高考数学一轮复习课时分层训练5函数的单调性与最值理北师大版

课时分层训练(五) 函数的单调性与最值A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．下列函数中，定义域是R 且为增函数的是( ) A ．y ＝2－xB ．y ＝xC ．y ＝log 2xD ．y ＝－1xB [由题知，只有y ＝2－x与y ＝x 的定义域为R ，且只有y ＝x 在R 上是增函数．] 2．若函数y ＝ax 与y ＝－b x在(0，＋∞)上都是减函数，则y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上是( )【导学号：66482031】A ．增函数B ．减函数C ．先增后减D ．先减后增B [由题意知，a ＜0，b ＜0，则－b2a ＜0，从而函数y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上为减函数．]3．函数f (x )＝ln(4＋3x －x 2)的递减区间是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，32 B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞C.⎝⎛⎦⎥⎤－1，32 D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，4 D [要使函数有意义需4＋3x －x 2＞0， 解得－1＜x ＜4，∴定义域为(－1,4)．令t ＝4＋3x －x 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋254.则t 在⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，32上递增，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，4上递减， 又y ＝ln t 在⎝⎛⎦⎥⎤0，254上递增，∴f (x )＝ln(4＋3x －x 2)的递减区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，4.]4．(2017·陕西二模)某商场2016年一月份到十二月份月销售额呈现先下降后上升的趋势，下列四个函数中，能较准确反映商场月销售额f (x )与月份x 关系且满足f (1)＝8，f (3)＝2的函数为( )【导学号：66482032】A ．f (x )＝20×⎝ ⎛⎭⎪⎫12xB ．f (x )＝－6log 3x ＋8C ．f (x )＝x 2－12x ＋19D ．f (x )＝x 2－7x ＋14D [因为选项A ，B 中的函数均为递减函数，不满足题意；选项C 中，f (1)＝1－12＋19＝8，f (3)＝32－12×3＋19＝－8≠2，不满足题意；选项D 中，函数满足先减后增，且f (1)＝1－7＋14＝8，f (3)＝32－7×3＋14＝2，满足题意，故选D.]5．(2017·衡水调研)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ≥0，x 2－2x ，x ＜0.若f (－a )＋f (a )≤2f (1)，则a 的取值范围是( )A ．[－1,0)B ．[0,1]C ．[－1,1]D ．[－2,2]C [因为函数f (x )是偶函数，故f (－a )＝f (a )，原不等式等价于f (a )≤f (1)，即f (|a |)≤f (1)，而函数在[0，＋∞)上递增，故|a |≤1，解得－1≤a ≤1.]二、填空题6．(2017·江苏常州一模)函数f (x )＝log 2(－x 2＋22)的值域为________. 【导学号：66482033】⎝⎛⎦⎥⎤－∞，32 [∵0＜－x 2＋22≤22，∴当x ＝0时，f (x )取得最大值，f (x )max ＝f (0)＝log 222＝32，∴f (x )的值域为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，32.] 7．已知函数f (x )为R 上的减函数，若m ＜n ，则f (m )________f (n )；若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x ＜f(1)，则实数x 的取值范围是________．＞ (－1,0)∪(0,1) [由题意知f (m )＞f (n )；⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x＞1，即|x |＜1，且x ≠0.故－1＜x ＜1且x ≠0.]8．(2017·郑州模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋a ，x ＜1，2x，x ≥1的最小值为2，则实数a 的取值范围是________．[3，＋∞) [当x ≥1时，f (x )≥2，当x ＜1时，f (x )＞a －1.由题意知a －1≥2，∴a ≥3.]三、解答题9．已知函数f (x )＝－2x ＋1，x ∈[0,2]，用定义证明函数的单调性，并求函数的最大值和最小值．[解] 设0≤x 1＜x 2≤2，则f (x 1)－f (x 2)＝－2x 1＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 2＋1＝－x 2＋1－x 1－x 1＋x 2＋＝－x 2－x 1x 1＋x 2＋. 3分由0≤x 1＜x 2≤2，得x 2－x 1＞0，(x 1＋1)(x 2＋1)＞0，6分 所以f (x 1)－f (x 2)＜0， 即f (x 1)＜f (x 2)，故f (x )在区间[0,2]上是增函数. 10分 因此，函数f (x )＝－2x ＋1在区间[0,2]的左端点取得最小值，右端点取得最大值，即最小值是f (0)＝－2，最大值是f (2)＝－23. 12分10．已知f (x )＝xx －a(x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)上递增；(2)若a ＞0且f (x )在(1，＋∞)上递减，求a 的取值范围． [解] (1)证明：设x 1＜x 2＜－2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝x 1－x 2x 1＋x 2＋. 2分∵(x 1＋2)(x 2＋2)＞0，x 1－x 2＜0， ∴f (x 1)＜f (x 2)，∴f (x )在(－∞，－2)内递增. 5分 (2)f (x )＝xx －a ＝x －a ＋a x －a ＝1＋ax －a，当a ＞0时，f (x )在(－∞，a )，(a ，＋∞)上是减函数，8分 又f (x )在(1，＋∞)内递减，∴0＜a ≤1，故实数a 的取值范围是(0,1]. 12分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2017·湖北枣阳第一中学3月模拟)已知函数f (x )＝e x－1，g (x )＝－x 2＋4x －3，若存在f (a )＝g (b )，则实数b 的取值范围为( )A ．[0,3]B ．(1,3)C ．[2－2，2＋2]D ．(2－2，2＋2)D [由题可知f (x )＝e x－1＞－1，g (x )＝－x 2＋4x －3＝－(x －2)2＋1≤1， 若f (a )＝g (b )，则g (b )∈(－1,1]， 即－b 2＋4b －3＞－1，即b 2－4b ＋2＜0， 解得2－2＜b ＜2＋ 2.所以实数b 的取值范围为(2－2，2＋2)，故选D.] 2．函数y ＝x －x (x ≥0)的最大值为________．14 [令t ＝x ，则t ≥0，所以y ＝t －t 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋14，结合图像(图略)知，当t ＝12，即x ＝14时，y max ＝14.]3．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0.(1)求f (1)的值；(2)证明：f (x )为递减函数；(3)若f (3)＝－1，求f (x )在[2,9]上的最小值． [解] (1)令x 1＝x 2>0，代入得f (1)＝f (x 1)－f (x 1)＝0，故f (1)＝0. 3分 (2)证明：任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2，则x 1x 2>1， 当x >1时，f (x )<0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2<0，5分 即f (x 1)－f (x 2)<0，因此f (x 1)<f (x 2)，∴函数f (x )在区间(0，＋∞)上是递减函数. 7分 (3)∵f (x )在(0，＋∞)上是递减函数， ∴f (x )在[2,9]上的最小值为f (9)．由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫93＝f (9)－f (3)，9分 而f (3)＝－1，∴f (9)＝－2.∴f (x)在[2,9]上的最小值为－2. 12分。

高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第2节函数的单调性与最值教师用书文北师大版[考纲传真] 1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.2.会运用函数的图像理解和研究函数的性质．1．函数的单调性(1)增、减函数①如果函数y＝f (x)在区间A上是增加的或是减少的，那么称A 为单调区间．②如果函数y＝f (x)在定义域的某个子集上是增加的或是减少的，那么就称函数y＝f (x)在这个子集上具有单调性．(3)单调函数如果函数y＝f (x)在整个定义域内是增加的或是减少的，我们分别称这个函数为增函数或减函数，统称为单调函数．2．函数的最值1打“×”)(1)函数y＝在其定义域上递减．( )(2)函数y＝＋x在其定义域上递增．( )(3)对于函数f (x)，x∈D，若x1，x2∈D且＞0，则函数f (x)在D上是增加的．( )(4)若函数f (x)的最大值是M，最小值是m，则函数f (x)的值域一定是[m，M]．( )[答案] (1)×(2)√(3)√(4)×2．(2016·北京高考)下列函数中，在区间(－1,1)上为减函数的是( )【导学号：66482027】A．y＝B．y＝cosxC．y＝ln(x＋1) D．y＝2－xD [选项A中，Y＝在(－∞，1)和(1，＋∞)上为增函数，故Y ＝在(－1,1)上为增函数；选项B中，y＝cosx在(－1,1)上先增后减；选项C中，y＝ln(x＋1)在(－1，＋∞)上为增函数，故y＝ln(x ＋1)在(－1,1)上为增函数；选项D中，y＝2－x＝x在R上为减函数，故y＝2－x在(－1,1)上是减函数．]。

课时分层训练(五) 函数的单调性与最值A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．下列函数中，定义域是R 且为增函数的是( ) A ．y ＝2－xB ．y ＝xC ．y ＝log 2xD ．y ＝－1xB [由题知，只有y ＝2－x与y ＝x 的定义域为R ，且只有y ＝x 在R 上是增函数．] 2．若函数y ＝ax 与y ＝－b x在(0，＋∞)上都是减函数，则y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上是( )【导学号：66482031】A ．增函数B ．减函数C ．先增后减D ．先减后增B [由题意知，a ＜0，b ＜0，则－b2a ＜0，从而函数y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上为减函数．]3．函数f (x )＝ln(4＋3x －x 2)的递减区间是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，32 B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞C.⎝⎛⎦⎥⎤－1，32 D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，4 D [要使函数有意义需4＋3x －x 2＞0， 解得－1＜x ＜4，∴定义域为(－1,4)．令t ＝4＋3x －x 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋254.则t 在⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，32上递增，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，4上递减， 又y ＝ln t 在⎝⎛⎦⎥⎤0，254上递增，∴f (x )＝ln(4＋3x －x 2)的递减区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，4.]4．(2017·陕西二模)某商场2016年一月份到十二月份月销售额呈现先下降后上升的趋势，下列四个函数中，能较准确反映商场月销售额f (x )与月份x 关系且满足f (1)＝8，f (3)＝2的函数为( )【导学号：66482032】A ．f (x )＝20×⎝ ⎛⎭⎪⎫12xB ．f (x )＝－6log 3x ＋8C ．f (x )＝x 2－12x ＋19D ．f (x )＝x 2－7x ＋14D [因为选项A ，B 中的函数均为递减函数，不满足题意；选项C 中，f (1)＝1－12＋19＝8，f (3)＝32－12×3＋19＝－8≠2，不满足题意；选项D 中，函数满足先减后增，且f (1)＝1－7＋14＝8，f (3)＝32－7×3＋14＝2，满足题意，故选D.]5．(2017·衡水调研)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ≥0，x 2－2x ，x ＜0.若f (－a )＋f (a )≤2f (1)，则a 的取值范围是( )A ．[－1,0)B ．[0,1]C ．[－1,1]D ．[－2,2]C [因为函数f (x )是偶函数，故f (－a )＝f (a )，原不等式等价于f (a )≤f (1)，即f (|a |)≤f (1)，而函数在[0，＋∞)上递增，故|a |≤1，解得－1≤a ≤1.]二、填空题6．(2017·江苏常州一模)函数f (x )＝log 2(－x 2＋22)的值域为________. 【导学号：66482033】⎝⎛⎦⎥⎤－∞，32 [∵0＜－x 2＋22≤22，∴当x ＝0时，f (x )取得最大值，f (x )max ＝f (0)＝log 222＝32，∴f (x )的值域为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，32.] 7．已知函数f (x )为R 上的减函数，若m ＜n ，则f (m )________f (n )；若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x ＜f(1)，则实数x 的取值范围是________．＞ (－1,0)∪(0,1) [由题意知f (m )＞f (n )；⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x＞1，即|x |＜1，且x ≠0.故－1＜x ＜1且x ≠0.]8．(2017·郑州模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋a ，x ＜1，2x，x ≥1的最小值为2，则实数a 的取值范围是________．[3，＋∞) [当x ≥1时，f (x )≥2，当x ＜1时，f (x )＞a －1.由题意知a －1≥2，∴a ≥3.]三、解答题9．已知函数f (x )＝－2x ＋1，x ∈[0,2]，用定义证明函数的单调性，并求函数的最大值和最小值．[解] 设0≤x 1＜x 2≤2，则f (x 1)－f (x 2)＝－2x 1＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 2＋1＝－x 2＋1－x 1－x 1＋x 2＋＝－x 2－x 1x 1＋x 2＋. 3分由0≤x 1＜x 2≤2，得x 2－x 1＞0，(x 1＋1)(x 2＋1)＞0，6分 所以f (x 1)－f (x 2)＜0， 即f (x 1)＜f (x 2)，故f (x )在区间[0,2]上是增函数. 10分 因此，函数f (x )＝－2x ＋1在区间[0,2]的左端点取得最小值，右端点取得最大值，即最小值是f (0)＝－2，最大值是f (2)＝－23. 12分10．已知f (x )＝xx －a(x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)上递增；(2)若a ＞0且f (x )在(1，＋∞)上递减，求a 的取值范围． [解] (1)证明：设x 1＜x 2＜－2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝x 1－x 2x 1＋x 2＋. 2分∵(x 1＋2)(x 2＋2)＞0，x 1－x 2＜0， ∴f (x 1)＜f (x 2)，∴f (x )在(－∞，－2)内递增. 5分 (2)f (x )＝xx －a ＝x －a ＋a x －a ＝1＋ax －a，当a ＞0时，f (x )在(－∞，a )，(a ，＋∞)上是减函数，8分 又f (x )在(1，＋∞)内递减，∴0＜a ≤1，故实数a 的取值范围是(0,1]. 12分 B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2017·湖北枣阳第一中学3月模拟)已知函数f (x )＝e x －1，g (x )＝－x 2＋4x －3，若存在f (a )＝g (b )，则实数b 的取值范围为( )A ．[0,3]B ．(1,3)C ．[2－2，2＋2]D ．(2－2，2＋2)D [由题可知f (x )＝e x－1＞－1，g (x )＝－x 2＋4x －3＝－(x －2)2＋1≤1， 若f (a )＝g (b )，则g (b )∈(－1,1]， 即－b 2＋4b －3＞－1，即b 2－4b ＋2＜0， 解得2－2＜b ＜2＋ 2.所以实数b 的取值范围为(2－2，2＋2)，故选D.] 2．函数y ＝x －x (x ≥0)的最大值为________．14 [令t ＝x ，则t ≥0，所以y ＝t －t 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋14，结合图像(图略)知，当t ＝12，即x ＝14时，y max ＝14.]3．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0.(1)求f (1)的值；(2)证明：f (x )为递减函数；(3)若f (3)＝－1，求f (x )在[2,9]上的最小值． [解] (1)令x 1＝x 2>0，代入得f (1)＝f (x 1)－f (x 1)＝0，故f (1)＝0. 3分 (2)证明：任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2，则x 1x 2>1， 当x >1时，f (x )<0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2<0，5分即f (x 1)－f (x 2)<0，因此f (x 1)<f (x 2)，∴函数f (x )在区间(0，＋∞)上是递减函数. 7分 (3)∵f (x )在(0，＋∞)上是递减函数， ∴f (x )在[2,9]上的最小值为f (9)．由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫93＝f (9)－f (3)，9分 而f (3)＝－1，∴f (9)＝－2.∴f (x )在[2,9]上的最小值为－2. 12分。

第二节导数与函数的单调性[最新考纲] 1.了解函数的单调性和导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不会超过三次)．函数的单调性与导数的关系条件结论函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导f′(x)＞0f(x)在(a，b)内单调递增f′(x)＜0f(x)在(a，b)内单调递减f′(x)＝0f(x)在(a，b)内是常数函数1．在某区间内f′(x)＞0(f′(x)＜0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．2．可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对任意x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零．一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)＞0.( )(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性．( )(3)在(a，b)内f′(x)≤0且f′(x)＝0的根有有限个，则f(x)在(a，b)内是减函数．( )[答案] (1)×(2)√(3)√二、教材改编1．如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图像，则下面判断正确的是( )A．在区间(－3,1)上f(x)是增函数B．在区间(1,3)上f(x)是减函数C．在区间(4,5)上f(x)是增函数D．在区间(3,5)上f(x)是增函数C[由图像可知，当x∈(4,5)时，f′(x)＞0，故f(x)在(4,5)上是增函数．]2．函数f (x )＝cos x －x 在(0，π)上的单调性是( ) A ．先增后减 B ．先减后增 C ．增函数D ．减函数D [因为f ′(x )＝－sin x －1＜0在(0，π)上恒成立， 所以f (x )在(0，π)上是减函数，故选D.]3．函数f (x )＝x －ln x 的单调递减区间为________．(0,1] [函数f (x )的定义域为{x |x ＞0}，由f ′(x )＝1－1x≤0，得0＜x ≤1，所以函数f (x )的单调递减区间为(0,1]．]4．已知f (x )＝x 3－ax 在[1，＋∞)上是增函数，则实数a 的最大值是________． 3 [f ′(x )＝3x 2－a ≥0，即a ≤3x 2，又因为x ∈[1，＋∞ )，所以a ≤3，即a 的最大值是3.]考点1 不含参数函数的单调性求函数单调区间的步骤(1)确定函数f (x )的定义域． (2)求f ′(x )．(3)在定义域内解不等式f ′(x )＞0，得单调递增区间． (4)在定义域内解不等式f ′(x )＜0，得单调递减区间．1.函数f (x )＝1＋x －sin x 在(0,2π)上是( )A ．单调递增B ．单调递减C ．在(0，π)上增，在(π，2π)上减D ．在(0，π)上减，在(π，2π)上增A [f ′(x )＝1－cos x ＞0在(0,2π)上恒成立，所以在(0,2π)上单调递增．] 2．函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为( )A ．(－1,1]B ．(0,1]C ．[1，＋∞)D ．(0，＋∞)B [∵y ＝12x 2－ln x ，∴x ∈(0，＋∞)，y ′＝x －1x＝x －1x ＋1x.由y ′≤0可解得0＜x ≤1，∴y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为(0,1]，故选B.]3．已知定义在区间(－π，π)上的函数f (x )＝x sin x ＋cos x ，则f (x )的单调递增区间是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 [f ′(x )＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x ， 令f ′(x )＝x cos x ＞0，则其在区间(－π，π)上的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，即f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎪⎫－π，－π2和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.]求函数的单调区间时，一定要树立函数的定义域优先的原则，否则极易出错．如T 2.考点2 含参数函数的单调性研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．(1)讨论分以下四个方面 ①二次项系数讨论； ②根的有无讨论； ③根的大小讨论； ④根在不在定义域内讨论．(2)讨论时要根据上面四种情况，找准参数讨论的分类． (3)讨论完毕须写综述．已知函数f (x )＝12x 2－2a ln x ＋(a －2)x ，当a ＜0时，讨论函数f (x )的单调性．[解] 函数的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝x －2a x＋a －2＝x －2x ＋a x.①当－a ＝2，即a ＝－2时，f ′(x )＝x －22x≥0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增．②当0＜－a ＜2，即－2＜a ＜0时，∵0＜x ＜－a 或x ＞2时，f ′(x )＞0；－a ＜x ＜2时，f ′(x )＜0，∴f (x )在(0，－a )，(2，＋∞)上单调递增，在(－a,2)上单调递减． ③当－a ＞2，即a ＜－2时，∵0＜x ＜2或x ＞－a 时，f ′(x )＞0；2＜x ＜－a 时，f ′(x )＜0， ∴f (x )在(0,2)，(－a ，＋∞)上单调递增，在(2，－a )上单调递减．综上所述，当－2＜a ＜0时，f (x )在(0，－a )，(2，＋∞)上单调递增，在(－a,2)上单调递减；当a ＝－2时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ＜－2时，f (x )在(0,2)，(－a ，＋∞)上单调递增，在(2，－a )上单调递减．含参数的问题，应就参数范围讨论导数大于(或小于)零的不等式的解，在划分函数的单调区间时，要在函数定义域内确定导数为零的点和函数的间断点．已知函数f (x )＝ln(e x ＋1)－ax (a ＞0)，讨论函数y ＝f (x )的单调区间．[解] f ′(x )＝e xe x ＋1－a ＝1－1e x ＋1－a .①当a ≥1时，f ′(x )＜0恒成立， ∴当a ∈[1，＋∞)时， 函数y ＝f (x )在R 上单调递减． ②当0＜a ＜1时，由f ′(x )＞0，得(1－a )(e x＋1)＞1， 即e x＞－1＋11－a ，解得x ＞ln a 1－a ，由f ′(x )＜0，得(1－a )(e x ＋1)＜1， 即e x＜－1＋11－a ，解得x ＜ln a 1－a .∴当a ∈(0,1)时，函数y ＝f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫ln a1－a ，＋∞上单调递增， 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，ln a 1－a 上单调递减． 综上，当a ∈[1，＋∞)时，f (x )在R 上单调递减；当a ∈(0,1)时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫ln a1－a ，＋∞上单调递增，在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，ln a 1－a 上单调递减．考点3 已知函数的单调性求参数根据函数单调性求参数的一般方法(1)利用集合间的包含关系处理：y ＝f (x )在(a ，b )上单调，则区间(a ，b )是相应单调区间的子集．(2)f (x )为增函数的充要条件是对任意的x ∈(a ，b )都有f ′(x )≥0且在(a ，b )内的任一非空子区间上，f ′(x )不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．(3)函数在某个区间存在单调区间可转化为不等式有解问题．已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax 2＋2x (a ≠0)．(1)若函数h (x )＝f (x )－g (x )存在单调递减区间，求a 的取值范围； (2)若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1,4]上单调递减，求a 的取值范围． [解] (1)h (x )＝ln x －12ax 2－2x ，x ∈(0，＋∞)，所以h ′(x )＝1x－ax －2，由于h (x )在(0，＋∞)上存在单调递减区间，所以当x ∈(0，＋∞)时，1x－ax －2＜0有解，即a ＞1x 2－2x有解．设G (x )＝1x 2－2x，所以只要a ＞G (x )min 即可．而G (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x－12－1，所以G (x )min ＝－1.所以a ＞－1且a ≠0，即a 的取值范围是(－1,0)∪(0，＋∞)． (2)由h (x )在[1,4]上单调递减得，当x ∈[1,4]时，h ′(x )＝1x－ax －2≤0恒成立，即a ≥1x 2－2x恒成立．所以a ≥G (x )max ，而G (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x－12－1，因为x ∈[1,4]，所以1x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1，所以G (x )max ＝－716(此时x ＝4)，所以a ≥－716且a ≠0，即a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－716，0∪(0，＋∞)． [母题探究]1．(变问法)若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1,4]上单调递增，求a 的取值范围． [解] 由h (x )在[1,4]上单调递增得，当x ∈[1,4]时，h ′(x )≥0恒成立， 所以当x ∈[1,4]时，a ≤1x 2－2x恒成立，又当x ∈[1,4]时，⎝⎛⎭⎪⎫1x 2－2xmin ＝－1(此时x ＝1)， 所以a ≤－1且a ≠0，即a 的取值范围是(－∞，－1]．2．(变问法)若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1,4]上存在单调递减区间，求a 的取值范围． [解] h (x )在[1,4]上存在单调递减区间，则h ′(x )＜0在[1,4]上有解， 所以当x ∈[1,4]时，a ＞1x 2－2x有解，又当x ∈[1,4]时，⎝ ⎛⎭⎪⎫1x2－2x min ＝－1，所以a ＞－1且a ≠0，即a 的取值范围是(－1,0)∪(0，＋∞)．3．(变条件)若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1,4]上不单调，求a 的取值范围． [解] 因为h (x )在[1,4]上不单调， 所以h ′(x )＝0在(1,4)上有解，即a ＝1x 2－2x 有解，令m (x )＝1x 2－2x，x ∈(1,4)，则－1＜m (x )＜－716，所以实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－1，－716. (1)f (x )在D 上单调递增(减)，只要满足f ′(x )≥0(≤0)在D 上恒成立即可．如果能够分离参数，则可分离参数后转化为参数值与函数最值之间的关系．(2)二次函数在区间D 上大于零恒成立，讨论的标准是二次函数的图像的对称轴与区间D 的相对位置，一般分对称轴在区间左侧、内部、右侧进行讨论．已知函数f (x )＝3x a－2x 2＋ln x 在区间[1,2]上为单调函数，求a 的取值范围．[解] f ′(x )＝3a －4x ＋1x，若函数f (x )在区间[1,2]上为单调函数，即在[1,2]上，f ′(x )＝3a －4x ＋1x ≥0或f ′(x )＝3a －4x ＋1x≤0，即3a －4x ＋1x ≥0或3a －4x ＋1x≤0在[1,2]上恒成立，即3a≥4x －1x 或3a ≤4x －1x.令h (x )＝4x －1x，因为函数h (x )在[1,2]上单调递增，所以3a ≥h (2)或3a ≤h (1)，即3a ≥152或3a ≤3，解得a ＜0或0＜a ≤25或a ≥1.考点4 利用导数比较大小或解不等式用导数比较大小或解不等式，常常要构造新函数，把比较大小或求解不等式的问题转化为利用导数研究函数单调性的问题，再由单调性比较大小或解不等式．常见构造的辅助函数形式有： (1)f (x )＞g (x )→F (x )＝f (x )－g (x )； (2)xf ′(x )＋f (x )→[xf (x )]′； (3)xf ′(x )－f (x )→⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x x ′；(4)f ′(x )＋f (x )→[e xf (x )]′； (5)f ′(x )－f (x )→⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x e x ′.(1)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，设函数f (x )的导函数为f ′(x )，若对任意x ＞0都有2f (x )＋xf ′(x )＞0成立，则( )A ．4f (－2)＜9f (3)B ．4f (－2)＞9f (3)C ．2f (3)＞3f (－2)D ．3f (－3)＜2f (－2)(2)设f (x )是定义在R 上的奇函数，f (2)＝0，当x ＞0时，有xf ′x －f xx 2＜0恒成立，则不等式x 2f (x )＞0的解集是________．(1)A (2)(－∞，－2)∪(0,2) [(1)根据题意，令g (x )＝x 2f (x )，其导数g ′(x )＝2xf (x )＋x 2f ′(x )，又对任意x ＞0都有2f (x )＋xf ′(x )＞0成立，则当x ＞0时，有g ′(x )＝x (2f (x )＋xf ′(x ))＞0恒成立，即函数g (x )在(0，＋∞)上为增函数，又由函数f (x )是定义在R 上的偶函数，则f (－x )＝f (x )，则有g (－x )＝(－x )2f (－x )＝x 2f (x )＝g (x )，即函数g (x )也为偶函数，则有g (－2)＝g (2)，且g (2)＜g (3)，则有g (－2)＜g (3)，即有4f (－2)＜9f (3)．故选A.(2)令φ(x )＝f x x ，∵当x ＞0时，⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x x ′＜0，∴φ(x )＝f xx在(0，＋∞)上为减函数，又φ(2)＝0， ∴在(0，＋∞)上，当且仅当0＜x ＜2时，φ(x )＞0， 此时x 2f (x )＞0.又f (x )为奇函数，∴h (x )＝x 2f (x )也为奇函数． 故x 2f (x )＞0的解集为(－∞，－2)∪(0,2)．]如本例(1)已知条件“2f (x )＋xf ′(x )＞0”，需构造函数g (x )＝x 2f (x )，求导后得x ＞0时，g ′(x )＞0，即函数g (x )在(0，＋∞)上为增函数，从而问题得以解决．而本例(2)则需构造函数φ(x )＝f xx解决． 1.定义在R 上的函数f (x )满足：f ′(x )＞f (x )恒成立，若x 1＜x 2，则e x 1f (x 2)与e x 2f (x 1)的大小关系为( )A ．e x 1f (x 2)＞e x2f (x 1) B ．e x1f (x 2)＜e x2f (x 1) C ．e x1f (x 2)＝e x2f (x 1)D ．e x1f (x 2)与e x2f (x 1)的大小关系不确定 A [设g (x )＝f xex，则g ′(x )＝f ′x e x －f x e x ex2＝f ′x －f xex，由题意得g ′(x )＞0，所以g (x )在R 上单调递增，当x 1＜x 2时，g (x 1)＜g (x 2)，即f x 1ex 1＜f x 2ex 2，所以e x1f (x 2)＞e x2f (x 1)．]2．已知函数f (x )(x ∈R )满足f (1)＝1，且f (x )的导函数f ′(x )＜12，则不等式f (x 2)＜x 22＋12的解集为________． (－∞，－1)∪(1，＋∞) [由题意构造函数F (x )＝f (x )－12x ，则F ′(x )＝f ′(x )－12.因为f ′(x )＜12，所以F ′(x )＝f ′(x )－12＜0，即函数F (x )在R 上单调递减．因为f (x 2)＜x 22＋12，f (1)＝1，所以f (x 2)－x 22＜f (1)－12，所以F (x 2)＜F (1)，又函数F (x )在R 上单调递减，所以x 2＞1，即x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)．]。

2.2 函数的单一性与最值中心考点·精确研析考点一函数的单一性( 区间 )1. 以下函数中 , 在区间 (- ∞,0) 上是减少的是()A.y=1-x 2B.y=x 2+2xC.y=-D.y=2. 函数 f(x)=ln(x2-2x-8)的单一递加区间是()A.(- ∞,-2)B.(- ∞,1)C.(1,+ ∞)D.(4,+ ∞)3. 设函数 f(x) 在 R上为增函数 , 则以下结论必定正确的选项是()A.y=在 R 上为减函数B.y=|f(x)|在 R 上为增函数C.y=-在R上为增函数D.y=-f(x)在R上为减函数4. 设函数 f(x)=g(x)=x 2f(x-1),则函数g(x)的递减区间是()A.(- ∞,0]B.[0,1)C.[1,+ ∞)D.[-1,0]【分析】 1. 选 D. 对于选项 A, 该函数是张口向下的抛物线, 在区间 (- ∞,0] 上是增添的 ; 对于选项B, 该函数是张口向上的抛物线, 在区间 (- ∞,-1] 上是减少的 , 在区间 [- 1,+ ∞) 上是增添的; 对于选项C, 在区间 (- ∞,0]上是增添的 ; 对于选项D, 由于 y==1+. 易知其在 (- ∞,1) 上为减少的.2. 选 D. 函数存心义 , 则 x2-2x-8>0,解得:x<-2或x>4,联合二次函数的单一性和复合函数同增异减的原则,可得函数的单一增区间为(4,+ ∞ ).3. 选 D. 特例法 : 设 f(x)=x,则y== 的定义域为 (- ∞ ,0) ∪ (0,+ ∞ ), 在定义域上无单一性,A 错 ; 则y=|f(x)|=|x|在 R 上无单一性 ,B 错 ; 则 y=-=-的定义域为(-∞ ,0)∪ (0,+∞ ),在定义域上无单一性,C 错 .y=-f(x)=-x在R上为减函数,因此选项D正确.4. 选 B. 由于 g(x)=作出函数图像如下图,因此其递减区间为[0,1).判断函数单一性的方法(1)定义法 : 取值→作差→变形→定号→结论.(2)图像法 : 从左往右看 , 图像渐渐上涨 , 单一递加 ; 图像渐渐降落 , 单一递减 .(3)利用函数和、差、积、商和复合函数单一性的判断法例.(4)导数法 : 利用导函数的正负判断函数单一性.此中 (2)(3)一般用于选择题和填空题.考点二函数的最值 ( 值域 )【典例】 1. 函数 y=的值域是________.2. 函数 y=x+的最小值为________.序号联想解题1由, 想到分别常数2由 x+, 想到利用函数的单一性或换元法求解3由 - , 想到反比率函数的单一性【分析】 1.( 分别常数法 ) 由于 y==-1+, 又由于 1+x2≥ 1, 因此 0<≤2,因此-1<-1+≤1, 因此函数的值域为(-1,1].答案 :(-1,1]2. 方法一 : 由于函数y=x 和 y=在定义域内均为增函数, 故函数 y=x+在其定义域[1,+∞)内为增函数 , 因此当 x=1 时 ,y 取最小值 , 即 y min=1.方法二 : 令 t=, 且 t ≥0, 则 x=t 2+1,因此原函数变为y=t 2+1+t,t≥ 0.配方得 y=+ ,又由于 t ≥0, 因此 y≥+ =1.故函数 y=x+的最小值为 1.答案 :13. 由反比率函数的性质知函数f(x)=- (a>0,x>0)在上是增添的,因此即解得a= .答案 :求函数最值的常用方法(1)单一性法 : 先确立函数的单一性 , 再利用单一性求最值 .(2)图像法 : 先作出函数的图像 , 再察看其最高点、最低点 , 求出最值 .(3)换元法 : 对照较复杂的函数可经过换元转变为熟习的函数, 再用相应的方法求最值 .(4) 分别常数法 : 对于分式的分子、分母中都含有变量的求值域, 变为只有分子或分母有变量的状况, 再利用函数的看法求最值.(5) 基本不等式法: 先对分析式变形, 使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.1. 若函数 f(x)=则函数f(x)的值域是()A.(- ∞,2)B.(- ∞,2]C.[0,+ ∞)D.(- ∞,0) ∪ (0,2)【分析】选 A. 当 x<1 时 ,0<2 x <2,当 x≥ 1 时 ,f(x)=-log2x≤-log21=0,综上 f(x)<2,即函数的值域为(- ∞ ,2).2. 函数 y=的值域为________ .【分析】 y===3+,由于≠0, 因此 3+≠3,因此函数y=的值域为{y|y≠ 3}.答案 :{y|y≠ 3}3.(2020 ·汉中模拟 ) 设 0<x< , 则函数 y=4x(3-2x)的最大值为________.【分析】 y=4x(3-2x)=2[2x(3-2x)]≤ 2= , 当且仅当2x=3-2x, 即 x= 时 , 等号建立 . 由于∈,因此函数y=4x(3-2x)的最大值为.答案 :考点三函数单一性的应用命1.考什么 : (1) 考察比较大小问题、与抽象函数相关的不等式和已知单一性求参数解不等式等问题题 .(2)考察数学运算、数学抽象、直观想象等中心修养.精2. 怎么考 : 与基本初等函数、单一性、最值交汇考察函数的单一性、图像等知识.解3. 新趋向 : 以基本初等函数为载体, 与其余知识交汇考察为主.读1. 比较大小问题的解题思路学 (1) 利用函数的单一性判断两个值的大小.霸 (2) 找寻中间量比较两个数值的大小 , 常常利用 1,0,-1 等 .好 2. 与抽象函数相关的不等式问题的解题策略方判断函数的单一性, 并利用函数的单一性将“ f”符号脱掉,使其转变为详细的不等式, 而后求解即可.法 3. 已知函数单一性求参数值的解题策略依照函数的图像或单一性得出含有所求参数的不等式或方程, 解该不等式或方程即可.比较大小问题【典例】 (2020 ·重庆模拟 ) 已知函数 f(x)的图像对于直线x=1 对称 , 当 x >x>1 时,[f(x)-f(x)](x-x)<0212121恒建立 , 设 a=f,b=f(2),c=f(e),则a,b,c的大小关系为()A.c>a>bB.c>b>aC.a>c>bD.b>a>c【分析】选 D.由于 f(x)的图像对于x=1 对称 , 因此 f=f, 又由已知可得f(x)在(1,+∞)上单一递减 , 因此 f(2)>f>f(e),即f(2)>f>f(e).与抽象函数相关的不等式问题【典例】函数f(x) 的定义域为 (0,+ ∞), 且对全部x>0,y>0 都有 f=f(x)-f(y),当x>1时,有f(x)>0.(1)求 f(1) 的值 ;(2)判断 f(x) 的单一性并证明 ;(3) 若 f(6)=1,解不等式f(x+5)-f<2.【分析】 (1)f(1)=f=f(x)-f(x)=0.(2)f(x)在(0,+∞ )上是增函数.证明 : 设 0<x1<x2, 则由 f=f(x)-f(y),得f(x2)-f(x1)=f, 由于>1, 因此 f>0. 因此f(x 2)-f(x1)>0,即f(x)在(0,+∞ )上是增函数.(3) 由于 f(6)=f=f(36)-f(6),又f(6)=1,因此f(36)=2,原不等式化为f(x 2+5x)<f(36),又由于f(x)在 (0,+ ∞ ) 上是增函数 , 因此解得 0<x<4.已知函数单一性求参数值问题【典例】 (2020 ·蚌埠模拟 ) 若 f(x)=是定义在R 上的减函数 , 则 a 的取值范围为 ________.【分析】由题意知,解得因此 a∈.答案 :1. 若函数 f(x)=|2x+a|的单一递加区间是 [3,+∞), 则 a 的值为()A.-2B.2C.-6D.6【分析】选 C. 由图像易知函数 f(x)=|2x+a|的单一增区间是, 令-=3, 因此 a=-6.2.f(x)是定义在 (0,+∞) 上的单一增函数, 知足 f(xy)=f(x)+f(y),f(3)=1,当 f(x)+f(x-8)≤ 2 时 ,x 的取值范围是()A.(8,+∞)B.(8,9]C.[8,9]D.(0,8)【分析】选 B.2=1+1=f(3)+f(3)=f(9),由 f(x)+f(x-8)≤ 2, 可得 f[x(x-8)] ≤ f(9),由于 f(x) 是定义在 (0,+ ∞ ) 上的增函数 ,因此有解得 8<x≤ 9.3. 函数 y=f(x)在R上是增函数,且y=f(x)的图像经过点A(-2,-3)和B(1,3),则不等式|f(2x-1)|<3的解集为 ________.【分析】由于y=f(x)的图像经过点A(-2,-3)和B(1,3),因此f(-2)=-3,f(1)=3.又|f(2x-1)|<3,因此-3<f(2x-1)<3,即f(-2)<f(2x-1)<f(1).由于函数y=f(x)在R上是增函数,因此-2<2x-1<1,即即因此 - <x<1.答案 :(2020 ·北京模拟 ) 函数 y=f(x),x∈[1,+ ∞), 数列 {a n} 知足 a n=f(n),n∈N*,①函数 f(x) 是增添的 ;②数列 {a n} 是递加数列 .写出一个知足①的函数f(x) 的分析式 ________ .写出一个知足②但不知足①的函数f(x) 的分析式 ________ .【分析】由题意可知: 在 x∈[1,+∞ ) 这个区间上是增添的函数有很多, 可写为 :f(x)=x2.第二个填空是找一个数列是递加数列, 而对应的函数不是增添的, 可写为 :f(x)=.则这个函数在上单一递减 , 在上单一递加,因此 f(x)=在[1,+∞)上不是增添的, 不知足① .而对应的数列为:a n=在n∈ N*上愈来愈大,属递加数列.答案 :( 答案不独一 )f(x)=x2f(x)=。

2013年高考数学一轮复习课时训练 函数的单调性与最大（小）值 北师大版A 级 基础达标演练 (时间：40分钟 满分：60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2011·辽宁)函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )＞2，则f (x )＞2x ＋4的解集为( )． A ．(－1,1) B ．(－1，＋∞) C ．(－∞，－1)D ．(－∞，＋∞)解析 法一 由x ∈R ，f (－1)＝2，f ′(x )＞2，可设f (x )＝4x ＋6，则由4x ＋6＞2x ＋4，得x ＞－1，选B.法二 设g (x )＝f (x )－2x －4，则g (－1)＝f (－1)－2×(－1)－4＝0，g ′(x )＝f ′(x )－2＞0，g (x )在R 上为增函数． 由g (x )＞0，即g (x )＞g (－1)． ∴x ＞－1，选B. 答案 B2．(★)(2011·课标全国)下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)单调递增的函数是( )． A ．y ＝x 3B ．y ＝|x |＋1C ．y ＝－x 2＋1D ．y ＝2－|x |解析 (筛选法)对于A ：y ＝x 3为奇函数，不合题意；对于C ，D ：y ＝－x 2＋1和y ＝2－|x |在(0，＋∞)上单调递减，不合题意；对于B ：y ＝|x |＋1的图象如图所示，知y ＝|x |＋1符合题意，故选B.答案 B【点评】 采用筛选法，根据选项中的函数的图象和性质逐一筛选.3．(2012·宿州模拟)已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)单调增加，则满足f (2x －1)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的x 的取值范围是( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，23C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，23 解析 f (x )是偶函数，其图象关于y 轴对称，又f (x )在[0，＋∞)上递增，∴f (2x －1)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13⇔|2x －1|＜13⇔13＜x ＜23.故选A.答案 A4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3－3ax ＜0，a xx ≥0(a ＞0，且a ≠1)是(－∞，＋∞)上的减函数，则a 的取值范围是( )．A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23B.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1C.()2，3D.⎝ ⎛⎦⎥⎤12，23 解析 由f (x )是(－∞，＋∞)上的减函数，可得⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1，f 0＝a 0≤3－3a .化简得0＜a ≤23.答案 A5．函数f (x )＝ln(4＋3x －x 2)的单调递减区间是( )． A.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，32 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞C.⎝⎛⎦⎥⎤－1，32 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，4 解析 函数f (x )的定义域是(－1,4)，u (x )＝－x 2＋3x ＋4＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋254的减区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，4， ∵e ＞1，∴函数f (x )的单调减区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，4.答案 D二、填空题(每小题4分，共12分)6．函数y ＝ln 1＋x1－x的单调递增区间是________．解析 本题考查复合函数单调区间的确定；据题意需满足1＋x1－x >0即函数定义域为(－1,1)，原函数的递增区间即为函数u (x )＝1＋x 1－x 在(－1,1)上的递增区间，由于u ′(x )＝(1＋x1－x )′＝21－x2>0.故函数u (x )＝1＋x1－x的递增区间(－1,1)即为原函数的递增区间．答案 (－1,1)7．(2012·延安模拟)已知函数f (x )＝2ax 2＋4(a －3)x ＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则a 的取值范围是________．解析 ①当a ＝0时，f (x )＝－12x ＋5在(－∞，3)上为减函数；②当a ＞0时，要使f (x )＝2ax 2＋4(a －3)x ＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则对称轴x ＝3－a a必在x ＝3的右边，即3－a a ≥3，故0＜a ≤34；③当a ＜0时，不可能在区间(－∞，3)上恒为减函数．综合知：a的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34 8．(2011·合肥二模)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x )＝x 2＋2x (x ≥0)，若f (3－a 2)＞f (2a )，则实数a 的取值范围是________．解析 依题意得，函数f (x )＝x 2＋2x 在[0，＋∞)上是增函数，又因为f (x )是R 上的奇函数，所以函数f (x )是R 上的增函数，要使f (3－a 2)＞f (2a )，只需3－a 2＞2a .由此解得－3＜a ＜1，即实数a 的取值范围是(－3,1)． 答案 (－3,1) 三、解答题(共23分)9．(11分)已知函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上为增函数且f (x )＜0，试判断F (x )＝1f x在(0，＋∞)上的单调性并证明． 解 F (x )在(0，＋∞)上为减函数. 下面给出证明：任取x 1、x 2∈(0，＋∞)且Δx ＝x 2－x 1＞0， ∵F (x 2)－F (x 1)＝1f x 2－1f x 1＝f x 1－f x 2f x 2f x 1，∵y ＝f (x )在(0，＋∞)上为增函数且Δx ＝x 2－x 1＞0，∴Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＞0，即f (x 2)＞f (x 1)，∴f (x 1)－f (x 2)＜0，而f (x 1)＜0，f (x 2)＜0，∴f (x 1)f (x 2)＞0， ∴F (x 2)－F (x 1)＜0，∴F (x )在(0，＋∞)上为减函数．10．(12分)(2011·上海)已知函数f (x )＝a ·2x＋b ·3x，其中常数a ，b 满足ab ≠0. (1)若ab ＞0，判断函数f (x )的单调性；(2)若ab ＜0，求f (x ＋1)＞f (x )时的x 的取值范围． 解 (1)当a ＞0，b ＞0时，因为a ·2x，b ·3x都单调递增，所以函数f (x )单调递增；当a ＜0，b ＜0时，因为a ·2x，b ·3x都单调递减， 所以函数f (x )单调递减．(2)f (x ＋1)－f (x )＝a ·2x＋2b ·3x＞0.(i)当a ＜0，b ＞0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫32x＞－a 2b ，解得x ＞log 32⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2b ；(ii)当a ＞0，b ＜0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫32x＜－a 2b ，解得x ＜log 32⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2b .B 级 综合创新备选 (时间：30分钟 满分：40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2012·西安质检)设函数y ＝f (x )在(－∞，＋∞)内有定义，对于给定的正数K ，定义函数f K (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x ，f x ≤K ，K ，fx ＞K ，取函数f (x )＝2－|x |，当K ＝12时，函数f K (x )的单调递增区间为( )． A ．(－∞，0) B ．(0，＋∞) C ．(－∞，－1) D ．(1，＋∞)解析 f 12(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|x |，2－|x |≤1212，2－|x |＞12⇔f 12(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |，x ≤－1或x ≥1，12，－1＜x ＜1.f 12(x )的图象如上图所示，因此f 12(x )的单调递增区间为(－∞，－1)．答案 C2．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋a ，在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g (x )＝f xx在区间(1，＋∞)上一定( )． A ．有最小值 B ．有最大值 C ．是减函数D ．是增函数解析 由题意a ＜1，又函数g (x )＝x ＋ax－2a 在[|a |，＋∞)上为增函数，故选D. 答案 D二、填空题(每小题4分，共8分)3．(2010·江苏)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1，x <0，则满足不等式f (1－x 2)>f (2x )的x 的范围是________．解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1，x <0的图象如图所示，不等式f (1－x 2)>f (2x )等价于⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>0，2x ≤0，或⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>0，2x >0，1－x 2>2x ，解得－1<x <2－1 答案 (－1，2－1)4．(★)(2012·淮南质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e －x－2，x ≤0，2ax －1，x ＞0(a 是常数且a ＞0)．对于下列命题：①函数f (x )的最小值是－1； ②函数f (x )在R 上是单调函数；③若f (x )＞0在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上恒成立，则a 的取值范围是a ＞1；④对任意的x 1＜0，x 2＜0且x 1≠x 2，恒有f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＜f x 1＋f x 22.其中正确命题的序号是__________(写出所有正确命题的序号)．解析 (数形结合法)根据题意可画出草图，由图象可知，①显然正确；函数f (x )在R 上不是单调函数，故②错误；若f (x )＞0在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上恒成立，则2a ×12－1＞0，a ＞1，故③正确；由图象可知在(－∞，0)上对任意的x 1＜0，x 2＜0 且x 1≠x 2，恒有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＜f x 1＋f x 22成立，故④正确．答案 ①③④【点评】 采用数形结合法.注意本题中的③和④的理解，此题充分体现了数形结合法的直观性与便捷性. 三、解答题(共22分) 5．(10分)已知f (x )＝xx －a(x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a ＞0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围． (1)证明 任设x 1＜x 2＜－2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2x 1－x 2x 1＋2x 2＋2. ∵(x 1＋2)(x 2＋2)＞0，x 1－x 2＜0，∴f (x 1)＜f (x 2)，∴f (x )在(－∞，－2)内单调递增． (2)解 任设1＜x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝a x 2－x 1x 1－a x 2－a.∵a ＞0，x 2－x 1＞0，∴要使f (x 1)－f (x 2)＞0，只需(x 1－a )(x 2－a )＞0在(1，＋∞)内恒成立，∴a ≤1.综上知0＜a ≤1.6．(12分)函数f (x )对任意的a 、b ∈R ，都有f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )－1，并且当x >0时，f (x )>1. (1)求证：f (x )是R 上的增函数；(2)若f (4)＝5，解不等式f (3m 2－m －2)<3.(1)证明 设x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2， 则x 2－x 1>0，∴f (x 2－x 1)>1.f (x 2)－f (x 1)＝f [(x 2－x 1)＋x 1]－f (x 1)＝f (x 2－x 1)＋f (x 1)－1－f (x 1)＝f (x 2－x 1)－1>0. ∴f (x 2)>f (x 1)．即f (x )是R 上的增函数． (2)解 ∵f (4)＝f (2＋2)＝f (2)＋f (2)－1＝5， ∴f (2)＝3，∴原不等式可化为f (3m 2－m －2)<f (2)， ∵f (x )是R 上的增函数，∴3m 2－m －2<2， 解得－1<m <43，故解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，43.。

第二节 函数的单调性与最值[考纲传真] 1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.2.会运用函数的图像理解和研究函数的性质．1．函数的单调性 (1)增、减函数①如果函数y ＝f (x )在区间A上是增加的或是减少的，那么称A 为单调区间． ②如果函数y ＝f (x )在定义域的某个子集上是增加的或是减少的，那么就称函数y ＝f (x )在这个子集上具有单调性．(3)单调函数如果函数y ＝f (x )在整个定义域内是增加的或是减少的，我们分别称这个函数为增函数或减函数，统称为单调函数．2．函数的最值1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝1x在其定义域上递减．( )(2)函数y ＝|x |x＋x 在其定义域上递增．( )(3)对于函数f (x )，x ∈D ，若x 1，x 2∈D 且f x 2－f x 1x 2－x 1＞0，则函数f (x )在D上是增加的．( )(4)若函数f (x )的最大值是M ，最小值是m ，则函数f (x )的值域一定是[m ，M ]．( ) [答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×2．(2016·北京高考)下列函数中，在区间(－1,1)上为减函数的是( )【导学号：66482027】A ．y ＝11－xB ．y ＝cos xC ．y ＝ln(x ＋1)D ．y ＝2－xD [选项A 中，y ＝11－x 在(－∞，1)和(1，＋∞)上为增函数，故y ＝11－x 在(－1,1)上为增函数；选项B 中，y ＝cos x 在(－1,1)上先增后减；选项C 中，y ＝ln(x ＋1)在(－1，＋∞)上为增函数，故y ＝ln(x ＋1)在(－1,1)上为增函数；选项D 中，y ＝2－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在R 上为减函数，故y ＝2－x在(－1,1)上是减函数．]3．(教材改编)已知函数f (x )＝2x －1，x ∈[2,6]，则f (x )的最大值为________，最小值为________．2 25 [可判断函数f (x )＝2x －1在[2,6]上为减少的，所以f (x )max ＝f (2)＝2，f (x )min＝f (6)＝25.]4．函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在R 上是减函数，则k 的取值范围是________.【导学号：66482028】⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12 [由题意知2k ＋1＜0，得k ＜－12.] 5．f (x )＝x 2－2x ，x ∈[－2,3]的单调增区间为________，f (x )max ＝________.[1,3] 8 [f (x )＝(x －1)2－1，故f (x )的单调增区间为[1,3]，f (x )max ＝f (－2)＝8.](1)函数f (x )＝log 2(x 2－1)的递减区间为________．(2)试讨论函数f (x )＝x ＋kx(k ＞0)的单调性．(1)(－∞，－1) [由x 2－1＞0得x ＞1或x ＜－1，即函数f (x )的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．令t ＝x 2－1，因为y ＝log 2t 在t ∈(0，＋∞)上为增函数，t ＝x 2－1在x ∈(－∞，－1)上是减函数，所以函数f (x )＝log 2(x 2－1)的递减区间为(－∞，－1)．](2)法一：由解析式可知，函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．在(0，＋∞)内任取x 1，x 2，令0＜x 1＜x 2，那么f (x 2)－f (x 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋k x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋k x 1＝(x 2－x 1)＋k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－1x 1＝(x 2－x 1)x 1x 2－kx 1x 2. 2分 因为0＜x 1＜x 2，所以x 2－x 1＞0，x 1x 2＞0. 故当x 1，x 2∈(k ，＋∞)时，f (x 1)＜f (x 2)， 即函数在(k ，＋∞)上递增. 6分 当x 1，x 2∈(0，k )时，f (x 1)＞f (x 2)， 即函数在(0，k )上递减．考虑到函数f (x )＝x ＋kx(k ＞0)是奇函数，在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，故在(－∞，－k )上递增，在(－k ，0)上递减．综上，函数f (x )在(－∞，－k )和(k ，＋∞)上递增，在(－k ，0)和(0，k )上递减. 12分法二：f ′(x )＝1－k x2. 2分令f ′(x )＞0得x 2＞k ，即x ∈(－∞，－k )或x ∈(k ，＋∞)，故函数的单调增区间为(－∞，－k )和(k ，＋∞). 6分令f ′(x )＜0得x 2＜k ，即x ∈(－k ，0)或x ∈(0，k )，故函数的单调减区间为(－k ，0)和(0，k ). 10分故函数f (x )在(－∞，－k )和(k ，＋∞)上递增，在(－k ，0)和(0，k )上递减. 12分[规律方法] 1.利用定义判断或证明函数的单调性时，作差后应注意差式的分解变形要彻底．2．利用导数法证明函数的单调性时，求导运算及导函数符号判断要准确．易错警示：求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间，如本题(1)． [变式训练1] (1)(2017·深圳二次调研)下列四个函数中，在定义域上不是单调函数的是( )A ．y ＝x 3B ．y ＝xC ．y ＝1xD ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x(2)函数f (x )＝log 12(x 2－4)的递增区间是( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，0) C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－2)(1)C (2)D [(1)选项A ，B 中函数在定义域内均为递增函数，选项D 为在定义域内为递减函数，选项C 中，设x 1＜x 2(x 1，x 2≠0)，则y 2－y 1＝1x 2－1x 1＝x 1－x 2x 1x 2，因为x 1－x 2＜0，当x 1，x 2同号时x 1x 2＞0，1x 2－1x 1＜0，当x 1，x 2异号时x 1x 2＜0，1x 2－1x 1＞0，所以函数y ＝1x在定义域上不是单调函数，故选C.(2)由x 2－4＞0得x ＞2或x ＜－2，所以函数f (x )的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，因为y ＝log 12t 在定义域上是减函数，所以求原函数的递增区间，即求函数t ＝x 2－4的递减区间，可知所求区间为(－∞，－2)．]已知f (x )＝x，x ∈[1，＋∞)，且a ≤1.(1)当a ＝12时，求函数f (x )的最小值；(2)若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )＞0恒成立，试求实数a 的取值范围.【导学号：66482029】[思路点拨] (1)先判断函数f (x )在[1，＋∞)上的单调性，再求最小值；(2)根据f (x )min＞0求a 的范围，而求f (x )min 应对a 分类讨论．[解] (1)当a ＝12时，f (x )＝x ＋12x ＋2，f ′(x )＝1－12x 2＞0，x ∈[1，＋∞)，即f (x )在[1，＋∞)上是增函数，∴f (x )min ＝f (1)＝1＋12×1＋2＝72. 4分(2)f (x )＝x ＋ax＋2，x ∈[1，＋∞)．法一：①当a ≤0时，f (x )在[1，＋∞)内为增函数．f (x )min ＝f (1)＝a ＋3.要使f (x )＞0在x ∈[1，＋∞)上恒成立，只需a ＋3＞0， ∴－3＜a ≤0. 7分②当0＜a ≤1时，f (x )在[1，＋∞)内为增函数，f (x )min ＝f (1)＝a ＋3，∴a ＋3＞0，a ＞－3，∴0＜a ≤1.综上所述，f (x )在[1，＋∞)上恒大于零时，a 的取值范围是(－3,1]. 10分 法二：f (x )＝x ＋a x＋2＞0，∵x ≥1，∴x 2＋2x ＋a ＞0，8分∴a ＞－(x 2＋2x )，而－(x 2＋2x )在x ＝1时取得最大值－3，∴－3＜a ≤1，即a 的取值范围为(－3,1]. 12分[规律方法] 利用函数的单调性求最值是求函数最值的重要方法，若函数f (x )在闭区间[a ，b ]上是增函数，则f (x )在[a ，b ]上的最大值为f (b )，最小值为f (a )．请思考，若函数f (x )在闭区间[a ，b ]上是减函数呢？ [变式训练2] (2016·北京高考)函数f (x )＝xx －1(x ≥2)的最大值为________．2 [法一：∵f ′(x )＝－1x －2，∴x ≥2时，f ′(x )＜0恒成立，∴f (x )在[2，＋∞)上递减，∴f (x )在[2，＋∞)上的最大值为f (2)＝2. 法二：∵f (x )＝xx －1＝x －1＋1x －1＝1＋1x －1， ∴f (x )的图像是将y ＝1x的图像向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到的．∵y ＝1x在[2，＋∞)上递减，∴f (x )在[2，＋∞)上递减，故f (x )在[2，＋∞)上的最大值为f(2)＝2.法三：由题意可得f (x )＝1＋1x －1.∵x ≥2，∴x －1≥1，∴0＜1x －1≤1， ∴1＜1＋1x －1≤2，即1＜x x －1≤2. 故f (x )在[2，＋∞)上的最大值为2.]☞角度(2015·山东高考)设a ＝0.60.6，b ＝0.61.5，c ＝1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a <b <cB ．a <c <bC ．b <a <cD ．b <c <aC [因为函数y ＝0.6x是减函数，0<0.6<1.5，所以1>0.60.6>0.61.5，即b <a <1.因为函数y ＝x 0.6在(0，＋∞)上是增函数，1<1.5，所以1.50.6>10.6＝1，即c >1.综上，b <a <c .]☞角度2 解不等式已知函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上递增，则不等式f (2x －1)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的x 的解集是________．⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，23 [由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥0，2x －1＜13，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12，x ＜23，所以12≤x ＜23.]☞角度3 求参数的取值范围(1)如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是递增的，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，＋∞ C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，0 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，0 (2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －x －1，x ≤1，log a x ，x ＞1，若f (x )在(－∞，＋∞)上递增，则实数a 的取值范围为________．【导学号：66482030】(1)D (2)(2,3] [(1)当a ＝0时，f (x )＝2x －3，在定义域R 上是递增的，故在(－∞，4)上递增；当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为x ＝－1a，因为f (x )在(－∞，4)上递增， 所以a ＜0，且－1a ≥4，解得－14≤a ＜0.综上所述，实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，0.(2)要使函数f (x )在R 上递增，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，a －2＞0，f，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，a ＞2，a －2－1≤0，解得2＜a ≤3，即实数a 的取值范围是(2,3]．][规律方法] 1.比较大小．比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．2．解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．3．利用单调性求参数．视参数为已知数，依据函数的图像或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数．易错警示：(1)若函数在区间[a ，b ]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．[思想与方法]1．判断函数单调性的四种方法(1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论．(2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时为增函数，不同时为减函数． (3)图像法：如果f (x )是以图像形式给出的，或者f (x )的图像易作出，可由图像的直观性判断函数单调性．(4)导数法：利用导函数的正负判断函数单调性． 2．求函数最值的常用方法(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．(2)图像法：先作出函数的图像，再观察其最高点、最低点，求出最值．(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．[易错与防范]1．易混淆两个概念：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集．2．分段函数单调性不仅要考虑各段的单调性，还要注意衔接点．3．函数在两个不同的区间上单调性相同，要分开写，用“，”隔开，不能用“∪”连接．。

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1课时分层训练(五) 函数的单调性与最值A组基础达标（建议用时：30分钟）一、选择题1．下列函数中，定义域是R且为增函数的是( ）A．y＝2－x B．y＝xC．y＝log2x D．y＝－1 xB[由题知,只有y＝2－x与y＝x的定义域为R，且只有y＝x在R上是增函数．］2．若函数y＝ax与y＝－错误!在（0,＋∞）上都是减函数，则y＝ax2＋bx在（0，＋∞）上是（)【导学号：66482031】A．增函数B．减函数C．先增后减D．先减后增B[由题意知，a＜0，b＜0,则－错误!＜0,从而函数y＝ax2＋bx在（0,＋∞）上为减函数．] 3．函数f (x)＝ln(4＋3x－x2）的递减区间是( ）A.错误!B．错误!C。

错误!D．错误!D[要使函数有意义需4＋3x－x2＞0,解得－1＜x＜4，∴定义域为(－1,4）．令t＝4＋3x－x2＝－错误!2＋错误!.则t在错误!上递增，在错误!上递减，又y＝ln t在错误!上递增，∴f (x）＝ln(4＋3x－x2）的递减区间为错误!.］4．（2017·陕西二模)某商场2016年一月份到十二月份月销售额呈现先下降后上升的趋势，下列四个函数中，能较准确反映商场月销售额f （x）与月份x关系且满足f (1）＝8，f (3）＝2的函数为（)【导学号：66482032】A．f (x)＝20×错误!x B．f （x）＝－6log3x＋8C．f (x)＝x2－12x＋19 D．f （x)＝x2－7x＋142D［因为选项A,B中的函数均为递减函数，不满足题意；选项C中，f (1)＝1－12＋19＝8,f (3)＝32－12×3＋19＝－8≠2，不满足题意;选项D中，函数满足先减后增，且f (1）＝1－7＋14＝8，f (3）＝32－7×3＋14＝2，满足题意,故选D。

第二节函数的单调性与最值[考纲] 1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.2.会运用函数的图像理解和研究函数的性质．1．函数的单调性(1)增、减函数增函数减函数定义在函数y＝f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两个数x1，x2∈A当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么，就称函数y＝f(x)在区间A上是增加的，有时也称函数y＝f(x)在区间A上是递增的当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么，就称函数y＝f(x)在区间A上是减少的，有时也称函数y＝f(x)在区间A上是递减的①如果函数y＝f(x)在区间A上是增加的或是减少的，那么称A为单调区间．②如果函数y＝f(x)在定义域的某个子集上是增加的或是减少的，那么就称函数y＝f(x)在这个子集上具有单调性．(3)单调函数如果函数y＝f(x)在整个定义域内是增加的或是减少的，我们分别称这个函数为增函数或减函数，统称为单调函数．2．函数的最值前提函数y＝f(x)的定义域为D条件(1)存在x0∈D，使得f(x0)＝M；(1)存在x0∈D，使得f(x0)＝M；(2)对于任意x∈D，都有f(x)≤M(2)对于任意x∈D，都有f(x)≥M结论M为最大值M为最小值1．(思考辨析)判断以下结论的正误．(正确的打“√〞，错误的打“×〞)(1)函数y ＝1x 在其定义域上递减．( )(2)函数y ＝|x |x ＋x 在其定义域上递增．( )(3)对于函数f (x )，x ∈D ，假设x 1，x 2∈D 且f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＞0，那么函数f (x )在D 上是增加的．( )(4)假设函数f (x )的最大值是M ，最小值是m ，那么函数f (x )的值域一定是[m ，M ]．( )[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×2．(2021·北京高考)以下函数中，在区间(－1,1)上为减函数的是( )【导学号：57962027】A ．y ＝11－xB ．y ＝cos xC ．y ＝ln(x ＋1)D ．y ＝2－xD [选项A 中，y ＝11－x 在(－∞，1)和(1，＋∞)上为增函数，故y ＝11－x 在(－1,1)上为增函数；选项B 中，y ＝cos x 在(－1,1)上先增后减；选项C 中，y ＝ln(x ＋1)在(－1，＋∞)上为增函数，故y ＝ln(x ＋1)在(－1,1)上为增函数；选项D 中，y ＝2－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在R 上为减函数，故y ＝2－x 在(－1,1)上是减函数．] 3．(教材改编)函数f (x )＝2x x ＋1在[1,2]上的最大值和最小值分别是________． 43，1 [f (x )＝2x x ＋1＝2(x ＋1)－2x ＋1＝2－2x ＋1在[1,2]上是增加的，∴f (x )max ＝f (2)＝43，f (x )min ＝f (1)＝1.]4．函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在R 上是减函数，那么k 的取值范围是________.【导学号：57962028】⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12 [由题意知2k ＋1＜0，得k ＜－12.] 5．f (x )＝x 2－2x ，x ∈[－2,3]的单调增区间为________，f (x )max ＝________.[1,3] 8 [f (x )＝(x －1)2－1，故f (x )的单调增区间为[1,3]，f (x )max ＝f (－2)＝8.]函数单调性的判断(1)函数f (x )＝log 2(x 2－1)的递减区间为________．(2)试讨论函数f (x )＝x ＋k x (k ＞0)的单调性．(1)(－∞，－1) [由x 2－1＞0得x ＞1或x ＜－1，即函数f (x )的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．令t ＝x 2－1，因为y ＝log 2t 在t ∈(0，＋∞)上为增函数，t ＝x 2－1在x ∈(－∞，－1)上是减函数，所以函数f (x )＝log 2(x 2－1)的递减区间为(－∞，－1)．](2)法一：由解析式可知，函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．在(0，＋∞)内任取x 1，x 2，令0＜x 1＜x 2，那么f (x 2)－f (x 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋k x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋k x 1＝(x 2－x 1)＋k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－1x 1＝(x 2－x 1)x 1x 2－k x 1x 2. 2分因为0＜x 1＜x 2，所以x 2－x 1＞0，x 1x 2＞0.故当x 1，x 2∈(k ，＋∞)时，f (x 1)＜f (x 2)，即函数在(k ，＋∞)上递增.6分 当x 1，x 2∈(0，k )时，f (x 1)＞f (x 2)，即函数在(0，k )上递减．考虑到函数f (x )＝x ＋k x (k ＞0)是奇函数，在关于原点对称的区间上具有一样的单调性，故在(－∞，－k )上递增，在(－k ，0)上递减．综上，函数f (x )在(－∞，－k )和(k ，＋∞)上递增，在(－k ，0)和(0，k )上递减. 12分法二：f′(x)＝1－kx2. 2分令f′(x)＞0得x2＞k，即x∈(－∞，－k)或x∈(k，＋∞)，故函数的单调增区间为(－∞，－k)和(k，＋∞). 6分令f′(x)＜0得x2＜k，即x∈(－k，0)或x∈(0，k)，故函数的单调减区间为(－k，0)和(0，k). 10分故函数f(x)在(－∞，－k)和(k，＋∞)上递增，在(－k，0)和(0，k)上递减. 12分[规律方法] 1.利用定义判断或证明函数的单调性时，作差后应注意差式的分解变形要彻底．2．利用导数法证明函数的单调性时，求导运算及导函数符号判断要准确．易错警示：求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间，如此题(1)．[变式训练1](1)(2021·深圳二次调研)以下四个函数中，在定义域上不是单调函数的是()A．y＝x3B．y＝xC．y＝1x D．y＝⎝⎛⎭⎪⎫12x(2)函数f(x)＝log 12(x2－4)的递增区间是()A．(0，＋∞) B．(－∞，0)C．(2，＋∞) D．(－∞，－2)(1)C(2)D[(1)选项A，B中函数在定义域内均为递增函数，选项D为在定义域内为递减函数，选项C中，设x1＜x2(x1，x2≠0)，那么y2－y1＝1x2－1x1＝x1－x2x1x2，因为x1－x2＜0，当x1，x2同号时x1x2＞0，1x2－1x1＜0，当x1，x2异号时x1x2＜0，1x2－1x1＞0，所以函数y＝1x在定义域上不是单调函数，应选C.(2)由x2－4＞0得x＞2或x＜－2，所以函数f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，因为y＝log12t在定义域上是减函数，所以求原函数的递增区间，即求函数t ＝x 2－4的递减区间，可知所求区间为(－∞，－2)．] 利用函数的单调性求最值f (x )＝x 2＋2x ＋a x，x ∈[1，＋∞)，且a ≤1. (1)当a ＝12时，求函数f (x )的最小值；(2)假设对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )＞0恒成立，试求实数a 的取值范围.【导学号：57962029】[思路点拨] (1)先判断函数f (x )在[1，＋∞)上的单调性，再求最小值；(2)根据f (x )min ＞0求a 的范围，而求f (x )min 应对a 分类讨论．[解] (1)当a ＝12时，f (x )＝x ＋12x ＋2，f ′(x )＝1－12x 2＞0，x ∈[1，＋∞)，即f (x )在[1，＋∞)上是增函数，∴f (x )min ＝f (1)＝1＋12×1＋2＝72. 4分 (2)f (x )＝x ＋a x ＋2，x ∈[1，＋∞)．法一：①当a ≤0时，f (x )在[1，＋∞)内为增函数．f (x )min ＝f (1)＝a ＋3.要使f (x )＞0在x ∈[1，＋∞)上恒成立，只需a ＋3＞0，∴－3＜a ≤0.7分 ②当0＜a ≤1时，f (x )在[1，＋∞)内为增函数，f (x )min ＝f (1)＝a ＋3，∴a ＋3＞0，a ＞－3，∴0＜a ≤1.综上所述，f (x )在[1，＋∞)上恒大于零时，a 的取值范围是(－3,1]. 10分法二：f (x )＝x ＋a x ＋2＞0，∵x ≥1，∴x 2＋2x ＋a ＞0，8分∴a ＞－(x 2＋2x )，而－(x 2＋2x )在x ＝1时取得最大值－3，∴－3＜a ≤1，即a 的取值范围为(－3,1]. 12分 [规律方法] 利用函数的单调性求最值是求函数最值的重要方法，假设函数f (x )在闭区间[a ，b ]上是增函数，那么f (x )在[a ，b ]上的最大值为f (b )，最小值为f (a )．请思考，假设函数f (x )在闭区间[a ，b ]上是减函数呢？[变式训练2](2021·北京高考)函数f(x)＝xx－1(x≥2)的最大值为________．2[法一：∵f′(x)＝－1(x－1)2，∴x≥2时，f′(x)＜0恒成立，∴f(x)在[2，＋∞)上递减，∴f(x)在[2，＋∞)上的最大值为f(2)＝2.法二：∵f(x)＝xx－1＝x－1＋1x－1＝1＋1x－1，∴f(x)的图像是将y＝1x的图像向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到的．∵y＝1x在[2，＋∞)上递减，∴f(x)在[2，＋∞)上递减，故f(x)在[2，＋∞)上的最大值为f(2)＝2.法三：由题意可得f(x)＝1＋1 x－1.∵x≥2，∴x－1≥1，∴0＜1x－1≤1，∴1＜1＋1x－1≤2，即1＜xx－1≤2.故f(x)在[2，＋∞)上的最大值为2.]函数单调性的应用☞角度1比拟大小(2021 ·山东高考)设a，b，c＝，那么a，b，c的大小关系是() A．a<b<c B．a<c<bC．b<a<c D．b<c<aC[因为函数y x是减函数，0<0.6<1.5，所以，即b<a<1.因为函数y＝x在(0，＋∞)上是增函数，1<1.5，所以>1＝1，即c>1.综上，b<a<c.]☞角度2解不等式f(x)是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1，那么不等式f(x)＋f(x－8)≤2的解集为________．(8,9][因为2＝1＋1＝f(3)＋f(3)＝f(9)，由f(x)＋f(x－8)≤2可得f[x(x－8)]≤f (9)，f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，所以有⎩⎨⎧ x >0，x －8>0，x (x －8)≤9，解得8<x ≤9.]☞角度3 求参数的取值范围 (1)如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是递增的，那么实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞ B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，＋∞ C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，0 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，0 (2)函数f (x )＝⎩⎨⎧(a －2)x －1，x ≤1，log a x ，x ＞1，假设f (x )在(－∞，＋∞)上递增，那么实数a 的取值范围为________．【导学号：57962030】(1)D (2)(2,3] [(1)当a ＝0时，f (x )＝2x －3，在定义域R 上是递增的，故在(－∞，4)上递增；当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为x ＝－1a ，因为f (x )在(－∞，4)上递增，所以a ＜0，且－1a ≥4，解得－14≤a ＜0.综上所述，实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，0. (2)要使函数f (x )在R 上递增， 那么有⎩⎨⎧ a ＞1，a －2＞0，f (1)≤0，即⎩⎨⎧ a ＞1，a ＞2，a －2－1≤0，解得2＜a ≤3， 即实数a 的取值范围是(2,3]．][规律方法] 1.比拟大小．比拟函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．2．解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f〞符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．3．利用单调性求参数．视参数为数，依据函数的图像或单调性定义，确定函数的单调区间，与单调区间比拟求参数．易错警示：(1)假设函数在区间[a，b]上单调，那么该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．[思想与方法]1．判断函数单调性的四种方法(1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论．(2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性一样时为增函数，不同时为减函数．(3)图像法：如果f(x)是以图像形式给出的，或者f(x)的图像易作出，可由图像的直观性判断函数单调性．(4)导数法：利用导函数的正负判断函数单调性．2．求函数最值的常用方法(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．(2)图像法：先作出函数的图像，再观察其最高点、最低点，求出最值．(3)换元法：比照拟复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．[易错与防范]1．易混淆两个概念：“函数的单调区间〞和“函数在某区间上单调〞，前者指函数具备单调性的“最大〞的区间，后者是前者“最大〞区间的子集．2．分段函数单调性不仅要考虑各段的单调性，还要注意衔接点．3．函数在两个不同的区间上单调性一样，要分开写，用“，〞隔开，不能用“∪〞连接．。