2020-2021学年度第一学期10月考试高二数学(文)试题一､选择题(共12小题，每小题5分，共60分)1. 某中学举办电脑知识竞赛，满分为100分，80分以上为优秀(含80分)，现将高一两个班参赛学生的成绩进行整理后分成五组：第一组[)50,60，第二组[)60,70，第三组[)70,80，第四组[)80,90，第五组[]90,100，其中第一､三､四､五小组的频率分别为0.30，0.15，0.10，0.05，而第二小组的频数是40，则参赛的人数以及成绩优秀的概率分别是（ ） A. 50，0.15 B. 50，0.75C. 100，0.15D. 100，0.75【答案】C 【解析】 【分析】由于所有组的频率和为1，从而可求出第二组的频率，再由第二组的频数可求出总人数，求出成绩优秀的频率可得其概率【详解】由已知得第二小组的频率是10.300.150.100.050.40----=，频数为40， 设共有参赛学生x 人，则0.440x ⨯=，所以100x =. 因为成绩优秀的频率为0.100.050.15+=， 所以成绩优秀的概率为0.15， 故选：C.【点睛】此题考查频率和频数的关系，考查频率与概率的关系，属于基础题2. 如图所示的茎叶图记录了甲､乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分).已知甲组数据的中位数为106，乙组数据的平均数为105.4，则x ，y 的值分别为（ ）A. 5，7B. 6，8C. 6，9D. 8，8【答案】B 【解析】 【分析】根据茎叶图中的数据，结合中位数与平均数的概念，即可求出x、y的值．【详解】∵甲组数据的中位数为106∴6x=又∵乙组数据的平均数为105.4∴89106(100)109115105.45y+++++=解得8y=综上，x，y的值分别为6，8故选：B3. 已知底面为正方形，侧棱相等的四棱锥S－ABCD的直观图和正视图如图所示，则其侧视图的面积为( )A. 5B. 6C. 5D. 6【答案】A【解析】【分析】根据原图是正四棱锥，可知，侧视图和正视图为全等的三角形，直接求侧视图的面积即可.【详解】由题意底面为正方形，侧棱相等的四棱锥S－ABCD，侧视图与正视图是全等的三角形，面积为12×2×55故答案为A.【点睛】本题考查的是原图和三视图间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.4. 已知x y与之间的几组数据如下表：x 1 2 3 4 5 6y0 2 1 3 3 4假设根据上表数据所得线性回归直线方程为,y bx a=+若某同学根据上表中的前两组数据()1,0和()2,2求得的直线方程为,y b x a''+'=则以下结论正确的是（）A. ,b b a a'>'> B. ,b b a a'>'< C. ,b b a a'' D. ,b b a a'<'<【答案】C【解析】b′＝2，a′＝－2，由公式b＝61621()()()i iiiix x y yx x==---∑∑求得．b＝57，a＝x－b x＝136－57×72＝－13，∴b<b′，a>a′5. 如图，已知曲线21:2C y x x=-，曲线2C和3C是半径相等且圆心在x轴上的半圆.在曲线1C与x轴所围成的区域内任取一点，则所取的点来自于阴影部分的概率为（）A.37B.12C.47D.58【答案】B 【解析】 【分析】 由于曲线21:2C y x x =-是圆22(1)1x y -+=在x 轴上方的一半，可求出其面积，而2C ，3C 是以12为半径的半圆，从而可得阴影部分的面积，再利用几何概型的概率公式求解即可 【详解】曲线21:2C y x x =-是圆22(1)1x y -+=在x 轴上方的部分，面积为12π.2C ，3C 是以12为半径的半圆， 所以阴影部分的面积为2124ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以所取的点来自阴影部分的概率为1422P ππ==.故选：B.【点睛】此题考查几何概型的概率公式的应用，属于基础题6. 已知直线y ＝x ＋b 的横截距在[－2,3]范围内，则直线在y 轴上的截距b 大于1的概率是( ) A.15B.25C.35D.45【答案】A 【解析】 【分析】求出所有的基本事件构成的区间长度；再求出“直线在y 轴上的截距大于1”构成的区间长度，利用几何概型概率公式求出事件的概率．【详解】直线y ＝x ＋b 的横截距-b 在[－2,3]范围内，即b 的取值范围是[－3,2]， 所有的基本事件构成的区间长度为 ,2-（-3）=5，∵直线在y 轴上截距b 大于1，即b 的取值范围是(1,2],∴“直线在y 轴上的截距b 大于1”包含的基本事件构成的区间长度为2-1=1， 由几何概型概率公式得直线在y 轴上的截距b 大于1的概率P(截距b 大于1)＝＝.【点睛】本题考查几何概型的计算，属基础题.7. 如图，圆周上的6个点是该圆周的6个等分点，分别连接AC ，CE ，EA ，BD ，DF ，FB ，向圆内部随机投掷一点，则该点不落在阴影部分内的概率是（ ）A. 31π-B.3C. 31π-D.3π【答案】A 【解析】 【分析】设圆的半径为1，连接AB ，BC ，CD ，DE ，EF ，则ABCDEF 为正六边形，且其边长也为1，求出正六边形ABCDEF 的面积，再将整个正六边形ABCDEF 分割成18个小三角形，即可求出阴影部分的面积，再求出圆的面积，根据几何概型的概率计算公式，即可得出结果. 【详解】如图，设圆的半径为1，连接AB ，BC ，CD ，DE ，EF ， 则ABCDEF 为正六边形，且其边长也为1，因此其面积为133611sin 23S π=⨯⨯⨯⨯=， 将整个正六边形ABCDEF 分割成如图所示的18个小三角形，这些小三角形都全等， 则整个阴影部分的面积是正六边形ABCDEF 的面积的122183=， 故阴影部分的面积为1233S S == 又圆的面积为221S ππ=⨯=，所以向圆内部随机投掷一点，则该点不落在阴影部分内的概率是12311S P S =-=.故选：A.【点睛】本题主要考查与面积有关的几何概型，属于常考题型. 8. 运行下面的程序，当输入123n=和288m=时，输出结果是（）A. 2B. 3C. 4D. 7【答案】B【解析】【分析】由程序结构看出，第一次循环后m的值是除数，除数n的值是运算所得的余数，在第二次循环中又一次执行了这样一个取余赋值的过程，一直到余数为0时退出循环体【详解】解：模拟程序的执行，可得此程序功能是辗转相除法求最大公约数，÷的商是2，余数为42，所以288123÷的商为2，余数为39，12342÷的商为1，余数为3，4239393÷的商为13，余数为0 ，由此可知，288，123两数的最大公约数为3， 故选：B【点睛】此题考查程序语句与辗转相除法求两数的最大公约数，属于基础题 9. 在空间中，α表示平面，m ，n 表示两条直线，则下列命题中错误的是（ ） A. 若m //α，m ，n 不平行，则n 与α不平行 B. 若m //α，m ，n 不垂直，则n 与α不垂直 C. 若m ⊥α，m ，n 不平行，则n 与α不垂直 D. 若m ⊥α，m ，n 不垂直，则n 与α不平行 【答案】A 【解析】 【分析】各个选项中，利用概念和定义判断出错误的命题.【详解】A ．若,m n 不平行，此时n 与α可能相交、平行或n ⊂α，所以命题错误；B ．若,m n 不垂直，则n 不垂直α内与m 平行的直线，所以n 与α不垂直，所以命题正确； C ．若m α⊥且,m n 不平行，显然n 与α不垂直，所以命题正确； D ．若m α⊥且,m n 不垂直，所以n α⊂/；若//n α，显然有m n ⊥，矛盾；所以n 不平行于α，所以命题正确， 故选：A.【点睛】本题考查空间中线线、线面的平行与垂直关系的判断，难度一般.空间中平行、垂直关系的判断可以通过定义、判定定理、性质定理、作图法等进行判断. 10. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，D 为11A B 的中点，122AB BC BB ===，22AC =，则异面直线BD 与AC 所成的角为（ ）A. 30B. 45︒C. 60︒D. 90︒【答案】C 【解析】 【分析】取11B C 的中点E ，连接BE ，DE ，则11////AC A C DE , BDE ∠即为异面直线BD 与AC 所成的角或其补角，进而可得答案.【详解】如图，取11B C 的中点E ，连接BE ，DE ， 则11////AC A C DE ,所以BDE ∠即为异面直线BD 与AC 所成的角或其补角， 由已知可得2BD DE BE ===，三角形BDE 为正三角形，所以60BDE ∠=︒，所以异面直线BD 与AC 所成的角为60︒.故选：C【点睛】平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形； （4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．11. 已知直线（1+k ）x+y ﹣k ﹣2=0恒过点P ，则点P 关于直线x ﹣y ﹣2=0的对称点的坐标是（ ） A. （3，﹣2） B. （2，﹣3）C. （1，﹣3）D. （3，﹣1）【答案】D试题分析：由直线（1+k ）x+y ﹣k ﹣2=0化为k （x ﹣1）+（x+y ﹣2）=0，令解得此直线恒过点P （1，1）．设点P 关于直线x ﹣y ﹣2=0的对称点为P′（m ，n ），利用垂直平分线的性质可得：，解得m ，n 即可．解：由直线（1+k ）x+y ﹣k ﹣2=0化为k （x ﹣1）+（x+y ﹣2）=0，令，解得，于是此直线恒过点P （1，1）．设点P 关于直线x ﹣y ﹣2=0的对称点为P′（m ，n ），则，解得．∴P′（3，﹣1）． 故选D ．考点：与直线关于点、直线对称的直线方程．12. 如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PD ⊥平面ABCD ，且1,2PD AD AB ===，点E 是AB 上一点，当二面角P EC D --为4π时，AE =（ ）A. 23B.12C. 22-D. 1【答案】A建立如图所示空间直角坐标系，则(1,0,0),(1,2,0),(0,2,0),(0,0,1),(1,,0)A B C D E t ，设平面PEC 的一个法向量为(,,)n x y z =，由于(1,,1),(0,2,1)PE t PC =-=-，所以201202x tx ty z y y z z =-⎧+-=⎧⎪⇒=⎨⎨-=⎩='⎪⎩，即(2,1,2)n t =-，又平面ABCD 的一个法向量是1(0,0,1)n =且1222n n ⋅=⇒=，解之得2t =A ．二､填空题(共4小题，每小题5分，共20分)13. 已知直线20ax y +-=与圆心为C 的圆()()2214x y a -+-=相交于,A B 两点，且ABC ∆为等边三角形，则实数a =________．【答案】4【解析】试题分析：由于ABC ∆为等边三角形，故弦长2AB r ==，根据直线与圆相交，所得弦长公式为AB =，可建立方程，d =，221,13d r ==-=，即3=，解得4a =考点：直线与圆的位置关系，解三角形．【思路点晴】本题考查直线与圆的位置关系，直线与圆相交所得弦长公式AB =角形几何性质.由于ABC ∆为等边三角形，故弦长2AB r ==，我们利用弦长公式就可以建立一个方程出来，这个方程包括点到直线距离公式d =.在求解完整之后，要验证圆心到直线的距离是否小于半径.14. 设直线l 过点()2,4A ，它被平行线10x y -+=与10x y --=所截的线段的中点在直线230x y +-=上，则l 的方程是________. 【答案】320x y --=由于到平行线10x y -+=与10x y --=距离相等的直线方程为0x y -=，然后由2300x y x y +-=⎧⎨-=⎩可求出直线l 被平行线10x y -+=与10x y --=所截的线段的中点坐标，再利用两点式可求得方程【详解】解：因为到平行线10x y -+=与10x y --=距离相等的直线方程为0x y -=.所以联立方程组2300x y x y +-=⎧⎨-=⎩解得11x y =⎧⎨=⎩， 所以直线l 被平行线10x y -+=与10x y --=所截的线段的中点为()1,1.所以直线l 的两点式方程为112141x y --=--， 即320x y --=. 故答案为：320x y --=，【点睛】此题考查直线方程的求法，考查计算能力，属于基础题15. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，有下列结论：①AC 平面11CB D ；②1AC ⊥平面11CB D ；③1AC 与底面ABCD 所成角的正切值是22； ④1AD 与BD 为异面直线.其中正确结论的序号是______.（把你认为正确的结论的序号都填上）【答案】②③④利用线面平行和线面垂直的判定定理，及直线与平面所成角的定义，分别对每项作出判断，即可得到本题答案.【详解】①因为AC ⋂平面11CB D C =，所以AC 与平面11CB D 不平行，故①错误；②连接111,BC AC ，易证11111,AC B D AC B C ⊥⊥.因为1111B D B C B ⋂=，所以1AC ⊥平面11CB D ，故②正确；③因为1CC ⊥底面ABCD ，所以1C AC ∠是1AC 与底面ABCD 所成的角，所以11tan C C C AC AC ∠==，故③正确；④1AD 与BD 既无交点也不平行，所以1AD 与BD 为异面直线，故④正确.故答案为：②③④.【点睛】本题主要考查空间中直线与直线，直线与平面的位置关系的判断，以及直线与平面所成角的求法.16. 2014年一轮又一轮的寒潮席卷全国．某商场为了了解某品牌羽绒服的月销售量y(件)与月平均气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，数据如下表：由表中数据算出线性回归方程＝bx ＋a 中的b≈－2.气象部门预测下个月的平均气温约为6℃，据此估计，该商场下个月羽绒服的销售量约为________件．【答案】46【解析】【分析】根据所给的数据计算出回归方程，然后将数据6代入，求出结果【详解】因为线性回归方程为ˆˆˆybx a =+，且ˆ2b ≈-，根据线性回归方程必定过样本点的中心点，根据所给的数据，可得171382104+++=，24334055384+++=，所以对应的均值点为(10,38)，根据2b ≈-，可以得出对应的回归方程为y ＝-2x ＋58，所以当6x =时，46y =，故下个月羽绒服的销售量约为46件.【点睛】本题考查了线性回归分析，结合题意先求出线性回归方程，然后再计算出结果，较为简单. 三､解答题(共6小题，共70分)17. 通过市场调查，得到某种产品的资金投入x 万元与获得的利润y 万元的数据，如表所示：（1）根据上表提供的数据，用最小二乘法求线性回归方程；（2）现投入资金10万元，求获得利润的估计值为多少万元？（参考公式：1221ˆn i ii n ii x y nxy b x nx ==-=-∑∑，ˆˆay bx =-） 【答案】（1） 1.7.8ˆ1y x =-；（2）15.2万元.【解析】【详解】（1）2345645x ++++==， 2356955y ++++==． 2233455669545 1.749162536516b ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-⨯⨯==++++-⨯， ，所以回归直线方程为： 1.7 1.8y x =-．（2）当10x =万元时， 1.710 1.815.2y =⨯-=万元．考点：线性回归方程．18. 如图，在三棱锥A BCD 中，AB ⊥AD ，BC ⊥BD ，平面ABD ⊥平面BCD ，点E ，F (E 与A ，D 不重合)分别在棱AD ，BD 上，且EF ⊥AD .求证：(1)EF ∥平面ABC ；(2)AD ⊥AC .【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：（1）先由平面几何知识证明EF AB ∥，再由线面平行判定定理得结论；（2）先由面面垂直性质定理得BC ⊥平面ABD ，则BC ⊥AD ，再由AB ⊥AD 及线面垂直判定定理得AD ⊥平面ABC ，即可得AD ⊥AC ． 试题解析：证明：（1）在平面ABD 内，因为AB ⊥AD ，EF AD ⊥，所以EF AB .又因为EF ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以EF ∥平面ABC .（2）因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ⋂平面BCD =BD ，BC ⊂平面BCD ，BC BD ⊥，所以BC ⊥平面ABD .因为AD ⊂平面ABD ，所以BC ⊥ AD .又AB ⊥AD ，BC AB B ⋂=，AB ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以AD ⊥平面ABC ，又因为AC ⊂平面ABC ，所以AD ⊥AC.点睛:垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；（3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直．19. 已知直线:4l y x =和点()6,4P ，点A 为第一象限内的点且在直线l 上，直线P A 交x 轴的正半轴于点B ．（1）当OP AB ⊥时，求AB 所在直线的方程；（2）求OAB 面积的最小值，并求当OAB 面积取最小值时点B 的坐标．【答案】（1）32260x y +-=；（2）40，()10,0.【解析】【分析】（1）根据OP AB ⊥，得到32AB k =-，然后根据直线AB 过点()6,4P 求解. （2）设点(),4A a a ，0a >，点B 的坐标为(),0b ，0b >,若直线AB 的斜率不存在时，6a b ==，可得OAB 的面积，当直线AB 的斜率存在时，根据A ，B ，P 共线得到51a b a =-，然后由OAB 的面积215104211a a S a a a =⋅⋅=--求解. 【详解】（1）∵点()6,4P ，. ∴23OP k = 又∵OP AB ⊥，∴32AB k =-. ∵直线AB 过点()6,4P ，∴直线AB 的方程为34(6)2y x -=--， 即32260x y +-=. （2）设点(),4A a a ，0a >，点B 的坐标为(),0b ，0b >，当直线AB 的斜率不存在时，6a b ==，此时OAB 的面积1624722S =⨯⨯=. 当直线AB 的斜率存在时，有440466a a b --=--， 解得51a b a =-， 故点B 的坐标为5,01a a ⎛⎫⎪-⎝⎭，故OAB 的面积215104211a a S a a a =⋅⋅=--， 即2100a Sa S -+=.①由题意可得方程2100a Sa S -+=有解，故判别式2400S S ∆=≥－，∴40S ≥，故S 的最小值为40，此时①为2440a a -+=，解得2a =.综上可得，OAB 面积的最小值为40，当OAB 面积取最小值时，点B 的坐标为()10,0.【点睛】本题主要考查直线方程的求法以及三角形的面积最值问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.20. 如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中．（1）求11A C 与1B C 所成角的大小；（2）若E 、F 分别为AB 、AD 的中点，求11A C 与EF 所成角的大小．【答案】（1）60︒；（2）90︒．【解析】试题分析：（1）根据正方体的性质，证出11//AC A C ，由此得到1B CA ∠就是11A C 与1B C 所成的角，然后在正三角形1ABC ∆中加以计算，即可求解11A C 与1B C 所成角的大小；（2）平行四边形11AAC C 中，可得11//AC A C ，AC 与EF 所成的角就是11A C 与EF 所成的角，进而利用三角形中位线定理与正方形的性质，即可计算11A C 与EF 所成角的大小．试题解析：（1）连接AC ，1AB ，由1111ABCD A B C D -是正方体，知11AAC C 为平行四边形，所以11//AC A C ，从而1B C 与AC 所成的角就是11A C 与1B C 所成的角．由11AB AC B C ==可知160B CA ∠=︒，即11A C 与BC 所成的角为60︒．（2）连接BD ，由11//AA CC ，且11AA CC =可知11A ACC 是平行四边形，所以11//AC A C ，即AC 与EF 所成的角就是11A C 与EF 所成的角．因为EF 是△ABD 的中位线，所以//EF BD ，又因为AC BD ⊥，所以EF AC ⊥，即所求角为90︒．考点：异面直线的所成的角．【方法点晴】本题主要考查了异面直线所成的角的求解，其中解答中涉及到异面直线所成角的概念、三角形中位线与正方形的性质、正方体的结构特征等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及空间想象能力，本题的解答中根据异面直线所成角的概念确定异面直线所成的角是解答的关键，属于中档试题．21. 已知圆221:2280C x y x y +++-=与圆222:210240C x y x y +-+-=相交于A ､B 两点.（1）求公共弦AB 的长；（2）求圆心在直线y x =-上，且过A ､B 两点的圆的方程；（3）求经过A ､B 两点且面积最小的圆的方程.【答案】（1）25（2）22(3)(3)10x y ++-=；（3）22(2)(1)5++-=x y .【解析】【分析】（1）两圆方程相减，求出公共弦所在的直线方程，再利用点到直线的距离公式求出1C 到直线AB 的距离，根据几何法求弦长即可.（2）求出1C ，2C 的直线方程，与y x =-联立，求出圆心，再求出圆心到AB 的距离，再利用几何法求出半径即可求解.（3）根据题意可知过A ､B 且面积最小的圆就是以AB 为直径的圆，联立AB 与1C 2C 的直线方程，求出交点即为圆心，即可求解.【详解】（1）由两圆方程相减即得240x y -+=，此为公共弦AB 所在的直线方程.圆心1(1,1)C --，半径1r =. 1C 到直线AB的距离为d ==故公共弦长||AB ==（2）圆心25(1,)C -，过1C ，2C 的直线方程为115111y x ++=-++， 即230x y ++=. 由230x y y x++=⎧⎨=-⎩得所求圆的圆心为()3,3-.它到AB的距离为d == ∴所求圆=，∴所求圆的方程为22(3)(3)10x y ++-=.（3）过A ､B 且面积最小的圆就是以AB 为直径的圆，由240230x y x y -+=⎧⎨++=⎩， 得圆心(2,1)-，半径r =.∴所求圆的方程为22(2)(1)5++-=x y .【点睛】方法点睛：本题考查了圆的弦长以及圆的标准方程，属于基础题，求圆的弦长以及圆的常见方法.（1）几何法求圆的弦长：根据弦长、弦心距、半径之间的关系，由勾股定理求解.（2）代数法求圆的弦长：求出直线与圆的交点，利用两点间的距离公式求解.（3）几何法求圆的方程：利用弦的中垂线过圆心，求出中垂线的交点得出圆心，几何法求半径.（4）代数法求圆的方程：设出圆的方程，将点代入圆的方程.22. 如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，60DAB ∠=︒，侧面P AD 为等边三角形，其所在平面垂直于底面ABCD .（1）求证：AD PB ⊥；（2）若E 为BC 边上的中点，能否在棱PC 上找到一点F ，使平面DEF ⊥平面ABCD ？并证明你的结论.【答案】（1）证明见解析；（2）能，当F 为PC 的中点时，平面DEF ⊥平面ABCD ，证明见解析.【解析】【分析】（1）由PG AD ⊥，BG AD ⊥可得AD ⊥平面PGB ，因为PB ⊂平面PGB ，所以AD PB ⊥；（2）当F 为PC 的中点时，满足平面DEF ⊥平面ABCD .利用平面PAD ⊥平面ABCD ，可得PG ⊥平面ABCD ，通过证明平面//DEF 平面PGB ，可得平面DEF ⊥平面ABCD .【详解】（1）证明：设G 为AD 的中点，连接PG ，BG ，BD ，如图：因为PAD △为等边三角形，所以PG AD ⊥.在菱形ABCD 中，60DAB ∠=︒，所以ABD △为等边三角形，又因为G 为AD 的中点，所以BG AD ⊥.又因为BG PG G =，BG ，PG ⊂平面PGB ，所以AD ⊥平面PGB .因为PB ⊂平面PGB ，所以AD PB ⊥.（2）解：当F 为PC 的中点时，满足平面DEF ⊥平面ABCD .如图，设F 为PC 的中点，则在PBC 中，//EF PB ，EF ⊄平面PGB ，PB ⊂平面PGB ，所以//EF 平面PGB ，在菱形ABCD 中，//GB DE ，DE ⊄平面PGB ，GB ⊂平面PGB ，所以//DE 平面PGB ，而,EF DE ⊂平面DEF ，EF DE E ⋂=所以平面//DEF 平面PGB ，由（1）得，PG AD ⊥，又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，PG ⊂平面P AD ，所以PG ⊥平面ABCD ，而PG ⊂平面PGB ，所以平面PGB ⊥平面ABCD ，所以平面DEF ⊥平面ABCD .【点睛】方法点睛：证明垂直关系的方法有：①证明线线垂直的常用方法：勾股定理、线面垂直的性质；②证明线面垂直的常用方法：定义法、线面垂直的判定定理、面面垂直的性质定理；③证明面面垂直的常用方法：定义法、面面垂直的判定定理、两平行平面中的一个垂直于一个平面，则另一个也垂直于这个平面.。
