人教新课标版(A)选修1-1 3.1 变化率与导数同步练习题.docx

3.1.1变化率问题与导数的概念一、选择题1．在函数变化率的定义中，自变量的增量Δx满足()A．Δx＜0B．Δx＞0C．Δx＝0 D．Δx≠0[答案] D[解析]自变量的增量Δx可正、可负，但不可为0.2．函数在某一点的导数是()A．在该点的函数的增量与自变量的增量的比B．一个函数C．一个常数，不是变数D．函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率[答案] C[解析]由导数定义可知，函数在某一点的导数，就是平均变化率的极限值．3．在x＝1附近，取Δx＝0.3，在四个函数①y＝x②y＝x2③y＝x3④y＝1x中，平均变化率最大的是()A．④B．③C．②D．①[答案] B[解析]①的平均变化率为1，②的平均变化率为2.3，③的平均变化率为3.99，④的平均变化率为－0.77.4．质点M的运动规律为s＝4t＋4t2，则质点M在t＝t0时的速度为()A．4＋4t0B．0C．8t0＋4 D．4t0＋4t20[答案] C[解析]Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)＝4Δt2＋4Δt＋8t0Δt，ΔsΔt＝4Δt＋4＋8t0，lim Δt→0ΔsΔt＝limΔt→0(4Δt＋4＋8t0)＝4＋8t0.5．函数y＝x＋1x在x＝1处的导数是()A．2 B.5 2C．1 D．0[答案] D[解析] Δy ＝(Δx ＋1)＋1Δx ＋1－1－1＝Δx ＋－Δx Δx ＋1， Δy Δx ＝1－1Δx ＋1， lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 ⎝⎛⎭⎫1－1Δx ＋1＝1－1＝0， ∴函数y ＝x ＋1x在x ＝1处的导数为0. 6．函数y ＝f (x )，当自变量x 由x 0改变到x 0＋Δx 时，Δy ＝( )A ．f (x 0＋Δx )B ．f (x 0)＋ΔxC ．f (x 0)·ΔxD ．f (x 0＋Δx )－f (x 0) [答案] D[解析] Δy 看作相对于f (x 0)的“增量”，可用f (x 0＋Δx )－f (x 0)代替．7．一个物体的运动方程是s ＝3＋t 2，则物体在t ＝2时的瞬时速度为( )A ．3B ．4C ．5D ．7 [答案] B[解析] lim Δt →0 3＋(2＋Δt )2－3－22Δt＝lim Δt →0 Δt 2＋4Δt Δt＝lim Δt →0 (Δt ＋4)＝4. 8．f (x )在x ＝x 0处可导，则lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ( ) A ．与x 0，Δx 有关B ．仅与x 0有关，而与Δx 无关C ．仅与Δx 有关，而与x 0无关D ．与x 0，Δx 均无关[答案] B[解析] 式子lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx表示的意义是求f ′(x 0)，即求f (x )在x 0处的导数，它仅与x 0有关，与Δx 无关．9．设函数f (x )在点x 0附近有定义，且有f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝a Δx ＋b (Δx )2(a ，b 为常数)，则( )A ．f ′(x )＝aB ．f ′(x )＝bC ．f ′(x 0)＝aD ．f ′(x 0)＝b [答案] C[解析]∵f′(x0)＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx＝limΔx→0aΔx＋b(Δx)2Δx＝limΔx→0(a＋bΔx)＝a.∴f′(x0)＝a.10．f(x)在x＝a处可导，则limh→0f(a＋3h)－f(a－h)2h等于()A．f′(a) B.12f′(a)C．4f′(a) D．2f′(a) [答案] D[解析]limh→0f(a＋3h)－f(a－h)2h＝limh→0f(a＋3h)－f(a)＋f(a)－f(a－h)2h＝32limh→0f(a＋3h)－f(a)3h＋12limh→0f(a)－f(a－h)h＝32f′(a)＋12f′(a)＝2f′(a)．二、填空题11．f(x0)＝0，f′(x0)＝4，则limΔx→0f(x0＋2Δx)－f(x0)Δx＝________.[答案]8[解析]limΔx→0f(x0＋2Δx)－f(x0)Δx＝2limΔx→0f(x0＋2Δx)－f(x0)2Δx＝2f′(x0)＝8.12．某物体做匀速运动，其运动方程是s＝v t＋b，则该物体在运动过程中其平均速度与任何时刻的瞬时速度关系是________．[答案]相等[解析]v0＝limΔt→0ΔsΔt＝limΔt→0s(t0＋Δt)－s(t0)Δt＝limΔt→0v(t0＋Δt)－v t0Δt＝limΔt→0v·ΔtΔt＝v.13．设x0∈(a，b)，y＝f(x)在x0处可导是y＝f(x)在(a，b)内可导的________条件．[答案]必要不充分[解析]y＝f(x)在x0∈(a，b)处可导不一定在(a，b)的所有点处可导，反之，y＝f(x)在(a，b)内可导，必然在(a，b)中的x0处可导．14．一球沿斜面自由滚下，其运动方程是S＝t2(S的单位：m，t的单位：s)，则小球在t ＝5时的瞬时速度为______．[答案] 10m/s[解析] v ＝S ′|t ＝5＝lim Δx →0S (5＋Δx )－S (5)Δxlim Δx →0 (10＋Δx )＝10(m/s)． 三、解答题15．一物体作自由落体运动，已知s ＝s (t )＝12gt 2. (1)计算t 从3秒到3.1秒、3.01秒，两段内的平均速度；(2)求t ＝3秒时的瞬时速度．[解析] (1)取一小段时间[3,3＋Δt ]，此时物体的位置改变量Δs ＝12g (3＋Δt )2－12g ·32＝12g (6＋Δt )Δt ，相应的平均速度v ＝Δs Δt ＝g 2(6＋Δt ) 当Δt ＝0.1时，即t 从3秒到3.1秒v ＝3.05g ；当Δt ＝0.01时，即t 从3秒到3.01秒v ＝3.005g .Δt 越小，v 就越接近时刻t 的速度．(2)v ＝lim Δt →0 Δs Δt＝lim Δt →0 g 2(6＋Δt )＝3g ＝29.4m/s. 16．若f ′(x )＝A ，求lim h →0f (x ＋h )－f (x －2h )h . [解析] 原式＝lim h →0 f (x ＋h )－f (x )＋f (x )－f (x －2h )h＝lim h →0 f (x ＋h )－f (x )h ＋lim h →02·f (x －2h )－f (x )－2h＝A ＋2A ＝3A .17．求函数y ＝x 在x ＝1处的导数．[解析] 解法一：(导数定义法)Δy ＝1＋Δx －1，Δy Δx ＝1＋Δx －1Δx ＝11＋Δx ＋1， 所以lim Δx →0 11＋Δx ＋1＝12， 即y ′|x ＝1＝12. 解法二：(导函数的函数值法)Δy ＝x ＋Δx －x ，Δy Δx ＝x ＋Δx －x Δx ＝1x ＋Δx ＋x. 所以y ′＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 1x ＋Δx ＋x ＝12x， 故y ′|x ＝1＝12. 18．路灯距地面8m ，一个身高1.6m 的人以84m/min 的速度在地面上从路灯在地面上的射影C 沿某直线离开路灯，(1)求身影的长度y 与人距路灯的距离x 之间的关系式；(2)求人离开路灯第10秒时身影的瞬时变化率．[解析] (1)如图所示，设人从C 点运动到B 处的路程为x m ，AB 为身影长度，AB 的长度为y m.由于CD ∥BE ，则AB AC ＝BE CD， 即y y ＋x ＝1.68，所以y ＝14x . (2)∵84m/min ＝1.4m/s ，而x ＝1.4t .∴y ＝14x ＝14×1.4t ＝720t ， t ∈[0，＋∞)．Δy ＝720(10＋Δt )－720×10＝720Δt ， ∴y ′|t ＝10＝lim Δt →0 Δy Δt ＝720即人离开路灯第10秒时身影的瞬时变化率为720.。

人教新课标版（A ）选修1-1 3.1 变化率与导数同步练习题【基础演练】题型一：变化率问题与导数概念一般地，()()1212x x x f x f x f --=△△我们称为平均变化率，如果0x →△时，()()x x f x x f limx flim000x 0x △△△△△△-+=→→存在，称此极限值为函数()x f y =在0x 处的导数，记作()0x f '，请根据以上知识解决以下1~5题。

1. 一质点运动的方程为2t 35s -=，则在一段时间[]t 1,1△+内相应的平均速度为 A. 6t 3+△ B. 6t 3+-△ C. 6t 3-△ D. 6t 3--△2. 将半径为R 的球加热，若球的半径增加△R ，则球的体积增加△y 约等于A.R R 343△πB. R R 42△πC. 2R 4πD. R R 4△π3. 已知函数1x y +=2的图象上一点（1，2）及邻近一点()y 2,x 1△△++，则xy△△等于A. 2B. 2xC. 2+△xD. 2+△2x4. 自变量0x 变到1x 时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数A. 在区间[]10x ,x 上的平均变化率B. 在0x 处的变化率C. 在1x 处的变化量D. 在区间[]10x ,x 上的导数5.若函数()x f 在a x =处的导数为A ，求()()x2x a f x a f lim 0x △△△△--+→。

题型二：导数的物理意义在物体的运动规律中，如果()t s s =，那么物体的瞬时速度()()tt s t t s l i mt s l i m v 0t 0t △△△△△△-+==→→；如果()t v v =，那么物体的加速度()()tt v t t v lim t v lim a 0t 0t △△△△△△-+==→→，请根据以上知识解决以下6~7题。

6. 若一物体运动方程如下：()()()⎪⎩⎪⎨⎧≥-+<≤+=3t 3t 3293t 02t 3s 22 求物体在1t =或3t =时的速度。

人教新课标A版选修1-1数学3.1变化率与导数同步检测A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共15题；共30分)1. （2分）若，则A .B .C .D .2. （2分）已知函数y=f(x)在区间(a,b)内可导，且则的值为（）A . f'(x0)B . 2f'(x0)C . -2f'(x0)D . 03. （2分）已知点P在曲线上,为曲线在点P处的切线的倾斜角,则取值范围（）A .B .C .D .4. （2分） (2016高二下·清流期中) 设f（x）是可导函数，且则 =（）A .B . ﹣1C . 0D . ﹣25. （2分）已知函数f(x)的导函数为f,(x)，且满足，则=（）A . -eB . eC . 1D . -16. （2分）下面说法正确的是（）A . 若不存在，则曲线在点处没有切线B . 若曲线在点处有切线，则必存在C . 若不存在，则曲线在点处的切线斜率不存在D . 若曲线在点处没有切线，则有可能存在7. （2分）若函数的图象上任意点处切线的倾斜角为，则的最小值是（）A .B .C .D .8. （2分） (2019高二下·临海月考) 函数在区间上的平均变化率等于（）A . 4B .C .D . 4x9. （2分） (2015高二下·集宁期中) 设函数y=f（x）可导，则等于（）A . f'（1）B . 3f'（1）C .D . 以上都不对10. （2分）一质点沿直线运动，如果由始点起经过t称后的位移为，那么速度为零的时刻是（）A . 0秒B . 1秒末C . 2秒末D . 1秒末和2秒末11. （2分） (2018高二上·榆林期末) 一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s与时间t之间的方程为s＝ t2 ，则t＝2时，此木块水平方向的瞬时速度为（）．A . 2B . 1D .12. （2分） (2019高一下·黑龙江月考) 已知某物体的运动方程是，则当时的瞬时速度是（）A .B .C .D .13. （2分）一个物体的运动方程为,其中的单位是米,的单位是秒,那么物体在3秒末的瞬时速度是（）A . 3米/秒B . 6米/秒C . 5米/秒D . 4米/秒14. （2分）曲线在点处的切线方程是（）A . y=7x+4B . y=7x+2C . y=x-4D . y=x-215. （2分）已知函数，则的值为（）B .C .D .二、填空题 (共10题；共10分)16. （1分）(2018·益阳模拟) 分别在曲线与直线上各取一点与，则的最小值为________．17. （1分）(2017·长宁模拟) 若数列{an}的所有项都是正数，且 + +…+ =n2+3n（n∈N*），则（）=________．18. （1分） (2017高二下·平顶山期末) 曲线y=xex+2x+1在点（0，1）处的切线方程为________．19. （1分）=________20. （1分）(2016高三上·新津期中) 对定义域内的任意实数x都有（其中△x表示自变量的改变量），则a的取值范围是________．21. （1分）在曲线y=x2+1的图象上取一点（1，2）及附近一点（1+Δx，2+Δy），则为________．22. （1分）已知f（x）= ，则的值是________．23. （1分）函数在2到之间的平均变化率为________．24. （1分）过点的函数图象的切线斜率为________.25. （1分）(2014·上海理) 设无穷等比数列{an}的公比为q，若a1= （a3+a4+…an），则q=________．参考答案一、选择题 (共15题；共30分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、二、填空题 (共10题；共10分) 16-1、17-1、18-1、19-1、20-1、21-1、22-1、23-1、24-1、25-1、。

人教新课标A版选修1-1数学3.1变化率与导数同步检测A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共15题；共30分)1. （2分）函数在处的导数的几何意义是（）A . 在点处的斜率B . 在点处的切线与轴所夹的锐角的正切值C . 曲线在点处切线的斜率D . 点与点连线的斜率2. （2分） (2017高二上·四川期中) 已知函数的图象上一点及邻近点，则（）A . 2B .C .D .3. （2分）若对任意的x有f'(x)=4x3且f(1)=-1，则此函数的解析式是（）A . f(x)=x4B . f(x)=x4+2C . f(x)=x4-2D . f(x)=x4-14. （2分） (2015高二下·集宁期中) 设函数y=f（x）可导，则等于（）A . f'（1）B . 3f'（1）C .D . 以上都不对5. （2分）(2013·浙江理) 已知函数y=f(x)在区间(a,b)内可导，且x0∈（a，b）则的值为（）A . f’(x0)B . 2 f’(x0)C . -2 f’(x0)D . 06. （2分）若，则（）A .B .C .D .7. （2分）已知函数的导函数的图象如图所示，则关于函数，下列说法正确的是（）A . 在x=1处取得最大值B . 在区间上是增函数C . 在区间上函数值均小于0D . 在x=4处取得极大值8. （2分）已知函数y=f(x)在区间(a,b)内可导，且则的值为（）A . f'(x0)B . 2f'(x0)C . -2f'(x0)D . 09. （2分）若，则（）A . -3B . -12C . -9D . -610. （2分） (2018高二下·中山月考) 函数在区间上的平均变化率为（）A .B .C .D .11. （2分） (2017高二上·定州期末) 如图，一个正六角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，直到全部露出水面为止，记时刻薄片露出水面部分的图形面积为，则导函数的图象大致为（）A .B .C .D .12. （2分） (2019高二下·哈尔滨月考) 已知一个物体的运动方程为，其中位移的单位是，时间的单位是，则物体的初速度为（）A .B .C .D .13. （2分）一个物体的运动方程为,其中s的单位是米,t的单位是秒,那么物体在3秒末的瞬时速度是（）A . 3米/秒B . 6米/秒C . 5米/秒D . 4米/秒14. （2分）已知曲线在点处的切线经过点，则的值为（）A .B . 1C . eD . 1015. （2分） (2018高二下·龙岩期中) 设是可导函数，当时，则 =（）A . 2B .C . -2D .二、填空题 (共10题；共10分)16. （1分） (2020高二上·兰州期末) 已知函数的图象在点M（1 ,f（1））处的切线方程是+2,则的值等于________17. （1分）已知数列{an}和{bn}的通项公式分别是，，其中a、b是实常数，若,，且a，b，c成等差数列，则c的值是________18. （1分）(2018·益阳模拟) 分别在曲线与直线上各取一点与，则的最小值为________．19. （1分） (2017高二上·浦东期中) 如果，则实数a的取值范围是________．20. （1分）设n∈N* ，圆的面积为Sn ，则=________ ．21. （1分） (2018高二上·榆林期末) 设是可导函数，且，则 ________．22. （1分）若函数f（x）=ex﹣ax在（1，+∞）上单调增，则实数a的最大值为________23. （1分）若函数f（x）=x2-x+1在其定义域内的一个子区间内存在极值，则实数的取值范围是________．24. （1分）函数在2到之间的平均变化率为________．25. （1分）(2012·重庆理) =________．参考答案一、选择题 (共15题；共30分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、二、填空题 (共10题；共10分) 16-1、17-1、18-1、19-1、20-1、21-1、22-1、23-1、24-1、25-1、。

3.1 变化率与导数1、已知函数32()32f x ax x =++，若'(1)4f -=, 则实数的值等于( )A.103B.133C.163D.1932、已知函数2()21f x x =-的图象上一点(1,1)及邻近一点(1,(1))x f x +∆+∆，则xy∆∆等于( ) A ．4B ．42x +∆C ．242()x +∆D ．4x3、函数()221f x x =-在区间()1,1x +∆上的平均变化率y x∆∆等于（ ）A ．4B ．42x +∆C ．242()x +∆ D ．4x4、如果函数()f x ax b =+在区间[]1,2上的平均变化率为3,则a = ( ) A ．-3 B ．2 C ．3 D ．-2 5、如果函数f(x)=ax+b 在区间[1,2]上的平均变化率为3,则a= ( ) A ．-3 B ．2 C ．3 D ．-26、设()00f x '=,则曲线()y f x =在点()()00,x f x 处的切线( ) A.不存在B.与x 轴平行或重合C.与x 轴垂直D.与x 轴斜交7、已知曲线()y f x =在点()()00,P x f x 处的切线方程为210x y ++=,则( ) A. ()00f x '= B. ()00f x '< C. ()00f x '>D. ()0f x '不确定8、若()0'3f x =-,则()()0003limh f x h f x h h→+--=( )A.3-B.12-C.9-D.6-9、设函数2()f x x x =+,则(1)(1)limf x f x+∆-=∆( )A ．-6B ．-3C ．3D ．6 10、222lim68x x x x →--+的值为( )A.0B.1C. 12- D.1311、若曲线e xy -=上点P 处的切线平行于直线210x y ++=,则点P 的坐标是__________。

第三章导数及其应用§3.1 变化率与导数3.1.1变化率问题3.1.2导数的概念课时目标 1.了解导数概念的实际背景.2.会求函数在某一点附近的平均变化率.3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数．1．函数的变化率定义实例平均变化率函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率为________________，简记作：ΔyΔx.①平均速度；②曲线割线的斜率.瞬时变化率函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是函数f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率在Δx→0时的极限，即_______________＝limx→ΔyΔx①瞬时速度：物体在某一时刻的速度；②切线斜率.2．导数的概念：一般地，函数y=f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是limx→ΔyΔx＝____________，我们称它为函数y=f(x)在x＝x0处的，记为或即f′(x0) ＝limx→ΔyΔx一、选择题1．当自变量从x0变到x1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数()A．在[x0，x1]上的平均变化率B．在x0处的变化率C．在x1处的变化率D．以上都不对2．已知函数f(x)＝2x2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx，f(1＋Δx))，则ΔyΔx等于()A．4 B．4＋2ΔxC．4＋2(Δx)2D．4x3．如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是()A．1 B．－1 C．2 D．－24．设f(x)在x＝x0处可导，则limx→f(x0－Δx)－f(x0)Δx等于()A ．－f ′(x 0)B ．f ′(－x 0)C ．f ′(x 0)D ．2f ′(x 0)5．已知f (x )＝－x 2＋10，则f (x )在x ＝32处的瞬时变化率是( )A ．3B ．－3C ．2D ．－26．一物体的运动方程是s ＝12at 2(a 为常数)，则该物体在t ＝t 0时的瞬时速度是( )A ．at 0B ．－at 0 C.12at 0 D ．2at 0题 号 1 2 3 4 5 6 答 案 二、填空题7．已知函数y ＝f (x )＝x 2＋1，在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为________． 8．过曲线y ＝2x 上两点(0,1)，(1,2)的割线的斜率为________．9．已知物体运动的速度与时间之间的关系是：v (t )＝t 2＋2t ＋2，则在时间间隔[1,1＋Δt ]内的平均加速度是________，在t ＝1时的瞬时加速度是________．三、解答题10．已知函数f (x )＝x 2－2x ，分别计算函数在区间[－3，－1]，[2,4]上的平均变化率．11．用导数的定义，求函数y ＝f (x )＝1x在x ＝1处的导数．能力提升 12．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的导数为f ′(x )，f ′(0)>0，对于任意实数x ，有f (x )≥0，则f (1)f ′(0)的最小值为________． 13．枪弹在枪筒中可以看作匀加速直线运动，如果它的加速度是a ＝5×105 m/s 2，枪弹从枪口射出时所用的时间为1.6×10－3 s ．求枪弹射出枪口时的瞬时速度．1．做直线运动的物体，它的运动规律可以用函数s ＝s (t )描述，设Δt 为时间改变量，在t 0＋Δt 这段时间内，物体的位移(即位置)改变量是Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)，那么位移改变量Δs与时间改变量Δt 的比就是这段时间内物体的平均速度v ，即v ＝Δs Δt ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt.2．由导数的定义可得求导数的一般步骤(三步法)：(1)求函数的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)；(2)求平均变化率Δy Δx ；0 Δy Δx .→0 ΔyΔx.第三章 导数及其应用 §3.1 变化率与导数 3．1.1 变化率问题 3．1.2 导数的概念答案知识梳理 1．f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 2．lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 导数 f ′(x 0) y ′|x ＝x 0lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 作业设计 1．A2．B [∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝2(1＋Δx )2－1－2×12＋1＝4Δx ＋2(Δx )2， ∴Δy Δx ＝4Δx ＋2(Δx )2Δx＝4＋2Δx .] 3．B [Δy Δx ＝f (3)－f (1)3－1＝1－32＝－1.]4．A [lim Δx →0f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx ＝lim Δx →0－f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx ＝－lim Δx →0f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx＝－f ′(x 0)．] 5．B [∵Δy Δx ＝f ⎝⎛⎭⎫32＋Δx －f ⎝⎛⎭⎫32Δx ＝－Δx －3，∴lim Δx →0Δy Δx＝－3.] 6．A [∵Δs Δt ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt ＝12a Δt ＋at 0，∴lim Δt →0 Δs Δt ＝at 0.] 7．0.41 8．1解析 由平均变化率的几何意义知k ＝2－11－0＝1.9．4＋Δt 4解析 在[1,1＋Δt ]内的平均加速度为Δv Δt ＝v (1＋Δt )－v (1)Δt＝Δt ＋4，t ＝1时的瞬时加速度是li m Δt →0 ΔvΔt ＝li m Δt →0(Δt ＋4)＝4. 10．解 函数f (x )在[－3，－1]上的平均变化率为： f (－1)－f (－3)(－1)－(－3)＝[(－1)2－2×(－1)]－[(－3)2－2×(－3)]2＝－6.函数f (x )在[2,4]上的平均变化率为： f (4)－f (2)4－2＝(42－2×4)－(22－2×2)2＝4.11．解 ∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝11＋Δx－11＝1－1＋Δx 1＋Δx ＝－Δx1＋Δx ·(1＋1＋Δx )，∴ΔyΔx ＝－11＋Δx ·(1＋1＋Δx )， ∴lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0－11＋Δx ·(1＋1＋Δx )＝－11＋0·(1＋1＋0)＝－12，∴y ′|x ＝1＝f ′(1)＝－12.12．2解析 由导数的定义，得 f ′(0) ＝lim Δx →0 f (Δx )－f (0)Δx＝lim Δx →0 a (Δx )2＋b (Δx )＋c －cΔx ＝lim Δx →0[a ·(Δx )＋b ]＝b . 又⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝b 2－4ac ≤0a >0，∴ac ≥b 24，∴c >0.∴f (1)f ′(0)＝a ＋b ＋c b ≥b ＋2ac b ≥2bb ＝2.13．解 运动方程为s ＝12at 2.因为Δs ＝12a (t 0＋Δt )2－12at 20＝at 0Δt ＋12a (Δt )2，所以Δs Δt ＝at 0＋12a Δt .所以0 Δv Δt＝li m Δt →0 ΔsΔt ＝at 0. 由题意知，a ＝5×105 m/s 2，t 0＝1.6×10－3s ， 所以at 0＝8×102＝800 (m/s)．即枪弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s.小课堂：如何培养中学生的自主学习能力？自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。

第一章第一节第课时变化率与导数【课标学习目标】．理解函数在某点的平均变化率的概念，并会求此变化率．．理解运动在某时刻的瞬时变化率(瞬时速度)，理解函数在点处的瞬时变化率，理解导数的概念和定义．会求函数在某点处的瞬时变化率(导数)．．理解导数的几何意义，并会求给出曲线在某点处的切线方程．【情景引入】你登过泰山吗？登山过程中，你会体验到“六龙过万壑”的雄奇，感受到“会当凌绝顶，一览众山小”的豪迈．当爬到“十八盘”时，你感觉怎样？是平缓的山好攀登，还是陡峭的山好攀登？陡峭程度反映了山坡高度变化的快与慢．从数学的角度，如何量化曲线的“陡峭”程度呢？提示：应用变化率可以判断曲线的“陡峭”程度．【知识探究】．已知函数＝()，那么变化率可用式子表示，我们把这个式子称为函数＝()从到的平均变化率．习惯上用Δ表示－，即Δ＝，可把Δ看作是相对于的一个“增量”，可用＋Δ代替；类似地，Δ＝.于是，平均变化率可以表示为．．一般地，如果物体的运动规律是＝()，那么物体在时刻的瞬时速度就是物体在到＋Δ这段时间内，当Δ→时平均速度的极限，即＝＝.．一般地，函数＝()在＝处的瞬时变化率是＝.我们称它为函数＝()在＝处的导数，记作或，即′()＝＝.．导数的几何意义是，即＝.．当＝时，′()是一个确定的数．这样，当变化时，′()便是的一个函数，我们称它为()的(简称)．＝()的导函数有时也记作′，即′()＝′＝.[答案]－()－()′()′＝．曲线＝()过点(，())的切线的斜率＝′()．导函数导数【例题讲解】题型一求瞬时速度【例】以初速度(>)竖直上抛的物体，秒时的高度为()＝－，求物体在时刻处的瞬时速度．【分析】先求出Δ，再用定义求当Δ→时的极限值．【解析】∵Δ＝(＋Δ)－(＋Δ)－＝(－)Δ－(Δ)，∴＝－－Δ，当Δ→时，→－.故物体在时刻的瞬时速度为－.【评析】瞬时速度即是平均速度在Δ→时的极限值，为此，要求瞬时速度，应先求出平均速度。

3．1.1 变化率问题 3.1.2 导数的概念填一填1.平均变化率(1)定义：对一般的函数y ＝f (x )来说，当自变量x 从x 1变为x 2时，函数值从f (x 1)变为f (x 2)，它的平均变化率为f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.其中自变量的变化x 2－x 1称作自变量的改变量，记作Δx ，函数值的变化f (x 2)－f (x 1)称作函数值的改变量，记作Δy .这样，函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.(2)作用：刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢． (3)ΔyΔx的几何意义是函数y ＝f (x )图象上的两点A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))所在直线的斜率． 2．瞬时变化率(1)定义：对于一般的函数y ＝f (x )，在自变量x 从x 0变到x 1的过程中，设Δx ＝x 1－x 0，Δy＝f (x 1)－f (x 0)，则函数的平均变化率是Δy Δx ＝f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx .而当Δx 趋于0时，平均变化率就趋于函数在x 0点的瞬时变化率．(2)作用：刻画函数在一点处变化的快慢． 3．导数的概念函数y ＝f (x )在x 0点的瞬时变化率是函数y ＝f (x )在x 0点的导数．用符号f ′(x 0)表示，记作：f ′(x 0)＝lim x 1→x 0 f (x 1)－f (x 0)x 1－x ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx.判一判对于函数y ＝f (x )1212Δx ＝x 2－x 1，Δy ＝f (x 2)－f (x 1)，则1．Δx 可正，可负，可为零．(×)解析：Δx 可正，可负，不为零，故错误．2．函数y ＝f (x )的平均变化率为Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝f (x 1＋Δx )－f (x 1)Δx .(√)3．函数y ＝f (x )的平均变化率为Δy Δx ＝f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＝f (x 2－Δx )－f (x 2)－Δx.(√)4．当Δx 趋于0时，ΔyΔx就趋于函数在x 1处的瞬时变化率．(√)想一想1.提示：不一定．可正，可负，可为零．2．某条公路限速70 km/h 是指的平均速度不超过70 km/h 吗？ 提示：不是，是指瞬时速度．3．求平均变化率的三步骤是什么？提示：(1)先计算函数值的改变量Δy ＝f (x 1)－f (x 0)； (2)再计算自变量的改变量Δx ＝x 1－x 0；(3)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0.4．利用导数定义求函数在某点处的导数的步骤是什么？ 提示：第一步，求函数的增加量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)；第二步，求平均变化率：Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ；第三步，求f ′(x 0)＝lim Δx →0 ΔyΔx . 思考感悟：练一练1．在平均变化率的定义中，自变量的增量Δx 满足( ) A ．Δx ＞0 B ．Δx ＜0 C ．Δx ≠0 D ．Δx ＝0 答案：C2．函数在某一点的导数是( )A ．在该点的函数值的增量与自变量的增量的比B ．一个函数C ．一个常数，不是变数D ．函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率解析：由定义得f ′(x 0)是当Δx 无限趋近于0时，ΔyΔx无限趋近的常数，故选C.答案：C3．函数f (x )＝x 从1到4的平均变化率为________．解析：4－14－1＝13.答案：134．已知曲线f (x )＝2x 2＋1在点M (x 0，y 0)处的瞬时变化率为－8，则点M 的坐标为________．解析：f ′(x )＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝lim Δx →0 2(x 0＋Δx )2＋1－2x 20－1Δx ＝4x 0＝－8，得x 0＝－2，f (－2)＝2×(－2)2＋1＝9，所以点M 坐标为(－2,9)．答案：(－2,9)知识点一平均变化率1.若函数y ＝2x 2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx ,1＋Δy )，则ΔyΔx等于( )A ．4B ．4xC ．4＋2ΔxD ．4＋2(Δx )2解析：Δy Δx ＝2(1＋Δx )2－1－1Δx ＝4＋2Δx .答案：C2．一质点的运动方程是s ＝4－2t 2，则在时间段[1,1＋Δt ]内相应的平均速度为( ) A ．2Δt ＋4 B ．－2Δt ＋4 C ．2Δt －4 D ．－2Δt －4解析：Δs Δt ＝4－2(1＋Δt )2－4＋2×12Δt ＝－4Δt －2(Δt )2Δt＝－2Δt －4.答案：D3．已知函数f (x )＝－x 2＋x 在区间[t,1]上的平均变化率为2，则t ＝________. 解析：∵Δy ＝f (1)－f (t )＝(－12＋1)－(－t 2＋t ) ＝t 2－t ， ∴Δy Δx ＝t 2－t 1－t ＝－t .又∵Δy Δx ＝2，∴t ＝－2. 答案：－24.y ＝f (x )＝3A ．2 B ．3 C ．4 D ．5解析：Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝3(2＋Δx )＋1－(3×2＋1)＝3Δx ， 则Δy Δx ＝3Δx Δx＝3， ∴当Δx 趋近于0时，ΔyΔx趋近于3.故选B.答案：B5．如果质点A 按照规律s ＝3t 2运动，则在t 0＝3时的瞬时速度为( ) A ．6 B ．18 C ．54 D ．81解析：∵s (t )＝3t 2，t 0＝3，∴Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)＝3(3＋Δt )2－3·32＝18Δt ＋3(Δt )2.∴ΔsΔt＝18＋3Δt .∴lim Δt →0 Δs Δt ＝lim Δt →0 (18＋3Δt )＝18，故选B. 答案：B6．如果某物体的运动方程是s ＝2(1－t )2(单位：m)，则在t ＝1.2 s 时的瞬时速度是( ) A ．4 m/s B ．－4 m/s C ．4.8 m/s D ．0.8 m/s解析：因为Δs Δt ＝2(1－1.2－Δt )2－2(1－1.2)2Δt ＝2Δt ＋0.8，所以Δt 趋于0时，ΔsΔt＝0.8 m/s.故选D.答案：D7.函数f (x )在x 0处可导，则lim h →0 f (x 0＋h )－f (x 0)h ( ) A ．与x 0、h 都有关B ．仅与x 0有关，而与h 无关C ．仅与h 有关，而与x 0无关D ．与x 0、h 均无关解析：由导数的概念可知，lim h →0f (x 0＋h )－f (x 0)h＝f ′(x 0)，仅与x 0有关，与h 无关，故选B.答案：B8．若可导函数f (x )的图象过原点，且满足lim Δx →0f (Δx )Δx＝－1，则f ′(0)＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2解析：∵f (x )图象过原点，∴f (0)＝0，∴f ′(0)＝lim Δx →0 f (0＋Δx )－f (0)Δx ＝lim Δx →0 f (Δx )Δx ＝－1.∴故选B. 答案：B基础达标一、选择题1．函数f (x )＝x 2－1在区间[1，m ]上的平均变化率为3，则实数m 的值为( )A ．3B ．2C ．1D ．4解析：Δy Δx ＝m 2－1－(12－1)m －1＝m 2－1m －1＝3，得m ＝2，故选B.答案：B2．已知函数y ＝f (x )＝x 2＋1，则在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为( ) A ．0.40 B ．0.41 C ．0.43 D ．0.44解析：∵x ＝2，Δx ＝0.1，∴Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )＝f (2.1)－f (2)＝(2.12＋1)－(22＋1)＝0.41. 答案：B3．已知质点运动的速度v (单位：m/s)是时间t (单位：s)的函数，且v ＝v (t )，则v ′(1)表示( )A ．t ＝1 s 时的速度B ．t ＝1 s 时的加速度C ．t ＝1 s 时的位移D ．t ＝1 s 时的平均速度解析：v (t )的导数v ′(t )表示t 时刻的加速度．故选B. 答案：B 4．某公司的盈利y (元)和时间x (天)的函数关系是y ＝f (x )，假设f ′(x )＞0恒成立，且f ′(10)＝10，f ′(20)＝1，则这些数据说明第20天与第10天比较( )A ．公司已经亏损B ．公司的盈利在增加，增加的幅度变大C ．公司在亏损且亏损幅度变小D ．公司的盈利在增加，但增加的幅度变小解析：导数为正说明盈利是增加的，导数变小说明增加的幅度变小了，但还是增加的．故选D.答案：D5．函数y ＝3x 2在x ＝1处的导数为( ) A ．12 B ．6 C ．3 D ．2解析：f ′(1)＝lim Δx →0 3(1＋Δx )2－3×12Δx＝lim Δx →0 3＋6Δx ＋3(Δx )2－3Δx ＝6. 答案：B6．设函数在x ＝1处存在导数，则lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)3Δx ＝( ) A ．f ′(1) B ．3f ′(1) C.13f ′(1) D ．f ′(3) 解析：lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)3Δx ＝13lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝13f ′(1)．故选C. 答案：C7．物体运动时位移s 与时间t 的函数关系是s (t )＝－4t 2＋16t ，此物体在某一时刻的瞬时速度为零，则相应的时刻为( )A ．t ＝1B ．t ＝2C ．t ＝3D ．t ＝4解析：设此物体在t 0时刻的瞬时速度为0， Δs Δt ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt ＝－8t 0＋16－4Δt ，当Δt 趋于0时，Δs Δt 趋于－8t 0＋16，令－8t 0＋16＝0，解得t 0＝2.答案：B 二、填空题8．球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为________．解析：∵Δy ＝43π×23－43π×13＝28π3，∴球的体积平均膨胀率为Δy Δx ＝28π3.答案：28π39．已知函数f (x )＝－x 2＋x 的图象上的一点A (－1，－2)及邻近一点B (－1＋Δx ，－2＋Δy )，则ΔyΔx＝________. 解析：∵－2＋Δy ＝－(－1＋Δx )2＋(－1＋Δx )， ∴Δy Δx ＝－(－1＋Δx )2＋(－1＋Δx )＋2Δx ＝3－Δx . 答案：3－Δx10．汽车行驶的路程s 和时间t 之间的函数图象如图所示，在时间段[t 0，t 1]，[t 1，t 2]，[t 2，t 3]上的平均速度分别为v －1，v －2，v －3，则三者的大小关系为________．解析：v －1＝k OA ，v －2＝k AB ，v －3＝k BC ，由图象知，k OA <k AB <k BC ，所以v －1<v －2<v －3.答案：v －1<v －2<v －311．函数f (x )＝x 在x ＝1处的导数为________．解析：f′(1)＝limΔx→0f(1＋Δx)－f(1)Δx＝limΔx→01＋Δx－1Δx＝limΔx→0(1＋Δx－1)(1＋Δx＋1)Δx(1＋Δx＋1)＝limΔx→0ΔxΔx(1＋Δx＋1)＝limΔx→011＋Δx＋1＝12.答案：1212．若f′(x0)＝2，则limk→0f(x0－k)－f(x0)2k＝________.解析：根据导数的定义，知limk→0f(x0－k)－f(x0)－k＝2，所以limk→0f(x0－k)－f(x0)2k＝－12limk→0 f(x0－k)－f(x0)－k＝－1.答案：－1三、解答题13．已知函数f(x)＝1x，求f′(2)的值．解析：limΔx→0f(2＋Δx)－f(2)Δx＝limΔx→0－Δx2(2＋Δx)Δx＝limΔx→0－12(2＋Δx)＝－14.答案：－1414．枪弹在枪筒中运动可以看作匀加速运动，如果它的加速度是5.0×105 m/s2，枪弹从枪口射出时所用时间为1.6×10－3 s，求枪弹射出枪口时的瞬时速度．解析：位移公式为s＝12at2，∵Δs＝12a(t0＋Δt)2－12at2＝at0Δt＋12a(Δt)2，∴ΔsΔt＝at0＋12aΔt，∴limΔt→0ΔsΔt＝limΔt→0⎝⎛⎭⎫at0＋12aΔt＝at0，已知a＝5.0×105 m/s2，t0＝1.6×10－3 s，∴at0＝800 m/s.能力提升15.若函数f(x)＝－x2＋1，求Δx的取值范围．解析：∵函数f(x)在[2,2＋Δx]上的平均变化率为ΔyΔx＝f(2＋Δx)－f(2)Δx＝－(2＋Δx)2＋(2＋Δx)－(－4＋2)Δx＝－3－Δx，∴由－3－Δx≤－1，得Δx≥－2.又∵Δx>0，∴Δx的取值范围是(0，＋∞)．16．建造一栋面积为x平方米的房屋需要成本y万元，y是x的函数，y＝f(x)＝x10＋x10＋0.3，求f′(100)，并解释它的实际意义．解析：∵当x 从100变为100＋Δx 时，函数值y 关于x 的平均变化率为 f (100＋Δx )－f (100)Δx＝100＋Δx ＋100＋Δx ＋3－(100＋100＋3)10Δx，＝110＋110(100＋Δx ＋10)， ∴f ′(100)＝lim Δx →0 f (100＋Δx )－f (100)Δx＝lim Δx →0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤110＋110(100＋Δx ＋10)＝0.105，f ′(100)＝0.105表示当建筑面积为100平方米时，成本增加的速度为1 050元/平方米，也就是说当建筑面积为100平方米时，每增加1平方米的建筑面积，成本就要增加1 050元．。

高中数学 3.1.1变化率问题与导数概念导学案知识梳理1．在高台跳水运动中，运动员在t 1≤t ≤t 2这段时间里的位置为s 1≤s ≤s 2，则他的平均速度为 .2．已知函数y ＝f(x)，令Δx ＝ ，Δy ＝ ，则当Δx ≠0时，比值 ＝ΔfΔx ，称作函数f(x)从x 1到x 2的平均变化率． 3．物体在某一时刻的速度称为 ．4．一般地，如果物体的运动规律是s ＝s (t )，那么物体在时刻t 的瞬时速度v ，就是物体在t 到t ＋Δt 这段时间内，当Δt →0时平均速度的极限，即v ＝lim Δt →0 ΔsΔt＝ 5．一般地，函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是 ＝lim Δx →0 ΔfΔx，我们称它为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝ . 学习过程1.平均变化率[例1] 求函数y ＝x 3在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率，并计算当x 0＝1，Δx ＝12时平均变化率的值．[分析] 直接利用概念求平均变化率，先求出表达式，再直接代入数据就可以得出相应的平均变化率．应用变式1某质点沿曲线运动的方程为f(x)＝－2x2＋1(x 表示时间，f(x)表示位移)，则该质点从x ＝1到x ＝2时的平均速度为 ( )A ．－4B ．－8C ．6D ．－6 2.瞬时变化率[例2] 以初速度v 0(v 0＞0)垂直上抛的物体，t 秒时的高度为s (t )＝v 0t －12gt 2，求物体在时刻t 0处的瞬时速度．应用变式2一作直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t2，求此物体在t ＝2时的瞬时速度．3.利用定义求函数某点处的导数[例3] 根据导数定义求函数y ＝x 2＋1x＋5在x ＝2处的导数．应用变式3求y ＝f(x)＝123++x x 在x ＝1处的导数．[例4] 设f (x )在x 0处可导，求lim Δx →0 f (x 0－Δx )－f (x )Δx的值．课堂巩固训练 一、选择题1．若函数f (x )＝2x 2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy )，则Δy Δx等于( )A ．4B ．4xC ．4＋2ΔxD ．4＋2(Δx)22．如果质点A 按规律s ＝2t3运动，则在t ＝3秒时的瞬时速度为 ( )A ．6B ．18C ．54D ．813．当自变0x 变到1x 时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数 ( ) A ．在区间[0x ，1x ]上的平均变化率 B ．在0x 处的变化率 C ．在1x 处的导数 D ．在区间[0x ，1x ]上的导数4．已知f(x)＝x x 32-，则f ′(0)＝ ( )A ．Δx －3B ．(Δx)2－3ΔxC ．－3D ．0 二、填空题5．已知函数f(x)＝ax ＋4，若f ′(1)＝2，则a 等于______．6．球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为____________． 三、解答题7．枪弹在枪筒中的运动可以看作匀加速直线运动，如果它的加速度是a ＝5×105m/s2，枪弹从枪口射出所用的时间为1.6×10－3s.求枪弹射出枪口时的瞬时速度．课后强化作业 一、选择题1．在函数变化率的定义中，自变量的增量Δx 满足( )A ．Δx ＜0B ．Δx ＞0C ．Δx ＝0D ．Δx ≠0 2．函数在某一点的导数是( )A ．在该点的函数的增量与自变量的增量的比B ．一个函数C ．一个常数，不是变数D ．函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率3．在x ＝1附近，取Δx ＝0.3，在四个函数①y ＝x ②y ＝x 2③y ＝x 3④y ＝1x中，平均变化率最大的是( )A ．④B ．③C ．②D ．①4．质点M 的运动规律为s ＝4t ＋4t 2，则质点M 在t ＝t 0时的速度为( )A ．4＋4t 0B ．0C ．8t 0＋4D ．4t 0＋4t 25．函数y ＝x ＋1x在x ＝1处的导数是( )A ．2B.52C ．1D ．0 6．函数y ＝f (x )，当自变量x 由x 0改变到x 0＋Δx 时，Δy ＝( )A ．f (x 0＋Δx )B ．f (x 0)＋ΔxC ．f (x 0)·ΔxD ．f (x 0＋Δx )－f (x 0)7．一个物体的运动方程是s ＝3＋t 2，则物体在t ＝2时的瞬时速度为( )A ．3B ．4C ．5D ．78．f (x )在x ＝x 0处可导，则lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx( ) A ．与x 0，Δx 有关 B ．仅与x 0有关，而与Δx 无关 C ．仅与Δx 有关，而与x 0无关 D ．与x 0，Δx 均无关9．设函数f (x )在点x 0附近有定义，且有f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝a Δx ＋b (Δx )2(a ，b 为常数)，则( )A ．f ′(x )＝aB ．f ′(x )＝bC ．f ′(x 0)＝aD ．f ′(x 0)＝b10．f (x )在x ＝a 处可导，则lim h →0 f (a ＋3h )－f (a －h )2h等于( ) A ．f ′(a ) B.12f ′(a ) C ．4f ′(a ) D ．2f ′(a )二、填空题11．f (x 0)＝0，f ′(x 0)＝4，则lim Δx →0 f (x 0＋2Δx )－f (x 0)Δx＝________. 12．某物体做匀速运动，其运动方程是s ＝vt ＋b ，则该物体在运动过程中其平均速度与任何时刻的瞬时速度关系是________．13．设x 0∈(a ，b )，y ＝f (x )在x 0处可导是y ＝f (x )在(a ，b )内可导的________条件．14．一球沿斜面自由滚下，其运动方程是S ＝t 2(S 的单位：m ，t 的单位：s)，则小球在 t ＝5时的瞬时速度为______． 三、解答题15．一物体作自由落体运动，已知s ＝s (t )＝12gt 2.(1)计算t 从3秒到3.1秒、3.01秒，两段内的平均速度；2)求t ＝3秒时的瞬时速度．16．若f ′(x )＝A ，求lim h →0f (x ＋h )－f (x －2h )h.17．求函数y ＝x 在x ＝1处的导数．18．路灯距地面8m ，一个身高1.6m 的人以84m/min 的速度在地面上从路灯在地面上的射影C 沿某直线离开路灯，(1)求身影的长度y 与人距路灯的距离x 之间的关系式；(2)求人离开路灯第10秒时身影的瞬时变化率．3.1.2导数的几何意义 学习目标1．知识与技能：了解导函数的概念，理解导数的几何意义．2．过程与方法：会求导函数，根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．学习重、难点重点：导数的几何意义．难点：对导数几何意义的理解． 知识梳理1．导数的几何意义 ①割线斜率与切线斜率设函数y ＝f (x )的图象如图所示，AB 是过点A (x 0，f (x 0))与点B (x 0＋Δx ，f (x 0＋Δx ))的一条割线，此割线的斜率是ΔyΔx＝ 当点B 沿曲线趋近于点A 时，割线AB 绕点A 转动，它的极限位置为直线AD ，这条直线AD 叫做此曲线在点A 处的 ．于是，当Δx →0时，割线AB 的斜率无限趋近于过点A 的切线AD 的斜率k ，即k ＝ = ②导数的几何意义函数y ＝f(x)在点x 0处的导数的几何意义是曲线y ＝f(x)在点P(x 0，f(x 0))处的切线的 ．也就是说，曲线y ＝f(x)在点P(x 0，f(x 0))处的切线的斜率是 ．相应地，切线方程为 ． 2．函数的导数 学习过程1.求割线的斜率[例1] 过曲线y ＝f(x)＝3x 上两点P(1,1)和Q(1＋Δx,1＋Δy)作曲线的割线，求出当Δx ＝0.1时割线的斜率．2.用定义求切线方程[例2] 已知曲线C ：y ＝13x 3＋43.(1)求曲线C 上的横坐标为2的点处的切线方程；(2)第(1)小题中的切线与曲线C 是否还有其他的公共点？应用变式1 已知曲线y ＝23x 上一点A(1,2)，则点A 处的切线斜率等于 ( ) A ．2 B ．4 C ．6＋6Δx2D ．63.求切点坐标[例3] 抛物线y ＝2x 在点P 处的切线与直线2x －y ＋4＝0平行，求P 点的坐标及切线方程．应用变式2 若抛物线y ＝2x 与直线2x －y ＋m ＝0相切，求m.4.导数几何意义的应用[例4] 若抛物线y ＝42x 上的点P 到直线y ＝4x －5的距离最短，求点P 的坐标．应用变式3 求抛物线y ＝42x 上的点到直线y ＝4x －5的距离的最小值．[例5] 曲线y ＝3x 在x 0＝0处的切线是否存在，若存在，求出切线的斜率和切线方程；若不存在，请说明理由．应用变式4已知曲线y ＝4x在点(1,4)处的切线与直线l 平行且距离等于17，则直线l 的方程为( )A ．4x －y ＋9＝0或4x －y ＋25＝0B ．4x －y ＋1＝0C ．4x ＋y ＋9＝0或4x ＋y －25＝0D ．以上都不对 [例6] 试求过点M(1,1)且与曲线y ＝3x ＋1相切的直线方程．课堂巩固训练 一、选择题1．曲线y ＝－22x ＋1在点(0,1)处的切线的斜率是( )A ．－4B ．0C ．4D ．不存在2．曲线y ＝12x 2－2在点(1，－32)处切线的倾斜角为( )A ．1 B.π4 C.5π4 D ．－π43．若曲线y ＝h(x)在点P(a ，h(a))处的切线方程为2x ＋y ＋1＝0，那么 ( ) A ．h ′(a)＝0 B ．h ′(a)<0 C ．h ′(a)>0 D ．h ′(a)不确定 4．曲线y ＝3x 在点P 处的切线斜率为3，则点P 的坐标为( )A ．(－2，－8)B ．(1,1),(－1，－1)C ．(2,8)D ．(－12，－18)二、填空题5．已知曲线y ＝1x －1上两点A (2，－12)，B (2＋Δx ，－12＋Δy )，当Δx ＝1时，割线AB 的斜率为________．6．P 是抛物线y ＝x 2上一点，若过点P 的切线与直线y ＝－12x ＋1垂直，则过点P 的切线方程为________．三、解答题7．求曲线y ＝1x －x 上一点P (4，－74)处的切线方程．课后强化训练 一、选择题1．曲线y ＝x 3－3x 在点(2,2)的切线斜率是( )A ．9B ．6C ．－3D ．－12．曲线y ＝13x 3－2在点(－1，－73)处切线的倾斜角为( )A ．30°B ．45°C ．135°D ．60°3．函数y ＝－1x 在点(12，－2)处的切线方程是( )A ．y ＝4xB ．y ＝4x －4C ．y ＝4(x ＋1)D ．y ＝2x ＋4 4．如果曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋2y －3＝0，那么( )A ．f ′(x 0)＞0B ．f ′(x 0)＜0C ．f ′(x 0)＝0D ．f ′(x 0)不存在 5．下列说法正确的是( )A ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处就没有切线B ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处有切线，则f ′(x 0)必存在C ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率不存在D ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率不存在，则曲线在该点处就没有切线6．设f (x )为可导函数且满足lim x →0 f (1)－f (1－2x )2x ＝－1，则过曲线y ＝f (x )上点(1，f (1))处的切线斜率为( )A ．2B ．－1C ．1D ．－27．在曲线y ＝x 2上的点________处的倾斜角为π4( )A ．(0,0)B ．(2,4)C ．(14，116)D ．(12，14)8．若函数f (x )的导数为f ′(x )＝－sin x ，则函数图像在点(4，f (4))处的切线的倾斜角为( ) A ．90° B ．0° C ．锐角 D ．钝角9．曲线y ＝x 3＋x －2在点P 0处的切线平行于直线y ＝4x －1，则点P 0的坐标是( )A ．(0,1)B ．(－1，－5)C ．(1,0)或(－1，－4)D ．(0,1)或(4,1)10．设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a 等于( )A ．1 B.12 C ．－12D ．－1二、填空题11．已知函数f (x )＝x 3＋2，则f ′(2)＝________.12．曲线y ＝x 2－3x 的一条切线的斜率为1，则切点坐标为________．13．曲线y ＝x 3在点(1,1)处的切线与x 轴，x ＝2所围成的三角形的面积为________．14．曲线y ＝x 3＋x ＋1在点(1,3)处的切线是________． 三、解答题15．求曲线y ＝x 2＋3x ＋1在点(1,5)处的切线的方程．16．直线l ：y ＝x ＋a (a ≠0)和曲线C ：y ＝x 3－x 2＋1相切．(1)求a 的值；(2)求切点的坐标．17．求过点(2,0)且与曲线y ＝1x相切的直线方程．18．曲线y ＝x 2－3x 上的点P 处的切线平行于x 轴，求点P 的坐标．3.2导数的计算3.2.1几个常用函数的导数及基本初等函数的导数公式 学习目标1．知识与技能：了解常数函数和幂函数的求导方法和规律，会求任意y ＝x α(α∈Q)的导数．2．过程与方法:掌握基本初等函数的导数公式，并能利用这些公式求基本初等函数的导数． 学习重、难点重点：常数函数、幂函数的导数难点：由常见幂函数的求导公式发现规律，得到幂函数的求导公式． 知识梳理1．若f(x)＝c ，则f ′(x)＝ .若f(x)＝nx (n ∈N*)，则f ′(x)＝ .2．若f(x)＝sinx ，则f ′(x)＝ .若f(x)＝cosx ，则f ′(x)＝ . 3．若f(x)＝xa ，则f ′(x)＝．若f(x)＝xe ，则f ′(x)＝ .4. 若f (x )＝log a x ，则f ′(x )= ．若f (x )＝ln x ，则f ′(x )＝ . 学习过程1.导数公式的直接应用[例1] 求下列函数的导数．(1)y ＝2a (a 为常数)． (2)y ＝12x . (3)y ＝cosx.应用变式1求下列函数的导数(1)y ＝1x2 (2)y ＝3x (3)y ＝2x(4)y ＝log 2x2.求某一点处的导数 [例2] 求函数f (x )＝1x在x ＝1处的导数．应用变式2 已知f (x )＝n x1，且f ′(1)＝－13，求n .3.利用导数求切线的斜率及方程 [例3] 求过曲线y ＝cos x 上点P ⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,3π且与在这点的切线垂直的直线方程．应用变式3 求曲线y ＝32x 的斜率等于12的切线方程．课堂巩固训练 一、选择题1．函数f(x )＝0的导数是 ( )A ．0B ．1C ．不存在D ．不确定2．抛物线y ＝14x 2在点(2,1)处的切线方程是( )A ．x －y －1＝0B ．x ＋y －3＝0C ．x －y ＋1＝0D ．x ＋y －1＝03．已知函数f (x )＝1x，则f ′(－2)＝( )A ．4B.14 C ．－4 D ．－144．下列结论中不正确的是 ( )A ．若y ＝3，则y ′＝0B ．若y ＝1x，则y ′＝－12xC ．若y ＝－x ，则y ′＝－12xD ．若y ＝3x ，则y ′|x ＝1＝3二、填空题5．曲线y ＝xn 在x ＝2处的导数为12，则n 等于________． 6．若函数y ＝sint ，则y ′|t ＝6π＝________. 三、解答题7．求抛物线y ＝2x 上的点到直线x －y －2＝0的最短距离．课后强化训练 一、选择题1.lim Δx →0 (1＋Δx )2－1Δx表示( ) A ．曲线y ＝x 2的斜率 B ．曲线y ＝x 2在点(1,1)处的斜率C ．曲线y ＝－x 2的斜率D ．曲线y ＝－x 2在(1，－1)处的斜率2．若y ＝cos 2π3，则y ′＝( )A ．－32B ．－12C ．0D.123．下列命题中正确的是( )①若f ′(x )＝cos x ，则f (x )＝sin x ②若f ′(x )＝0，则f (x )＝1 ③若f (x )＝sin x ，则f ′(x )＝cos xA ．①B ．②C ．③D ．①②③ 4．若y ＝ln x ，则其图象在x ＝2处的切线斜率是( )A ．1B ．0C ．2D.125．已知直线y ＝kx 是y ＝ln x 的切线，则k 的值为( )6．已知函数f (x )＝21x ，则'⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛21f ＝( )7．y ＝1x在点A (1,1)处的切线方程是( )A ．x ＋y －2＝0B ．x －y ＋2＝0C ．x ＋y ＋2＝0D ．x －y －2＝08．下列结论中正确的个数为( )①y ＝ln2，则y ′＝12 ②y ＝1x 2，则y ′|x ＝3＝－227③y ＝2x ，则y ′＝2xln2 ④y ＝log 2x ，则y ′＝1x ln2A ．0B ．1C ．2D ．3 9．下列结论中不正确的是( )A ．若y ＝0，则y ′＝0B ．若y ＝33x ，则y ′＝－1x 3xC ．若y ＝－x ，则y ′＝－12xD ．若y ＝3x 3，则y ′＝3x 210．若y ＝sin x ，则y ′|x ＝π3＝( )A.12 B ．－12 C.32D ．－32二、填空题11．曲线y ＝ln x 与x 轴交点处的切线方程是 ．12．质点沿直线运动的路程与时间的关系是s ＝5t ，则质点在t ＝32时的速度等于 ．13．在曲线y ＝4x2上求一点P ，使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135°，则P 点坐标为 ．14．y ＝10x在(1,10)处切线的斜率为 ． 三、解答题 15．已知曲线C ：y ＝x 3(1)求曲线C 上点(1,1)处的切线方程(2)在(1)中的切线与曲线C 是否还有其它公共点？16．求下列函数的导数(1)y ＝ln x (2)y ＝1x4 (3)y ＝55x17．已知点P (－1,1)，点Q (2,4)是曲线y ＝x 2上两点，求与直线PQ 平行的曲线y ＝x 2的切线方程．18．求过曲线y ＝sin x 上的点P ⎥⎦⎤⎢⎣⎡22,4π且与在这点处的切线垂直的直线方程．3.2.2 导数的运算法则 学习目标能利用给出的基本初等函数的导数公式表和导数的四则运算法则求简单函数的导数 学习重、难点重点：导数的四则运算及其运用． 难点：导数的四则运算法则的推导． 知识梳理1．设函数f(x)、g(x)是可导函数，(f(x)±g(x))′＝ ；(f(x)·g(x))′＝ ． 2．设函数f (x )、g (x )是可导函数，且g (x )≠0，()()'⎥⎦⎤⎢⎣⎡x g x f ＝ 学习过程1.导数公式法则的直接应用 [例1] 求下列函数的导数：(1)y ＝()()112-+x x ；(2)y ＝x x sin 2；(3)y ＝1x ＋2x 2＋3x 3；(4)y ＝x tan x －2cos x .应用变式1求下列函数的导数：(1)y ＝2x －2＋3x －3 (2)y ＝(2x 2＋3)(3x －2) (3)y ＝x －sin x 2·cos x 22.求导法则的灵活运用[例2] 求函数y ＝sin 4x4＋cos 4x4的导数．应用变式2求函数y ＝－sin x2(1－2sin 2x4)的导数．3.利用导数求有关参数[例3] 偶函数f(x)＝e dx cx bx ax ++++234的图象过点P(0,1)，且在x ＝1处的切线方程为y ＝x －2，求y ＝f(x)的解析式．应用变式3已知抛物线y ＝72-+bx ax 通过点(1,1)，过点(1,1)的切线方程为4x －y －3＝0，求a 、b 的值．[例4] 给出下列结论：①若y ＝1x 3，则y ′＝－3x 4；②若y ＝3x ，则y ′＝133x ；③若y ＝1x2，则y ′＝－2x －3；④若f (x )＝3x ，则f ′(1)＝3，其中正确的个数是 ( )A ．1B ．2C ．3D ．4 课堂巩固训练 一、选择题1．函数y ＝2sinxcosx 的导数为 ( )A ．y ′＝cosxB ．y ′＝2cos2xC ．y ′＝2(sin2x －cos2x)D ．y ′＝－sin2x2．函数f (x )＝1x 3＋2x ＋1的导数是( )A.1(x 3＋2x ＋1)2B.3x 2＋2(x 3＋2x ＋1)2C.－3x 2－2(x 3＋2x ＋1)2D.－3x2(x 3＋2x ＋1)2 3．函数y ＝(x －a)(x －b)在x ＝a 处的导数为 ( )A ．abB ．－a(a －b)C ．0D ．a －b 4．函数y ＝x ·lnx 的导数是 ( )A ．x B.1xC ．ln x ＋1D ．ln x ＋x二、填空题5．函数y ＝143223-+-x x x 的导数为 6．函数y ＝xsinx －cosx 的导数为__________________． 三、解答题7．函数f(x)＝123+--x x x 的图象上有两点A(0,1)和B(1,0)，在区间(0,1)内求实数a ，使得函数f(x)的图象在x ＝a 处的切线平行于直线AB.课后强化作业 一、选择题1．函数y ＝cos xx的导数是( )A ．－sin x x 2B ．－sin xC ．－x sin x ＋cos x x 2D ．－x cos x ＋cos xx 22．已知f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值是( )A.193B.163C.133D.1033．曲线运动方程为s ＝1－t t2＋2t 2，则t ＝2时的速度为( )A ．4B ．8C ．10D ．124．函数y ＝(2＋x 3)2的导数为( )A ．6x 5＋12x 2B ．4＋2x 3C ．2(2＋x 3)2D ．2(2＋x 3)·3x 5．下列函数在点x ＝0处没有切线的是( )A ．y ＝3x 2＋cos x B ．y ＝x sin x C ．y ＝1x ＋2x D ．y ＝1cos x6．函数y ＝sin ⎪⎭⎫⎝⎛-x 4π的导数为( ) A ．－cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+x 4π B ．cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 4π C ．－sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 4π D ．－sin ⎪⎭⎫⎝⎛+x 4π7．已知函数f (x )在x ＝x 0处可导，函数g (x )在x ＝x 0处不可导，则F (x )＝f (x )±g (x )在x＝x 0处( )A ．可导B ．不可导C ．不一定可导D ．不能确定 8．(x －5)′＝( )A ．－15x －6 B.15x －4 C ．－5x －6 D ．－5x 49．函数y ＝3x (x 2＋2)的导数是( )A ．3x 2＋6B ．6x 2C ．9x 2＋6D ．6x 2＋6 10．已知函数f (x )在x ＝1处的导数为3，则f (x )的解析式可能为( )A ．f (x )＝(x －1)2＋3(x －1)B ．f (x )＝2(x －1)C ．f (x )＝2(x －1)2D ．f (x )＝x －1 二、填空题11．若函数f (x )＝1－sin xx，则f ′(π)= ．12．曲线y ＝1x和y ＝x 2在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形面积是 ．13．设f (x )＝(ax ＋b )sin x ＋(cx ＋d )cos x ，若已知f ′(x )＝x cos x ，则f (x )＝ .14．设f (x )＝ln a 2x(a >0且a ≠1)，则f ′(1)＝ . 三、解答题15．求下列函数的导数．(1)f (x )＝(x 3＋1)(2x 2＋8x －5)；(2)1＋x 1－x ＋1－x 1＋x；(3)f (x )＝ln x ＋2xx 2.16．已知f (x )＝x 2＋ax ＋b ，g (x )＝x 2＋cx ＋d ，又f (2x ＋1)＝4g (x )，且f ′(x )＝g ′(x )，f (5)＝30，求g (4)．17．设函数f (x )＝13x 3－a 2x 2＋bx ＋c ，其中a >0，曲线y ＝f (x )在点P (0，f (0))处的切线方程为y ＝1.求b ，c 的值．18．已知函数f (x )＝2x 3＋ax 与g (x )＝bx 2＋c 的图象都过点 P (2,0)，且在点P 处有公共切线，求f (x )、g (x )的表达式．3.3导数在研究函数中的应用 3.3.1函数的单调性与导数知识梳理1．设函数y ＝f(x)在区间(a ，b)内可导，(1)如果在区间(a ，b)内，f ′(x)≥0，则f(x)在此区间是 的；(2)如果在区间(a ，b)内，f ′(x)≤0，则f(x)在此区间内是 的．2．如果函数y ＝f(x)在x 的某个开区间内，总有f ′(x)＞0，则f(x)在这个区间上严格增加，这时该函数在这个区间为 ；如果函数当自变量x 在某区间上，总有f ′(x)＜0，则f(x)在这个区间为 ． 学习过程1.用导数求函数的单调区间 [例1] 求下列函数的单调区间(1)f(x)＝133+-x x (2)f (x )＝x ＋b x(b ＞0)应用变式1求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝x x x 9323-+ (2)f(x)＝sinx －x ，x ∈(0，π)2.利用导数证明不等式[例2] 已知x ＞1，求证x ＞lnx.应用变式2已知：x ＞0，求证：x ＞sinx.3.已知函数的单调性，确定参数的取值范围[例3] 若函数f (x )＝13x 3－12ax 2＋(a －1)x ＋1在区间(1,4)内单调递减，在(6，＋∞)上单调递增，试求a 的范围． 应用变式3已知f (x )＝13x 3＋12ax 2＋ax －2(a ∈R )．若函数f (x )在(－∞，＋∞)上为单调递增函数，求a 的取值范围．[例4] 已知函数f(x)＝32x a x-，x ∈(0,1]，a>0，若f(x)在(0,1]上单调递增，求a 的取值范围．课堂巩固训练 一、选择题1．函数f(x)＝2x －sinx 在(－∞，＋∞)上 ( ) A ．是增函数 B ．是减函数C ．在(0，＋∞)上增，在(－∞，0)上增D ．在(0，＋∞)上减，在(－∞，0)上增 2．函数y ＝xlnx 在区间(0,1)上是 ( )A ．单调增函数B ．单调减函数C ．在(0，1e )上是减函数，在(1e，1)上是增函数D ．在(0，1e )上是增函数，在(1e，1)上是减函数3．若在区间(a ，b)内有f ′(x)＞0，且f(a) ≥0，则在(a ，b)内有 ( )A ．f(x)＞0B ．f(x)＜0C ．f(x)＝0D ．不能确定 4．在下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( ) A ．sin2xB ．x xeC ．3x x -3D ．－x ＋ln(1＋x)二、填空题5．函数f(x)＝x x -3的增区间是 和 ，减区间是 ． 6．已知函数y ＝322++x ax 在(－1，＋∞)上是减函数，则a 的取值范围是 ． 三、解答题7．已知函数f(x)＝83++ax x 的单调递减区间为(－5,5)，求函数f(x)的递增区间．课后强化作业 一、选择题1．设f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ＞0)，则f (x )为增函数的一个充分条件是( )A ．b 2－4ac ＞0B ．b ＞0，c ＞0内部C ．b ＝0，c ＞0D ．b 2－3ac ＞02．函数f (x )＝2x 2－ln x 的单调递增区间是( )A ．(0，12)B ．(0，24)C ．(12，＋∞)D ．(－12，0)及(0，12)3．(2009·广东文，8)函数f (x )＝(x －3)e x的单调递增区间是( )A ．(－∞，2)B ．(0,3)C ．(1,4)D ．(2，＋∞) 4．函数y ＝x sin x ＋cos x ，x ∈(－π，π)的单调增区间是( ) A.⎪⎭⎫⎝⎛--2,ππ和⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0π B.⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,2π和⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0πC.⎪⎭⎫⎝⎛--2,ππ和⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ,2 D.⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,2π和⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ,2 5．函数f (x )＝ax 3－x 在R 上为减函数，则( )A ．a ≤0B ．a <1C ．a <2D ．a ≤136．已知a >0，函数f (x )＝－x 3＋ax 在[1，＋∞)上是单调减函数，则a 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 7．设f (x )在(a ，b )内可导，则f ′(x )<0是f (x )在(a ，b )上单调递减的( )A ．充分不必要条件你B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．若函数y ＝x 2－2bx ＋6在(2,8)内是增函数，则( )A ．b ≤2B ．b ＜2C ．b ≥2D ．b ＞2 9．(2009·湖南文，7)若函数y ＝f (x )的导函数．．．在区间[a ，b ]上是增函数，则函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象可能是( )10．设函数f (x )在定义域内可导，y ＝f (x )的图象如图所示，则导函数y ＝f ′(x )的图象可能为( )二、填空题11．函数y ＝x 3－x 2－x 的单调递增区间为 ．12．若函数y ＝x 3－ax 2＋4在(0,2)内单调递减，则实数a 的取值范围是 ．13．若函数f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调函数，则m 的取值范围是 ．14．若函数y ＝－43x 3＋ax 有三个单调区间，则a 的取值范围 ．三、解答题 15．讨论函数f (x )＝bxx 2－1(－1＜x ＜1，b ≠0)的单调性．16．已知曲线y ＝x 3＋3x 2＋6x －10，点P (x ，y )在该曲线上移动，在P 点处的切线设为l . (1)求证：此函数在R 上单调递增；(2)求l 的斜率的范围．17．已知向量a ＝(x 2，x ＋1)，b ＝(1－x ，t )，若函数f (x )＝a ·b 在区间(－1,1)上是增函数，求t 的取值范围．18．设函数f (x )＝(ax 2－bx )e x(e 为自然对数的底数)的图象与直线ex ＋y ＝0相切于点A ，且点A 的横坐标为1.(1)求a ，b 的值；(2)求函数f (x )的单调区间，并指出在每个区间上的增减性．3.3.2函数的极值与导数，函数的最大（小）值与导数知识梳理1．已知函数y ＝f(x)及其定义域内一点x.对于包含x0在内的开区间内的所有点x ，如果都有，则称函数f(x)在点0x 处取得，并把0x 称为函数f(x)的一个；如果都有，则称函数f(x)在点0x 处取得 ，并把0x 称为函数f(x)的一个 ．极大值与极小值统称为 ，极大值点与极小值点统称为 ．2．假设函数y ＝f(x)在闭区间[a ，b]上的图象是一条 ，该函数在[a ，b]上一定能够取得 与 ，该函数在(a ，b)内是 ，该函数的最值必在 取得． 3．当函数f(x)在点0x 处连续时，判断f(0x )是否存在极大(小)值的方法是： (1)如果在0x 附近的左侧，右侧，那么f(0x )是极值；(2)如果在0x 附近的左侧 ，右侧 ，那么f(0x )是极 值； (3)如果f ′(x)在点0x 的左右两侧符号不变，则f(0x ) 函数f(x)的极值． 学习过程1.利用导数求函数的极值[例1] 求函数y ＝133+-x x 的极值．应用变式1函数y ＝x x x 9323--(－2＜x ＜2)有( )A ．极大值为5，极小值为－27B ．极大值为5，极小值为－11C ．极大值为5，无极小值D ．极大值为－27，无极小值 2.利用导数求函数的最大值与最小值[例2] 求函数f(x)＝1223+-x x 在区间[－1,2]上的最大值与最小值．应用变式2求函数f(x)＝2824+-x x 在[－1,3]上的最大值与最小值．3.求函数极值的逆向问题[例3] 已知f(x)＝cx bx ax ++23(a ≠0)在x ＝±1时取得极值，且f(1)＝－1， (1)试求常数a 、b 、c 的值；(2)试判断x ＝±1时函数取得极小值还是极大值，并说明理由．应用变式3设a >0，(1)证明f (x )＝ax ＋b1＋x2取得极大值和极小值的点各有1个；(2)当极大值为1，极小值为－1时，求a 和b 的值．[例4] 已知函数f(x)＝c bx x ax -+44ln (x>0)在x ＝1处取得极值－3－c ，其中a 、b 、c 为常数．(1)试确定a ，b 的值；(2)若对任意x>0，不等式f(x)≥22c -恒成立，求c 的取值范围．[例5] 已知f(x)＝2233a bx ax x +++在x ＝－1时有极值0，求常数a 、b 的值．课堂巩固训练 一、选择题1．若函数y ＝f(x)是定义在R 上的可导函数，则f ′(x)＝0是x0为函数y ＝f(x)的极值点( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．函数f (x )＝x 2－x ＋1在区间[－3,0]上的最值为 ( )A ．最大值为13，最小值为34B ．最大值为1，最小值为－17C ．最大值为3，最小值为－17D ．最大值为9，最小值为－19 3．函数y ＝3x ＋1 的极大值是( )A ．1B ．0C ．2D ．不存在4．y ＝f(x)＝a x x +-2332的极大值是6，那么a 等于 ( ) A ．6 B ．0 C ．5D ．1二、填空题5．(2009·辽宁文，15)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1在x ＝1处取极值，则a ＝ .6．函数y ＝x ·ex 的最小值为________． 三、解答题7．设y ＝f (x )为三次函数，且图象关于原点对称，当x ＝12时，f (x )的极小值为－1，求出函数f (x )的解析式．课后强化作业 一、选择题1．设x 0为f (x )的极值点，则下列说法正确的是( )A ．必有f ′(x 0)＝0B ．f ′(x 0)不存在C ．f ′(x 0)＝0或f ′(x 0)不存在D ．f ′(x 0)存在但可能不为0 2．对于可导函数，有一点两侧的导数值异号是这一点为极值的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．函数y ＝2－x 2－x 3的极值情况是( )A ．有极大值，没有极小值B ．有极小值，没有极大值C ．既无极大值也无极小值D ．既有极大值也有极小值4．函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有极小值点( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．下列命题：①一个函数的极大值总比极小值大；②可导函数导数为0的点不一定是极值点；③一个函数的极大值可以比最大值大；④一个函数的极值点可在其不可导点处达到，其中正确命题的序号是( )A ．①④B ．②④C ．①②D ．③④ 6．函数y ＝|x －1|，下列结论中正确的是( )A ．y 有极小值0，且0也是最小值B ．y 有最小值0，但0不是极小值C ．y 有极小值0，但不是最小值D ．因为y 在x ＝1处不可导，所以0既非最小值也非极值7．函数f (x )＝x (1－x 2)在[0,1]上的最大值为( )A.239B.229C.329D.388．已知函数f (x )＝x 3－px 2－qx 的图像与x 轴切于(1,0)点，则函数f (x )的极值是( )A ．极大值为427，极小值为0B ．极大值为0，极小值为427C ．极大值为0，极小值为－427D ．极大值为－427，极小值为09．已知函数y ＝|x 2－3x ＋2|，则( )A ．y 有极小值，但无极大值B ．y 有极小值0，但无极大值C ．y 有极小值0，极大值14D ．y 有极大值14，但无极大值10．设f (x )＝x (ax 2＋bx ＋c )(a ≠0)在x ＝1和x ＝－1处均有极值，则下列点中一定在x 轴上的是( )A ．(a ，b )B ．(a ，c )C ．(b ，c )D ．(a ＋b ，c ) 二、填空题11．函数y ＝2xx 2＋1的极大值为____________，极小值为____________．12．函数y ＝x 3－6x ＋a 的极大值为____________，极小值为____________．13．函数y ＝x －x 3(x ∈[0,2])的最小值是________．14．已知函数f (x )＝x (x －c )2在x ＝2处取极大值，则常数c 的值为________． 三、解答题15．已知函数f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋11.(1)写出函数的递减区间；(2)讨论函数的极大值或极小值，如有试写出极值．16．求下列函数的最值(1)f (x )＝3x －x 3(－3≤x ≤3)； (2)f (x )＝sin2x －x ⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤-22ππx .17．已知a ∈R ，讨论函数f (x )＝e x (x 2＋ax ＋a ＋1)的极值点的个数．18．(2010·江西理，19)设函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )－ax (a >0)．(提示：[ln(2－x )]′＝－12－x)(1)当a ＝1时，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在(0,1]上 的最大值为12，求a 的值．3.4生活中的优化问题举例学习过程1.面积、容积最大问题[例1] 在边长为60cm 的正方形铁片的四角上切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？应用变式1已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线y＝4－x2在x轴上方的曲线上，求这个矩形面积最大时的长和宽．2.利用导数解决几何中的问题[例2]将一段长为100cm的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆，问如何截法使正方形与圆面积之和最小？应用变式2已知圆柱的表面积为定值S，求当圆柱的容积V最大时圆柱的高h的值．3.获利最大[例3]某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为5000辆，本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x(0<x<1)，则出厂价相应提高的比例为0.7x，年销售量也相应增加．已知年利润＝(每辆车的出厂价－每辆车的投入成本)×年销售量．应用变式3某厂生产某种电子元件，如果生产出一件正品，可获利200元，如果生产出一件次品，则损失100元．已知该厂制造电子元件过程中，次品率p与日产量x的函数关系是：p＝3x4x＋32(x∈N＋)．[例4] 甲、乙两地相距s 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c 千米/时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v(千米/时)的平方成正比，比例系数为b ；固定部分为a 元．(1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/时)的函数，并指出这个函数的定义域；(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？课堂巩固训练一、选择题1．三次函数当x ＝1时,有极大值4;当x ＝3时,有极小值0,且函数过原点，则此函数是( )A ．y ＝x x x 9623++B ．y ＝x x x 9623+-C ．y ＝x x x 9623--D ．y ＝x x x 9623-+2．函数f (x )＝x 3－3bx ＋3b 在(0,1)内有极小值，则( )A ．0<b <1B ．b <1C ．b >0D ．b <123．某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益R 与年产量x 的关系是R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2 (0≤x ≤400)80000 (x >400)，则总利润最大时，每年生产的产品是 ( ) A ．100 B ．150 C ．200 D ．300 4．设底为正三角形的直棱柱的体积为V ，那么其表面积最小时，底面边长为 ( ) A.3V B.32V C.34VD ．23V二、填空题5．面积为S 的一切矩形中，其周长最小的是________．6．函数f(x)＝)2(2x x -的单调递减区间是________．三、解答题7．用边长为120cm 的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接成水箱．问：水箱底边的长取多少时，水箱容积最大？最大容积是多少？课后强化作业一、选择题1．将8分解为两个非负数之和，使其立方之和为最小，则分法为( )A ．2和6B ．4和4C ．3和5D ．以上都不对2．某箱子的容积与底面边长的关系为V (x )＝x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫60－x 2(0<x <60)，则当箱子的容积最大时，箱子底面边长为( )A ．30B ．40C ．50D ．以上都不正确3．用边长为48cm 的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒．所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为( ) A ．6 B ．8 C ．10 D ．124．内接于半径为R 的球且体积最大的圆锥的高为( )A ．RB ．2R C.43R D.34R 5．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm ，要使其体积为最大，则高为( )A.33cmB.1033cmC.1633cmD.2033cm 6．圆柱形金属饮料罐的容积一定时，为了使所用材料最省，它的高与底半径应为( )A ．h ＝2RB ．h ＝RC ．h ＝2RD ．h ＝2R7．以长为10的线段AB 为直径画半圆，则它的内接矩形面积的最大值为( )A ．10B ．15C ．25D ．508．设圆柱的体积为V ，那么其表面积最小时，底面半径为( )A.3V B.3V π C.34V D ．23V 2π9．福建炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x 小时时，原油温度(单位：℃)为f (x )＝13x 3－x 2＋8(0≤x ≤5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是( )A ．8 B.203C ．－1D ．－8 10．若一球的半径为r ，作内接于球的圆柱，则其圆柱侧面积最大为( )A ．2πr 2B ．πr 2C ．4πr 2 D.12πr 2 二、填空题11．把长为60cm 的铁丝围成矩形，长为________，宽为________时，矩形的面积最大．12．将长为l 的铁丝剪成2段，各围成长与宽之比为21及32的矩形，则面积之和的最小值为________．13．做一个容积为256的方底无盖水箱，它的高为________时最省料．14.做一个无盖的圆柱形水桶,若要使其体积是27π,且用料最小,则圆柱的底面半径为___．三、解答题15．某公司规定：对于小于或等于150件的订购合同，每件售价为200元，对于多于150件的订购合同，每超过一件，则每件的售价比原来减少1元，试问订购多少件的合同将会使公司的收益最大？16．如图，水渠横断面为等腰梯形，水的横断面面积为S ，水面的高为h ，问侧面与地面成多大角度时，才能使横断面被水浸湿的长度最小？17．某厂生产某种产品的固定成本(固定投入)为2500元，已知每生产x件这样的产品需要再增加可变成本C(x)＝200x＋136x3(元)，若生产出的产品都能以每件500元售出，要使利润最大，该厂应生产多少件这种产品？最大利润是多少？18．用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为21，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？。