二次函数的最值与优化优化问题的解决方法

一、知识概述1、数学知识的应用是学习数学的目的，用二次函数知识解决实际生活中的应用问题，特别是与经济生活相关的经济型问题是考查的热点．在实际问题中，若由题意列出的函数关系式是一个二次函数，则这些问题属于二次函数的最值问题．解决这类问题的关键是审清题意，建立二次函数关系式．实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义．因此在求二次函数的最值，一定要注意自变量x的取值范围．2、数学模型的建立．利用二次函数的最值解决实际问题时，要恰当地把实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而以确定二次函数的表达式．即把实际问题数学化，建立数学模型并利用数学模型解决实际问题．当求出最值时，要核实抛物线的最值与实际问题的最值是否一致，这就要求我们必须认真审题．3、与二次函数有关的应用问题包括图象信息问题和以现实生活为背景的情境应用问题．如利用平面几何图形的有关条件和性质建立平面几何图形面积的二次函数表达式，并利用二次函数的图象和性质确定最大或最小面积，其中求几何图形面积的常见方法有：利用几何图形的面积公式求几何图形的面积；利用几何图形的面积和或差求几何图形的面积．日常生活中的生产、经营活动中的产值最大、最大利润等最优化问题．4、利用二次函数的图象与x轴的交点的横坐标与一元二次方程的根的关系，通过直观观察图像与x轴的交点确定一元二次方程根的存在范围，进而求出一元二次方程的根的近似值．为了得到更精确的近似解，需要对交点横坐标所在的两个连续整数之间的x的值进一步细分，并求出相应的y值，列出表格，得到所要求的确精度的方程的近似解．二、典型例题讲解例1、用图象法求一元二次方程2x2－4x－1=0的近似解．分析：（1）设y=2x2－4x－1，使y=0的x值即方程2x2－4x－1=0的解．（2）化简2x 2－4x －1=0，得x 2＝2x ＋．设y 1=x 2，y 2=2x ＋，它们的交点的横坐标即方程x 2=2x ＋的解.解法一：设y=2x 2－4x －1.画出抛物线y=2x 2－4x －1.由图象知，当x≈2.2或x≈－0.2时，y=0.即方程2x 2－4x －1=0的近似解为x 1≈2.2，x 2≈－0.2.解法二：将2x 2－4x －1=0化简，得2x 2=4x ＋1，x 2=2x ＋.在同一坐标系中，画出函数y=x 2和y=2x ＋的图象如图所示.抛物线y=x2与直线y=2x＋交于A、B，过A、B分别作x轴的垂线，垂足横坐标约为2.2、－0.2.即x=2.2或x=－0.2时，y=x2和y2=2x＋相等，即x2=2x＋，2x2－14x－1=0.小结：解本类型题的基本方法是先作出二次函数的图象，并根据图象确定一元二次方程的解的个数；再由二次函数图象与x轴的交点位置确定交点横坐标的范围；或利用计算器估算方程的近似根(通常保留一位小数)．例2、某商场通过调查发现，某种玩具如果售价定为10元，日销量为50件，售价每提高1元，日销售量将减少3件。

二次函数最大值最小值公式
二次函数应用范围很广泛，其函数曲线特性让它成为研究高等教育及资格考试
的重要分析工具。

学生可以通过分析二次函数的最大值最小值公式，实现梯度优化，进而改善成绩。

二次函数最大值最小值公式指的是求解一般格式为y=ax²+bx+c的函数中最小
和最大值的方法。

在该公式中，a,b,c都是整数，表示常数项；x是变量，表示函
数参数；y是函数值。

求解二次函数的最大值最小值的步骤如下:
1.先在表达式中观察：“若a>0，则该函数图像形式为顶点朝上的双曲线；若
a<0，则该函数图像形式为顶点朝下的双曲线”；
2.将表达式化简为二元一次方程，对其解析解，得到函数的最值；
3.将二元一次方程得出的极值代入原式，求得函数最值y。

解析上述步骤可以有效提升学生的学习效果，使其取得更优秀的成绩。

有针对
性的解析题，其优化的空间就会宽敞的多，且学习的效果也会有很大的提高，可以有效的掌握高校的学习离不开详细的解析。

二次函数的最大最小值可以帮助学生对概念有更深入的理解，让学生更加全面
的融入现代的高校学习环境，从而发挥出自我价值，从而实现学生的多元化发展。

尤其是在把握大考前的梯度优化中，利用二次函数的最大最小值，可以让学生在考试前进行有针对性地备考，使学习成绩得以提升，及时进入到理想的高校学习环境中。

专题10 最优化问题阅读与思考数学问题中常见的一类问题是：求某个变量的最大值或最小值；在现实生活中，我们经常碰到一些带有“最”字的问题，如投入最少、效益最大、材料最省、利润最高、路程最短等，这类问题我们称之为最值问题，解最值问题的常见方法有：1．配方法由非负数性质得()02≥±b a ．2．不等分析法通过解不等式（组），在约束条件下求最值． 3．运用函数性质对二次函数()02≠++=a c bx ax y ，若自变量为任意实数值，则取值情况为：（1）当0>a ，a bx 2-=时，a b ac y 442-=最小值 ；（2）当0<a ，abx 2-=时，a b ac y 442-=最大值 ；4．构造二次方程利用二次方程有解的条件，由判别式0≥∆确定变量的取值范围，进而确定变量的最值．例题与求解【例1】当x 变化时，分式12156322++++x x x x 的最小值是 ．（全国初中数学联赛试题）解题思路：因分式中分子、分母的次数相等，故可将原分式用整式、真分式的形式表示，通过配方确定最小值．【例2】已知1≤y ，且12=+y x ，则223162y x x ++的最小值为（ ）A.719 B. 3 C. 727 D. 13 （太原市竞赛试题）解题思路：待求式求表示为关于x (或y )的二次函数，用二次函数的性质求出最小值，需注意的是变量x 、y 的隐含限制．【例3】()21322+-=x x f ，在b x a ≤≤的范围内最小值2a ，最大值2b ，求实数对(a ，b ).解题思路:本题通过讨论a ，b 与对称轴0=x 的关系得出结论．【例4】（1）已知211-+-=x x y 的最大值为a ，最小值b ，求22b a +的值． （“《数学周报》杯”竞赛试题）（2）求使()168422+-++x x 取得最小值的实数x 的值．（全国初中数学联赛试题）（3）求使2016414129492222+-+++-++y y y xy x x 取得最小值时x ，y 的值． （“我爱数学”初中生夏令营数学竞赛试题）解题思路：解与二次根式相关的最值问题，除了利用函数增减性、配方法等基本方法外，还有下列常用方法：平方法、判别式法、运用根式的几何意义构造图形等．【例5】如图，城市A 处位于一条铁路线上，而附近的一小镇B 需从A 市购进大量生活、生产用品，如果铁路运费是公路运费的一半，问：该如何从B 修筑一条公路到铁路边，使从A 到B 的运费最低？（河南省竞赛试题）解题思路：设铁路与公路的交点为C ，AC ＝x 千米，BC ＝y 千米，AD ＝n 千米，BD ＝m 千米，又设铁路每千米的运费为a 元，则从A 到B 的运费()ay m y n a S 222+--=，通过有理化，将式子整理为关于y 的方程．【例6】（1）设r x ，1+r x ，…，k x （r k >），为k －r ＋1个互不相同的正整数，且x r ＋x r ＋1＋…＋x k ＝2003，求k 的最大可能值．（香港中学竞赛试题）（2）a ，b ，c 为正整数，且432c b a =+，求c 的最小值．（全国初中数学联赛试题）解题思路：对于(1)，因r ＝1，对k －r ＋1＝ k －1＋1＝k 个正整数x 1，x 2，…，x k ，不妨设x 1＜x 2＜…＜x k ＝2013，可见，只有当各项x 1，x 2，…，x k 的值愈小时，才能使k 愈大（项数愈多），通过放缩求k 的最大值；对于（2），从()()222b ac a c =+-入手．能力训练A 级1．已知三个非负数a ，b ，c ，满足3a ＋2b ＋c ＝5和2a ＋b －3c ＝1，若m ＝3a ＋b －7c ，则m 的最小值为___________，最大值为 ．2．多项式p ＝2x 2－4xy ＋5y 2－12y ＋13的最小值为 ．3．已知x ，y ，z 为实数，且x ＋2y －z ＝6，x －y ＋2z ＝3，那么x 2＋y 2＋z 2的最小值为 ．（“希望杯”邀请赛试题）4．若实数a ，b ，c ，满足a 2＋b 2＋c 2＝9，则代数式(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2的最大值为 ( )（全国初中数学联赛试题）5．已知两点A (3，2)与B (1，－1)，点P 在y 轴上且使P A ＋PB 最短，则P 的坐标是（ ）A.(0，21-) B.(0，0) C.(0，611) D.(0，41-)（盐城市中考试题）6．正实数x ，y 满足1=xy ，那么44411y x +的最小值为（ ） A.21 B. 85 C. 1 D. 45E. 2（黄冈市竞赛试题）7．某公司试销一种成本单价为500元/件的新产品，规定试销时的销售单价不低于成本单价，又不高于800元/件，经试销调查，发现销售量y (件)与销售单价x (元/件)可近似看作一次函数b kx y +=的关系（如图所示）.（1）根据图象，求一次函数b kx y +=的解析式；（2）设公司获得的毛利润（毛利润=销售总价-成本总价）为S 元． ①试用销售单价x 表示毛利润；②试问：销售单价定为多少时，该公司可获得最大毛利润？最大毛利润是多少？此时的销量是多少？（南通市中考试题）8．方程()()06122=-+-+m x m x 有一根不大于1-，另一根不小于1，（1）求m 的取值范围；（2）求方程两根平方和的最大值与最小值．（江苏省竞赛试题）9．已知实数a ，b 满足122=++b ab a ，求22b ab a +-的最大值与最小值．（黄冈市竞赛试题）10.已知a ，b ，c 是正整数，且二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴有两个不同的交点A ，B ，若点A ，B 到原点的距离都小于1，求a ＋b ＋c 的最小值．（天津市竞赛试题）11．某单位花50万元买回一台高科技设备，根据对这种型号设备的跟踪调查显示：该设备投入使用后，若将养护和维修的费用均摊到每一天，则有结论：第x 天应付的养护与维修费为()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-500141x 元． （1）如果将设备从开始投入使用到报废所需的养护与维修费及购买设备费用的总和均摊到每一天，叫作每天的平均损耗，请你将每天的平均损耗y （元）表示为使用天数x （天）的函数．（2）按照此行业的技术和安全管理要求，当此设备的平均损耗达到最小值时，就应当报废，问：该设备投入使用多少天应当报废？（河北省竞赛试题）B 级1．a ，b 是正数，并且抛物线b ax x y 22++=和a bx x y ++=22都与x 轴有公共点，则22b a +的最小值是 ．2．设x ，y ，z 都是实数，且满足x ＋y ＋z ＝1，xyz ＝2，则z y x ++的最小值为 ．3．如图，B 船在A 船的西偏北45°处，两船相距210km ，若A 船向西航行，B 船同时向南航行，且B 船的速度为A 船速度的2倍，那么A 、B 两船的最近距离为 km ．（全国初中数学竞赛试题）4．若a ，b ，c ，d 是乘积为1的四个正数，则代数式a 2＋b 2＋c 2＋d 2＋ab ＋bc ＋ac ＋ad ＋bd ＋cd 的最小值为（ ）A. 0B. 4C. 8D. 10（天津市竞赛试题）5．已知x ，y ，z 为三个非负实数，且满足3x ＋2y ＋z ＝5，x ＋y －z ＝2. 若s ＝2x ＋y －z ，则s 的最大值与最小值的和为（ ）A. 5B.423 C. 427 D. 435（天津市选拔赛试题）6．如果抛物线()112----=k x k x y 与x 轴的交点为A ，B ，顶点为C ，那么△ABC 的面积的最小值为（ ）A.1B.2C.3D.47．某商店将进货价每个10元的商品按每个18元售出时，每天可卖出60个，商店经理到市场上做了一番调查后发现，若将这种商品的售价（在每个18元的基础上）每提高1元，则日销售量就减少5个；若将这种商品的售价（在每个18元的基础上）每降低1元，则日销量就增加10个，为获得每日最大利润，此商品售价应定为每个多少元？（“祖冲之杯”邀请赛试题）8．有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所能获得的利润依次是p （万元）和q （万元），它们与投入资金x （万元）的关系有经验公式：x q x p 53,51==.今有3万元资金投入经营甲、乙两种商品，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别应为多少？能获得多大的利润？（绍兴市竞赛试题）9．已知为x ，y ，z 为实数，且5=++z y x ，3=++zx yz xy ，试求z 的最大值与最小值．10．已知三个整数a ，b ，c 之和为13，且bca b =，求a 的最大值和最小值，并求出此时相应的b 与c 值．（四川省竞赛试题）11．设x1，x2，…，x n是整数，并且满足：①－1≤x i≤2，i＝1，2，…，n②x1＋x2＋…＋x n＝19③x12＋x22＋…＋x n2＝99求x13＋x23＋…＋x n3的最大值和最小值．（国家理科实验班招生试题）12．已知x1，x2，…，x40都是正整数，且x1＋x2＋…＋x40＝58，若x12＋x22＋…＋x402的最大值为A，最小值为B，求A＋B的值．（全国初中数学竞赛试题）专题10 最优化例1. 4 提示：原式=112-62-+）（x . 例2. B 提示：由-1≤y ≤1有0≤x ≤1，则z =2x 2+16x +3y 2=14x 2+4x +3是开口向上，对称轴为71-=x 的抛物线.例3. 分三种情况讨论：①0≤a <b ，则f (x )在a ≤x ≤b 上单调递减，∴f (a )=2b ，f (b )=2a ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=213222132222b a a b 解得⎩⎨⎧==31b a ②a <b ≤0，则f (x )在a ≤x ≤b 上单调递增，∴f (a )=2a ，f (b )=2b ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=213222132222b b a a 此时满足条件的（a ，b ）不存在. ③a <0<b ，此时f (x )在x =0处取得最大值，即2b =f (0)=213,b =413,而f (x )在x =a 或x =b 处取最小值2a .∵a <0，则2a <0，又∵f (b )=f (413)=021341321-2>+⨯）（，∵f (a )=2a ，即2a =2132-2+a ，则⎪⎩⎪⎨⎧=--=413172b a 综上，（a ，b ）=(1，3)或（17-2-，413） 例4. （1）121≤≤x ，y 2 = 21+216143-2+-）（x .当x =43时，y 2取得最大值1，a =1； 当21=x 或x =1时，y 2取得最小值21，b =22.故a 2+b 2=23.(2) 如图，AB =8，设AC =x ，则BC =8- x ，AD =2，CD =42+x ，BE =4，CE =16)-8(2+x BF =AD =2.10)24(816)8(4222222=++=+=≥+=+-++EF DF DE CE CD x x当且仅当D ，C ，E 三点共线时，原式取最小值.此时∵EBC ∽△DAC ，有224===DA EB CA BC , 从而x =AC =3831=AB .故原式取最小值时，x =38. (3)如图， 原式=[]2222222)24()13()32()01(032--0y x y x -+-+-+-+-+）（）（=AB +BC +CD ≥AD ，其中A （-2,0），B （0，3x ）,C (1,2y ),D (3,4),并且当点B ，C 在线段AD 上时，原式取得最小值，此时5423=x ，5432=y .例5. 由S =ay m y n a 2)(22+--，得an -S +2ay =a 22n y -，两边平方，经整理得0)()(4322222=+-+-+m a S an y S an a y a .因为关于y 的一元二次方程有实数解，所以[][]0)(34)(422222≥+-⨯--m a S an a S an a ，可化为2223-m a an S ≥）（.∵S >an ，∵am an S 3-≥，即am an S 3+≥，故S 最小=am an 3+.例6（1）设x 1≥1，x 2≥2，x k ≥k ，于是1+2+…+k ≤x 1+x 2+…+x k = 2003，即20032)1(≤+k k k (k +1)≤4006，∵62×63=3906<4006<4032=63×64，∴k ≤62. 当x 1=1，x 2=2，…x 61=61，x 62=112时，原等式成立，故k 的最大可能值为62.（2） 若取⎩⎨⎧=+=-222ba cb ac ，则2)1(2+=b b c 由小到大考虑b ，使2)1(+b b 为完全平方数.当b =8时，c 2=36，则c =6，从而a =28.下表说明c 没有比6更小的正整数解.显然，表中c 4-x 3的值均不是完全平方数，故c 的A 级1．57- 111- 2．1 3．14 提示：y =5－x ,z =4－x ，原式=3(x －3)2+14． 4．A 提示：原式=27－(a +b +c )2． 5．D 6．C 7．(1)y =－x +1000(500≤x ≤800) (2)①S =(x －500)(－x +1000)=－x 2+1500x －500000(500≤x ≤800);②S －(x －750)2+62500,即销售单价定为750时，公司可获最大毛利润62500元，此时销量为250件． 8．（1）－4≤m ≤2 （2）设方程两根为x 1，x 2，则x 12+x 22=4(m －34)2+1034，由此得x 12+x 22最小值为1034，最大值为101．9．设a 2－ab +b 2=k ，又a 2+ab +b 2=1②，由①②得ab =12(1－k )，于是有（a +b )2=12(3－k )≥0，∴k ≤3，从而a +b =．故a ，b 是方程t 2t +12k -=0的两实根，由Δ≥0，得133k ≤≤． 10．设A （x 1,0)，B （x 2，0)，其中 x 1，x 2是方程ax 2+bx +c =0的两根，则有x 1+x 2=b a -<0，x 1x 2=ca>0，得x 1<0，x 2<0，由Δ=b 2－4ac >0，得b >∵|OA |=|x 1|<1，|OB |=|x 2|<1，∴－1<x 1<0，－1<x 2<0，于是ca=x 1x 2<1，c <a ．由于a 是正整数，已知抛物线开口向上，且当x =－1时，对应的二次函数值大于0，即a －b +c >0，a +c >b ．又a ，b ，c 是正整数，有a +c ≥b ，从而a +c >2，则212>>≥，于是a >4，即a ≥5，故b =即b ≥5．因此，取a =5，b =5，c =1，y =5x 2+5x +1满足条件，故a +b +c 的最小值为11． 11．（1）该设备投入使用x 天，每天平均损耗为y =11111[500000(0500)(1500)(2500)(500)]4444x x -+⨯++⨯++⨯++++L=11(1)[500000500x ]42x x x -++⨯=500000749988x x ++． (2)y =500000749988x x ++7749999988≥=．当且仅当5000008xx =，即x =2000时，等号成立．故这台设备投入使用2000天后应当报废．B 级 1．20 提示：a 2－8b ≥0，4b 2－4a ≥0，从而a 4≥64b 2≥64a ，a ≥4，b 2≥4． 2．4 提示：构造方程． 3． 提示：设经过t 小时后，A ，B 船分别航行到A 1，B 1，设AA 1=x ，则BB 1=2x ，B 1A 1=4．D 提示：a 2+b 2≥2ab ，c 2+d 2≥2cd ，∴a 2+b 2+c 2+d 2≥2(ab +cd )≥=4．∴ab +cd ≥2，同理bc +ad ≥2，ac +bd ≥2． 5．A 提示：x =s －2≥0,y =5－43s ≥0，z =1－13s ≥0，解得2≤s ≤3，故s 的最大值与最小值的和为5． 6．A 提示：|AB |=C (2125,24k k k -++-），ABC S V ，而k 2+2k +5=(k +1)2+4≥4． 7．设此商品每个售价为x 元，每日利润为S 元．当x ≥18时，有S =[60－5（x －18)](x －10)=－5(x －20)2+500，即当商品提价为20元时，每日利润为500元；当x ≤18时，S =[60+10（18－x )](x －10)=－10(x －17)2+490，即当商品降价为17元时，每日利润最大，最大利润为490元，综上，此商品售价应定为每个20元． 8．设对甲、乙两种商品的资金投入分别为x ，(3－x )万元，设获取利润为s ，则s15x =s －15x x 2+(9－10s )x +25s 2－27=0，∵关于x 的一元二次方程有实数解，∴（9－10s )2－4×（25s 2－27)≥0，解得1891.05180s ≤=，进而得x =0.75（万元），3－x =2.25(万元）．即甲商品投入0.75万元，乙商品投入2.25万元，获得利润1.05万元为最大． 9．y =5－x －z ，代入xy ＋yx ＋zx =3，得x 2＋(z －5)x ＋(z 2－5z ＋3)=0．∵x 为实数，∴Δ=(z －5)2－4(z 2－5z ＋3)≥0，解得－1≤z ≤133,故z 的最大值为133，最小值为－1． 10．设b cx a b==，则b =ax ，c =ax 2，于是，a ＋b ＋c =13，化为a (x 2＋x ＋1)=13．∵a ≠0，∴x 2＋x ＋1－13a=0 ①．又a ，b ，c 为整数，则方程①的解必为有理数，即Δ=52a －3>0，得到1≤a ≤5231≤a ≤16．当a =1时，方程①化为x 2＋x －12=0，解得x 1=－4，x 2=3． 故a min =1，b =－4，c =16 或a min =1，b =3，c =9．当a =16时，方程①化为x 2＋x ＋316=0．解得x 1=－34，x 2=－14．故a min =16，b =－12，c =9；或a min =16，b =－4，c =1． 11．设x 1，x 2，…，x n 中有r 个－1，s 个1，t 个2，则219499r s t r s t -++=⎧⎨++=⎩，得3t ＋s =59，0≤t ≤19．∴x 13＋x 23＋…＋x n 3=－r ＋s ＋8t =6t ＋19．∴19≤x 13＋x 23＋…＋x n 3≤6×19＋19=133．∴在t =0，s =59，r =40时，x 13＋x 23＋…＋x n 3取得最小值19；在t =19，s =2，r =21时，x 13＋x 23＋…＋x n 3取得最大值133． 12．∵把58写成40个正整数的和的写法只有有限种，∴x 12＋x 22＋…＋x 402的最大值和最小值存在．不妨设x 1≤x 2≤…≤x 40．若x 1>1，则x 1＋x 2=(x 1－1)＋(x 2＋1)，且(x 1－1)2＋(x 2＋1)2=x 12＋x 22＋2(x 2－x 1)＋2>x 12＋x 22．于是，当x 1>1时，可以把x 1逐步调整到1，此时，x 12＋x 22＋…＋x 402的值将增大．同理可以把x 2，x 3，…，x 39逐步调整到1，此时x 12＋x 22＋…＋x 402的值将增大．从而，当x 1，x 2，…，x 39均为1，x 40=19时，x 12＋x 22＋…＋x 402取得最大值，即A =22239111+++L 1442443个＋192=400．若存在两个数x i ，x j ，使得x j －x i ≥2（1≤i ＜j ≤40），则（x i ＋1)2＋(x j －1)2=x i 2＋x j 2－2(x i －x j －1)<x i 2＋x j 2．这表明，在 x 1，x 2，…，x 40中，若有两个数的差大于1，则把较小的数加1，较大的数减1此时，x 12＋x 22＋…＋x 402的值将减小，因此，当x 12＋x 22＋…＋x 402 取得最小值时，x 1，x 2，…，x 40中任意两个数的差都不大于1． 故当x 1=x 2=…=x 22=1，x 23=x 24=…=x 40=2时，x 12＋x 22＋…＋x 402取得最小值，即222111+++L 144244322个222222+++⋯+=94从而，A+B=494.。

高中二次函数知识点总结在高中数学学习中，二次函数是一个重要的篇章。

它是形式为f(x)= ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c是实数且a不等于零。

在本文中，我将对高中二次函数的一些重要知识点进行总结，以帮助读者更好地理解和掌握这一内容。

一、二次函数的图像特性1. 平移变换：对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，a决定了图像的开口方向，a>0时开口向上，a<0时开口向下。

而b决定了图像的水平平移，正值向左平移，负值向右平移。

2. 最值：当二次函数开口向上时，图像的最小值为顶点，当二次函数开口向下时，图像的最大值为顶点。

顶点的横坐标为-x轴b/2a处，纵坐标为f(-b/2a)。

3. 对称轴：二次函数的对称轴为经过顶点的直线，它与开口方向垂直。

对称轴的方程为x = -b/2a。

二、二次函数的解与方程解法1. 二次函数的解：当二次函数满足f(x) = 0时，函数的解为方程的根。

可以利用因式分解、配方法和求根公式等不同方法来解二次方程。

2. 因式分解法：对于形如f(x) = ax^2 + bx + c = 0的二次方程，可以尝试将其因式分解为两个一次因式的乘积，再分别求解。

例如，当a=1时，可将方程写为(x + m)(x + n) = 0的形式，通过求解m、n来得到方程的根。

3. 配方法：对于一些无法直接因式分解的二次方程，可以通过配方法将其转化为可分解因式的形式。

具体做法是将方程f(x) = ax^2 + bx + c = 0两边同时乘以一个适当的系数，使得方程右边成为一个完全平方的形式，在进行因式分解。

4. 求根公式：二次方程ax^2 + bx + c = 0的根可以通过求根公式x = (-b ± sqrt(b^2 - 4ac)) / 2a来求解。

其中，sqrt表示平方根。

这个公式可以直接得到二次方程的解，适用于所有形式的二次方程。

三、二次函数在实际问题中的应用1. 最值问题：二次函数在实际问题中常常被用于求解最值问题。

二次函数线段差最大值问题二次函数线段差最大值问题是一个经典的数学优化问题，通常在高中数学课程中进行讨论。

该问题要求找到一个二次函数图像上两个点之间线段的最大差值。

假设给定一个二次函数 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b 和 c 分别代表二次项、一次项和常数项的系数。

为了求出线段差的最大值，我们需要确定两个点。

一种常见的方法是取二次函数的顶点和 x 轴上的一个点。

首先，我们需要找到二次函数的顶点。

二次函数的顶点可以通过以下公式计算：x = -b / (2a)y = f(x)其中 x 和 y 分别代表顶点的横坐标和纵坐标，f(x) 代表二次函数在 x 处的函数值。

接下来，我们选择 x 轴上的一个点作为第二个点。

这个点可以在顶点两侧选择，在顶点的左侧或右侧都可以。

假设我们选择了一个横坐标为 x1 的点，那么对应的纵坐标为 f(x1)。

最后，我们计算两个点之间线段的差值：差值 = | f(x1) - y |其中 | | 表示取绝对值。

为了找到差值的最大值，我们可以使用微积分的方法。

首先，我们可以求出差值的函数关于 x 的导数，然后令导数为零，求解出 x 的值。

这个 x 的值就是使得差值最大的横坐标。

将这个 x 值代入差值函数，就可以得到最大的差值。

需要注意的是，有时候二次函数的顶点不在定义域内，此时我们可以选择定义域的端点作为顶点，然后按照以上的方法求解。

总而言之，二次函数线段差最大值问题是一个通过找到二次函数图像上两个点之间线段的最大差值来优化问题的数学问题。

这个问题可以通过求解顶点和定义域的端点来得到最优解。

初中二次函数知识点总结初中二次函数知识点总结：二次函数（Quadratic Function）属于初中代数的重要内容，它是由形如y=ax²+bx+c（a≠0）的代数式所确定的函数。

以下是二次函数的相关知识点的总结。

一、二次函数的图像特征1. 平移：二次函数的图像可以平移，平移的方向与平移的量有关。

2. 对称轴：二次函数的图像关于一个虚轴（称作对称轴）对称。

3. 顶点：对于二次函数y=ax²+bx+c，顶点的横坐标为-x=Δ/b/2a，纵坐标为y⏊-Δ/4a。

4. 开口方向：二次函数的开口方向由a的符号所决定，当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下。

5. 最值：若二次函数的开口方向向上，则该二次函数存在最小值；若二次函数的开口方向向下，则该二次函数存在最大值。

二、二次函数的性质1. 零点：二次函数y=ax²+bx+c的零点，即方程ax²+bx+c=0的解。

2. 应用：二次函数的图像特征常用于解决实际问题，如计算机、物理、化学等领域。

三、二次函数与一次函数的关系1. 一次函数即二次函数的特例：当a=0时，二次函数就变成了一次函数。

2. 交点：二次函数与一次函数可能有1个、2个或无交点。

若两个函数有交点，则这些交点即为方程组的解。

四、解二次方程1. 根的个数：一元二次方程ax²+bx+c=0的根的个数与二次函数y=ax²+bx+c与x轴的交点个数一样（考虑重根）。

2. 用公式解方程：一元二次方程的根可以用求根公式x=(-b±√(b²-4ac))/(2a)来求解。

五、平方完成与配方法1. 平方完成：将一元二次方程变形为一个平方前项和一个常数的和可以极大地简化求解过程。

2. 配方法：适用于解决一元二次方程中某些特殊情况下的解法。

六、二次函数的应用1. 最优化问题：通过对二次函数的相关知识的应用，可以解决最优化问题，求得最值点，并求出最优解。

二次函数教学中存在的问题及解决策略摘要：函数是初中数学课程的基本概念之一，是教学的重要内容，在九年级数学教学中，二次函数又是重中之重。

而在实际课堂教学中，学生的认知水平与二次函数的内容存在着一定的矛盾，使学生难以真正掌握这一模块的知识。

鉴于此，教师应找到学生在二次函数学习中产生困难的原因并对此深入分析，在找到原因后，教师还需要有针对性地解决这一问题，从而使教学呈现出高效性。

关键词：二次函数教学；存在问题；解决策略引言二次函数是学生在简单基础的一次函数之外所接触到的函数部分内容。

尽管相对于更加复杂的三次函数以及三角函数简单许多，但相对于一次函数而言难度大大增加，并且对学生接下来的函数部分学习有着准备性、基础性的作用，教师必须重视二次函数的教学设计，绝不能掉以轻心。

同时，由于学生的数学基础水平不同，教师在联系一次函数展开教学的过程中也需要重视方式方法，在帮助学生理解的基础上带领学生对简单一次函数进行基本的复习，在融会贯通的前提下优化整体教学质量。

1初中生学习二次函数困难的原因学生在学习二次函数时，存在困难的因素有很多。

最主要体现在三个方面。

其一，二次函数知识本身的原因。

因为函数概念本身就具有一定的抽象性，并且二次函数的图像和性质具有一定的复杂性，相比较之前学生学习过的一次函数，图象所反应出的性质更加复杂。

此外，二次函数的应用问题也是学生学习困难的原因之一，由于实际问题产生的背景复杂，涉及到的变量多，使学生在建立数学模型时存在很大的困难；其二，学生自身的原因。

由于学生的认知发展水平不够，并且九年级学生的抽象思维还未真正形成，他们在学习二次函数时，思维只能停留在具体数字的认识上；其三，教师的教学方法较为陈旧。

受传统教育理念的影响，教师还选择照本宣科，忽视学生思维的发展，例如，在判断哪些为二次函数时，教师往往以题海战术训练学生，这样会使学生达不到理解的程度。

2二次函数教学的有效策略1.巧用信息技术，降低理解难度二次函数呈现出一定的抽象性，对学生而言，容易使他们产生思维的障碍，鉴于此，信息技术的出现能够为课堂教学注入新活力，同时，也能够在一定程度上降低学生的理解难度。

学习内容： 5.5 用二次函数解决问题（1） 学习目标：1．能通过分析表示实际问题中变量之间的二次函数关系，能运用二次函数的知识求出实际问题的最大值或最小值．2．经历探索最优化问题的过程，进一步获得用数学模型解决实际问题的经验，提高数学应用意识． 学习过程： 一、例题解析例1 某种粮大户去年种植水稻360亩，平均每亩收益440元.他计划今年多承租若干亩稻田，预计原360亩稻田平均每亩收益不变，新承租的稻田每增加1亩，其每亩平均收益比去年每亩平均收益少2元.该种粮大户今年应多承租多少亩稻田，才能使总收益最大？练习：去年鱼塘里饲养鱼苗10千尾看，平均每千尾鱼的产量为1000kg.今年计划继续向鱼塘里投放鱼苗，预计每多投放鱼苗1千尾，每千尾鱼的产量将减少50kg.今年应投放鱼苗多少千尾，才能使总产量最大？最大总产量是多少？例2 某校初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高920m ，与篮圈中心的水平距离为7m ，当球出手后水平距离为4m 时到达最大高度4m ，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈距地面3m ．（1）建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式并判断此球能否准确投中？ （2）此时，若对方队员乙在甲前面1m 处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1m ，那么他能否获得成功？练习：小明是学校田径队的运动员，根据测试资料分析，他掷铅球的出手高度(铅球脱手时高地面的高度)为2m，如果出手后铅球在空中飞行的水平距离x(m)与高度y(m)之间的关系为二次函数y＝a(x－4)2＋3，那么小明掷铅球的出手点与铅球落地点之间的水平距离是多少？二、巩固练习1.从地面垂直向上抛出一小球，小球的高度h（m）与小球运动时间t（s）的函数表达式是h=9.8t-4.9t2．小球运动的最大高度是________m.2.某果园有100棵橘子树，平均每一棵树结600个橘子.根据经验估计，每多种一颗树，平均x棵橘子树，果园橘子总个数为y个，则当x=______ 每棵树就会少结5个橘子.设果园增种．．时，y的值最大.3.某汽车租赁公司拥有20辆汽车．据统计，当每辆车的日租金为400元时，可全部租出；当每辆车的日租金每增加50元，未租出的车将增加1辆；公司平均每日的各项支出共4800 元．设公司每日租出x辆车时，日收益为y元．（日收益=日租金收入 平均每日各项支出）（1）公司每日租出x辆车时，每辆车的日租金为元（用含x的代数式表示）；（2）当每日租出多少辆时，租赁公司日收益最大？最大收益是多少元？（3）当每日租出多少辆时，租赁公司的日收益不盈也不亏？4.科幻小说《实验室的故事》中，有这样一个情节，科学家把一种珍奇的植物分别放在不同由这些数据，科学家推测出植物每天高度增长量是温度x的函数，且这种函数是反比例函数、一次函数和二次函数中的一种．（1）请你求出该函数的表达式，并简要说明不选择另外两种函数的理由；（2）温度为多少时，这种植物每天高度的增长量最大？三、课堂小结第 1 题编号 55 （家庭作业）初三班姓名成绩家长对孩子作业态度的评价签名1. 巴人广场中心标志性建筑处有高低不同的各种喷泉，其中一支高度为1米的喷水管喷出水的最大高度为3米，此时喷水水平距离为12米，在如图所示的坐标系中，这支喷泉的函数关系式是（）A．2132y x⎛⎫=--+⎪⎝⎭B．21312y x⎛⎫=-+⎪⎝⎭C．21832y x⎛⎫=--+⎪⎝⎭D．21832y x⎛⎫=-++⎪⎝⎭2.体育测试时，初三一名高个学生推铅球，铅球所经过的路线为图1所示抛物线，且铅球在空中飞行的水平距离x（m)与高度y（m)之间的关系式为21212++-=xxy，则该同学的出手高度（铅球脱手时离地面的高度）是 m，铅球在运行过程中离地面的最大高度是 m，该同学的成绩是 m．图1 图23.如图2，某喷灌设备点喷头A高出地面1.2m，如果喷出的抛物线水流的水平距离x（m）与高度y（m）之间的关系为二次函数y=a(x-4)2+2。

二元二次最值问题【最新版】目录1.二元二次最值问题的定义和背景2.二元二次最值问题的求解方法3.二元二次最值问题的实际应用正文【1.二元二次最值问题的定义和背景】二元二次最值问题是指在给定的二维空间中，寻找一个二次函数的最值点。

这个二次函数可以表示为一个二次方程，其形式通常为 ax^2 + bxy + cy^2 + dxy + f = 0。

在这个方程中，a、b、c 和 d 是常数，而 x 和y 是变量。

二元二次最值问题的目标是找到这个二次函数的最值点，即找到 x 和 y 的值，使得函数取得最大值或最小值。

二元二次最值问题在数学、物理和工程领域都有广泛的应用，例如在优化问题、图像处理、信号处理等方面都会涉及到此类问题。

【2.二元二次最值问题的求解方法】求解二元二次最值问题的方法有多种，其中比较常见的方法有以下几种：（1）解析法：对于简单的二元二次最值问题，可以通过解析法求解。

主要是通过求解二次方程的根，然后根据判别式来判断最值点的性质。

（2）数值法：对于复杂的二元二次最值问题，可以通过数值法求解。

常见的数值方法有梯度下降法、牛顿法、拟牛顿法等。

这些方法都是基于函数的局部性质来寻找最值点，因此它们的收敛性与初始点的选择有关。

（3）图像法：对于一些具有特定图形特征的二元二次最值问题，可以通过绘制函数图像来直观地找到最值点。

【3.二元二次最值问题的实际应用】二元二次最值问题在实际应用中有很多，下面举一个简单的例子：假设有一个物体在重力作用下从山顶滑下来，我们希望求出物体在滑行过程中速度的最大值。

这个问题就可以用二元二次最值问题来描述。

在这个问题中，物体的速度可以表示为二次函数，其形式为 v = ax^2 + bx + c。

我们需要找到这个二次函数的最大值点，即找到 x 的值，使得速度取得最大值。

这个问题的实际意义是，当物体滑到某个位置时，其速度达到最大值，而在其他位置速度都小于这个最大值。

二次函数的最值与极值点二次函数是一种常见的数学函数，其图像通常呈现开口向上或开口向下的抛物线形状。

在研究二次函数的性质时，最值和极值点是其中的重要概念。

本文将详细介绍二次函数的最值与极值点，并探讨它们在数学和实际问题中的应用。

一、二次函数的最值二次函数的最值指的是函数在定义域上的最大值和最小值。

二次函数的一般形式为f(x) = ax² + bx + c，其中a、b、c为常数，a≠0。

我们先来讨论抛物线开口向上的情况。

当a>0时，二次函数的图像开口向上。

在这种情况下，函数的最小值称为最小值。

为了确定最小值，我们可以观察二次函数的顶点。

二次函数的顶点可以通过公式x = -b/2a求得。

通过这个公式，我们可以得到横坐标x的值，然后将x代入函数中求得纵坐标y的值，即为最小值。

再来讨论抛物线开口向下的情况。

当a<0时，二次函数的图像开口向下。

在这种情况下，函数的最大值称为最大值。

同样地，我们可以使用顶点的横坐标和纵坐标来找到二次函数的最大值。

二、二次函数的极值点二次函数的极值点是指函数的导数为0的点。

具体来说，对于一元函数y=f(x)，如果在某点x0处导数f'(x0)=0，那么这个点就是函数的极值点。

对于二次函数y=ax² + bx + c而言，导数f'(x) = 2ax + b。

我们将二次函数的导数置为0，得到2ax + b = 0。

解这个方程得到x0 = -b/2a，这个值就是二次函数的极值点。

通过将x0代入原二次函数的表达式中，即可求得极值点的纵坐标。

需要注意的是，当a>0时，极值点为最小值点；当a<0时，极值点为最大值点。

三、二次函数最值和极值点的应用1. 最值和极值点的几何意义最值和极值点在几何中具有重要的意义。

对于开口向上的二次函数来说，顶点是函数曲线的最低点，它代表了最稳定的状态。

对于开口向下的二次函数来说，顶点是函数曲线的最高点，也代表了最稳定的状态。

最优化问题的求解方法在日常工作和学习中，我们经常会遇到各种各样的问题，而这些问题可以被形式化为最优化问题。

最优化问题是指在一定的约束条件下，寻求一个使得目标函数值最大或最小的解的问题。

这里的目标函数可以是任何一种函数，比如线性函数、非线性函数、二次函数等。

最优化问题的求解是一个非常重要的问题，它涉及到众多领域，比如经济学、金融学、工程学、自然科学等。

在计算机科学领域中，最优化问题的求解也是一项重要的研究方向。

解决最优化问题的方法可能因为问题不同而异，但是所有的方法都可以归纳为以下几种：1. 暴力穷举法暴力穷举法是最简单、最直观的最优化问题求解方法。

它的基本思路是枚举所有可能的解，并计算它们的目标函数值，最后选择其中最优的解作为最终答案。

虽然这个方法的思路非常简单，但是它的计算复杂度往往非常高，如果问题规模过大，很难在可接受的时间内得到答案。

2. 迭代法迭代法是求解最优化问题的一种常用方法。

它的基本思想是从一个初始值开始，不断地运用某个算法，逐步地接近最优解。

在不断进行迭代的过程中，如果算法能保证每次迭代后目标函数值都会变得更优，那么最终的结果就会逐渐趋近最优解。

迭代法适用于一些问题求解困难或者解析解不存在的情况，但是它对初始值的选取十分敏感，可能会导致陷入局部最优解而无法逼近全局最优解。

3. 线性规划法线性规划法是最常用的求解最优化问题的方法之一。

它适用于目标函数和约束条件均为线性函数的情况，可以比较高效地求解问题。

线性规划法基于线性规划模型，通过对变量进行线性组合来表示目标函数值，然后将约束条件表示为一组线性方程或线性不等式，再利用单纯形法等算法来求解问题。

4. 动态规划法动态规划法是一种常用的求解最优化问题的方法，它适用于一些具有重复子问题和最优子结构性质的问题。

动态规划法的基本思想是利用大问题的最优解可以由小问题的最优解推导出来的原理，将问题划分为若干个相互依赖的子问题，从而在不重复计算的情况下将其逐一求解。

利用二次函数解决实际问题类型一：利用二次函数解决面积最值（面积优化问题）（不含相似形知识点）1、某广告公司设计一幅周长为20 m的矩形广告牌，设矩形的一边长为x m，广告牌的面积为S m2．(1)写出广告牌的面积S与边长x的函数关系式； (2)当x为何值时，广告牌面积S最大？最大值为几？2、如图，有长为24 m的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度a为10 m)，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．(1)如果要围成面积为45 m2的花圃，AB的长是多少米？(2)能围成面积比45 m2更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．3、用48米长的竹篱笆围建一矩形养鸡场,养鸡场一面用砖砌成,另三面用竹篱笆围成,并且在与砖墙相对的一面开2米宽的门(不用篱笆),问养鸡场的边长为多少米时,养鸡场占地面积最大?最大面积是多少?4、明的家门前有一块空地，空地外有一面长10米的围墙，为了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃，他买回了32米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏，为了浇花和赏花的方便，准备在花圃的中间再围出一条宽为一米的通道及在左右花圃各放一个1米宽的门（木质）．花圃的长与宽如何设计才能使花圃的面积最大？5、如图，已知正方形ABCD边长为8，E，F，P分别是AB，CD，AD上的点，(不与正方形顶点重合)，且PE⊥PF，PE＝PF，问当AE为多长时，五边形EBCFP面积最小？最小面积是多少？▲6、（探究）如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用50 m长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的x养鸡场，设它的长度为x 米．(1)要使鸡场面积最大，鸡场的长度应为多少m ？(2)如果中间有n (n 是大于1的整数)道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，鸡场的长应为多少米？比较(1)(2)的结果，你能得到什么结论？x7、如图，在ABC ∆中，90B ∠=，12mm AB =，24mm BC =，动点P 从点A 开始沿边AB 向B 以2mm/s 的速度移动（不与点B 重合），动点Q 从点B 开始沿边BC 向C 以4mm/s 的速度移动（不与点C 重合）．如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，那么经过几秒，四边形APQC 的面积最小，最小面积为多少？☆类型二、利用二次函数解决利润最值问题（利润优化问题）1、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降低多少元时，商场平均每天盈利最多？利润最多为多少元？▲2、（讨论）某商店经营T 恤衫,已知成批购进时单价是2.5元.根据市场调查,销售量与销售单价满足如下关系:在某一时间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件. 请你帮助分析:销售单价是多少时,可以获利最多?最大利润为多少？3、某种粮大户去年种植优质水稻360亩，今年计划增加承租x （100≤x ≤150）亩。