河北省2019年中考数学第5章第2节中考命题规律精讲试题

第五章 图形的相似与解直角三角形第一节 图形的相似与位似1．(东营中考)若y x ＝34，则x ＋yx 的值为( D )A ．1B.47C.54D.742．(2017自贡中考)在△ABC 中，MN∥BC 分别交AB ，AC 于点M ，N ；若AM ＝1，MB ＝2，BC ＝3，则MN 的长为( A )A ．1B ．2 C.13D ．33．(荆州中考)如图，点P 在△ABC 的边AC 上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件不正确的是( D )A ．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C.AP AB ＝AB ACD.AB BP ＝AC CB(第3题图)(第4题图)4．(杭州中考)如图，已知直线a∥b∥c，直线m 交直线a ，b ，c 于点A ，B ，C ，直线n 交直线a ，b ，c 于点D ，E ，F ，若AB BC ＝12，则DEEF＝( B )A.13B.12C.23D ．15．(河北中考)如图，在△ABC 中，∠C＝90°，BC ＝6，D ，E 分别在AB ，AC 上，将△ABC 沿DE 折叠，使点A 落在点A′处，若A′为CE 的中点，则折痕DE 的长为( B )A.12B ．2C ．3D ．46．(重庆中考)△AB C 与△DEF 的相似比为1∶4，则△ABC 与△DEF 的周长比为( C ) A ．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶167．(盐城中考)如图，点F 在平行四边形ABCD 的边AB 上，射线CF 交DA 的延长线于点E ，在不添加辅助线的情况下，与△AEF 相似的三角形有( C )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个(第7题图)(第8题图)8．(安徽中考)如图，△ABC 中，AD 是中线，BC ＝8，∠B＝∠DAC，则线段AC 的长为( B ) A ．4 B ．4 2 C ．6 D ．4 39．(2019烟台中考)如图，在平面直角坐标系中，每个小方格的边长均为1.△AOB 与△A′OB′是以原点O 为位似中心的位似图形，且相似比为3∶2，点A ，B 都在格点上，则点B′的坐标是__⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，43__．(第9题图)(第10题图)10．(2019兰州中考)如图，四边形ABCD 与四边形EFGH 相似，位似中心是点O ，OE OA ＝35，则FG BC ＝__35__．11．(衡阳中考)若△ABC 与△DEF 相似且面积之比为25∶16，则△ABC 与△DEF 的周长之比为__5∶4__．12．(咸宁中考)如图，在△ABC 中，中线BE ，CD 相交于点O ，连接DE ，下列结论：①DE BC ＝12；②S △DOE S △COB ＝12；③AD AB ＝OE OB ；④S △ODE S △ADC ＝13.其中正确的个数有( B )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个(第12题图)(第13题图)13．(2019沧州九中模拟)如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于点F，D为AB的中点，连接DF延长交AC于点E.若AB＝10，BC＝16，则线段EF的长为( B )A．2 B．3 C．4 D．514．(泰安中考)如图，△ABC内接⊙O，AB是⊙O的直径，∠B＝30°，C E平分∠ACB交⊙O于点E，交AB于点D，连接AE，则S△ADE∶S△CDB的值等于( D )A．1∶ 2 B．1∶ 3 C．1∶2 D．2∶3(第14题图)(第15题图)15．如图，若A，B，C，P，Q和甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，为使△PQR∽△ABC，则点R 应是甲、乙、丙、丁四点中的( C )A．甲 B．乙 C．丙 D．丁16．(河北中考)如图，在6×8格图中，每个小正方形边长均为1，点O和△ABC的顶点均为小正方形的顶点．(1)以O为位似中心，在格图中作△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC位似，且位似比为1∶2；(2)连接(1)中的AA′，求四边形AA′C′C的周长．(结果保留根号)解：(1)如图；(2)4＋6 2.17．(舟山中考)如图，已知△ABC 和△DEC 的面积相等，点E 在BC 边上，DE∥AB 交AC 于点F ，AB ＝12，EF ＝9，则DF 的长是多少？解：∵△ABC 与△DEC 的面积相等， ∴△CDF 与四边形AFEB 的面积相等． ∵AB∥DE，∴△CEF∽△CBA.∵EF＝9，AB ＝12，∴EF∶AB＝9∶12＝3∶4， ∴△CEF 和△CBA 的面积比＝9∶16.设△CEF 的面积为9k ，则四边形AFEB 的面积为7k. ∵△CDF 与四边形AFEB 的面积相等， ∴S △CDF ＝7k.∵△CDF 与△CEF 是同高不同底的三角形， ∴面积比等于底之比，∴DF∶EF＝7k∶9k， ∵EF＝9，∴DF＝7.18．如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，∠AED＝∠B，射线AG 分别交线段DE ，BC 于点F ，G ，且AD AC ＝DFCG.(1)求证：△ADF∽△ACG； (2)若AD AC ＝12，求AFFG的值．解：(1)∵∠AED＝∠B，∠DAE＝∠DAE， ∴∠ADF＝∠C. ∵AD AC ＝DFCG，∴△ADF∽△ACG； (2)∵△ADF∽△ACG，∴AD AC ＝AF AG， 又∵AD AC ＝12，∴AF AG ＝12，∴AFFG＝1.2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，直线y x m =-+与()40ynx n n =+≠的交点的横坐标为2-，则关于x 的不等式40x m nx n -+>+>的整数解为（ ）.A ．1-B ．5-C ．4-D ．3-2．小明把一副45,30的直角三角板如图摆放，其中090,45,30C F A D ∠=∠=∠=∠=，则αβ∠+∠等于 （ ）A ．0180B ．0210C ．0360D ．02703．如图，抛物线2y ax bx c =++（a≠0）的对称轴为直线x ＝1，与x 轴的交点（1x ，0），（2x ，0），且﹣1＜1x ＜0＜2x ，有下列5个结论：①abc ＜0；②b ＞a+c ；③a+b ＞k （ka+b ）（k 为常数，且k≠1）；④2c ＜3b ；⑤若抛物线顶点坐标为（1，n ），则2b ＝4a （c ﹣n ），其中正确的结论有（ ）个．A ．5B ．4C ．3D ．24．不等式组111324(1)2()x x x x a -⎧-<-⎪⎨⎪--⎩…有3个整数解，则a 的取值范围是（ ） A ．﹣6≤a＜﹣5B ．﹣6＜a≤﹣5C ．﹣6＜a ＜﹣5D ．﹣6≤a≤﹣55．如图，将边长为的正方形绕点B 逆时针旋转30°，那么图中点M 的坐标为（ ）A.（，1）B.（1，）C.（，）D.（，）6．在数列3、12、30、60……中，请你观察数列的排列规律，则第5个数是( ) A ．75B ．90C ．105D ．1207．在一个不透明的口袋中装有2个绿球和若干个红球，这些球除颜色外无其它差别，从这个口袋中随机摸出一个球，摸到绿球的概率为14，则红球的个数是（ ） A.2B.4C.6D.88．如图，以正方形ABCD 的AB 边为直径作半圆O ，过点C 作直线切半圆于点E ，交AD 边于点F ，则sin ∠FCD ＝（ ）A ．34B ．35C ．45D ．9．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的顶点A 的坐标为（﹣1，1），点B 在x 轴正半轴上，点D 在第三象限的双曲线6y x上，过点C 作CE ∥x 轴交双曲线于点E ，连接BE ，则△BCE 的面积为（ ）A.5B.6C.7D.810．数据2060000000科学记数法表示为（ ）A．206×107B．20.6×108C．2.06×108D．2.06×10911．江西省足协2019年第三次主席办公会在南昌召开，某学校为了激发学生对体育的热情，选拔了23名学生作为校足球队成员，其中足球队23名队员的年龄情况如表：则该校足球队队员年龄的众数和中位数分别是（）A．13，14 B．13，13 C．14.13.5 D．16，1412．观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2019个图形共有( )个〇．A．6055 B．6056 C．6057 D．6058二、填空题13．矩形纸片ABCD，AB=9，BC=6，在矩形边上有一点P，且DP=3．将矩形纸片折叠，使点B与点P重合，折痕所在直线交矩形两边于点E，F，则EF长为________．14．如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α（0°＜α＜90°），若∠BAD′＝70°，则α＝__（度）．15．已知点A（﹣2，4）在反比例函数y=kx（k≠0）的图象上，则k的值为_____．16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8．线段AD由线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°得到，△EFG由△ABC沿CB方向平移得到，且直线EF过点D．则CG＝_____．17．某时刻在南京中华门监测点监测到PM2.5的含量为55微克/米3，即0.000055克/米3，将0.000055用科学记数法表示为_____．18．方程的解是___________________________.三、解答题19．已知：在锐角△ABC中，AB＝AC．D为底边BC上一点，E为线段AD上一点，且∠BED＝∠BAC＝2∠DEC，连接CE．（1）求证：∠ABE＝∠DAC；（2）若∠BAC＝60°，试判断BD与CD有怎样的数量关系，并证明你的结论；（3）若∠BAC＝α，那么（2）中的结论是否还成立．若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．20．甲、乙两公司为某基金会各捐款30 000元．已知甲公司的人数比乙公司的人数多20%，乙公司比甲公司人均多捐20元．甲、乙两公司各有多少人?21．观察下列等式：①32﹣31＝2×31；②33﹣32＝2×32；③34﹣33＝2×33；④35﹣34＝2×34…根据等式所反映的规律，解答下列问题：（1）直接写出：第⑤个等式为；（2）猜想：第n个等式为（用含n的代数式表示），并证明．22．小松想利用所学数学知识测量学校旗杆高度，如图，旗杆AB的顶端垂下一绳子，将绳子拉直钉在地上，末端恰好在C处且与地面成60°角，小松拿起绳子末端，后退至E处，并拉直绳子，此时绳子末端D距离地面2m且绳子与水平方向成45°角．求旗杆AB的高度．23．（12 01 (1)6tan303π-︒⎛⎫--+-⎪⎝⎭（2）解方程：544101236 x xx x-++=--24．某校为了解学生对排球、羽毛球、足球、篮球（以下分别用A、B、C、D表示）这四种球类运动的喜好情况．对全体学生进行了抽样调查（每位学生只能选一项最喜欢的运动），并将调查情况绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据以上信息回答下面问题：（1）本次参加抽样调查的学生有 人． （2）补全两幅统计图．（3）若从本次参加抽样调查的学生中任取1人，则此人喜欢哪类球的概率最大？求其概率． 25．如图，在半圆弧AB 中，直径6AB =cm ，点M 是AB 上一点，2MB =cm ，P 为AB 上一动点，PC AB ⊥交AB 于点C ，连接AC 和CM ，设A 、P 两点间的距离为x cm ，A 、C 两点间的距离为1y cm ，C 、M 两点间的距离为2y cm.小东根据学习函数的经验，分别对函数1y 、2y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究：下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了1y ，2y 与x 的几组对应值；（2）在同一平面直角坐标系xOy 中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x ，1y ），（x ，2y ），并画出函数1y ，2y 的图象；（3）结合函数图象，解决问题：①当AC CM >时，线段AP 的取值范围是 ；②当AMC ∆是等腰三角形时，线段AP 的长约为 .【参考答案】*** 一、选择题二、填空题13或． 14．20 15．-8 16．5 17．5×10－518．三、解答题19．（1）见解析；（2）BD ＝2DC ，见解析；（3）（2）中的结论仍然还成立，见解析. 【解析】 【分析】（1）根据外角的性质，推出∠BED=∠ABE+∠BAE ，由∠BAC=∠BAE+∠DAC ，根据∠BED=∠BAC 进行等量代换即可；（2）在AD 上截取AF=BE ，连接CF ，作CG ∥BE 交直线AD 于G ，∠BED=∠BAC ，结合（1）所推出的结论，求证△ACF ≌△BAE ，根据全等三角形的性质、三角形内角和定理推出∠CFG=180°-∠AFC=180°-∠BEA=∠BED ，由CG ∥BE ，可得∠CGF=∠BED ，BD ：CD=BE ：CG ，继而推出∠CFG=∠CGF ，即CG=CF ，通过等量代换可得BE=AF=2CF ，把比例式中的BE 、CG 用2CF 、CF 代换、整理后即可推出BD=2DC ，总上所述BD 与CD 的数量关系与∠BAC 的度数无关；（3）根据（2）所推出的结论即可推出若∠BAC=α，那么（2）中的结论仍然还成立． 【详解】（1）证明：∵∠BED ＝∠ABE+∠BAE ，∠BED ＝∠BAC ， ∴∠ABE+∠BAE ＝∠BAC ， ∵∠BAC ＝∠BAE+∠DAC ， ∴∠DAC ＝∠ABE ；（2）解：在AD 上截取AF ＝BE ，连接CF ，作CG ∥BE 交直线AD 于G ，∠BED ＝∠BAC ， ∵∠FAC ＝∠EBA ， ∴在△ACF 和△BAE 中，CA AB FAC EBA AF BE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝， ∴△ACF ≌△BAE （SAS ），∴CF ＝AE ，∠ACF ＝∠BAE ，∠AFC ＝∠AEB ． ∵∠AFC ＝∠BEA∴180°﹣∠AFC ＝180°﹣∠BEA ∴∠CFG ＝∠BEF ，∴∠CFG ＝180°﹣∠AFC ＝180°﹣∠BEA ＝∠BED ， ∵CG ∥BE ， ∴∠CGF ＝∠BED ， ∴∠CFG ＝∠CGF ，∴CG＝CF，∵∠BED＝2∠DEC，∵∠CFG＝∠DEC+∠ECF，∠CFG＝∠BED，∴∠ECF＝∠DEC，∴CF＝EF，∴BE＝AF＝2CF，∵CG∥BE，∴BD：CD＝BE：CG，∴BD：CD＝2CF：CF＝2，∴BD＝2DC，∴BD与CD的数量关系与∠BAC的度数无关；（3）解：∵BD与CD的数量关系与∠BAC的度数无关，∴若∠BAC＝α，那么（2）中的结论仍然还成立．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、三角形内角和定理等知识点，关键在于正确地作出辅助线，求证相关的三角形全等，进行等量代换．20．甲公司有300人，乙公司有250人【解析】【分析】设乙公司有x人，则甲公司有1.2x人，根据人均捐款钱数=捐款总数÷人数结合乙公司比甲公司人均多捐20元，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．【详解】解：设乙公司有x人，则甲公司有1.2x人．根据题意，得3000030000201.2x x-=．解得 x＝250．经检验，x＝250是原方程的解．∴1.2x＝300．答：甲公司有300人，乙公司有250人．【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．21．（1）36﹣35＝2×35；（2）3n+1﹣3n＝2×3n．【解析】【分析】由①32﹣31＝2×31；②33﹣32＝2×32；③34﹣33＝2×33；④35﹣34＝2×34…得出第⑤个等式，以及第n个等式的底数不变，指数依次分别是n+1、n、n．【详解】解：（1）由①32﹣31＝2×31；②33﹣32＝2×32；③34﹣33＝2×33；④35﹣34＝2×34…得出第⑤个等式36﹣35＝2×35；故答案为：36﹣35＝2×35；（2）由①32﹣31＝2×31；②33﹣32＝2×32；③34﹣33＝2×33；④35﹣34＝2×34…得出第n个等式的底数不变，指数依次分别是n+1、n、n，即3n+1﹣3n＝2×3n．证明：左边＝3n+1﹣3n＝3×3n﹣3n＝3n×（3﹣1）＝2×3n＝右边，所以结论得证．故答案为：3n+1﹣3n＝2×3n．【点睛】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，得出规律，利用规律，解决问题．22．6【解析】【分析】过点D作DF⊥AB于点F，设BC＝x，由题意可知AD＝AC＝2x，AF＝DF x，然后根据tan30°＝BC AB列出方程解出x的值即可求出答案．【详解】解：过点D作DF⊥AB于点F，设BC＝x，∵∠ACB＝60°，∴∠CAB＝30°，∴AC＝2x，∵AD＝AC＝2x，∠ADF＝45°，∴由勾股定理可知：AF＝DF x，∵DE＝BF＝2，AB2∴=+，∵tan30°＝BC AB，3=，解得：x==+=．∴AB26【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用特殊角三角函数的值，本题属于中等题型．23．(1)10;(2)原方程无解.【解析】【分析】（1）原式利用二次根式性质，零指数幂、负整数指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】-⨯+＝10；（1）原式＝1693（2）去分母得：3（5x﹣4）+3x﹣6＝4x+10，解得：x＝2，经检验：x＝2是增根，原方程无解．【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．24．（1）600;（2）见解析;（3）0.4.【解析】【分析】（1）根据B组人数统计百分比求出总人数即可．（2）求出C组人数，A，C两组的百分比画出条形图，扇形统计图即可．（3）喜欢蓝球的人数最多，因此此人喜欢篮球的概率最大．【详解】（1）总人数=60÷10%=600（人） 故答案为600． （2）如下图：（3）240÷600=0.4此人喜欢蓝球的概率最大，其概率是0.4． 【点睛】本题考查了条形统计图，扇形统计图等知识，解题的关键是理解题意，熟练掌握基本知识. 25．（1）见解析；（2）见解析；（3）①26AP <≤，②2或2.6. 【解析】 【分析】（1）求出PM ，由y 2的值通过勾股定理求出PC 2，再次运用勾股定理即可求出y 1； （2）根据表格数据描点连线即可；（3）①结合函数图像，找到y 1在y 2上方时x 的取值范围； ②观察函数图像，找到当y 1=y 2，y 1=4=AM 时x 的值即可. 【详解】解：（1）∵AP=3， ∴PM=6-3-2=1， ∵CM=3.16,∴PC 2=22223.1618.9856CM PM -=-= ，∴AC=y 1 4.24=≈，补全下表：（2）描点（x ，1y ），画出函数1y 的图象：（3）①观察函数图像可知，当y 1＞y 2时，26x <≤， 线段AP 的取值范围是26AP <≤； ②观察图像可知，当y 1=y 2时,x=2, 当y 1=4=AM 时，x≈2.6， ∴线段AP 的长约为2或2.6 【点睛】本题考查了圆的基本性质、勾股定理以及函数的相关知识，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想思考问题，属于中考常考题型．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，有一平行四边形ABCD与一正方形CEFG，其中E点在AD上．若∠ECD=35°，∠AEF=15°，则∠B的度数为何？（）A．50 B．55 C．70 D．752．下列计算正确的是（）A．a4+a3＝a7B．a4•a3＝a12C．（a4）3＝a7D．a4÷a3＝a3．方程的两个根为( )A.，B.，C.，D.，4．下列命题中，正确的是（）A．两条对角线相等的四边形是平行四边形B．两条对角线相等且互相垂直的四边形是矩形C．两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形D．两条对角线互相平分且相等的四边形是正方形5．如果y，那么（﹣x）y的值为（）A.1B.﹣1C.±1D.06．某车间需加工一批零件，车间20名工人每天加工零件数如表所示：每天加工零件数的中位数和众数为( )A．6，5 B．6，6 C．5，5 D．5，67．如图，在∆ABC中，AC=BC，过C作CD//AB．若AD平分∠CAB，则下列说法错误的是（）A ．BC=CDB ．BO ：OC=AB ：BC C ．△CDO ≌△BAOD ．::AOC CDO S S AB BC ∆∆=8．王爷爷上午8：00从家出发，外出散步，到老年阅览室看了一会儿报纸，继续以相同的速度散步一段时间，然后回家．如图描述了王爷爷在散步过程中离家的路程s （米）与所用时间t （分）之间的函数关系，则下列信息错误的是（ ）A ．王爷爷看报纸用了20分钟B ．王爷爷一共走了1600米C ．王爷爷回家的速度是80米/分D ．上午8：32王爷爷在离家800米处9．如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC ，BD 相交于点O ，DH ⊥AB 于点H ，连接OH ，若∠DHO ＝20°，则∠ADC 的度数是（ ）A.120°B.130°C.140°D.150°10．计算a 2•（a 2）3的结果是（ ） A.a 7B.a 10C.a 8D.a 1211．如图，▱ABCD 中，AB ＝4，BC ＝8，∠A ＝60°，动点P 沿A ﹣B ﹣C ﹣D 匀速运动，运动速度为2cm/s ，同时动点Q 从点A 向点D 匀速运动，运动速度为1cm/s ，点Q 到点D 时两点同时停止运动，设点Q 走过的路程为x （s ），△APQ 的面积为y （cm 2），能大致刻画y 与x 的函数关系的图象是（ ）A ．B ．C．D．12．下列设计的图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．二、填空题13．如图，正方形OABC的边长为2，以O为圆心，EF为直径的半圆经过点A，连接AE，CF相交于点P，将正方形OABC从OA与OF重合的位置开始，绕着点O逆时针旋转90°，交点P运动的路径长是_____．14．观察下面三行数：﹣1，2，﹣3，4，﹣5，…3，﹣6，9，﹣12，15，…﹣1，8，﹣27，64，﹣125，…（1）第一行的第7个数是_____，第二行的第8个数是_____，第三行的第6个数是_____；（2）取每行数的第10个数，这三个数的和为_____．15．如图，AB切⊙O于C，AO交⊙O于D，AO的延长线交⊙O于E，若∠A＝α，则∠ECB＝_____(用含α的式子表示)．16．截止2018年底，中国互联网用户达8.29亿.数据8.29亿用科学记数法表示为_____________. 17．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣3x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，以AB为边在第一象限内作正方形ABCD，点D在双曲线（k≠0）上，将正方形沿x轴负方向平移a个单位长度后，点C恰好落在该双曲线上，则a的值是____．18．在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝3，E是AB边上一点，AE＝2，F是直线CD上一动点，将△AEF沿直线EF折叠，点A的对应点为点A'，当点E、A'、C三点在一条直线上时，DF的长度为_____．三、解答题19．2019年初，电影《流浪地球》和《绿皮书》陆续热播，为了解某大学1800名学生对两部电影的喜爱程度，调查小组随机抽取了该大学20名学生对两部电影打分，过程如下．收集数据20名大学生对两部电影的打分结果如下：《流浪地球》78 75 99 98 79 67 88 78 76 98 88 79 97 91 78 80 93 90 99 99《绿皮书》88 79 68 97 85 74 96 84 92 97 89 81 91 75 80 85 91 89 97 92整理、描述数据绘制了如下频数分布直方图和统计表，请补充完整．(说明：60≤x＜70表示一般喜欢，70≤x＜80表示比较喜欢，80≤x＜90表示喜欢，90≤x＜100表示超级喜欢)分析数据、推断结论(1)估计该大学超级喜欢电影《绿皮书》的有人；(2)你认为观众更喜欢这两部电影中的(填《流浪地球》或《绿皮书》)，理由是．20．如图，在▱ABCD中，过A、B、C三点的⊙O交AD于点E，连接BE、CE，BE＝BC．（1）求证：△BEC∽△CED；（2）若BC＝10，DE＝3.6，求⊙O的半径．21．某校为了解全校学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况，随机选取该校部分学生进行调查，要求每名学生从中只选一类最喜爱的电视节目，以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分．请你根据以上的信息，回答下列问题：（1）被调查的学生中，最喜爱体育节目的有人，这些学生数占被调查总人数的百分比为%．（2）被调查学生的总数为人，统计表中m的值为，统计图中n的值为．（3）在统计图中，E类所对应扇形圆心角的度数为．（4）该校共有2000名学生，根据调查结果，估计该校最喜爱新闻节目的学生数．22．某商店第一个月以每件100元的价格购进200件衬衫，以每件150元的价格售罄．由于市场火爆，该商店第二个月再次购进一批衬衫，与第一批衬衫相比，这批衬衫的进价和数量都有一定的提高，其数量的增长率是进价增长率的2.5倍，该批衬衫仍以每件150元销售．第二个月结束后，商店对剩余的50件衬衫以每件120元的价格一次性清仓销售，商店出售这两批衬衫共盈利17500元．设第二批衬衫进价的增长率为x．（1）第二批衬衫进价为元，购进的数量为件．（都用含x的代数式表示，不需化简）（2）求x 的值．23．车辆经过润扬大桥收费站时，4个收费通道A 、B 、C 、D 中，可随机选择其中一个通过． （1）一辆车经过此收费站时，选择A 通道通过的概率是 ．（2）用树状图或列表法求两辆车经过此收费站时，选择不同通道通过的概率． 24．已知，平面直角坐标系中，关于x 的二次函数y ＝x 2﹣2mx+m 2﹣2 (1)若此二次函数的图象过点A(﹣1，﹣2)，求函数的表达式；(2)若(x 1，y 1)，(x 2，y 2)为此二次函数图象上两个不同点，且x 1+x 2＝4时y 1＝y 2，试求m 的值； (3)点P(﹣2，y 3)在抛物线上，求y 3的最小值．25．如图，△ABC 内接于⊙O ，BC 为直径，∠BAC 的平分线与BC 和⊙O 分别相交于D 和E ，P 为CB 延长线上一点，PB ＝5，PA ＝10，且∠DAP ＝∠ADP ． （1）求证：PA 与⊙O 相切； （2）求sin ∠BAP 的值； （3）求AD•AE 的值．【参考答案】*** 一、选择题二、填空题1314．﹣7、 ﹣24、 216； 980 15．45°+2α16．88.2910⨯ 17．2 18．1或11三、解答题19．补全统计图与统计表见解析；(1)720；(2)见解析.【解析】【分析】（1）根据题干中所给数据，整理可补全直方图；再根据众数和中位数的定义可得；（2）答案不唯一，合理即可．【详解】（1）补全《流浪地球》的分布直方图如下：填统计表如下：估计该大学超级喜欢电影《绿皮书》的有1800×820＝720(名)，故答案为：720；(2)答案不唯一，喜欢《绿皮书》理由：在被调查者中，喜欢《绿皮书》的中位数高于喜欢的《流浪地球》中位数；为《绿皮书》打分在80分以上的有16人，而为《流浪地球》打分在以上的只有12人．故答案为：《绿皮书》，在被调查者中，喜欢《绿皮书》的中位数高于喜欢的《流浪地球》中位数．【点睛】此题考查了条形统计图，用样本估计总体，以及统计表，弄清题中的数据是解本题的关键．20．(1)见解析；（2【解析】【分析】（1）证明两个等腰三角形相似，证明一个底角对应相等即可；（2）利用直径构造直角三角形，从而涉及到半径（直径），再利用垂径定理即可解决问题．【详解】（1）证明：∵BE＝BC，∴∠BEC＝∠BCE∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD．∴∠BCE＝∠DEC，∠A+∠D＝180°．∴∠BEC＝∠DEC∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A+∠BCE＝180°．∴∠BCE＝∠D∴△BEC∽△CED即得证．（2）过点O作OF⊥CE，垂足为F，连接OC，如下图．∴CF＝12 CE，∴直线OF垂直平分CE，∵BE＝BC，∴直线OF经过点B，∵△BEC∽△CED，又由（1）可知CE＝CD，∴BC CE CE DE=，∵BC＝10，DE＝3.6，∴CE＝CD＝6∴CF＝12CE＝3，设⊙O的半径为r，可得BF=OF r，在Rt△OCF中，OF2+CF2＝OC2，r）2+9＝r2∴r＝91，即圆的半径为91【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，尤其是对两个等腰三角形的判定更为特殊，利用直径构造直角三角形是相关问题中的常用思路．21．（1）30，20；（2）150，45，36；（3）21.6°；（4）160【解析】【分析】（1）观察图表体育类型即可解决问题；（2）根据“总数＝B类型的人数÷B所占百分比”可得总数；用总数减去其他类型的人数，可得m的值；根据百分比＝所占人数/总人数可得n的值；（3）根据圆心角度数＝360°×所占百分比，计算即可；（4）用学生数乘以最喜爱新闻节目所占百分比可估计最喜爱新闻节目的学生数．【详解】（1）最喜爱体育节目的有 30人，这些学生数占被调查总人数的百分比为 20%．故答案为30，20；（2）总人数＝30÷20%＝150人，m＝150﹣12﹣30﹣54﹣9＝45，n%＝54150×100%＝36%，即n＝36，故答案为150，45，36．（3）E类所对应扇形的圆心角的度数＝360°×9150＝21.6°，故答案为21.6°；（4）估计该校最喜爱新闻节目的学生数为2000×12150＝160人，答：估计该校最喜爱新闻节目的学生数为160人．【点睛】本题考查统计表、扇形统计图、样本估计总体等知识没解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．22．（1）100(1＋x)，200(1＋2.5x)．（2）20%．【解析】（1）根据增长率的定义以及数量的增长率是进价增长率的2.5倍即可得到结果；（2）根据利润等于第一次售罄的利润+（第二次-50件所得利润）+清仓销售的50件的利润，列出方程并求解即可.【详解】解：（1）第二批衬衫进价为100(1＋x)元，购进的数量为200(1＋2.5x)件，．（2）根据题意，得200×(150－100)＋[150－100(1＋x)][200(1＋2.5x)－50]＋50[120－100(1＋x)]＝17500．化简，得50x2－5x－1＝0．解这个方程，得x1＝15，x2＝110-（不合题意，舍去）．所以x的值是20%．【点睛】本题主要考查了一元二次方程与销售问题，根据题意找到等量关系并列出方程是解题关键，注意要舍去不合题意的解.23．（1）14；（2）34【解析】【分析】（1）根据概率公式即可得到结论；（2）画出树状图即可得到结论．【详解】解：（1）选择A通道通过的概率＝1 4故答案为：14；（2）设两辆车为甲，乙，如图，两辆车经过此收费站时，会有16种可能的结果，其中选择不同通道通过的有12种结果，∴选择不同通道通过的概率＝123 164=．本题考查了列表法与树状图法，概率公式，正确的画出树状图是解题的关键．24．(1)y＝x2+2x﹣1；(2)m=2；(3)当m＝﹣2时，y3有最小值是﹣2．【解析】【分析】（1）将点(﹣1，﹣2)直接代入二次函数，解出m即可；（2）因为y1＝y2，所以x12﹣2mx1+m2﹣2＝x22﹣2mx2+m2﹣2，得到(x1+x2)(x1﹣x2)＝2m(x1﹣x2)，又因x1+x2＝4，所以m＝2；（3）点P(﹣2，y3)在抛物线上，得到y3＝4+4m+m2﹣2＝(m+2)2﹣2，所以当m＝﹣2时，y3有最小值是﹣2．【详解】解：(1)∵函数图象过点(﹣1，﹣2)，∴将点代入y＝x2﹣2mx+m2﹣2，解得m＝﹣1，∴函数的表达式为y＝x2+2x﹣1；(2)∵(x1，y1)(x2，y2)为此二次函数图象上两个不同点,∴x1≠x2，∵y1＝y2，∴x12﹣2mx1+m2﹣2＝x22﹣2mx2+m2﹣2，∴(x1+x2)(x1﹣x2)＝2m(x1﹣x2)，∵x1+x2＝4，∴m＝2；(3)∵点P(﹣2，y3)在抛物线上，∴y3＝4+4m+m2﹣2＝(m+2)2﹣2，∴当m＝﹣2时，y3有最小值是﹣2．【点睛】本题考查二次函数的简单应用，第二问的关键在于能够把y1＝y2得到的方程进行变形，整体代入x1+x2＝4.25．（1）详见解析；（2；（3）90.【解析】【分析】（1）连接OA，由三角形的外角性质和角平分线得出∠PAB＝∠C，由等腰三角形的性质得出∠OAC＝∠C ＝∠PAB，由圆周角定理得出∠BAC＝90°，证出∠OAP＝90°，即AP⊥OA，即可得出PA与⊙O相切；（2）证明△PAB ∽△PCA ，得出1,2AB PB AC PA == 得出AB BC ==，即可得出结果； （3）连接CE ，由切割线定理求出PC ＝20，得出BC ＝PC ﹣PB ＝15，求出5AB BC ==2AC AB ==ACE ∽△ADB ，得出AE AC AB AD =，即可得出结果． 【详解】（1）证明：连接OA ，如图1所示： ∵AE 平分∠BAC ， ∴∠BAD ＝∠CAD ，∵∠DAP ＝∠BAD+∠PAB ，∠ADP ＝∠CAD+∠C ，∠DAP ＝∠ADP ， ∴∠PAB ＝∠C ， ∵OA ＝OC ，∴∠OAC ＝∠C ＝∠PAB ， ∵BC 为直径，∴∠BAC ＝90°，即∠OAC+∠OAB ＝90°， ∴∠PAB+∠OAB ＝90°，即∠OAP ＝90°， ∴AP ⊥OA ， ∴PA 与⊙O 相切；（2）解：∵∠P ＝∠P ，∠PAB ＝∠C ， ∴△PAB ∽△PCA ， ∴1,2AB PB AC PA == ∵∠CAB ＝90°，∴5AB BC ==∴sin ∠BAP ＝sin ∠C ； （3）解：连接CE ，如图2所示： ∵PA 与⊙O 相切，∴PA 2＝PB×PC，即102＝5×PC， ∴PC ＝20， ∴BC ＝PC ﹣PB ＝15，∵5AB BC =∴5AB BC ==2AC AB == ∵AE 是∠BAC 的角平分线， ∴∠BAD ＝∠CAE ， ∵∠E ＝∠ABD ， ∴△ACE ∽△ADB ， ∴AE ACAB AD=∴90AD AE AB AC ⋅=⋅==．【点睛】本题是圆的综合题目，考查了圆周角定理、切线的判定与性质、切割线定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、三角函数定义等知识；本题综合性强，证明三角形相似是解题的关键．。

第二部分 热点专题突破专题一 规 律 探 究数式的规律探究例1 (2018，安徽改编)观察以下等式：第1个等式：11＋02＋11×02＝1， 第2个等式：12＋13＋12×13＝1， 第3个等式：13＋24＋13×24＝1， 第4个等式：14＋35＋14×35＝1， 第5个等式：15＋46＋15×46＝1， ……按照以上规律，解决下列问题：(1)写出第6个等式：（ 16＋57＋16×57＝1 ）； (2)写出第n 个等式：（ 1n ＋n －1n ＋1＋1n ·n －1n ＋1＝1 ）.(用含n 的等式表示) 【解析】 (1)根据已知规律，第6个等式中的分数的分母分别为6和7，分子分别为1和5.故应填16＋57＋16×57＝1.(2)根据规律，得第n 个等式中的分数的分母分别为n 和n ＋1，分子分别为1和n －1.故应填1n ＋n －1n ＋1＋1n ·n －1n ＋1＝1. 针对训练1 (2018，随州)我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别称作“三角形数”(如1，3，6，10，…)和“正方形数”(如1，4，9，16，…)．在小于200的数中，设最大的“三角形数”为m ，最大的“正方形数”为n ，则m ＋n 的值为( C )训练1题图A. 33B. 301C. 386D. 571【解析】 由图形，知第k 个“三角形数”为1＋2＋3＋…＋k ＝k （k ＋1）2，第k 个“正方形数”为k 2.当k ＝19时，k （k ＋1）2＝190＜200，当k ＝20时，k （k ＋1）2＝210＞200，所以最大的“三角形数”m ＝190.当k ＝14时，k 2＝196＜200，当k ＝15时，k 2＝225＞200，所以最大的“正方形数”n ＝196.∴m ＋n ＝386.针对训练2 (2014，河北)如图，点O ，A 在数轴上表示的数分别是0，0.1.训练2题图将线段OA 分成100等份，其分点由左向右依次为M 1，M 2，…，M 99；再将线段OM 1分成100等份，其分点由左向右依次为N 1，N 2，…，N 99；继续将线段ON 1分成100等份，其分点由左向右依次为P 1，P 2，…，P 99.则点P 37所表示的数用科学记数法表示为3.7×10－6.【解析】 由题意，得点M 1表示的数为0.1×1100＝10－3.∴点N 1表示的数为10－3×1100＝10－5.∴点P 1表示的数为10－5×1100＝10－7.∴点P 37表示的数为3.7×10－6.图形的规律探究例2 (2015，河北，导学号5892921)如图，∠BOC ＝9°，点A 在OB 上，且OA ＝1.按下列要求画图：以点A 为圆心，1为半径向右画弧交OC 于点A 1，得第1条线段AA 1；再以点A 1为圆心，1为半径向右画弧交OB 于点A 2，得第2条线段A 1A 2；再以点A 2为圆心，1为半径向右画弧交OC 于点A 3，得第3条线段A 2A 3；……这样画下去，直到得第n 条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n ＝ 9 .例2题图【解析】 由题意，得AO ＝A 1A ，A 1A ＝A 2A 1，….∴∠AOA 1＝∠OA 1A ，∠A 1AA 2＝∠A 1A 2A ，….∵∠BOC ＝9°，∴∠A 1AA 2＝18°，∠A 2A 1A 3＝27°，∠A 3A 2A 4＝36°，∠A 4A 3A 5＝45°，…，∠A n －1A n －2A n ＝n ·9°.在△A n －1A n －2A n 中，2n ·9°<180°，解得n <10.∴n 最大取9.针对训练3 将图①所示的正六边形进行分割得到图②，再将图②中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割得到图③，再将图③中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割……则第n 个图形中，共有 (3n －2) 个正六边形．训练3题图【解析】 分析可得将题图①所示的正六边形进行分割得到题图②，增加了3个正六边形，共4个；再将题图②中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割得到题图③，又增加了3个正六边形，共4＋3＝7(个)．故每次分割，都增加3个正六边形．故第n 个图形中，正六边形共有1＋3(n －1)＝3n －2(个).针对训练4 (2018，保定模拟，导学号5892921)如图，△ABC 是一个边长为2的等边三角形，AD 0⊥BC ，垂足为D 0，过点D 0作D 0D 1⊥AB ，垂足为D 1，再过点D 1作D 1D 2⊥AD 0，垂足为D 2，又过点D 2作D 2D 3⊥AB ，垂足为D 3……这样一直作下去，得到一组线段：D 0D 1，D 1D 2，D 2D 3，…，则线段D 1D 2的长为（ 34 ），线段D n －1D n 的长为（ ⎝ ⎛⎭⎪⎫32n） (n 为正整数)．。

第二章方程(组)与不等式(组) 第一节一次方程(组)及应用及应用在河北五年中考真题及模拟)一次方程(组)的应用1．(2019河北中考)利用加减消元法解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x＋5y＝－10，①5x－3y＝6，②下列做法正确的是( D ) A．要消去y，可以将①×5＋②×2B．要消去x，可以将①×3＋②×(－5)C．要消去y，可以将①×5＋②×3D．要消去x，可以将①×(－5)＋②×22．(2019张家口中考模拟)小明在解关于x，y的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧x＋y＝△，2x－3y＝5时，解得⎩⎪⎨⎪⎧x＝4y＝则△和代表的数分别是( B )A．△＝1，＝5 B．△＝5，＝1C．△＝－1，＝3 D．△＝3，＝－13．(2019石家庄二模)希望中学九年级(1)班共有学生49人，当该班少一名男生时，男生的人数恰好为女生人数的一半．设该班有男生x人，则下列方程中，正确的是( A )A．2(x－1)＋x＝49 B．2(x＋1)＋x＝49C．x－1＋2x＝49 D．x＋1＋2x＝494．(2019原创)已知⎩⎪⎨⎪⎧x＝3，y＝－2是关于⎩⎪⎨⎪⎧ax＋by＝3，bx＋ay＝－7的解，则(a＋b)(a－b)的值为__－8__．5．(2019河北中考)已知n边形的内角和θ＝(n－2)×180°.(1)甲同学说，θ能取360°；而乙同学说，θ也能取630°.甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n.若不对，说明理由；(2)若n边形变为(n＋x)边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法确定x.解：(1)甲对，乙不对．∵θ＝360°，∴(n－2)×180°＝360°.解得n＝4.∵θ＝630°，∴(n－2)×180°＝630°，解得n＝11 2.∵n为整数，∴θ不能取630°；(2)依题意，得(n－2)×180°＋360°＝(n＋x－2)×180°.解得x＝2.,中考考点清单方程、方程的解与解方程1．含有未知数的__等式__叫方程．2．使方程左右两边相等的__未知数__的值叫方程的解．3．求方程__解__的过程叫解方程．等式的基本性质4.一次方程(组)次方程【易错警示】(1)解一元一次方程去分母时常数项不要漏乘，移项一定要变号；(2)二元一次方程组的解应写成⎩⎪⎨⎪⎧x＝a，y＝b的形式．列方程(组)解应用题的一般步骤6.(1)消元思想：将二元一次方程组通过消元使其变成一元一次方程；(2)整体思想：在解方程时结合方程的结构特点，灵活采取整体思想，使整个过程简捷；(3)转化思想：解一元一次方程最终要转化成ax ＝b ；解二元一次方程组先转化成一元一次方程； (4)数形结合思想：利用图形的性质建立方程模型解决几何图形中的问题； (5)方程思想：利用其他知识构造方程解决问题．,中考重难点突破一元一次方程及解法【例1】(1)(2019成都中考)已知|a ＋2|＝1，则a ＝________.(2)解方程：0.5x ＋20.03－x ＝0.3（0.5x ＋2）0.2－13112.【解析】(1)注意绝对值等于1的数有两个；(2)先根据分式的基本性质把各分母变成整数，再由等式的性质去分母，小心不要把两者混为一谈．【答案】(1)－1或－3；(2)解：原方程可化为：50x ＋2003－x ＝3（x ＋4）4－13112，解得x ＝－5.1．若代数式x ＋3值是2，则x ＝__－1__． 2．(滨州中考)解方程：2－2x ＋13＝1＋x2.解：去分母，得12－2(2x ＋1)＝3(1＋x)， 去括号，得12－4x －2＝3＋3x ， 移项，得－4x －3x ＝3＋2－12， 合并同类项，得－7x ＝－7， 系数化为1，得x ＝1.二元一次方程组及解法【例2】已知关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝m ，x ＋2y ＝－1的解互为相反数，则m ＝________.【解析】由解互为相反数可得x ＝－y ，而后把x ＝－y 代入方程组从而得到关于m ，y 的二元一次方程组，解之即可得m 的值．【答案】－13．(2019济南中考)如果13x a ＋2y 3与－3x 3y 2b －1是同类项，那么a ，b 的值分别是( A )A.⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2B.⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝2C.⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1D.⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1 4．解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋10＝10y ， ①15x ＝20y ＋10. ②解：由①，得x －2y ＝－2.③ 由②，得3x －4y ＝2.④ ③×2－④，得x ＝6.把x ＝6代入③，得y ＝4，所以原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝4.一元一次方程的应用【例3】(2019资阳中考)电器商城某种高端品牌的家用电器，若按标价打八折销售该电器一件，则可获纯利润500元，其利润率为20%，现如果按同一标价打九折销售该电器一件，那么获得的纯利润为( A )A ．562.5元B ．875元C ．550元D ．750元【解析】本例涉及标价、打折后的新售价、进价、利润、利润率及它们之间的关系．进价为500÷20%＝2 500(元)．设标价为x 元，根据题意，得80%x －2 500＝500，解得x ＝3 750.∴3 750×90%－2 500＝875(元)．【答案】B5．学校需要购买一批篮球和足球，已知一个篮球比一个足球的进价高30元，买两个篮球和三个足球一共需要510元．求篮球和足球的单价．解：设一个篮球x 元，则一个足球(x －30)元． 由题意，得2x ＋3(x －30)＝510. 解得x ＝120.x －30＝90.答：一个篮球120元，一个足球90元.二元一次方程的应用【例4】(2019金华中考)某场音乐会贩卖的座位分成一楼与二楼两个区域．若一楼售出与未售出的座位数比为4∶3，二楼售出与未售出的座位数比为3∶2，且此场音乐会一、二楼未售出的座位数相等，则此场音乐会售出与未售出的座位数比为( A )A ．2∶1B ．7∶5C ．17∶12D ．24∶17【解析】设一楼售出的座位数为4x ，未售出的座位数为3x ，二楼售出的座位数为3y ，未售出的座位数为2y.由题意，得3x ＝2y ，则x ＝2y 3.那么4x ＋3y3x ＋2y ＝4×23y ＋3y 2y ＋2y＝17∶12.【答案】C6．(2019新疆中考)某班级为筹建运动会，准备用365元购买两种运动服，其中甲种运动服20元/套，乙种运动服35元/套，在钱都用尽的条件下，有多少种购买方案？解：设买甲种运动服x 套，乙种y 套． 由题意，得20x ＋35y ＝365，则x ＝73－7y 4，∵x ，y 必须为正整数， ∴73－7y 4＞0，即0＜y ＜737，∴当x ＝3时，x ＝13， 当y ＝7时，x ＝6. 答：有2种方案．二元一次方程组的应用【例5】(2019徐州中考)某景点的门票价格如下表：班人数多于50人且少于100人．如果两班都以班为单位单独购票，则一共支付1 118元，如果两班联合起来作为一个团体购票，则只需花费816元．(1)两个班各有多少名学生？(2)团体购票与单独购票相比较，两个班各节约了多少钱？【解析】条件中只说(1)班学生人数少于50人，(2)班人数多于50人且少于100人．那么，两班共有人数是不到100人，还是比100人多，都不清楚，因此，需分类讨论是100多人，还是在50至100中．【答案】解：(1)设七年级(1)班有x 人、七年级(2)班有y 人．当50＜x ＋y ＜100时，由题意，得 ⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋10y ＝1 118，10（x ＋y ）＝816. ∴x ＋y ＝81.6，不是整数，不合题意． 当x ＋y ＞100时，由题意，得 ⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋10y ＝1 118，8（x ＋y ）＝816.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝49，y ＝53. 答：七年级(1)班有49人，七年级(2)班有53人；(2)七年级(1)班节约了(12－8)×49＝196(元)，七年级(2)班节约了(10－8)×53＝106(元)．7．(江西中考)小锦和小丽购买了价格分别相同的中性笔和笔芯．小锦买了20支笔和2盒笔芯，用了56元；小丽买了2支笔和3盒笔芯，仅用了28元．求每支中性笔和每盒笔芯的价格．解：设每支中性笔x 元，每盒笔芯y 元． 根据题意，得 ⎩⎪⎨⎪⎧20x ＋2y ＝56，2x ＋3y ＝28，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝8. 答：每支中性笔2元，每盒笔芯8元．8．(孝感中考)孝感市在创建国家级园林城市中，绿化档次不断提升．某校计划购进A ，B 两种树木共100棵进行校园绿化升级．经市场调查：购买A 种树木2棵，B 种树木5棵，共需600元；购买A 种树木3棵，B 种树木1棵，共需380元．(1)求A 种、B 种树木每棵各多少元；(2)因布局需要，购买A 种树木的数量不少于B 种树木数量的3倍．学校与中标公司签订的合同中规定：在市场价格不变的情况下(不考虑其他因素)，实际付款总金额按市场价九折优惠．请设计一种购买树木的方案，使实际所花费用最省，并求出最省的费用．解：(1)设A 种树木每棵x 元，B 种树木每棵y 元．根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝600，3x ＋y ＝380.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝100y ＝80. 答：A 种树木每棵100元，B 种树木每棵80元；(2)设购买A 种树木为a 棵，则购买B 种树木为(100－a)棵． 则a≥3(100－a)，∴a≥75. 设实际付款总金额为w 元．则w ＝0.9[100a ＋80(100－a)]＝18a ＋7 200， ∵18>0，w 随a 的增大而增大， ∴当a ＝75时，w 最小．即a ＝75，w 最小值＝18×75＋7 200＝8 550(元)．∴当购买A 种树木75棵，B 种树木25棵时，所需费用最少，最少费用为8 550元.2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，有一平行四边形ABCD与一正方形CEFG，其中E点在AD上．若∠ECD=35°，∠AEF=15°，则∠B的度数为何？（）A．50 B．55 C．70 D．752．已知，则以下对m的估算正确的（）A.2＜m＜3B.3＜m＜4C.4＜m＜5D.5＜m＜63．由6个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示,若小正方体的棱长为a,关于它的视图和表面积,下列说法正确的是( )A．它的主视图面积最大,最大面积为4a2B．它的左视图面积最大,最大面积为4a2C．它的俯视图面积最大,最大面积为5a2D．它的表面积为22a24．如图，延长正方形ABCD的AB边至点E，使BE=AC，则∠BED=( )A．20°B．30°C．22.5°D．32.5°5．以下所给的数值中，为不等式﹣2x+3＜0的解集的是（）A.x＜﹣2B.x＞﹣1C.x＜﹣32D.x＞326．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点P是BC边上的一个动点（点P不与点B、C重合），现将△PCD沿直线PD折叠，使点C落到点C′处；作∠BPC′的角平分线交AB于点E．设BP＝x，BE＝y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）A. B.C. D.7．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，n），与y轴的交点在（0，2）与（0，3）之间（包含端点），下列结论：①当x＞3时，y＜0；②﹣1≤a≤﹣23；③3≤n≤4；④关于x的方程ax2+bx+c＝n﹣1有两个不相等的实数根．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．有这样一道题：如图，在正方形ABCD中，有一个小正方形EFGH，其中E，F，G分别在4B，BC，FD 上，连接DH，如果BC=12,BF=3.求tan HDG∠的值.以下是排乱的证明步骤：①求出EF、DF的长；②求出tan HDG∠的值；③证明BFE=CDF∠∠④求出HG、DG;⑤证明ΔBEF~ΔCFD.证明步骤正确的顺序是( )A．③⑤④①②B．①④⑤③②C．③⑤①④②D．⑤①④③②9．某天的同一时刻，甲同学测得1m的测竿在地面上的影长为0.6m，乙同学测得国旗旗杆在地面上的影长为9.6m。

2019年河北省中考数学试卷一、选择题（本大题有16个小题，共42分，1-10小题各3分，11-16小题各2分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）下列图形为正多边形的是（）A．B．C．D．2．（3分）规定：（→2）表示向右移动2记作+2，则（←3）表示向左移动3记作（）A．+3B．﹣3C．﹣D．+3．（3分）如图，从点C观测点D的仰角是（）A．∠DAB B．∠DCE C．∠DCA D．∠ADC4．（3分）语句“x的与x的和不超过5”可以表示为（）A．+x≤5B．+x≥5C．≤5D．+x＝55．（3分）如图，菱形ABCD中，∠D＝150°，则∠1＝（）A．30°B．25°C．20°D．15°6．（3分）小明总结了以下结论：①a（b+c）＝ab+ac；②a（b﹣c）＝ab﹣ac；③（b﹣c）÷a＝b÷a﹣c÷a（a≠0）；④a÷（b+c）＝a÷b+a÷c（a≠0）其中一定成立的个数是（）A．1B．2C．3D．47．（3分）下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容则回答正确的是（）A．◎代表∠FEC B．@代表同位角C．▲代表∠EFC D．※代表AB8．（3分）一次抽奖活动特等奖的中奖率为，把用科学记数法表示为（）A．5×10﹣4B．5×10﹣5C．2×10﹣4D．2×10﹣59．（3分）如图，在小正三角形组成的网格中，已有6个小正三角形涂黑，还需涂黑n个小正三角形，使它们与原来涂黑的小正三角形组成的新图案恰有三条对称轴，则n的最小值为（）A．10B．6C．3D．210．（3分）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（）A．B．C．D．11．（2分）某同学要统计本校图书馆最受学生欢迎的图书种类，以下是排乱的统计步骤：①从扇形图中分析出最受学生欢迎的种类②去图书馆收集学生借阅图书的记录③绘制扇形图来表示各个种类所占的百分比④整理借阅图书记录并绘制频数分布表正确统计步骤的顺序是（）A．②→③→①→④B．③→④→①→②C．①→②一④→③D．②→④→③→①12．（2分）如图，函数y＝的图象所在坐标系的原点是（）A．点M B．点N C．点P D．点Q13．（2分）如图，若x为正整数，则表示﹣的值的点落在（）A．段①B．段②C．段③D．段④14．（2分）图2是图1中长方体的三视图，若用S表示面积，S主＝x2+2x，S左＝x2+x，则S俯＝（）A．x2+3x+2B．x2+2C．x2+2x+1D．2x2+3x15．（2分）小刚在解关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）时，只抄对了a＝1，b＝4，解出其中一个根是x＝﹣1．他核对时发现所抄的c比原方程的c值小2．则原方程的根的情况是（）A．不存在实数根B．有两个不相等的实数根C．有一个根是x＝﹣1D．有两个相等的实数根16．（2分）对于题目：“如图1，平面上，正方形内有一长为12、宽为6的矩形，它可以在正方形的内部及边界通过移转（即平移或旋转）的方式，自由地从横放移转到竖放，求正方形边长的最小整数n．”甲、乙、丙作了自认为边长最小的正方形，先求出该边长x，再取最小整数n．甲：如图2，思路是当x为矩形对角线长时就可移转过去；结果取n＝13．乙：如图3，思路是当x为矩形外接圆直径长时就可移转过去；结果取n＝14．丙：如图4，思路是当x为矩形的长与宽之和的倍时就可移转过去；结果取n＝13．下列正确的是（）A．甲的思路错，他的n值对B．乙的思路和他的n值都对C．甲和丙的n值都对D．甲、乙的思路都错，而丙的思路对二、填空题（本大题有3个小题，共11分，17小题3分：18～19小题各有2个空，每空2分，把答案写在题中横线上）17．（3分）若7﹣2×7﹣1×70＝7p，则p的值为．18．（4分）如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．示例：即4+3＝7则（1）用含x的式子表示m＝；（2）当y＝﹣2时，n的值为．19．（4分）勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了A，B，C三地的坐标，数据如图（单位：km）．笔直铁路经过A，B两地．（1）A，B间的距离为km；（2）计划修一条从C到铁路AB的最短公路l，并在l上建一个维修站D，使D到A，C的距离相等，则C，D间的距离为km．三、解答题（本大题有7个小题，共67分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）20．（8分）有个填写运算符号的游戏：在“1□2□6□9”中的每个□内，填入+，﹣，×，÷中的某一个（可重复使用），然后计算结果．（1）计算：1+2﹣6﹣9；（2）若1÷2×6□9＝﹣6，请推算□内的符号；（3）在“1□2□6﹣9”的□内填入符号后，使计算所得数最小，直接写出这个最小数．21．（9分）已知：整式A＝（n2﹣1）2+（2n）2，整式B＞0．尝试化简整式A．发现A＝B2，求整式B．联想由上可知，B2＝（n2﹣1）2+（2n）2，当n＞1时，n2﹣1，2n，B为直角三角形的三边长，如图．填写下表中B的值：直角三角形三边n2﹣12n B勾股数组Ⅰ/8勾股数组Ⅱ35/22．（9分）某球室有三种品牌的4个乒乓球，价格是7，8，9（单位：元）三种．从中随机拿出一个球，已知P（一次拿到8元球）＝．（1）求这4个球价格的众数；（2）若甲组已拿走一个7元球训练，乙组准备从剩余3个球中随机拿一个训练．①所剩的3个球价格的中位数与原来4个球价格的中位数是否相同？并简要说明理由；②乙组先随机拿出一个球后放回，之后又随机拿一个，用列表法（如图）求乙组两次都拿到8元球的概率．又拿先拿23．（9分）如图，△ABC和△ADE中，AB＝AD＝6，BC＝DE，∠B＝∠D＝30°，边AD与边BC 交于点P（不与点B，C重合），点B，E在AD异侧，I为△APC的内心．（1）求证：∠BAD＝∠CAE；（2）设AP＝x，请用含x的式子表示PD，并求PD的最大值；（3）当AB⊥AC时，∠AIC的取值范围为m°＜∠AIC＜n°，分别直接写出m，n的值．24．（10分）长为300m的春游队伍，以v（m/s）的速度向东行进，如图1和图2，当队伍排尾行进到位置O时，在排尾处的甲有一物品要送到排头，送到后立即返回排尾，甲的往返速度均为2v（m/s），当甲返回排尾后，他及队伍均停止行进．设排尾从位置O开始行进的时间为t（s），排头与O的距离为S头（m）．（1）当v＝2时，解答：①求S头与t的函数关系式（不写t的取值范围）；②当甲赶到排头位置时，求S头的值；在甲从排头返回到排尾过程中，设甲与位置O的距离为S（m），求S甲与t的函数关系式（不写t的取值范围）甲（2）设甲这次往返队伍的总时间为T（s），求T与v的函数关系式（不写v的取值范围），并写出队伍在此过程中行进的路程．25．（10分）如图1和2，▱ABCD中，AB＝3，BC＝15，tan∠DAB＝．点P为AB延长线上一点，过点A作⊙O切CP于点P，设BP＝x．（1）如图1，x为何值时，圆心O落在AP上？若此时⊙O交AD于点E，直接指出PE与BC 的位置关系；（2）当x＝4时，如图2，⊙O与AC交于点Q，求∠CAP的度数，并通过计算比较弦AP与劣弧长度的大小；（3）当⊙O与线段AD只有一个公共点时，直接写出x的取值范围．26．（12分）如图，若b是正数，直线l：y＝b与y轴交于点A；直线a：y＝x﹣b与y轴交于点B；抛物线L：y＝﹣x2+bx的顶点为C，且L与x轴右交点为D．（1）若AB＝8，求b的值，并求此时L的对称轴与a的交点坐标；（2）当点C在l下方时，求点C与l距离的最大值；（3）设x0≠0，点（x0，y1），（x0，y2），（x0，y3）分别在l，a和L上，且y3是y1，y2的平均数，求点（x0，0）与点D间的距离；（4）在L和a所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，分别直接写出b＝2019和b＝2019.5时“美点”的个数．参考答案与试题解析一、选择题（本大题有16个小题，共42分，1-10小题各3分，11-16小题各2分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）下列图形为正多边形的是（）A．B．C．D．【分析】根据正多边形的定义；各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形可得答案．【解答】解：正五边形五个角相等，五条边都相等，故选：D．【点评】此题主要考查了正多边形，关键是掌握正多边形的定义．2．（3分）规定：（→2）表示向右移动2记作+2，则（←3）表示向左移动3记作（）A．+3B．﹣3C．﹣D．+【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．“正”和“负”相对，所以，如果（→2）表示向右移动2记作+2，则（←3）表示向左移动3记作﹣3．【解答】解：“正”和“负”相对，所以，如果（→2）表示向右移动2记作+2，则（←3）表示向左移动3记作﹣3．故选：B．【点评】此题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．3．（3分）如图，从点C观测点D的仰角是（）A．∠DAB B．∠DCE C．∠DCA D．∠ADC【分析】根据仰角的定义进行解答便可．【解答】解：∵从点C观测点D的视线是CD，水平线是CE，∴从点C观测点D的仰角是∠DCE，故选：B．【点评】本题主要考查了仰角的识别，熟记仰角的定义是解题的关键．仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．4．（3分）语句“x的与x的和不超过5”可以表示为（）A．+x≤5B．+x≥5C．≤5D．+x＝5【分析】x的即x，不超过5是小于或等于5的数，按语言叙述列出式子即可．【解答】解：“x的与x的和不超过5”用不等式表示为x+x≤5．故选：A．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式．5．（3分）如图，菱形ABCD中，∠D＝150°，则∠1＝（）A．30°B．25°C．20°D．15°【分析】由菱形的性质得出AB∥CD，∠BAD＝2∠1，求出∠BAD＝30°，即可得出∠1＝15°．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠D＝150°，∴AB∥CD，∠BAD＝2∠1，∴∠BAD+∠D＝180°，∴∠BAD＝180°﹣150°＝30°，∴∠1＝15°；故选：D．【点评】此题考查了菱形的性质，以及平行线的性质，熟练掌握菱形的性质是解本题的关键．6．（3分）小明总结了以下结论：①a（b+c）＝ab+ac；②a（b﹣c）＝ab﹣ac；③（b﹣c）÷a＝b÷a﹣c÷a（a≠0）；④a÷（b+c）＝a÷b+a÷c（a≠0）其中一定成立的个数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】直接利用单项式乘以多项式以及多项式除以单项式运算法则计算得出答案．【解答】解：①a（b+c）＝ab+ac，正确；②a（b﹣c）＝ab﹣ac，正确；③（b﹣c）÷a＝b÷a﹣c÷a（a≠0），正确；④a÷（b+c）＝a÷b+a÷c（a≠0），错误，无法分解计算．故选：C．【点评】此题主要考查了单项式乘以多项式以及多项式除以单项式运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．7．（3分）下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容则回答正确的是（）A．◎代表∠FEC B．@代表同位角C．▲代表∠EFC D．※代表AB【分析】根据图形可知※代表CD，即可判断D；根据三角形外角的性质可得◎代表∠EFC，即可判断A；利用等量代换得出▲代表∠EFC，即可判断C；根据图形已经内错角定义可知@代表内错角．【解答】证明：延长BE交CD于点F，则∠BEC＝∠EFC+∠C（三角形的外角等于与它不相邻两个内角之和）．又∠BEC＝∠B+∠C，得∠B＝∠EFC．故AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．故选：C．【点评】本题考查了平行线的判定，三角形外角的性质，比较简单．8．（3分）一次抽奖活动特等奖的中奖率为，把用科学记数法表示为（）A．5×10﹣4B．5×10﹣5C．2×10﹣4D．2×10﹣5【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：＝0.00002＝2×10﹣5．故选：D．【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．9．（3分）如图，在小正三角形组成的网格中，已有6个小正三角形涂黑，还需涂黑n个小正三角形，使它们与原来涂黑的小正三角形组成的新图案恰有三条对称轴，则n的最小值为（）A．10B．6C．3D．2【分析】由等边三角形有三条对称轴可得答案．【解答】解：如图所示，n的最小值为3，故选：C．【点评】本题主要考查利用轴对称设计图案，解题的关键是掌握常见图形的性质和轴对称图形的性质．10．（3分）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（）A．B．C．D．【分析】根据三角形外心的定义，三角形外心为三边的垂直平分线的交点，然后利用基本作图格选项进行判断．【解答】解：三角形外心为三边的垂直平分线的交点，由基本作图得到C选项作了两边的垂直平分线，从而可用直尺成功找到三角形外心．故选：C．【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了三角形的外心．11．（2分）某同学要统计本校图书馆最受学生欢迎的图书种类，以下是排乱的统计步骤：①从扇形图中分析出最受学生欢迎的种类②去图书馆收集学生借阅图书的记录③绘制扇形图来表示各个种类所占的百分比④整理借阅图书记录并绘制频数分布表正确统计步骤的顺序是（）A．②→③→①→④B．③→④→①→②C．①→②一④→③D．②→④→③→①【分析】根据题意和频数分布表、扇形统计图制作的步骤，可以解答本题．【解答】解：由题意可得，正确统计步骤的顺序是：②去图书馆收集学生借阅图书的记录→④整理借阅图书记录并绘制频数分布表→③绘制扇形图来表示各个种类所占的百分比→①从扇形图中分析出最受学生欢迎的种类，故选：D．【点评】本题考查扇形统计图、频数分布表，解答本题的关键是明确制作频数分布表和扇形统计图的制作步骤．12．（2分）如图，函数y＝的图象所在坐标系的原点是（）A．点M B．点N C．点P D．点Q【分析】由函数解析式可知函数关于y轴对称，即可求解；【解答】解：由已知可知函数y＝关于y轴对称，所以点M是原点；故选：A．【点评】本题考查反比例函数的图象及性质；熟练掌握函数的解析式与函数图象的关系是解题的关键．13．（2分）如图，若x为正整数，则表示﹣的值的点落在（）A．段①B．段②C．段③D．段④【分析】将所给分式的分母配方化简，再利用分式加减法化简，根据x为正整数，从所给图中可得正确答案．【解答】解∵﹣＝﹣＝1﹣＝又∵x为正整数，∴≤x＜1故表示﹣的值的点落在②故选：B．【点评】本题考查了分式的化简及分式加减运算，同时考查了分式值的估算，总体难度中等．14．（2分）图2是图1中长方体的三视图，若用S表示面积，S主＝x2+2x，S左＝x2+x，则S俯＝（）A．x2+3x+2B．x2+2C．x2+2x+1D．2x2+3x【分析】由主视图和左视图的宽为x，结合两者的面积得出俯视图的长和宽，从而得出答案．【解答】解：∵S主＝x2+2x＝x（x+2），S左＝x2+x＝x（x+1），∴俯视图的长为x+2，宽为x+1，则俯视图的面积S俯＝（x+2）（x+1）＝x2+3x+2，故选：A．【点评】本题主要考查由三视图判断几何体，解题的关键是根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，以及几何体的长、宽、高．15．（2分）小刚在解关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）时，只抄对了a＝1，b＝4，解出其中一个根是x＝﹣1．他核对时发现所抄的c比原方程的c值小2．则原方程的根的情况是（）A．不存在实数根B．有两个不相等的实数根C．有一个根是x＝﹣1D．有两个相等的实数根【分析】直接把已知数据代入进而得出c的值，再解方程求出答案．【解答】解：∵小刚在解关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）时，只抄对了a＝1，b＝4，解出其中一个根是x＝﹣1，∴（﹣1）2﹣4+c＝0，解得：c＝3，故原方程中c＝5，则b2﹣4ac＝16﹣4×1×5＝﹣4＜0，则原方程的根的情况是不存在实数根．故选：A．【点评】此题主要考查了根的判别式，正确得出c的值是解题关键．16．（2分）对于题目：“如图1，平面上，正方形内有一长为12、宽为6的矩形，它可以在正方形的内部及边界通过移转（即平移或旋转）的方式，自由地从横放移转到竖放，求正方形边长的最小整数n．”甲、乙、丙作了自认为边长最小的正方形，先求出该边长x，再取最小整数n．甲：如图2，思路是当x为矩形对角线长时就可移转过去；结果取n＝13．乙：如图3，思路是当x为矩形外接圆直径长时就可移转过去；结果取n＝14．丙：如图4，思路是当x为矩形的长与宽之和的倍时就可移转过去；结果取n＝13．下列正确的是（）A．甲的思路错，他的n值对B．乙的思路和他的n值都对C．甲和丙的n值都对D．甲、乙的思路都错，而丙的思路对【分析】平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等；⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．【解答】解：甲的思路正确，长方形对角线最长，只要对角线能通过就可以，但是计算错误，应为n＝14；乙的思路与计算都正确；丙的思路与计算都错误，图示情况不是最长；故选：B．【点评】本题考查了矩形的性质与旋转的性质，熟练运用矩形的性质是解题的关键．二、填空题（本大题有3个小题，共11分，17小题3分：18～19小题各有2个空，每空2分，把答案写在题中横线上）17．（3分）若7﹣2×7﹣1×70＝7p，则p的值为﹣3．【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则进而得出答案．【解答】解：∵7﹣2×7﹣1×70＝7p，∴﹣2﹣1+0＝p，解得：p＝﹣3．故答案为：﹣3．【点评】此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．18．（4分）如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．示例：即4+3＝7则（1）用含x的式子表示m＝3x；（2）当y＝﹣2时，n的值为1．【分析】（1）根据约定的方法即可求出m；（2）根据约定的方法即可求出n．【解答】解：（1）根据约定的方法可得：m＝x+2x＝3x；故答案为：3x；（2）根据约定的方法即可求出nx+2x+2x+3＝m+n＝y．当y＝﹣2时，5x+3＝﹣2．解得x＝﹣1．∴n＝2x+3＝﹣2+3＝1．故答案为：1．【点评】本题考查了列代数式和代数式求值，解题的关键是掌握列代数式的约定方法．19．（4分）勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了A，B，C三地的坐标，数据如图（单位：km）．笔直铁路经过A，B两地．（1）A，B间的距离为20km；（2）计划修一条从C到铁路AB的最短公路l，并在l上建一个维修站D，使D到A，C的距离相等，则C，D间的距离为13km．【分析】（1）由垂线段最短以及根据两点的纵坐标相同即可求出AB的长度；（2）根据A、B、C三点的坐标可求出CE与AE的长度，设CD＝x，根据勾股定理即可求出x 的值．【解答】解：（1）由A、B两点的纵坐标相同可知：AB∥x轴，∴AB＝12﹣（﹣8）＝20；（2）过点C作l⊥AB于点E，连接AC，作AC的垂直平分线交直线l于点D，由（1）可知：CE＝1﹣（﹣17）＝18，AE＝12，设CD＝x，∴AD＝CD＝x，由勾股定理可知：x2＝（18﹣x）2+122，∴解得：x＝13，∴CD＝13，故答案为：（1）20；（2）13；【点评】本题考查勾股定理，解题的关键是根据A、B、C三点的坐标求出相关线段的长度，本题属于中等题型．三、解答题（本大题有7个小题，共67分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）20．（8分）有个填写运算符号的游戏：在“1□2□6□9”中的每个□内，填入+，﹣，×，÷中的某一个（可重复使用），然后计算结果．（1）计算：1+2﹣6﹣9；（2）若1÷2×6□9＝﹣6，请推算□内的符号；（3）在“1□2□6﹣9”的□内填入符号后，使计算所得数最小，直接写出这个最小数．【分析】（1）根据有理数的加减法可以解答本题；（2）根据题目中式子的结果，可以得到□内的符号；（3）先写出结果，然后说明理由即可．【解答】解：（1）1+2﹣6﹣9＝3﹣6﹣9＝﹣3﹣9＝﹣12；（2）∵1÷2×6□9＝﹣6，∴1××6□9＝﹣6，∴3□9＝﹣6，∴□内的符号是“﹣”；（3）这个最小数是﹣20，理由：∵在“1□2□6﹣9”的□内填入符号后，使计算所得数最小，∴1□2□6的结果是负数即可，∴1□2□6的最小值是1﹣2×6＝﹣11，∴1□2□6﹣9的最小值是﹣11﹣9＝﹣20，∴这个最小数是﹣20．【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题得关键是明确有理数混合运算的计算方法．21．（9分）已知：整式A＝（n2﹣1）2+（2n）2，整式B＞0．尝试化简整式A．发现A＝B2，求整式B．联想由上可知，B2＝（n2﹣1）2+（2n）2，当n＞1时，n2﹣1，2n，B为直角三角形的三边长，如图．填写下表中B的值：直角三角形三边n2﹣12n B勾股数组Ⅰ/817勾股数组Ⅱ35/37【分析】先根据整式的混合运算法则求出A，进而求出B，再把n的值代入即可解答．【解答】解：A＝（n2﹣1）2+（2n）2＝n4﹣2n2+1+4n2＝n4+2n2+1＝（n2+1）2，∵A＝B2，B＞0，∴B＝n2+1，当2n＝8时，n＝4，∴n2+1＝42+1＝17；当n2﹣1＝35时，n2+1＝37．故答案为：17；37【点评】本题考查了勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2＝c2，则△ABC是直角三角形．22．（9分）某球室有三种品牌的4个乒乓球，价格是7，8，9（单位：元）三种．从中随机拿出一个球，已知P（一次拿到8元球）＝．（1）求这4个球价格的众数；（2）若甲组已拿走一个7元球训练，乙组准备从剩余3个球中随机拿一个训练．①所剩的3个球价格的中位数与原来4个球价格的中位数是否相同？并简要说明理由；②乙组先随机拿出一个球后放回，之后又随机拿一个，用列表法（如图）求乙组两次都拿到8元球的概率．又拿先拿【分析】（1）由概率公式求出8元球的个数，由众数的定义即可得出答案；（2）①由中位数的定义即可得出答案；②用列表法得出所有结果，乙组两次都拿到8元球的结果有4个，由概率公式即可得出答案．【解答】解：（1）∵P（一次拿到8元球）＝，∴8元球的个数为4×＝2（个），按照从小到大的顺序排列为7，8，8，9，∴这4个球价格的众数为8元；（2）①所剩的3个球价格的中位数与原来4个球价格的中位数相同；理由如下：原来4个球的价格按照从小到大的顺序排列为7，8，8，9，∴原来4个球价格的中位数为＝8（元），所剩的3个球价格为8，8，9，∴所剩的3个球价格的中位数为8元，∴所剩的3个球价格的中位数与原来4个球价格的中位数相同；②列表如图所示：共有9个等可能的结果，乙组两次都拿到8元球的结果有4个，∴乙组两次都拿到8元球的概率为．【点评】本题考查了众数、中位数以及列表法求概率；熟练掌握众数、中位数的定义，列表得出所有结果是解题的关键．23．（9分）如图，△ABC和△ADE中，AB＝AD＝6，BC＝DE，∠B＝∠D＝30°，边AD与边BC 交于点P（不与点B，C重合），点B，E在AD异侧，I为△APC的内心．（1）求证：∠BAD＝∠CAE；（2）设AP＝x，请用含x的式子表示PD，并求PD的最大值；（3）当AB⊥AC时，∠AIC的取值范围为m°＜∠AIC＜n°，分别直接写出m，n的值．【分析】（1）由条件易证△ABC≌△ADE，得∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE．（2）PD＝AD﹣AP＝6﹣x，∵点P在线段BC上且不与B、C重合，∴AP的最小值即AP⊥BC 时AP的长度，此时PD可得最大值．（3）I为△APC的内心，即I为△APC角平分线的交点，应用“三角形内角和等于180°“及角平分线定义即可表示出∠AIC，从而得到m，n的值．【解答】解：（1）在△ABC和△ADE中，（如图1）∴△ABC≌△ADE（SAS）∴∠BAC＝∠DAE即∠BAD+∠DAC＝∠DAC+∠CAE∴∠BAD＝∠CAE．（2）∵AD＝6，AP＝x，∴PD＝6﹣x当AD⊥BC时，AP＝AB＝3最小，即PD＝6﹣3＝3为PD的最大值．（3）如图2，设∠BAP＝α，则∠APC＝α+30°，∵AB⊥AC∴∠BAC＝90°，∠PCA＝60°，∠P AC＝90°﹣α，∵I为△APC的内心∴AI、CI分别平分∠P AC，∠PCA，∴∠IAC＝∠P AC，∠ICA＝∠PCA∴∠AIC＝180°﹣（∠IAC+∠ICA）＝180°﹣（∠P AC+∠PCA）＝180°﹣（90°﹣α+60°）＝α+105°∵0＜α＜90°，∴105°＜α+105°＜150°，即105°＜∠AIC＜150°，∴m＝105，n＝150．【点评】本题是一道几何综合题，考查了点到直线的距离垂线段最短，30°的角所对的直角边等于斜边的一半，全等三角形的判定和性质，三角形内心概念及角平分线定义等，解题关键是将PD最大值转化为P A的最小值．24．（10分）长为300m的春游队伍，以v（m/s）的速度向东行进，如图1和图2，当队伍排尾行进到位置O时，在排尾处的甲有一物品要送到排头，送到后立即返回排尾，甲的往返速度均为2v（m/s），当甲返回排尾后，他及队伍均停止行进．设排尾从位置O开始行进的时间为t（s），排头与O的距离为S头（m）．（1）当v＝2时，解答：①求S头与t的函数关系式（不写t的取值范围）；②当甲赶到排头位置时，求S头的值；在甲从排头返回到排尾过程中，设甲与位置O的距离为S（m），求S甲与t的函数关系式（不写t的取值范围）甲（2）设甲这次往返队伍的总时间为T（s），求T与v的函数关系式（不写v的取值范围），并写出队伍在此过程中行进的路程．【分析】（1）①排头与O的距离为S头（m）．等于排头行走的路程+队伍的长300，而排头行进的时间也是t（s），速度是2m/s，可以求出S头与t的函数关系式；②甲赶到排头位置的时间可以根据追及问题的数量关系得出，代入求S即可；在甲从排头返回到排尾过程中，设甲与位置O的距离为S甲（m）是在S的基础上减少甲返回的路程，而甲返回的时间（总时间t减去甲从排尾赶到排头的时间），于是可以求S甲与t的函数关系式；（2）甲这次往返队伍的总时间为T（s），是甲从排尾追到排头用的时间与从排头返回排尾用时的和，可以根据追及问题和相遇问题的数量关系得出结果；在甲这次往返队伍的过程中队伍行进的路程＝队伍速度×返回时间．【解答】解：（1）①排尾从位置O开始行进的时间为t（s），则排头也离开原排头t（s），∴S头＝2t+300②甲从排尾赶到排头的时间为300÷（2v﹣v）＝300÷v＝300÷2＝150 s，此时S头＝2t+300＝600m甲返回时间为：（t﹣150）s∴S甲＝S头﹣S甲回＝2×150+300﹣4（t﹣150）＝﹣4t+1200；因此，S头与t的函数关系式为S头＝2t+300，当甲赶到排头位置时，求S的值为600m，在甲从排头返回到排尾过程中，S甲与t的函数关系式为S甲＝﹣4t+1200．（2）T＝t追及+t返回＝+＝，在甲这次往返队伍的过程中队伍行进的路程为：v×﹣＝400；因此T与v的函数关系式为：T＝，此时队伍在此过程中行进的路程为400m．【点评】考查行程问题中相遇、追及问题的数量关系的理解和应用，同时函数思想方法的应用，切实理解变量之间的变化关系，由于时间有重合的部分，容易出现错误．25．（10分）如图1和2，▱ABCD中，AB＝3，BC＝15，tan∠DAB＝．点P为AB延长线上一点，过点A作⊙O切CP于点P，设BP＝x．（1）如图1，x为何值时，圆心O落在AP上？若此时⊙O交AD于点E，直接指出PE与BC 的位置关系；（2）当x＝4时，如图2，⊙O与AC交于点Q，求∠CAP的度数，并通过计算比较弦AP与劣弧长度的大小；（3）当⊙O与线段AD只有一个公共点时，直接写出x的取值范围．【分析】（1）由三角函数定义知：Rt△PBC中，＝tan∠PBC＝tan∠DAB＝，设CP＝4k，BP＝3k，由勾股定理可求得BP，根据“直径所对的圆周角是直角”可得PE⊥AD，由此可得PE ⊥BC；（2）作CG⊥AB，运用勾股定理和三角函数可求CG和AG，再应用三角函数求∠CAP，应用弧长公式求劣弧长度，再比较它与AP长度的大小；（3）当⊙O与线段AD只有一个公共点时，⊙O与AD相切于点A，或⊙O与线段DA的延长线相交于另一点，此时，BP只有最小值，即x≥18．【解答】解：（1）如图1，AP经过圆心O，∵CP与⊙O相切于P，∴∠APC＝90°，∵▱ABCD，∴AD∥BC，∴∠PBC＝∠DAB∴＝tan∠PBC＝tan∠DAB＝，设CP＝4k，BP＝3k，由CP2+BP2＝BC2，得（4k）2+（3k）2＝152，解得k1＝﹣3（舍去），k2＝3，∴x＝BP＝3×3＝9，故当x＝9时，圆心O落在AP上；∵AP是⊙O的直径，∴∠AEP＝90°，∴PE⊥AD，∵▱ABCD，∴BC∥AD∴PE⊥BC（2）如图2，过点C作CG⊥AP于G，∵▱ABCD，∴BC∥AD，∴∠CBG＝∠DAB∴＝tan∠CBG＝tan∠DAB＝，。

2019年河北省中考数学试卷42分， 1-10 小题各 3分， 11-16 小题各 2分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）3 分）如图，菱形 ABCD 中，∠ D＝ 150°，则∠ 1＝（①a（b+c）＝ ab+ ac；②a（b﹣ c）＝ ab﹣ac；③（b﹣c）÷ a＝b÷a﹣c÷a（ a≠0）；1．3 分）下列图形为正多边形的是（2．3．B．3 分）规定：（→ 2）表示向右移动2 记作 +2 ，则（← 3）表示向左移动3 记作（）A．+3 B．﹣3C．﹣D．3 分）如图，从点 C 观测点 D 的仰角是（、选择题（本大题有 16 个小题，共4．A．∠ DAB B．∠ DCE C．∠ DCA D．∠ ADC3 分）语句“ x 的与 x 的和不超过5”可以表示为（A．+x≤5 B．+x≥5 C．≤5 D．+x＝55．6．B．25°C．20°D．15°3 分）小明总结了以下结论：A．30°④a÷（b+c）＝ a÷b+a÷c（ a≠0）其中一定成立的个数是（A．1 B．2 C．3 D．7．（3 分）下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容则回答正确的是（ ）9．（3分）如图，在小正三角形组成的网格中，已有 6个小正三角形涂黑，还需涂黑 n 个小正三角形，使它们与原来涂黑的小正三角形组成的新图案恰有三条对称轴，则10．（3 分）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（11．（2 分）某同学要统计本校图书馆最受学生欢迎的图书种类，以下是排乱的统计步骤： ① 从扇形图中分析出最受学生欢迎的种类 ② 去图书馆收集学生借阅图书的记录 ③ 绘制扇形图来表示各个种类所占的百分比 ④ 整理借阅图书记录并绘制频数分布表 正确统计步骤的顺序是（ ）A ． ② → ③ →① →④ B． ③ → ④ →① →② C． ① →② →④ →③ D ． ②A ．◎代表∠ FEC C ．▲代表∠ EFC8．（3 分）一次抽奖活动特等奖的中奖率为﹣4﹣5B ．@代表同位角 D ．※代表 AB，把 用科学记数法表示为（﹣4 ﹣ 5C ． 2×10 4D ． 2×10 5) p26-11n 的最小值为（A ．10B ．6C ．3D ．n ＝ 13．的值的点落在（ C ．段 ③ D ．段 ④ 14．（2分）图 2是图 1中长方体的三视图，若用 S 表示面积，S 主＝x 2+2x ，S 左＝ x 2+ x ，则 S 俯＝（ ）16．（ 2 分）对于题目： “如图 1，平面上，正方形内有一长为 12、宽为 6 的矩形，它可以在正方形的 内部及边界通过移转（即平移或旋转）的方式，自由地从横放移转到竖放，求正方形边长的最小整 数 n ．”甲、乙、丙作了自认为边长最小的正方形，先求出该边长 x ，再取最小整数 n ．2 2 2A ． x +3x+2B ． x +2C ． x +2x+115．（2 分）小刚在解关于 x 的方程 ax 2+bx+c ＝0（a ≠0）时，只抄对了 a ＝1，b ＝4，解出其中一个根是 x ＝﹣1．他核对时发现所抄的 c 比原方程的 c 值小 2．则原方程的根的情况是（ ）12．（ 2 分）如图，函数 y ＝ 的图象所在坐标系的原点是B ．点 NC ．点 PD ．点 Q2D ．2x 2+3xA ．不存在实数根 C ．有一个根是 x ＝﹣B ．有两个不相等的实数根A ．点 13．（2 分）如图，若 x 为正整数，则表示A ．段①B ．段②甲：如图 2，思路是当 x 为矩形对角线长时就可移转过去；结果取n＝ 13．乙：如图 3，思路是当 x 为矩形外接圆直径长时就可移转过去；结果取 n ＝ 14．A ．甲的思路错，他的 n 值对B ．乙的思路和他的 n 值都对C ．甲和丙的 n 值都对D ．甲、乙的思路都错，而丙的思路对17小题 3 分： 18～19小题各有 2个空，每空 2 分，把答 案写在题中横线上） 17．（3分）若 7﹣2×7﹣1×70＝7p ，则 p 的值为18．（4 分）如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．则（ 1）用含 x 的式子表示 m ＝ （2）当 y ＝﹣2时，n 的值为．19．（4分）勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了 A ，B ，C 三地的坐标，数据如图（单位： km ）．笔直铁路经过 A ，B 两地． （1）A ，B 间的距离为km ；（2）计划修一条从 C 到铁路 AB 的最短公路 l ，并在 l 上建一个维修站 D ，使 D 到A ，C 的距离相 等，则 C ， D 间的距离为 km ．丙：如图 4，思路是当 x 为矩形的长与宽之和的 倍时就可移转过去；结果取 n ＝ 13．二、填空题（本大题有 3 个小题，共 11分， 列正确的是（示三、解答题（本大题有 7个小题，共 67 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 20．（8 分）有个填写运算符号的游戏：在“ 1□2□6□9”中的每个□内，填入 +，﹣，×，÷中的某可重复使用） ，然后计算结果．若 1÷2×6□9＝﹣ 6，请推算□内的符号； 在“ 1□2□ 6﹣9”的□内填入符号后，使计算所得数最小，直接写出这个最小数．尝试 化简整式 A ．发现 A ＝ B 2，求整式 B ．如图．填写下表中 B 的值：1） 计算： 1+2﹣6﹣ 9；3）21．（9 分）已知：整式 A ＝（n 2﹣1）2+（ 2n ）2，整式 B>0． 联想 由上可知， B 2＝（ n 2﹣ 1）2+ 2n ）2，当 n>1时，n 2﹣1，2n ，B 为直角三角形的三边长， 直角三角形三边 n 2﹣1 2n3522．（9 分）某球室有三种品牌的 4 个乒乓球，价格是 7，8， 9（单位：元）三种．从中随机拿出一个 球，已知 P （一次拿到 8 元球）＝1）求这 4 个球价格的众数；y勾股数组2）若甲组已拿走一个 7 元球训练，乙组准备从剩余 3 个球中随机拿一个训练．4 个球价格的中位数是否相同？并简要说明理由；① 所剩的 3 个球价格的中位数与原来② 乙组先随机拿出一个球后放回，之后又随机拿一个，用列表法（如图）求乙组两次都拿到 球的概率． p137-10又拿 先拿23．（9分）如图，△ ABC 和△ ADE 中，AB ＝AD ＝6，BC ＝DE ，∠B ＝∠D ＝30°，边 AD 与边 BC 交 于点 P （不与点 B ，C 重合），点 B ，E 在 AD 异侧， I 为△ APC 的内心． （ 1）求证：∠ BAD ＝∠ CAE ； p235-五（2）设 AP ＝x ，请用含 x 的式子表示 PD ，并求 PD 的最大值； p173-20（3）当 AB ⊥AC 时，∠ AIC 的取值范围为 m °<∠ AIC< n °，分别直接写出 m ， n 的值． p168-68元24．（10 分）长为 300m 的春游队伍，以 v （m/s ）的速度向东行进，如图 1和图 2，当队伍排尾行进到 位置 O 时，在排尾处的甲有一物品要送到排头， 送到后立即返回排尾， 甲的往返速度均为 2v （ m/s ）， 当甲返回排尾后，他及队伍均停止行进．设排尾从位置 O 开始行进的时间为 t （ s ），排头与 O 的距离为 S 头（m ）．p268-⑦队伍在此过程中行进的路程．1）当 v ＝2 时，解答：① 求 S 头与 t 的函数关系式（不写 t 的取值范围） ；② 当甲赶到排头位置时，求 S 头的值；在甲从排头返回到排尾过程中，设甲与位置 O 的距离为 S 甲 m ），求 S 甲与 t 的函数关系式（不写 t 的取值范围） 2）设甲这次往返队伍的总时间为 T （s ），求 T 与 v 的函数关系式（不写 v 的取值范围） ，并写出25．（10 分）如图 1 和 2，? ABCD 中，AB ＝3，BC ＝15，tan ∠DAB ＝ P 为 AB 延长线上一点，过点 A 作⊙O 切 CP 于点 P ，设 BP ＝ x ．p167-4 p235-1）如图 1，x 为何值时， 圆心 O 落在 AP 上？若此时 ⊙O 交AD 于点 E ，直接指出 PE 与 BC 的位 置关系；2）当 x ＝4时，如图 2，⊙O 与 AC 交于点 Q ，求∠ CAP 的度数， 并通过计算比较弦 AP 与劣弧长度的大小；（3）当⊙O 与线段 AD 只有一个公共点时，直接写出 x 的取值范围．．26．（12分）如图，若 b是正数，直线 l：y＝b与 y轴交于点 A；直线 a：y＝x﹣b与 y轴交于点 B；2抛物线 L：y＝﹣x +bx的顶点为 C，且 L 与 x轴右交点为 D． p92-4 p93-n p117-21 （1）若 AB＝8，求 b的值，并求此时 L 的对称轴与 a的交点坐标；（2）当点 C在 l下方时，求点 C与l距离的最大值；（3）设 x0≠0，点（ x0，y1），（x0，y2），（x0，y3）分别在 l，a和 L上，且 y3是y1，y2的平均数，求点（ x0， 0）与点 D 间的距离；（4）在 L 和 a 所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点” ，分别直接写出 b＝2019 和 b＝ 2019.5 时“美点”的个数．2019 年河北省中考数学试卷参考答案与试题解析四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3 分）下列图形为正多边形的是（【分析】根据正多边形的定义；各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形可得答案．【解答】解：正五边形五个角相等，五条边都相等，故选： D ．【点评】此题主要考查了正多边形，关键是掌握正多边形的定义．2．（3 分）规定：（→ 2）表示向右移动 2记作+2，则（← 3）表示向左移动 3 记作（ ）A ．+3B ．﹣ 3C ．﹣D ．+【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． “正”和“负” 相对，所以，如果（→ 2）表示向右移动 2 记作 +2 ，则（← 3）表示向左移动 3 记作﹣ 3．【解答】解： “正”和“负”相对，所以，如果（→ 2）表示向右移动 2 记作 +2，则（← 3）表示向左移动 3 记作﹣ 3 ．故选： B ．【点评】此题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意 义的量．3．（3分）如图，从点 C 观测点 D 的仰角是（ ）、选择题（本大题有 16 个小题，共 42分， 1-10 小题各 3 分， 11-16 小题各 2 分，在每小题给出的 A ．∠ DAB B ．∠ DCE C ．∠ DCA D ．∠ ADC分析】根据仰角的定义进行解答便可．【解答】解：∵从点 C观测点 D 的视线是 CD ，水平线是 CE，∴从点 C 观测点 D 的仰角是∠ DCE ，故选： B ．【点评】本题主要考查了仰角的识别，熟记仰角的定义是解题的关键．仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．4．（3分）语句“ x的与 x的和不超过 5”可以表示为（）C．≤ 5 D ． + x ＝ 5A ． +x≤ 5 B． +x≥5B． +x≥5【分析】 x的即 x，不超过 5是小于或等于 5 的数，按语言叙述列出式子即可．【解答】解：“x的与 x的和不超过 5”用不等式表示为 x+x≤5．故选： A ．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式．5．（3分）如图，菱形 ABCD中，∠ D＝150°，则∠ 1＝（）A ． 30°B． 25°C． 20° D ． 15°【分析】由菱形的性质得出 AB∥ CD，∠ BAD ＝2∠1，求出∠ BAD ＝ 30°，即可得出∠ 1＝15【解答】解：∵四边形 ABCD 是菱形，∠ D ＝150°，∴ AB∥ CD，∠ BAD ＝2∠ 1，∴∠ BAD+∠D＝180°，∴∠ BAD ＝ 180°﹣ 150°＝ 30°，∴∠ 1＝15°；故选： D ．【点评】此题考查了菱形的性质，以及平行线的性质，熟练掌握菱形的性质是解本题的关键．6．（3 分）小明总结了以下结论：①a（b+c）＝ ab+ ac；②a（b﹣ c）＝ ab﹣ac；③（b﹣c）÷ a＝b÷a﹣c÷a（ a≠0）；④a÷（b+c）＝ a÷b+a÷c（ a≠0）其中一定成立的个数是（）A ． 1 B． 2 C． 3 D ． 4【分析】直接利用单项式乘以多项式以及多项式除以单项式运算法则计算得出答案．【解答】解：① a（b+c）＝ ab+ac，正确；② a（b﹣ c）＝ ab﹣ac，正确；③（b﹣c）÷ a＝b÷a﹣c÷a（ a≠ 0），正确；④a÷（b+c）＝ a÷b+a÷c（ a≠ 0），错误，无法分解计算．故选： C ．【点评】此题主要考查了单项式乘以多项式以及多项式除以单项式运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．7．（3 分）下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容则回答正确的是（）A ．◎代表∠ FEC B． @代表同位角C．▲代表∠ EFC D ．※代表 AB【分析】根据图形可知※代表 CD ，即可判断 D；根据三角形外角的性质可得◎代表∠EFC，即可判断 A；利用等量代换得出▲代表∠ EFC，即可判断 C；根据图形已经内错角定义可知 @代表内错角．【解答】证明：延长 BE交CD于点 F，则∠ BEC＝∠ EFC+∠ C（三角形的外角等于与它不相邻两个内角之和）．又∠ BEC＝∠ B+∠C，得∠ B＝∠ EFC ．故 AB∥ CD（内错角相等，两直线平行）．第11页（共30页）分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a ×10﹣n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂， 指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所 决定．【解答】解：＝ 0.00002＝ 2×10﹣5故选： D ． 【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为 数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定．9．（3 分）如图，在小正三角形组成的网格中，已有 6个小正三角形涂黑，还需涂黑 n 个小正三角形，使它们与原来涂黑的小正三角形组成的新图案恰有三条对称轴，则 n的最小值为（ ）A ． 10B ． 6C ． 3D ． 2【分析】由等边三角形有三条对称轴可得答案．【解答】解：如图所示， n 的最小值为 3，故选： C ．【点评】 本题主要考查利用轴对称设计图案， 解题的关键是掌握常见图形的性质和轴对称图形的性 质．10．（ 3 分）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（ ）8．（3 分）一次抽奖活动特等奖的中奖率为 ，把 用科学记数法表示为A ．5× 10﹣4B ．5× 10 ﹣5 C ．2×10 ﹣4 D ．2×10 ﹣5a ×10﹣n ，其中 1≤ |a|<10， n 为由原分析】 根据三角形外心的定义， 三角形外心为三边的垂直平分线的交点， 然后利用基本作图格选项进行判断．解答】解：三角形外心为三边的垂直平分线的交点，由基本作图得到分线，从而可用直尺成功找到三角形外心．故选： C ．【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等 于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线） ．也考查 了三角形的外心．11．（2 分）某同学要统计本校图书馆最受学生欢迎的图书种类，以下是排乱的统计步骤：① 从扇形图中分析出最受学生欢迎的种类② 去图书馆收集学生借阅图书的记录③ 绘制扇形图来表示各个种类所占的百分比④ 整理借阅图书记录并绘制频数分布表正确统计步骤的顺序是（ ）A ． ② → ③ →① →④B ． ③ → ④ →① →②C ． ① →② →④ →③D ． ② →④ →③ →① 【分析】根据题意和频数分布表、扇形统计图制作的步骤，可以解答本题．【解答】解：由题意可得，正确统计步骤的顺序是：② 去图书馆收集学生借阅图书的记录→ ④ 整理借阅图书记录C 选项作了两边的垂直平并绘制频数分布表→ ③ 绘制扇形图来表示各个种类所占的百① 从扇形图中分析出最受学生欢迎的种分比→类，故选： D ．点评】本题考查扇形统计图、频数分布表，解答本题的关键是明确制作频数分布表和扇形统计图的制作步骤．y＝的图象所在坐标系的原点是（12．（ 2 分）如图，函数分析】由函数解析式可知函数关于 y 轴对称，即可求解；所以点 M 是原点； 故选： A ．点评】 本题考查反比例函数的图象及性质； 熟练掌握函数的解析式与函数图象的关系是解题的关 键．13．（2 分）如图，若 x 为正整数，则表示 ﹣ 的值的点落在（ ）A ．段 ①B ．段 ②C ．段③D ．段④【分析】将所给分式的分母配方化简，再利用分式加减法化简，根据 x 为正整数，从所给图中可得 正确答案． 解答】解∵ 又∵x 为正整数， ∴ ≤ < 1 ∴ ≤<故表示 ﹣ 的值的点落在 ② 故选： B ．B ．点 NC ．点 PD ．点 Q解答】解：由已知可知函数 y ＝关于 y 轴对称，A ．点点评】本题考查了分式的化简及分式加减运算，同时考查了分式值的估算，总体难度中等．14．（2 分）图 2 是图 1 中长方体的三视图，若用 S表示面积， S 主＝ x2+2 x，S左＝x2+x，则 S 俯＝（）分析】由主视图和左视图的宽为 x ，结合两者的面积得出俯视图的长和宽，从而得出答案． 【解答】解：∵ S 主＝ x 2+2x ＝ x （ x+2）， S 左＝ x 2+x ＝ x （x+1）， ∴俯视图的长为 x+2，宽为 x+1 ，则俯视图的面积 S 俯＝（ x+2）（ x+1）＝ x 2+3 x+2， 故选： A ．【点评】 本题主要考查由三视图判断几何体， 解题的关键是根据主视图、 俯视图和左视图想象几何 体的前面、上面和左侧面的形状，以及几何体的长、宽、高．215．（2 分）小刚在解关于 x 的方程 ax 2+bx+c ＝0（a ≠0）时，只抄对了 a ＝1，b ＝4，解出其中一个根是 x ＝﹣1．他核对时发现所抄的 c 比原方程的 c 值小 2．则原方程的根的情况是（ ） A ．不存在实数根 B ．有两个不相等的实数根 C ．有一个根是 x ＝﹣ 1D ．有两个相等的实数根【分析】直接把已知数据代入进而得出 c 的值，再解方程求出答案．【解答】解：∵小刚在解关于 x 的方程 ax 2+bx+c ＝0（a ≠ 0）时，只抄对了 a ＝1，b ＝4，解出其中一个根是 x ＝﹣ 1， ∴（﹣ 1）2﹣4+c ＝ 0， 解得： c ＝ 3， 故原方程中 c ＝ 5，则 b 2﹣ 4ac ＝ 16﹣ 4× 1×5＝﹣ 4< 0， 则原方程的根的情况是不存在实数根． 故选： A ．【点评】此题主要考查了根的判别式，正确得出 c 的值是解题关键．16．（ 2 分）对于题目： “如图 1，平面上，正方形内有一长为 12、宽为 6 的矩形，它可以在正方形的 内部及边界通过移转（即平移或旋转）的方式，自由地从横放移转到竖放，求正方形边长的最小整数 n．”甲、乙、丙作了自认为边长最小的正方形，先求出A ．x 2+3x+2B ．x 2+2C ． x 2+2x+1D ．2x 2+3xx ，再取最小整数 n ．该边长甲：如图 2，思路是当 x 为矩形对角线长时就可移转过去；结果取n＝ 13．乙：如图 3，思路是当 x 为矩形外接圆直径长时就可移转过去；结果取n＝ 14．丙：如图 4，思路是当 x 为矩形的长与宽之和的倍时就可移转过去；结果取 n＝ 13．列正确的是（）A ．甲的思路错，他的 n 值对B ．乙的思路和他的 n 值都对C．甲和丙的 n 值都对D．甲、乙的思路都错，而丙的思路对【分析】平行四边形的性质矩形都具有；② 角：矩形的四个角都是直角；③ 边：邻边垂直；④ 对角线：矩形的对角线相等；⑤ 矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有 2 条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．【解答】解：甲的思路正确，长方形对角线最长，只要对角线能通过就可以，但是计算错误，应为 n＝14；乙的思路与计算都正确；丙的思路与计算都错误，图示情况不是最长；故选： B ．【点评】本题考查了矩形的性质与旋转的性质，熟练运用矩形的性质是解题的关键．二、填空题（本大题有 3个小题，共 11分， 17小题 3 分： 18～19小题各有 2个空，每空2分，把答案写在题中横线上）17．（3分）若 7﹣2×7﹣1×70＝7p，则 p的值为﹣3 ．【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则进而得出答案．【解答】解：∵ 7﹣2×7﹣1×70＝ 7p，∴﹣ 2﹣ 1+0 ＝ p，解得： p＝﹣ 3．故答案为：﹣ 3．点评】此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．18．（4 分）如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．则（ 1）用含 x的式子表示 m＝ 3x2）当 y＝﹣2时，n 的值为 1分析】（ 1）根据约定的方法即可求出 m；2）根据约定的方法即可求出 n．解答】解：（1）根据约定的方法可得：m＝ x+2x＝3x；故答案为： 3x；（ 2）根据约定的方法即可求出 nx+2 x+2x+3＝ m+ n＝ y．当 y＝﹣2 时， 5x+3＝﹣ 2．解得 x＝﹣ 1．∴ n＝2x+3＝﹣ 2+3＝ 1．故答案为： 1．【点评】本题考查了列代数式和代数式求值，解题的关键是掌握列代数式的约定方法．19．（4分）勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了 A，B，C 三地的坐标，数据如图（单位： km）．笔直铁路经过 A，B 两地．（1）A，B 间的距离为 20 km；（2）计划修一条从 C到铁路 AB的最短公路 l，并在 l上建一个维修站 D，使 D到A，C的距离相等，则 C， D 间的距离为 13 km．【分析】（1）由垂线段最短以及根据两点的纵坐标相同即可求出 AB 的长度；（2）根据 A 、B 、C 三点的坐标可求出 CE 与 AE 的长度，设 CD ＝x ，根据勾股定理即可求出 x 的 值．【解答】解： （1）由 A 、B 两点的纵坐标相同可知： AB ∥ x 轴， ∴ AB ＝ 12﹣（﹣ 8）＝ 20；（2）过点 C 作l ⊥AB 于点 E ，连接 AC ，作AC 的垂直平分线交直线 由（ 1）可知： CE ＝1﹣（﹣ 17）＝ 18， AE ＝12，设 CD ＝ x ， ∴ AD ＝CD ＝ x ，由勾股定理可知： x 2＝（ 18﹣ x ）2+122， ∴解得： x ＝ 13，∴CD ＝13， 故答案为：（1）20；（2） 13；【点评】本题考查勾股定理，解题的关键是根据 A 、 B 、 C 三点的坐标求出相关线段的长度，本题 属于中等题型．三、解答题（本大题有 7个小题，共 67 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 20．（8 分）有个填写运算符号的游戏：在“ 1□2□6□9”中的每个□内，填入 +，﹣，×，÷中的某一个（可重复使用） ，然后计算结果． （ 1）计算： 1+2﹣6﹣ 9；（2）若 1÷2×6□9＝﹣ 6，请推算□内的符号；（3）在“ 1□2□6﹣9”的□内填入符号后，使计算所得数最小，直接写出这个最小数． 【分析】（1）根据有理数的加减法可以解答本题；l 于点 D ， yx（2）根据题目中式子的结果，可以得到□内的符号；（3）先写出结果，然后说明理由即可． 【解答】解：（1）1+2﹣6﹣9 ＝3﹣6﹣9 ＝﹣ 3﹣ 9 ＝﹣ 12；（2）∵ 1÷2×6□9＝﹣6， ∴ 1× ×6□9＝﹣ 6， ∴ 3 □ 9＝﹣ 6， ∴□内的符号是“﹣” ； （ 3）这个最小数是﹣ 20，理由：∵在“ 1□ 2□6﹣9”的□内填入符号后，使计算所得数最小， ∴1□2□6 的结果是负数即可，∴ 1□2□ 6的最小值是 1﹣2×6＝﹣ 11， ∴1□2□6﹣9 的最小值是﹣ 11﹣ 9＝﹣ 20， ∴这个最小数是﹣ 20．【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题得关键是明确有理数混合运算的计算方法． （9 分）已知：整式 A ＝（n 2﹣1）2+（2n ）2，整式 B>0． 尝试 化简整式 A ．发现 A ＝ B 2，求整式 B ． 联想 由上可知， B 2＝（ n 2﹣1） 图．填写下表中 B 的值： 直角三角形三边 勾股数组Ⅰ 勾股数组Ⅱ212+（ 2n ） 2，当 n>1 时， n 2﹣1 / 35n 2﹣1，2n ，B 为直角三角形的三边长，如 2n B 817分析】先根据整式的混合运算法则求出 A ，进而求出 B ，再把 n 的值代入即可解答．【解答】解： A＝（ n2﹣1）2+（2n）2＝n4﹣2n2+1+4n2＝n4+2n2+1＝（ n2+1）2，2∵A＝B2，B>0，2∴ B＝ n2+1 ，22当 2n＝ 8 时， n＝ 4，∴ n2+1 ＝ 42+1＝17；当 n2﹣ 1＝35 时， n2+1＝37．故答案为： 17； 37【点评】本题考查了勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知△ ABC 的三边满足 a2+b2＝c2，则△ ABC 是直角三角形．22．（ 9分）某球室有三种品牌的 4 个乒乓球，价格是 7，8，9（单位：元）三种．从中随机拿出一个球，已知 P（一次拿到 8 元球）＝．（1）求这 4 个球价格的众数；（2）若甲组已拿走一个 7元球训练，乙组准备从剩余 3 个球中随机拿一个训练．① 所剩的 3 个球价格的中位数与原来 4 个球价格的中位数是否相同？并简要说明理由；② 乙组先随机拿出一个球后放回，之后又随机拿一个，用列表法（如图）求乙组两次都拿到8 元球的概率．又拿先拿分析】（1）由概率公式求出 8 元球的个数，由众数的定义即可得出答案；2）① 由中位数的定义即可得出答案；② 用列表法得出所有结果，乙组两次都拿到8 元球的结果有 4 个，由概率公式即可得出答案．解答】解：1）∵ P（一次拿到8 元球）∴8 元球的个数为 4× ＝2（个），按照从小到大的顺序排列为 7，8，8，9，∴这 4 个球价格的众数为 8 元；（ 2）① 所剩的 3 个球价格的中位数与原来 4 个球价格的中位数相同；理由如下：原来4 个球的价格按照从小到大的顺序排列为7，8， 8，9，∴原来 4 个球价格的中位数为＝ 8（元），所剩的 3 个球价格为 8，8， 9，∴所剩的 3 个球价格的中位数为 8 元，∴所剩的 3 个球价格的中位数与原来 4 个球价格的中位数相同；② 列表如图所示：共有 9 个等可能的结果，乙组两次都拿到 8 元球的结果有 4 个，∴乙组两次都拿到 8 元球的概率为．【点评】本题考查了众数、中位数以及列表法求概率；熟练掌握众数、中位数的定义，列表得出所有结果是解题的关键．23．（9分）如图，△ ABC和△ ADE 中，AB＝AD＝6，BC＝DE，∠B＝∠D＝30°，边 AD与边BC交于点 P（不与点 B，C重合），点 B，E在 AD 异侧， I为△ APC的内心．（ 1）求证：∠ BAD ＝∠ CAE；（2）设 AP＝x，请用含 x的式子表示 PD，并求 PD 的最大值；（3）当 AB⊥AC 时，∠ AIC 的取值范围为m°<∠ AIC < n°，分别直接写出m，n 的BC 上且不与 B 、C 重合，∴ AP 的最小值即 AP ⊥BC 时 AP 的长度，此时 PD 可得最大值．（3）I 为△ APC 的内心，即 I 为△ APC 角平分线的交点，应用“三角形内角和等于 180°“及角平 分线定义即可表示出∠ AIC ，从而得到 m ，n 的值． 【解答】解： （1）在△ ABC 和△ADE 中，（如图 1）∴△ ABC ≌△ ADE （ SAS ） ∴∠ BAC ＝∠ DAE即∠ BAD +∠ DAC ＝∠ DAC+∠CAE ∴∠ BAD ＝∠ CAE ． (2) ∵ AD ＝6，AP ＝x ， ∴PD ＝6﹣x当AD ⊥BC 时， AP ＝ AB ＝3最小，即 PD ＝ 6﹣3＝3为PD 的最大值． ( 3)如图 2，设∠ BAP ＝α，则∠ APC ＝α+30°， ∵AB ⊥ AC∴∠ BAC ＝ 90°，∠ PCA ＝60°，∠ PAC ＝90°﹣ α， ∵I 为△APC 的内心∴ AI 、CI 分别平分∠ PAC ，∠ PCA ， ∴∠ IAC ＝ ∠PAC ，∠ ICA ＝ ∠PCA ∴∠AIC ＝ 180°﹣(∠ IAC+∠ICA ) ＝ 180°﹣ (∠ PAC+∠PCA)值．分析】（1）由条件易证△ ABC ≌△ ADE ， 得∠ BAC ＝∠ DAE ，∴∠ BAD ＝∠ CAE ．2）PD ＝AD ﹣AP ＝6﹣x ，∵点 P 在线段＝ 180°﹣ (90°﹣α+60°)＝α+105 °∵ 0 < α< 90 °，∴ 105°< α+105°< 150°，即 105°<∠ AIC<150°，∴ m＝ 105 ， n＝ 150．【点评】本题是一道几何综合题，考查了点到直线的距离垂线段最短， 30°的角所对的直角边等于斜边的一半，全等三角形的判定和性质，三角形内心概念及角平分线定义等，解题关键是将 PD 最大值转化为 PA 的最小值．24．（10 分）长为 300m的春游队伍，以 v（m/s）的速度向东行进，如图 1和图 2，当队伍排尾行进到位置 O 时，在排尾处的甲有一物品要送到排头，送到后立即返回排尾，甲的往返速度均为 2v（ m/s），当甲返回排尾后，他及队伍均停止行进．设排尾从位置 O 开始行进的时间为 t（ s），排头与 O 的距离为 S 头（m）．（1）当 v＝2 时，解答：①求 S头与 t的函数关系式（不写 t的取值范围）；② 当甲赶到排头位置时，求 S 头的值；在甲从排头返回到排尾过程中，设甲与位置 O 的距离为 S 甲（m），求 S甲与 t的函数关系式（不写 t 的取值范围）（2）设甲这次往返队伍的总时间为T（s），求T与v的函数关系式（不写v的取值范围），并写出队伍在此过程中行进的路程．【分析】（1）① 排头与 O 的距离为 S 头（ m ）．等于排头行走的路程 +队伍的长 300，而排头行进的 时间也是 t （s ），速度是 2m/s ，可以求出 S 头与 t 的函数关系式； ② 甲赶到排头位置的时间可以根据追及问题的数量关系得出，代入求 S 即可；在甲从排头返回到 排尾过程中，设甲与位置 O 的距离为 S 甲（m ）是在 S 的基础上减少甲返回的路程，而甲返回的时 间（总时间 t 减去甲从排尾赶到排头的时间） ，于是可以求 S 甲与 t 的函数关系式；（ 2）甲这次往返队伍的总时间为 T （ s ），是甲从排尾追到排头用的时间与从排头返回排尾用时的和，可以根据追及问题和相遇问题的数量关系得出结果； 在甲这次往返队伍的过程中队伍行进的路 程＝队伍速度×返回时间．【解答】解： （1）① 排尾从位置 O 开始行进的时间为 t （ s ），则排头也离开原排头 t （s ），∴S 头＝2t+300② 甲从排尾赶到排头的时间为 300÷（2v ﹣v ）＝300÷v ＝300÷2＝150 s ，此时 S 头＝ 2t+300 ＝ 600 m 甲返回时间为： （ t ﹣ 150） s∴S 甲＝S 头﹣S 甲回＝2× 150+300 ﹣ 4（t ﹣ 150）＝﹣ 4t+1200；因此，S 头与 t 的函数关系式为 S 头＝ 2t+300，当甲赶到排头位置时，求 S 的值为 600m ，在甲从排头 返回到排尾过程中， S 甲与 t 的函数关系式为 S 甲＝﹣ 4t+1200 ．点评】考查行程问题中相遇、追及问题的数量关系的理解和应用，同时函数思想方法的应用，切2）T ＝ t 追及+t 返回＝在甲这次往返队伍的过程中队伍行进的路程为： v ×＝400；因此 T 与 v 的函数关系式为： T ＝ ，此时队伍在此过程中行进的路程为 400m．实理解变量之间的变化关系，由于时间有重合的部分，容易出现错误． 25．（10 分）如图 1 和 2，? ABCD 中，AB ＝3，BC ＝15，tan ∠DAB过点 A 作⊙O 切 CP 于点 P ，设 BP ＝ x ．1）如图 1，x 为何值时， 圆心 O 落在 AP 上？若此时 ⊙O 交AD 于点 E ，直接指出 PE 与 BC 的位 置关系；．点 P 为 AB 延长线上一点，（2）当 x ＝4时，如图 2，⊙O 与 AC 交于点 Q ，求∠ CAP 的度数， 并通过计算比较弦 AP 与劣弧 长度的大小；（3）当⊙O 与线段 AD 只有一个公共点时，直接写出 x 的取值范围．【分析】（1）由三角函数定义知： Rt △PBC 中， ＝tan ∠ PBC ＝ tan ∠ DAB ＝ ，设 CP ＝4k ，BP＝ 3k ，由勾股定理可求得 BP ，根据“直径所对的圆周角是直角” 可得 PE ⊥AD ，由此可得 PE ⊥ BC ；（ 2）作 CG ⊥AB ，运用勾股定理和三角函数可求 CG 和 AG ，再应用三角函数求∠ CAP ，应用弧长 公式求劣弧 长度，再比较它与 AP 长度的大小； （3）当⊙O 与线段 AD 只有一个公共点时， ⊙O 与AD 相切于点 A ，或⊙O 与线段 DA 的延长线相 交于另一点，此时， BP 只有最小值，即 x ≥ 18．【解答】解： （1）如图 1，AP 经过圆心 O ，∵CP 与⊙O 相切于 P ， ∴∠ APC ＝ 90°， ∵ ? ABCD ， ∴AD ∥BC ，∴∠ PBC ＝∠ DAB 由 CP 2+BP 2＝ BC 2， 得（4k ）2+（3k ）2＝152，解得 k 1＝﹣ 3（舍去），k 2＝3， ∴ x ＝BP ＝3× 3＝ 9，故当 x ＝9 时，圆心 O 落在 AP 上； ∵AP 是⊙O 的直径， ∴∠ AEP ＝90°， ∴PE ⊥ AD ， ∵ ? ABCD ，∴ ＝tan ∠PBC ＝tan ∠DAB ，设 CP ＝4k ，BP ＝3k ，。

---2019年河北省中考数学试卷一、选择题（本大题有16 个小题，共42 分， 1-10小题各3分，11-16小题各2分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的）1．以下图形为正多边形的是（）A ．B ．C． D ．2 ．规定：（→ 2 ）表示向右挪动 2 记作 +2 ，则（←3 ）表示向左移动 3 记作（）A ．+3B ．﹣ 3 C．﹣ D ．+3 ．如图，从点 C 观察点 D 的仰角是（）A ．∠ DAB B ．∠ DCE C．∠ DCA D ．∠ ADC4．语句“ x 的与x的和不超出 5 ”能够表示为（）A ．+x ≤ 5B ．+x ≥ 5C．≤5 D ．+x ＝ 55．如图，菱形ABCD中，∠ D＝150°，则∠ 1＝（）---A ．30 °B ． 25 °C． 20 ° D ．15 °6．小明总结了以下结论：①a（ b+c ）＝ ab+ac ；②a（ b ﹣ c）＝ ab ﹣ac ；③（ b ﹣ c）÷ a ＝ b÷ a﹣ c ÷a（ a≠0）；④a÷（ b+c ）＝ a ÷b+a ÷ c （a≠0 ）此中必定建立的个数是（）A ．1B ． 2C． 3 D ．47．下边是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容则回答正确的选项是（）A ．◎代表∠ FECB ． @代表同位角C ．▲代表∠ EFCD ．※代表 AB8 ．一次抽奖活动特等奖的中奖率为，把用科学记数法表示为（）-------A ．5 × 10 ﹣4B ． 5 × 10 ﹣5 C． 2× 10 ﹣4 D ．2 × 10 ﹣5 9．如图，在小正三角形构成的网格中，已有6个小正三角形涂黑，还需涂黑n 个小正三角形，使它们与本来涂黑的小正三角形组成的新图案恰有三条对称轴，则n 的最小值为（）A ．10B ． 6C． 3 D ．210．依据圆规作图的印迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（）A ．B ．C ．D ．11．某同学要统计本校图书室最受学生欢迎的图书种类，以下是排乱的统计步骤：---①从扇形图中剖析出最受学生欢迎的种类②去图书室采集学生借阅图书的记录③绘制扇形图来表示各个种类所占的百分比④整理借阅图书记录并绘制频数散布表正确统计步骤的次序是（）A．②→③→①→④ B ．③→④→①→②C．①→②一④→③ D ．②→④→③→①12 ．如图，函数y ＝的图象所在座标系的原点是（）A ．点 MB ．点 N C．点 P D ．点 Q13 ．如图，若 x 为正整数，则表示﹣的值的点落在（）A ．段①B ．段②C．段③ D ．段④14 ．图 2 是图 1 中长方体的三视图，若用 S 表示面积，S 主＝ x 2+2x ，S 左＝ x 2+x ，则 S 俯＝（）---A ．x 2+3x+2 B．x2+2C． x 2 +2x+1 D ．2x 2 +3x15 ．小刚在解对于x 的方程 ax 2+bx+c ＝0（ a≠ 0 ）时，只抄对了a＝ 1 ， b＝ 4 ，解出此中一个根是x ＝﹣ 1 ．他查对时发现所抄的 c 比原方程的 c 值小 2 ．则原方程的根的状况是（）A ．不存在实数根B ．有两个不相等的实数根C ．有一个根是x ＝﹣ 1D ．有两个相等的实数根16 ．对于题目：“如图 1 ，平面上，正方形内有一长为12 、宽为 6的矩形，它能够在正方形的内部及界限经过移转（即平移或旋转）的方式，自由地从横放移转到竖放，求正方形边长的最小整数 n ．”甲、乙、丙作了自以为边长最小的正方形，先求出该边长 x ，再取最小整数n ．甲：如图 2，思路是当x 为矩形对角线长时便可移转过去；结果取n ＝ 13 ．乙：如图 3 ，思路是当x 为矩形外接圆直径长时便可移转过去；---结果取 n ＝14 ．丙：如图 4 ，思路是当x 为矩形的长与宽之和的倍时便可移转过去；结果取n ＝13 ．以下正确的选项是（）A ．甲的思路错，他的n 值对B ．乙的思路和他的n 值都对C ．甲和丙的 n 值都对D ．甲、乙的思路都错，而丙的思路对二、填空题（本大题有 3 个小题，共 11 分， 17 小题 3 分： 18 ～19 小题各有 2 个空，每空 2 分，把答案写在题中横线上）17 ．若 7 ﹣2× 7 ﹣1×7 0＝ 7 p，则 p 的值为．18．如图，商定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．示例：即 4+3 ＝ 7则（ 1 ）用含x的式子表示m＝；（ 2 ）当y ＝﹣ 2时，n的值为．19 ．勘察队按实质需要建立了平面直角坐标系，并标示了A， B ，C 三地的坐标，数据如图（单位：km ）．笔挺铁路经过 A ，B两地．（1 ）A， B 间的距离为km ；（2）计划修一条从 C 到铁路 AB 的最短公路 l ，并在 l 上建一个维修站 D ，使 D 到 A ， C 的距离相等，则 C， D 间的距离为km ．三、解答题（本大题有7 个小题，共67 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）20 ．（ 8 分）有个填写运算符号的游戏：在“1□ 2□ 6 □9 ”中的每个□内，填入+ ，﹣，×，÷中的某一个（可重复使用），然后计算结果．（1 ）计算： 1+2 ﹣6 ﹣9 ；（2 ）若 1 ÷2 × 6 □ 9 ＝﹣ 6，请计算□内的符号；（3 ）在“ 1 □ 2 □ 6 ﹣ 9 ”的□内填入符号后，使计算所得数最小，直接写出这个最小数．21 ．（ 9 分）已知：整式 A ＝（ n 2﹣1 ）2 + （ 2n ）2，整式 B ＞ 0 ．试试化简整式A．发现A＝ B 2，求整式 B ．联想由上可知，B2＝（n2﹣1）2+（2n）2，当n＞1时，n2﹣1 ，2n ，B 为直角三角形的三边长，如图．填写下表中 B 的值：直角三角形三n 2﹣12n B边勾股数组Ⅰ/8勾股数组Ⅱ35/22 ．（ 9 分）某球室有三种品牌的4 个乒乓球，价钱是7 ， 8 ， 9 （单位：元）三种．从中随机取出一个球，已知P（一次拿到8 元球）＝．（1 ）求这 4 个球价钱的众数；（2）若甲组已拿走一个 7 元球训练，乙组准备从节余 3 个球中随机拿一个训练．①所剩的 3 个球价钱的中位数与本来 4 个球价钱的中位数能否同样？并简要说明原因；②乙组先随机取出一个球后放回，以后又随机拿一个，用列表法（如图）求乙组两次都拿到8 元球的概率．又拿先拿---23 ．（ 9 分）如图，△ ABC 和△ ADE∠B ＝∠ D ＝ 30 °，边 AD 与边重合），点 B ， E 在 AD 异侧， I （1）求证：∠ BAD ＝∠ CAE ；中，AB ＝ AD ＝6 ，BC ＝DE ， BC 交于点 P（不与点 B ，C为△ APC 的心里．（2）设 AP ＝ x ，请用含 x 的式子表示PD ，并求 PD 的最大值；---（3 ）当 AB ⊥ AC 时，∠ AIC 的取值范围为m °＜∠ AIC ＜ n °，分别直接写出m ， n 的值．24 ．（ 10 分）长为 300m的春游队伍，以v （ m/s ）的速度向东前进，如图 1 和图 2 ，当队伍排尾前进到地点O 时，在排尾处的甲有一物件要送到排头，送到后立刻返回排尾，甲的来回速度均为2v （ m/s ），当甲返回排尾后，他及队伍均停止前进．设排尾从地点O 开始前进的时间为t （s ），排头与 O 的距离为S 头（ m ）．（1 ）当 v ＝ 2 时，解答：①求 S 头与 t 的函数关系式（不写t 的取值范围）；②当甲赶到排头地点时，求S 的值；在甲从排头返回到排尾过程中，设甲与地点O 的距离为S 甲（ m ），求 S 甲与 t 的函数关系式（不写t 的取值范围）（2 ）设甲此次来回队伍的总时间为T（ s ），求 T 与 v 的函数关系式（不写 v 的取值范围），并写出队伍在此过程中前进的行程．25 ．（ 10 分）如图 1 和 2 ，? ABCD中，AB＝3，BC＝15，tan∠ DAB ＝．点 P 为 AB 延伸线上一点，过点 A作⊙ O 切 CP 于点 P，设 BP ＝ x ．（1）如图1，x 为什么值时，圆心O 落在AP上？若此时⊙ O 交 AD 于点 E ，直接指出 PE 与 BC的地点关系；（2 ）当 x ＝ 4 时，如图 2 ，⊙ O 与 AC 交于点Q，求∠ CAP 的度数，并经过计算比较弦AP与劣弧长度的大小；（3 ）当⊙ O 与线段 AD 只有一个公共点时，直接写出x 的取值范围．26 ．（ 12 分）如图，若b 是正数，直线 l ：y ＝ b 与 y 轴交于点 A；直线 a：y ＝ x ﹣b 与 y 轴交于点 B ；抛物线 L：y ＝﹣ x 2+bx 的极点为 C，且 L 与 x 轴右交点为 D ．（1 ）若 AB ＝ 8 ，求 b 的值，并求此时L 的对称轴与 a 的交点坐标；（2）当点 C 在 l 下方时，求点 C 与 l 距离的最大值；（3 ）设 x 0≠ 0，点（ x 0， y1），（x 0， y 2），（ x 0，y 3）分别在 l ，a和 L 上，且 y 3是 y 1， y 2的均匀数，求点（ x 0，0 ）与点 D 间的距离；（4 ）在 L 和 a 所围成的关闭图形的界限上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点” ，分别直接写出 b ＝ 2019 和 b ＝时“美点”的个数．2019年河北省中考数学试卷参照答案与试题分析一、选择题（本大题有16 个小题，共42 分， 1-10小题各3分，11-16小题各2分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的）1．【解答】解：正五边形五个角相等，五条边都相等，应选： D ．2 ．【解答】解：“正”和“负”相对，所以，假如（→ 2 ）表示向右挪动 2 记作 +2 ，则（← 3 ）表示向左挪动 3 记作﹣ 3 ．应选： B ．3 ．【解答】解：∵从点 C 观察点 D 的视野是 CD ，水平线是 CE ，∴从点 C 观察点 D 的仰角是∠ DCE ，应选： B ．4 ．【解答】解：“ x 的与 x 的和不超出5 ”用不等式表示为 x+x≤5 ．应选： A．5．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠ D＝150°，∴AB ∥ CD ，∠ BAD ＝ 2∠1 ，---∴∠ BAD+ ∠ D ＝ 180 °，∴∠ BAD ＝ 180 °﹣ 150 °＝ 30 °，∴∠ 1 ＝ 15 °；应选： D ．6．【解答】解：①a（ b+c ）＝ ab+ac ，正确；②a（ b ﹣ c）＝ ab ﹣ac ，正确；③（ b ﹣ c）÷ a ＝ b÷ a﹣ c ÷a（ a≠ 0），正确；④a÷（ b+c ）＝ a ÷b+a ÷ c （a≠ 0 ），错误，没法分解计算．应选： C ．7．【解答】证明：延伸BE 交 CD 于点 F，则∠ BEC ＝∠ EFC+ ∠ C（三角形的外角等于与它不相邻两个内角之和）．又∠ BEC ＝∠ B+ ∠ C ，得∠ B ＝∠ EFC ．故AB ∥ CD （内错角相等，两直线平行）．应选： C ．8 ．【解答】解：＝ 0.00002 ＝ 2 × 10 ﹣5．应选： D ．9 ．【解答】解：以下图， n 的最小值为 3 ，---应选： C ．10．【解答】解：三角形外心为三边的垂直均分线的交点，由基本作图获得 C 选项作了两边的垂直均分线，进而可用直尺成功找到三角形外心．应选： C ．11．【解答】解：由题意可得，正确统计步骤的次序是：②去图书室采集学生借阅图书的记录→④整理借阅图书记录并绘制频数散布表→③绘制扇形图来表示各个种类所占的百分比→①从扇形图中剖析出最受学生欢迎的种类，应选： D ．12 ．【解答】解：由已知可知函数y ＝对于y轴对称，所以点 M 是原点；应选： A．13 ．【解答】解∵﹣＝﹣＝1﹣＝又∵ x 为正整数，----∴≤x＜ 1故表示﹣的值的点落在②应选： B ．14．【解答】解：∵S 主＝ x 2+2x ＝ x（x+2 ），S 左＝ x 2 +x ＝ x（x+1 ），∴俯视图的长为 x+2 ，宽为 x+1 ，则俯视图的面积 S 俯＝（ x+2 ）（ x+1 ）＝ x 2+3x+2 ，应选： A．15．【解答】解：∵小刚在解对于 x 的方程 ax 2 +bx+c ＝0（ a≠ 0 ）时，只抄对了a＝ 1 ， b＝ 4，解出此中一个根是x ＝﹣ 1 ，∴（﹣ 1 ）2﹣ 4+c ＝ 0 ，解得： c ＝ 3 ，故原方程中 c ＝ 5 ，则b 2﹣4ac ＝ 16 ﹣ 4 × 1 × 5 ＝﹣ 4 ＜ 0，则原方程的根的状况是不存在实数根．应选： A．16．【解答】解：甲的思路正确，长方形对角线最长，只需对角线能经过就能够，可是计算错误，应为n ＝ 14 ；乙的思路与计算都正确；丙的思路错误，图示状况不是最长；----应选： B ．二、填空题（本大题有 3 个小题，共11 分， 17 小题 3 分： 18 ～19 小题各有 2 个空，每空 2 分，把答案写在题中横线上）17．【解答】解：∵ 7 ﹣2× 7﹣1×7 0＝ 7p，∴﹣ 2 ﹣ 1+0 ＝ p ，解得： p ＝﹣3 ．故答案为：﹣3 ．18．【解答】解：（ 1 ）依据商定的方法可得：m ＝ x+2x ＝ 3x ；故答案为： 3x ；（2）依据商定的方法即可求出 nx+2x+2x+3 ＝ m+n ＝y ．当 y ＝﹣ 2 时， 5x+3 ＝﹣2 ．解得 x ＝﹣ 1．∴n ＝2x+3 ＝﹣ 2+3 ＝ 1 ．故答案为： 1 ．19 ．【解答】解：（ 1 ）由 A 、 B 两点的纵坐标同样可知：AB ∥ x轴，∴A B ＝ 12 ﹣（﹣ 8 ）＝ 20 ；----（2）过点 C 作 l ⊥AB 于点 E ，连结 AC ，作 AC 的垂直均分线交直线 l 于点 D ，由（ 1 ）可知： CE ＝ 1 ﹣（﹣ 17 ）＝ 18 ，AE ＝ 12 ，设CD ＝x ，∴A D ＝ CD ＝ x ，由勾股定理可知：x 2＝（ 18 ﹣ x ）2+12 2，∴解得： x ＝13 ，∴C D ＝ 13 ，故答案为：（1 ） 20 ；（ 2 ） 13 ；三、解答题（本大题有 7 个小题，共 67 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）20．【解答】解：（ 1 ）1+2 ﹣ 6﹣ 9＝3﹣6 ﹣ 9＝﹣ 3 ﹣ 9＝﹣ 12 ；----（2）∵ 1 ÷ 2 × 6 □ 9＝﹣6，∴1 × × 6 □9 ＝﹣ 6，∴3□9 ＝﹣ 6 ，∴□内的符号是“﹣” ；（3 ）这个最小数是﹣ 20 ，原因：∵在“ 1 □ 2 □ 6 ﹣ 9 ”的□内填入符号后，使计算所得数最小，∴1□2 □ 6 的结果是负数即可，∴1□2 □ 6 的最小值是 1 ﹣ 2 ×6 ＝﹣ 11 ，∴1□2 □ 6 ﹣ 9 的最小值是﹣ 11 ﹣ 9 ＝﹣ 20 ，∴这个最小数是﹣20 ．21．【解答】解： A＝（ n 2﹣1 ）2 + （ 2n ）2＝ n 4﹣ 2n 2 +1+4n 2＝ n 4+2n 2+1 ＝（ n 2 +1 ）2，∵A＝ B 2， B ＞ 0 ，∴B＝n 2+1 ，当2n ＝ 8 时， n ＝ 4，∴ n 2 +1 ＝ 4 2 +1 ＝ 15 ；当n 2﹣1 ＝35 时， n 2 +1 ＝ 37 ．故答案为： 15 ；3722 ．【解答】解：（ 1 ）∵ P（一次拿到8 元球）＝，----∴8 元球的个数为 4 ×＝2（个），依据从小到大的次序摆列为7 ， 8 ，8 ， 9 ，∴这 4 个球价钱的众数为8 元；（2）①所剩的 3 个球价钱的中位数与本来 4 个球价钱的中位数同样；原因以下：本来 4 个球的价钱依据从小到大的次序摆列为7 ， 8 ， 8 ， 9，∴本来 4 个球价钱的中位数为＝8（元），所剩的 3 个球价钱为8 ， 8 ， 9 ，∴所剩的 3 个球价钱的中位数为8 元，∴所剩的 3 个球价钱的中位数与本来 4 个球价钱的中位数同样；②列表以下图：共有9 个等可能的结果，乙组两次都拿到8 元球的结果有 4 个，∴乙组两次都拿到8 元球的概率为．23 ．【解答】解：（ 1 ）在△ ABC 和△ ADE 中，（如图 1 ）-------∴△ ABC ≌△ ADE （ SAS ）∴∠ BAC ＝∠ DAE即∠ BAD+ ∠ DAC ＝∠ DAC+ ∠ CAE∴∠ BAD ＝∠ CAE ．（2）∵ AD ＝ 6 ， AP＝x ，∴PD ＝ 6 ﹣x当AD ⊥BC 时， AP ＝ AB ＝ 3 最小，即 PD ＝ 6 ﹣3 ＝3 为 PD 的最大值．（3）如图 2 ，设∠ BAP ＝α，则∠ APC ＝α+30 °，∵AB ⊥ AC∴∠ BAC ＝ 90 °，∠ PCA ＝60 °，∠ PAC ＝ 90 °﹣α，∵I 为△ APC 的心里∴A I 、 CI 分别均分∠ PAC ，∠ PCA ，∴∠ IAC ＝∠ PAC ，∠ ICA ＝∠ PCA∴∠ AIC ＝ 180 °﹣（∠ IAC+ ∠ ICA ）＝180 °﹣（∠ PAC+ ∠ PCA ）＝180 °﹣（ 90 °﹣α+60 °）-------＝α+105°∵0 ＜α＜90 °，∴105 °＜α+105 °＜ 150 °，即 105 °＜∠ AIC ＜150 °，∴m＝ 105 ， n ＝ 150 ．24 ．【解答】解：（ 1 ）①排尾从地点O 开始前进的时间为 t （ s），则排头也走开原排头 t （ s），∴S头＝ 2t+300②甲从排尾赶到排头的时间为300 ÷（ 2v ﹣ v ）＝ 300 ÷ v＝ 300 ÷2＝150 s ，此时 S 头＝ 2t+300 ＝ 600 m甲返回时间为：（ t ﹣ 150 ） s∴S 甲＝ S 头﹣ S 甲回＝ 2 ×150+300 ﹣ 4（ t ﹣ 150 ）＝﹣ 4t+1200 ；所以， S 头与 t 的函数关系式为 S 头＝ 2t+300 ，当甲赶到排头位置时，求 S 的值为 600m ，在甲从排头返回到排尾过程中，S 甲-------与 t 的函数关系式为S 甲＝﹣ 4t+1200．（2 ）T＝ t 追及 +t 返回＝+＝，在甲此次来回队伍的过程中队伍前进的行程为：v ×（ T﹣ 150 ）＝v ×（﹣﹣150）＝400﹣150v；所以 T 与 v 的函数关系式为：T＝，此时队伍在此过程中行进的行程为（ 400 ﹣ 150v ） m ．25 ．【解答】解：（ 1 ）如图 1 ，AP 经过圆心O，∵ CP 与⊙ O 相切于 P，∴∠ APC ＝90 °，∵? ABCD ，∴AD∥ BC ，∴∠ PBC＝∠ DAB∴＝ tan ∠ PBC ＝tan ∠DAB ＝，设CP＝4k，BP＝3k，由CP 2+BP 2＝ BC 2，得（ 4k ）2 +（ 3k ）2＝ 15 2，解得 k 1＝﹣ 3 （舍去），k 2＝ 3 ，∴x＝ BP ＝3 × 3 ＝ 9 ，----故当 x ＝9 时，圆心O 落在 AP 上；∵A P 是⊙ O 的直径，∴∠ AEP ＝90 °，∴PE ⊥AD ，∵? ABCD ，∴B C ∥ AD∴P E ⊥BC（2）如图 2 ，过点 C 作 CG ⊥AP 于 G ，∵? ABCD ，∴BC∥ AD ，∴∠ CBG＝∠ DAB∴＝ tan ∠ CBG ＝tan ∠ DAB ＝，设 CG ＝4m ， BG ＝3m ，由勾股定理得：（ 4m ）2 +（ 3m ）2＝15 2，解得 m ＝ 3 ，∴CG ＝ 4 × 3 ＝ 12 ，BG ＝3 × 3 ＝ 9 ，PG ＝ BG ﹣ BP ＝ 9 ﹣ 4＝ 5，AP＝ AB+BP ＝3+4 ＝7，∴A G ＝ AB+BG ＝ 3+9 ＝ 12∴t an ∠ CAP ＝＝＝1 ，∴∠ CAP ＝45 °；连结 OP ，OQ ，过点 O 作 OH ⊥AP 于 H ，则∠ POQ ＝2 ∠ CAP ＝2×45 °＝ 90 °， PH ＝ AP＝，在 Rt △ CPG 中，＝＝13，∵CP 是⊙ O 的切线，∴∠ OPC ＝∠ OHP ＝ 90 °，∠ OPH+ ∠ CPG ＝ 90 °，∠ PCG+∠CPG ＝ 90 °∴∠ OPH ＝∠ PCG∴△ OPH ∽△ PCG∴，即 PH × CP＝ CG ×OP ，×13＝12OP，∴O P ＝∴劣弧长度＝＝，∵＜2 π＜7∴弦 AP 的长度＞劣弧长度．（3 ）如图 3，⊙ O 与线段 AD 只有一个公共点，即圆心O 位于直线 AB 下方，且∠ OAD ≥ 90 °，当∠ OAD ＝ 90 °，∠ CPM ＝∠ DAB 时，此时 BP 获得最小值，过点 C 作 CM ⊥ AB 于 M ，∵∠ DAB ＝∠ CBP ，∴∠ CPM ＝∠ CBP∴CB ＝ CP，∵CM ⊥ AB∴B P ＝ 2BM ＝ 2 ×9 ＝ 18 ，∴x≥ 1826 ．【解答】解：（ 1 ）当 x ＝0 吋， y ＝x ﹣ b ＝﹣ b ，∴B（0，﹣b），∵A B ＝ 8 ，而 A （0 ，b ），∴b ﹣（﹣ b ）＝----∴b＝4 ．∴L：y＝﹣ x 2+4x ，∴L的对称轴 x ＝ 2 ，当 x ＝ 2 吋， y ＝ x ﹣ 4 ＝﹣ 2 ，∴L的对称轴与 a 的交点为（ 2，﹣ 2 ）；（ 2 ） y ＝﹣（ x ﹣）2+ ，∴L 的极点 C（）∵点 C 在 l 下方，∴C 与 l 的距离 b ﹣＝﹣（b﹣2）2+1≤ 1，∴点 C 与 1 距离的最大值为 1 ；（3 ）由題意得，即y1+y2＝2y3，得b+x 0﹣ b ＝2（﹣ x 02+bx 0）解得 x 0＝ 0 或 x 0＝ b ﹣．但x0#0，取x0＝b﹣，对于 L，当 y ＝ 0 吋， 0 ＝﹣ x 2+bx ，即 0 ＝﹣ x （ x ﹣b ），解得 x 1＝ 0， x 2＝ b，∵b＞0 ，∴右交点 D （ b ， 0 ）．∴点（ x 0， 0）与点 D 间的距离b﹣（ b ﹣）＝（4）①当 b ＝ 2019 时，抛物线分析式 L ： y ＝﹣ x 2 +2019x 直线分析式a： y ＝ x﹣ 2019联立上述两个分析式可得：x 1＝﹣ 1， x 2＝ 2019 ，∴可知每一个整数x 的值都对应的一个整数y 值，且﹣ 1 和2019之间（包含﹣1和﹣2019）共有2021个整数；∵此外要知道所围成的关闭图形界限分两部分：线段和抛物线，∴线段和抛物线上各有2021个整数点∴总计 4042个点，∵这两段图象交点有 2 个点重复重复，∴美点”的个数：4042 ﹣ 2＝ 4040 （个）；②当 b ＝时，抛物线分析式L ：y ＝﹣ x 2，直线分析式a： y ＝x ﹣，联立上述两个分析式可得：x 1＝﹣ 1， x 2＝，∴当 x 取整数时，在一次函数y ＝x ﹣上，y取不到整数值，所以在该图象上“美点”为0 ；在二次函数y ＝﹣ x 2图象上，当x 为偶数时，函数值y 可取整数，可知﹣ 1 到之间有1010个偶数，所以“美点”共有1010个．故b ＝ 2019 时“美点”的个数为 4040 个，b ＝ 2019.5 时“美点”的个数为 1010 个．欢迎您的莅临，Word文档下载后可改正编写. 双击可删除页眉页脚.感谢！希望您提出您可贵的建议，你的建议是我进步的动力。

第二部分 热点专题突破专题一 规 律 探 究数式的规律探究例1 (2018，安徽改编)观察以下等式：第1个等式：11＋02＋11×02＝1， 第2个等式：12＋13＋12×13＝1， 第3个等式：13＋24＋13×24＝1， 第4个等式：14＋35＋14×35＝1， 第5个等式：15＋46＋15×46＝1， ……按照以上规律，解决下列问题：(1)写出第6个等式：（ 16＋57＋16×57＝1 ）； (2)写出第n 个等式：（ 1n ＋n －1n ＋1＋1n ·n －1n ＋1＝1 ）.(用含n 的等式表示) 【解析】 (1)根据已知规律，第6个等式中的分数的分母分别为6和7，分子分别为1和5.故应填16＋57＋16×57＝1.(2)根据规律，得第n 个等式中的分数的分母分别为n 和n ＋1，分子分别为1和n －1.故应填1n ＋n －1n ＋1＋1n ·n －1n ＋1＝1. 针对训练1 (2018，随州)我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别称作“三角形数”(如1，3，6，10，…)和“正方形数”(如1，4，9，16，…)．在小于200的数中，设最大的“三角形数”为m ，最大的“正方形数”为n ，则m ＋n 的值为( C )训练1题图A. 33B. 301C. 386D. 571【解析】 由图形，知第k 个“三角形数”为1＋2＋3＋…＋k ＝k （k ＋1）2，第k 个“正方形数”为k 2.当k ＝19时，k （k ＋1）2＝190＜200，当k ＝20时，k （k ＋1）2＝210＞200，所以最大的“三角形数”m ＝190.当k ＝14时，k 2＝196＜200，当k ＝15时，k 2＝225＞200，所以最大的“正方形数”n ＝196.∴m ＋n ＝386.针对训练2 (2014，河北)如图，点O ，A 在数轴上表示的数分别是0，0.1.训练2题图将线段OA 分成100等份，其分点由左向右依次为M 1，M 2，…，M 99；再将线段OM 1分成100等份，其分点由左向右依次为N 1，N 2，…，N 99；继续将线段ON 1分成100等份，其分点由左向右依次为P 1，P 2，…，P 99.则点P 37所表示的数用科学记数法表示为3.7×10－6.【解析】 由题意，得点M 1表示的数为0.1×1100＝10－3.∴点N 1表示的数为10－3×1100＝10－5.∴点P 1表示的数为10－5×1100＝10－7.∴点P 37表示的数为3.7×10－6.图形的规律探究例2 (2015，河北，导学号5892921)如图，∠BOC ＝9°，点A 在OB 上，且OA ＝1.按下列要求画图：以点A 为圆心，1为半径向右画弧交OC 于点A 1，得第1条线段AA 1；再以点A 1为圆心，1为半径向右画弧交OB 于点A 2，得第2条线段A 1A 2；再以点A 2为圆心，1为半径向右画弧交OC 于点A 3，得第3条线段A 2A 3；……这样画下去，直到得第n 条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n ＝ 9 .例2题图【解析】 由题意，得AO ＝A 1A ，A 1A ＝A 2A 1，….∴∠AOA 1＝∠OA 1A ，∠A 1AA 2＝∠A 1A 2A ，….∵∠BOC ＝9°，∴∠A 1AA 2＝18°，∠A 2A 1A 3＝27°，∠A 3A 2A 4＝36°，∠A 4A 3A 5＝45°，…，∠A n －1A n －2A n ＝n ·9°.在△A n －1A n －2A n 中，2n ·9°<180°，解得n <10.∴n 最大取9.针对训练3 将图①所示的正六边形进行分割得到图②，再将图②中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割得到图③，再将图③中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割……则第n 个图形中，共有 (3n －2) 个正六边形．训练3题图【解析】 分析可得将题图①所示的正六边形进行分割得到题图②，增加了3个正六边形，共4个；再将题图②中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割得到题图③，又增加了3个正六边形，共4＋3＝7(个)．故每次分割，都增加3个正六边形．故第n 个图形中，正六边形共有1＋3(n －1)＝3n －2(个).针对训练4 (2018，保定模拟，导学号5892921)如图，△ABC 是一个边长为2的等边三角形，AD 0⊥BC ，垂足为D 0，过点D 0作D 0D 1⊥AB ，垂足为D 1，再过点D 1作D 1D 2⊥AD 0，垂足为D 2，又过点D 2作D 2D 3⊥AB ，垂足为D 3……这样一直作下去，得到一组线段：D 0D 1，D 1D 2，D 2D 3，…，则线段D 1D 2的长为（ 34 ），线段D n －1D n 的长为（ ⎝ ⎛⎭⎪⎫32n） (n 为正整数)．训练4题图【解析】 ∵△ABC 是一个边长为2的等边三角形，AD 0⊥BC ，∴BD 0＝1，∠B ＝60°.∵D 0D 1⊥AB ，∴∠D 1D 0B ＝30°.∴D 0D 1＝BD 0·cos ∠D 1D 0B ＝32.同理∠D 0D 1D 2＝30°，D 1D 2＝D 1D 0·cos ∠D 0D 1D 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝34.依此类推，线段D n －1D n 的长为⎝ ⎛⎭⎪⎫32n. 针对训练5 (2018，承德模拟，导学号5892921)如图，在矩形ABCD 中，M 为CD 的中点，连接AM ，BM ，分别取AM ，BM 的中点P ，Q ，以P ，Q 为顶点作第二个矩形PSRQ ，使S ，R 在AB 上．在矩形PSRQ 中，重复以上的步骤继续画图．若AM ⊥MB ，矩形ABCD 的周长为30.(1)CD ＝ 10 ；(2)第n 个矩形的长和宽分别是（ 10×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，5×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1 ）．训练5题图【解析】 (1)∵M 为CD 的中点，∴DM ＝MC .在矩形ABCD 中，AD ＝BC ，∠D ＝∠C ，∴△ADM ≌△BCM .∴∠DMA ＝∠CMB .∵AM ⊥MB ，∴∠DMA ＝∠CMB ＝45°.∴∠DAM ＝∠DMA ＝45°.∴AD ＝DM ＝12CD .∵矩形ABCD 的周长为30，∴CD ＝10.(2)由(1)求得第一个矩形的长为10，宽为5.∵P ，Q 分别是AM ，BM 的中点，∴之后得到的矩形长、宽和前一个矩形长、宽的比为1∶2.则可得出第n 个矩形的长和宽分别是10×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，5×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.数形结合的 规律探究例3 (2018，石家庄模拟，导学号5892921)如图，在平面直角坐标系xOy 中，若干个半径为1个单位长度，圆心角是60°的扇形按图中的方式摆放，动点K 从原点O 出发，沿着“半径OA →AB →BC →半径CD →半径DE …”的曲线运动．若点K 在线段上运动的速度为每秒1个单位长度，在弧线上运动的速度为每秒π3个单位长度，设第n s 运动到点K n (n 为自然数)，则K 3的坐标是（ ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－32 ），K 2 018的坐标是 (1_009，0) ．例3题图【解析】 观察，发现规律：K 1⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，K 2(1，0)，K 3⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－32，K 4(2，0)，K 5⎝ ⎛⎭⎪⎫52，32，…，∴K 4n ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫4n ＋12，32，K 4n ＋2(2n ＋1，0)，K 4n ＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫4n ＋32，－32，K 4n ＋4(2n ＋2，0)．∵2 018＝4×504＋2，∴K 2 018的坐标为(1 009，0).针对训练6 (2018，广州，导学号5892921)在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点O 出发，按向右、向上、向右、向下的方向依次不断移动，每次移动1 m ．其行走路线如图所示，第1次移动到点A 1，第2次移动到点A 2……第n 次移动到点A n ，则△OA 2A 2 018的面积是( A )训练6题图A. 504 m 2B. 1 0092 m 2C. 1 0112m 2 D. 1 009 m 2 【解析】 由题意，知A 2(1，1)，A 4(2，0)，A 8(4，0)，A 12(6，0)，…，∴A 4n (2n ，0)．∵2 016＝4×504，∴A 2 016(1 008，0)．∴A 2 018(1 009，1)．∴A 2A 2 018＝1 009－1＝1 008.∴02 2 18OA A S ＝12×1×1 008＝504(m 2). 针对训练7 (2018，潍坊，导学号5892921)如图，点A 1的坐标为(2，0)，过点A 1作x 轴的垂线交直线l ：y ＝3x 于点B 1，以原点O 为圆心，OB 1的长为半径画弧交x 轴正半轴于点A 2；再过点A 2作x 轴的垂线交直线l 于点B 2，以原点O 为圆心，OB 2的长为半径画弧交x 轴正半轴于点A 3……按此作法进行下去，则弧A 2 019B 2 018的长是（ 22 019π3 ）.训练7题图【解析】 根据已知条件可知∠A 1OB 1＝60°，点B 1的坐标为(2，23)．∵OA 2＝OB 1，∴OA 2＝22＋（23）2＝4.∴点A 2的坐标为(4，0)．利用这种方法可求得点B 2的坐标为(4，43)，故点A 3的坐标为(8，0)，B 3(8，83)．以此类推便可求出点A 2 019的坐标为(22 019，0)，则弧A 2 019B 2 018的长是60π·22 019180＝22 019π3.。

基本图形一、选择题(每小题3分，共30分)1．下列命题中，假命题是(D）A. 平行四边形是中心对称图形B. 三角形三边的垂直平分线相交于一点，这点到三角形三个顶点的距离相等C. 对于简单的随机样本，可以用样本的方差去估计总体的方差D. 若x2＝y2，则x＝y2．如图，若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则还需补充条件(B）A. ∠BAC＝∠BADB. AC＝AD或BC＝BDC. AC＝AD且BC＝BDD. 以上都不正确(第2题图) (第3题图)3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，若CD＝5 cm，则EF＝(A）A. 5 cm B. 10 cmC. 15 cmD. 20 cm4．将一把直尺与一块三角尺按如图的方式放置，若∠1＝40°，则∠2的度数为(D）A. 125°B. 120°C. 140°D. 130°(第4题图) (第5题图)5．如图，在坐标平面上，△ABC与△DEF全等，其中A，B，C的对应顶点分别为D，E，F，且AB＝BC＝5.若点A的坐标为(－3，1)，B，C两点在直线y＝－3上，D，E两点在y轴上，则点F到y轴的距离为(C）A. 2 B. 3C. 4D. 56．如图为一张方格纸，纸上有一灰色三角形，其顶点均位于某两网格线的交点上，若灰色三角形面积为5.25cm2，则此方格纸的面积为(B）A. 11 cm2B. 12 cm2C. 13 cm2D. 14 cm2(第6题图) (第7题图)7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝2，分别以AC，BC为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为(A）A. －4B. 10π－4C. 10π－8D. －88．如图，在正方形ABCD中，点O为对角线AC的中点，过点O作射线OM，ON分别交AB，BC于点E，F，且∠EOF＝90°，BO，EF交于点P.有下列结论：(第8题图)①图形中全等的三角形只有两对；②正方形ABCD的面积等于四边形OEBF面积的4倍；③BE＋BF＝2OA；④AE2＋CF2＝2OP·OB.其中正确的结论有(C）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个9．如图，在正方形ABCD中，AB＝3 cm，动点M自A点出发沿AB方向以每秒1 cm的速度运动，同时动点N 自A点出发沿折线AD→DC→CB以每秒3 cm的速度运动，到达B点时运动同时停止．设△AMN的面积为y(cm2)，运动时间为x(s)，则下列图象中能大致反映y与x之间函数关系的是(B）(第9题图)10．如图，正方形ABCD 的边长为2，其面积标记为S 1，以CD 为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S 2，…按照此规律继续下去，则S 2015的值为(C ）(第10题图)A. ⎝ ⎛⎭⎪⎫222012B. ⎝ ⎛⎭⎪⎫222013 C. ⎝ ⎛⎭⎪⎫122012 D. ⎝ ⎛⎭⎪⎫122013 二、填空题(每小题4分，共24分)11．已知直线l 1，l 2，l 3互相平行，直线l 1与l 2的距离是4 cm ，直线l 2与l 3的距离是6 cm ，那么直线l 1与l 3的距离是10_cm 或2_cm ．12．如图，已知矩形ABCD 的边长分别为a ，b ，连结其对边中点，得到四个矩形，顺次连结矩形AEFG 各边中点，得到菱形I 1；连结矩形FMCH 对边中点，又得到四个矩形，顺次连结矩形FNPQ 各边中点，得到菱形I 2……如此操作下去，得到菱形I n ，则I n 的面积是⎝ ⎛⎭⎪⎫122n ＋1ab ．(第12题图)13．如图，若将边长为2 cm 的两个互相重合的正方形纸片沿对角线AC 翻折成等腰直角三角形后，再抽出一个等腰直角三角形沿AC 移动．若重叠部分△A ′PC 的面积是1 cm 2，则移动的距离AA ′等于2_cm ．(第13题图) (第14题图)14．如图，点P 是矩形ABCD 内的任意一点，连结PA ，PB ，PC ，PD ，得到△PDA ，△PAB ，△PBC ，△PCD ，设它们的面积分别是S 1，S 2，S 3，S 4，给出如下结论：①S 1＋S 2＝S 3＋S 4；②S 2＋S 4＝S 1＋S 3；③若S 3＝2S 1，则S 4＝2S 2；④若S 1＝S 2，则点P 在矩形的对角线上．其中正确的结论的序号是__②④__(把所有正确结论的序号都填在横线上)．15．如图，矩形OABC 在第一象限，OA ，OC 分别与x 轴，y 轴重合，面积为6.矩形与双曲线y ＝kx(x ＞0)交BC 于点M ，交BA 于点N ，连结OB ，MN .若2OB ＝3MN ，则k ＝__2__．(第15题图)16．如图，边长为n 的正方形OABC 的边OA ，OC 分别在x 轴和y 轴的正半轴上，A 1，A 2，A 3，…，A n －1为OA的n 等分点，B 1，B 2，B 3，…B n －1为CB 的n 等分点，连结A 1B 1，A 2B 2，A 3B 3，…，A n －1B n －1，分别交y ＝1nx 2(x ≥0)于点C 1，C 2，C 3，…，C n －1，当B 25C 25＝8C 25A 25时，则n(第16题图)三、解答题(本题有8小题，共66分)17．(本题6分)已知：∠MON ＝40°，OE 平分∠MON ，点A ，B ，C 分别是射线OM ，OE ，ON 上的动点(A ，B ，C不与点O重合)，连结AC交射线OE于点D.设∠OAC＝x°.(1)如图①，若AB∥ON，则①∠ABO的度数是__20°__；②当∠BAD＝∠ABD时，x＝__120__；当∠BAD＝∠BDA时，x＝__60__．(2)如图②，若AB⊥OM，则是否存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．(第17题图)解：(1)①∵∠MON＝40°，OE平分∠MON，∴∠AOB＝∠BON＝20°.∵AB∥ON，∴∠ABO＝∠BON＝20°.②∵∠BAD＝∠ABD，∴∠BAD＝20°.∵∠AOB＋∠ABO＋∠OAB＝180°，∴∠OAC＝120°.∵∠BAD＝∠BDA，∠ABO＝20°，∴∠BAD＝80°.∵∠AOB＋∠ABO＋∠OAB＝180°，∴∠OAC＝60°.(2)①当点D在线段OB上时，若∠BAD＝∠ABD，则x＝20；若∠BAD＝∠BDA，则x＝35；若∠ADB＝∠ABD，则x＝50.②当点D在射线BE上时，∵∠ABE＝110°，且三角形的内角和为180°，∴只有∠BAD＝∠BDA，此时x＝125.综上可知，存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角，且x＝20，35，50，125.18．(本题6分)如图：已知BC平分∠ACD，且∠1＝∠2，求证：AB∥CD.(第18题图)证明：∵BC平分∠ACD，∴∠1＝∠BCD，∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠BCD ，∴AB ∥CD (内错角相等，两直线平行)．19．(本题6分)如图，在正方形ABCD 中，点P 在AD 上，且不与A ，D 重合，BP 的垂直平分线分别交CD ，AB 于E ，F 两点，垂足为Q ，过点E 作EH ⊥AB 于点H .(第19题图)(1)求证：HF ＝AP .(2)若正方形ABCD 的边长为12，AP ＝4，求线段EQ 的长解：(1)证明：∵EQ ⊥BO ，EH ⊥AB ，∴∠EQN ＝∠BHM ＝90°.∵∠EMQ ＝∠BMH ，∴△EMQ ∽△BMH ，∴∠QEM ＝∠HBM .∵四边形ABCD 为正方形，∴∠A ＝90°＝∠ABC ，AB ＝BC .又∵EH ⊥AB ，∴EH ＝BC .∴AB ＝BC .在△APB 与△HFE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠ABP ＝∠HEF ，∠PAB ＝∠FHE ，AB ＝EH ，∴△APB ≌△HFE ，∴HF ＝AP .(2)由勾股定理，得BP ＝AP 2＋AB 2＝42＋122＝410.∵EF 是BP 的垂直平分线，∴BQ ＝12BP ＝210， ∴QF ＝BQ ·tan ∠FBQ ＝BQ ·tan ∠ABP ＝210×412＝2103.由(1)知，△APB ≌△HFE ，∴EF ＝BP ＝410，∴EQ ＝EF －QF ＝410－2103＝10103. 20．(本题8分)阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图①，在边长为a (a ＞2)的正方形ABCD 各边上分别截取AE ＝BF ＝CG ＝DH ＝1，当∠AFQ ＝∠BGM ＝∠CHN ＝∠DEP ＝45°时，求正方形MNPQ 的面积．(第20题图)小明发现：分别延长QE ，MF ，NG ，PH 交FA ，GB ，HC ，ED 的延长线于点R ，S ，T ，W ，可得△RQF ，△SMG ，△TNH ，△WPE 是四个全等的等腰直角三角形(如图②)．请回答：(1)若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形(无缝隙，不重叠)，则这个新的正方形的边长为__a __．(2)求正方形MNPQ 的面积．(3)参考小明思考问题的方法，解决问题：如图③，在等边△ABC 各边上分别截取AD ＝BE ＝CF ，再分别过点D ，E ，F 作BC ，AC ，AB 的垂线，得到等边△RPQ .若S △RPQ ＝33，则AD 的长为__23__． 解：(1)a .(2)∵四个等腰直角三角形面积的和为a 2，正方形ABCD 的面积也为a 2.∴S 正方形MNPQ ＝S △ARE ＋S △BSF ＋S △GCT ＋S △HDW ＝4S △ARE ＝4×12×12＝2. (3)23. 21．(本题8分)联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念：定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．举例：如图①，若PA ＝PB ，则点P 为△ABC 的准外心．(1)应用：如图②，CD 为等边三角形ABC 的高，准外心P 在高CD 上，且PD ＝12AB ，求∠APB 的度数．(第21题图)(2)探究：已知△ABC 为直角三角形，斜边BC ＝5，AB ＝3，准外心P 在AC 边上，试探究PA 的长． 解：(1)若PB ＝PC ，连结PB ，则∠PCB ＝∠PBC .∵CD 为等边三角形的高，∴AD ＝BD ，∠PCB ＝30°.∴∠PBD ＝∠PBC ＝30°.∴PD ＝33DB ＝36AB . 这与已知PD ＝12AB 矛盾，∴PB ≠PC . 若PA ＝PC ，连结PA ，同理可得PA ≠PC .若PA ＝PB ，由PD ＝12AB ，得PD ＝BD ， ∴∠DPB ＝45°.故∠APB ＝90°.(第21题图解)(2)∵BC ＝5，AB ＝3，∴AC ＝BC 2－AB 2＝4.①若PB ＝PC ，设PA ＝x ，则x 2＋32＝(4－x )2，x ＝78，即PA ＝78. ②若PA ＝PC ，则PA ＝2.③若PA ＝PB ，由图知，在Rt △PAB 中，不可能，故PA ＝2或78. 22．(本题10分)如图①，把边长为4的正三角形各边四等分，连结各分点得到16个小正三角形．(1)如图②，连结小正三角形的顶点得到的正六边形ABCDEF 的周长＝__6__．(2)请你判断：命题“六个内角相等的六边形是正六边形”是真命题还是假命题？如果是真命题，请你把它改写成“如果…，那么…”的形式；如果是假命题，请在图①中画图说明．(第22题图)解：(1)∵正六边形的各边长都等于1，∴周长＝6×1＝6.(2)命题“六个内角相等的六边形是正六边形”是假命题，反例如解图①②等．(第22题图解)23．(本题10分)如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝CD ＝5，对角线BD 平分∠ABC ，cos C ＝45. (1)求边BC 的长；(2)过点A 作AE ⊥BD ，垂足为点E ，求tan ∠DAE 的值．(第23题图) (第23题图解)解：(1)过点D 作DH ⊥BC ，垂足为H .在Rt △CDH 中，由∠CHD ＝90°，CD ＝5，cos C ＝45， 得CH ＝CD ·cos C ＝5×45＝4. ∵对角线BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠CBD .∵AD ∥BC ，∴∠ADB ＝∠CBD .∴∠ABD ＝∠ADB ，∴AD ＝AB ＝5.于是，由等腰梯形ABCD ，可知BC ＝AD ＋2CH ＝13.(2)∵AE ⊥BD ，DH ⊥BC ，∴∠BHD ＝∠AED ＝90°.∵∠ADB ＝∠DBC ，∴∠DAE ＝∠BDH .在Rt △CDH 中，DH ＝CD 2－CH 2＝52－42＝3.在Rt △BDH 中，BH ＝BC －CH ＝13－4＝9.∴tan ∠BDH ＝BH DH ＝93＝3. ∴tan ∠DAE ＝tan ∠BDH ＝3.24．(本题12分)如图，在菱形ABCD 中，AB ＝10，sin A ＝45，点E 在AB 上，AE ＝4，过点E 作EF ∥AD ，交CD 于点F .(第24题图)(1)菱形ABCD 的面积为__80__．(2)若点P 从点A 出发以1个单位长度/秒的速度沿着线段AB 向终点B 运动，同时点Q 从点E 出发也以1个单位长度/秒的速度沿着线段EF 向终点F 运动，设运动时间为t (s)．①当t ＝5时，求PQ 的长；②以点P 为圆心，PQ 长为半径的⊙P 是否能与直线AD 相切？如果能，求此时t 的值；如果不能，说明理由． 解：(1)过点B 作BN ⊥AD 于点N ，如解图①.∴BN ＝AB ·sin A ＝10×45＝8， ∴S 菱形ABCD ＝AD ·BN ＝10×8＝80.(第24题图解)(2)①过点P 作PM ⊥EF 于M ，如解图②.由题意可知AE ＝4，AP ＝EQ ＝5，EP ＝AP －AE ＝1.∵EF ∥AD ，∴∠BEF ＝∠A ，∴sin ∠BEF ＝PM EP ＝sin A ＝45，解得PM ＝45. 在Rt △PME 中，EM ＝EP 2－PM 2＝12－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝35， 则有MQ ＝5－35＝225. 在Rt △PQM 中，PQ ＝PM 2＋MQ 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫452＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2252＝25， 即PQ 的长为2 5.②能．过点P 作PH ⊥AD 于H ，交EF 于G 点，如解图③，(第24题图解)则PH ＝45t ，PE ＝t －4，PG ＝45(t －4)，EG ＝35(t －4)， ∴GQ ＝EQ －EG ＝t －35(t －4)＝25t ＋125， ∴PQ 2＝PG 2＋GQ 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫45t －1652＋⎝ ⎛⎭⎪⎫25t ＋1252. 若以点P 为圆心，PQ 长为半径的⊙P 与直线AD 相切，则PH ＝PQ ，则有⎝ ⎛⎭⎪⎫45t 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫45t －1652＋⎝ ⎛⎭⎪⎫25t ＋1252， 整理，得t 2－20t ＋100＝0，解得t 1＝t 2＝10.此时t 的值为10.。

第五章 图形的相似与解直角三角形第一节 图形的相似与位似1．(东营中考)若y x ＝34，则x ＋yx 的值为( D )A ．1 B.47 C.54 D.742．(2017自贡中考)在△ABC 中，MN ∥BC 分别交AB ，AC 于点M ，N ；若AM ＝1，MB ＝2，BC ＝3，则MN 的长为( A )A ．1B ．2 C.13D ．33．(荆州中考)如图，点P 在△ABC 的边AC 上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件不正确的是( D )A ．∠ABP ＝∠CB ．∠APB ＝∠ABC C.AP AB ＝AB AC D.AB BP ＝AC CB(第3题图)(第4题图)4．(杭州中考)如图，已知直线a∥b∥c，直线m 交直线a ，b ，c 于点A ，B ，C ，直线n 交直线a ，b ，c 于点D ，E ，F ，若AB BC ＝12，则DEEF＝( B )A.13B.12C.23D ．1 5．(河北中考)如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝6，D ，E 分别在AB ，AC 上，将△ABC 沿DE 折叠，使点A 落在点A′处，若A′为CE 的中点，则折痕DE 的长为( B )A.12B ．2C ．3D ．4 6．(重庆中考)△ABC 与△DEF 的相似比为1∶4，则△ABC 与△DEF 的周长比为( C ) A ．1∶2 B ．1∶3 C ．1∶4 D ．1∶167．(盐城中考)如图，点F 在平行四边形ABCD 的边AB 上，射线CF 交DA 的延长线于点E ，在不添加辅助线的情况下，与△AEF 相似的三角形有( C )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个(第7题图)(第8题图)8．(安徽中考)如图，△ABC 中，AD 是中线，BC ＝8，∠B ＝∠DAC，则线段AC 的长为( B ) A ．4 B ．4 2 C ．6 D ．4 39．(2019烟台中考)如图，在平面直角坐标系中，每个小方格的边长均为1.△AOB 与△A′OB′是以原点O 为位似中心的位似图形，且相似比为3∶2，点A ，B 都在格点上，则点B′的坐标是__⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，43__．(第9题图)(第10题图)10．(2019兰州中考)如图，四边形ABCD 与四边形EFGH 相似，位似中心是点O ，OE OA ＝35，则FG BC ＝__35__．11．(衡阳中考)若△ABC 与△DEF 相似且面积之比为25∶16，则△ABC 与△DEF 的周长之比为__5∶4__．12．(咸宁中考)如图，在△ABC 中，中线BE ，CD 相交于点O ，连接DE ，下列结论：①DE BC ＝12；②S △DOE S △COB ＝12；③AD AB ＝OE OB ；④S △ODE S △ADC ＝13.其中正确的个数有( B )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个(第12题图)(第13题图)13．(2019沧州九中模拟)如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于点F，D为AB的中点，连接DF延长交AC于点E.若AB＝10，BC＝16，则线段EF的长为( B )A．2 B．3 C．4 D．514．(泰安中考)如图，△ABC内接⊙O，AB是⊙O的直径，∠B＝30°，C E平分∠ACB交⊙O于点E，交AB于点D，连接AE，则S△ADE∶S△CDB的值等于( D )A．1∶ 2 B．1∶ 3 C．1∶2 D．2∶3(第14题图)(第15题图)15．如图，若A，B，C，P，Q和甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，为使△PQR∽△ABC，则点R 应是甲、乙、丙、丁四点中的( C )A．甲 B．乙 C．丙 D．丁16．(河北中考)如图，在6×8网格图中，每个小正方形边长均为1，点O和△ABC的顶点均为小正方形的顶点．(1)以O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC位似，且位似比为1∶2；(2)连接(1)中的AA′，求四边形AA′C′C的周长．(结果保留根号)解：(1)如图；(2)4＋6 2.17．(舟山中考)如图，已知△ABC 和△DEC 的面积相等，点E 在BC 边上，DE ∥AB 交AC 于点F ，AB ＝12，EF ＝9，则DF 的长是多少？解：∵△ABC 与△DEC 的面积相等， ∴△CDF 与四边形AFEB 的面积相等． ∵AB ∥DE ，∴△CEF ∽△CBA.∵EF ＝9，AB ＝12，∴EF ∶AB ＝9∶12＝3∶4， ∴△CEF 和△CBA 的面积比＝9∶16.设△CEF 的面积为9k ，则四边形AFEB 的面积为7k. ∵△CDF 与四边形AFEB 的面积相等， ∴S △CDF ＝7k.∵△CDF 与△CEF 是同高不同底的三角形， ∴面积比等于底之比，∴DF ∶EF ＝7k∶9k， ∵EF ＝9，∴DF ＝7.18．如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，∠AED ＝∠B，射线AG 分别交线段DE ，BC 于点F ，G ，且AD AC ＝DFCG.(1)求证：△ADF∽△ACG； (2)若AD AC ＝12，求AFFG的值．解：(1)∵∠AED＝∠B，∠DAE ＝∠DAE， ∴∠ADF ＝∠C. ∵AD AC ＝DFCG，∴△ADF ∽△ACG ； (2)∵△ADF∽△ACG，∴AD AC ＝AF AG， 又∵AD AC ＝12，∴AF AG ＝12，∴AFFG＝1.2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，G ，F 分别为AD 、BC 边上的点，若AG=1，BF=2，∠GEF=90°，则GF 的长为( )A.2B.3C.4D.52．下列四个图案中，不是中心对称图案的是（ ）A. B. C. D.3．某地今年计划栽插这种超级杂交水稻3000亩，预计该地今年收获这种超级杂交水稻的总产量是2460000千克．用科学记数法表示是（ ） A.62.510⨯千克B.52.510⨯千克C.62.4610⨯千克D.52.4610⨯千克4．已知：1+3＝4＝22，1+3+5＝9＝32，1+3+5+7＝16＝42，1+3+5+7+9＝25＝52，…，根据前面各式的规律可猜测：101+103+105+…+199＝（ ） A ．7500B ．10000C ．12500D ．25005．从甲，乙，丙三人中任选一名代表，甲被选中的可能性是 A.12B.1C.23D.136．如图，在菱形ABOC 中，∠ABO ＝120°，它的一个顶点C 在反比例函数ky x=的图象上，若将菱形向下平移2个单位，点A 恰好落在函数图象上，则该反比函数的表达式为（ ）A ．y =B ．y =C ．3y x=-D ．y x=-7．若5-m （0，则（ ） A ．m ＜5B ．3≤m＜5C ．3≤m≤5D ．3＜m ＜58．计算11x -- 1x x -的结果为( ) A ．1B ．2C ．﹣1D ．﹣29．如图，在△ABC 中，BD 平分∠ABC ，DE ∥BC ，且交AB 于点E ，∠A ＝60°，∠BDC ＝86°，则∠BDE 的度数为( )A ．26°B ．30°C ．34°D ．52°10．下列图形中，可以看作是中心对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．11．实数a ，b ，c ，d 在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是( )A.|a|＞|b|B.a ＞﹣3C.a ＞﹣dD.11c< 12．如图，已知等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝DC ，AC 与BD 相交于点O ，则下列判断不正确的是（ ）A ．△ABC ≌△DCB B ．△AOD ≌△COBC ．△ABO ≌△DCOD ．△ADB ≌△DAC二、填空题13．若关于x 的一元二次方程（k ﹣1）x 2+4x+1=0有实数根，则k 的取值范围是_____． 14．已知△ABC 与△DEF 相似且周长比为2：5，则△ABC 与△DEF 的相似比为________15．正方形ABCD 的边长为10，点M 在AD 上，8AM =，过M 作MN AB ∥，分别交AC 、BC 于H 、N 两点，若E 、F 分别为(3)(2)x xf f ≤、BM 的中点，则EF 的长为_________________16．如图，在等腰Rt ABC 中，90ACB ︒∠=，4AC =，以边AC 为直径的半圆交AB 于点D ，则图中阴影部分的面积是__________（结果保留π）.17．一次函数y x b =-+，当0b <时，这个一次函数的图象不经过的象限是________.18．据统计，2018年哈尔滨冰雪大世界接待中外游客突破45000000人次，请将45000000人用科学记数法表示为__________人. 三、解答题19．云峰中学为了了解学生上学的交通方式，提高学生交通安全意识，开展了以“我上学的主要交通方式”为主题的调查活动，围绕“在乘公交车、城私家车、乘送子车、步行、骑自行车共五种方式中，你上学的主要交通方式是哪种？（必选且只选一种）”的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的统计图.请你根据统计图中的信息回答下列问题：()1本次调查共抽取了多少名学生？ ()2通过计算补全条形统计图； ()3若云峰中学共有1200名学生，请你估计该中学步行上学的学生有多少名.20．我市某高科技公司生产一种矩形新型材料板，其长宽之比为 3∶2，每张材料板的成本 c 与它的面积成正比例。

河北省2019年初中毕业生升学文化课考试数学答案解析一、选择题1.【答案】D【解析】正五边形五个角相等，五条边都相等，故选：D 。

【提示】根据正多边形的定义；各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形可得答案。

【考点】多边形2.【答案】B【解析】“正”和“负”相对，所以，如果（→2）表示向右移动2记作+2，则（←3）表示向左移动3记作-3。

故选：B 。

【提示】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示。

“正”和“负”相对，所以，如果（→2）表示向右移动2记作+2，则（←3）表示向左移动3记作3-。

【考点】正数和负数3.【答案】B【解析】∵从点C 观测点D 的视线是CD ，水平线是CE ，∴从点C 观测点D 的仰角是DCE ∠，【提示】根据仰角的定义进行解答便可。

【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题4.【答案】A【解析】“x 的18与x 的和不超过5”用不等式表示为158x x +≤故选：A 。

【提示】x 的18即18x ，不超过5是小于或等于5的数，按语言叙述列出式子即可。

【考点】由实际问题抽象出一元一次不等式5.【答案】D【解析】∵四边形ABCD 是菱形，150D ∠=︒，∴AB CD ∥，21BAD ∠=∠，∴180BAD D ∠+∠=︒，∴18015030BAD ∠=︒-︒=︒，∴115∠=︒；故选：D 。

【提示】由菱形的性质得出21AB CD BAD ∠=∠∥，，求出30BAD ∠=︒，即可得出115∠=︒。

【考点】菱形的性质6.【答案】C【解析】①a b c ab ac +=+（），正确；②a b c ab ac -=-（），正确；③0b c a b a c a a -÷=÷-÷≠（）（），正确； ④0a b c a b a c a ÷+=÷+÷≠（）（），错误，无法分解计算。

故选：C 。

【提示】直接利用单项式乘以多项式以及多项式除以单项式运算法则计算得出答案。