专题02 平面解析几何初步(B卷)-2015-2016学年高一高二数学同步单元双基双测“AB”卷

数学人教B必修2第二章平面解析几何初步单元检测(时间：90分钟，满分：100分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．圆心为(1，－1)，半径为2的圆的方程是()．A．(x－1)2＋(y＋1)2＝2B．(x＋1)2＋(y－1)2＝4C．(x＋1)2＋(y－1)2＝2D．(x－1)2＋(y＋1)2＝42．已知点A(1,2)，B(－2,3)，C(4，t)在同一直线上，则t的值为()．A．12B．32C．1 D．－13．直线ax＋2y－1＝0与直线x＋(a－1)y＋2＝0平行，则a等于()．A．32B．2 C．－1 D．2或－14．在空间直角坐标系Oxyz中，点M的坐标是(1,3,5)，则其关于x轴的对称点的坐标是()．A．(－1，－3，－5) B．(－1，－3,5)C．(1，－3，－5) D．(1,3，－5)5．若方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是()．A．(－∞，－2) B．2,23⎛⎫- ⎪⎝⎭C．(－2,0) D．22,3⎛⎫- ⎪⎝⎭6．到直线2x＋y＋1＝0()．A．直线2x＋y－2＝0B．直线2x＋y＝0C．直线2x＋y＝0或直线2x＋y＋2＝0D．直线2x＋y＝0或直线2x＋2y＋1＝07．过点P(5,4)作圆C：x2＋y2－2x－2y－3＝0的切线，切点分别为A，B，四边形P ACB 的面积是()．A．5 B．10 C．15 D．208．圆22142x y⎛⎫++=⎪⎝⎭与圆(x－1)2＋(y－3)2＝m2的公切线的条数为4，则m的取值范围是()．A ．3737,44⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．0,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭C ．2222⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭D ．以上均不对9．若圆心在x O 位于y 轴左侧，且与直线x ＋2y ＝0相切，则圆O 的方程是( )．A ．(x 2＋y 2＝5B ．(x 2＋y 2＝5C ．(x －5)2＋y 2＝5D ．(x ＋5)2＋y 2＝510．已知集合A ＝{(x ，y )|y =}，B ＝{(x ，y )|y ＝x ＋m }，且A ∩B ≠，则m 的取值范围是( )．A ．－7≤m ≤B ．-m ≤C ．－7≤m ≤7D ．0≤m ≤二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上)11．P (－1,3)在直线l 上的射影为Q (1,－1)，则直线l 的方程是____________．12．圆x 2＋y 2－2x －6y ＋6＝0与圆x 2＋y 2－6x －10y ＋30＝0的公共弦所在的直线方程是______________．13．直线3ax －y －1＝0与直线2103a x y ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭垂直，则a 的值是__________． 14．过点A (1，－1)，B (－1,1)且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程是__________．15．已知圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0关于直线y ＝2x ＋b 成轴对称，则a －b 的取值范围是__________．三、解答题(本大题共2小题，共25分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16．(10分)三角形ABC 的边AC ，AB 的高所在直线方程分别为2x －3y ＋1＝0，x ＋y ＝0，顶点A (1,2)，求BC 边所在的直线方程．17．(15分)已知圆C 经过P (4，－2)，Q (－1,3)两点，且在y 轴上截得的线段长为半径小于5.求：(1)直线PQ 与圆C 的方程；(2)求过点(0,5)且与圆C 相切的直线方程．参考答案1.答案：D2.答案：C∵点A，B，C共线，∴k AB＝k BC，即3232142t--=---(-)，解得t＝1.3.答案：D由a(a－1)－2＝0得a＝2或a＝－1.经检验a＝2或a＝－1均符合题意．4.答案：C点M关于x轴对称，则x坐标不变，y，z的新坐标与原来的坐标互为相反数．5.答案：D由a2＋(2a)2－4(2a2＋a－1)＞0，解得－2＜a＜2 36.答案：C设到直线2x＋y＋1＝0的距离为5的点的坐标为(x，y)，则点(x，y)为直线2x＋y＋m＝0上的点．5=，∴|m－1|＝1，解得m＝2或m＝0，∴所求点的集合为直线2x＋y＝0或2x＋y＋2＝0.7.答案：B8.答案：C9.答案：D设圆O的方程为(x－a)2＋y2＝5(a＜0)，则O到直线x＋2y＝0的距离d===∴a＝－5.∴圆O的方程是(x＋5)2＋y2＝5.10.答案：A∵A∩B≠，∴半圆弧y与直线y＝x＋m有公共点．如图所示，当直线与半圆相切时m=，当直线过点(7,0)时，m＝－7，∴m∈[－7,．11.答案：x－2y－3＝0设直线l的斜率为k，由于PQ⊥l，所以k PQ k＝－1，所以12k=，则直线l的方程是y＋1＝12(x－1)，即x－2y－3＝0.12.答案：x＋y－6＝0两圆的方程相减得4x＋4y－24＝0，即公共弦所在的直线方程为x＋y－6＝0.13.答案：13-或1由23(1)103a a⎛⎫-+-⨯=⎪⎝⎭，得13a=-或a＝1.14.答案：(x－1)2＋(y－1)2＝4易求得AB的中点为(0,0)，斜率为－1，从而其垂直平分线为直线y＝x，根据圆的几何性质，这条直线应该过圆心，将它与直线x＋y－2＝0联立得到圆心O(1,1)，半径r＝|OA|＝2.15.答案：(－∞，1)圆方程化为(x＋1)2＋(y－2)2＝5－a，∴圆心为(－1,2)，且5－a＞0，即a＜5.又圆关于y＝2x＋b成轴对称，∴点(－1,2)在直线y＝2x＋b上，∴b＝4，∴a－b＜1.16.答案：解：AC边上的高线2x－3y＋1＝0，所以k AC＝3 2 -.所以AC的方程为y－2＝32-(x－1)，即3x＋2y－7＝0，同理可求直线AB的方程为x－y＋1＝0. 下面求直线BC的方程，由3270,0,x y x y +-=⎧⎨+=⎩得顶点C (7，－7)， 由10,2310,x y x y -+=⎧⎨-+=⎩得顶点B (－2，－1)． 所以k BC ＝23-，直线BC ：y ＋1＝23-(x ＋2)，即2x ＋3y ＋7＝0.17. 答案：解：(1)直线PQ 的方程为y －3＝3214+--×(x ＋1)，即x ＋y －2＝0，由题意圆心C 在PQ 的中垂线3241122y x --⎛⎫-=⨯- ⎪⎝⎭，即y ＝x －1上，设C (n ，n －1)，则r 2＝|CQ |2＝(n ＋1)2＋(n －4)2，由题意，有222||r n =+， ∴n 2＋12＝2n 2－6n ＋17，解得n ＝1或5，∴r 2＝13或37(舍)，∴圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝13.(2)当切线斜率存在时，设其方程为y ＝kx ＋5，=，解得32k =或23-，∴方程为3x －2y ＋10＝0或2x ＋3y －15＝0，当切线斜率不存在时，不满足题意，∴切线方程为3x －2y ＋10＝0或2x ＋3y －15＝0.。

综合测评(满分:150分;时间:120分钟)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知倾斜角为α的直线l 与直线x-2y+2=0平行,则tan α的值为( ) A.-12B.12 C.2D.-22.圆x 2+y 2-2x+2y=0的周长是( ) A.2√2πB.2πC.√2πD.4π3.已知m,n 是两条不同直线,α,β是两个不同平面,则下列命题正确的是( ) A.若α,β垂直于同一平面,则α与β平行 B.若m,n 平行于同一平面,则m 与n 平行C.若α,β不平行···,则在α内不存在···与β平行的直线D.若m,n 不平行···,则m 与n 不可能···垂直于同一平面4.一个球的表面积是16π,那么这个球的体积为( ) A.163π B.323π C.16π D.24π5.圆C 1:(x+2)2+(y-2)2=1与圆C 2:(x-2)2+(y-5)2=16的位置关系是( ) A.外离 B.相交 C.内切D.外切6.已知直线l 1:x+ay-1=0与l 2:(2a+1)x+ay+1=0垂直,则a 的值是( ) A.0或1B.1或14 C.1D.-17.若直线l 1:ax+2y-8=0与直线l 2:x+(a+1)y+4=0平行,则a 的值为( ) A.1 B.1或2C.-2D.1或-28.某一棱锥的三视图如图所示,则其侧面积为( )A.8+4√13B.20C.12√2+4√13D.8+12√29.三棱锥P-ABC中,D,E分别为PB,PC的中点,记三棱锥D-ABE的体积为V1,P-ABC的体积为V2,则V1V2=( )A.13 B.12C.14D.110.与圆C:x2+(y+5)2=3相切,且纵截距和横截距相等的直线共有( )A.2条B.3条C.4条D.6条11.过点P(1,1)的直线将圆形区域{(x,y)|x2+y2≤9}分成两部分,使得两部分的面积相差最大,则该直线的方程是( )A.x+y-2=0B.y-1=0C.x-y=0D.x+3y-4=012.若空间中n个不同的点两两距离都相等,则正整数n的取值( )A.至多等于3B.至多等于4C.等于5D.大于5二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上)13.在空间直角坐标系Oxyz中,设点M是点N(2,-3,5)关于坐标平面xOy的对称点,则线段MN的长度等于.14.与直线7x+24y=5平行,并且与直线7x+24y=5的距离等于3的直线方程是.15.现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变,但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个,则新的底面半径为.16.已知直线l:x+y-2=0和圆C:x2+y2-12x-12y+54=0,则与直线l和圆C都相切且半径最小的圆的标准方程是.三、解答题(本大题共6小题,共74分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(12分)已知直线l1:x+2y+1=0,l2:-2x+y+2=0,它们相交于点A.(1)判断直线l1和l2是否垂直,请给出理由;(2)求过点A且与直线l:3x+y+4=0平行的直线方程.318.(12分)已知圆C:x2+y2+2x-4y+3=0.若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等,且截距不为0,求此切线的方程.19.(12分)四面体ABCD及其三视图如图所示,平行于棱AD,BC的平面分别交四面体的棱AB,BD,DC,CA于点E,F,G,H.(1)求四面体ABCD的体积;(2)证明:四边形EFGH是矩形.20.(12分)如图1,四边形ABCD为矩形,PD⊥平面ABCD,AB=1,BC=PC=2.作如图2的折叠:折痕EF∥DC,其中点E,F分别在线段PD,PC上,沿EF折叠后点P落在线段AD上的点M 处,并且MF⊥CF.(1)证明:CF⊥平面MDF;(2)求三棱锥M-CDE的体积.21.(12分)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(0,3),直线l:y=2x-4.设圆C的半径为1,圆心在l上.(1)若圆心C也在直线y=x-1上,过点A作圆C的切线,求切线的方程;(2)若圆C上存在点M,使|MA|=2|MO|,求圆心C的横坐标a的取值范围.22.(14分)如图,三棱锥P-ABC中,平面PAC⊥平面ABC,∠ABC=π,点D,E在线段AC上,且2AD=DE=EC=2,PD=PC=4,点F在线段AB上,且EF∥BC.(1)证明:AB⊥平面PFE;(2)若四棱锥P-DFBC的体积为7,求线段BC的长.附加题1.(2014重庆,13,5分,★★☆)已知直线ax+y-2=0与圆心为C的圆(x-1)2+(y-a)2=4相交于A,B两点,且△ABC为等边三角形,则实数a= .2.(2015北京,17改编,★☆☆)如图,在四棱锥A-EFCB中,△AEF为等边三角形,平面AEF⊥平面EFCB,EF∥BC,∠EBC=∠FCB=60°,O为EF的中点.求证:AO⊥BE.3.(2014安徽,19,13分,★☆☆)如图,四棱锥P-ABCD的底面是边长为8的正方形,四条侧棱长均为2√17,点G,E,F,H分别是棱PB,AB,CD,PC上共面的四点,平面GEFH⊥平面ABCD,BC∥平面GEFH.(1)证明:GH∥EF;(2)若EB=2,求四边形GEFH的面积.一、选择题1.B 依题意,得tan α=12.2.A 圆的方程可化为(x-1)2+(y+1)2=2,所以圆的半径为√2,故圆的周长为2√2π.3.D 若α,β垂直于同一个平面γ,则α,β可以都过γ的同一条垂线,即α,β可以相交,故A 错;若m,n 平行于同一个平面,则m 与n 可能平行,也可能相交,还可能异面,故B 错;若α,β不平行,则α,β相交,设α∩β=l,在α内存在直线a,使a∥l,则a∥β,故C 错;从原命题的逆否命题进行判断,若m 与n 垂直于同一个平面,由线面垂直的性质定理知m∥n,故D 正确.4.B ∵S=4πR 2=16π,∴R=2, ∴V=43πR 3=323π.5.D ∵|C 1C 2|=√(2+2)2+(5-2)2=5,r 1=1,r 2=4,∴r 1+r 2=5=|C 1C 2|,∴两圆外切. 6.D 由直线l 1与l 2垂直得1×(2a+1)+a 2=0,∴a=-1.7.A 直线l 1的方程为y=-a2x+4,若a=-1,则两直线不平行,所以a≠-1.要使两直线平行,则有a 1=2a+1≠-84,由a 1=2a+1,得a=1或a=-2.当a=-2时,两直线重合,所以a=1,选A. 8.C 由三视图可知,该几何体为四棱锥.四棱锥的高为2,底面矩形的两条邻边长分别为4、6,对应的侧面斜高分别为2+32=√13、2+22=√8=2√2.所以侧面积为 2(12×4×√13+12×6×2√2)=4√13+12√2,选C.9.C 如图,设S △ABD =S 1,S △PAB =S 2,E 到平面ABD 的距离为h 1,C 到平面PAB 的距离为h 2,则S 2=2S 1,h 2=2h 1,V 1=13S 1h 1,V 2=13S 2h 2,∴V 1V 2=S 1ℎ1S 2ℎ2=14.10.C 易判断原点在圆C 外,且过原点的两条切线在坐标轴上的截距相等.若切线不过原点,设方程为x+y=a,∵圆C 的圆心坐标为(0,-5),半径为√3,∴√2=√3,∴a=-5±√6. ∴共有4条.11.A 设过点P 的直线为l,当OP⊥l 时,过点P 的弦最短,所对的劣弧最短,此时,得到的两部分的面积之差最大.易求得该直线的方程为x+y-2=0,故选A.12.B 由正四面体的定义可知n=4能满足条件.当n≥5时,可设其中三个点为A 、B 、C,由直线与平面垂直的性质及点到点的距离定义可知到A 、B 、C 三点距离相等的点必在过△ABC 的重心且与平面ABC 垂直的直线上,从而易知到A 、B 、C 的距离等于正三角形ABC 边长的点有两个,分别在平面ABC 的两侧.此时可知这两点间的距离大于正三角形的边长,从而不可能有5个点满足条件.当然也不可能有多于5个的点满足条件.故选B. 二、填空题 13.答案 10解析 由对称知识得点M(2,-3,-5), ∴|MN|=10.14.答案 7x+24y+70=0或7x+24y-80=0解析 设所求直线方程为7x+24y+c=0(c≠-5),由√22=3,解得c=70或c=-80.所以所求直线方程为7x+24y+70=0或7x+24y-80=0. 15.答案 √7解析 原两个几何体的总体积V=13×π×52×4+π×22×8=1963π.由题意知新圆锥的高为4,新圆柱的高为8,且它们的底面半径相同,可设两几何体的底面半径均为r(r>0),则13×π×r 2×4+π×r 2×8=1963π,解得r=√7.16.答案 (x-2)2+(y-2)2=2解析 圆C 的标准方程为(x-6)2+(y-6)2=18,圆心C(6,6),半径为√18=3√2.圆心C 到直线l 的距离d=√2=√2=5√2,则圆上的点到直线l 的最短距离为5√2-3√2=2√2,要使所求圆与直线l 和圆C 都相切且半径最小,则所求圆的直径2r=2√2,所以r=√2.易求得所求圆的圆心坐标为(2,2),所以所求圆的标准方程为(x-2)2+(y-2)2=2. 三、解答题17.解析 (1)直线l 1与l 2垂直.理由如下:直线l 1的斜率k 1=-12,直线l 2的斜率k 2=2, ∵k 1k 2=(-12)×2=-1,∴l 1⊥l 2.(2)由方程组{x +2y +1=0,-2x +y +2=0得{x =35,y =-45,即点A 的坐标为(35,-45), ∵直线l 3的斜率为-3,∴所求直线方程为y--45=-3(x -35),即3x+y-1=0.18.解析 ∵切线在两坐标轴上的截距相等且不为0,∴设切线方程为x+y=a(a≠0). 圆C 的方程可变形为(x+1)2+(y-2)2=2, 由题意知√2=√2,解得a=-1或a=3.∴所求切线的方程为x+y+1=0或x+y-3=0. 19.解析 (1)由该四面体的三视图可知, BD⊥DC,BD⊥AD,AD⊥DC,BD=DC=2,AD=1, ∵BD,DC 为平面BDC 内两条相交直线, ∴AD⊥平面BDC,∴四面体ABCD 的体积V=13×12×2×2×1=23. (2)证明:∵BC∥平面EFGH,平面EFGH∩平面BDC=FG,平面EFGH∩平面ABC=EH, ∴BC∥FG,BC∥EH,∴FG∥EH. 同理,EF∥AD,HG∥AD,∴EF∥HG, ∴四边形EFGH 是平行四边形. 又∵AD⊥平面BDC,BC ⊂平面BDC, ∴AD⊥BC,∴EF⊥FG, ∴四边形EFGH 是矩形.20.解析 (1)证明:∵PD⊥平面ABCD, AD ⊂平面ABCD,∴PD⊥AD. ∵四边形ABCD 是矩形,∴AD⊥DC. 又∵PD∩DC=D,∴AD⊥平面PCD. ∵CF ⊂平面PCD,∴AD⊥CF. 又∵MF⊥CF,MF∩AD=M, ∴CF⊥平面MDF.(2)由(1)知CF⊥DF,PD⊥DC, 在△PCD 中,DC 2=CF·PC, ∴CF=DC 2PC =12.在Rt△PCD 中,PD=222√3. ∵EF∥DC,∴PC PD =CFED ,∴ED=PD ·CF PC =√3×122=√34. ∴PE=ME=√3-√34=3√34, ∴S △CDE =12DC·ED=12×1×√34=√38. 易证MD⊥底面CDE.在Rt△MDE 中,MD=22=√62, ∴V M-CDE =13S △CDE ·MD=13×√38×√62=√216.21.解析 (1)由题意知,圆心C 是直线y=2x-4和y=x-1的交点,解得点C(3,2),于是切线的斜率必存在.设过A(0,3)的圆C 的切线方程为y=kx+3,由题意得,|3k -2+3|√k 2+1=1,解得k=0或k=-34,故所求切线方程为y=3或3x+4y-12=0.(2)因为圆心在直线y=2x-4上,所以圆C 的方程为(x-a)2+[y-2(a-2)]2=1. 设点M(x,y),因为|MA|=2|MO|,所以√x 2+(y -3)2=2√x 2+y 2,化简得x 2+y 2+2y-3=0,即x 2+(y+1)2=4,所以点M 在以D(0,-1)为圆心,2为半径的圆上.由题意,点M(x,y)在圆C 上,所以圆C 与圆D 有公共点,则|2-1|≤|CD|≤2+1,即1≤√a 2+(2a -3)2≤3.解得0≤a≤125. 所以点C 的横坐标a 的取值范围为[0,125].22.解析 (1)证明:由DE=EC,PD=PC 知,E 为等腰△PDC 中DC 边的中点,故PE⊥AC. 又平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC,PE ⊂平面PAC,所以PE⊥平面ABC,从而PE⊥AB.因为∠ABC=π2,EF∥BC,所以AB⊥EF.从而AB 与平面PFE 内两条相交直线PE,EF 都垂直,所以AB⊥平面PFE.11(2)设BC=x,则在直角△ABC 中,AB=22=2从而S △ABC =12AB·BC=12x √36-x 2.由EF∥BC 知,AF AB =AE AC =23,且△AFE∽△ABC,故S △AFES △ABC =(23)2=49,即S △AFE =49S △ABC .由AD=12AE,得S △AFD =12S △AFE =12×49S △ABC =29S △ABC =19x 2从而四边形DFBC 的面积S DFBC =S △ABC -S △AFD=12x √36-x 2-19x √36-x 2=718x √36-x 2.由(1)知,PE⊥平面ABC,所以PE 为四棱锥P-DFBC 的高.在直角△PEC 中,PE=22=22=2√3.V P-DFBC =13·S DFBC ·PE=13·718x √36-x 2·2√3=7,整理得x 4-36x 2+243=0,解得x 2=9或x 2=27,由于x>0,可得x=3或x=3√3,所以,BC=3或BC=3√3.附加题1.答案 4±√15解析 易知△ABC 是边长为2的等边三角形,故圆心C(1,a)到直线AB 的距离为√3,即√a 2+1=√3,解得a=4±√15.经检验均符合题意,故a=4±√15.2.证明 因为△AEF 是等边三角形,O 为EF 的中点,所以AO⊥EF.又因为平面AEF⊥平面EFCB,平面AEF∩平面EFCB=EF,所以AO⊥平面EFCB.又BE ⊂平面EFCB,所以AO⊥BE.3.解析 (1)因为BC∥平面GEFH,BC ⊂平面PBC,且平面PBC∩平面GEFH=GH,所以GH∥BC. 同理可证EF∥BC,因此GH∥EF.12 (2)如图,连接AC,BD 交于点O,BD 交EF 于点K,连接OP,GK. 因为PA=PC,O 是AC 的中点,所以PO⊥AC,同理可得PO⊥BD. 又BD∩AC=O,且AC,BD 都在底面内,所以PO⊥底面ABCD.又因为平面GEFH⊥平面ABCD,且PO ⊄平面GEFH,所以PO∥平面GEFH.因为平面PBD∩平面GEFH=GK,所以PO∥GK,所以GK⊥底面ABCD,从而GK⊥EF.所以GK 是梯形GEFH 的高.由(1)知BC∥EF,又BC∥AD,所以AD∥EF,所以EB∶AB=KB∶DB=1∶4,从而KB=14DB=12OB,即K 为OB 的中点.再由PO∥GK 得GK=12PO,即G 是PB 的中点.由(1)知GH∥BC,所以GH=12BC=4.由已知可得OB=4√2,PO=√PB 2-OB 2=√68-32=6,所以GK=3. 故四边形GEFH 的面积S=GH+EF 2·GK=4+82×3。

第二章 2.3.4一、选择题1．(2015·辽宁锦州市高一期末测试)圆x2＋y2＝1和圆x2＋y2－6y＋5＝0的位置关系是()A．外切B．内切C．外离D．内含[答案] A[解析]圆x2＋y2＝1的圆心C1(0,0)，半径r1＝1，圆x2＋y2－6y＋5＝0的圆心C2(0,3)，半径r2＝2，∴两圆心的距离|C1C2|＝(0－0)2＋(3－0)2＝3，∴|C1C2|＝r1＋r2＝3，故两圆外切．故选A．2．两圆x2＋y2＝r2，(x－3)2＋(y＋4)2＝4外切，则正实数r的值为()A．1 B．2C．3 D．4[答案] C[解析]两圆心的距离d＝5，由题意，得r＋2＝5，∴r＝3.3．(2015·甘肃天水一中高一期末测试)圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0交于A、B 两点，则AB的垂直平分线的方程是()A．x＋y＋3＝0 B．2x－y－5＝0C．3x－y－9＝0 D．4x－3y＋7＝0[答案] C[解析]圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0的圆心坐标分别为(2，－3)和(3,0)，AB 的垂直平分线必过两圆圆心，只有选项C正确．4．两圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0和C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切线有且仅有() A．1条B．2条C．3条D．4条[答案] B[解析]⊙C1圆心C1(－1，－1)，半径r1＝2，⊙C2圆心C2(2,1)，半径r2＝2，|C1C2|＝13，0<13<4，∴两圆相交．5．圆(x－2)2＋(y＋3)2＝2上与点(0，－5)距离最大的点的坐标是()A．(1，－2) B．(3，－2)C ．(2，－1)D ．(2＋2，2－3)[答案] B [解析] 验证法：所求的点应在圆心(2，－3)与点(0，－5)确定的直线x －y －5＝0上，故选B.6．动点P 与定点A (－1,0)，B (1,0)连线的斜率之积为－1，则P 点的轨迹方程为( )A ．x 2＋y 2＝1B ．x 2＋y 2＝1(x ≠±1)C ．x 2＋y 2＝1(x ≠0)D ．y ＝1－x 2[答案] B[解析] 直接法，设P (x ，y )，由k P A ＝y x ＋1，k PB ＝y x －1及题设条件y x ＋1·y x －1＝－1(x ≠±1)知选B.二、填空题7．(2015·陕西西安市一中高一期末测试)圆x 2＋y 2＋6x －7＝0和圆x 2＋y 2＋6y －27＝0的位置关系是________．[答案] 相交[解析] 圆x 2＋y 2＋6x －7＝0的圆心为O 1(－3,0)，半径r 1＝4，圆x 2＋y 2＋6y －27＝0的圆心为O 2(0，－3)，半径为r 2＝6，∴|O 1O 2|＝(－3－0)2＋(0＋3)2＝32，∴r 2－r 1<|O 1O 2|<r 1＋r 2.故两圆相交．8．两圆x 2＋y 2－6x ＝0和x 2＋y 2＝4的公共弦所在直线的方程是____________．[答案] x ＝23[解析] 两圆的方程x 2＋y 2－6x ＝0和x 2＋y 2＝4相减，得公共弦所在直线的方程为x ＝23. 三、解答题9．判断下列两圆的位置关系．(1)C 1：x 2＋y 2－2x －3＝0，C 2：x 2＋y 2－4x ＋2y ＋3＝0；(2)C 1：x 2＋y 2－2y ＝0，C 2：x 2＋y 2－23x －6＝0；(3)C 1：x 2＋y 2－4x －6y ＋9＝0，C 2：x 2＋y 2＋12x ＋6y －19＝0；(4)C 1：x 2＋y 2＋2x －2y －2＝0，C 2：x 2＋y 2－4x －6y －3＝0.[解析] (1)∵C 1：(x －1)2＋y 2＝4，C 2：(x －2)2＋(y ＋1)2＝2.∴圆C 1的圆心坐标为(1,0)，半径r 1＝2，圆C 2的圆心坐标为(2，－1)，半径r 2＝2，d＝|C1C2|＝(2－1)2＋(－1)2＝ 2.∵r1＋r2＝2＋2，r1－r2＝2－2，∴r1－r2<d<r1＋r2，两圆相交．(2)∵C1：x2＋(y－1)2＝1，C2：(x－3)2＋y2＝9，∴圆C1的圆心坐标为(0,1)，r1＝1，圆C2的圆心坐标为(3，0)，r2＝3，d＝|C1C2|＝3＋1＝2.∵r2－r1＝2，∴d＝r2－r1，两圆内切．(3)∵C1：(x－2)2＋(y－3)2＝4，C2：(x＋6)2＋(y＋3)2＝64.∴圆C1的圆心坐标为(2,3)，r1＝2，圆C2的圆心坐标为(－6，－3)，r2＝8，d＝|C1C2|＝(2＋6)2＋(3＋3)2＝10.∵r1＋r2＝10，∴d＝r1＋r2，两圆外切．(4)∵C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝4，C2：(x－2)2＋(y－3)2＝16，∴圆C1的圆心坐标为(－1,1)，r1＝2，圆C2的圆心坐标为(2,3)，r2＝4，d＝|C1C2|＝(2＋1)2＋(3－1)2＝13.∵r1＋r2＝6，r2－r1＝2，∴r2－r1<d<r1＋r2，两圆相交．10．已知圆C1：x2＋y2－2x－4y－13＝0，C2：x2＋y2－2ax－6y＋a2＋1＝0(其中a>0)相外切，且直线l：mx＋y－7＝0与C2相切．求：(1)圆C2的标准方程；(2)m的值．[解析](1)由题知C1：(x－1)2＋(y－2)2＝18，C2：(x－a)2＋(y－3)2＝8.因为C1与C2相外切，所以圆心距d＝r1＋r2，即(a－1)2＋(3－2)2＝32＋22，所以a＝8或－6(舍去)．所以圆C2的标准方程为(x－8)2＋(y－3)2＝8.(2)由(1)知圆心C2(8,3)，因为l与C2相切，所以圆心C2到直线l的距离d＝r，即|8m＋3－7|m2＋1＝22，所以m ＝1或17.一、选择题1．半径为6的圆与x 轴相切，且与圆x 2＋(y －3)2＝1内切，则此圆的方程是( )A ．(x －4)2＋(y －6)2＝6B ．(x ＋4)2＋(y －6)2＝6或(x －4)2＋(y －6)2＝6C ．(x －4)2＋(y －6)2＝36D ．(x ＋4)2＋(y －6)2＝36或(x －4)2＋(y －6)2＝36[答案] D[解析] 由题意可设圆的方程为(x －a )2＋(y －6)2＝36， 由题意，得a 2＋9＝5，∴a 2＝16，∴a ＝±4.2．过圆x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0内的点M (3,0)作一条直线l ，使它被该圆截得的线段最短，则直线l 的方程是( )A ．x ＋y －3＝0B ．x －y －3＝0C ．x ＋4y －3＝0D ．x －4y －3＝0[答案] A[解析] 圆x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0的圆心C (1，－2)，当CM ⊥l 时，l 截圆所得的弦最短，k CM ＝－2－01－3＝1，∴k l ＝－1，故所求直线l 的方程为y －0＝－(x －3)，即x ＋y －3＝0. 二、填空题3．⊙O ：x 2＋y 2＝1，⊙C ：(x －4)2＋y 2＝4，动圆P 与⊙O 和⊙C 都外切，动圆圆心P 的轨迹方程为______________________．[答案] 60x 2－4y 2－240x ＋225＝0[解析] ⊙P 与⊙O 和⊙C 都外切，设⊙P 的圆心P (x ，y )，半径为R ，则|PO |＝x 2＋y 2＝R ＋1，|PC |＝(x －4)2＋y 2＝R ＋2， ∴(x －4)2＋y 2－x 2＋y 2＝1，移项、平方化简得：60x 2－4y 2－240x ＋225＝0.4．已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝49－x 2}，B ＝{(x ，y )|y ＝x ＋m }，且A ∩B ≠∅，则m 的取值范围是________________．[答案] －7≤m ≤7 2[解析] 由A ∩B ≠∅，即直线y ＝x ＋m 与半圆y ＝49－x 2有交点，如图所示．如图可知，－7≤m ≤7 2.三、解答题5．求经过两圆x 2＋y 2－2x －3＝0与x 2＋y 2－4x ＋2y ＋3＝0的交点，且圆心在直线2x －y ＝0上的圆的方程．[解析] 解法一：由两圆方程联立求得交点A (1，－2)，B (3,0)，设圆心C (a ，b )，则由|CA |＝|CB |及C 在直线2x －y ＝0上，求出a ＝13，b ＝23. ∴所求圆的方程为3x 2＋3y 2－2x －4y －21＝0.解法二：同上求得A (1，－2)、B (3,0)，则圆心在线段AB 的中垂线y ＝－x ＋1上，又在y＝2x 上，得圆心坐标⎝⎛⎭⎫13，23.∴所求圆的方程为3x 2＋3y 2－2x －4y －21＝0.6．求⊙C 1：x 2＋y 2－2y ＝0与⊙C 2：x 2＋y 2－23x －6＝0的公切线方程．[解析] ⊙C 1：x 2＋(y －1)2＝12，圆心C 1(0,1)，半径r ＝1，⊙C 2：(x －3)2＋y 2＝32，圆心C 2(3，0)，半径R ＝3，圆心距|C 1C 2|＝2，∴|C 1C 2|＝R －r ，故两圆内切，其公切线有且仅有一条过该两圆的公共点(切点)，又由内切两圆的连心线过切点且垂直于两圆的公切线知，切点在直线C 1C 2上， ∵C 1C 2：x ＋3y －3＝0，∴切线斜率k ＝ 3.设切线方程为y ＝3x ＋b ，由圆心C 1(0,1)到切线距离d ＝1，得|－1＋b |2＝1，∴b ＝3或－1.由C 2(3，0)到切线距离d ′＝3，得|3＋b |2＝3， ∴b ＝3或－9，∴b ＝3，∴公切线方程为y ＝3x ＋3，即3x －y ＋3＝0.7．已知圆A ：x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0，若圆B 平分圆A 的周长，且圆B 的圆心在直线l ：y ＝2x 上，求满足上述条件的半径最小的圆B 的方程．[解析] 解法一：设圆B 的半径为r ，∵圆B 的圆心在直线l ：y ＝2x 上，∴圆B 的圆心可设为(t,2t )，则圆B 的方程是(x －t )2＋(y －2t )2＝r 2，即x 2＋y 2－2tx －4ty ＋5t 2－r 2＝0. ①∵圆A 的方程x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0. ②∴②－①，得两圆的公共弦方程(2＋2t )x ＋(2＋4t )y －5t 2＋r 2－2＝0. ③又∵圆B 平分圆A 的周长，∴圆A 的圆心(－1，－1)必在公共弦上，于是，将x ＝－1，y ＝－1代入方程③，并整理得：r 2＝5t 2＋6t ＋6＝5⎝⎛⎭⎫t ＋352＋215≥215，所以t ＝－35时，r min ＝215. 此时，圆B 的方程是⎝⎛⎭⎫x ＋352＋⎝⎛⎭⎫y ＋652＝215. 解法二：如图，设圆A 、圆B 的圆心分别为A 、B .则A (－1，－1)，B 在直线l ：y ＝2x 上，连接AB ，过A 作MN ⊥AB ，且MN 交圆于M 、N 两点．∴MN 为圆A 的直径．∵圆B 平分圆A ，∴只需圆B 经过M 、N 两点．∵圆A 的半径是2，设圆B 的半径为r ，∴r ＝|MB |＝|AB |2＋|AM |2＝|AB |2＋4.欲求r 的最小值，只需求|AB |的最小值．∵A 是定点，B 是l 上的动点，∴当AB ⊥l ，即MN ∥l 时，|AB |最小．于是，可求得B ⎝⎛⎭⎫－35，－65，r min ＝215， 故圆B 的方程是⎝⎛⎭⎫x ＋352＋⎝⎛⎭⎫y ＋652＝215.。

高中数学学习材料金戈铁骑整理制作第二章 解析几何初步（人教实验B 版必修2）一、选择题（本题包括12小题，每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确，每题5分，共60分）1．直线3ax －y －1＝0与直线(a －23)x ＋y ＋1＝0垂直，则a 的值是( )A ．－1或13B ． 1或13 C ．－13或－1 D ．－13或12．直线l 1：ax －y ＋b ＝0，l 2：bx －y ＋a ＝0(a ≠0，b ≠0，a ≠b )在同一坐标系中的图形大致是下列中 的( )3．已知点A (－1,1)和圆C ：(x －5)2＋(y －7)2＝4，一束光线从A 经x 轴反射到圆C 上的最短路程是( ) A ．62－2 B ．8C ．4 6D ．10 4.圆x 2＋y 2＝1与圆x 2＋y 2＝4的位置关系是( )A ．相离B ．相切C ．相交D ．内含5．已知圆C ：(x －a )2＋(y －2)2＝4(a >0)及直线l ：x －y ＋3＝0，当直线l 被圆C 截得的弦长为23时，a 的值等于( )A . 2B .2－1C ．2－ 2D .2＋16．与直线2x ＋3y －6＝0关于点(1，－1)对称的直线是( )A ．3x －2y －6＝0B ．2x ＋3y ＋7＝0C ．3x －2y －12＝0D ．2x ＋3y ＋8＝07．若直线y －2＝k (x －1)与圆x 2＋y 2＝1相切，则切线方程为( )A ．y －2＝34(1－x )B ．y －2＝34(x －1)C ．x ＝1或y －2＝34(1－x )D ．x ＝1或y －2＝34(x －1)8．若直线y =x +b 与曲线x =恰有一个公共点，则b 的取值范围是( )A.b ∈（-1，1］B.b =-C.b =±D.b ∈（-1，1］或b =- 9．过P (5,4)作圆C ：x 2＋y 2－2x －2y －3＝0的切线，切点分别为A 、B ，四边形P ACB 的面积是( )A ．5B ．10 建议用时 实际用时满分 实际得分90分钟150分C ．15D ．2010.若直线mx ＋2ny －4＝0(m 、n ∈R ，n ≠m )始终平分圆x 2＋y 2－4x －2y －4＝0的周长，则mn 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(0，－1)C ．(－∞，1)D ．(－∞，－1) 11．已知直线l ：y ＝x ＋m 与曲线y ＝21x 有两个公共点，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－2,2) B ．(－1,1) C ．[1，2) D ．(－2，2)12．过点P (－2,4)作圆O ：(x －2)2＋(y －1)2＝25的切线l ，直线m ：ax －3y ＝0与直线l 平行，则直线l 与m 的距离为( ) A ．4 B ．2 C .85 D .125二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分.请将正确的答案填到横线上）13．过点A (1，－1)，B (－1,1)且圆心在直线x ＋y－2＝0上的圆的方程是________．14．过点P (－2,0)作直线l 交圆x 2＋y 2＝1于A 、B两点，则|P A |·|PB |＝________.15．若垂直于直线2x ＋y ＝0，且与圆x 2＋y 2＝5相切的切线方程为ax ＋2y ＋c ＝0，则ac 的值 为________． 16．若直线3x ＋4y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＋4＝0没有公共点，则实数m 的取值范围是__________．三、计算题（本题共6小题，共74分.解答时应写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤，只写出最后答案的不能得分.有数值计算的题，答案中必须明确写出数值和单位）17．（本题满分12分）已知圆的方程是+－2ax + 2（a －2）y +2=0，其中a ≠1，且a ∈R .（1）求证：a 取不为1的实数时，上述圆恒过定点；（2）求与圆相切的直线方程；（3）求圆心的轨迹方程.18．（本题满分12分）一束光线l 自A (－3,3)发出，射到x 轴上，被x 轴反射后与圆C ：x 2＋y 2－4x－4y ＋7＝0有公共点．(1)求反射光线通过圆心C 时，光线l 所在直线的方程；(2)求在x 轴上，反射点M 的横坐标的取值范围．19．（本题满分12分）已知圆x2＋y2－2x－4y＋m ＝0.(1)此方程表示圆，求m的取值范围；(2)若(1)中的圆与直线x＋2y－4＝0相交于M、N两点，且OM⊥ON(O为坐标原点)，求m的值；(3)在(2)的条件下，求以MN为直径的圆的方程．20.（本题满分12分）已知圆O：x2＋y2＝1和定点A(2,1)，由圆O外一点P(a，b)向圆O引切线PQ，切点为Q，|PQ|＝|P A|成立，如图．(1)求a、b间的关系；(2)求|PQ|的最小值；(3)以P为圆心作圆，使它与圆O有公共点，试在其中求出半径最小的圆的方程．21．（本题满分13分）在空间直角坐标系中，已知A（3，0，1）和B（1，0，-3），试问：（1）在y轴上是否存在点M，满足｜MA｜＝｜MB｜？（2）在y轴上是否存在点M，使△MAB为等边三角形？若存在，试求出点M的坐标.22．（本题满分13分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C 1：(x ＋3)2＋(y －1)2＝4和圆C 2：(x －4)2＋(y －5)2＝4.(1)若直线l 过点A (4,0)，且被圆C 1截得的弦长为23，求直线l 的方程.(2)设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线l 1和l 2，它们分别与圆C 1和C 2相交，且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被C 2截得的弦长相等．试求所有满足条件的点P 的坐标．第二章解析几何初步（人教实验B版必修2）答题纸得分：一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案二、填空题13． 14． 15. 16.三、计算题17.18.19.20.21.22.第二章 解析几何初步（人教实验B 版必修2）答案一、选择题1.D 解析：由3a (a －23)＋(－1)×1＝0，得a ＝－13或a ＝1.2.C 解析：直线l 1：ax －y ＋b ＝0，斜率为a ，在y 轴上的截距为b ，设k 1＝a ，m 1＝b .直线l 2：bx －y ＋a ＝0，斜率为b ，在y 轴上的截距为a ，设k 2＝b ，m 2＝a . 由A 知：因为l 1∥l 2，k 1＝k 2>0，m 1>m 2>0，即a ＝b >0，b >a >0，矛盾． 由B 知：k 1<0<k 2，m 1>m 2>0，即a <0<b ，b >a >0，矛盾． 由C 知：k 1>k 2>0，m 2>m 1>0，即a >b >0，可以成立． 由D 知：k 1>k 2>0，m 2>0>m 1，即a >b >0，a >0>b ，矛盾．3.B 解析：点A 关于x 轴的对称点A ′(－1，－1)，A ′与圆心(5,7)的距离为10,∴ 所求的最短路程为10－2＝8.4.D 解析：圆x 2＋y 2＝1的圆心为(0,0)，半径为1，圆x 2＋y 2＝4的圆心为(0,0)，半径为2，则圆心距0<2－1＝1，所以两圆内含．5.B 解析：圆心(a ,2)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离d ＝23122a a -++=，依题意212a ⎛+⎫ ⎪⎝⎭2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2322＝4，解得a ＝2－1.6.D 解析：∵ 所求直线平行于直线2x ＋3y －6＝0，∴ 设所求直线方程为2x ＋3y ＋c ＝0，由|2－3＋c |22＋32＝|2－3－6|22＋32，∴ c ＝8，或c ＝－6(舍去)，∴ 所求直线方程为2x ＋3y ＋8＝0. 7.B 解析：数形结合答案容易错选D ，但要注意直线的表达式是点斜式，说明直线的斜率存在，它与直线过点(1,2)要有所区分．8.D 解析：由x =知，曲线表示如图所示的半圆，让直线y =x +b 在图形中平行移动，可知，当－1＜b ≤1时直线与半圆有一个公共点；当直线与半圆相切时，也与半圆只有一个公共点，此时=1，求得b =（舍去）或b =－.故选D .9.B 解析：∵ 圆C 的圆心为(1,1)，半径为5，∴ |PC |＝5，∴ |P A |＝|PB |＝25，∴ S ＝12×25×5×2＝10.10.C 解析：圆x 2＋y 2－4x －2y －4＝0可化为(x －2)2＋(y －1)2＝9，直线mx ＋2ny －4＝0始终平分圆周，即直线过圆心(2,1)，所以2m ＋2n －4＝0，即m ＋n ＝2，mn ＝m (2－m )＝－m 2＋2m ＝－(m －1)2＋1≤1，当m ＝1时等号成立，此时n ＝1，与“m ≠n ”矛盾，所以mn ＜1. 11.C 解析： 曲线y ＝21x -表示单位圆的上半部分，画出直线l 与曲线在同一坐标系中的图象，可观察出仅当直线l 在过点(－1,0)与点(0,1)的直线与圆的上切线之间时，直线l 与曲线有两个交点． 当直线l 过点(－1,0)时，m ＝1；当直线l 为圆的上切线时，m ＝2(注：m ＝－2时，直线l 为下切线)．12.A 解析：∵ 点P 在圆上，∴ 切线l 的斜率k ＝－1k OP ＝－11－42＋2＝43.∴ 直线l 的方程为y －4＝43(x ＋2)，即4x －3y ＋20＝0.又直线m 与l 平行，∴ 直线m的方程为4x －3y ＝0. 故两平行直线的距离为d ＝4.二、填空题13.(x －1)2＋(y －1)2＝4 解析：易求得AB 的中点为(0,0)，斜率为－1，从而其垂直平分线为直线y ＝x ，根据圆的几何性质，这条直线应该过圆心，将它与直线x ＋y －2＝0联立得到圆心O (1,1)，半径r ＝|OA |＝2.14.3 解析：过P 作圆的切线PC ，切点为C ，在Rt △POC 中，易求|PC |＝3，由切割线定理，|P A |·|PB |＝|PC |2＝3.15.±5 解析：已知直线斜率k 1＝－2，直线ax ＋2y ＋c ＝0的斜率为－2a .∵ 两直线垂直，∴ (－2)·2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝－1，得a ＝－1.圆心到切线的距离为5，即|c |5＝5，∴c ＝±5，故ac ＝±5.16.(－∞，0)∪(10，＋∞) 解析：将圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＋4＝0化为标准方程，得(x －1)2＋(y ＋2)2＝1，圆心为(1，－2)，半径为1.若直线与圆无公共点，即圆心到直线的距离大于半径，即d ＝55m -＞1，∴ m ＜0或m ＞10. 三、计算题 17．（1）证明：将方程+－2ax +2（a －2）y +2=0整理得 +－4y +2－a （2x －2y ）=0，令解得∴ 定点为（1，1）.即a 取不为1的实数时，圆恒过定点（1，1）.（2）解：易得已知圆的圆心坐标为（a ，2－a ），半径为|a －1|. 设所求切线方程为y =kx +b ，即kx －y +b =0，则圆心到直线的距离应等于圆的半径，即=|a -1|恒成立.整理得2（1+）－4（1+）a +2（1+）=+2（b －2）（k +1）a +恒成立. 比较系数可得解得k =1，b =0.所以所求的切线方程是y =x .（3）解：圆心坐标为（a ，2-a ），又设圆心坐标为（x ，y ），则有 消去参数得x +y =2，即所求的圆心的轨迹方程为x +y =2.18．解：圆C 的方程可化为(x －2)2＋(y －2)2＝1.(1)圆心C 关于x 轴的对称点为C ′(2，－2)，过点A ，C ′的直线的方程x ＋y ＝0即为光线l 所在直线的方程．(2)A 关于x 轴的对称点为A ′(－3，－3)， 设过点A ′的直线为y ＋3＝k (x ＋3)．当该直线与圆C 相切时，有222331k k k -+-+＝1，解得k ＝43或k ＝34，所以过点A ′的圆C 的两条切线分别为y ＋3＝43(x ＋3)，y ＋3＝34(x ＋3)．令y ＝0，得x 1＝－34，x 2＝1，所以在x 轴上反射点M 的横坐标的取值范围是[－34，1]．19.解：(1)方程x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0，可化为(x －1)2＋(y －2)2＝5－m ， ∵ 此方程表示圆，∴ 5－m ＞0，即m ＜5.(2) 22240,240,x y x y m x y ⎧+--+=⎨+-=⎩消去x 得(4－2y )2＋y 2－2×(4－2y )－4y ＋m ＝0，化简得5y 2－16y ＋m ＋8＝0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则121216,58,5y y m y y ⎧+=⎪⎪⎨+⎪+=⎪⎩①② 由OM ⊥ON 得y 1y 2＋x 1x 2＝0即y 1y 2＋(4－2y 1)(4－2y 2)＝0，∴16－8(y 1＋y 2)＋5y 1y 2＝0.将①②两式代入上式得16－8×165＋5×85m +＝0，解之得m ＝85.(3)由m ＝85，代入5y 2－16y ＋m ＋8＝0，化简整理得25y 2－80y ＋48＝0，解得y 1＝125，y 2＝45.∴ x 1＝4－2y 1＝－45，x 2＝4－2y 2＝125.∴ M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，125，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫125，45， ∴ MN 的中点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫45，85. 又|MN |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫125＋452＋⎝ ⎛⎭⎪⎫45－1252＝855，∴ 所求圆的半径为455. ∴ 所求圆的方程为45x ⎛⎫- ⎪⎝⎭2＋85y ⎛⎫- ⎪⎝⎭2＝165.○1 20.解：(1)连接OP ，则△OQP 为直角三角形，又|PQ |＝|P A |，所以|OP |2＝|OQ |2＋|PQ |2＝1＋|P A |2，所以a 2＋b 2＝1＋(a －2)2＋(b －1)2，故2a ＋b －3＝0. (2)由(1)知，P 在直线l ：2x ＋y －3＝0上， 所以|PQ |min ＝|P A |min ，为A 到直线l 的距离，所以|PQ |min ＝|2×2＋1－3|22＋12＝255. (或由|PQ |2＝|OP |2－1＝a 2＋b 2－1＝a 2＋9－12a ＋4a 2－1＝5a 2－12a ＋8＝5(a －1.2)2＋0.8，得|PQ |min＝255.)(3)以P 为圆心的圆与圆O 有公共点，半径最小时为与圆O 相切的情形，而这些半径的最小值为圆O到直线l 的距离减去圆O 的半径，圆心P 为过原点与l 垂直的直线l ′与l 的交点P 0，所以r ＝322＋12－1＝355－1，又l ′：x －2y ＝0，联立l ：2x ＋y －3＝0得P 0(65，35)．所以所求圆的方程为(x －65)2＋(y －35)2＝(355－1)2.21．解：（1）假设在y 轴上存在点M ，满足｜MA ｜＝｜MB ｜.因为点M 在y 轴上，可设M （0，y ，0）， 由｜MA ｜＝｜MB ｜，可得=， 显然，此式对任意y ∈R 恒成立.这就是说y 轴上的所有点都满足｜MA ｜＝｜MB ｜. （2）假设在y 轴上存在点M ，使△MAB 为等边三角形. 由（1）可知，y 轴上的所有点都满足｜MA ｜＝｜MB ｜， 所以只要｜MA ｜＝｜AB ｜就可以使得△MAB 是等边三角形. 因为｜MA ｜=，|AB |==，于是=，解得y =±，故在y 轴上存在点M 使△MAB 为等边三角形，点M 的坐标为（0，，0），或（0，－，0）.22．解：(1)由于直线x ＝4与圆C 1不相交，所以直线l 的斜率存在．设直线l 的方程为y ＝k (x －4)，圆C 1的圆心到直线l 的距离为d ，因为圆C 1被直线l 截得的弦长为23，所以d ＝1.由点到直线的距离公式得k (24k ＋7)＝0，即k ＝0或k ＝－724，所以直线l 的方程为y ＝0或7x ＋24y －28＝0.(2)设点P (a ，b )满足条件，不妨设直线l 1的方程为y －b ＝k (x －a )，k ≠0，则直线l 2的方程为y －b ＝－1k(x －a )．因为圆C 1和C 2的半径相等，且圆C 1被直线l 1截得的弦长与圆C 2被直线l 2截得的弦长相等，所以圆C 1的圆心到直线l 1的距离和圆C 2的圆心到直线l 2的距离相等，即 ()2215413111a b k a b k k k+------=++， 整理得|1＋3k ＋ak －b |＝|5k ＋4－a －bk |，从而1＋3k ＋ak －b ＝5k ＋4－a －bk 或1＋3k ＋ak －b ＝ －5k －4＋a ＋bk ，即(a ＋b －2)k ＝b －a ＋3或(a －b ＋8)k ＝a ＋b －5，因为k 的取值有无穷多个，所以 20,30,a b b a +-=⎧⎨-+=⎩或80,50,a b a b -+=⎧⎨+-=⎩解得5,21,2a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或3,213.2a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 这样点P 只可能是点P 1⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－12或点P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，132. 经检验点P 1和P 2满足题目条件．。

单元测评(二) 平面解析几何初步(时间：90分钟 满分：120分) 第Ⅰ卷(选择题，共50分)一、选择题：本大题共10小题，共50分．1．若A (3，－2)，B (－9,4)，C (x,0)三点共线，则x 的值为 A ．1 B ．－1 C ．0D ．7解析：由题设知0－－2x －3＝4－－2－9－3，解得x ＝－1.答案：B2．直线y ＝x ＋1与圆x 2＋y 2＝1的位置关系是 A ．相切 B ．相交但直线不过圆心 C ．直线过圆心D ．相离 解析：圆心(0,0)到直线y ＝x ＋1的距离d ＝12＝22＜1，∴直线与圆相交，圆心不在y ＝x ＋1上．答案：B3．已知两条直线y ＝ax －2与y ＝(a ＋2)x ＋1互相垂直，则a 等于 A ．－2 B ．－1 C ．1D ．2解析：由两直线垂直的判定得a (a ＋2)＋1＝0， ∴a ＝－1. 答案：B4．不论m 为何实数，直线(m －1)x －y ＋2m ＋1＝0恒过定点 A ．(－2,3) B ．(2，－3) C ．(1,0)D ．(0，－2)解析：直线(m －1)x －y ＋2m ＋1＝0可化为m (x ＋2)－(x ＋y －1)＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝0，x ＋y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3，所以直线过定点(－2,3)．答案：A5．已知直线l 1：(k －3)x ＋(4－k )y ＋1＝0与l 2：2(k －3)x －2y ＋3＝0平行，则k 的值是 A ．1或3 B ．1或5 C ．3或5 D ．1或2解析：由题意知2(k －3)(4－k )＋2(k －3)＝0，即(k －3)·(5－k )＝0，∴k ＝3或k ＝5. 答案：C6．直线l 过点P (1,3)且与x ，y 轴的正半轴所围成的三角形面积等于6，则l 的方程是 A ．3x ＋y －6＝0 B ．x ＋3y －10＝0 C ．3x －y ＝0D ．x －3y ＋8＝0解析：设直线l 的方程为x a ＋yb ＝1(a ＞0，b ＞0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧12ab ＝6，1a ＋3b＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝6.所以所求直线的方程为x 2＋y6＝1，即3x ＋y －6＝0.答案：A7．经过点A (2，－1)且与直线x ＋y ＝1相切，圆心在直线y ＝－2x 上的圆的方程为 A ．(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝2 B ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝2 C ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝2 D ．(x －1)2＋(y －2)2＝2解析：由题意知，过A (2，－1)且与直线x ＋y ＝1垂直的直线方程为y ＝x －3.因为圆心在直线y ＝－2x 上，所以⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ，y ＝x －3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2，即圆心C (1，－2)，且半径r ＝|AC |＝2－12＋－1＋22＝ 2.所以所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝2. 答案：B8．已知点A (－1,0)，B (0,2)，点P 是圆(x －1)2＋y 2＝1上任意一点，则△PAB 面积的最大值是 A ．2 B.4＋52 C.52D.2＋52解析：AB 所在直线方程为－x ＋y2＝1，即2x －y ＋2＝0.|AB |＝－1－02＋0－22＝5，圆心(1,0)到直线AB 的距离d ＝45，点P 到直线AB 的最大距离为d ′＝d ＋1＝45＋1.∴△PAB 面积的最大值是12×5×⎝ ⎛⎭⎪⎫45＋1＝4＋52.答案：B9．已知圆C：x2＋y2－4x＝0，l是过点P(3,0)的直线，则A．l与C相交B．l与C相切C．l与C相离D．以上三个选项均有可能解析：因为32＋02－4×3＝－3＜0，所以点P在圆内，故直线l必与圆相交．答案：A10．过点P(1,1)的直线，将圆形区域{(x，y)|x2＋y2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为A．x＋y－2＝0 B．y－1＝0C．x－y＝0 D．x＋3y－4＝0解析：要使面积差最大，则PO⊥l.故k l＝－1，即l的方程为y－1＝－(x－1)，即l的方程为x＋y－2＝0，应选A.答案：A第Ⅱ卷(非选择题，共70分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．11．在空间直角坐标系中，已知M(2,0,0)，N(0,2,10)，若在z轴上有一点D，满足|MD|＝|ND|，则点D的坐标为__________．解析：设D(0,0，z)，由|MD|＝|ND|得22＋02＋z2＝02＋22＋(10－z)2，∴z＝5，则D(0,0,5)．答案：(0,0,5)12．已知A(2,2)、B(－5,1)、C(3，－5)，则△ABC的外心的坐标为__________．解析：|AB|＝|AC|＝50，|BC|＝10.∵|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，∴△ABC为直角三角形，且∠A为直角．所以其外心为BC的中点(－1，－2)．答案：(－1，－2)13．经过点P(3,2)，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是__________．解析：截距相等，应注意分截距为0和不为0两种情况讨论．答案：2x－3y＝0或x＋y－5＝014．设点P(x，y)在圆x2＋(y－1)2＝1上，则x－22＋y2的最小值是__________．解析：圆心M(0,1)到点Q(2,0)的距离为d＝0－22＋1－02＝5，圆的半径r＝1，所以圆上的点P(x，y)到Q(2,0)距离的最小值为5－1，即x－22＋y2的最小值为5－1.答案：5－1三、解答题：本大题共4小题，满分50分．15．(12分)已知两条直线l1：ax＋by＋4＝0，l2：(a－1)x＋y＋b＝0，若l1⊥l2，且l1过点(－1,1)，求a，b的值．解：∵l1过点(－1,1)，∴a－b－4＝0.(4分)又∵l 1⊥l 2，∴a (a －1)＋b ＝0.(8分)由⎩⎪⎨⎪⎧a －b －4＝0，a 2－a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－6.(12分)16．(12分)圆C 与直线l 1：x －6y －10＝0相切于点P (4，－1)，且圆心在直线l 2：5x －3y ＝0上，求圆C 的方程．解：设所求圆的圆心为C (a ，b )，由于所求圆与直线l 1：x －6y －10＝0切于点P (4，－1)，可设圆心所在直线方程为6x ＋y ＋c ＝0.(2分)将P (4，－1)代入方程得c ＝－23，即圆心所在直线方程为6x ＋y －23＝0， 则满足6a ＋b －23＝0.①又圆心C 在直线l 2：5x －3y ＝0上， 则5a －3b ＝0.②联立①②解得a ＝3，b ＝5，即圆心C (3,5)． (10分)圆半径r ＝|PC |＝4－32＋－1－52＝37，所以所求圆C 的方程为(x －3)2＋(y －5)2＝37.(12分)17．(12分)已知点A (1,4)，B (6,2)，试问在直线x －3y ＋3＝0上是否存在点C ，使△ABC 的面积等于14？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，说明理由．解：|AB |＝1－62＋4－22＝29，由两点式得直线AB 的方程为y －24－2＝x －61－6，即2x ＋5y －22＝0.(2分)假设在直线x －3y ＋3＝0上存在点C ，使得△ABC 的面积等于14， 设点C 的坐标为(m ，n )，则有m －3n ＋3＝0， ①(4分) 点C 到直线AB 的距离为d ＝|2m ＋5n －22|29.由于△ABC 的面积等于14，则12|AB |·d ＝12·29·|2m ＋5n －22|29＝14，整理得|2m ＋5n －22|＝28，即2m ＋5n ＝50， ②(6分)或2m ＋5n ＝－6. ③(8分) 联立①②解得m ＝13511，n ＝5611.联立①③解得m ＝－3，n ＝0.(10分)综上所述，在直线x －3y ＋3＝0上存在点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫13511，5611或C (－3,0)使得△ABC 的面积等于14.(12分)18．(14分)已知m ∈R ，直线l ：mx －(m 2＋1)y ＝4m 和圆C ：x 2＋y 2－8x ＋4y ＋16＝0. (1)求直线l 斜率的取值范围；(2)直线l 能否将圆C 分割成弧长的比值为12的两段圆弧？为什么？解：(1)直线l 的方程可化为y ＝mm 2＋1x －4m m 2＋1，直线l 的斜率k ＝mm 2＋1.(2分) 因为|m |≤12(m 2＋1)，所以|k |＝|m |m 2＋1≤12，当且仅当|m |＝1时等号成立．所以斜率k 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12.(6分)(2)不能．(8分)由(1)知l 的方程为y ＝k (x －4)，其中|k |≤12.圆C 的圆心坐标为C (4，－2)，半径r ＝2. 所以圆心C 到直线l 的距离d ＝21＋k2.(10分)由|k |≤12，得d ≥45＞1，即d ＞r2.(12分)若l 与圆C 相交，则圆C 截直线l 所得的弦所对的圆心角小于2π3，所以l 不能将圆C 分割成弧长的比值为12的两段圆弧．(14分)。

第二章平面解析几何初步知识建构综合应用专题一位置关系问题两条直线的位置关系有相交、平行、重合几种，两直线垂直是相交的一种特殊情况，高考中对平行与垂直的考查是重点，多以选择及填空为主，属于容易题．而直线与圆的位置关系几乎是每年必考内容，有时结合向量，考查形式可以是选择题、填空题，也可以是解答题，属于中低档类题目．圆与圆的位置关系有外离、外切、相交、内切、内含等5种，在高考中单独考查的情况不多．应用1已知两直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，若l1∥l2，则m的值为( )．A．－1或3 B．－1C．3 D．0提示：利用两直线平行的条件求解．应用2(2011·福建泉州模拟)若直线3x＋y＋2n＝0与圆x2＋y2＝n2相切，其中n∈N n的值等于( )．＋，则A．1 B．2 C．4 D．1或2提示：利用圆心距等于半径列方程求解．应用3已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0，圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0.试讨论两圆的位置关系．提示：随着m取值的不同，也会影响两圆的位置关系，所以需要根据两圆的不同位置关系求出m的不同取值范围．专题二对称问题对称问题是高考中常见的一种题型，解析几何中有关对称问题，可分为点关于点对称；直线关于点对称；曲线关于点对称；点关于直线对称；直线关于直线对称；曲线关于直线对称．但总的来说，就是关于点对称和关于直线对称这两类问题．应用1(2010·湖南高考)若不同两点P，Q的坐标分别为(a，b)，(3－b,3－a)，则线段PQ的垂直平分线l的斜率为__________；圆(x－2)2＋(y－3)2＝1关于直线l对称的圆的方程为__________．提示：(1)l1⊥l2⇔k1k2＝－1；(2)求出圆心(2,3)关于l的对称点即可．应用2(2011·安徽安庆模拟)从点(2,3)射出的光线沿与直线x －2y ＝0平行的直线射到y 轴上，则经y 轴反射的光线所在的直线方程为__________．提示：画出示意图，注意反射光线与入射光线的斜率互为相反数，且反射光线经过点(－2,3)．专题三 用图示法解题 用图示法解题，实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，即把代数中的“数”与几何上的“形”结合起来认识问题、理解问题并解决问题的思维方法．数形结合一般包括两个方面，即以“形”助“数”，以“数”解“形”；本章中有关斜率、距离、截距、直线与圆的位置关系等很易转化为形来说明，借助于形分析和求解，往往事半功倍．应用1讨论直线y ＝x ＋b 与曲线y ＝4－x 2的交点的个数．提示：画出y ＝4－x 2的图象，注意等价变形．应用2设点P (x ，y )在圆x 2＋(y －1)2＝1上．(1)求x －2＋y 2的最小值；(2)求y ＋2x ＋1的最小值． 提示：(1)x －2＋y 2理解为动点(x ，y )到定点(2,0)的距离即可； (2)y ＋2x ＋1理解为动点(x ，y )与定点(－1，－2)连线的斜率即可．应用3若实数x ，y 满足x 2＋y 2＋8x －6y ＋16＝0，求x ＋y 的最小值． 提示：令x ＋y ＝b ，则y ＝－x ＋b ，问题即转化为求截距b 的最小值问题． 专题四 轨迹问题轨迹是满足某些特殊几何条件的点所形成的图形，在平面直角坐标系中，求动点的轨迹就是求动点的横坐标、纵坐标满足的等量关系．我们可以借助圆这个几何性质较多的图形，研究一些与之相关的轨迹方程．应用1已知圆C ：x 2＋y 2－4x ＋2y －4＝0，求长为2的弦中点的轨迹方程．提示：利用定义法，即动点的运动轨迹满足圆的定义，只需确定圆心和半径，直接写出圆的方程．应用2已知动圆P 与定圆C ：x 2＋(y ＋2)2＝1相外切，又与定直线l ：y ＝1相切，求动圆圆心P 的轨迹方程．提示：利用直接法，即若动点的运动规律满足一些简单的几何等量关系，可以直接将这个等量关系用动点的坐标表示出来，写出轨迹方程．应用3已知圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝1，过点P (1,0)作圆C 的任意弦，交圆C 于另一点Q ，求线段PQ 的中点M 的轨迹方程．提示：点M 的运动受到点Q 运动的牵制，而点Q 在圆C 上，故用“相关动点法”． 真题放送1．(2011·四川高考)圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标是( )． A ．(2,3) B ．(－2,3) C ．(－2,－3) D ．(2,－3)2．(2011·安徽高考)若直线3x ＋y ＋a ＝0过圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0的圆心，则a 的值为( )．A ．－1B ．1C ．3D ．－33．(2011·重庆高考)在圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0内，过点E (0,1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )．A ．5 2B ．10 2C ．15 2D ．20 24．(2011·大纲全国高考)设两圆C 1，C 2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C 1C 2|＝( )．A ．4B ．4 2C ．8D ．8 25．(2011·江西高考)若曲线C 1：x 2＋y 2－2x ＝0与曲线C 2：y (y －mx －m )＝0有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是( )．A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，0∪⎝⎛⎭⎪⎫0，33 C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－33∪⎝⎛⎭⎪⎫33，＋∞ 6．(2011·浙江高考)若直线x －2y ＋5＝0与直线2x ＋my －6＝0互相垂直，则实数m ＝________.7．(2011·重庆高考)过原点的直线与圆x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0相交所得弦的长为2，则该直线的方程为__________．8．(2011·湖北高考)过点(－1，－2)的直线l 被圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0截得的弦长为2，则直线l 的斜率为______．答案： 综合应用 专题一应用1：B ∵l 1∥l 2，∴1×3－m (m －2)＝0. ∴m ＝－1或3，经检验m ＝－1适合．应用2：D 圆心(0,0)到直线的距离为d ＝2n32＋1＝2n －1.由n ＝2n －1，结合选项，得n ＝1或2.应用3：解：圆C 1：x 2＋y 2－2mx ＋4y ＋m 2－5＝0可化为(x －m )2＋(y ＋2)2＝32，圆心为C 1(m ，－2)，半径为r 1＝3；圆C 2：x 2＋y 2＋2x －2my ＋m 2－3＝0可化为(x ＋1)2＋(y －m )2＝22，圆心为C 2(－1，m )，半径为r 2＝2，圆心距为d ＝m ＋2＋－2－m2＝2m 2＋6m ＋5，所以①当d ＝r 1＋r 2＝5时，此时m ＝2或m ＝－5，两圆外切； ②当d ＝r 1－r 2＝1时，此时m ＝－1或m ＝－2，两圆内切； ③由②可知，当－2＜m ＜－1时，两圆内含； ④由①可知，当m ＜－5或m ＞2时，两圆外离； ⑤当－5＜m ＜－2或－1＜m ＜2时，两圆相交． 专题二应用1：－1 x 2＋(y －1)2＝1 k PQ ＝b －－aa －－b＝1， ∴k l ＝－1.P ，Q 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，∴l 的方程为y －32＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32， 即x ＋y －3＝0.点(2,3)关于x ＋y －3＝0的对称点为(0,1)，∴圆(x －2)2＋(y －3)2＝1关于直线l 对称的圆的方程为x 2＋(y －1)2＝1. 应用2：x ＋2y －4＝0 由题意得，射出光线方程为y －3＝12(x －2)，即x －2y ＋4＝0，与y 轴交点为(0,2)， 又(2,3)关于y 轴的对称点为(－2,3)，∴反射光线所在的直线方程为y －3＝－12(x ＋2)，即x ＋2y －4＝0. 专题三应用1：解：如图所示，在坐标系内作出曲线y ＝4－x 2的图象(半圆弧)．直线l 1：y ＝x －2，直线l 2：y ＝x ＋2 2.当直线l ：y ＝x ＋b 夹在l 1与l 2之间(包括l 1，l 2)时，l 与曲线y ＝4－x 2有公共点；进一步观察交点的个数可有如下结论：(1)当b ＜－2或b ＞22时，直线y ＝x ＋b 与曲线y ＝4－x 2无公共点；(2)当－2≤b ＜2或b ＝22时，直线y ＝x ＋b 与曲线y ＝4－x 2仅有一个公共点；(3)当2≤b ＜22时，直线y ＝x ＋b 与曲线y ＝4－x 2有两个公共点． 应用2：解：(1)式子x －2＋y 2的几何意义是圆上的点与定点(2,0)的距离．因为圆心(0,1)与定点(2,0)的距离是22＋12＝5，圆的半径是1，所以x －2＋y 2的最小值是5－1.(2)解法一：令y ＋2x ＋1＝t ，则方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2＝t x ＋x 2＋y －2＝1一定有解．消去y ，整理得(1＋t 2)x 2＋2(t 2－3t )x ＋(t 2－6t ＋8)＝0有解．所以Δ＝4(t 2－3t )2－4(1＋t 2)(t 2－6t ＋8)≥0， 即6t －8≥0，解得t ≥43.故y ＋2x ＋1的最小值是43.解法二：式子y ＋2x ＋1的几何意义是点P (x ，y )与定点(－1，－2)连线的斜率．如图，当为切线l 1时，斜率最小．设y ＋2x ＋1＝k ，即kx －y ＋k －2＝0，由直线与圆相切，得|－1＋k －2|k 2＋1＝1，解得k ＝43.故y ＋2x ＋1的最小值是43.应用3：解：原方程化为(x ＋4)2＋(y －3)2＝9，设x ＋y ＝b ，则y ＝－x ＋b ，可见x ＋y 的最小值就是过圆(x ＋4)2＋(y －3)2＝9上的点作斜率为－1的平行线中，纵截距b 的最小值，此时，直线与圆相切．由点到直线的距离公式得|4－3＋b |2＝3.解得b ＝32－1或b ＝－32－1. 所以x ＋y 的最小值为－32－1.专题四应用1：解：由条件知，圆心坐标为C (2，－1)，半径r ＝3. 设所求弦中点为P (x ，y )，则|PC |2＝r 2－12＝8，|PC |＝2 2.∴P 点在以C 为圆心，半径为22的圆上．故所求轨迹方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝8.应用2：解：设点P (x ，y )，如图，故动点P 在直线y ＝1的下侧，∵圆P 与直线y ＝1相切， ∴圆P 的半径等于1－y . 又圆C 与圆P 相外切，∴|PC |＝1－y ＋1，即x 2＋y ＋2＝2－y .两边平方，整理得y ＝－18x 2.应用3：解法一：设点M 的坐标为(x ，y )，点Q 的坐标为(x 0，y 0)，∵M 是线段PQ 的中点，∴x ＝x 0＋12，y ＝y 0＋02.∴x 0＝2x －1，y 0＝2y .①∵点Q 在圆C ：(x －2)2＋y 2＝1上运动，∴点Q 的坐标满足方程(x －2)2＋y 2＝1，即(x 0－2)2＋y 20＝1.②把①代入②得(2x －1－2)2＋(2y )2＝1，整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝14.但P 是圆C 上一点，且P ，Q 不重合，∴x 0≠1，从而x ≠1＋12，即x ≠1.∴点M 的轨迹方程是⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝14(x ≠1)，即点M 的轨迹是以⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0为圆心，12为半径的圆，不包括点(1,0)． 解法二：∵点M 是弦PQ 的中点，∴CM ⊥PM .设点M 的坐标为(x ，y )，点Q 的坐标为(x 0，y 0)， 则k CM ＝y x －2，k PM ＝yx －1. 由k CM k PM ＝－1，得y x －2·yx －1＝－1.整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝14.但P 是圆C 上一点，且P ，Q 不重合， ∴x 0≠1，从而x ≠1＋12，即x ≠1.故点M 的轨迹方程是⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝14(x ≠1)．真题放送1．D 将圆化为标准方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝13，故其圆心坐标为(2，－3)．2．B 圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0化为标准方程：(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，可得圆心(－1,2)．∵直线过圆心，∴将(－1,2)代入直线3x ＋y ＋a ＝0，可得a ＝1.3．B 由(x －1)2＋(y －3)2＝10，可知圆心为M (1,3)，半径为10，过E (0,1)的最长弦为圆的直径210，最短弦为以E 为中点的弦，其长为210－ME 2＝2 5.因两条弦互相垂直，故四边形ABCD 的面积为12×210×25＝10 2.4．C 由题意可设两圆的方程均为(x －r )2＋(y －r )2＝r 2.将(4,1)代入，可得(4－r )2＋(1－r )2＝r 2， ∴r 2－10r ＋17＝0.∴此方程两根分别为两圆半径， ∴两圆心的距离|C 1C 2|＝r 1－r 22＋r 1－r 22＝2×r 1＋r 22－4r 1r 2＝2×100－4×17＝2×42＝8.5．B ∵y (y －mx －m )＝0，∴y ＝0，或y －mx －m ＝0.当y ＝0时，显然与圆x 2＋y 2－2x ＝0有两个不同的交点，要使两曲线有四个不同的交点，只需y －mx －m ＝0与圆x 2＋y 2－2x ＝0有两个不同的交点，且m ≠0.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y －mx －m ＝0，x 2＋y 2－2x ＝0消去y ，得关于x 的一元二次方程，再令Δ＞0，解得m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，0∪⎝⎛⎭⎪⎫0，33.6．1 ∵直线x －2y ＋5＝0与直线2x ＋my －6＝0互相垂直， ∴1×2＋(－2)·m ＝0，即m ＝1.7．2x －y ＝0 圆的方程可化为(x －1)2＋(y －2)2＝1，可知圆心为(1,2)，半径为1.设直线方程为y ＝kx ，则圆心到直线的距离为d ＝|k －2|1＋k 2，故有|k －2|1＋k 2＝0，解得k ＝2. 故直线方程为y ＝2x ，即2x －y ＝0.8．1或177 当直线l 的斜率不存在时，显然不符合题意．设直线的斜率为k ，则可得直线方程为y －kx ＋2－k ＝0，圆心到直线距离d ＝|3－2k |k 2＋1，又圆心到直线的垂线段，圆的半径，弦的一半构成直角三角形，所以d 2＋⎝⎛⎭⎪⎫222＝1，可求得k ＝1或k ＝177.。

第二章平面解析几何初步检测(B)(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1若直线2x+by-4=0经过点,则其斜率等于()A.-2B.2C.D.-解析：由已知得2·+b·(-3)-4=0,则b=-1,故直线方程为2x-y-4=0,斜率等于2.答案：B2已知直线ax+y+5=0与直线y=2x平行,则它们之间的距离等于()A. B. C. D.解析：因为两直线平行,所以a=-2,两直线即为:2x-y-5=0与2x-y=0,它们之间的距离为d=.答案：D3已知点A(1,2,2),B(1,-3,1),点C在yOz平面上,且点C到点A,B的距离相等,则点C的坐标可以为()A.(0,1,-1)B.(0,-1,6)C.(0,1,-6)D.(0,1,6)解析：由题意设点C的坐标为(0,y,z),则,即(y-2)2+(z-2)2=(y+3)2+(z-1)2,亦即5y+z+1=0,经检验知,只有选项C满足.答案：C4已知过点P(2,2)的直线与圆(x-1)2+y2=5相切,且与直线ax-y+1=0垂直,则a=()A.-B.1C.2D.解析：由题意知点P(2,2)在圆(x-1)2+y2=5上,设切线的斜率为k,则k·=-1,解得k=-,直线ax-y+1=0的斜率为a,其与切线垂直,所以-a=-1,解得a=2,故选C.答案：C5一个四面体的顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的主视图时,以zOx平面为投影面,则得到的主视图可以为()解析：如图,该四面体在空间直角坐标系Oxyz的图象为下图:则它在平面zOx上的投影即主视图为,故选A.答案：A6设P是圆(x-3)2+(y+1)2=4上的动点,Q是直线x=-3上的动点,则|PQ|的最小值为()A.6B.4C.3D.2解析：∵由圆(x-3)2+(y+1)2=4知,圆心的坐标为(3,-1),半径r=2,∴圆心到直线x=-3的距离d=|3-(-3)|=6.∴|PQ|min=d-r=6-2=4,故选B.答案：B7直线x+2y-5+=0被圆x2+y2-2x-4y=0截得的弦长为()A.1B.2C.4D.4解析：由圆的一般方程可化为圆的标准方程:(x-1)2+(y-2)2=5,可知圆心坐标为(1,2),半径为,圆心到直线的距离为=1,由勾股定理可得弦长一半为=2.故弦长为4.答案：C8已知点M(a,b)在圆O:x2+y2=1内,则直线ax+by=1与圆O的位置关系是()A.相切B.相交C.相离D.不确定解析：∵点M(a,b)在圆x2+y2=1内,∴点M(a,b)到圆心(0,0)的距离要小于半径,即a2+b2<1,而圆心(0,0)到直线ax+by=1的距离为d=>1,∴直线与圆相离.答案：C9垂直于直线y=x+1且与圆x2+y2=1相切于第一象限的直线方程是()A.x+y-=0B.x+y+1=0C.x+y-1=0D.x+y+=0解析：由于所求切线垂直于直线y=x+1,可设所求切线方程为x+y+m=0.由圆心到切线的距离等于半径得=1,解得m=±.由于与圆相切于第一象限,则m=-.答案：A10直线l:mx+(m-1)y-1=0(m为常数),圆C:(x-1)2+y2=4,则下列说法正确的是()A.当m变化时,直线l恒过定点(-1,1)B.直线l与圆C有可能无公共点C.对任意实数m,圆C上都不存在关于直线l对称的两点D.若直线l与圆C有两个不同交点M,N,则线段MN的长的最小值为2解析：直线l可化为m(x+y)-(y+1)=0,令则l过定点(1,-1),故A错;因为(1-1)2+(-1)2=1<4,所以点(1,-1)在☉C内部,因此l与☉C恒相交,故B错;当l过圆心C(1,0),即m=1时,圆心上存在关于直线l对称的两点,故C错.答案：D二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案：填在题中的横线上)11点M(2,1)到直线l:x-y-2=0的距离是.解析：由点到直线的距离公式得d=.答案：12直线l与圆x2+y2+2x-4y+1=0相交于A,B两点,若弦AB的中点(-2,3),则直线l的方程为.解析：由圆x2+y2+2x-4y+1=0整理得(x+1)2+(y-2)2=4,得到圆心的坐标为(-1,2),由题意知圆心C与弦AB中点的连线与直线l垂直,因为弦AB的中点为(-2,3),圆心C的坐标为(-1,2),所以圆心与弦AB中点连线的斜率为=-1,所以直线l的斜率为1,因为直线l过(-2,3),所以直线l的方程为y-3=x+2,即x-y+5=0.答案：x-y+5=013若圆C经过坐标原点和点(4,0),且与直线y=1相切,则圆C的方程是.解析：由题意知圆心在直线x=2上,则切点坐标为(2,1).设圆心坐标为(2,t),由题意,可得4+t2=(1-t)2,所以t=-,半径r2=.故圆C的方程为(x-2)2+.答案：(x-2)2+14直线y=2x-7被圆x2+y2-6x-8y=0所截得的弦长等于.解析：圆的圆心为(3,4),半径是5,圆心到直线的距离d=,可知弦长l=2=4.答案：415过点(3,1)作圆(x-2)2+(y-2)2=4的弦,其中最短弦的长为.解析：如图,当AB所在直线与AC垂直时弦BD最短,AC=,CB=r=2, 则BA=,故BD=2BA=2.答案：2三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16(本小题满分8分)已知在△ABC中,A(3,2),B(-1,5),点C在直线3x-y+3=0上,若△ABC的面积为10,求点C的坐标.解|AB|==5,∵S△ABC=10,∴AB边上的高为4,即点C到直线AB的距离为4.设C(a,b),∵直线AB的方程为3x+4y-17=0,∴解得∴点C的坐标为(-1,0)或.17(本小题满分8分)如图,在Rt△ABC中,已知A(-2,0),直角顶点B(0,-2),点C在x轴上.(1)求Rt△ABC外接圆的方程;(2)求过点(-4,0)且与Rt△ABC外接圆相切的直线的方程.解(1)由题意可知点C在x轴的正半轴上,可设其坐标为(a,0),因为AB⊥BC,所以k AB·k BC=-1,即=-1,解得a=4.所以所求圆的圆心为(1,0),半径为3,故所求圆的方程为(x-1)2+y2=9.(2)由题意知直线的斜率存在,故设所求直线方程为y=k(x+4),即kx-y+4k=0.当圆与直线相切时,有d==3,解得k=±,故所求直线方程为y=(x+4)或y=-(x+4),即3x-4y+12=0或3x+4y+12=0.18(本小题满分9分)已知A(4,-3),B(2,- 1)和直线l:4x+3y-2=0,求一点P,使|PA|=|PB|,且点P到直线l的距离等于2.解(方法一)设点P(x,y),因为|PA|=|PB|,所以.①又点P到直线l的距离等于2,所以=2.②由①②联立方程组,解得P(1,-4),或P.(方法二)设点P(x,y),因为|PA|=|PB|,所以点P在线段AB的垂直平分线上.由题意知k AB=-1,线段AB的中点为(3,-2),所以线段AB的垂直平分线的方程是y=x-5.设点P(x,x-5),因为点P到直线l的距离等于2,所以=2.解得x=1,或x=,所以P(1,-4),或.19(本小题满分10分)圆C与y轴切于点(0,2),与x轴正半轴交于两点M,N(点M在点N的左侧),且|MN|=3.(1)求圆C的方程;(2)过点M任作一直线与圆O:x2+y2=4相交于A,B两点,连接AN,BN,求证:k AN+k BN=0.(1)解因为圆C与y轴切于点(0,2),可设圆心坐标为(m,2)(m>0),则圆的半径为m,所以m2=4+,得m=,故所求圆的方程为+(y-2)2=;(2)证明由(1)可得M(1,0),则可设AB:x=1+ty,代入x2+y2-4=0,并整理,得(t2+1)y2+2ty-3=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),其中x1≠4,x2≠4,则因为N(4,0),所以k AN+k BN==0.20(本小题满分10分)已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=4,直线l1过定点A(1,0).(1)若l1与圆相切,求l1的方程;(2)若l1与圆相交于P,Q两点,线段PQ的中点为M,又l1与l2:x+2y+2=0的交点为N,求证:AM·AN为定值.(1)解①若直线l1的斜率不存在,即直线方程为x=1,符合题意.②若直线l1斜率存在,设直线l1为y=k(x-1),即kx-y-k=0.由题意知,圆心(3,4)到已知直线l1的距离等于半径2,即=2,解得k=.此时l1的方程为y=(x-1),即3x-4y-3=0.综上直线l1的方程是x=1或3x-4y-3=0.(2)证明直线l1与圆相交,斜率必定存在,且不为0,可设直线l1的方程为kx-y-k=0.由,得N.因为直线CM与l1垂直,由得M.所以AM·AN=|y M-0|·|y N-0|=|y M·y N|=6,为定值.。

高二数学单元测试（平面解析几何初步）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，满分70分.1、与圆22(3)(1)2x y -++=相切，且在两坐标轴上有相等截距的切线有___3___条.2、已知圆C 1：0276:07622222=--+=--+y y x C x y x 与圆相交于A ，B 两点，则线段AB 的中垂线方程为 x+y-3=0 .3、过点P(2,3)作圆C ：(x -1)2+(y -1)2=1的两条切线，切点分别为B A ,，则过C B A ,,三点的圆的方程为 240x y +-=4、如果圆2244100x y x y +---=上至少有三点到直线0ax by +=的距离为么直线0ax by +=的倾斜角的取值范围为51212ππα≤≤． 5、已知圆C 方程为：224x y +=，直线l 过点()1,2P ，且与圆C 交于A 、B两点，若||AB =l 的方程为3450x y -+=或1=x .6、圆16:22=+y x C 上两点)(),,(2,211y x B y x A ，若 34=,则=+2121y y x x 8-7、若直线1+=kx y 与圆0422=-+++my kx y x 交于M 、N 两点，并且M 、N 关于直线0=+y x 对称，则不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-≥+-0001y my kx y kx 表示的平面区域的面积是41. 8、由直线y=x +1上的一点向圆(x -3)2+y 2=1引切线，则切线长的最小值为7.9、点M （a,b ）（ab ≠0）是圆C ：x 2 + y 2 = r 2内一点，直线l 是以M 为中点的弦所在的直线，直线m 的方程是ax + by = r 2，那么直线l 与直线m 的关系是 平行 . 10、与直线20x y +-=和曲线221212540x y x y +--+=都相的切的半径最小圆的标准方程是2)2()2(22=-+-y x .11、设两直线的方程分别为0,0x y a x y b ++=++=，已知,a b 是关于x 的方程20x x c ++=的两个实数根，且11168c ≤≤，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值的差为467-.12、已知1:3:2::=c b a ，方程02=-+c bx ax 的两个根分别为x 1,x 2，则点P （x 1,x 2）在与圆222=+y x 的位置关系是 点在圆内 .13、过x 轴上一点P ，作圆C ：x 2+(y －2)2=1的切线，切点分别为A ，B ，则△ABC 面积的最大值为433. 14、设圆222(3)(5)(0)x y r r -++=>上有且仅有两个点到直线4320x y --=的距离等于1，则圆半径r 的取值范围是 （4,6） ．二、解答题：本大题共6题，15-17每小题14分，18-20每小题16分，共计90分，解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤.15、已知直线l 经过点P (－1，1)，它被两平行直线l 1：x ＋2y －1=0及l 2：x ＋2y －3=0所截得的线段M 1M 2的中点M 在直线l 3：x －y －1=0上，试求直线l 的方程．解法一：（1）当直线l 斜率不存在时，直线l 的方程是x ＝－1，与直线l 1，l 2的交点分别为M 1(－1，1)，M 2(－1，2)．线段M 1M 2的中点(－1，32)不在直线l 3上，不合． （2）当直线l 斜率存在时，设直线l 的方程为y －1＝k (x ＋1)，分别与l 1，l 2联列解得M 1(－1，1)，M 2(1－2k 1＋2k ，1＋4k 1＋2k ），线段M 1M 2的中点为M (－2k 1＋2k ，1＋3k 1＋2k），因为M 在直线l 3上，代入得，k ＝－27．代入得直线l 的方程为2x ＋7y －5＝0． 解法二：因为被两平行直线l 1，l 2所截线段M 1M 2的中点在与l 1，l 2平行且与l 1，l 2等距离的直线上，而与l 1，l 2平行且与l 1，l 2等距离的直线方程为x ＋2y －2＝0，又由已知线段M 1M 2的中点M 在直线l 3：x －y －1=0上，所以由方程组⎩⎨⎧x ＋2y －2＝0，x －y －1=0解得线段M 1M 2中点M 的坐标为(43，13)．从而直线l 经过点P (－1，1)和M (43，13)，代入两点式得直线l 的方程为2x ＋7y －5＝0．16、已知圆C 与两坐标轴都相切，圆心C 到直线y x =-.（1）求圆C 的方程.（2）若直线l 与x 轴正半轴与y 正半轴分别交于A （m,0），B(0,n)两点(2,2)m n >>，且直线l 与圆C 相切，求三角形AOB 面积的最小值．解;（1）圆C 方程为2222(1)(1)1,(1)(1)1x y x y -+-=+=或＋＋. (2)直线0l nx my mn +-=方程为，∵22:(1)(1)1l C x y -+-=直线与圆相切，1,= ∴222(),n m mn n m +-=+左边展开，整理得，22 2.mn m n =+- ∴2.2mn m n ++=∵0,0,2m n m n mn >>+≥，∴222mn mn +≥， ∴2()420,mn mn -+≥∴22,2 2.mn mn ≥+≤-或∵2,2m n >>∴22mn ≥+，∴mn ≥6+42 mn s 21= ≥3+22三角形AOB 面积的最小值为3+22 17、已知圆C 方程为：224x y +=.（Ⅰ）直线l 过点()1,2P ，且与圆C 交于A 、B 两点，若||23AB =，求直线l 的方程; （Ⅱ）过圆C 上一动点M 作平行于x 轴的直线m ，设m 与y 轴的交点为N ，若向量OQ OM ON =+u u u r u u u u r u u u r ，求动点Q 的轨迹方程.解：（Ⅰ）①当直线l 垂直于x 轴时，则此时直线方程为1=x ，l 与圆的两个交点坐标为()3,1和()3,1-，其距离为32 满足题意②若直线l 不垂直于x 轴，设其方程为()12-=-x k y ，即02=+--k y kx 设圆心到此直线的距离为d ，则24232d -=，得1=d ∴1|2|12++-=k k ，34k =， 故所求直线方程为3450x y -+= 综上所述，所求直线为3450x y -+=或1=x （Ⅱ）设点M 的坐标为()00,y x （00y ≠），Q 点坐标为()y x ,则N 点坐标是()0,0y∵OQ OM ON =+u u u r u u u u r u u u r ，∴()()00,,2x y x y = 即x x =0，20y y = 又∵42020=+y x ，∴224(0)4y x y +=≠ ∴Q 点的轨迹方程是221(0)416x y y +=≠. 18、某食品公司为了解某种新品种食品的市场需求，进行了20天的测试，人为地调控每天产品的单价P （元/件）：前10天每天单价呈直线下降趋势（第10天免费赠送品尝），后10天呈直线上升，其中4天的单价记录如下表：时间（将第x 天记为x ）x 1 10 1118 单价（元/件）P 9 0 1 8而这20天相应的销售量Q （百件/天）与x 对应的点),(Q x 在如图所示的半圆上． （Ⅰ）写出每天销售收入y （元）与时间x （天）的函数关系式)(x f y =；（Ⅱ）在这20天中哪一天销售收入最高？为使每天销售收入最高，按此次测试结果应将单价P 定为多少元为好？（结果精确到1元）解：（1）[][]*,20,11,1010,1,10N x x x x x p ∈⎩⎨⎧∈-∈-=， ()210100--=x Q ，[]*,20,1N x x ∈∈，∴()()[][]*22,20,1,1010010100100N x x x x Qp y ∈∈---==。

本章达标测评(满分:150分;时间:120分钟)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.下列命题中为真命题的是( )A.平行直线的倾斜角相等B.平行直线的斜率相等C.互相垂直的两直线的倾斜角互补D.互相垂直的两直线的斜率互为相反数2.直线√6x+√2y+1=0的倾斜角是( )A.π6 B.π3C.2π3D.5π63.若直线3x+y+a=0过圆x2+y2+2x-4y=0的圆心,则a的值为( )A.-1B.1C.3D.-34.直线x+ay-7=0与直线(4a+1)x-y+6=0互相垂直,则a的值为( )A.13 B.-13C.15D.-155.如图所示,在棱长为1的正方体中,下列各点在正方体外的是( )A.(1,0,1)B.(25,-15,15)C.(15,12,12) D.(1,12,13)6.直线l1:x+my+6=0和l2:(m-2)x+3y+2m=0互相平行,则m的值为( )A.-1或3B.3C.-1D.1或-37.已知直线l1:y=kx+b,l2:y=bx+k,则它们的图象可能为( )8.过点A(4,a)、B(5,b)的直线与直线y=x+n平行,则|AB|的值为( )A.4B.2C.√2D.不能确定9.已知点O(0,0),A(0,b),B(a,a3).若△OAB为直角三角形,则必有( )A.b=a3B.b=a3+1aC.(b-a3)(b-a3-1a )=0 D.|b-a3|+|b-a3-1a|=010.当点P在圆x2+y2=1上运动时,连接它与定点Q(3,0),线段PQ的中点M的轨迹方程是( )A.(x+3)2+y2=1B.(x-3)2+y2=1C.(2x-3)2+4y2=1D.(2x+3)2+4y2=111.已知圆C的半径为2,圆心在x轴的正半轴上,直线3x+4y+4=0与圆相切,则圆C的方程为( )A.x2+y2-2x-3=0B.x2+y2+4x=0C.x2+y2+2x-3=0D.x2+y2-4x=012.已知点M(a,b)在圆O:x2+y2=1外,则直线ax+by=1与圆O的位置关系是( )A.相切B.相交C.相离D.不确定二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上)13.圆C:x2+y2-2x-4y+4=0的圆心到直线3x+4y+4=0的距离d= .14.过点A(4,1)的圆C与直线x-y-1=0相切于点B(2,1),则圆C的方程为.15.若圆O1:x2+y2=1与圆O2:(x-3)2+y2=r2(r>0)相交,则r的范围为.16.已知圆O:x2+y2=1和点A(-2,0),若定点B(b,0)(b≠-2)和常数λ满足:对圆O上任意一点M,都有|MB|=λ|MA|,则(1)b= ;(2)λ=.三、解答题(本大题共6小题,共74分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(12分)已知点B(1,4)、C(6,2),点A在直线x-3y+3=0上,并且使△ABC的面积等于21,求点A的坐标.18.(12分)已知两条直线l1:ax-by+4=0和l2:(a-1)x+y+b=0,求满足下列条件的a、b的值.(1)l1⊥l2,且l1过点(-3,-1);(2)l1∥l2且坐标原点到这两条直线的距离相等.19.(12分)已知圆C的圆心与点P(-2,1)关于直线y=x+1对称,直线3x+4y-11=0与圆C 相交于A、B两点,且|AB|=6,求圆C的标准方程.20.(12分)在平面直角坐标系xOy中,已知圆C1:(x-4)2+(y-5)2=4和圆C2:(x+3)2+(y-1)2=4.(1)若直线l1过点A(2,0),且与圆C1相切,求直线l1的方程;(2)若直线l2过点B(4,0),且被圆C2截得的弦长为2√3,求直线l2的方程.21.(12分)如图所示,圆x2+y2=8内有一点P(-1,2),AB为过点P且倾斜角为α的弦.(1)当α=135°时,求|AB|;(2)当弦AB被点P平分时,求直线AB的方程.22.(14分)在直角坐标系xOy中,以O为圆心的圆与直线x-√3y=4相切.(1)求圆O的方程;(2)圆O与x轴相交于A、B两点,圆内的动点P(x0,y)满足|PO|2=|PA|·|PB|,求x02+y02的取值范围.附加题1.(2013山东,9,5分,★★☆)过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB的方程为( )A.2x+y-3=0B.2x-y-3=0C.4x-y-3=0D.4x+y-3=02.(2013重庆,4,5分,★★☆)设P是圆(x-3)2+(y+1)2=4上的动点,Q是直线x=-3上的动点,则|PQ|的最小值为( )A.6B.4C.3D.23.(2012重庆,3,5分,★☆☆)对任意的实数k,直线y=kx+1与圆x2+y2=2的位置关系一定是( )A.相离B.相切C.相交但直线不过圆心D.相交且直线过圆心1.A 当其中一条直线的倾斜角为90°时,B 、C 、D 均为假命题,且当两直线的斜率都存在时,互相垂直的两直线的斜率互为负倒数,进一步说明D 为假命题.故选A.2.C 整理得y=-√3x-√22,∴k=-√3,∴α=23π. 3.B 圆的方程可化为(x+1)2+(y-2)2=5, ∴圆心为(-1,2),代入直线方程得, ∴-3+2+a=0,∴a=1.4.B 由1×(4a+1)+a×(-1)=0,解得a=-13. 5.B 容易判断B 项中的点在正方体外. 6.C ∵l 1∥l 2,∴{m (m -2)=3,3×6≠2m 2,∴{m 2-2m -3=0,m ≠±3,∴m=-1. 7.C 列表如下:A B C D l 1 k<0,b>0 k>0,b<0 k>0,b>0 k<0,b>0 l 2b>0,k>0b>0,k>0b>0,k>0b<0,k<0由上表排除A 、B 、D.故选C.8.C 由题意知b -a 5-4=1,所以b-a=1,所以|AB|=√(5-4)2+(b -a )2=√2. 9.C ∵O,A,B 构成三角形,∴a≠0,则a 3≠0. 又∵△OAB 为直角三角形, ∴∠A=90°或∠B=90°. 当∠A=90°时,有b=a 3;当∠B=90°时,有b -a 30-a ·a 3-0a -0=-1,得b=a 3+1a .∴(b -a 3)(b -a 3-1a )=0,故选C.10.C 设M(x,y),则P(2x-3,2y),代入x 2+y 2=1,得(2x-3)2+4y 2=1. 11.D 设圆心为(a,0)(a>0),由22=2得a=2(a =-143舍去),则圆C 的标准方程为(x-2)2+y 2=4,化为一般方程为x 2+y 2-4x=0.12.B 因为M(a,b)在圆O:x 2+y 2=1外,所以a 2+b 2>1,而圆心O 到直线ax+by=1的距离d=22=22<1.故选B.13.答案 3解析 圆C 的圆心为(1,2). 故圆心到直线的距离d=√22=3.14.答案 (x-3)2+y 2=2解析 由已知得k AB =0,所以AB 的中垂线方程为x=3.①过点B 且垂直于直线x-y-1=0的直线方程为y-1=-(x-2),即x+y-3=0,② 联立①②,解得{x =3,y =0,所以圆心坐标为(3,0),半径r=√(4-3)2+(1-0)2=√2,所以圆C 的方程为(x-3)2+y 2=2. 15.答案 2<r<4解析 由已知得两个圆的圆心的距离为3,因为两圆相交,所以r-1<3<r+1,所以2<r<4.故r 的范围为2<r<4. 16.答案 (1)-12 (2)12解析 解法一:当M 为(-1,0)时,|MA|=1,|MB|=|b+1|,∴|b+1|=λ.① 当M 为(1,0)时,|MA|=3,|MB|=|b-1|, ∴|b -1|=3λ.②由①②消去λ得3|b+1|=|b-1|, ∴b=-12(b=-2舍去). 将b=-12代入①得λ=12.解法二:设M(x,y),它满足x 2+y 2=1. ∵|MB|=λ|MA|,∴√(x -b )2+y 2=λ√(x +2)2+y 2, 两边平方得(x-b)2+y 2=λ2[(x+2)2+y 2],展开,并把y 2=1-x 2代入,得x 2-2bx+b 2+1-x 2=λ2(x 2+4x+4+1-x 2), 即-2bx+b 2+1=4λ2x+5λ2. 故有{-2b =4λ2,b 2+1=5λ2,又λ>0,∴λ=1或λ=12. 当λ=1时,b=-2,故舍去; 当λ=12时,b=-12. 故b=-12,λ=12. 三、解答题17.解析 直线BC 的方程为y -42-4=x -16-1,即2x+5y-22=0, 设点A 的坐标为(3y-3,y),则点A 到直线BC 的距离为√29,∵△ABC 的面积为21,又|BC|=√(6-1)2+(2-4)2=√29,∴12×√29×√29=21,∴y=7011或y=-1411,∴点A 的坐标为(17711,7011)或-7511,-1411.18.解析 (1)由已知可得l 2的斜率k 2必存在,且k 2=1-a. 若k 2=0,则1-a=0,∴a=1,∴l 2的方程为y+b=0. ∵l 1⊥l 2,∴直线l 1的斜率k 1必不存在, ∴b=0.又∵l 1过点(-3,-1),∴-3a+4=0,∴a=43,与a=1矛盾,∴k 2≠0,则k 1存在, ∵k 2=1-a,k 1=ab ,l 1⊥l 2, ∴ab (1-a)=-1.① 又∵l 1过点(-3,-1), ∴-3a+b+4=0.② 由①②解得a=2,b=2. (2)∵l 2的斜率存在,l 1∥l 2, ∴直线l 1的斜率也存在, 且a b =1-a.③又∵坐标原点到这两条直线的距离相等,∴l 1、l 2在y 轴上的截距互为相反数, ∴4b =b,④由③④解得a=2,b=-2或a=23,b=2.19.解析 设圆C 的半径是R,圆心C 的坐标是(m,n).由题意得{n -1m+2=-1,n+12=m -22+1,解得{m =0,n =-1,即点C 的坐标是(0,-1). 又|AB|=6,所以 R 2=(62)2+(√32+42)2=18,故圆C 的标准方程是x 2+(y+1)2=18.20.解析 (1)若直线l 1的斜率不存在,x=2符合题意; 当直线l 1的斜率存在时,设其斜率为k, 则直线l 1的方程为y=k(x-2),即kx-y-2k=0. 由直线l 1与圆C 1相切得√2=2,解得k=2120,则y=2120(x-2),即21x-20y-42=0.综上,直线l 1的方程为x=2或21x-20y-42=0.(2)由题意知直线l 2的斜率存在,设直线l 2的方程为y=k'(x-4),即k'x-y-4k'=0, 圆心C 2到直线l 2的距离d=√22-(2√32)2=1,结合点到直线的距离公式, 得|-3k '-1-4k '|2=1,化简得24k'2+7k'=0,解得k'=0或k'=-724,所以直线l 2的方程为y=0或y=-724(x-4),即y=0或7x+24y-28=0.21.解析 (1)过点O 作OG⊥AB 于G,连接OA.当α=135°时,直线AB 的斜率为-1,故直线AB 的方程为x+y-1=0,∴|OG|=√2=√22,∴|GA|=√8-12=√152=√302,∴|AB|=2|GA|=√30. (2)连接OP.当弦AB 被P 平分时,OP⊥AB,∵k OP =-2,∴k AB =12,∴直线AB的方程为y-2=12(x+1),即x-2y+5=0.22.解析(1)由题意知圆O的半径r等于原点O到直线x-√3y=4的距离,即r=√1+3=2, ∴圆O的方程为x2+y2=4.(2)不妨设A(x1,0)、B(x2,0),x1<x2,令y=0,则x2=4,得A(-2,0)、B(2,0),由|PO|2=|PA|·|PB|得x02+y02=√(x0+2)2+y02·√(x0-2)2+y02, 整理得x02-y02=2,则x02+y02=2y02+2=2(y02+1).∵点P(x0,y)在圆O内,∴x02+y02<4,∵y02≥0,∴2(y02+1)≥2,即x02+y02≥2,故x02+y02的取值范围为2≤x02+y02<4.附加题1.A 如图,圆心坐标为C(1,0),易知A(1,1).又kAB ·kPC=-1,且kPC=1-03-1=12,∴kAB=-2.故直线AB的方程为y-1=-2(x-1),即2x+y-3=0,故选A.2.B 当PQ所在直线过圆心且垂直于直线x=-3时,|PQ|有最小值,且最小值为圆心(3,-1)到直线x=-3的距离减去半径2,即最小值为4,故选B.3.C 直线y=kx+1恒过定点(0,1),此点在圆x2+y2=2内,且直线不过圆心,故选C.。

数学新学案同步-必修2-人教B 版(鲁京辽)：第二章-平面解析几何初步-2.2.2-第2课时第2课时直线的两点式和一般式方程学习目标 1.掌握直线方程的两点式及截距式，并理解它们存在的条件.2.理解直线方程的一般式的特点与方程其它形式的区别与联系.3.会直线方程的一般式与其它形式之间相互转化，进一步掌握求直线方程的方法．知识点一直线方程的两点式思考过点(1,3)和(1,5)的直线能用两点式表示吗？为什么？过点(2,3)，(5,3)的直线呢？答案不能，因为1－1＝0，而0不能做分母．过点(2,3)，(5,3)的直线也不能用两点式表示．梳理直线方程的两点式名称已知条件示意图方程使用范围两点式P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其中x1≠x2，y1≠y2y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1斜率存在且不为0知识点二直线方程的截距式思考已知两点P1(a,0)，P2(0，b)，其中a≠0，b≠0，求通过这两点的直线方程．答案由直线方程的两点式，得y－0b－0＝x－a0－a，即x a＋yb＝1.梳理直线方程的截距式名称已知条件示意图方程使用范围知识点四直线方程五种形式的比较名称已知条件标准方程适用范围点斜式点P1(x1，y1)和斜率ky－y1＝k(x－x1)不垂直于x轴的直线斜截式斜率k和在y轴上的截距by＝kx＋b不垂直x轴的直线两点式点P1(x1，y1)和点P2(x2，y2)y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1不垂直于x，y轴的直线截距式在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为bxa＋yb＝1不垂直于x，y轴的直线，不过原点的直线一般两个独立Ax＋By＋A，B不全为零式的条件C＝01．能用两点式方程表示的直线也可用点斜式方程表示．(√)2．当A，B同时为零时，方程Ax＋By＋C＝0也可表示为一条直线．(×)3．任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化．(×)类型一直线的两点式方程例1在△ABC中，已知点A(－3,2)，B(5，－4)，C(0，－2)．(1)求BC边的方程；(2)求BC边上的中线所在直线的方程．解 (1)BC 边过点B (5，－4)，C (0，－2)， 由两点式，得y －(－4)－2－(－4)＝x －50－5，即2x ＋5y ＋10＝0，故BC 边的方程是2x ＋5y ＋10＝0(0≤x ≤5)． (2)设BC 的中点为M (a ，b )，则a ＝5＋02＝52，b ＝－4＋(－2)2＝－3，所以M ⎝⎛⎭⎪⎪⎫52，－3.又BC 边的中线过点A (－3,2)， 所以y －2－3－2＝x －(－3)52－(－3)，即10x ＋11y ＋8＝0，所以BC 边上的中线所在直线的方程是10x ＋11y＋8＝0.反思与感悟当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件，若满足，即可考虑用两点式求方程．在斜率存在的情况下，也可能先用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程．跟踪训练1已知△ABC三个顶点坐标A(2，－1)，B(2,2)，C(4,1)，求三角形三条边所在的直线方程．解∵A(2，－1)，B(2,2)，A、B两点横坐标相同，∴直线AB与x轴垂直，故其方程为x＝2.∵A(2，－1)，C(4,1)，由直线方程的两点式，可得直线AC 的方程为y －1－1－1＝x －42－4，即x －y －3＝0.同理由直线方程的两点式，得直线BC 的方程为y －21－2＝x －24－2，即x ＋2y －6＝0.类型二 直线的截距式方程例2 求过点A (5,2)，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线l 的方程．解 方法一 (1)当直线l 在坐标轴上的截距均为0时，方程为y ＝25x ，即2x －5y ＝0；(2)当直线l 在坐标轴上的截距不为0时， 可设方程为x a ＋y－a＝1，即x －y ＝a .又∵l 过点A (5,2)， ∴5－2＝a ，解得a ＝3. ∴l 的方程为x －y －3＝0.综上所述，直线l 的方程为2x －5y ＝0或x －y －3＝0.方法二 由题意知，直线的斜率一定存在． 设直线的点斜式方程为y －2＝k (x －5)， 当x ＝0时，y ＝2－5k ；当y ＝0时，x ＝5－2k . 根据题意，得2－5k ＝－⎝⎛⎭⎪⎪⎫5－2k .解得k ＝25或1.当k ＝25时，直线方程y －2＝25(x －5)，即2x －5y ＝0；当k ＝1时，直线方程为y －2＝1×(x －5)， 即x －y －3＝0.综上所述，直线l 的方程为2x －5y ＝0或x －y －3＝0. 引申探究1．若将本例中的条件“在坐标轴上的截距互为相反数”变为“在x 轴上的截距是y 轴上的截距的2倍”，其他条件不变，如何求解？ 解 (1)当直线l 在两坐标轴上的截距均为0时， 方程为y ＝25x ，即2x －5y ＝0，符合题意．(2)当直线l 在两坐标轴上的截距均不为0时，可设方程为x 2a ＋ya ＝1.又l 过点(5,2)，∴52a ＋2a ＝1， 解得a ＝92.∴直线l 的方程为x ＋2y －9＝0.2．若将本例中的条件“在两坐标轴上的截距互为相反数”变为“与两坐标轴围成的三角形的面积是92”，其他条件不变，如何求解？解 由题意，直线不过原点，且在两坐标轴上的截距都存在． 设其方程为x a ＋yb ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧5a ＋2b ＝1， ①12|a ||b |＝92， ②②可化为ab ＝±9，由⎩⎪⎨⎪⎧ 5a ＋2b ＝1，ab ＝9，解得此方程组无解； 由⎩⎪⎨⎪⎧5a ＋2b ＝1，ab ＝－9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－152，b ＝65或⎩⎨⎧a ＝3，b ＝－3.∴l 的方程为4x －25y ＋30＝0或x －y －3＝0. 反思与感悟 (1)如果问题中涉及直线与两坐标轴相交，则可考虑选用直线的截距式方程，用待定系数法确定其系数即可．(2)在选用直线的截距式方程时，必须首先考虑直线是否过原点以及是否与两坐标轴垂直． 跟踪训练2 过点A (3，－1)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有( )A ．2条B ．3条C ．4条D ．无数多条 答案 B解析 当截距都为零时满足题意要求，直线为y ＝－13x ，当截距不为零时，设直线方程为x a ＋yb ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a＋－1b ＝1，|a |＝|b |，∴⎩⎨⎧a ＝2，b ＝2或⎩⎨⎧a ＝4，b ＝－4，即直线方程为x 2＋y 2＝1或x 4＋y－4＝1，∴满足条件的直线共有3条．故选B. 类型三 直线的一般式方程例3 设直线l 的方程为(m 2－2m －3)x －(2m 2＋m －1)y ＋6－2m ＝0.(1)若直线l 在x 轴上的截距为－3，则m ＝________；(2)若直线l 的斜率为1，则m ＝________. 答案 (1)－53(2)－2解析 (1)令y ＝0，则x ＝2m －6m 2－2m －3，∴2m －6m 2－2m －3＝－3，得m ＝－53或m ＝3(舍去)．∴m ＝－53.(2)由直线l 化为斜截式方程， 得y ＝m 2－2m －32m 2＋m －1x ＋6－2m 2m 2＋m －1，则m 2－2m －32m 2＋m －1＝1， 解得m ＝－2或m ＝－1(舍去)．∴m ＝－2.反思与感悟 (1)若方程Ax ＋By ＋C ＝0表示直线，则需满足A ，B 不同时为0.(2)令x ＝0可得在y 轴上的截距．令y ＝0可得在x 轴上的截距．若确定直线斜率存在，可将一般式化为斜截式．(3)解分式方程注意验根．跟踪训练3 直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0.(1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求a 的值； (2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围． 解 (1)令x ＝0，则y ＝a －2， 令y ＝0，则x ＝a －2a ＋1.∵l 在两坐标轴上的截距相等，∴a －2＝a －2a ＋1，解得a ＝2或a ＝0.(2)由(1)知，在x 轴上的截距为a －2a ＋1，在y 轴上的截距为a －2，∴由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －2a ＋1≥0，a －2≤0，解得a ＜－1或a ＝2.∴实数a 的取值范围为{a |a ＜－1或a ＝2}.1．在直角坐标系中，直线x ＋3y －3＝0的倾斜角是( ) A ．30° B ．60° C ．150°D ．120°答案 C解析 因为直线的斜率k ＝－33，所以倾斜角为150°，故选C.2．经过点A (2,5)，B (－3,6)的直线在x 轴上的截距为( ) A ．2 B ．－3 C ．－27 D ．27答案 D解析 由两点式得直线方程为x ＋32＋3＝y －65－6，即x ＋5y －27＝0，令y ＝0，得x ＝27.3．已知ab <0，bc <0，则直线ax ＋by ＝c 通过( ) A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限 C ．第一、三、四象限 D ．第二、三、四象限 答案 C解析 由ax ＋by ＝c ，得y ＝－a b x ＋c b ，∵ab <0，bc <0，∴直线的斜率k ＝－ab >0， 直线在y 轴上的截距cb <0.由此可知，直线通过第一、三、四象限． 4．已知点A (3,2)，B (－1,4)，则经过点C (2,5)且经过线段AB 的中点的直线方程为________． 答案 2x －y ＋1＝0解析 AB 的中点坐标为(1,3)，由直线的两点式方程，可得y －35－3＝x －12－1，即2x －y ＋1＝0.5．直线l 过点(1,2)和第一、二、四象限，若直线l 的横截距与纵截距之和为6，求直线l 的方程． 解 设直线l 的横截距为a ，由题意可得纵截距为6－a ，所以直线l 的方程为xa ＋y6－a＝1.又因为点(1,2)在直线l 上，所以1a ＋26－a ＝1，解得a ＝2或3.当a ＝2时，直线的方程为2x ＋y －4＝0，直线经过第一、二、四象限；当a ＝3时，直线的方程为x ＋y －3＝0，直线经过第一、二、四象限．综上所述，所求直线的方程为2x ＋y －4＝0或x ＋y －3＝0.1．求直线的两点式方程的策略以及注意点 (1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不垂直于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程．(2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误．在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系．2．截距式方程应用的注意事项(1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式直线方程，用待定系数法确定其系数即可．(2)在选用截距式直线方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直．(3)要注意截距式直线方程的逆向应用．3．(1)直线方程的其他形式都可以化成一般形式，一般式也可以化为斜截式．一般式化斜截式的步骤①移项，By ＝－Ax －C ；②当B ≠0时，得y ＝－A B x －C B .(2)在一般式Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)中，若A ＝0，则y ＝－C B ，它表示一条与y 轴垂直的直线；若B ＝0，则x ＝－C A ，它表示一条与x 轴垂直的直线.一、选择题1．直线(2m 2－5m ＋2)x －(m 2－4)y ＋5m ＝0的倾斜角为45°，则m 的值为( )A ．－2B ．2C ．－3D ．3答案 D解析 由已知，得m 2－4≠0，且2m 2－5m ＋2m 2－4＝1，解得m ＝3.2．在x 轴和y 轴上的截距分别为－2,3的直线方程是( )A.x 3＋y －2＝1 B.x 2＋y －3＝1 C.x －2＋y 3＝1 D.x －3＋y 2＝1 答案 C3．已知直线ax ＋by －1＝0在y 轴上的截距为－1，且它的倾斜角是直线3x －y －3＝0的倾斜角的2倍，则a ，b 的值分别为( ) A.3，1 B.3，－1C ．－3，1D ．－3，－1答案 D 解析 原方程化为x 1a ＋y 1b＝1，∴1b ＝－1，∴b ＝－1.又∵ax ＋by －1＝0的斜率k ＝－a b ＝a ，且3x －y －3＝0的倾斜角为60°，∴k ＝tan 120°，∴a ＝－3，故选D.4．直线ax ＋3my ＋2a ＝0(m ≠0)过点(1，－1)，则直线的斜率k 等于( )A ．－3B ．3 C.13D ．－13答案 D解析 由点(1，－1)在直线上，可得a －3m ＋2a ＝0(m ≠0)，解得m ＝a ，故直线方程为ax ＋3ay＋2a ＝0(a ≠0)，即x ＋3y ＋2＝0，其斜率k ＝－13. 5．已知△ABC 的顶点坐标分别为A (1,2)，B (3,6)，C (5,2)，M 为AB 中点，N 为AC 中点，则中位线MN 所在直线方程为( )A ．2x ＋y －8＝0B ．2x －y ＋8＝0C ．2x ＋y －12＝0D ．2x －y －12＝0 答案 A解析 由中点坐标公式可得M (2,4)，N (3,2)，再由两点式可得直线MN 的方程为y －42－4＝x －23－2，即2x ＋y －8＝0.6．下列命题正确的是( )A ．过任意两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)的直线方程可以写成y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1B ．直线在x 轴和y 轴上的截距相等，则直线斜率为－1C．若直线的斜率为1，则直线在x轴和y轴上的截距之和为0D．若直线与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，则直线的斜率为1答案 C解析当x1＝x2或y1＝y2时，直线方程不能写成y－y1 y2－y1＝x－x1x2－x1，故A错误；当直线过原点时，在x轴和y轴上的截距相等，但斜率不一定为1，故B错误；设直线在y轴上的截距为b，则直线方程为y＝x＋b.令y＝0，得直线在x轴上的截距为x＝－b，于是b＋(－b)＝0，故C正确；若直线与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，则直线的斜率为±1，故D错误．7．利用斜二测画法，作出直线AB的直观图如图所示，若O′A′＝O′B′＝1，则直线AB在直角坐标系中的方程为()A．x＋y＝1 B．x－y＝1C．x＋y2＝1 D．x－y2＝1答案 D解析由斜二测画法可知在直角坐标系中，A(1,0)，B(0，－2)，由截距式方程可得直线方程为x－y2＝1.8．直线l1：ax－y＋b＝0，l2：bx－y＋a＝0(a≠0，b≠0，a≠b)在同一坐标系中的图形大致是()答案 C解析将l1与l2的方程化为斜截式，得y ＝ax ＋b ，y ＝bx ＋a ，根据斜率和截距的符号可得C 正确．二、填空题9．已知直线x a ＋y 6＝1与坐标轴围成的图形面积为6，则a 的值为________．答案 ±2解析 由x a ＋y 6＝1知，S ＝12|a |·6＝6， 所以a ＝±2.10．若直线(2t －3)x ＋y ＋6＝0不经过第一象限，则t 的取值范围为________．答案 ⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫32，＋∞ 解析 直线方程(2t －3)x ＋y ＋6＝0可化为y ＝(3－2t )x －6.由题意知，需满足它在y 轴上的截距不大于零，且斜率不大于零，则⎩⎨⎧－6≤03－2t ≤0，得t ≥32. 11．过点(－2,3)且在两坐标轴上截距互为相反数的直线方程为__________．答案 3x ＋2y ＝0或x －y ＋5＝0解析 ①当直线过原点时，设方程为y ＝kx ，∴k ＝－32，∴直线方程为y ＝－32x ； ②当直线不过原点时，设x a ＋y －a＝1， ∴将点(－2,3)代入，得a ＝－5，∴直线方程为x －y ＋5＝0.∴所求直线方程为3x ＋2y ＝0或x －y ＋5＝0.三、解答题12．求斜率与直线4x ＋3y ＝0相等，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线在x 轴上的截距．解 设直线方程是4x ＋3y ＋d ＝0，分别令x ＝0和y ＝0，得直线在两坐标轴上的截距分别是－d 3，－d 4，∴6＝12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪－d 3×⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪－d 4＝d 224，∴d ＝±12. ∴直线在x 轴上截距为3或－3.13．已知△ABC 的顶点A (5，－2)，B (7,3)且边AC 的中点M 在y 轴上，边BC 的中点N 在x 轴上．(1)求顶点C 的坐标；(2)求直线MN 的方程．解 (1)设M (0，m )，N (n,0)，则⎩⎨⎧ x C ＋x A ＝2x M y C ＋y A ＝2y M ，⎩⎨⎧ x C ＋x B ＝2x N y C ＋y B ＝2y N ，所以x C ＝0－5＝－5，y C ＝0－3＝－3，所以点C 的坐标为(－5，－3)．(2)因为2m ＝y C ＋y A ＝－3＋(－2)＝－5，故m ＝－52.因为2n ＝x C ＋x B ＝－5＋7＝2，故n ＝1. 所以直线MN 的方程为x 1＋y－52＝1，即5x －2y －5＝0.四、探究与拓展14．若直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y －(4m －1)＝0在x 轴上的截距等于1，则m 的值为( )A ．2B ．－12或2C ．－2或12D ．以上都错答案 B解析 由题意知，2m 2＋m －3≠0.令y ＝0，得直线在x 轴上的截距为x ＝4m －12m 2＋m －3＝1，解得m ＝2或m ＝－12.故选B. 15．已知直线l ：5ax －5y －a ＋3＝0.(1)求证：不论a 为何值，直线l 总经过第一象限；(2)为使直线不经过第二象限，求a 的取值范围．(1)证明 将直线l 的方程整理，得y －35＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －15，∴l 的斜率为a ，且过定点A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫15，35，而点A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫15，35在第一象限，故不论a 为何值，l 恒过第一象限．(2)解 如图，直线OA 的斜率为k ＝35－015－0＝3.要使l 不经过第二象限，需它在y 轴上的截距不大于零，即当x ＝0时，y ＝－a －35≤0， ∴a ≥3.即a 的取值范围为[3，＋∞)．。