8.数学归纳法与贝努利不等式

数学归纳法与贝努利不等式目标认知学习目标：1、借助具体实例了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤，运用它证明一些与正整数n（取无限多个值）有关的数学命题.2、理解数学归纳法的原理，能准确使用证明格式。

3、了解贝努利不等式，会利用数学归纳法明贝努利不等式．重点难点：1、学生不易理解数学归纳法的思想实质，具体表现在不了解第二步骤的作用，不易根据归纳假设作出证明；2、运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系.知识要点梳理知识点一：归纳法由一系列事例得出一般结论的推理方法，通常叫归纳法，根据推理过程中考察的对象是涉及事物的一部分还是全部，分为不完全归纳法和完全归纳法.不完全归纳法是根据事物的部分（而不是全部）特例得到一般结论的推理方法，不完全归纳法所得到的命题不一定是成立的.但它是一种重要的思考问题的方法，是打开数学之门的钥匙，是发现数学规律的一种重要手段。

用不完全归纳法发现规律，用数学归纳法证明是解决问题的一种重要途径.完全归纳法是一种在研究了事物的所有情况后得出的一般结论的推理方法，又叫枚举法.这时得到的结论是可靠的.知识点二：数学归纳法由归纳法得到的某些与自然数有关的命题，常常用数学归纳法来证明它的正确性。

1、用数学归纳法进行证明的步骤：（1）（归纳奠基）证明当取第一个值时命题成立；（2）（归纳递推）假设时命题成立，证明当时命题也成立；（3）下结论：命题对从开始的所有正整数都成立。

注意：（1）用数学归纳法进行证明时，“归纳奠基”和“归纳递推”两个步骤缺一不可；证明了第一步，就获得了递推的基础，但仅靠这一步还不能说明结论的普遍性. 证明了第二步，就获得了递推的依据，但没有第一步就失去了递推的基础.只有把第一步和第二步结合在一起，才能获得普遍性的结论；（2）在第二步中，在递推之前，时结论是否成立是不确定的，因此用假设二字，这一步的实质是证明命题对的正确性可以传递到时的情况.有了这一步，联系第一步的结论（命题对成立），就可以知道命题对也成立，进而再由第二步可知即也成立，…，这样递推下去就可以知道对于所有不小于的正整数都成立.在这一步中，时命题成立，可以作为条件加以运用，而时的情况则有待利用归纳假设、已知的定义、公式、定理加以证明，不能直接将代入命题.2、数学归纳法的适用范围：数学归纳法一般适用于证明某些与正整数n（取无限多个值）有关的数学命题.但是，并不能简单地说所有与正整数有关的数学命题都可使用数学归纳法证明.3、用数学归纳法证题的类型：①用数学归纳法证明恒等式；②用数学归纳法证明整除性问题；③用数学归纳法证明几何问题；④用数学归纳法证明不等式.4、利用数学归纳法证明问题时，要注意：（1）初始值的选取；根据题目不同，初始值不一定从开始.如，证明不等式，初始值应从开始.（2）在由假设时成立，证明时，要灵活应用归纳假设.此处变形的方法较多，要在不同题型中逐步去体会，如证明整除问题、几何问题等.知识点三：贝努利不等式定理（贝努利（Bernoulli）不等式）：设实数为大于1的自然数，则证明：用数学归纳法（1）当n＝2时，∵，∴左边＝＝右边，∴命题成立。

高二数学用数学归纳法证明不等式贝努利不等式试题1.用数学归纳法证明，第二步证明从k到k+1，左端增加的项数为（）A．2k﹣1B．2k C．2k﹣1D．2k+1【答案】B【解析】当n=k时，写出左端，并当n=k+1时，写出左端，两者比较，关键是最后一项和增加的第一项的关系．解：当n=k时，左端=，那么当n=k+1时左端=，=∴左端增加的项为，所以项数为：2k．故选B．点评：此题考查数学归纳法证明，其中关键一步就是从k到k+1，是学习中的难点，也是学习中重点，解答过程中关键是注意最后一项与增添的第一项．2.用数学归纳法证明不等式成立，起始值至少应取为（）A．7B．8C．9D．10【答案】B【解析】先求左边的和，再进行验证，从而可解．解：左边的和为，当n=8时，和为，故选B．点评：本题主要考查数学归纳法，起始值的验证，求解轭关键是发现左边的规律，从而解决问题．，不等式x+≥2，x+≥3，…，可推广为x+≥n+1，则a的值为（）3.已知x∈R+A．2n B．n2C．22（n﹣1）D．n n【答案】D【解析】分别分析各个不等式的特点，归纳出a的值．解：第一个不等式的a=1，第二个不等式的a=4=22，则由归纳推理可知，第n个不等式的a=n n．故选D．点评：本题考查了归纳推理、分析能力，认真观察各式，根据所给式子的结构特点的变化情况总结规律是解题的关键．4.若命题P（n）对n=k成立，则它对n=k+2也成立，又已知命题P（2）成立，则下列结论正确的是（）A．P（n）对所有自然数n都成立B．P（n）对所有正偶数n成立C．P（n）对所有正奇数n都成立D．P（n）对所有大于1的自然数n成立【答案】B【解析】根据题意可得，当命题P（2）成立，可推出 P（4）、P（6）、P（8）、P（10）、P （12）…均成立．解：由于若命题P（n）对n=k成立，则它对n=k+2也成立．又已知命题P（2）成立，可推出 P（4）、P（6）、P（8）、P（10）、P（12）…均成立，故选 B．点评：本题考查用数学归纳法证明数学命题，注意n只能取连续的正偶数．5.用数学归纳法证明1+++…+＜n（n∈N*，n＞1）”时，由n=k（k＞1）时，第一步应验证的不等式是．【答案】【解析】直接利用数学归纳法写出n=2时左边的表达式即可，不等式的左边需要从1加到，不要漏掉项．，n＞1）时，解：用数学归纳法证明（n∈N+第一步应验证不等式为：；故答案为：点评：在利用数学归纳法证明问题中，第一步是论证n=1时结论是否成立，此时一定要分析不等式左边的项的特点，不能多写也不能少写，否则会引起答案的错误．6.用数学归纳法证明+cosα+cos3α+…+cos（2n﹣1）α=（k∈Z*，α≠kπ，n∈N），在验证n=1时，左边计算所得的项是．+【答案】+cosα．【解析】由等式+cosα+cos3α+…+cos（2n﹣1）α=，当n=1时，2n﹣1=1，而等式左边起始为的，后面再加上α的连续的正整数倍的余弦值的和，由此易得答案．解：在等式+cosα+cos3α+…+cos（2n﹣1）α=中，当n=1时，2n﹣1=1，而等式左边起始为的，后面再加上α的连续的正整数倍的余弦值的和，故n=1时，等式左边的项为：+cosα，故答案为：+cosα．点评：本题考查的知识点是数学归纳法的步骤，在数学归纳法中，第一步是论证n=1时结论是否成立，此时一定要分析等式两边的项，不能多写也不能少写，否则会引起答案的错误．解此类问题时，注意n的取值范围．7.数学归纳法证明“2n+1≥n2+n+2（n∈N*）”时，第一步验证的表达式为．【答案】21+1≥12+1+2（22≥4或4≥4也算对）．【解析】根据数学归纳法的步骤，结合本题的题意，是要验证n=1时，命题成立；将n=1代入不等式，可得答案．解：根据数学归纳法的步骤，首先要验证证明当n取第一个值时命题成立；结合本题，要验证n=1时，2n+1≥n2+n+2的成立；即21+1≥12+1+2成立；故答案为：21+1≥12+1+2（22≥4或4≥4也算对）．点评：本题考查数学归纳法的运用，数学归纳法的基本形式：设P（n）是关于自然数n的命题，若1°P（n0）成立（奠基）2°假设P（k）成立（k≥n），可以推出P（k+1）成立（归纳），则P（n）对一切大于等于n的自然数n都成立．解此类问题时，注意n的取值范围．8.用数学归纳法证明不等式：+++…+＞1（n∈N*且n＞1）．【答案】见解析【解析】直接利用数学归纳法的证明步骤证明不等式，（1）验证n=2时不等式成立；（2）假设当n=k（k≥2）时成立，利用放缩法证明n=k+1时，不等式也成立．证明：（1）当n=2时，左边=，∴n=2时成立（2分）（2）假设当n=k（k≥2）时成立，即那么当n=k+1时，左边==＞＞1+＞1∴n=k+1时也成立（7分）根据（1）（2）可得不等式对所有的n＞1都成立（8分）点评：本题是中档题，考查数学归纳法的证明步骤，注意不等式的证明方法，放缩法的应用，考查逻辑推理能力．9.设数列{an }的前n项和为Sn，且方程x2﹣anx﹣an=0有一根为Sn﹣1，n=1，2，3，…．（Ⅰ）求a1，a2；（Ⅱ）{an}的通项公式．【答案】（Ⅰ）a1=；a2=．（Ⅱ）an=，n=1，2，3，…．【解析】（Ⅰ）分别取n=1，n=2，根据方程x2﹣an x﹣an=0有一根为Sn﹣1，即可求得a1，a2；（Ⅱ）由题设（Sn ﹣1）2﹣an（Sn﹣1）﹣an=0，即Sn2﹣2Sn+1﹣anSn=0，当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，代入上式得S n﹣1S n﹣2S n+1=0，通过计算猜想S n=，n=1，2，3，…．再用数学归纳法证明这个结论，进而利用当n≥2时，an =Sn﹣Sn﹣1=﹣=，n=1时，a1==，即可求得{an}的通项公式．解：（Ⅰ）当n=1时，x2﹣a1x﹣a1=0有一根为S1﹣1=a1﹣1，于是（a1﹣1）2﹣a1（a1﹣1）﹣a1=0，解得a1=．当n=2时，x2﹣a2x﹣a2=0有一根为S2﹣1=a2﹣，于是（a2﹣）2﹣a2（a2﹣）﹣a2=0，解得a2=．（Ⅱ）由题设（Sn ﹣1）2﹣an（Sn﹣1）﹣an=0，即Sn 2﹣2Sn+1﹣anSn=0．当n≥2时，an =Sn﹣Sn﹣1，代入上式得Sn﹣1S n﹣2S n+1=0 ①由（Ⅰ）知S1=a1=，S2=a1+a2=+=．由①可得S3=．由此猜想Sn=，n=1，2，3，…．下面用数学归纳法证明这个结论．（i）n=1时已知结论成立．（ii）假设n=k时结论成立，即Sk=，当n=k+1时，由①得Sk+1=，即Sk+1=，故n=k+1时结论也成立．综上，由（i）、（ii）可知Sn=对所有正整数n都成立．于是当n≥2时，an =Sn﹣Sn﹣1=﹣=，又n=1时，a1==，所以{an}的通项公式an=，n=1，2，3，…．点评：本题重点考查数学归纳法，考查数列的通项，先猜后证是关键，注意数学归纳法的证题步骤，属于中档题．10.数列{an}中，，试证：．【答案】见解析【解析】由题设知an＞0，当n=1时，；当n=2时，．假设当n=k（k∈N）时，，那么当n=k+1时，，．再用作商法比较和的大小．从而证明出，．证明：∵a1=2，，∴an＞0，∵0.5an 2﹣an+1an+1=0，由△=an+12﹣2≥0，得（舍去）或．当n=1时，；当n=2时，．假设当n=k（k∈N）时，，那么当n=k+1时，，∵，当且仅当时等号成立，，∴．面用作商法比较和的大小．∵=，∴，∴，即当n=k+1时，成立．∴对于任意n∈N，均成立．点评：本题考查数列的极限及其应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件．。

《数学归纳法与贝努利不等式》说课稿尊敬的各位评委、老师：大家好！今天我说课的题目是“数学归纳法与贝努利不等式”。

下面我将从教材分析、学情分析、教学目标、教学重难点、教法与学法、教学过程、板书设计这几个方面来展开我的说课。

一、教材分析“数学归纳法与贝努利不等式”是高中数学选修 2-2 中的重要内容。

数学归纳法是一种用于证明与正整数有关的命题的重要方法，它体现了有限与无限的辩证关系，为解决一些涉及无穷递推的问题提供了有力的工具。

贝努利不等式则是数学归纳法的一个典型应用，通过对贝努利不等式的研究和证明，可以加深学生对数学归纳法的理解和运用。

本节课在教材中的地位和作用十分重要，它不仅是对前面所学的数列、不等式等知识的综合运用和深化，也为后续学习高等数学中的极限、级数等内容奠定了基础。

二、学情分析学生在之前的学习中已经掌握了数列、不等式的基本概念和性质，具备了一定的逻辑推理能力和运算能力。

但是，对于数学归纳法这种较为抽象的证明方法，学生可能会感到难以理解和掌握。

因此，在教学过程中，需要通过具体的例子引导学生逐步体会数学归纳法的基本思想和步骤，帮助他们克服学习中的困难。

三、教学目标1、知识与技能目标（1）理解数学归纳法的原理和步骤。

（2）能够运用数学归纳法证明与正整数有关的命题。

（3）掌握贝努利不等式的内容和证明方法。

2、过程与方法目标（1）通过对数学归纳法的学习，培养学生观察、分析、归纳、推理的能力。

（2）让学生经历数学归纳法的探究过程，体会从特殊到一般、有限到无限的数学思想。

3、情感态度与价值观目标（1）激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于探索、敢于创新的精神。

（2）通过合作学习，培养学生的团队合作意识和交流能力。

四、教学重难点1、教学重点（1）数学归纳法的原理和步骤。

（2）运用数学归纳法证明贝努利不等式。

2、教学难点（1）对数学归纳法原理的理解。

（2）在证明过程中如何正确运用数学归纳法的两个步骤。

五、教法与学法1、教法（1）启发式教学法：通过设置问题，引导学生思考和探究，激发学生的学习兴趣和主动性。

3.2.1 用数学归纳法证明不等式3。

2.2 用数学归纳法证明贝努利不等式学习目标:1。

会用数学归纳法证明简单的不等式.2。

会用数学归纳法证明贝努利不等式；了解贝努利不等式的应用条件．教材整理1 用数学归纳法证明不等式在不等关系的证明中，有多种多样的方法，其中数学归纳法是最常用的方法之一，在运用数学归纳法证不等式时，推导“k＋1"成立时其他的方法如比较法、分析法、综合法、放缩法等常被灵活地运用．教材整理2 贝努利不等式1．定理1(贝努利不等式) 设x>－1，且x≠0，n为大于1的自然数，则（1＋x)n＞1＋nx。

2．定理2（选学）设α为有理数，x〉－1,（1)如果0<α〈1,则（1＋x）α≤1＋αx；（2)如果α〈0或者α〉1，则（1＋x)α≥1＋αx。

当且仅当x＝0时等号成立．事实上,当α是实数时,也是成立的．设n∈N＋,则2n与n的大小关系是( )A．2n〉n B．2n〈nC．2n＝n D．不确定[解析］2n＝（1＋1）n，根据贝努利不等式有(1＋1）n≥1＋n×1＝1＋n，上式右边舍去1，得（1＋1)n〉n，即2n〉n。

[答案] A数学归纳法证明不等式S n错误!错误!错误!n n＋S2n〉1＋错误!(n≥2，n∈N＋）．[精彩点拨] 求S n再证明比较困难，可运用数学归纳法直接证明，注意S n表示前n项的和（n〉1)，首先验证n＝2，然后证明归纳递推．［自主解答］(1)当n＝2时，S22＝1＋错误!＋错误!＋错误!＝错误!>1＋错误!,即n＝2时命题成立．（2)假设n＝k（k≥2，k∈N＋)时命题成立,即S2k＝1＋12＋错误!＋…＋错误!〉1＋错误!.当n＝k＋1时，S2k＋1＝1＋错误!＋错误!＋…＋错误!＋错误!＋…＋错误!〉1＋错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!>1＋错误!＋错误!＝1＋错误!＋错误!＝1＋错误!。

故当n＝k＋1时，命题也成立．由(1)(2）知,对n∈N＋，n≥2,S2n〉1＋错误!都成立．此题容易犯两个错误，一是由n＝k到n＝k＋1项数变化弄错，认为1的后一项为错误!，实际上应为错误!；二是错误!＋错误!＋…＋错误!共有多2k少项之和,实际上2k＋1到2k＋1是自然数递增,项数为2k＋1－(2k＋1）＋1＝2k.1．若在本例中，条件变为“设f(n）＝1＋错误!＋错误!＋…＋错误!（n∈N）,由f（1)＝1>错误!，f(3）>1,f（7)>错误!，f(15）>2,…” 。