山西省洪洞县中考数学一轮复习 第1617讲 三角形及其性质导学案

第七章 三角形【知识回顾】练习题：1、①已知三角形两边长分别是2cm 和7cm ，问第三边a 的取值范围是__________ ②已知三角形两边长分别是3和5,问周第的取值范围是___________③已知三角形两边长分别是2和8，第三边长是偶数，求第三边长x 的取值范围是________④已知三角形两边长分别是7和17，第三边长是奇数，求第三边长y 的取值范围是_______2、下列长度的各组线段中，能组成三角形的是A 、5，6，11B 、8，8，16C 、4，5，10D 、6，9，143、已知一个三角形的周长是18cm ，且三边长之比是2:3:4，则三边长分别是______________4、若一个等腰三角形两边为3与7，则这个三角形周长为________5、四条线段的长分别为5cm ，6cm ，8cm ，13cm 以其中任意三条线段为边可构成_____个三角形6、在三角形中，已知相邻的外角是内角的2倍，则它的外角为_______，内角为_________7、等腰三角形的一个底角为500,则其顶角为______8、三角形的三个外角度数之比为2:3:4，则对应内角之比为_________9、一个三角形的三个内角度数之比为1:2:3，则这个三角形是________三角形 ⎧⎪⎨⎪⎩⎧⎨⎩⎧⎪⎨⎪⎩定义:由不在______三条线段______所组三角形 成的图形表示方法:_________________________三角形两边之和_____第三边三角形三边关系三角形两边之差_____第三边中线________________三角形的三条重要线段高线________________三角形角平分线____________内角和__三角形的内角和与外角和多边形⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎨⎪⎩⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎩__________1________外角性质2________外角和____________三角形面积:______________________________三角形具有____性,四边形__________性多边形定义_______________________________多边形n 边形内角和为__________多⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎩边形外角和为____从n 边形一个顶点可作出_____条对角线定义:__________________________________能用一图形镶嵌地面的有_________________平面镶嵌能用两种正多边形镶嵌地面的有_____和___________和_______;_______和_____________⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪11、①在ABC 中，1123A B C ∠=∠=∠，则A ∠=___________,________B C ∠=∠=②在ABC 中,若020A B ∠-∠=,2A C ∠=∠,_____,_____,________A B C ∠=∠=∠=③在ABC 中，A ∠比B ∠大010，B ∠比C ∠大010则：_____,_____,A B C ∠=∠=∠= ④在ABC 中，A B C ∠+∠=∠，则ABC 是__________三角形12、①一外多边形的内角和等于0540则边数______n =②一个多边形的内角和与外角和相等，则边数______n =③如果一个多边形的每一个内角都等于0144，则它的内角和为_______,它是____边形④已知一个多边形每一个外角都等于030则它是______边形⑤若一个多边形边数增加一条边，那么它的内角和_____________外角和__________⑥一个多边形的内角中，最多有______个锐角，一个多边形的外中最多有________个钝角⑦一个五边形的五个外角的度数比为1:2:3:4:5 ，则它的五个内角分别为___________它们的比等于______________⑧一个十边形十个内角都相等，则这个十边形每个内角等于____________ ⑨n 边形中所有对角线的条数是__________13、①当围绕一点拼在一起的几个多边形内角加在一起恰好组成一个_______时，即______度，就能镶嵌一个平面②能用一种正多边形拼成地面的是____________③能用两种正多边形镶嵌的有_________,______________,__________④当用一块正三角形，一块正六边形，再加____块正____边形就能铺满地面，还有别的方法吗？。

课题：11.1.1三角形的边【学习目标】1．认识三角形，•能用符号语言表示三角形，并把三角形分类．2．知道三角形三边不等的关系．3．懂得判断三条线段能否构成一个三角形的方法，•并能用于解决有关的问题【学习重点】知道三角形三边不等关系．【学习难点】判断三条线段能否构成一个三角形的方法．【自主学习】学前准备回忆你所学过或知道的三角形的有关知识。

并写出来。

【合作探究】知识点一：三角形概念及分类1、学生自学课本63-64页探究之前内容，并完成下列问题：（1）三角形概念：由不在同一直线上的三条线段___________________所组成的图形叫做三角形。

如图，线段____、______、______是三角形的边；点A 、B 、C 是三角形的______; _____、 ______、_______是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角。

图中三角形记作__________。

（2）三角形按角分类可分为_____________、______________、_________________。

（3）三角形按边分类可分为 _____________三角形 _____________——————— _____________（4）如图1，等腰三角形ABC 中，AB=AC,腰是__________，底是_________,顶角指_______，底角指_____________.等边三角形DEF 是特殊的_______三角形，DE=____=_____.图1练习一：1、如图2．下列图形中是三角形的有_______________？AB C图22、图3中有几个三角形？用符号表示这些三角形．知识点二：知道三角形三边的不等关系，并判断三条线段能否构成三角形1、探究：请同学们画一个△ABC，分别量出AB，BC，AC的长，并比较下列各式的大小：AB+BC_____AC AB+ AC _____ BC AC +BC _____ AB从中你可以得出结论：__________________________________________。

三角形的特性导学案本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址三角形的特性导学内容：P80—82例1、2、3导学目标：、使学生理解三角形的意义，掌握三角形的特征和特性。

2、经历度量三角形边长的实践活动，理解三角形三边不等的关系。

3、通过引导学生自主探索、动手操作、培养初步的创新精神和实践能力。

4、让学生树立几何知识源于客观实际，用于实际的观念，激发学生学习趣。

导学重点：掌握三角形的特性导学难点：懂得判断三角形三条线段能否构成一个三角形的方法，并能用于解决有关的问题；一、预习学案联系生活：找一找生活中有哪些物体的形状或表面是三角形？请收集和拍摄这类的图片。

让学生说说生活中有哪些物体的形状是三角形的。

展示学生收集的有关三角形的图片2播放录像师：接下来来看老师收集的到的一组有关三角形的录像资料。

二、导学案我们大家认识了三角形，三角形看起来简单，但在工农业生产和日常生活中有许多用处,看来生活中的三角形无处不在，三角形还有些什么奥秘呢？今天这节课我们就一起来研究这个问题。

（板书：三角形的认识）师生互动引导探索（一）三角形的意义：活动。

要求：（1）每个小组利用教师事先为其准备的三根小棒，把小棒看成一条线段，利用这三条线段摆一个三角形。

比一比，看哪一个小组做得最快！（提供的小棒有一组摆不成的。

）2学生拼图时可能会出现以下几种情况：请同学一起来观看做得有代表性和做得有特色的图案请同学们一起做裁判，看看哪些是三角形？[学生会认为（1）、（2）、（3）（4）为三角形，但对（2）、（3）（4）有争议]师：那你认为怎么样的图形才是三角形？到底这几个图是不是三角形呢？同学们可以从书上找到答案！请学生阅读课本的内容。

板书:三条线段围城的图形叫做三角形。

因此判断图案（2）（3）（4）不是三角形。

判断：下面图形，哪些是三角形？哪些不是三角形？3．教师问：除了三角形概念，书中还向我们介绍了什么？（1）三角形的边、角、顶点（2）三角形表示法；（3）三角形的高和底（二）三角形的特性：出示自行车、屋檐、吊架等三角形的图片，为什么这些部位要用三角形？2解决这个问题，下面我们先做个试验：出示三角形和平行四边形的教具，让学生试拉它们，并思考，你发现了什么？3要使平行四边形不变形，应怎么办？试试看。

学校高效课堂自主复习型数学导学稿
班级：90 姓名：学科长（签名）：日期：
专题：三角形及其性质指导人：设计者：九年级数学组
课型设置【自研·互动40分钟+展示·反馈60分钟】
一、中考目标：1、了解三角形的有关概念；2、掌握三角形角平分线、中线、高的性质和画法；3、了解三角形的稳定性并能进行简单应用；
4、掌握三角形内角和定理及其推论；
5、掌握等腰三角形的性质与判定；
6、掌握直角三角形的性质与判定；
二、定向导学·互动展示
三、当堂反馈（15分钟）：完成《试题研究》第48页第1、2、3、12题，第49页能力提升第4、10题. 【培辅导学】
【日学习反思】
成功从这开始·经典例题回顾：
例题1：如图，货轮O在航行过程中，发现灯塔A在它的南偏东60°的方向上.同时，在它北偏东40°、南偏西10°、西北方向上又分别发现了客轮B、货轮C和海岛D.仿照灯塔方位的方法，画出表示客轮B、货轮C和海岛D方向的射线.
例题2：如图，∠BAE,∠CBF,∠AC D是△ABC的三个外角，你能利用三角形内角和等于180°，
求出这三个外角的和吗？。

专题二相似三角形〖知识点〗相似三角形、相似三角形的判定、直角三角形相似的判定〖大纲要求〗1．了解相似三角形的概念，掌握相似三角形的判定及直角三角形相似的判定；2．会用相似三角形证明角相等或线段成比例，或进行角的度数和线段长度的计算等〖考查重点与常见题型〗1、论证三角形相似，线段的倍分以及等积式,等比式,常以论证题型或计算题型出现；2、寻找构成三角形相似的条件，在中考题中常以选择题或填空题形式出现,如：下列所述的四组图形中,是相似三角形的个数是（）①有一个角是45°的两个等腰三角形;②两个全等三角形；③有一个角是100°的两个等腰三角形；④两个等边三角形。

（A）1个（B）2个（C）3个（D)4个〖预习练习〗1．点P为△ABC的AB边上一点（AB>AC），下列条件中不一定能保证△ACP∽△ABC的是（）（A）∠ACP＝∠B（B）∠APC＝∠ACB（C）错误!=错误!（D）错误!=错误!2.下列各组的两个图形，一定相似的是（ )（A）两条对角线分别对应成比例的两个平行四边形（B）等腰梯形的中位线把它分成的两个等腰梯形（C）有一个角对应相等的两个菱形（D）对应边成比例的两个多边形考点训练1。

以下条件为依据，能判定△ABC 和△A 1B 2C 3相似的一组是（ ）（A ） ∠A ＝45°，AB ＝12cm,AC ＝15cm ， ∠A ´＝45°,A ´B ´＝16cm ，A ´C ´＝25cm （B) AB ＝12cm,BC ＝15cm ，AC ＝24cm ， A ´B ´＝20cm,B ´C ´＝25cm ，A ´C ´＝32cm(C)AB ＝2cm,BC ＝15cm, ∠B ＝36°, A ´B ´＝4cm ，B ´C ´＝5cm, ∠A ´＝36° （D) ∠A ＝68°，∠B ＝40°∠A ´＝68°,∠B ´＝40°2.如图，△ABC 中DE ，DF,EG 分别平行于BC,AC,AB, 图中与△ADG 相似的三角形共有( ）个(A ） 3 （B) 4 （C) 5 （D) 6 3.如图,已知D,E 分别在△ABC 的AB ，AC 边上，△ABC 与△ADE 则下列各式成立的是（ ）（A ） 错误!＝ 错误! （B ） 错误!＝ 错误! (C) AD ·DE ＝AE ·EC (D) AB ·AD ＝AE ·AC4。

第十一章三角形导学案一、学习目标1、理解三角形的定义、边、角等基本概念。

2、掌握三角形的内角和定理及外角的性质。

3、学会三角形三边关系的应用。

4、能够对不同类型的三角形进行分类。

二、学习重点1、三角形内角和定理的证明及应用。

2、三角形三边关系的理解与应用。

三、学习难点1、三角形内角和定理的证明思路。

2、运用三角形三边关系解决实际问题。

四、知识梳理（一）三角形的定义及相关概念1、三角形的定义由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

2、三角形的边组成三角形的三条线段叫做三角形的边。

3、三角形的顶点三角形相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点。

4、三角形的内角三角形相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。

（二）三角形的表示方法三角形用符号“△”表示，顶点是A、B、C 的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”。

（三）三角形的分类1、按角分类（1）锐角三角形：三个角都是锐角的三角形。

（2）直角三角形：有一个角是直角的三角形。

（3）钝角三角形：有一个角是钝角的三角形。

2、按边分类（1）不等边三角形：三条边都不相等的三角形。

（2）等腰三角形：有两条边相等的三角形。

等边三角形：三条边都相等的三角形，也叫正三角形。

（四）三角形的内角和定理三角形三个内角的和等于 180°。

证明方法：（1）通过测量三角形三个内角的度数，然后求和。

（2）通过剪拼的方法，将三角形的三个内角拼成一个平角。

（五）三角形的外角1、定义三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。

2、性质（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。

（2）三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。

（六）三角形的三边关系1、三角形两边之和大于第三边。

2、三角形两边之差小于第三边。

五、典型例题例 1：在△ABC 中，∠A ＝ 50°，∠B ＝ 60°，求∠C 的度数。

解：因为三角形内角和为 180°，所以∠C ＝ 180°∠A ∠B ＝ 180°50° 60°＝ 70°例 2：已知三角形的两边长分别为 3 和 5，求第三边的取值范围。

2019-2020学年中考数学一轮复习第17课等腰三角形导学案【考点梳理】：等腰三角形的性质有关定理及其推论定理：等腰三角形有两边相等；定理：等腰三角形的两个底角相等推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边且垂直于底边，也就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

推论2：等边三角形的各角相等，且每一个角都等于60°.等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形；定理及推论的作用等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等的关系，由两边相等推出两角相等，是今后证明两角相等常用的依据之一。

等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等，两个角相等以及两条直线相互垂直的重要依据。

等腰三角形的判定有关的定理及其推论定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等推论1、三个角都相等的三角形是等边三角形。

推论2、有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。

推论3、在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

定理及其推论的作用。

等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系，它是证明线段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据。

等腰三角形中常用的辅助线等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线相互重合，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，【思想方法】方程思想，分类讨论【考点一】：等腰三角形的性质与判定【例题赏析】（2015，广西玉林，6，3分）如图，在△ABC中，AB=AC，DE∥BC 中不正确的是（）A． AD=AE B． DB=EC C．∠ADE=∠C D． DE=BC考点：等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．专题：计算题．分析：由DE与BC平行，得到三角形ADE与三角形ABC相似，由相似得比例，根据AB=AC，得到AD=AE，进而确定出DB=EC，再由两直线平行同位角相等，以及等腰三角形的底角相等，等量代换得到∠ADE=∠C，而DE不一定为中位线，即DE不一定为BC的一半，即可得到正确选项．解答：解：∵DE∥BC，∴=，∠ADE=∠B，∵AB=AC，∴AD=AE，DB=EC，∠B=∠C，∴∠ADE=∠C，而DE不一定等于BC，故选D．点评：此题考查了等腰三角形的判定与性质，以及平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解本题的关键．【考点二】：等边三角形的性质与判定【例题赏析】（1）（2015•青海西宁第20题2分）如图，△ABC是边长为1的等边三角形，BD为AC的高，将△ABC折叠，使点B与点D重合，折痕EF交BD于点D1，再将△BEF折叠，使点于点D1重合，折痕GH交BD1于点D2，依次折叠，则BD n= ．考点：翻折变换（折叠问题）；等边三角形的性质．.专题：规律型．分析：根据等边三角形的性质依次求出边上的高，找出规律即可得到结果．解答：解：∵△ABC是边长为1的等边三角形，BD为AC边上的高，∴BD=，∵△BEF是边长为等边三角形，∴BD1=，∴BD2=，…∴BD n =，故答案为：．点评：本题考查了翻折变换﹣折叠问题，等边三角形的性质，根据已知条件找出规律是解题的关键．（2）（2015•湖北十堰，第14题3分）如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB外作等边△ACD、等边△ABE，EF⊥AB，垂足为F，连接DF，当= 时，四边形是平行四边形．考点：平行四边形的判定；等边三角形的性质．分析：由三角形ABE为等边三角形，EF垂直于AB，利用三线合一得到EF为角平分线，到∠AEF=30°，进而确定∠BAC=∠AEF，再由一对直角相等，及AE=AB，利用AAS△ABC≌△EAF；由∠BAC与∠DAC度数之和为90°，得到DA垂直于AB，而EF垂直于AB 得到EF与AD平行，再由全等得到EF=AC，而AC=AD证．解答：解：当=时，四边形ADFE是平行四边形．理由：∵=，∴∠CAB=30°，∵△ABE为等边三角形，EF⊥AB，∴EF为∠BEA的平分线，∠AEB=60°，AE=AB，∴∠FEA=30°，又∠BAC=30°，∴∠FEA=∠BAC，在△ABC和△EAF中，，∴△ABC≌△EAF（AAS）；∵∠BAC=30°，∠DAC=60°，∴∠DAB=90°，即DA⊥AB，∵EF⊥AB，∴AD∥EF，∵△ABC≌△EAF，∴EF=AC=AD，∴四边形ADFE是平行四边形．故答案为：．点评：此题考查了平行四边形的判定、平行线的判定与性质、及等边三角形的性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键【考点三】：线段垂直平分线的性质与判定【例题赏析】（1）（2015•四川遂宁第8题4分）如图，在△ABC中，AC=4cm，线段AB直平分线交AC于点N，△BCN的周长是7cm，则BC的长为（）A．1cm B． 2cm C． 3cm D． 4cm考点：线段垂直平分线的性质．.分析：首先根据MN是线段AB的垂直平分线，可得AN=BN，然后根据△BCN的周长是7cm 以及AN+NC=AC，求出BC的长为多少即可．解答：解：∵MN是线段AB的垂直平分线，∴AN=BN，∵△BCN的周长是7cm，∴BN+NC+BC=7（cm），∴AN+NC+BC=7（cm），∵AN+NC=AC，∴AC+BC=7（cm），又∵AC=4cm，∴BC=7﹣4=3（cm）．故选：C．点评：此题主要考查了线段垂直平分线的性质和应用，要熟练掌握，明确：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．②垂直平分线上任意一点，离相等．③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，距离相等．（2）（2015•湖北, 第7题3分）如图，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交ABE ，垂足为D ，CE 平分∠ACB ．若BE=2，则AE 的长为（ ）A ．B ． 1C ．D ． 2考点： 含30度角的直角三角形；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质．分析： 先根据线段垂直平分线的性质得出BE=CE=2，故可得出∠B=∠DCE=30°，再由角平分线定义得出∠ACB=2∠DCE=60°，∠ACE=∠DCE=30°，利用三角形内角和定理求出∠A=180°﹣∠B ﹣∠ACB=90°，然后在Rt △CAE 中根据30°角所对的直角边等于斜边的一半得出AE=CE=1．解答： 解：∵在△ABC 中，∠B=30°，BC 的垂直平分线交AB 于E ，BE=2，∴BE=CE=2，∴∠B=∠DCE=30°，∵CE 平分∠ACB ，∴∠ACB=2∠DCE =60°，∠ACE=∠DCE=30°，∴∠A=180°﹣∠B ﹣∠ACB=90°．在Rt △CAE 中，∵∠A=90°，∠ACE=30°，CE=2，∴AE=CE=1．故选B ． 点评： 本题考查的是含30度角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，的性质，角平分线定义，三角形内角和定理，求出∠A=90°是解答此题的关键．【考点四】：坐标系中的等腰三角形【例题赏析】（2015•四川攀枝花第14题4分）如图，在平面直角坐标系中，O 矩形OABC 中，A （10，0），C （0，4），D 为OA 的中点，P 为BC 边上一点．若△POD 三角形，则所有满足条件的点P 的坐标为 （2.5，4），或（3，4），或（2，4），或（8，4） ．考点： 矩形的性质；坐标与图形性质；等腰三角形的判定；勾股定理．专题： 分类讨论．分析： 由矩形的性质得出∠OCB=90°，OC=4，BC=OA=10，求出OD=AD=5当PO=PD 时；②当OP=OD 时；③当DP=DO 时；出点P 的坐标．解答：解：∵四边形OABC是矩形，∴∠OCB=90°，OC=4，BC=OA=10，∵D为OA的中点，∴OD=AD=5，①当PO=PD时，点P在OD得垂直平分线上，∴点P的坐标为：（2.5，4）；②当OP=OD时，如图1所示：则OP=OD=5，PC==3，∴点P的坐标为：（3，4）；③当DP=DO时，作PE⊥OA于E，分两种情况：当E在D的左侧时，如图2所示：OE=5﹣3=2，∴点P的坐标为：（2，4）；当E在D的右侧时，如图3所示：OE=5+3=8，∴点P的坐标为：（8，4）；综上所述：点P的坐标为：（2.5，4），或（3，4），或（2，4），或（8，4）；故答案为：（2.5，4），或（3，4），或（2，4），或（8，4）．点评：本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质、等腰三角形的判定、勾股定理；一定难度，需要进行分类讨论才能得出结果．【考点五】：等腰三角形的综合运用【例题赏析】（2015•曲靖23题10分）如图，过∠AOB平分线上一点C作CD∥OB交OAD，E是线段OC的中点，请过点E画直线分别交射线CD、OB于点M、N，探究线段OD、ON、DM之间的数量关系，并证明你的结论．考点：全等三角形的判定与性质；平行线的性质；等腰三角形的判定与性质．.分析：首先根据OC是∠AOB的平分线，CD∥OB，判断出∠DOC=∠DC0，所以OD=CD=DM+CM然后根据E是线段OC的中点，CD∥OB，推得CM=ON，即可判断出OD=DM+ON解答：解：线段OD、ON、DM之间的数量关系是：OD=DM+ON．证明：∵OC是∠AOB的平分线，∴∠DOC=∠C0B，又∵CD∥OB，∴∠DCO=∠C0B，∴∠DOC=∠DC0，∴OD=CD=DM+CM，∵E是线段OC的中点，∴CE=OE，∵CD∥OB，∴，∴CM=ON，又∵OD=DM+CM，∴OD=DM+ON．点评：（1确：①定理1角相等．②定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：同旁内角互补．③定理3平行，内错角相等．（2确：①等腰三角形的两腰相等．②等腰三角形的两个底角相等．底边上的中线、底边上的高相互重合．【真题专练】1.（2015•丹东，第6题3分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，E为BC点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D的度数为（）A．15° B．17.5° C．20° D．22.5°2.（2015，广西玉林，17，3分）如图，等腰直角△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点O分斜边AB为BO：OA=1：，将△BOC绕C点顺时针方向旋转到△AQC的位置，则∠AQC=．3.（2015•河北,第20题3分）如图，∠BOC=9°，点A在OB上，且OA=1，按下列要求画图：以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1；再以A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2；再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3；…这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n= ．5. （2015•湖北, 第7题3分）如图，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交ABE，垂足为D，CE平分∠ACB．若BE=2，则AE的长为（） A． B． 1 C． D． 26.(2015年陕西省,6,3分)如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB上截取BE=BC，连接DE，则图中等腰三角形共有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个7.（2015•湖南湘西州，第16题，4分）如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC∠A=36°，则∠1的度数为（）A．36° B．60°C．72°D．108°8.（2015•昆明第14题，3分）如图，△ABC是等边三角形，高AD、BE相交于点H，BC=4在BE上截取BG=2，以GE为边作等边三角形GEF，则△ABH与△GEF积为．9.（2015•宜昌，第18题7分）如图，一块余料ABCD，AD∥BC，现进行如下操作：以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点G，H；再分别以点G，H为圆心，大于GH 的长为半径画弧，两弧在∠ABC内部相交于点O，画射线BO，交AD于点E．（1）求证：AB=AE；（2）若∠A=100°，求∠EBC的度数．10.（2015•山东莱芜,第21题9分）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，分别以AB，AC为直角边向外作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，G为BD的中点，连接CG，BECD，BE与CD交于点F．（1）判断四边形ACGD的形状，并说明理由．（2）求证：BE=CD，BE⊥CD．【真题演练参考答案】1.（2015•丹东，第6题3分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D的度数为（）A．15° B．17.5° C．20° D．22.5°考点：等腰三角形的性质．分析：先根据角平分线的定义得到∠1=∠2，∠3=∠4，再根据三角形外角性质得∠1+∠2=∠3+∠4+∠A，∠1=∠3+∠D，则2∠1=2∠3+∠A，利用等式的性质得到∠D=∠A，然后把∠A 的度数代入计算即可．解答：解：∵∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于点D，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∵∠ACE=∠A+∠ABC，即∠1+∠2=∠3+∠4+∠A，∴2∠1=2∠3+∠A，∵∠1=∠3+∠D，∴∠D=∠A=×30°=15°．故选A．点评：本题考查了三角形内角和定理，关键是根据三角形内角和是180°和三角形外角性质进行分析．2.（2015，广西玉林，17，3分）如图，等腰直角△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点O分斜边AB为BO：OA=1：，将△BOC绕C点顺时针方向旋转到△AQC的位置，则∠AQC= 105°．考点：旋转的性质；等腰直角三角形．专题：计算题．分析：连接OQ，由旋转的性质可知：△AQC≌△BOC，从而推出∠OAQ=90°，∠OCQ=90°，再根据特殊直角三角形边的关系，分别求出∠AQO与∠OQC的值，可求出结果．解答：解：连接OQ，∵AC=BC，∠ACB=90°，∴∠BAC=∠A=45°，由旋转的性质可知：△AQC≌△BOC，∴AQ=BO，CQ=CO，∠QAC=∠B=45°，∠ACQ=∠BCO，∴∠OAQ=∠BAC+∠CAQ=90°，∠OCQ=∠OCA+∠ACQ=∠OCA+∠BCO=90°，∴∠OQC=45°，∵BO：OA=1：，设BO=1，OA=，∴AQ=，∴∠AQO=60°，∴∠AGC=105°．点评：本题主要考查了图形旋转的性质，特殊角直角三角形的边角关系，掌握图形旋转的性质，熟记特殊直角三角形的边角关系是解决问题的关键．3.（2015•河北,第20题3分）如图，∠BOC=9°，点A在OB上，且OA=1，按下列要求画图：以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1；再以A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2；再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3；…这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n= 9 ．考点：等腰三角形的性质．分析：根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质依次可得∠A1AB的度数，∠A2A1C的度数，∠A3A2B的度数，∠A4A3C的度数，…，依此得到规律，再根据三角形外角小于90°即可求解．解答：解：由题意可知：AO=A1A，A1A=A2A1，…，则∠AOA1=∠OA1A，∠A1OA2=∠A1A2A，…，∵∠BOC=9°，∴∠A1AB=18°，∠A2A1C=27°，∠A3A2B=36°的度数，∠A4A3C=45，…，∴9°n＜90°，解得n＜10．故答案为：9．点评：考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等；三角形外角的性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．4．（2015•衡阳, 第7题3分）已知等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个等腰三角形的周长为（）A． 11 B． 16 C． 17 D． 16或17考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系．专题：分类讨论．分析：分6是腰长和底边两种情况，利用三角形的三边关系判断，然后根据三角形的周长的定义列式计算即可得解．解答：解：①6是腰长时，三角形的三边分别为6、6、5，能组成三角形，周长=6+6+5=17；②6是底边时，三角形的三边分别为6、5、5，能组成三角形，周长=6+5+5=16．综上所述，三角形的周长为16或17．故选D．点评：本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，难点在于分情况讨论．5. （2015•湖北, 第7题3分）如图，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，CE平分∠ACB．若BE=2，则AE的长为（）A． B． 1 C． D． 2考点：含30度角的直角三角形；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质．分析：先根据线段垂直平分线的性质得出BE=CE=2，故可得出∠B=∠DCE=30°，再由角平分线定义得出∠ACB=2∠DCE=60°，∠ACE=∠DCE=30°，利用三角形内角和定理求出∠A=180°﹣∠B﹣∠ACB=90°，然后在Rt△CAE中根据30°角所对的直角边等于斜边的一半得出AE=CE=1．解答：解：∵在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于E，BE=2，∴BE=CE=2，∴∠B=∠DCE=30°，∵CE平分∠ACB，∴∠ACB=2∠DCE=60°，∠ACE=∠DCE=30°，∴∠A=180°﹣∠B﹣∠ACB=90°．在Rt△CAE中，∵∠A=90°，∠ACE=30°，CE=2，∴AE=CE=1．故选B．点评：本题考查的是含30度角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，角平分线定义，三角形内角和定理，求出∠A=90°是解答此题的关键．6.(2015年陕西省,6,3分)如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB上截取BE=BC，连接DE，则图中等腰三角形共有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个考点：等腰三角形的判定与性质．分析：根据已知条件分别求出图中三角形的内角度数，再根据等腰三角形的判定即可找出图中的等腰三角形．解答：：∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形；∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=72°，∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=36°，∴∠A=∠ABD=36°，∴BD=AD，∴△ABD是等腰三角形；在△BCD中，∵∠BDC=180°﹣∠DBC﹣∠C=180°﹣36°﹣72°=72°，∴∠C=∠BDC=72°，∴BD=BC，∴△BCD是等腰三角形；∵BE=BC，∴BD=BE，∴△BDE是等腰三角形；∴∠BED=（180°﹣36°）÷2=72°，∴∠ADE=∠BED﹣∠A=72°﹣36°=36°，∴∠A=∠ADE，∴DE=AE，∴△ADE是等腰三角形；∴图中的等腰三角形有5个．故选D．点评：此题考查了等腰三角形的判定，用到的知识点是等腰三角形的判定、三角形内角和定理、三角形外角的性质、三角形的角平分线定义等，解题时要找出所有的等腰三角形，不要遗漏．7.（2015•湖南湘西州，第16题，4分）如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，∠A=36°，则∠1的度数为（）A．36° B．60°C．72°D．108°考点：等腰三角形的性质．.分析：根据∠A=36°，AB=AC求出∠ABC的度数，根据角平分线的定义求出∠ABD的度数，根据三角形的外角的性质计算得到答案．解答：解：∵∠A=36°，AB=AC，∴∠ABC=∠C=72°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=36°，∴∠1=∠A+∠ABD=72°，故选：C．点评：本题考查的是三角形的外角的性质和等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两个底角相等和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和是解题的关键．8.（2015•昆明第14题，3分）如图，△ABC是等边三角形，高AD、BE相交于点H，BC=4，在BE上截取BG=2，以GE为边作等边三角形GEF，则△ABH与△GEF重叠（阴影）部分的面积为．考点：等边三角形的判定与性质；三角形的重心；三角形中位线定理．分析：根据等边三角形的性质，可得AD的长，∠ABG=∠HBD=30°，根据等边三角形的判定，可得△MEH的形状，根据直角三角形的判定，可得△FIN的形状，根据面积的和差，可得答案．解答：解：如图所示：，由△ABC是等边三角形，高AD、BE相交于点H，BC=4，得AD=BE=BC=6，∠ABG=∠HBD=30°．由直角三角的性质，得∠BHD=90°﹣∠HBD=60°．由对顶角相等，得∠MHE=∠BHD=60°由BG=2，得EG=BE﹣BG=6﹣2=4．由GE为边作等边三角形GEF，得FG=EG=4，∠EGF=∠GEF=60°，△MHE是等边三角形；S△ABC=AC•BE=AC×EH×3EH=BE=×6=2．由三角形外角的性质，得∠BIF=∠FGE﹣∠IBG=60°﹣30°=30°，由∠IBG=∠BIG=30°，得IG=BG=2，由线段的和差，得IF=FG﹣IG=4﹣2=2，由对顶角相等，得∠FIN=∠BIG=30°，由∠FIN+∠F=90°，得∠FNI=90°，由锐角三角函数，得FN=1，IN=．S五边形NIGHM=S△EFG﹣S△EMH﹣S△FIN=×42﹣×22﹣××1=，故答案为：．点评：本题考查了等边三角形的判定与性质，利用了等边三角形的判定与性质，直角三角形的判定，利用图形的割补法是求面积的关键．9.（2015•宜昌，第18题7分）如图，一块余料ABCD，AD∥BC，现进行如下操作：以点B 为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点G，H；再分别以点G，H为圆心，大于GH 的长为半径画弧，两弧在∠ABC内部相交于点O，画射线BO，交AD于点E．（1）求证：AB=AE；（2）若∠A=100°，求∠EBC的度数．考点：作图—基本作图；等腰三角形的判定与性质．分析：（1）根据角平分线的性质，可得∠AEB=∠EBC，根据角平分线的性质，可得∠EBC=∠ABE，根据等腰三角形的判定，可得答案；（2）根据三角形的内角和定理，可得∠AEB，根据平行线的性质，可得答案．解答：（1）证明：∵AD∥BC，∴∠AEB=∠EBC．由BE是∠ABC的角平分线，∴∠EBC=∠ABE，∴∠AEB=∠ABE，∴AB=AE；（2）由∠A=100°，∠ABE=∠AEB，得∠ABE=∠AEB=40°．由AD∥BC，得∠EBC=∠AEB=40°．点评：本题考查了等腰三角形的判定，利用了平行线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定．10.（2015•山东莱芜,第21题9分）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，分别以AB，AC为直角边向外作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，G为BD的中点，连接CG，BE，CD，BE与CD交于点F．（1）判断四边形ACGD的形状，并说明理由．（2）求证：BE=CD，BE⊥CD．考点：全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；平行四边形的判定．.专题：证明题．分析：（1）利用等腰直角三角形的性质易得BD=2BC，因为G为BD的中点，可得BG=BC，由∠CGB=45°，∠ADB=45得AD∥CG，由∠CBD+∠ACB=180°，得AC∥BD，得出四边形ACGD 为平行四边形；（2）利用全等三角形的判定证得△DAC≌△BAE，由全等三角形的性质得BE=CD；首先证得四边形ABCE为平行四边形，再利用全等三角形的判定定理得△BCE≌△CAD，易得∠CBE=∠ACD，由∠ACB=90°，易得∠CFB=90°，得出结论．解答：（1）解：∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，∴AB=BC，∵△ABD和△ACE均为等腰直角三角形，∴BD==BC=2BC，∵G为BD的中点，∴BG=BD=BC，∴△CBG为等腰直角三角形，∴∠CGB=45°，∵∠ADB=45°，AD∥CG，∵∠ABD=45°，∠ABC=45°∴∠CBD=90°，∵∠ACB=90°，∴∠CBD+∠ACB=180°，∴AC∥BD，∴四边形ACGD为平行四边形；（2）证明：∵∠EAB=∠EAC+∠CAB=90°+45°=135°，∠CAD=∠DAB+∠BAC=90°+45°=135°，∴∠EAB=∠CAD，在△DAC与△BAE中，，∴△DAC≌△BAE，∴BE=CD；∵∠EAC=∠BCA=90°，EA=AC=BC，∴四边形ABCE为平行四边形，∴CE=AB=AD，在△BCE与△CAD中，，∴△BCE≌△CAD，∴∠CBE=∠ACD，∵∠ACD+∠BCD=90°，∴∠CBE+∠BCD=90°，∴∠CFB=90°，即BE⊥CD．点评：本题主要考查了等腰直角三角形的性质，平行四边形和全等三角形的判定及性质定理，综合运用各种定理是解答此题的关键．。

第19讲解直角三角形学习目标：1.掌握锐角三角形的相关概念，特殊角的三角函数值的计算方法及记忆规律等.2.掌握建立解直角三角形的模型解决实际问题的方法及类型.学习重点：锐角三角函数的相关概念.学习难点：建立直角三角形模型解决实际问题.自学指导：1.学生结合课本，完成知识梳理（10分钟）.2.完成以下问题：73页的〖洞悉考情研真题〗教学过程：1.直接导入课题.2.15分钟生完成75页的重难突破定方向.问题预设：对于4.5题的问题是直角三角形中常见的几何模型，图形比较新颖，通常需要添加辅助线构造直角三角形，从而转化为解直角三角形的问题。

解决此类问题常见的添加辅助线的方法有两种，一是‘作垂线’，把图形分割成直角三角形；另一种是通过‘延长’来构造直角三角形。

当堂训练：1.〖实战集训夺满分〗2.讲解共性问题3.拓展：例1 如图1，某电信部门计划修建一条连接B、C两地的电缆。

测量人员在山脚A点测得B、C两地的仰角分别为、，在B地测得C地的仰角为。

已知C地比A地高200m，电缆BC至少长多少米（精确到1m）？解：作于H，过B作于D，于E。

由题意知，设BC=x m。

在中，，。

在中，。

所以，在中，，所以BD=。

由此得解得故电缆BC至少需要147m。

点拨：本题是典型的长度（距离）计算问题，解这类题的关键就是要在所给出的图形中构造相关的直角三角形，进而利用锐角的三角函数知识构造出方程计算即可。

这是解直角三角形问题的一种常用方法，希望同学们认真掌握。

例2 如图2，一艘渔船在A处观测到东北方向有一小岛，已知小岛C周围4.8海里范围内是水产养殖场。

渔船沿北偏东方向航行10海里到达B处，在B处测得小岛C在北偏东方向，这时渔船改变航线向正东（沿BD线）方向航行，这艘渔船是否有进入养殖场的危险？解：过点B作于M，故BM//AF故在中，，过点C作于N，交BD于K在中，设CK=x，则在中，因，故AN=CN又MN=BK，BM=KN，解得x=5因5海里>4.8海里，故渔船没有进入养殖场的危险。

第七章《三角形》复习导学案学习目标：1、能说出三角形三边之间的关系和一个三角形的高、中线、角平分线及其定义,对于任意一个三角形,会画出它的中线,角平分线和高线；2、记住三角形的内角和定理及其推论；知道三角形的外角的概念及外角和；会用多边形的内角和公式及外角和计算。

一、知识梳理，形成框架 学生看书完成以下知识梳理1、三角形的高、中线、角平分线（1）三角形的高、中线、角平分线都是 （选填‘线段、射线和直线’） （2）交点情况a.三条高所在的直线交于一点：△是锐角三角形时交点位于△的 ；△是直角三角形时，交点位于直角三角形的 ；△是钝角三角形时，交点位于三角形的 ，是三角形的垂心。

b. 三角形的三条中线交于一点，交点位于△的内 ，是三角形的重心。

每条中线都把三角形分成 相等的两个三角形。

c.△的三条角平分线交于一点，交点位于△的 ，是三角形的内心。

（3）三角形的高、中线、角平分线几何符号语言表示 （1）∵AD 是△ABC 的边BC 上的高，∴∠ =∠ = ° （2）∵AE 是△ABC 的边BC 上的中线，∴ = = ，S △ABE = S △AEC （3）∵AF 是△ABC 的角平分线，∴∠ =∠ =2、三角形三边的关系： 。

3、三角形的角（1）∠A + ∠B + ∠C = 180°三角形内角和定理： 任何三角形的内角和都等于 。

（2）∠1 = ∠ A + ∠B. 三角形的外角等于与它不相邻的 的和。

（3）∠ A + ∠B=90°直角三角形的两个锐角 。

4、三角形具有 性，四边形不具有 性。

CA B5、 叫正多边形。

6、n 边形的内角和等于 ，外角和为 。

7、从n 边形的一个顶点出发可以引 条对角线，它将n 边形分成 个三角形。

二、自查疑惑，合作交流例1，如果三角形的两边长为2和5，且第三边是奇数，则第三边长为 ，这个三角形是 三角形。

例2，已知△ABC 中 D 是BC 中点，△ABD 面积是6㎝2，则△ACD 面积 是 ，△ABC 面积是 。