福建省莆田市第二十四中学高一上学期期末考试 数学 Word版含答案
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2017-2018学年莆田24中高一（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的4个选项中只有一个是正确的，请将所选选项的字母填写在答题卷相应的位置上）
1．直线2x+y+3=0在y轴上的截距是（ ）
A． B． C．3 D．﹣3
2．下列函数中，是偶函数的是（ ）
A．y=x2 B．y=2x C．y=2x D．y=log2x
3．函数y=2x﹣1的零点是（ ）
A．0 B．（0，﹣1） C． D．
4．下列说法中，正确的是（ ）
A．垂直于同一直线的两条直线互相平行
B．垂直于同一平面的两条直线互相平行
C．垂直于同一平面的两个平面互相平行
D．平行于同一平面的两条直线互相平行
5已知y=f（x）是奇函数，且f（4）=5，那么f（4）+f（﹣4）的值为（ ）
A．﹣5 B．0 C．10 D．﹣10
6.．设全集U={﹣2，﹣1，0，1，2}，集合A={x|x2﹣x﹣2=0}，B={1，2}，则（∁UA）∪B=（ ）
A．{﹣2，0，1，2} B．{﹣2，﹣1，0，1，2} C．{﹣1，2} D．{﹣1，1，2}
7．如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积为（ ）
A．10π B．11π C．12π D．13π
8．若圆x2+y2﹣2x﹣4y=0的圆心到直线x﹣y+a=0的距离为，则a的值为（ ）
A．﹣2或2 B．或 C．2或0 D．﹣2或0
9．若直线l1：2x+（m+1）y+4=0与直线l2：mx+3y﹣2=0平行，则m的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣3 C．﹣2或﹣3 D． 2或﹣3
10．长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=，AA1=，则异面直线BD1与CC1所成的角等于（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
11．定义：底面是正三角形，侧棱与底面垂直的三棱柱叫做正三棱柱，将正三棱柱截去一个角，（如图1所示，M，N分别为AB，BC的中点）得到几何体如图2．则该几何体按图2所示方向的侧视图为（ ）
A． B．
C． D．
12．如果实数x，y满足（x﹣2）2+y2=3，那么的最大值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把下列各题的正确答案填写在答题卷相应的位置上）
13．已知幂函数y=xα的图象过点，则f（4）= ．
14．已知两个球的表面积之比为1：16，则这两个球的半径之比为 ．
15．不论k为何实数，直线（2k﹣1）x﹣（k+3）y﹣（k﹣11）=0恒通过一个定点，这个定点的坐标是 ．
16．△ABC中，AB=3，BC=4，AC=5，将△ABC绕BC边旋转一周形成的几何体的体积是
．
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．已知直线l1：3x﹣y﹣1=0，l2：x+y﹣3=0，求：
（1）直线l1与l2的交点P的坐标；
（2）过点P且与l1垂直的直线方程．
18．集合A={x|﹣1≤x＜3}，B={x|2x﹣4≥x﹣2}
（1）求A∩B：
（2）若集合C={x|2x+a＞0}．满足B∪C=C．求实数a的取值范围．
19．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F为棱AD、AB的中点．
（Ⅰ）求证：EF∥平面CB1D1；
（Ⅱ）求证：平面CAA1C1⊥平面CB1D1．
20．已知以点C为圆心的圆经过点A（﹣1，0）和B（3，4），且圆心在直线x+3y﹣15=0上．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）设点P在圆C上，求△PAB的面积的最大值．
21．函数是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且．
（1）确定函数的解析式；
（2）证明函数f（x）在（﹣1，1）上是增函数；
（3）解不等式f（t﹣1）+f（t）＜0．
22．已知圆C：x2+y2=9，点A（﹣5，0），直线l：x﹣2y=0．
（1）求与圆C相切，且与直线l垂直的直线方程；
（2）在直线OA上（O为坐标原点），存在定点B（不同于点A），满足：对于圆C上任一点P，都有为一常数，试求所有满足条件的点B的坐标．
参考答案
1-5 DACBB; 6-10 ACCDDB 11-12 DC
13. 2 ;14.1：4 ;15.(2，-3);16.12;
17. 【解答】（1）解方程组，得，
所以，交点P（1，2）．
（2）l1的斜率为3，故所求直线为，
即为 x+3y﹣7=0．
18. 【解答】解：（1）∵A={x|﹣1≤x＜3}，B={x|2x﹣4≥x﹣2}={x|x≥2}．
∴A∩B={x|2≤x＜3}；
（2）C={x|2x+a＞0}={x|x＞﹣a}．
∵B∪C=C，
∴B⊆C，
∴﹣a＜2，
∴a＞﹣4．
19.【解答】解：（Ⅰ）证明：连接BD．
在正方体AC1中，对角线BD∥B1D1．
又因为E、F为棱AD、AB的中点，
所以EF∥BD．
所以EF∥B1D1．（4分）
又B1D1⊂平面CB1D1，EF⊄平面CB1D1，
所以EF∥平面CB1D1．（7分）
（Ⅱ）因为在正方体AC1中，
AA1⊥平面A1B1C1D1，而B1D1⊂平面A1B1C1D1，
所以AA1⊥B1D1．（10分）
又因为在正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，
所以B1D1⊥平面CAA1C1．（12分）
又因为B1D1⊂平面CB1D1，
所以平面CAA1C1⊥平面CB1D1．（14分）
20. 【解答】解：（Ⅰ）依题意，所求圆的圆心C为AB的垂直平分线和直线x+3y﹣15=0的交点，
∵AB中点为（1，2）斜率为1，
∴AB垂直平分线方程为y﹣2=（x﹣1）即y=﹣x+3…（2分）
联立，解得，即圆心（﹣3，6），
半径…（6分）
∴所求圆方程为（x+3）2+（y﹣6）2=40…（7分）
（Ⅱ），…（8分）
圆心到AB的距离为…（9分）
∵P到AB距离的最大值为…（11分）
∴△PAB面积的最大值为…（12分）
21. 【解答】解：（1）因为f（x）为（﹣1，1）上的奇函数，所以f（0）=0，即b=0．
又f（）=，所以=，解得a=1．
所以f（x）=．
（2）任取﹣1＜x1＜x2＜1，
则f（x1）﹣f（x2）=﹣=，
因为﹣1＜x1＜x2＜1，所以x1﹣x2＜0，1﹣x1x2＞0，
所以f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．
所以函数f（x）在（﹣1，1）上是增函数；
（3）f（t﹣1）+f（t）＜0可化为f（t﹣1）＜﹣f（t）．
又f（x）为奇函数，所以f（t﹣1）＜f（﹣t），
f（x）为（﹣1，1）上的增函数，所以t﹣1＜﹣t①，且﹣1＜t﹣1＜1②，﹣1＜t＜1③；
联立①②③解得，0＜t＜．
所以不等式f（t﹣1）+f（t）＜0的解集为．
22.【解答】解：（1）设所求直线方程为y=﹣2x+b，即2x+y﹣b=0，∵直线与圆相切，
∴，得，
∴所求直线方程为，
（2）方法1：假设存在这样的点B（t，0），
当P为圆C与x轴左交点（﹣3，0）时，；
当P为圆C与x轴右交点（3，0）时，，
依题意，，解得，t=﹣5（舍去），或．
下面证明点对于圆C上任一点P，都有为一常数．
设P（x，y），则y2=9﹣x2，
∴，
从而为常数．
方法2：假设存在这样的点B（t，0），使得为常数λ，则PB2=λ2PA2，
∴（x﹣t）2+y2=λ2[（x+5）2+y2]，将y2=9﹣x2代入得，
x2﹣2xt+t2+9﹣x2=λ2（x2+10x+25+9﹣x2），
即2（5λ2+t）x+34λ2﹣t2﹣9=0对x∈[﹣3，3]恒成立，
∴，解得或（舍去），
所以存在点对于圆C上任一点P，都有为常数．
