【例9】（★★★）在下表中，所有数字的和为_______.1 2 3 (50)2 3 4 (51)3 4………………………………..50 51 52 997、平方差的运用【例10】（★★★） ()1234567892123456789012345678912×−8、其他常考类型【例11】（★★★）643c b a 、、是三个最简真分数，如果这三个分数的分子都加上c ，则三个分数的和为6，求这三个真分数.【例12】（★★★）小刚进行加法珠算练习，用1＋2＋3＋……，当数到某个数时，和是1000.在验算时发现重复加了一个数，这个数是＿＿＿.小结本讲主要接触到以下几种典型题型：1）分数，小数的混合计算.参见例1、22）庞大数字的四则运算. 参见例3、3）庞大算式的四则运算.（拆分和裂项的技巧）参见例4、54）繁分数的化简.参见例65）改变运算顺序简化计算.参见例7、86）观察，找出规律并计算.参见例97）平方数的运用.参见例108）其他常考题型.参见例11、12【课外知识】1965年，一位韩国学生到剑桥大学主修心理学.在喝下午茶的时候，他常到学校的咖啡厅或茶座听一些成功人士聊天.这些成功人士包括诺贝尔奖获得者，某一些领域的学术权威和一些创造了经济神话的人，这些人幽默风趣，举重若轻，把自己的成功都看得非常自然和顺理成章.时间长了，他发现，在国内时，他被一些成功人士欺骗了.那些人为了让正在创业的人知难而退，普遍把自己的创业艰辛夸大了，也就是说，他们在用自己的成功经历吓唬那些还没有取得成功的人.作为心理系的学生，他认为很有必要对韩国成功人士的心态加以研究.1970年，他把《成功并不像你想像的那么难》作为毕业论文，提交给现代经济心理学的创始人威尔布雷登教授.布雷登教授读后，大为惊喜，他认为这是个新发现，这种现象虽然在东方甚至在世界各地普遍存在，但此前还没有一个人大胆地提出来并加以研究.惊喜之余，他写信给他的剑桥校友——当时正坐在韩国政坛第一把交椅上的人——朴正熙.他在信中说，“我不敢说这部著作对你有多大的帮助，但我敢肯定它比你的任何一个政令都能产生震动.”后来这本书果然伴随着韩国的经济起飞了.这本书鼓舞了许多人，因为他们从一个新的角度告诉人们，成功与“劳其筋骨，饿其体肤”、“三更灯火五更鸡”、“头悬梁，锥刺股”没有必然的联系.只要你对某一事业感兴趣，长久地坚持下去就会成功，因为上帝赋予你的时间和智慧够你圆满做完一件事情.后来，这位青年也获得了成功，他成了韩国泛业汽车公司的总裁.温馨提示：人世中的许多事，只要想做，都能做到，该克服的困难，也都能克服，用不着什么钢铁般的意志，更用不着什么技巧或谋略.只要一个人还在朴实而饶有兴趣地生活着，他终究会发现，造物主对世事的安排，都是水到渠成的.小升初专项模拟测试题---计算（注：作业题--例题类型对照表，供参考）题1—类型1；题2—类型2；题3—类型4；题4—类型6； 题5—类型3 ；题6—类型7；题7—类型81、（★★★）41133151)199511286651176(++÷+2、（★★）)5246.5(402323153236−××+÷3、（★★★）⎟⎠⎞⎜⎝⎛+×⎟⎠⎞⎜⎝⎛+++−⎟⎠⎞⎜⎝⎛++×⎟⎠⎞⎜⎝⎛++9474583587392073789474583587391266212073789474583587399474583587391266214、（★）100971131011071741411×++×+×+×+×""5、（★★★）100981979997195...5374253131009998999897 (5434323)21++++++++++6、（★★）有A、B 两组数，每组数都按一定的规律排列着，并且每组都各有25个数.A 组数中前几个是这样排列的1、6、11、16、21、……；B 组数中最后几个是这样排列的……、105、110、115、120、125.那么，A、B 这两组数中所有数的和是＿＿＿＿＿＿＿.7、（★★★）有一串数"、、、、、、、、4241333231222111它的前1996个数的和是多少？。

第五讲应用题1.甲、乙二人分别以每小时4千米和每小时5千米的速度从A 、B 两地相向而行，相遇后? 二人继续往前走。

如果甲从相遇点到达B 地又行了2小时，A 、B 相距多少千米?2. 甲、乙两车从A 、B 两地同时出发相向而行，甲车每小时行40千米，乙车每小时行50千米，如果两车到达目的地后立即返回，则迎面相遇在距B 地225千米处，可实际上乙车到达A 地后因加油花费了一段时间，使得两车相遇距A 地440千米，求乙车在A 地停留了多少分钟?3. 甲、乙两车分别从A 、B 两地同时出发，相向而行，6小时相遇；如果甲早出发2小时，甲乙相遇时，甲已经走过AB 的中点后还走了144千米；如果乙早出发2小时，甲乙相遇时，甲还差48千米才到AB 的中点；求甲乙两人的速度差。

4. 在双轨的铁道上，速度为54千米/小时的货车10时到达铁桥，10 时1 分24秒完全通过铁锹，后来一列速度为72千米/小时的列车，10时12分到达铁桥10时12分53秒完全通过铁桥，10时48分56秒列车完全超过在前面行使的货车。

求货车、列车和铁桥的长度各是多少米。

5.在一圆形跑道上，甲从A 点、乙从B 点同时出发，反方向而行，4分钟后两人相遇，再过6分钟后甲到达B 点，又过6分钟两人再次相遇。

甲、乙环行一周各需要多少时间?6.甲乙两船分别在一条河的A、B两地同时相向而行，甲顺流而下，乙逆流而行。

相遇时，甲、乙两船行了相等的航程，相遇后继续前进，甲到达B地，乙到达A地后，都立即按原来路线返航，两船第二次相遇时，甲船比乙船少行1千米。

如果从第一次相遇到第二次相遇时间相隔1小时20分，则河水的流速为多少?7.甲、乙、丙三人做一件工作,原计划按甲、乙、丙的顺序每人一天轮流去做,恰好整数天做完,若按乙、丙、甲的顺序轮流去做,则比计划多用半天;若按丙、甲、乙的顺序轮流去做,则也比原计划多用半天。

已知甲单独做完这件工作要10天,且三个人的工作效率各不相同,那么这项工作由甲、乙、丙三人一起做这件工作,要用多少天才能完成?8.加工一批零件，甲乙合作24天可以完成，现在由甲先做16天，然后乙再做12天，还剩下这批零件的25没有完成，已知甲每天比乙多加工3个零件，求这批零件共多少个?9.甲、乙合作一件工程：由于配合得好，甲的工作效率比单独做时提高110，乙的工作效率比单独做时提高15。