广东省深圳高级中学2021届高三10月月考试题 数学含答案

东莞四中2023-2024高三第一学期数学月考试题与答案一、单项选择题：1.已知集合(1,3)A =-，{43225}B x |x =-≤-<，则A B = （）A.1,33⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B.1,33⎛⎫- ⎪⎝⎭C.2,33⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ D.2,33⎛⎫-⎪⎝⎭2.已知a ，b 是实数，则“a b >”是“22a b >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.下列函数既是偶函数，又在()0,∞+上单调递增的是（）A.()11f x x =- B.()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭C.()()2lg 1f x x =+ D.()1f x x x=-4.在42x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，2x 的系数是（）A.8- B.8 C.4- D.45.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为（）A.1011升 B.6566升 C.6766升 D.3733升6.函数()10sin 22x xxf x -=+的大致图象为（）A. B.C. D.7.已知6log 3a =,3log b =,0.10.5c -=，则（）A.a b c<< B.b<c<aC.c<a<bD.b a c<<8.已知函数()()cos f x x ωϕ=-图像关于原点对称，其中0ω>，()π,0ϕ∈-，而且在区间ππ,43⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有且只有一个最大值和一个最小值，则ω的取值范围是（）A.3922ω≤< B.922ω≤<C.3922ω≤≤ D.922ω≤≤二、多项选择题：9.已知函数()sin 26πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则（）A.()f x 的最小正周期为π2B.点5π,012⎛⎫-⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心C.()f x 在ππ,63⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增D.将sin 2y x =的图象上所有的点向右平移π6个单位长度，可得到()f x 的图象10.一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，则下列说法正确的是（）A.从中任取3球，恰有2个白球的概率是15；B.从中有放回的取球6次，每次任取一球，设取到红球次数为X ，则()2E X =；C.现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为25；D.从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到白球的概率为1927.11.已知函数2()2ln f x ax x x =-+存在极值点，则实数a 的值可以是（）A.0B.e- C.12D.1e12.生态学研究发现：当种群数量较少时，种群近似呈指数增长，而当种群增加到一定数量后，增长率就会随种群数量的增加而逐渐减小，为了刻画这种现象，生态学上提出了著名的逻辑斯谛模型：()()000e rtKN N t N K N -=+-，其中0N ，r ，K 是正数，0N 表示初始时刻种群数量，r 叫做种群的内秉增长率，K 是环境容纳量.()N t 可以近似刻画t 时刻的种群数量.下面给出四条关于函数()N t 的判断正确的有（）A.如果03KN =，那么存在0t >，()02N t N =；B.如果00N K <<，那么对任意0t ≥，()N t K <；C.如果00N K <<，那么存在0t >，()N t 在t 点处的导数()0N t '<；D.如果002KN <<，那么()N t 的导函数()N t '在()0,∞+上存在最大值.三、填空题：13.在ABC 中，3BC =，30A =︒，60B =︒，则AC =______．14.某中学为庆祝建校130周年，高二年级派出甲､乙､丙､丁､戊5名老师参加“130周年办学成果展”活动，活动结束后5名老师排成一排合影留念，要求甲、乙两人不相邻且丙、丁两人必须相邻，则排法共有__________种(用数字作答)．15.已知角θ的大小如图所示，则1sin 2cos 2θθ+的值为________16.古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类，如图，第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10，…称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数构成数列{}n a ，正方形数构成数列{}n b ，则10a =______；101111i i i b a =++=-∑______.四、解答题：17.在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，27b =，2c =，π3B =．（1）求a 的值；（2）求sin A 的值；（3）求()sin 2B A -的值．18.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，25221a a +=，999S =.（1）求{}n a 的通项公式；（2）证明：1223111116n n a a a a a a +++⋅⋅⋅+<.19.小家电指除大功率，大体积家用电器（如冰箱、洗衣机、空调等）以外的家用电器，运用场景广泛，近年来随着科技发展，智能小家电市场规模呈持续发展趋势，下表为连续5年中国智能小家电市场规模（单位：千亿元），其中年份对应的代码依次为1~5.年份代码x12345市场规模y （单位：千亿元）1.301.401.621.681.80（1）由上表数据可知，可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，请用样本相关系数加以说明（若0.75r ≥，则线性相关程度较高，r 精确到0.01）；（2）建立y 关于x 的经验回归方程.参考公式和数据：样本相关系数()()niix x y y r --=∑，()()511.28iii x x y y =--=∑，()5210.17ii y y =-≈∑ 1.3≈，()()1221n iii nii x x y y bxnx==--=-∑∑ ，a y bx =-$$.20.设正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n n S a a =+.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：2n T <.21.哈六中举行数学竞赛，竞赛分为初赛和决赛两阶段进行.初赛采用“两轮制”方式进行，要求每个学年派出两名同学，且每名同学都要参加两轮比赛，两轮比赛都通过的同学才具备参与决赛的资格.高三学年派出甲和乙参赛.在初赛中，若甲通过第一轮与第二轮比赛的概率分别是23，12，乙通过第一轮与第二轮比赛的概率分别是34，23，且每名同学所有轮次比赛的结果互不影响.（1）若高三学年获得决赛资格的同学个数为X ，求X 的分布列和数学期望.（2）已知甲和乙都获得了决赛资格.决赛的规则如下：将问题放入,A B 两个纸箱中，A 箱中有3道选择题和2道填空题，B 箱中有3道选择题和3道填空题.决赛中要求每位参赛同学在,A B 两个纸箱中随机抽取两题作答.甲先从A 箱中依次抽取2道题目，答题结束后将题目一起放入B 箱中，然后乙再抽取题目.已知乙从B 箱中抽取的第一题是选择题，求甲从A 箱中抽出的是2道选择题的概率.22.已知函数()sin xf x e k x =-，其中k 为常数．（1）当1k =时，判断()f x 在区间()0,∞+内的单调性；（2）若对任意()0,x π∈，都有()1f x >，求k 的取值范围．东莞四中2023-2024高三第一学期数学月考试题与答案一、单项选择题：1.已知集合(1,3)A =-，{43225}B x |x =-≤-<，则A B = （）A.1,33⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ B.1,33⎛⎫- ⎪⎝⎭C.2,33⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D.2,33⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】先化简集合B ，再利用交集定义去求A B ⋂【详解】由43225x -≤-<，解得293x -≤<，则2{|9}3B x x =-≤<，所以22(1,3)[,9)[,3)33A B ⋂=-⋂-=-.故选：C.2.已知a ，b 是实数，则“a b >”是“22a b >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】由充分条件和必要条件的定义求解即可.【详解】由22a b >可得：a b >，对0a b >≥两边同时平方可得22a b >，所以a b >⇒22a b >，所以a b >”是“22a b >”的充要条件.故选：C.3.下列函数既是偶函数，又在()0,∞+上单调递增的是（）A.()11f x x =- B.()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭C.()()2lg 1f x x =+ D.()1f x x x=-【答案】C 【解析】【分析】根据偶函数的定义，结合函数的单调性逐一判断即可.【详解】对于A ，定义域为{}1x x ≠，故是非奇非偶函数，A 错，对于B ，当0x >时，()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭在()0,∞+上为减函数，∴B 不对，对于C ，∵定义域为R ，且()()()22lg 1lg 1f x x x ⎡⎤-=-+=+⎣⎦为偶函数，设21t x =+，∵lg y t =在()0,∞+上为增函数，21t x =+在()0,∞+上为增函数，∴()()2lg 1f x x =+在()0,∞+上为增函数，∴C 对.对于D ，∵()()11f x x x f x x x⎛⎫-=---=-=- ⎪⎝⎭为奇函数，∴D 不对.故选：C.4.在42x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，2x 的系数是（）A.8- B.8C.4- D.4【答案】A 【解析】【分析】直接利用二项式定理计算即可.【详解】42x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式通项为()4421442C C 2rr r r rr r T x x x --+⎛⎫=⋅⋅-=⋅-⋅ ⎪⎝⎭，取422r -=，则1r =，系数为()14C 28⨯-=-.故选：A5.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为（）A.1011升 B.6566升 C.6766升 D.3733升【答案】C 【解析】【分析】设此等差数列为{}n a ，公差为d ，由题意列方程求出1,a d ，进而得解.【详解】设此等差数列为{}n a ，公差为d ，由题意可得：12343,a a a a +++=7894,a a a ++=则11463,3214a d a d +=+=，联立解得1137,.2266a d ==5137674.226666a ∴=+⨯=故选：C ．6.函数()10sin 22x xxf x -=+的大致图象为（）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】结合函数的奇偶性及函数特殊值，逐项判断，即可得到本题答案.【详解】因为()()()10sin 22x xx f x f x ---==-+，所以函数()f x 为奇函数，排除A ，B 选项，因为3π3π3π3π22223π10sin 3π102122222f --+⎛⎫- ⎪⎝==>-+⎭，排除C 选项，故选：D7.已知6log 3a =,3log b =0.10.5c -=，则（）A.a b c << B.b<c<aC.c<a<bD.b a c<<【答案】D 【解析】【分析】由1,1,1a b c <<>得c a >，c b >，由22a b >得a b >，从而可得c a b >>.【详解】因为6log 31a =<，3log 1b =<，100.10.50.5c ->==，所以c a >，c b >，又因为66122log 3l 9og a ==>，33022log log 21b <==<，所以22a b >，即a b >.故c a b >>.故选：D8.已知函数()()cos f x x ωϕ=-图像关于原点对称，其中0ω>，()π,0ϕ∈-，而且在区间ππ,43⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有且只有一个最大值和一个最小值，则ω的取值范围是（）A.3922ω≤< B.922ω≤<C.3922ω≤≤ D.922ω≤≤【答案】B 【解析】【分析】利用三角函数的图象与性质计算即可.【详解】因为函数()()cos f x x ωϕ=-图像关于原点对称，且()R,π,0x ϕ∈∈-，即函数为奇函数，所以()()00cos 0f ϕ=⇒-=⇒π2ϕ=-，故()πcos 2f x x ω⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭sin x ω，当ππ,43x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，ππ,43x ωωω⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，有且只有一个最大值和一个最小值，由正弦函数的图象与性质可得3πππ3992422,22ππ3π226232ωωωωω⎧-<-≤-⎧⎪≤<⎪⎪⎡⎫⇒⇒∈⎨⎨⎪⎢⎣⎭⎪⎪≤<≤<⎩⎪⎩.故选：B.二、多项选择题：9.已知函数()sin 26πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则（）A.()f x 的最小正周期为π2B.点5π,012⎛⎫-⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心C.()f x 在ππ,63⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增D.将sin 2y x =的图象上所有的点向右平移π6个单位长度，可得到()f x 的图象【答案】BC 【解析】【分析】求正弦型函数最小正周期判断A ；代入法验证是否为对称中心判断B ；由函数在πππ2(26,2x -∈-上递增求自变量x 的对应区间判断C ；根据平移写出平移后的解析式判断D.【详解】()f x 的最小正周期为2ππ2T ==，故A 错误．()0ππ556πsin sin 12π6f ⎛⎫⎛⎫-=--=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以5π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心，故B 正确．由πππ2262x -<-<⇒π2πππ23363x x -<<⇒-<<，所以()f x 在ππ(,63-上单调递增，C 正确．sin 2y x =的图象上所有的点向右平移π6个单位长度得到sin 2sin 263ππx x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故D 错误．故选：BC10.一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，则下列说法正确的是（）A.从中任取3球，恰有2个白球的概率是15；B.从中有放回的取球6次，每次任取一球，设取到红球次数为X ，则()2E X =；C.现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为25；D.从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到白球的概率为1927.【答案】AD 【解析】【分析】根据古典概型的概率公式可判断A ，根据二项分布的期望公式可判断C ，根据条件概率的计算可判断C ，根据对立重复事件的概率可求D.【详解】对于A ，从中任取3球，恰有2个白球的概率是124236C C 41C 205==,故A 正确，对于B,从中有放回的取球6次，每次任取一球，设取到红球次数为X 服从二项分布，即()226,,6433X B E X ⎛⎫∴=⨯= ⎪⎝⎭，故B 错误，对于C ,第一次取到红球后，第二次取球时，袋子中还有3个红球和2个白球，再次取到红球的概率为35，故C 错误，对于D ，有放回的取球，每次取到白球的概率为13，没有取到白球的概率为23，所以取球3次没有取到白球的概率为328327⎛⎫= ⎪⎝⎭，.所以至少有一次取到白球的概率为81912727-=，故D 正确，故选：AD11.已知函数2()2ln f x ax x x =-+存在极值点，则实数a 的值可以是（）A.0B.e- C.12D.1e【答案】ABD 【解析】【分析】由题意可知，令()0f x '=，换元后可得212=-a t t ，即2102-+=t t a ，则实数a 的取值范围为函数212=-y t t 在()0,∞+上的值域且满足0∆>，由此可求得实数a 的取值范围.【详解】函数2()2ln f x ax x x =-+的定义域为()0,∞+，且()122'=-+f x ax x，由题意可知，函数()y f x =在定义域()0,∞+上存在极值点，得()1220'=-+=f x ax x在()0,∞+有两个解，由()0f x '=可得2112=-a x x ，令10t x =>，则212=-a t t ，则实数a 的取值范围为函数212=-y t t 在()0,∞+上的值域且满足0∆>，对于二次函数()()2211121222=--=--+y t t t ，当0t >时，()21111222=--+≤y t ，对于二次方程212=-a t t ，即2102-+=t t a ，120∆=->a ，解得12a <.因此，实数a 的取值范围是1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.故选：ABD.12.生态学研究发现：当种群数量较少时，种群近似呈指数增长，而当种群增加到一定数量后，增长率就会随种群数量的增加而逐渐减小，为了刻画这种现象，生态学上提出了著名的逻辑斯谛模型：()()000e rtKN N t N K N -=+-，其中0N ，r ，K 是正数，0N 表示初始时刻种群数量，r 叫做种群的内秉增长率，K 是环境容纳量.()N t 可以近似刻画t 时刻的种群数量.下面给出四条关于函数()N t 的判断正确的有（）A.如果03KN =，那么存在0t >，()02N t N =；B.如果00N K <<，那么对任意0t ≥，()N t K <；C.如果00N K <<，那么存在0t >，()N t 在t 点处的导数()0N t '<；D.如果002KN <<，那么()N t 的导函数()N t '在()0,∞+上存在最大值.【答案】ABD 【解析】【分析】解方程()23KN t =得到A 正确，计算()0N t K -<得到B 正确，求导得到()0N t '>恒成立，C 错误，构造()()f t N t '=，求导得到导函数，计算函数的单调区间，计算最值得到答案.【详解】对选项A ：()22323e 33rt K K N t K K -==+，解得2ln2t r =，0r >，正确；对选项B ：()()()000e ert rtK K N N t K N K N ----=+--，00N K <<，故()00ertK K N --<-，()000e rt N K N -+->，故()0N t K -<，即()N t K <，正确；对选项C ：()()()00200e e rt rtrKN K N N t N K N ---'=⎡⎤+-⎣⎦，00N K <<，故任意的0t >，()N t 在t 处的导数()0N t '>，错误；对选项D ：令()()()()00200e e rt rtrKN K N f t N t N K N ---'==⎡⎤+-⎣⎦，则()()()()20000300e e e rt rtrtr KN K N K N N f t N K N ---'⎡⎤---⎣⎦=⎡⎤+-⎣⎦，002KN <<，令()0f t '>得()00e 0rtK N N --->，解得0010ln K N t r N -<<，令()0f t '<得()00e0rtK N N ---<，解得01ln K N t r N ->，所以()f t 在0010,ln K N r N ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在001ln ,K N r N ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，那么()N t 的导函数()N t '在()0,+∞上存在极大值，也是最大值，正确；故选：ABD.【点睛】关键点睛：本题考查了利用导数求函数的最值，函数的应用，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中构造新函数，求导得到函数的单调区间进而求最值是解题的关键.三、填空题：13.在ABC 中，3BC =，30A =︒，60B =︒，则AC =______．【答案】【解析】【分析】根据给定条件，利用正弦定理计算作答.【详解】在ABC 中，3BC =，30A =︒，60B =︒，由正弦定理sin sin AC BC B A =，得sin 3sin 60sin sin 30BC B AC A ︒===︒故答案为：14.某中学为庆祝建校130周年，高二年级派出甲､乙､丙､丁､戊5名老师参加“130周年办学成果展”活动，活动结束后5名老师排成一排合影留念，要求甲、乙两人不相邻且丙、丁两人必须相邻，则排法共有__________种(用数字作答)．【答案】24【解析】【分析】应用捆绑、插空法，结合分步计数及排列数求不同的排法数.【详解】将丙、丁捆绑排列有22A 2=种，再把他们作为整体与戊排成一排有22A 2=种，排完后其中有3个空，最后将甲、乙插入其中的两个空有23A 6=种，综上，共有22624⨯⨯=种排法.故答案为：2415.已知角θ的大小如图所示，则1sin 2cos 2θθ+的值为________【答案】4-【解析】【分析】先根据图像求出正切值，然后分子分母同除cos θ构造正切结构，最后代入即可.【详解】由图可知π4tan 441θ⎛⎫+==- ⎪-⎝⎭，所以()222sin cos 1sin 2cos sin cos 2cos sin cos sin θθθθθθθθθθ+++==--1tan πtan 41tan 4θθθ+⎛⎫==+=- ⎪-⎝⎭，故答案为：4-16.古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类，如图，第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10，…称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数构成数列{}n a ，正方形数构成数列{}n b ，则10a =______；101111i i i b a =++=-∑______.【答案】①.55②.2011【解析】【分析】依题意可得()12n n a a n n ≥--=，利用累计法求出n a ，即可求出10a ，根据正方形数可知()2*N n b n n =∈，即可得到当2n ≥时，11121n n b a n n ⎛⎫=- ⎪--⎝⎭，利用裂项相消法求和即可.【详解】根据三角形数可知，()12n n a a n n ≥--=，则212a a -=，323a a -=，…，1n n a a n --=，累加得1234n a a n -=++++L ，所以()11232n n n a n +=++++=，经检验11a =也满足上式，故()12n n n a +=，则101011552a ⨯==；根据正方形数可知()2*N n b nn =∈，当2n ≥时，()()2211221121112n nn n b a n n n n n nn ⎛⎫====- ⎪+----⎝⎭-，则22334411111011111111i i i b a b a b a b a b a =++=++++-----∑ 111111221231311111⎛⎫=-+-++- ⎪---⎝⎭ 120211111⎛⎫=-= ⎪⎝⎭.故答案为：55；2011四、解答题：17.在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，b =，2c =，π3B =．（1）求a 的值；（2）求sin A 的值；（3）求()sin 2B A -的值．【答案】（1）6a =（2）321sin 14A =（3）【解析】【分析】（1）由余弦定理计算可得；（2）由正弦定理计算可得；（3）由余弦定理求出cos A ，即可求出cos 2A 、sin 2A ，再由两角差的正弦公式计算可得.【小问1详解】由余弦定理知，2222cos b a c ac B =+-，所以21284222a a =+-⨯⨯，即22240a a --=，解得6a =或4-（舍负），所以6a =．【小问2详解】由正弦定理知，sin sin a bA B=，所以6sin 2A =，所以sin 14A =．【小问3详解】由余弦定理知，2227cos214b c a A bc +-===-，所以213cos 22cos 114A A =-=-，33sin 22sin cos 14A A A ==-，所以sin(2)sin cos 2cos sin 2B A B A B A-=-131********⎛⎫⎛⎫=⨯--⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.18.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，25221a a +=，999S =.（1）求{}n a 的通项公式；（2）证明：1223111116n n a a a a a a +++⋅⋅⋅+<.【答案】（1）21n a n =+（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用等差数列通项和求和公式可构造方程组求得1,a d ，由此可得n a ；（2）利用裂项相消法可求得1223111111646n n a a a a a a n +++⋅⋅⋅+=-+，由1046n >+可证得结论.【小问1详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则2519123621989992a a a d S a d +=+=⎧⎪⎨⨯=+=⎪⎩，解得：132a d =⎧⎨=⎩，()32121n a n n ∴=+-=+.【小问2详解】由（1）得：()()111111212322123n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭，122311111111111235572123n n a a a a a a n n +⎛⎫∴++⋅⋅⋅+=-++⋅⋅⋅+- ⎪++⎝⎭111112323646n n ⎛⎫=-=- ⎪++⎝⎭，1046n >+，1223111116n n a a a a a a +∴++⋅⋅⋅+<.19.小家电指除大功率，大体积家用电器（如冰箱、洗衣机、空调等）以外的家用电器，运用场景广泛，近年来随着科技发展，智能小家电市场规模呈持续发展趋势，下表为连续5年中国智能小家电市场规模（单位：千亿元），其中年份对应的代码依次为1~5.年份代码x12345市场规模y （单位：千亿元）1.301.401.621.681.80（1）由上表数据可知，可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，请用样本相关系数加以说明（若0.75r ≥，则线性相关程度较高，r 精确到0.01）；（2）建立y 关于x 的经验回归方程.参考公式和数据：样本相关系数()()niix x y y r --=∑，()()511.28iii x x y y =--=∑，()5210.17ii y y =-≈∑ 1.3≈，()()1221n iii nii x x y y bxnx==--=-∑∑ ，a y bx =-$$.【答案】（1）答案见解析（2） 0.128 1.176y x =+【解析】【分析】（1）由题中数据求出样本相关系数r ，可得答案；（2）由题中数据求出b， a ，可得y 关于x 的经验回归方程.【小问1详解】由表知x 的平均数为1234535x ++++==，所以()()()()()()52222221132333435310i i x x=-=-+-+-+-+-=∑，()()51.280.981.3iix x y y r --=≈∑，因为y 与x 的相关系数近似为0.98，说明y 与x 的线性相关程度较高，从而可用线性回归模型拟合y 与x 的关系.【小问2详解】522222211234555i i x ==++++=∑，()()51522211.280.12855535iii i i x x y y bx x==--===-⨯-∑∑ ，1.30 1.40 1.62 1.68 1.80 1.565y ++++==， 1.560.1283 1.176ay bx =-=-⨯= ，所以 0.128 1.176y x =+，所以y 关于x 的经验回归方程为 0.128 1.176y x =+.20.设正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n n S a a =+.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：2nT <.【答案】（1）n a n =（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用n a 、n S 的关系，结合已知条件以及等差数列的通项公式即可求得结果；（2）根据（1）中所求，利用错位相减法求得n T ，即可证明.【小问1详解】因为22n n n S a a =+，当1n =时，2111122S a a a ==+，又0n a >，则11a =；当2n ≥时，22n n n S a a =+，21112n n n S a a ---=+，两式相减，整理可得()()1110n n n n a a a a --+--=，又{}n a 为正项数列，即10n n a a ->+，所以11n n a a --=，所以数列{}n a 是以11a =为首项，1d =为公差的等差数列，所以n a n =.【小问2详解】由（1）可得22=n n n a n ，所以231232222n n n T =++++ ，所以231112122222n n n n n T +-=++++L ，所以23111111221111111122222222212nn n n n n n n n n T +++⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎝⎭=++++-=-=-- ⎪⎝⎭- ，所以122222222nn n n n n T +⎛⎫=-⨯-=-< ⎪⎝⎭.21.哈六中举行数学竞赛，竞赛分为初赛和决赛两阶段进行.初赛采用“两轮制”方式进行，要求每个学年派出两名同学，且每名同学都要参加两轮比赛，两轮比赛都通过的同学才具备参与决赛的资格.高三学年派出甲和乙参赛.在初赛中，若甲通过第一轮与第二轮比赛的概率分别是23，12，乙通过第一轮与第二轮比赛的概率分别是34，23，且每名同学所有轮次比赛的结果互不影响.（1）若高三学年获得决赛资格的同学个数为X ，求X 的分布列和数学期望.（2）已知甲和乙都获得了决赛资格.决赛的规则如下：将问题放入,A B 两个纸箱中，A 箱中有3道选择题和2道填空题，B 箱中有3道选择题和3道填空题.决赛中要求每位参赛同学在,A B 两个纸箱中随机抽取两题作答.甲先从A 箱中依次抽取2道题目，答题结束后将题目一起放入B 箱中，然后乙再抽取题目.已知乙从B 箱中抽取的第一题是选择题，求甲从A 箱中抽出的是2道选择题的概率.【答案】（1）分布列见解析，5()6E X =（2）514【解析】【分析】（1）根据求分布列的步骤求出分布列，根据数学期望公式求出数学期望；（2）根据贝叶斯公式可求出结果.【小问1详解】依题意得甲获得决赛资格的概率为211323⨯=，乙获得决赛资格的概率为321432⨯=，X 的所有可能取值为0,1,2，(0)P X ==111(1)323--=，11111(1)(1(1)32322P X ==⨯-+-⨯=，111(2)326P X ==⨯=，所以X 的分布列为：X012P 131216所以1115()0123266E X =⨯+⨯+⨯=.【小问2详解】记=i A “甲从A 箱中抽出的是i (0,1,2)i =道选择题”，B =“乙从B 箱中抽取的第一题是选择题”，则22025C 1()C 10P A ==，1132125C C 3()C 5P A ==，23225C 3()C 10P A ==，13018C 3(|)C 8P B A ==，14118C 1(|)C 2P B A ==，15218C 5(|)C 8P B A ==，所以222()(|)(|)()P A P B A P A B P B =22001122()(|)()(|)()(|)()(|)P A P B A P A P B A P A P B A P A P B A =++3510813313510852108⨯=⨯+⨯+⨯514=.甲从A 箱中抽出的是2道选择题的概率为514.22.已知函数()sin x f x e k x =-，其中k 为常数．（1）当1k =时，判断()f x 在区间()0,∞+内的单调性；（2）若对任意()0,x π∈，都有()1f x >，求k 的取值范围．【答案】（1）判断见解析（2）(,1]k ∈-∞【解析】【分析】小问1：当1k =时，求出导数，判断导数在()0,∞+上的正负，即可确定()f x 在()0,∞+上的单调性；小问2：由()1f x >得sin 10x e k x -->，令()sin 1x g x e k x =--，将参数k 区分为0k ≤，01k <≤，1k >三种情况，分别讨论()g x 的单调性，求出最值，即可得到k 的取值范围.【小问1详解】当1k =时，得()sin x f x e x =-，故()cos xf x e x '=-，当()0,∞+时，()0f x '>恒成立，故()f x 在区间()0,∞+为单调递增函数.【小问2详解】当()0,x π∈时，sin (0,1]x ∈，故()1f x >，即sin 1x e k x ->，即sin 10x e k x -->.令()sin 1x g x e k x =--①当0k ≤时，因为()0,x π∈，故sin (0,1]x ∈，即sin 0k x -≥，又10x e ->，故()0f x >在()0,x π∈上恒成立，故0k ≤；②当01k <≤时，()cos x g x e k x '=-，()sin x g x e k x ''=+，故()0g x ''>在()0,x π∈上恒成立，()g x '在()0,x π∈上单调递增，故0()(0)0g x g e k ''>=->，即()g x 在()0,x π∈上单调递增，故0()(0)10g x g e >=-=，故01k <≤；③当1k >时，由②可知()g x '在()0,x π∈上单调递增，设()0g x '=时的根为0x ，则()g x 在0(0,)x x ∈时为单调递减；在0(,)x x π∈时为单调递增又0(0)10g e =-=，故0()0g x <，舍去；综上：(,1]k ∈-∞【点睛】本题考查了利用导数判断函数的单调性，及利用恒成立问题，求参数的取值范围的问题，对参数做到不重不漏的讨论，是解题的关键.。

深圳市高级中学2025届高三第一次诊断测试化学试题考生注意：1．满分100分，考试时间75分钟。

2．考生作答时，请将答案答在答题卡上。

选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无．．．．．．．．．．．．效，在试题卷、草稿纸上作答无效．．．．．．．．．．．．．．．。

可能用到的相对原子质量：H1，C12，N14，O16，Na23，Al27，S32，Cl35.5，K39，Mn55，Fe56，Cu64一、选择题：本题共16小题，共44分。

第1~10小题，每小题2分，第11~16小题，每小题4分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

1．书法是中华文化之瑰宝，“无色而具画图的灿烂，无声而有音乐的和谐”，书法之美尽在纸砚笔墨之间。

下列关于传统文房四宝的相关说法错误．．的是A．宣纸的主要成分是合成高分子材料B．澄泥砚属于陶制砚台，陶瓷的主要成分是硅酸盐C．制作笔头的“狼毫”主要成分是蛋白质D．墨汁的主要成分是碳，常温下性质稳定2.2023年5月10日，最强太空“快递小哥”天舟六号货运飞船由长征七号运载火箭发射升空，体现了我国强大科技力量。

下列说法正确的是（）A.“长征七号”使用碳纤维材料减轻火箭质量，碳纤维属于金属材料SiOB.“天舟六号”配有半刚性太阳电池阵“翅膀”，电池板主要成分是2C.“长征七号”采用液氧、煤油等作为推进剂，液氧、煤油是纯净物D.“天舟六号”为空间站送去电推进氙气瓶，12954Xe与13154Xe互为同位素3．化学与生产生活密切相关。

下列过程中不涉及．．．化学变化的是A．用铝热反应焊接铁轨B．在钢铁部件表面进行钝化处理C．制作博古梁架时，在木材上雕刻花纹D．《诗经·周颂·良耜》中描述农民生产的情形：“荼蓼（杂草）朽（腐烂）止，黍稷茂止”4.下列化学用语或图示表达正确的是A．碳的基态原子轨道表示式：B．S2−的结构示意图：C．NaH的电子式：Na:H D．次氯酸的结构式：H-O-Cl5．测定食物中铜含量前需对食物样品进行预处理：称取1.000g样品与浓硝酸充分反应后，小火蒸干炭化，再高温灰化，冷却后加入1mL稀硝酸，取滤液配制成10.00mL溶液。

深圳高级中学2025届高三第一次诊断测试历史学科本试卷由两部分组成。

第Ⅰ卷单项选择题，共48分；第Ⅱ卷非选择题，共52分。

全卷共计100分。

考试时间为75分钟。

注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并填涂相应的考号信息点。

2．选择题必须使用2B铅笔填涂，解答题必须使用黑色墨水的签字笔书写，不得用铅笔或圆珠笔答题；字迹工整、笔迹清晰。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答题无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。

一、选择题（每题仅有一个答案，共16题，每题3分，共48分）1．观察下面图片，对图片解读正确的是（）出土的甲骨文楔形文字玛雅文字A．反映了世界文化的多样性特征B．所代表的区域文明均来自大河流域C．所代表的区域文字具有同源性D．反映了世界各地文明多元一体特点2．春秋时期，周桓王、周顷王曾先后派人向鲁国“求车”、“求金”、“告饥”，天子不仅经济上有求于诸侯，政治上也往往受诸侯国的摆布，周襄王也曾低声下气地向郑国“请盟”，这反映出当时（）A．等级制度名存实亡B．尊卑观念土崩瓦解C．权力秩序受到冲击D．礼乐制度难以为继3．文景时期，深受“惩恶亡秦之政，论议务在宽厚”理念的影响，许多官吏断狱从轻，“刑罚大省”，以至于“刑轻于它时而犯法者寡”，“断狱数百，几致刑措”逐步成为一种社会常态。

汉初的司法实践（）A．体现司法审判的公正理性B．契合黄老无为的治国思想C．彰显以德治国的政治智慧D．沿袭秦朝司法的基本理念4．东汉时期，外戚、宦官干政现象很多，造成了当时政治局面的黑暗。

进入魏晋以后，这类现象明显减少，外戚影响力依然存在，但在效力、持续时间上都远不如前。

导致这一变化的主要原因是（）A．选官制度的发展演变B．专制皇权的逐渐弱化C．儒学士人的持续斗争D．监察制度的有效制约5．前秦苻坚曾下诏，欲以谢安为吏部尚书，以桓冲为侍中，并为他们在长安修建邸第。

2022-2023学年高二上数学选择性必修第一册：直线与圆的位置关系【考点梳理】考点一：直线Ax ＋By ＋C ＝0与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系位置关系相交相切相离公共点个数2个1个0个判断方法几何法：设圆心到直线的距离为d ＝|Aa ＋Bb ＋C |A 2＋B 2d <r d ＝r d >r代数法：由Ax ＋By ＋C ＝0，(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，消元得到一元二次方程，可得方程的判别式ΔΔ>0Δ＝0Δ<0考点二：直线与圆的方程解决实际问题审题→建立数学模型→解答数学模型→检验，给出实际问题的答案．【题型归纳】题型一：判断直线与圆的位置关系1．（2021·全国高二单元测试）直线10mx y -+=与圆22(2)(1)5x y -+-=的位置关系是（）A ．相交B ．相切C ．相离D ．与m 的值有关2．（2021·浙江高二期末）直线:1l y ax a =-+与圆224x y +=的位置关系是（）A ．相交B ．相切C ．相离D ．与a 的大小有关3．（2021·北京房山·高二期末）已知直线10l kx y k -+-=：和圆C ：2240x y x +-=，则直线l 与圆C 的位置关系为（）A ．相交B ．相切C ．相离D ．不能确定题型二：由直线与圆的位置关系求参数4．（2021·云南省云天化中学高二期末（文））直线30x y a ++=是圆22240x y x y ++-=的一条对称轴，则a =（）A ．1-B ．1C ．3-D ．35．（2021·内蒙古赤峰市·）若直线()200,0ax by a b --=>>被圆22 2210x y x y +-++=截得的弦长为2，则11a b+的最小值为（）A ．14B ．4C ．12D ．26．（2020·大连市红旗高级中学）若直线:1l y kx =-与圆()()22:212C x y -+-=相切，则直线l 与圆()22:23D x y -+=的位置关系是（）A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定题型三：圆的弦长问题7．（2021·汕头市澄海中学高二月考）若圆22:160C x x y m +++=被直线3440x y ++=截得的弦长为6，则m =（）A ．26B ．31C ．39D ．438．（2021·湖南长沙市·长郡中学高二期中）圆22:(2)4C x y -+=与直线40x y --=相交所得弦长为（）A ．1B ．2C ．2D ．229．（2021·湖北十堰市·高二期末）直线3410x y ++=被圆220x y x y +-+=所截得的弦长为（）A ．710B ．57C ．75D ．145题型四：圆的弦长求参数或者切线方程10．（2021·上海闵行中学高二期末）圆()()22134x y -+-=截直线10ax y +-=所得的弦长为23，则a =（）A ．43-B ．34-C ．3D ．211．（2021·广西河池市·高二期末（文））已知斜率为1-的直线l 被圆C ：222430x y x y ++-+=截得的弦长为6，则直线l 的方程为（）A ．2210x y ++=或2230x y +-=B ．0x y +=或20x y +-=C ．2220x y +-=或22320x y ++=D ．20x y +-=或220x y ++=12．（2021·长春市第二十九中学高二期末（理））直线220ax by -+=被222440x y x y ++--=截得弦长为6，则ab 的最大值是（）A ．9B ．4C ．12D ．14题型五：直线与圆的应用13．（2021·广东深圳市·高三月考）一座圆拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面3米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽度最接近（）A ．13.1米B ．13.7米C ．13.2米D ．13.6米14．（2021·渝中区·重庆巴蜀中学高一期中）如图，某个圆拱桥的水面跨度是20米，拱顶离水面4米；当水面下降1米后，桥在水面的跨度为（）A ．230米B ．202米C ．430米D ．125米15．（2020·重庆市万州沙河中学高二月考）一艘海监船上配有雷达，其监测范围是半径为26km 的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东40km 的A 处出发径直驶向位于海监船正北30km 的B 处岛屿，船速为10km/h 这艘外籍轮船能被海监船监测到且持续时间长约为（）小时A ．1B ．2C ．3D ．4题型六：直线与圆的位置关系的综合应用16．（2021·贵州遵义市·高二期末（理））已知O 圆心在直线2y x =+上，且过点()1,0A 、()2,1B ．（1）求O 的标准方程；（2）已知过点()3,1的直线l 被所截得的弦长为4，求直线l 的方程．17．（2020·永丰县永丰中学高二期中（文））已知圆C 经过点()()1,0,2,1A B ，且圆心在直线:l y x =上．（1）求圆C 的方程；（2）若(,)P x y 为圆C 上的动点，求22y x +-的取值范围．18．（2020·黑龙江哈尔滨·哈九中高二期中（文））已知线段AB 的端点B 的坐标是()6,8，端点A 在圆2216x y +=上运动，M 是线段AB 的中点，且直线l 过定点()1,0.（1）求点M 的轨迹方程；（2）记（1）中求得的图形的圆心为C ，（i ）若直线l 与圆C 相切，求直线l 的方程；（ii ）若直线l 与圆C 交于,P Q 两点，求CPQ 面积的最大值，并求此时直线l 的方程.【双基达标】一、单选题19．（2021·嘉兴市第五高级中学高二期中）直线:1l y x =-截圆22:1O x y +=所得的弦长是（）A ．2B ．3C ．2D ．120．（2021·陆良县中枢镇第二中学高二月考）经过点()2,3P -作圆22:224C x y x ++=的弦AB ，使得点P 平分弦AB ，则弦AB 所在直线的方程为（）A ．50x y --=B ．50x y +-=C ．50x y -+=D ．50x y ++=21．（2021·云南保山市·高二期末（文））若直线m ：0kx y +=被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则点()0,23A 与直线m 上任意一点P 的距离的最小值为（）A ．1B ．3C ．2D ．2322．（2021·四川省乐至中学高二期末）圆222410x y x y ++-+=关于直线220ax by -+=(),a b R ∈对称，则ab 的取值范围是（）A ．1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．10,4⎛⎤⎥⎝⎦C ．1,04⎛⎤- ⎥⎝⎦D ．1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭23．（2021·全国高二专题练习）直线3y kx =+与圆()()22324x y -+-=相交于M ，N 两点，若23MN =，则k 的值是（）A ．34-B ．0C ．0或34-D ．3424．（2021·广西桂林市·（理））圆222420x x y y -+++=到直线2220x y -+=的距离为1的点有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个25．（2021·全国）已知圆C 的方程为22(3)(4)1x y -+-=，过直线:350l x ay +-=上任意一点作圆C 的切线．若切线长的最小值为15，则直线l 的斜率为（）A ．4B ．-4C ．34-D ．43-26．（2021·全国高二期中）在平面直角坐标系中，动圆222:(1)(1)C x y r -+-=与直线1(2)()y m x m R +=-∈相切，则面积最大的圆的标准方程为（）A ．22(1)(1)4x y -+-=B ．22(1)(1)5x y -+-=C ．22(1)(1)6x y -+-=D ．22(1)(1)8x y -+-=27．（2021·山西晋中·高二期末（理））已知圆22:20C x y x +-=，直线:10l x y ++=，P 为l 上的动点，过点P 作圆C 的两条切线PA 、PB ，切点分别A 、B ，当·PC AB 最小时，直线AB 的方程为（）A ．0x y +=B ．0x y -=C ．2210x y -+=D ．2210x y ++=28．（2021·克拉玛依市第一中学高二月考）已知圆22:4210C x y x y +--+=及直线():2l y kx k k R =-+∈，设直线l 与圆C 相交所得的最长弦长为MN ，最短弦为PQ ，则四边形PMQN 的面积为（）A ．42B ．22C ．8D ．82【高分突破】一：单选题29．（2021·全国高二专题练习）已知圆()()22224244100x y mx m y m m m +--++++=≠的圆心在直线70x y +-=上，则该圆的面积为（）A ．4πB ．2πC ．πD ．2π30．（2021·南昌市豫章中学（文））若圆22224120x y ax y a +-++-=上存在到直线4320x y --=的距离等于1的点，则实数a 的取值范围是（）A ．2921,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．91,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．91,,44⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭D ．2921,,44⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭31．（2021·浙江丽水·高二期中）已知圆22:1O x y +=，直线:20l x y ++=，点P 为l 上一动点，过点P 作圆O 的切线PA ，PB （切点为A ，B ），当四边形PAOB 的面积最小时，直线AB的方程为（）A ．10x y -+=B ．20x y -+=C ．10x y ++=D ．20x y +-=32．（2021·云南师大附中（理））已知在圆()2222x y r ++=上到直线40x y +-=的距离为2的点恰有三个，则r =（）A ．23B ．26C ．42D ．833．（2021·四川（理））已知圆221x y +=与直线310ax by ++=（a ，b 为非零实数）相切，则2213a b+的最小值为（）A ．10B ．12C ．13D ．1634．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中高二其他模拟（理））若过点()4,3A 的直线l 与曲线()()22231x y -+-=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（）A ．3,3⎡⎤-⎣⎦B ．()3,3-C ．33,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．33,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭35．（2021·全国高二专题练习）已知三条直线1:0l mx ny +=，2:30l nx my m n -+-=，3:0l ax by c ++=，其中m ，n ，a ，b ，c 为实数，m ，n 不同时为零，a ，b ，c 不同时为零，且2a c b +=．设直线1l ，2l 交于点P ，则点P 到直线3l 的距离的最大值是（）A ．52102+B ．105822+C ．58102+D ．105222+二、多选题36．（2021·全国高二专题练习）已知直线:20l kx y k -+=和圆22:16O x y +=，则（）A ．直线l 恒过定点()2,0B ．存在k 使得直线l 与直线0:220l x y -+=垂直C ．直线l 与圆O 相交D ．若1k =-，直线l 被圆O 截得的弦长为437．（2020·河北武强中学高二月考）直线l 经过点()5,5P ，且与圆22:25C x y +=相交，截得弦长为45，则直线l 的方程为（）A ．250x y --=B ．250x y -+=C ．250x y -+=D ．250x y --=38．（2021·全国高二专题练习）设直线():1l y kx k =+∈R 与圆22:5C x y +=，则下列结论正确的为（）A ．l 与C 可能相离B ．l 不可能将C 的周长平分C ．当1k =时，l 被C 截得的弦长为322D ．l 被C 截得的最短弦长为439．（2021·山东菏泽·高二期末）已知直线:(2)10l mx m y m --+-=，圆22:20C x y x +-=，则下列结论正确的是（）A ．直线l 与圆C 恒有两个公共点B ．圆心C 到直线l 的最大距离是2C ．存在一个m 值，使直线l 经过圆心CD ．当1m =时，圆C 与圆22(1)1y x +-=关于直线l 对称三、填空题40．（2021·合肥百花中学高二期末（理））设直线1y x =+与圆22(1)4x y ++=交于,A B 两点，则AB =__________．41．（2021·绵阳市·四川省绵阳江油中学（文））已知点(),x y 在圆22(2)(3)1x y -++=上，则x y +的最大值是________．42．（2021·上海高二期中）在平面直角坐标系中，过点()2,2M 且与圆2220x y x +-=相切的直线方程为__________．43．（2021·江苏南京市·南京一中高二期末）已知直线1l ：()0kx y k R +=∈与直线2l ：220x ky k -+-=相交于点A ，点B 是圆()()22232x y +++=上的动点，则AB 的最大值为___________.四、解答题44．（2021·合肥百花中学高二期末（理））已知圆22:20C x y x my +-+=，其圆心C 在直线y x =上．（1）求m 的值；（2）若过点(1,1)-的直线l 与圆C 相切，求直线l 的方程．45．（2021·荆州市沙市第五中学高二期中）已知圆C 经过()2,4，()1,3两点，圆心C 在直线10x y -+=上，过点()0,1A 且斜率为k 的直线l 与圆C 相交于M ，N 两点.（1）求圆C 的方程；（2）若12OM ON ⋅=（O 为坐标原点），求直线l 的方程.46．（2021·台州市书生中学高二期中）已知圆()22:15C x y +-=，直线:10l mx y m -+-=．（1）求证：对m R ∈，直线l 与圆C 总有两个不同交点；（2）设l 与圆C 交与不同两点,A B ，求弦AB 的中点M 的轨迹方程；（3）若直线过点()1,1P ，且P 点分弦AB 为12AP PB =，求此时直线l 的方程．47．（2020·安徽六安市·立人中学高二期中（理））已知圆C 经过两点(1,3),(3,1)P Q ---，且圆心C 在直线240x y +-=上，直线l 的方程为(1)2530k x y k -++-=．（1）求圆C 的方程；（2）证明：直线l 与圆C 一定相交；（3）求直线l 被圆C 截得的弦长的取值范围．48．（2020·吉安县立中学（文））已知两个定点(0,4)A ，(0,1)B ，动点P 满足||2||PA PB =，设动点P 的轨迹为曲线E ，直线l ：4y kx =-.（1）求曲线E 的轨迹方程；（2）若l 与曲线E 交于不同的C 、D 两点，且120COD ∠=︒(O 为坐标原点)，求直线l 的斜率；（3）若1k =，Q 是直线l 上的动点，过Q 作曲线E 的两条切线QM 、QN ，切点为M 、N ，探究：直线MN 是否过定点，若存在定点请写出坐标，若不存在则说明理由.2022-2023学年高二上数学选择性必修第一册：直线与圆的位置关系【答案详解】1．A 【详解】10mx y -+=过定点()0,1，且()22(214501)+-=<-，故()0,1在圆内，故直线和圆相交.故选：A 2．A 【详解】直线l ：1=-+y ax a ，即()11y a x =-+恒过()1,1，而221124+=<，故()1,1点在圆内，故直线与圆必然相交．故选：A ．3．A 【详解】直线方程整理为(1)10k x y --+=，即直线过定点(1,1)P ，而22114120+-⨯=-<，P 在圆C 内，∴直线l 与圆C 相交．故选：A ．4．B 【详解】由22240x y x y ++-=，得22(1)(2)5x y ++-=，则圆心坐标为(12)-，，又直线30x y a ++=是圆22240x y x y ++-=的一条对称轴，由圆的对称性可知，该圆的圆心(12)-，在直线30x y a ++=上，则3(1)121a =-⨯--⨯=，故选：B ．5．D 【详解】由圆的方程22 2210x y x y +-++=，可得圆心坐标为(1,1)-，半径为1r =，因为直线20ax by --=被圆截得的弦长为2，可直线20ax by --=必过圆心(1,1)-，代入可得2a b +=，又因为0,0a b >>，则1111111()()(2)(22)2222b a b aa b a b a b a b a b+=⋅++=⋅++≥⋅+⋅=，当且仅当b aab=时，即1a b ==时，等号成立，所以11a b+的最小值为2.故选：D.6．A 【详解】由圆C 方程知其圆心()2,1C ，半径为2，直线l 与圆C 相切，221121k k --∴=+，解得：23k =±，由圆D 方程知其圆心()2,0D ，半径3r =，∴圆心D 到直线l 距离2211k d k -=+；当23k =+时，()()2222323330843231d r +-=-=-<+++，即d r <，此时圆D 与直线l 相交；当23k =-时，()()2222323330843231d r --=-=-<--+，即d r <，此时圆D 与直线l 相交；综上所述：圆D 与直线l 相交.故选：A.7．C 【详解】将圆化为22(8)64(64)x y m m ++=-<，所以圆心到直线3440x y ++=的距离d =24445-+=，该距离与弦长的一半及半径组成直角三角形，所以224364m +=-，解得39.m =8．D 【详解】圆22:(2)4C x y -+=的圆心坐标为()20，，半径为2，圆心到直线40x y --=的距离为204211d --==+，故弦长为：24222-=，故选：D.9．C 【详解】由220x y x y +-+=可得22111222x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则圆心坐标为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，半径22r =，所以圆心到直线3410x y ++=的距离为22113412211034d ⎛⎫⨯+⨯-+ ⎪⎝⎭==+，所以所求弦长为22725r d -=.故选：C.10．B 【详解】由题意圆心到直线的距离为()()2222222222232241111a a a d r d a a a a +++=∴=-=-∴=∴=+++34-故选：B 11．B 【详解】圆C 的标准方程为22(1)(2)2x y ++-=，设直线l 的方程为0x y m ++=，可知圆心到直线l 的距离为2262(2)22⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭，有|1|222m +=，有0m =或2-，直线l 的方程为0x y +=或20x y +-=．故选：B【详解】将222440x y x y ++--=化为标准形式：22(1)(2)9x y ++-=，故该圆圆心为(1,2)-，半径为3.因为直线截圆所得弦长为6，故直线过圆心，所以2220a b --+=，即1a b +=，所以2124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭（当且仅当12a b ==时取等号），故选：D.13．C 【详解】如图建立平面直角坐标系，则圆心在y 轴上，设圆的半径为r ，则圆的方程为222(+)x y r r +=，∵拱顶离水面3米，水面宽12米，∴圆过点(6,3)-,∴2236(3+)r r +-=，∴152r =∴圆的方程为2215225(+)24x y +=，当水面下降1米后，可设水面的端点坐标为(,4)t -，则244t =，∴211t =±，∴当水面下降1米后，水面宽度为411，约为13.2，故选：C.14．C 【详解】以圆拱桥的顶点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则圆拱所在圆的圆心位于y 轴负半轴上，设该圆的圆心为()0,a -，0a >，则该圆的方程为()222x y a a ++=，记水面下降前与圆的两交点为A ，B ；记水面下降1米后与圆的两交点为C ，D ；由题意可得，()10,4A --，则()()222104a a -+-+=，解得292a =，所以圆的方程为222292922x y ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，水面位下降1米后，可知C 点纵坐标为5y =-，所以2222929522x ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得2120x =，则此时的桥在水面的跨度为22120430CD x ===米.故选：C.15．B根据题意以海监船的位置为坐标原点，其正东方向为x 轴，正北方向为y 轴，所以()()40,0,0,30A B ，圆22:676O x y +=，记从N 处开始被监测，到M 处监测结束，所以:14030AB x y l +=，即:341200AB l x y +-=，因为O 到:341200AB l x y +-=的距离为221202434OO -'==+，所以22220MN MO OO '=-=，所以监测时间持续2010=2小时，故选：B.16．（1）()2225x y +-=；（2）1y =或34130x y +-=.由点()1,0A 、()2,1B 可得AB 中点坐标为31,22⎛⎫⎪⎝⎭，10121AB k -==-，所以直线AB 的垂直平分线的斜率为1-，可得直线AB 的垂直平分线的方程为：1322y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭即20x y +-=，由202x y y x +-=⎧⎨=+⎩可得：02x y =⎧⎨=⎩，所以圆心为()0,2O ，()()2210025r OA ==-+-=，所以O 的标准方程为()2225x y +-=，（2）设直线的方程为()13y k x -=-即310kx y k --+=，圆心()0,2O 到直线的距离2131k d k --=+，则()2222134521k k ⎛⎫--⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭+⎝⎭可得()222135211k k +=-=+，即2430k k +=，解得：0k =或34k =-，所以直线l 的方程为10y -=或()3134y x -=--，即1y =或34130x y +-=17．（1）22(1)(1)1x y -+-=；（2）4,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.【详解】（1）设所求圆的方程为222()()x a y b r -+-=由题意得222222(1)(0)(2)(1)a b r a b r b a ⎧-+-=⎪-+-=⎨⎪=⎩，解得1a b r ===所以，圆的方程为22(1)(1)1x y -+-=（2）由（1）得()()22111x y -+-=，则圆心为()1,1，半径为1；而22y x +-表示圆上的点(,)P x y 与定点()2,2M -连线的斜率，当过点()2,2M -的直线与圆相切时，不妨设直线方程为：()22y k x +=-，即220kx y k ---=，则圆心()1,1到直线220kx y k ---=的距离为212211k k k ---=+，解得43k =-，因此22y x +-的取值范围是4,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦；18．【详解】（1）设(),M x y ，()00,A x y ，M 是线段AB 中点，006282x x y y+⎧=⎪⎪∴⎨+⎪=⎪⎩，整理可得：002628x x y y =-⎧⎨=-⎩，A 在圆2216x y +=上，()()22262816x y ∴-+-=，整理可得M 点轨迹方程为：()()22344x y -+-=.（2）（i ）由（1）知：圆心()3,4C ，半径2r =，当直线l 斜率不存在时，方程为1x =，是圆的切线，满足题意；当直线l 斜率存在时，设其方程为()1y k x =-，即kx y k 0--=，∴圆心到直线l 距离23421k k d k --==+，解得：34k =，:3430l x y ∴--=；综上所述：直线l 的方程为1x =或3430x y --=；（ii ）由直线l 与圆C 交于,P Q 两点知：直线l 斜率存在且不为0，设其方程为：()1y k x =-，即kx y k 0--=，∴圆心到直线l 距离22342411k k k d k k ---==++，()2222222144222CPQd d S PQ d d r d d d⎡⎤-+=⋅=-=-≤=⎢⎥⎣⎦（当且仅当224d d -=，即22d =时取等号），由22d=得：()222421k k -=+，解得：1k =或7k =，∴CPQ 面积的最大值为2，此时l 方程为：10x y --=或770x y --=.19．C圆心（0,0）到直线10x y --=的距离|1|122d -==，因为圆的半径为1，则弦长为2212122⎛⎫-= ⎪⎝⎭.故选：C.20．A 【详解】由题意，圆22:224C x y x ++=，可得圆心坐标为(1,0)C -，点()2,3P -在圆C 内，则过点P 且被点P 平分的弦所在的直线和圆心与P 的连线垂直，又由3012(1)CP k --==---，所以所求直线的斜率为1，且过点()2,3P -，可得所求直线方程为(3)1(2)y x --=-⨯-，即50x y --=．故选：A 21．B 【详解】根据题意，圆()2224x y -+=的圆心为()2,0，半径为2，设圆心到直线0kx y +=的距离为d ，则221k d k =+，若直线0kx y +=被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则2222r d =-，所以214d +=，又0d >，解得3d =，所以2321k d k==+，解得3k =±，点()0,23A 与直线m 上任意一点P 的最小值为点到直线的距离122331d k ==+，故选:B ．22．A 【详解】解：把圆的方程化为标准方程得：22(1)(2)4x y ++-=，∴圆心坐标为(1,2)-，半径2r =，根据题意可知：圆心在已知直线220ax by -+=上，把圆心坐标代入直线方程得：2220a b --+=，即1b a =-，则设2211(1)24m ab a a a a a ⎛⎫==-=-+=--+ ⎪⎝⎭，∴当12a =时，m 有最大值，最大值为14，即ab 的最大值为14，则ab 的取值范围是(-∞，1]4．故选：A ．23．C由题意，知23MN =，圆心为(3，2).设圆的半径为r ，则2r =，所以圆心到直线的距离224312MN d r ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭.由点到直线的距高公式，得232311k k -+=+，解得0k =或34k =-.故选：C.24．B 【详解】由222420x x y y -+++=，得22(1)(2)3x y -++=，则圆心为(1,2)-，半径3r =，因为圆心(1,2)-到直线2220x y -+=的距离为22222243381d +++==>+，且2242243333133d ++--=-=<，所以圆222420x x y y -+++=到直线2220x y -+=的距离为1的点有2个，故选：B25．C 【详解】解：由22(3)(4)1x y -+-=，得圆心(3,4)C ，过直线:350l x ay +-=上任意一点作圆C 的切线，要使切线长最小，即要使圆心到直线l 的距离最小，根据题意作图，如图所示：圆的半径为1，切线长为15，∴圆心到直线l 的距离等于221(15)4+=，∴由点到直线的距离公式得2|3345|49a a ⨯+-=+，解得4a =，此时直线l 的斜率为34-．故选：C ．26．B 【详解】解：根据题意，直线1(2)y m x +=-，恒过定点(2,1)-，动圆222:(1)(1)C x y r -+-=，其圆心为(1,1)，半径为r ，若圆的面积最大，即圆心到直线l 的距离最大，且其最大值22(12)(11)5CP =-++=，即圆的面积最大时，圆的半径5r =，此时圆的方程为：22(1)(1)5x y -+-=，故选：B ．27．A 【详解】圆C 的标准方程为()2211x y -+=，圆心为()1,0，半径为1r =.依圆的知识可知，四点P ，A ，B ，C 四点共圆，且AB ⊥PC ，所以14422PAC PC AB S PA AC PA ⋅==⨯⨯⋅=△，而21PA PC =-，当直线PC ⊥l 时，PA 最小，此时PC AB ⋅最小.结合图象可知，此时切点为()()0,0,1,1-，所以直线AB 的方程为y x =-，即0x y +=.故选：A28．A 【详解】将圆C 方程整理为：()()22214x y -+-=，则圆心()2,1C ，半径2r =；将直线l 方程整理为：()12y k x =-+，则直线l 恒过定点()1,2，且()1,2在圆C 内；最长弦MN 为过()1,2的圆的直径，则4MN =；最短弦PQ 为过()1,2，且与最长弦MN 垂直的弦，21112MN k -==-- ，1PQ k ∴=，∴直线PQ 方程为21y x -=-，即10x y -+=，∴圆心C 到直线PQ 的距离为21122-+==d ，22224222PQ r d ∴=-=-=；∴四边形PMQN 的面积114224222S MN PQ =⋅=⨯⨯=.故选：A.29．A 【详解】圆的方程可化为()()()222210x m y m m m -+--=≠，其圆心为(),21m m +.依题意得，2170m m ++-=，解得2m =，∴圆的半径为2，面积为4π，故选：A 30．A 【详解】解:将圆的方程化为标准形式得圆()()22216x a y -++=,所以圆心坐标为(),2a -,半径为4r =因为圆22224120x y ax y a +-++-=上存在到直线4320x y --=的距离等于1的点，所以圆心到直线的距离d 满足15d r ≤+=,即4455a d +=≤,解得:2921,44a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦故选:A31．C 【详解】设四边形PAOB 的面积为S ，2||||||PAO S S AO AP AP === ，222||||||||1AP OP OA OP =-=-，所以，当||OP 最小时，||AP 就最小，|002|||22min o l OP d -++===，所以||211min min S AP ==-=．此时OP l ⊥.所以||||||||1OA AP PB OB ====，四边形PAOB 是正方形，由题得直线OP 的方程为y x =，联立20y x x y =⎧⎨++=⎩得(1,1)--P ，所以线段OP 的中点坐标为11(,)22--，由题得直线AB 的斜率为1,-所以直线AB 的方程为11()[()]22y x --=---，化简得直线AB 的方程为10x y ++=.故选：C 32．C 【详解】解：因为圆()2222x y r ++=的圆心为()2,0-，半径为r ，圆心()2,0-到直线40x y +-=的距离22432d --==，因为在圆()2222x y r ++=上到直线40x y +-=的距离为2的点恰有三个，所以32242r =+=．故选：C ．33．D 【详解】因为圆221x y +=与直线310ax by ++=相切，所以2200113a b++=+，所以2231a b +=，所以()2222222222222213133310616310a b a b a b ab b a b b a a ⎛⎫+=+=++≥+⋅= ⎪⎭+⎝，取等号时2214a b ==，所以2213a b +的最小值为16.故选：D.34．C 【详解】由题意，易知，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为()34y k x -=-，即340kx y k -+-=曲线()()22231x y -+-=表示圆心()2,3，半径为1的圆，圆心()2,3到直线340kx y k -+-=的距离应小于等于半径1，2233411k kk-+-∴≤+，即221k k -≤+，解得3333k -≤≤.故选：C.35．D 【详解】由于1:0l mx ny +=，2:30l nx my m n -+-=，且()0mn n m +⋅-=，12l l ∴⊥，易知直线1l 过原点，将直线2l 的方程化为()()130n x m y ---=，由1030x y -=⎧⎨-=⎩，解得13x y =⎧⎨=⎩，所以，直线2l 过定点()1,3M ，所以10OM =，因为2a c b +=，则2a cb +=，直线3l 的方程为02a c ax y c +++=，直线3l 的方程可化为1022y y a x c ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由02102y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得12x y =⎧⎨=-⎩，所以，直线3l 过定点()1,2N -，如下图所示：设线段OM 的中点为点E ，则13,22E ⎛⎫⎪⎝⎭，若点P 不与O 或M 重合，由于OP PM ⊥，由直角三角形的性质可得EP EO EM ==；若点P 与O 或M 重合，满足12l l ⊥.由上可知，点P 的轨迹是以OM 为直径的圆E ，该圆圆心为13,22E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径为102.设点E 到直线3l 的距离为d ，当3EN l ⊥时，d EN =；当EN 不与3l 垂直时，d EN <.综上，22135212222d EN ⎛⎫⎛⎫≤=-+--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以，点P 到直线3l 的距离的最大值为521022OM EN ++=.故选：D.36．BC 【详解】解：对于A 、C ，由:20l kx y k -+=，得(2)0k x y +-=，令200x y +=⎧⎨-=⎩，解得20x y =-⎧⎨=⎩，所以直线l 恒过定点(2,0)-，故A 错误；因为直线l 恒过定点(2,0)-，而()2220416-+=<，即(2,0)-在圆22:16O x y +=内，所以直线l 与圆O 相交，故C 正确；对于B ，直线0:220l x y -+=的斜率为12，则当2k =-时，满足直线l 与直线0:220l x y -+=垂直，故B 正确；对于D ，1k =-时，直线:20l x y ++=，圆心到直线的距离为22002211d ++==+，所以直线l 被圆O 截得的弦长为()22222242214r d -=-=，故D 错误.故选：BC.37．BD 【详解】圆心为原点，半径为5，依题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为()55y k x -=-，即550kx y k -+-=，所以()2225552521k k k -=-⇒=+或12k =.所以直线l 的方程为25520x y -+-⨯=或1155022x y -+-⨯=，即250x y --=或250x y -+=.故选：BD38．BD 【详解】对于A 选项，直线l 过定点()0,1，且点()0,1在圆C 内，则直线l 与圆C 必相交，A 选项错误；对于B 选项，若直线l 将圆C 平分，则直线l 过原点，此时直线l 的斜率不存在，B 选项正确；对于C 选项，当1k =时，直线l 的方程为10x y -+=，圆心C 到直线l 的距离为22d =，所以，直线l 被C 截得的弦长为2225322⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭，C 选项错误；对于D 选项，圆心C 到直线l 的距离为2111d k =≤+，所以，直线l 被C 截得的弦长为2254d -≥，D 选项正确.故选：BD.39．AD 【详解】解：由直线:(2)10l mx m y m --+-=，即(1)210m x y y +--+=，得10210x y y +-=⎧⎨-+=⎩，解得1212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则直线l 过定点1(2P ，1)2，圆22:20C x y x +-=化为22(1)1x y -+=，圆心坐标为(1,0)C ，22112||(1)(0)1222PC =-+-=< ，点P 在圆C 内部，∴直线l 与圆C 恒有两个公共点，故A正确；圆心C 到直线l 的最大距离为2||2PC =，故B 错误； 直线系方程(2)10mx m y m --+-=不包含直线10x y +-=（无论m 取何值），而经过1(2P ，1)2的直线只有10x y +-=过(1,0)C ，故C 错误；当1m =时，直线l 为0x y -=，圆C 的圆心坐标为(1,0)，半径为1，圆22(1)1y x +-=的圆心坐标为(0,1)，半径为1，两圆的圆心关于直线0x y -=对称，半径相等，则当1m =时，圆C 与圆22(1)1y x +-=关于直线l 对称，故D 正确．故选：AD ．40．22【详解】圆22(1)4x y ++=的圆心为()0,1-，半径为2，则圆心()0,1-到直线的距离为()22011211++=+-，所以()2222222AB =-=，故答案为：2241．21-【详解】令t x y =+，则y x t =-+，t 表示直线在y 轴上的截距，所以x y +的最大值是直线在y 轴上截距的最大值，此时直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，即2312td --==，解得21t =-.故答案为：21-42．x =2或3420x y +=-.【详解】圆2220x y x +-=的标准式为：()2211x y -+=，容易验证x =2与圆相切，若切线的斜率存在，则设其方程为：()22220y k x kx y k -=-⇒-+-=，于是圆心到直线的距离2|2|3141k d k k -+==⇒=+，则切线：310342042x y x y -+=⇒-+=.故答案为：x =2或3420x y +=-.43．522+解：因为直线1l ：()0kx y k R +=∈恒过定点(0,0)O ，直线2l ：220x ky k -+-=恒过定点(2,2)C ，且12l l ⊥，所以两直线的交点A 在以OC 为直径的圆D 上，且圆的方程为22:(1)(1)2D x y -+-=，要求AB 的最大值，转化为在22:(1)(1)2D x y -+-=上找上一点A ，在()()22232x y +++=上找一点B ，使AB 最大，根据题意可知两圆的圆心距为22(12)(13)5+++=，所以AB 的最大值为522+，故答案为：522+44．（1）2m =-；（2）20x y -+=或0x y +=．【详解】解：（1）圆C 的标准方程为：222(1)()124m m x y -++=+，所以，圆心为(1,)2m -由圆心C 在直线y x =上，得2m =-．所以，圆C 的方程为：22(1)(1)2x y -+-=．（2）由题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为：1(1)y k x -=+，即10kx y k -++=，由于直线l 和圆C 相切，得2|2|21k k =+解得：1k =±所以，直线方程为：20x y -+=或0x y +=．45．（1）()()22231x y -+-=；（2）1y x =+.【详解】解：（1）设圆C 的方程为()()222x a y b r -+-=，则依题意，得()()()()22222224,13,10,a b r a b r a b ⎧-+-=⎪⎪-+-=⎨⎪-+=⎪⎩解得2,3,1,a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴圆C 的方程为()()22231x y -+-=（2）设直线l 的方程为1y kx =+，设11(,)M x y ，22(,)N x y ，将1y kx =+，代入22(2)(3)1x y -+-=并整理，得22(1)4(1)70k x k x +-++=，∴1224(1)1k x x k++=+，12271x x k =+∴()()()212121212241118121k k OM ON x x y y k x x k x x k +⋅=+=++++=+=+ ，即()24141k k k +=+，解得1k =，又当1k =时0∆>，∴1k =，∴直线l 的方程为1y x =+46．（1）圆()22:15C x y +-=的圆心()0,1C ，半径为5，所以圆心()0,1C 到直线l 的距离为22151m m d m m --=<=<+，所以直线l 与圆C 相交，故对m R ∈，直线l 与圆C 总有两个不同交点；（2）当M 与P 不重合时，连接,CM CP ，则CM MP ⊥，所以222CM MP CP +=，设()(),1M x y x ≠，则()()()22221111x y x y +-+-+-=，整理得()222101x y x y x +--+=≠，当M 与P 重合时，1x y ==也满足22210x y x y +--+=，故弦AB 的中点M 的轨迹方程为22210x y x y +--+=;（3）设()()1122,,,A x y B x y ，由12AP PB =，得12AP PB = ，所以()121112x x -=-，即2132x x =-，又()221015mx y m x y -+-=⎧⎪⎨+-=⎪⎩，消去y 得()22221250m x m x m +-+-=，所以212221m x x m +=+，()()4222441516200m m m m ∆=-+-=+>，由2121223221x x m x x m =-⎧⎪⎨+=⎪+⎩得21231m x m +=+，将21231m x m+=+带入()22221250m x m x m +-+-=得1m =±，所以此时直线l 的方程为0x y -=或20x y +-=.47．（1）因为(1,3),(3,1)P Q ---，所以PQ 的中垂线为11(2)2y x +=+上，由24011(2)2x y y x +-=⎧⎪⎨+=+⎪⎩，解得21x y =⎧⎨=⎩，所以圆心为()2,1C ，又半径||5r PC ==，∴圆C 的方程为22(2)(1)25x y -+-=．（2）直线l 的方程可化为(3)(25)0k x x y ----=，令30250x x y -=⎧⎨--=⎩可得3x =，1y =-，∴直线l 过定点(3,1)M -，由22(32)(11)25-+--<可知M 在圆内，∴直线l 与圆C 一定相交．（3）设圆心C 到直线l 的距离为d ，弦长为L ，则2222225L r d d =-=-，∵0||d CM ≤≤，即05d ≤≤，∴4510L ≤≤，即弦长的取值范围是[45,10]．48．（1）224x y +=；（2）15±；（3）存在，(1,1)-.（1）由题，设点P 的坐标为(,)x y ，因为||2||PA PB =，即2222(4)2(1)x y x y +-=+-，整理得224x y +=，所以所求曲线E 的轨迹方程为224x y +=．（2）依题意，2OC OD ==，且120COD ∠= ，由圆的性质，可得点O 到边CD 的距离为1，即点(0,0)O 到直线:40l kx y --=的距离为2411k =+，解得15k =±，所以所求直线l 的斜率为15±．（3）依题意，,ON QN OM QM ⊥⊥，则,M N 都在以OQ 为直径的圆F 上，Q 是直线:4l y x =-上的动点，设(,4)Q t t -，则圆F 的圆心为4(,)22t t -，且经过坐标原点，即圆的方程为22(4)0x y tx t y +---=，又因为,M N 在曲线22:4E x y +=上，由22224(4)0x y x y tx t y ⎧+=⎨+---=⎩，可得(4)40tx t y +--=，即直线MN 的方程为(4)40tx t y +--=，由t R ∈且()440t x y y +--=，可得0440x y y +=⎧⎨+=⎩，解得11x y =⎧⎨=-⎩，所以直线MN 过定点(1,1)-．。

广东省深圳市高级中学2025届高三下学期一模考试数学试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．《周易》是我国古代典籍，用“卦”描述了天地世间万象变化．如图是一个八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑八卦（每一卦由三个爻组成，其中“”表示一个阳爻，“”表示一个阴爻）．若从含有两个及以上阳爻的卦中任取两卦，这两卦的六个爻中都恰有两个阳爻的概率为（ ）A ．13B ．12C ．23D ．342．将函数()sin(3)6f x x π=+的图像向右平移(0)m m >个单位长度，再将图像上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数()g x 的图像，若()g x 为奇函数，则m 的最小值为（ ）A ．9πB ．29π C ．18π D ．24π3．等比数列{}n a 中，11,28a q ==，则4a 与8a 的等比中项是（ ） A ．±4B ．4C ．14±D ．144．已知点P 是双曲线222222:1(0,0,)x y C a b c a b a b-=>>=+上一点，若点P 到双曲线C 的两条渐近线的距离之积为214c ，则双曲线C 的离心率为（ ） A 2 B 5 C 3D ．25．某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士，则不同的分配方案有 A ．72种B ．36种C ．24种D ．18种6．设{|210}S x x =+>，{|350}T x x =-<，则S T （ ）A ．∅B ．1{|}2x x <-C ．5{|}3x x >D ．15{|}23x x -<< 7．下图是我国第24~30届奥运奖牌数的回眸和中国代表团奖牌总数统计图，根据表和统计图，以下描述正确的是（ ）．金牌 （块） 银牌（块） 铜牌（块） 奖牌总数 24 5 11 12 28 25 16 22 12 54 26 16 22 12 50 27 28 16 15 59 28 32 17 14 63 29 51 21 28 100 3038272388A ．中国代表团的奥运奖牌总数一直保持上升趋势B ．折线统计图中的六条线段只是为了便于观察图象所反映的变化，不具有实际意义C ．第30届与第29届北京奥运会相比，奥运金牌数、银牌数、铜牌数都有所下降D ．统计图中前六届奥运会中国代表团的奥运奖牌总数的中位数是54.58．2019年10月17日是我国第6个“扶贫日”，某医院开展扶贫日“送医下乡”医疗义诊活动，现有五名医生被分配到四所不同的乡镇医院中，医生甲被指定分配到医院A ，医生乙只能分配到医院A 或医院B ，医生丙不能分配到医生甲、乙所在的医院，其他两名医生分配到哪所医院都可以，若每所医院至少分配一名医生，则不同的分配方案共有( ) A ．18种B ．20种C ．22种D ．24种9．已知1cos ,,32πααπ⎛⎫=-∈⎪⎝⎭,则()sin πα+= ( ) A ．223B ．223-C ．223±D ．1310．第七届世界军人运动会于2019年10月18日至27日在中国武汉举行，中国队以133金64银42铜位居金牌榜和奖牌榜的首位.运动会期间有甲、乙等五名志愿者被分配到射击、田径、篮球、游泳四个运动场地提供服务，要求每个人都要被派出去提供服务，且每个场地都要有志愿者服务，则甲和乙恰好在同一组的概率是（ ） A ．110B ．15C ．140D ．94011．一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果是34，则判断框中应填入的条件是（ ）A ．5?i >B ．5?i <C ．4?i >D ．4?i <12．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若290ABF ∠=︒，且2ABF 的三边长2BF ，AB ，2AF 成等差数列，则C 的离心率为（ ）A ．12B 3C ．22D 3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021届广东省深圳高级中学高三上学期10月月考数学试题一、单选题1．设集合2{|0}M x x x =-≥，{|2}N x x =<，则M N =（ ）A ．{|0}x x ≤B ．{|12}x x ≤<C ．{|01}x x ≤≤D ．{|0x x ≤或12}x ≤<【答案】D【解析】先解不等式得集合M ，再根据交集定义求结果. 【详解】2{|0}(,0][1,)M x x x =-≥=-∞+∞ (,0][1,2)MN ∴=-∞故选：D 【点睛】本题考查集合交集、解一元二次不等式，考查基本分析求解能力，属基础题. 2．已知i 为虚数单位，则复数131ii-+的虚部为（ ） A ．2- B ．2i -C ．2D ．2i【答案】A【解析】先化简复数z ，然后由虚部定义可求． 【详解】()()()()131********i i i ii i i -----===++-﹣1﹣2i ， ∴复数131ii-+的虚部是﹣2， 故选A ． 【点睛】该题考查复数代数形式的运算、复数的基本概念，属基础题．3．设a R ∈，则“1a =-”是“直线10ax y +-=与直线50x ay ++=平行”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【解析】【详解】【分析】试题分析：若1a =-，则直线 10ax y +-=与直线50x ay ++=平行，充分性成立；若直线 10ax y +-=与直线50x ay ++=平行，则 1a =或，必要性不成立． 【考点】充分必要性．4．设向量a ，b 满足(3,1)a b +=，1a b ⋅=，则||a b -=（ ） A ．2 B 6C ．22D 10【答案】B【解析】由题意结合向量的运算法则，以及向量的模的运算公式，即可求解. 【详解】由题意结合向量的运算法则，可知：()222431416a b a b a b -=+-⋅=+-⨯=故选：B. 【点睛】本题主要考查向量的运算法则，向量的模的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5．在6x x ⎫⎝的二项展开式中，2x 的系数为（ ） A ．154-B ．154C ．38-D ．38【答案】C 【解析】【详解】因为1r T +=66((rr r x C x-⋅⋅,可得1r =时，2x 的系数为38-，C 正确.6．已知函数()()1f x x x =+，则不等式()()220f x f x +->的解集为（ ）A ．(2,1)-B ．(1,2)-C ．(,1)(2,)-∞-+∞D ．(,2)(1,)-∞-+∞【答案】D【解析】判断出()f x 的奇偶性与单调性，然后将不等式转化为()()22f xf x <-，【详解】()()1f x x x =+()()()()11f x x x x x f x ∴-=--+=-+=-()f x ∴为奇函数，当0x ≥时，()2f x x x =+，可知()f x 在[)0,+∞上单调递增；()f x ∴在(],0-∞上也单调递增，即()f x 为R 上的增函数；由()()220f xf x +->()()22f x f x ⇒>--()()22f x f x ⇒>-，22x x ∴>-，解得：2x <-或1x >故选：D. 【点睛】本题考查利用函数单调性与奇偶性求解函数不等式的问题，解题关键在于将不等式转化为符合单调性定义的形式，利用单调性转变为自变量的比较，属于常考题型.7．如图，双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，过2F 作直线与C 及其渐近线分别交于Q ，P 两点，且Q 为2PF 的中点．若等腰三角形12PF F 的底边2PF 的长等于C 的半焦距．则C 的离心率为（ ）A 2215-+ B ．43C 2215+ D ．32【答案】C【解析】先根据等腰三角形的性质得12QF PF ⊥，再根据双曲线定义以及勾股定理列方程，解得离心率. 【详解】连接1QF ，由12PF F △为等腰三角形且Q 为2PF 的中点，得12QF PF ⊥，由2PF c =知22c QF =．由双曲线的定义知122cQF a =+，在12Rt FQF 中，()2222222c c a c ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22284708470a ac c e e ∴+-=∴+-= 2157e +∴=（负值舍去）． 故选：C 【点睛】本题考查双曲线的定义、双曲线的离心率，考查基本分析求解能力，属基础题. 8．将函数sin 2y x =的图象向右平移ϕ（02πϕ<<）个单位长度得到()y f x =的图象．若函数()f x 在区间0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上单调递增，且()f x 的最大负零点在区间5,126ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上，则ϕ的取值范围是（ ） A ．,64ππ⎛⎤⎥⎝⎦ B ．,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭ C ．,124ππ⎛⎤⎥⎝⎦ D ．,122ππ⎛⎫⎪⎝⎭ 【答案】C【解析】利用函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，求得()f x 的解析式，再利用正弦函数的性质求得ϕ的取值范围． 【详解】将函数sin 2y x =的图象向右平移ϕ（02πϕ<<）个单位长度得到()sin(22)y f x x ϕ==-的图象．若函数()f x 在区间0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上单调递增，则22πϕ-≤-，且222ππϕ-≤，求得04πϕ<≤①．令22x k ϕπ-=，求得2k x πϕ=+，Z k ∈，故函数的零点为2k x πϕ=+，k Z ∈． ∵()f x 的最大负零点在区间5,126ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上， ∴51226k πππϕ-<+<-， ∴512262k k ππππϕ--<<--②． 由①②令1k =-，可得124ππϕ<≤， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，正弦函数的性质综合应用，属于中档题．二、多选题9．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、“90后”从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论中正确的是（ ）注：“90后”指1990年及以后出生的人，“80后”指1980-1989年之间出生的人，“80前”指1979年及以前出生的人．A ．互联网行业从业人员中“90后”占一半以上B ．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C ．互联网行业中从事运营岗位的人数“90后”比“80前”多D ．互联网行业中从事技术岗位的人数“90后”比“80后”多 【答案】ABC【解析】根据饼状图确定互联网行业从业人员中“90后”占总人数比例，即可判断A; 根据条形图确定互联网行业从业人员中“90后”从事技术岗位的人数占总人数比例，即可判断B;饼状图确定“80前”的人数占总人数的比例,两者比较可判断C;根据条形图确定互联网行业从业人员中“90后”从事技术岗位的人数占总人数的比例，但“80后”中从事技术岗位的比例不可确定，即可判断D. 【详解】由题图可知，互联网行业从业人员中“90后”占总人数的56%，超过一半，A 正确； 互联网行业从业人员中“90后”从事技术岗位的人数占总人数的56%39.6%22.176%⨯=，超过20%，所以互联网行业从业人员（包括“90后”“80后”“80前”）从事技术岗位的人数超过总人数的20%，B 正确；互联网行业从业人员中“90后”从事运营岗位的人数占总人数的56%17%9.52%⨯=，超过“80前”的人数占总人数的比例，且“80前”中从事运营岗位的比例未知，C 正确； 互联网行业从业人员中“90后”从事技术岗位的人数占总人数的56%39.6%22.176%⨯=，小于“80后”的人数占总人数的比例，但“80后”中从事技术岗位的比例未知，D 不一定正确． 故选：ABC 【点睛】本题考查饼状图与条形图，考查数据分析与判断能力，属基础题. 10．对于实数a 、b 、m ，下列说法正确的是（ ） A ．若22am bm >，则a b > B ．若a b >，则a ab bC ．若0b a >>，0m >，则a m ab m b+>+ D ．若0a b >>且ln ln a b =，则()23,a b +∈+∞ 【答案】ABCD【解析】首先可根据22am bm >以及20m >判断出A 正确，然后将B 项分为0a b >>、0a b 以及0a b >≥三种情况进行讨论，即可判断出B 正确，再然后通过判断0a m a b m b +->+即可得出C 正确，最后可根据题意得出1a b =以及122a b a a，设()()121f a a a a=+>，通过函数()f a 的单调性即可判断出D 正确.【详解】A 项：因为22am bm >，20m >，所以a b >，A 正确；当0a b 时，22a aa b b b ，当0a b >≥时，22a a ab b b ，综上所述，a ab b 成立，B 正确；C 项：因为0b a >>，0m >， 所以0a m b a b mb a ma m a ab mb ab amb m bb b mb b mb b m，C 正确；D 项：因为0a b >>，ln ln a b =，所以1a b =，1a >，122a b a a， 设()()121f a a a a =+>，因为2120f aa，所以函数()f a 在区间()1,+∞上单调递增， 故13f af ，即()23,a b +∈+∞，D 正确，故选：ABCD. 【点睛】本题主要考查绝对值不等式的证明以及导数的灵活应用，考查通过去绝对值证明绝对值不等式，考查化归与转化思想以及函数方程思想，考查分类讨论思想，考查计算能力，是中档题.11．已知函数()122log xf x x =-，且实数a ，b ，()0c a b c >>>满足()()()0f a f b f c <.若实数0x 是函数()y f x =的一个零点，那么下列不等式中可能成立的是（ ） A ．0x a < B ．0x a > C ．0x b < D ．0x c <【答案】ABC【解析】先判断()f x 单调性，根据题设条件，得到()()(),,f a f b f c 的符号，结合零点的定义，即可求解. 【详解】由题意，函数()1222log 2log xxf x x x =-=+，可知函数()f x 在区间()0,∞+上单调递增，则()()(),,f a f b f c 可能()()()0,0,0f b f a f c >><或()()()0,0,0f a f b f c <<<，又由实数0x 是函数()y f x =的一个零点，即()00f x =, 综上可得，只有x c >成立，结合选项，可得不等式中可能成立的是0x a <，0x a >和0x b <. 故选：ABC. 【点睛】本题主要考查了函数的零点的概念，以及指数函数、对数函数的单调性的应用，其中解答中熟记指数函数与对数函数的图象与性质，结合函数零点的概念求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 12．已知函数()ln f x x =，若()f x 在1x x =和()212x x x x =≠处切线平行，则（ ） A．12= B ．12128x x <C ．1232x x +<D ．2212512x x +>【答案】AD【解析】根据()()12f x f x =''，即可判断A 选项；再结合均值不等式即可判断其它选项. 【详解】由题意知1()(0)f x x x'=->，因为()f x 在1x x =和()212x x x x =≠处切线平行， 所以()()12f x f x ''=，1211x x -=-，12=，A 正确； 由基本不等式及12x x ≠，可得12=>12256x x >，B错误；1232x x +>>，C 错误；2212122512x x x x +>>，D 正确．故选：AD本题考查利用导数的几何意义处理切线平行的问题，涉及均值不等式的使用，属综合中档题.三、填空题13．已知cos θ=，且,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan 2θ=__________．【答案】43【解析】先利用已知条件和同角三角函数的关系求出tan θ的值，再利用正切的二倍角公式可求出tan 2θ的值. 【详解】解：因为cos 5θ=-，且,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin θ===， 所以sin tan 2cos θθθ==-， 所以222tan 2(2)4tan 21tan 1(2)3θθθ⨯-===---，故答案为：43． 【点睛】三角函数的化简求值问题，可以从四个角度去分析：（1）看函数名的差异；（2）看结构的差异；（3）看角的差异；（4）看次数的差异．对应的方法是：弦切互化法、辅助角公式（或公式的逆用）、角的分拆与整合（用已知的角表示未知的角）、升幂降幂法． 14．一组数据的平均数是8，方差是16，若将这组数据中的每一个数据都减去4，得到一组新数据，则所得新数据的平均数与方差的和是________． 【答案】20【解析】根据新数据与原数据平均数与方差的关系直接求解,即得结果. 【详解】因为原数据平均数是8，方差为16，将这组数据中的每一个数据都减去4，所以新数据的平均数为844-=，方差不变仍为16，所以新数据的方差与平均数的和为20． 故答案为：20本题考查新数据与原数据平均数与方差的关系，考查基本分析求解能力，属基础题. 15．已知A ，B ，C 为球O 的球面上的三个定点．60ABC ∠=︒，2AC =，P 为球O 的球面上的动点，记三棱锥РABC -的体积为1V ，三棱锥O ABC -的体积为2V ．若12V V 的最大值为3．则球O 的表面积为________． 【答案】649π【解析】先求出ABC 的外接圆半径，根据题意确定12V V 的最大值取法，再根据12V V 的最大值为3，解得球半径，最后根据球的表面积公式得结果. 【详解】如图所示，设ABC 的外接圆圆心为1O ，半径为r ，则1OO ⊥平面ABC ． 设球O 的半径为R ，1OO d =，则2432sin sin 603AC r ABC ===∠︒，即233r =．121313P ABCABCP ABC ABC h S h V V d d S --⋅⋅==⋅⋅所以当P ，O ，1O 三点共线时，12max3V R dV d ⎛⎫+==⎪⎝⎭，即2R d =． 由222R d r =+，得2169R =，所以球O 的表面积26449S R ππ==． 故答案为：649π【点睛】本题考查三棱锥及其外接球的体积，考查空间想象能力以及基本分析求解能力，属中档四、双空题16．已知直线:2l y x b =+与抛物线()2:20C y px p =>相交于A 、B 两点，且5AB =，直线l 经过C 的焦点．则p =________，若M 为C 上的一个动点，设点N 的坐标为()3,0，则MN 的最小值为________．【答案】2【解析】将直线l 的方程与抛物线C 的方程联立，列出韦达定理，利用抛物线的焦点弦长公式可求得p 的值，设点()00,M x y ，可得()200040y x x =≥，利用两点间的距离公式结合二次函数的基本性质可求得MN 的最小值. 【详解】由题意知，直线:2l y x b =+，即22b y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭． 直线l 经过抛物线()2:20C y px p =>的焦点，22b p∴-=，即b p =-． ∴直线l 的方程为2y x p =-．设()11,A x y 、()22,B x y ，联立222y x p y px=-⎧⎨=⎩，消去y 整理可得22460x px p -+=，由韦达定理得1232p x x +=， 又5AB =，12552x p p x ∴++==，则2p =，∴抛物线2:4C y x =．设()()000,0M x y x ≥，由题意知2004y x =，则()()()2222200000334188x y x x MNx =-+=-+=-+≥，当01x =时，2MN 取得最小值8，MN ∴的最小值为．故答案为：2；. 【点睛】本题考查利用抛物线的焦点弦长求参数，同时也考查了抛物线上的点到定点距离最值的求解，考查了抛物线方程的应用，考查计算能力，属于中等题.五、解答题17．请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题①2252b c +=；②ABC 的面积为；③26AB AB BC +⋅=-.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .在已知2b c -=，A 为钝角，sin A （1）求边a 的长；（2）求sin 26C π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.【答案】选择条件见解析；（1）8a =；（2）1764.【解析】（1）方案一：选择条件①，结合向量数量积的性质可求bc ，进而可求b ，c ，然后结合余弦定理可求；方案二：选择条件②：由已知即可直接求出b ，c ，然后结合余弦定理可求； 方案三：选择条件③，由已知结合三角形的面积公式可求bc ，进而可求b ，c ，然后结合余弦定理可求．（2）由余弦定理可求cos C ，然后结合同角平方关系及二倍角公式，和差角公式即可求解． 【详解】方案一：选择条件①（1）由22522b c b c ⎧+=⎨-=⎩，解得64b c =⎧⎨=⎩，A 为钝角，sin A 1cos 4A =-，则22212cos 3616264644a b c bc A ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭， 故8a =；（2）2226436167cos 22868a b c C ab +-+-===⨯⨯，∴sin 8C ==，∴217cos 22cos 132C C =-=，sin 22sin cos 32C C C ==， ∴sin 2sin 2cos cos 2sin 666C C C πππ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭1711732232264=-⨯=； 方案二：选择条件②（1）sin A =1sin 2ABC S bc A ===△24bc =， 由242bc b c =⎧⎨-=⎩，解得64b c =⎧⎨=⎩，则22212cos 3616264644a b c b A ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭， 故8a =；（2）2226436167cos 22868a b c C ab +-+-===⨯⨯，∴sin C ==，∴217cos 22cos 132C C =-=，sin 22sin cos C C C ==， ∴sin 2sin 2cos cos 2sin 666C C C πππ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭1711732232264=-⨯=； 方案三：选择条件③：（1）A 为钝角，sin A =1cos 4A =-，2()cos 6AB AB BC AB AB BC AB AC bc A +⋅=⋅+=⋅==-，24bc =，由242bc b c =⎧⎨-=⎩，解得6b =，4c =，则22212cos 3616264644a b c bc A ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭， 故8a =；（2）2226436167cos 22868a b c C ab +-+-===⨯⨯，∴sin C ==， ∴217cos 22cos 132C C =-=，sin 22sin cos C C C ==， ∴sin 2sin 2cos cos 2sin 666C C C πππ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭171322=-⨯=. 【点睛】本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式，和差角公式、二倍角公式在求解三角形中的应用，属于中档试题．18．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，若611a =，且2a ，5a ，14a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设11n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S .【答案】（1）21n a n =-；（2）21n nS n =+. 【解析】（1）利用等差数列的通项公式以及等比中项列方程组可求解. （2）利用裂项求和法即可求解. 【详解】 （1）611=a ，1511a d ∴+=，①2a ，5a ，14a 成等比数列，∴2111(4)()(13)a d a d a d +=++，化简得212d a d =，②又因为0d ≠且由①②可得，11a =，2d =.∴数列的通项公式是21n a n =-（2）由（1）得111111()(21)(21)22121n n n b a a n n n n +===--+-+， 12111111(1)23352121n n S b b b n n ∴=++⋯+=-+-+⋯+--+11(1)221n =-+21nn =+ 所以21n nS n =+. 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、裂项求和法，考查了基本运算求解能力，属于基础题. 19．如图所示，在三棱柱中111ABC A B C -，侧面11ABB A 是矩形，2AB =，122AA =，D 是1AA 的中点，BD 与1AB 交于O ，且CO ⊥面11ABB A .（1）求证：1BC AB ⊥；（2）若OC OA =，求二面角D BC A --的余弦值. 【答案】（1）详见解析；（2）105. 【解析】（1）推导出DB ⊥AB 1，1CO AB ⊥，从而AB 1⊥平面BDC ，由此能证明AB 1⊥BC ，（2）以O 为坐标原点，OA ，O 1B ，OC 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D BC A --的余弦值． 【详解】解：（1）由于侧面11ABB A 是矩形，D 是中点， 故12tan 2AB B ∠=，2tan 2ABD ∠=，所以1AB B ABD ∠=∠，又1190BAB AB B ∠+∠=， 于是190BAB ABD ∠+∠=，1BD AB ⊥，而CO ⊥面1ABB A ，所以1CO AB ⊥1AB ⊥面BCD ，得到1BC AB ⊥（2）如图，建立空间直角坐标系，则20,3,03A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，26,0,03B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，20,0,33C⎛⎫⎪⎝⎭，6,0,03D⎛⎫⎪⎪⎝⎭可以计算出面ABC的一个法向量的坐标为()11,2,2n=-而平面BCD的一个法向量为()20,1,0n=设二面角D BC A--的大小为θ，则121210cos5n nn nθ⋅==【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．20．如图，设点A，B的坐标分别为(3,0)-，(3,0)，直线AP，BP相交于点P，且它们的斜率之积为23-.（1）求P的轨迹方程；（2）设点P的轨迹为C，点M､N是轨迹为C上不同于A，B的两点，且满足//AP OM，//BP ON，求MON△的面积.【答案】（1）(221332x yx+=≠；（2）62.【解析】（1）先设动点坐标，根据条件斜率之积为23-列方程即得解；（2）由平行条件得斜率关系得23OM ONk k=-，即得坐标关系121223y yx x=-；设直线MN的方程x my t =+，与椭圆方程联立，利用韦达定理可得韦达定理，代入121223y y x x =-可得22223t m =+，再求三角形面积，将22223t m =+代入化简即得解. 【详解】（1）由已知设点P 的坐标为(),x y ，由题意知(23AP BP k k x ⋅==-≠，化简得P的轨迹方程为(22132x y x +=≠.（2）证明：由题意M N 、是椭圆C 上非顶点的两点，且//AP OM ，//BP ON ， 则直线AP ，BP 斜率必存在且不为0，又由已知23AP BP k k =-⋅. 因为//AP OM ，//BP ON ，所以23OM ON k k =-. 设直线MN 的方程为x my t =+，代入椭圆方程22132x y+=，得()222324260m ymty t +++-=，设,M N 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，则2121222426,3232mt t y y y y m m-+=-=++. 又()2121222221212122636OM ONy y y y t k k x x m y y mt y y t t m -===+++-， 所以222262363t t m -=--，得22223t m =+.又1212MONSt y y ∆=-=， 所以2MONS∆==，即MON △的面积为定值2.【点睛】本题主要考查动点的轨迹方程的求法，考查椭圆中的定值问题的求解，考查直线和椭圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算分析推理能力》 21．某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为(01)p p <<，且各件产品是否为不合格品相互独立．（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为()f p ,求()f p 的最大值点0p ； （2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的0p 作为p 的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．（i ）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X ，求EX ;（ii ）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？【答案】（1）0.1；（2）（i ）490；（ii ）应该对余下的产品作检验.【解析】（1）利用独立重复实验成功次数对应的概率，求得()()182220C 1f p p p =-，之后对其求导，利用导数在相应区间上的符号，确定其单调性，从而得到其最大值点，这里要注意01p <<的条件；（2）先根据第一问的条件，确定出0.1p =，在解（i ）的时候,先求件数对应的期望，之后应用变量之间的关系，求得赔偿费用的期望；在解（ii ）的时候，就通过比较两个期望的大小，得到结果. 【详解】（1）20件产品中恰有2件不合格品的概率为()()182220C 1f p p p =-. 因此()()()()()1817172222020C 211812C 1110f p p p p p p p p ⎡⎤='---=--⎣⎦.令()0f p '=，得0.1p =.当()0,0.1p ∈时，()0f p '>；当()0.1,1p ∈时，()0f p '<. 所以()f p 的最大值点为00.1p =； （2）由（1）知，0.1p =.（i ）令Y 表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知()180,0.1Y B ~，20225X Y =⨯+，即4025X Y =+.所以()40254025490EX E Y EY =+=+=.（ii ）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元.由于400EX >，故应该对余下的产品作检验. 【点睛】该题考查的是有关随机变量的问题，在解题的过程中，一是需要明确独立重复试验成功次数对应的概率公式，再者就是对其用函数的思想来研究，应用导数求得其最小值点，在做第二问的时候，需要明确离散型随机变量的可取值以及对应的概率，应用期望公式求得结果，再有就是通过期望的大小关系得到结论. 22．已知0a >，函数()ln (1),()x f x x a x g x e =--=.（1）经过原点分别作曲线(),()y f x y g x ==的切线12l l 、，若两切线的斜率互为倒数，证明：211e e a e e--<<； （2）设()(1)()h x f x g x =++，当0x ≥时，()1h x ≥恒成立，试求实数a 的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）](,2-∞.【解析】（1）求出两条直线的斜率，设1l 与曲线()y f x =的切点为()11,x y 1111111e e x y ax a x ⇒==-⇒=-，令11()ln 1m x x x e=-+-利用导数单调性可得答案；（2）构造函数()(1)()h x f x g x =++ln(1)e xx ax =+-+，求其导数利用函数的单调性，得出()h x 在区间()00,x 上递减，在区间()0,x +∞递增，又()0(0)1h x h <=，得到实数a 的取值范围. 【详解】（1）设切线22:l y k x =，切点为()22,x y .则22e x y =，()22222e x y k g x x ===' 22x 22e e 1x x x ⇒=⇒=，2e y =2e k ⇒=.由题意，知切线1l 的斜率为1211e k k ==，方程为1ey x =.设1l 与曲线()y f x =的切点为()11,x y . 则()111111y k f x a x x =-='= 1111111e ex y ax a x ⇒==-⇒=-. 又()111ln 1y x a x =--，消去1y ､a 后，整理得1111ln 10ex x -+-=. 令11()ln 1m x x x e=-+-，则 22111()x m x x x x-'=-=. 于是，()m x 在区间()0,1上单调递减，在区间()1,+∞上单调递增.若1(0,1)x ∈，由112e 0e e m ⎛⎫=-+-> ⎪⎝⎭，()110e m =-<， 则11,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.而111e a x =-在11,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递减， 故211e e a e e--<<. 若()11,x ∈+∞，因为()m x 在区间()1,+∞上单调递增，则()0m e =，所以，1110a x e=-=，这与题设0a >矛盾. 综上，211e e a e e--<<. （2）注意到，()(1)()h x f x g x =++ ln(1)e x x ax =+-+1()e 1x h x a x =++'⇒-.第 1 页 共 6 页 i .当2a ≤时，由1x e x ≥+，则1()e 1x h x a x =+-+' 11201x a a x ≥++-≥-≥+. 于是，()h x 在区间[]0,+∞上递增，()0()1h x h x ≥=恒成立，符合题意. ii .当2a >时，由[0,)x ∈+∞，且2221(1)e 1()e 0(1)(1)x xx h x x x +-=-=≥+'+'， 则()h x '在区间[]0,+∞上递增.又(0)20h a '=-<，则存在0(0,)x ∈+∞，使得()00h x '=.于是，()h x 在区间()00,x 上递减，在区间()0,x +∞递增.又()0(0)1h x h <=，此时，()1h x ≥不恒成立，不符合题意.综上，实数a 的取值范围是](,2-∞.【点睛】本题主要考查利用导数研究曲线的切线及结合方程有零点存在得到不等式的证明；考查利用导数处理函数最值和不等式恒成立的问题.。

深圳市高级中学2025届高三第二次诊断考试数学2024.11（本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟）一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1.已知集合，则（ ）A. B. C. D.2.直线的倾斜角为，则（ ）A.B. C. D.3.已知圆锥的侧面展开图是圆心角为且弧长为的扇形，则该圆锥的体积为（ ）A.4.已知公差不为0的等差数列中，且，则（）A.30B.C. D.405.已知，则（ ）A.B.3C.D.46.在三棱锥中，，平面平面，则三棱锥外接球表面积为（ ）A.B.D.7.已知都是正实数，，则的最小值为（ ）A.2C.D.8.已知函数的定义域为为奇函数，，则（ ）A.为奇函数B.的图象关于直线对称2111,024A x x B x x ⎧⎫⎧⎫=-≤≤=->⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭A B ⋂=1,12⎧⎫-⎨⎬⎩⎭11,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭1122x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭112x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭3450x y +-=θsin θ=3535-4545-π22π4π3π{}n a 123a a a +=132aa a =1210a a a +++= 10031103()11sin ,cos sin 34αβαβ+==tan tan αβ=1334A BCD -2,AB AD BD BC CD ====ABD ⊥CBD A BCD -16π38π33π,a b 24ab a b ++=a b +2-3-1-()f x (),21R f x +()()()221f x f x f ++=()f x ()f x 3x =C.的最小正周期为4D.的图象关于点对称二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知正方体棱长为1，下列结论正确的是（ ）A.直线与所成角为B.直线到平面C.点到直线D.平面与平面所成角的余弦值为10.已知为等差数列，为等比数列，的公差为的公比为，，下列结论正确的是（）A.若，则为递增数列B.若，则为递减数列C.若，则为递增数列D.若，则为递增数列11.在锐角三角形中，外接圆的半径为，则（ ）A.B.C.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若，为虚数单位，则__________.()2f x ()2f x 1,02⎛⎫⎪⎝⎭1111A B C D ABCD -BC 1CD π41BC 11AC D B 1AC 11AB C 1D B C 13{}n a {}n b {}n a {},n d b q 110a b =>0d >{}n a 0q <{}n b 10q d >>>{}n n a b 10q d >>>n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭ABC π1,,3AC A ABC ∠==R 122AB <<102AB <<112R <<1222BC AB <-<-()1i 1i z+=-i z =13.是等比数列的前项和，已知，则__________.14.在三棱锥中，与中点分别为，点为中点.若在上满足在上满足，平面交于点，且，则__________.四､解答题：本大题共小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（13分）记的内角所对的边分别是的面积为.若，（1）求；（2）若，求的值.16.（15分）我们知道关于的二元一次方程表示直线，但有的二元二次方程也能表示直线，比如表示的就是和两条直线.（1）求方程表示的直线与轴围成的面积；（2）若方程表示的是两条直线，求.17.（15分）四棱锥中，底面为正方形，为锐角.（1）求证：平面平面；（2）若与平面所成角为与平面夹角的余弦值.18.（17分）已知函数有两个零点，（1）求的单调区间和极值；（2）当时，恒成立，求实数的最小值；（3）证明：.19.（17分）设集合，对于集合到集合的函数，记其中满足n S {}n a n 33336,3a S S a +==2a =P ABC -ABPC ,M N G MN D PA 2,3PD PA E = PB 34PE PB = DEG PC F P F P C λ=λ=5ABC ,,A B C ,,,a b c ABC S 222S a b c =-+B sin sin 1A C +=πsin 6A ⎛⎫+⎪⎝⎭,x y 220x y -=0x y +=0x y -=()()2210x y x y -+++=y 22210xy ax y -++-=a P ABCD -ABCD 2,,AB PB AD PAB ∠=⊥PAB ⊥ABCD PD ABCD π,3PB =PAB PCD ()ln f x x x a =-()1212,x x x x <()f x (]0,1x ∈()()21f x k x a ≥--k 2221e 4a x x -<{}()1,2,3,,i A i i +=∈Ni A i A :i i f A A →的函数为“回函数”.对于任意给定的集合，“回函数”的个数记为.数列的第项为.例如，“回函数”仅有一个，即，满足，所以，“回函数”有两个，即和，这两个函数都能满足，所以.（1）求；（2）当时，给出和之间的关系式并证明；（3）证明：时，.()()f f x x =i A i a {}n a i i a {}11A =()1f x =()()()111f f f =={}121;1,2a A ==()11,12,2x f x x =⎧=⎨=⎩()22,11,2x f x x =⎧=⎨=⎩()()f f x x =22a =3a 2n ≥1,n n a a +1n a -2n ≥()()1223nn n n a --≥+深圳市高级中学2025届高三第二次诊断考试数学参考答案1DACC AACD 9.BCD 10.AC11.AC12.113.或 14.14.解答：在平面上，使得，其中，得15.（1）得，得（2）16.（1）表示的直线为和，联立，得两直线交点为，两直线与轴交点分别为和两直线与轴围成的三角形面积为（2）若方程表示两条直线，则该方程必能表示为两个二元一次方程的乘积，8-323-671111122444PG PM PN PA PB PC=+=++G DEF ,,x y z ∴∃∈R PG xPD yPE zPF =++1x y z ++=2321311,,3434444PG xPA y PB z PC x y z λλ∴=++∴===3111834λ∴++=67λ=1sin 2S ac B= 222sin 2cos B a c b ac B =+-=()tan 0,πB B =∈ π3B =()sin sin sin sinA C A AB +=++πsin sin 3A A ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1sin sin 2A A A=++π16A ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭πsin 6A ⎛⎫∴+=⎪⎝⎭()()2210x y x y -+++=20x y -+=210x y ++=20210x y x y -+=⎧⎨++=⎩()1,1-y ()0,2()0,1-∴y()1312122⨯⨯--=22210xy ax y -++-=则，解得17（1）四边形为正方形，又，且平面平面平面平面（2）以为原点分别为轴，过作平面的垂线，以该垂线为轴由（1）可知轴在平面内由题意可得易知平面的法向量为，得，解得或为锐角，，设平面的法向量为，得，取，得易得平面的法向量为，设平面与平面夹角为，则()()2221x y ax y x y m x y n -++-=++-+()()222221xy ax y x y m n x n m y mn-++-=-+++-+21n m mn -=⎧∴⎨=-⎩11m n =-⎧⎨=⎩0a m n ∴=+= ABCD AD AB ∴⊥AD PB ⊥AP AB A⋂=AD ∴⊥PAB AD ⊆ ABCD ∴PAB ⊥ABCDA AB AD ､x y ､A ABCD z z PAB ()()()()0,0,0,2,0,0,0,2,0,2,2,0AB DC ()()(),0,,,2,,2,0,P x z DP x z BP x z =-=-则ABCD ()0,0,1n=πsin 3DP nDP n BP ⎧⋅⎪=⎪∴⎨⎪=⎪⎩2222312420x z x x z ⎧+=⎨-+=⎩2x =1x =-PAB ∠2,x z ∴==(()2,2,,2,0,0DP DC ∴=-=PCD ()1,,m x y z = 1200DP m DC m ⎧⋅=⎪∴⎨⋅=⎪⎩22020x y x ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩1z=()1m = PAB ()20,1,0m =PAB PCD θ.综上，平面与平面.18.（1）令，得时，单调递减，时，单调递增，的极小值为，无极大值（2），即，令时，时，，而，不合题意；时，，显然为减函数当，即时，则单调递增且，时，单调递减当时，时，单调递增且使得，且时，单调递减，时，单调递增，不合题意.综上的最小值为.（3）当时，，若，则，则在没有零点，又在上单调递增，所以最多只有1个零点，不合题意12cos cos ,m m θ== PAB PCD ()ln 1f x x =+'()0f x '=1ex =10,e x ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭()()0,f x f x '<1,e x ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭()()0,f x f x '>()f x 11e e f a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()()21f x k x a ≥--()2ln 10x x k x --≥()()()2ln 1,10g x x x k x g =--=0k ≤()0,1x ∈()210k x ->ln 0x x <0k >()()ln 12,112g x x kx g k'=+-=-'()12g x k x=-''()"g x 12k =()"1120g k =-=(]()()0,1,0,x g x g x '≥'∈'()1120g k =-='(]0,1x ∴∈()()0,g x g x '≤()()10g x g ∴≥=102k <<()"1120g k =->(]0,1x ∴∈()()0,g x g x >'''()121120,0e e k g k g '⎛⎫=->=-⎪⎝⎭'< 01,1e x ⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭()00g x '=()00,x x ∈()()0,g x g x '<()0,1x x ∈()()0,g x g x '>()()()0,1,10x x g x g ∴∈<=k 12()0,1x ∈ln 0x x <0a ≥()0f x <()f x ()0,1()f x [)1,∞+()f x，又由（2）可知，解得欲证，即证，即证即证令得的最小值为，即，易知，综上19.（1）分别是（2）时，分别表示集合中“回函数”个数中“回函数”的个数计算分两种情况：i.若，则其他元素不可能对应到，否则通过两次对应后不可能到达自身，即其他个元素之间只能在内部对应，所以这种情况的“回函数”的个数为；ii.若，由于一个元素经过两次对应必须回到自身，所以必有，而除和之外的元素也不能对应或，即其他个元素只能在它们内部对0a ∴<1110,0e e e f a a ⎛⎫=--<∴-<< ⎪⎝⎭()21110,0,1e ef a f x ⎛⎫=-><∴<< ⎪⎝⎭()()2221012f x x a =>--2x <2221e4a x x -<221e 4a x >a >=()1110,ln f x a x x =∴= ∴11ln x x >1ln 0x >()()12332211e 1ln e e x x x x xx x ϕϕ-=='=+-()x ϕ210e ϕ⎛⎫=⎪⎝⎭()0x ϕ≥11121,ln e x x x ≠∴>-221e 4a x ∴>2221e 4a x x --34a =()()()()12341,12,13,11,12,2,1,2,2,2,3,23,33,31,32,3x x x x f x x f x x f x x f x x x x x x ⎧⎧⎧====⎧⎪⎪⎪⎪=========⎨⎨⎨⎨⎪⎪⎪⎪====⎩⎩⎩⎩2n ≥111,,n n n n n a a na a a +--=+1,n n A A -1n A +()11f n n +=+1n +n n a ()()11,2,3,,f n m m n +== ()1f m n =+m 1n +m 1n +1n -应，所以“回函数”的个数为，又有种选择，所以这种情况的“回函数”个数为.综上，（3）易知时，，即单调递增时，，且满足不等式综上，时，.1n a -m n 1n na -112,n n n n a a na +-≥=+0n a >2n ≥11n n n a a na +-=+110,n n n n a a na a +--=>11112,1n n n n a a n a a na n+-∴≥=∴≥=+≥+11,n a a n=∴≥ 3n ∴≥()()()()()11232231122n n n n n n a a a a a a n a n a a ------+-++-=-+-++ ()()()()122321n n n n ≥--+--++⨯ ()()()()()()()112121233n n n n n n n n ⎡⎤--=------⎣⎦ ()()()()()()121223213n n n n n n n --∴--+--++⨯=()()1223n n n n a --∴≥+22a =2n ≥()()1223nn n n a --≥+。

深圳高级中学（集团）2021-2022学年第一学期期末考试高一数学一､单项选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出地四个选项中,只有一项符合题目要求.1 已知集合U =R ,{}220A x x x =-<∣,{}lg(1)B x y x ==-∣,则A B = （ ）A. (0,2)B. (0,1)C. (1,2)D. [1,2)-【结果】C 【思路】【思路】解一圆二次不等式求出集合A ,解不等式10x ->求出集合B ,再进行交集运算即可求解.【详解】因为{}(){}{}2|20|20|02A x x x x x x x x =-<=-<=<<,{}{}{}lg(1)|101B x y x x x x x ==-=->=>∣∣,所以{}()|121,2A B x x ⋂=<<=,故选：C.2. 若命题“R x ∀∈,210x ax ++≥”是假命题,则实数a 地取值范围为（ ）A. ()(),22,∞∞--⋃+ B. (],2-∞-C. [)2,+∞ D. (][),22,-∞-+∞U 【结果】A 【思路】【思路】由题意知原命题为假命题,故命题地否定为真命题,再利用0∆>,即可得到结果.【详解】由题意可得“2000,10x R x ax ∃∈++<”是真命题,故240,2a a ∆=->⇒>或2a <-.故选：A.3. “0x >”是“20x x +>”地（ ）A. 充分不必要款件B. 必要不充分款件C. 充分必要款件D. 既不充分也不必要款件【结果】A.【思路】【思路】化简不等式20x x +>,再利用充分款件，必要款件地定义直接判断作答.【详解】解不等式20x x +>得：1x <-或0x >,所以“0x >”是“20x x +>”地充分不必要款件.故选：A4. 已知函数42x y a +=+（0a >,且1a >）地图象恒过点P ,若角α地终边经过点P ,则sin α=（ ）A.35B. 35-C.45D. 45-【结果】A 【思路】【思路】由题可得点()43P ,-,再利用三角函数地定义即求.【详解】令40x +=,则4,3x y =-=,所以函数42x y a +=+（0a >,且1a ≠）地图象恒过点()43P ,-,又角α地终边经过点P ,所以3sin 5α=,故选：A.5. 设tan 92a =︒,21b π⎛⎫= ⎪⎝⎭,log 92c π=,则a ,b ,c 地大小关系是（ ）A. c a b>> B. c b a>> C. a b c>> D.b a c>>【结果】B 【思路】【思路】依据正切函数,指数函数,对数函数性质估计a b c ，，地大小,由此确定它们地大小关系.【详解】∵92︒是第二象限角,∴tan 920a =︒<,∵ 指数函数1xy π⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上为减函数,且023<<,∴3211101πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<<= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,∴ 01b <<,∵log y x π=为(0,)+∞上地增函数,92π<∴log 921c π=>,∴c b a >>故选：B.6. 设正实数,x y 满足21x y +=,则xy 地最大值为（ ）A.12B.14C.18D.116【结果】C 【思路】【思路】依据基本不等式可求得最值.【详解】由基本不等式可得2x y +≥,即1≤,解得18xy ≤,当且仅当2x y =,即14x =,12y =时,取等号,故选：C.7. 函数()()3ln 33x f x x -=-地部分图象大约为（ ）A. B.C. D.【结果】C 【思路】【思路】依据给定函数探讨其对称性可排除选项A ,B 。

一、数列的概念选择题1．已知数列{}n a 的通项公式为()()211nn a n=--，则6a =（ ）A ．35B ．11-C ．35-D ．112．已知数列{}n a 的前n 项和223n S n n =-，则10a ＝（ ）A ．35B ．40C ．45D ．503．已知数列{}n a ，若()12*Nn n n a a a n ++=+∈，则称数列{}na 为“凸数列”.已知数列{}nb 为“凸数列”，且11b =，22b =-，则数列{}n b 的前2020项和为（ ） A ．5B ．5-C ．0D ．1-4．数列{}n a 满足 112a =，111n n a a +=-，则2018a 等于( )A ．12B ．－1C ．2D ．35．在数列{}n a 中，()1111,1(2)nn n a a n a --==+≥，则5a 等于A ．32B ．53 C ．85D ．236．数列1，3，6，10，…的一个通项公式是（ ）A ．()21n a n n =-- B ．21n a n =-C ．()12n n n a +=D ．()12n n n a -=7．在数列{}n a 中，114a =-，111(1)n n a n a -=->，则2019a 的值为（ ） A ．45B ．14-C ．5D ．以上都不对8．数列{}n a 中，12a =，121n n a a +=-，则10a =（ ） A ．511B ．513C ．1025D ．10249．已知数列{}n a 满足12a =，111n na a +=-，则2018a =（ ）. A ．2B ．12 C ．1-D ．12-10．已知数列{}n a 中，11a =，122nn n a a a +=+，则5a 等于（ ） A ．25B ．13 C ．23D ．1211．已知数列{}n a 的前5项为：12a =，232a =，343a =，454a =，565a =，可归纳得数列{}n a 的通项公式可能为（ ） A ．1+=n n a nB ．21n n a n +=+ C ．3132n n a n -=-D ．221n na n =- 12．若数列{}n a 满足：存在正整数T ，对于任意正整数n 都有1n n a a +=成立，则称数列{}n a 为周期数列，周期为T ．已知数列{}n a 满足()111,10,{1,01n n n n na a a m m a a a +->=>=<≤ ，则下列结论错误的是（ ） A ．若34a =，则m 可以取3个不同的数； B．若m =，则数列{}n a 是周期为3的数列；C ．存在m Q ∈，且2m ≥，数列{}n a 是周期数列；D ．对任意T N *∈且2T ≥，存在1m >，使得{}n a 是周期为T 的数列．13．已知数列{a n }满足112,0,2121, 1.2n n n n n a a a a a +⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩若a 1=35,则a 2019 = ( )A ．15B ．25C ．35D ．4514．已知数列{}n a 满足：113a =，1(1)21n n n a na n ++-=+，*n N ∈，则下列说法正确的是（ ） A ．1n n a a +≥ B ．1n n a a +≤C ．数列{}n a 的最小项为3a 和4aD ．数列{}n a 的最大项为3a 和4a 15．数列{}n a 满足1111,(2)2n n n a a a n a --==≥+，则5a 的值为（ ）A ．18B ．17 C ．131D ．1616．数列1111,,,57911--，…的通项公式可能是n a =（ ） A ．1(1)32n n --+B ．(1)32n n -+C ．1(1)23n n --+D ．(1)23nn -+17．大衍数列，来源于《乾坤普》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两翼数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，……则此数列的第40项为（ ）． A ．648B ．722C ．800D ．88218．已知数列{}n a 满足1N a *∈，1,2+3,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪⎩为偶数为奇数，若{}n a 为周期数列，则1a 的可能取到的数值有（ ） A ．4个B ．5个C ．6个D ．无数个19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知13n n S +=，则34a a +=（ ）A ．81B ．243C ．324D ．21620．数列1,3,5,7,9,--的一个通项公式为（ ）A ．21n a n =-B ．()1(21)nn a n =--C ．()11(21)n n a n +=--D ．()11(21)n n a n +=-+二、多选题21．已知数列{}n a ：1，1，2，3，5，…其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．68S a = B ．733S =C ．135********a a a a a ++++= D ．2222123202020202021a a a a a a ++++=22．已知数列{}n a 满足()*111n na n N a +=-∈，且12a =，则（ ） A ．31a =- B ．201912a =C ．332S =D ． 2 01920192S =23．著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，记S n 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．68a = B ．733S =C ．135********a a a a a ++++=D ．22212201920202019a a a a a +++= 24．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并且满足条件11a >，667711,01a a a a -><-，则下列结论正确的是（ ） A ．01q <<B ．681a a >C ．n S 的最大值为7SD ．n T 的最大值为6T25．已知S n 是等差数列{}n a (n ∈N *)的前n 项和，且S 5>S 6>S 4，以下有四个命题，其中正确的有（ ）A ．数列{}n a 的公差d <0B ．数列{}n a 中S n 的最大项为S 10C ．S 10>0D ．S 11>026．(多选)在数列{}n a 中，若221(2,,n n a a p n n N p *--=≥∈为常数)，则称{}n a 为“等方差数列”.下列对“等方差数列”的判断正确的是（ ） A ．若{}n a 是等差数列，则{}n a 是等方差数列 B ．(){}1n- 是等方差数列C ．{}2n是等方差数列.D ．若{}n a 既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列27．已知数列{}n a 满足：12a =，当2n ≥时，)212n a =-，则关于数列{}n a 的说法正确的是 （ ）A ．27a =B ．数列{}n a 为递增数列C ．221n a n n =+-D ．数列{}n a 为周期数列28．已知递减的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，57S S =，则（ ） A ．60a > B ．6S 最大 C ．130S >D ．110S >29．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对于任意的m ，*n N ∈，都有m n m n a a a +=+，则下列结论正确的是（ ）A ．11285a a a a +=+B ．56110a a a a <C ．若该数列的前三项依次为x ，1x -，3x ，则10103a =D ．数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为递减的等差数列30．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10a >，公差0d ≠，则（ ） A ．若59S >S ，则150S > B ．若59S =S ，则7S 是n S 中最大的项 C ．若67S S >， 则78S S > D ．若67S S >则56S S >.31．定义11222n nn a a a H n-+++=为数列{}n a 的“优值”.已知某数列{}n a 的“优值”2nn H =，前n 项和为n S ，则（ ）A ．数列{}n a 为等差数列B ．数列{}n a 为等比数列C ．2020202320202S = D ．2S ，4S ，6S 成等差数列32．等差数列{}n a 的首项10a >，设其前n 项和为{}n S ，且611S S =，则（ ） A ．0d > B ．0d <C ．80a =D ．n S 的最大值是8S 或者9S33．(多选题)等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10a >，公差0d ≠，则下列命题正确的是（ ）A ．若59S S =，则必有14S =0B ．若59S S =，则必有7S 是n S 中最大的项C ．若67S S >，则必有78S S >D ．若67S S >，则必有56S S >34．在下列四个式子确定数列{}n a 是等差数列的条件是（ ）A ．n a kn b =+（k ，b 为常数，*n N ∈）；B ．2n n a a d +-=（d 为常数，*n N ∈）；C ．()*2120n n n a a a n ++-+=∈N ； D ．{}n a 的前n 项和21n S n n =++（*n N ∈）.35．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1385a a S +=，则下列结论一定正确的是（ ） A ．100a = B ．当9n =或10时，n S 取最大值 C ．911a a <D ．613S S =【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、数列的概念选择题 1．A 解析：A 【分析】直接将6n =代入通项公式可得结果. 【详解】 因为()()211nn a n=--，所以626(1)(61)35a =--=.【点睛】本题考查了根据通项公式求数列的项，属于基础题.2．A解析：A 【分析】利用()n n n a S S n 12－＝－，根据题目已知条件求出数列的通项公式，问题得解.【详解】223n S n n =-,n 2∴≥时，1n n n a S S -=-22(23[2(1)3(1)]n n n n ）=-----=45n1n = 时满足11a S ＝ ∴ =45n a n ，∴ 10a ＝35故选：A. 【点睛】本题考查利用n a 与n S 的关系求通项. 已知n S 求n a 的三个步骤: (1)先利用11a S ＝求出1a .(2)用1n -替换n S 中的n 得到一个新的关系，利用()n n n a S S n 12－＝－便可求出当n 2≥时n a 的表达式．(3)对1n =时的结果进行检验，看是否符合n 2≥时n a 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分1n =与n 2≥两段来写． ．3．B解析：B 【分析】根据数列的递推关系可求得数{}n b 的周期为6，即可求得数列{}n b 的前2020项和. 【详解】()*21N n n n b b b n ++=-∈，且11b =，22b =-， ∴345673,1,2,3,1,b b b b b =-=-=== ∴{}n b 是以6为周期的周期数列，且60S =， ∴20203366412345S S b b b b ⨯+==+++=-，故选：B. 【点睛】本题考查数列的新定义、数列求和，考查运算求解能力，求解时注意通过计算数列的前6项，得到数列的周期.4．B【分析】先通过列举找到数列的周期，再求2018a . 【详解】n=1时，234511121,1(1)2,1,121,22a a a a =-=-=--==-==-=- 所以数列的周期是3，所以2018(36722)21a a a ⨯+===-. 故选：B 【点睛】本题主要考查数列的递推公式和数列的周期，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.5．D解析：D 【解析】分析：已知1a 逐一求解2345122323a a a a ====，，，． 详解：已知1a 逐一求解2345122323a a a a ====，，，．故选D 点睛：对于含有()1n-的数列，我们看作摆动数列，往往逐一列举出来观察前面有限项的规律．6．C解析：C 【分析】首先根据已知条件得到410a =，再依次判断选项即可得到答案. 【详解】由题知：410a =，对选项A ，()2444113a =--=，故A 错误；对选项B ，244115a =-=，故B 错误；对选项C ，()4441102a ⨯+==，C 正确； 对选项D ，()444162a ⨯-==，故D 错误. 故选：C 【点睛】本题主要考查数列的通项公式，属于简单题.7．A解析：A根据递推式可得{}n a 为一个周期为3的数列，求{}n a 中一个周期内的项，利用周期性即可求2019a 的值 【详解】由114a =-，111(1)n n a n a -=->知21115a a =-= 321415a a =-= 4131114a a a =-=-= 故数列{}n a 是周期为3的数列，而2019可被3整除 ∴2019345a a == 故选：A 【点睛】本题主要考查递推数列，考查数列的周期性，考查合情推理，属于基础题8．B解析：B 【分析】根据递推公式构造等比数列{}1n a -，求解出{}n a 的通项公式即可求解出10a 的值. 【详解】因为121n n a a +=-，所以121n n a a +=-，所以()1121n n a a +-=-， 所以1121n n a a +-=-且1110a -=≠， 所以{}1n a -是首项为1，公比为2的等比数列，所以112n n a --=，所以121n n a -=+，所以91021513a =+=，故选：B. 【点睛】本题考查利用递推公式求解数列通项公式，难度一般.对于求解满足()11,0,0n n a pa q p p q +=+≠≠≠的数列{}n a 的通项公式，可以采用构造等比数列的方法进行求解.9．B解析：B 【分析】利用递推关系可得数列{}n a 是以3为周期的周期数列，从而可得2018a . 【详解】 在数列{}n a 中，111n na a +=-，且12a =， 211112a a ∴=-=， 3211121a a =-=-=- ， ()41311112a a a =-=--== ∴数列{}n a 是以3为周期的周期数列，201867232=⨯+，2018212a a ∴==.故选：B 【点睛】本题考查了由数列的递推关系式研究数列的性质，考查了数列的周期性，属于基础题.10．B解析：B 【分析】根据数列{}n a 的递推公式逐项可计算出5a 的值. 【详解】在数列{}n a 中，11a =，122n n n a a a +=+，则12122122123a a a ⨯===++，2322221322223a a a ⨯===++， 3431222212522a a a ⨯===++，4542221522325a a a ⨯===++. 故选：B. 【点睛】本题考查利用递推公式写出数列中的项，考查计算能力，属于基础题.11．A解析：A【分析】将前五项的分母整理为1,2,3,4,5，则其分子为2,3,4,5,6，据此归纳即可. 【详解】因为12a =，232a =，343a =，454a =，565a =，故可得1223,12a a ==, 343a =，454a =，565a =，故可归纳得1+=n n a n. 故选：A. 【点睛】本题考查简单数列通项公式的归纳总结，属基础题.12．C解析：C 【解析】试题分析：A:当01m <≤时，由34a =得1;125m m =<≤时，由34a =得54m =； 2m >时，()2311,,24a m a m =-∈+∞=-= 得6m = ；正确 .B:234111,11,1,m a a a =>∴====> 所以3T =，正确．C ：命题较难证明，先考察命题D ．D ：命题的否定为“对任意的T N *∈，且2T ≥，不存在1m >，使得{}n a 是周期为T 的数列”，而由B 显然这个命题是错误的，因此D 正确，从而只有C 是错误． 考点：命题的真假判断与应用．【名师点睛】本题主要考查周期数列的推导和应用，考查学生的推理能力．此题首先要理解新定义“周期为T 的数列”，然后对A 、B 、C 、D 四个命题一一验证，A 、B 两个命题按照数列的递推公式进行计算即可，命题C 较难证明，但出现在选择题中，考虑到数学选择题中必有一个选项正确，因此我们先研究D 命题，并且在命题D 本身也很难的情况下，采取“正难则反”的方法，考虑命题D 的否定，命题D 的否定由命题B 很容易得出是错误的，从而命题D 是正确的．13．B解析：B 【分析】根据数列的递推公式，得到数列的取值具备周期性，即可得到结论． 【详解】∵112,02121,12n n n n n a a a a a +⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩，又∵a 135=，∴a 2＝2a 1﹣1＝235⨯-115=，a 3＝2a 225=， a 4＝2a 3＝22455⨯=， a 5＝2a 4﹣1＝245⨯-135=， 故数列的取值具备周期性，周期数是4， 则2019a ＝50443a ⨯+＝325a =， 故选B ． 【点睛】本题主要考查数列项的计算，根据数列的递推关系是解决本题的关键．根据递推关系求出数列的取值具备周期性是解决本题的突破口．14．C解析：C 【分析】令n n b na =，由已知得121n n b b n +-=+运用累加法得2+12n b n =，从而可得12+n a n n=，作差得()()()+13+4+1n n a n n a n n -=-，从而可得12345>>n a a a a a a =<<<，由此可得选项. 【详解】令n n b na =，则121n n b b n +-=+，又113a =，所以113b =，213b b -=，325b b -=， ，121n n b b n --=-， 所以累加得()()213+2113++122nn n b n --==，所以2+1212+n nb n an n n n===， 所以()()()()+13+41212+1+++1+1n n n n a a n n n n n n -⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，所以当3n <时，+1n n a a <，当3n =时，+1n n a a =，即34a a =，当>3n 时，+1>n n a a ， 即12345>>n a a a a a a =<<<，所以数列{}n a 的最小项为3a 和4a ，故选：C. 【点睛】本题考查构造新数列，运用累加法求数列的通项，以及运用作差法判断差的正负得出数列的增减性，属于中档题.15．C解析：C 【分析】根据条件依次算出2a 、3a 、4a 、5a 即可. 【详解】 因为1111,(2)2n n n a a a n a --==≥+，所以211123a ==+，31131723a ==+，411711527a ==+，51115131215a ==+ 故选：C 16．D解析：D 【分析】根据观察法，即可得出数列的通项公式. 【详解】因为数列1111,,,, (57911)--可写成 ()()()()2342322311111,1,1,12,..24.333-⨯-⨯-⨯+⨯+⨯+⨯+-⨯， 所以其通项公式为(1)(1)23213nnn a n n -=-=++⨯. 故选：D.17．C解析：C 【分析】由0、2、4、8、12、18、24、32、40、50…，可得偶数项的通项公式：222n a n =，即可得出． 【详解】由0，2，4，8，12，18，24，32，40，50…，可得偶数项的通项公式：222n a n =．则此数列第40项为2220800⨯=． 故选：C18．B解析：B 【分析】讨论出当1a 分别取1、2、3、4、6时，数列{}n a 为周期数列，然后说明当19a ≥时，分1a 为正奇数和正偶数两种情况分析出数列{}n a 不是周期数列，即可得解. 【详解】已知数列{}n a 满足1N a *∈，1,2+3,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪⎩为偶数为奇数. ①若11a =，则24a =，32a =，41a =，54a =，，以此类推，可知对任意的n *∈N ，3n n a a +=，此时，{}n a 为周期数列；②若12a =，则21a =，34a =，42a =，51a =，，以此类推，可知对任意的n *∈N ，3n n a a +=，此时，{}n a 为周期数列；③若13a =，则26a =，33a =，46a =，，以此类推，可知对任意的n *∈N ，2n n a a +=，此时，{}n a 为周期数列；④若14a =，则22a =，31a =，44a =，52a =，，以此类推，可知对任意的n *∈N ，3n n a a +=，此时，{}n a 为周期数列；⑤若15a =，则28a =，34a =，42a =，51a =，64a =，，以此类推，可知对任意的2n ≥且n *∈N ，1n a a <，此时，{}n a 不是周期数列； ⑥若16a =，则23a =，36a =，43a =，，以此类推，可知对任意的n *∈N ，2n n a a +=，此时，{}n a 为周期数列；⑦若17a =，则210a =，35a =，48a =，54a =，，以此类推，可知对任意的2n ≥且n *∈N ，1n a a <，此时，{}n a 不是周期数列； ⑧若18a =，则24a =，32a =，41a =，54a =，，以此类推，可知对任意的2n ≥且n *∈N ，1n a a <，此时，{}n a 不是周期数列.下面说明，当19a ≥且1N a *∈时，数列{}n a 不是周期数列.（1）当(3412,2a ⎤∈⎦且1N a *∈时，由列举法可知，数列{}n a 不是周期数列；（2）假设当(()112,23,k k a k k N +*⎤∈≥∈⎦且1N a *∈时，数列{}n a 不是周期数列，那么当(()1212,23,k k a k k N ++*⎤∈≥∈⎦时. 若1a 为正偶数，则(1122,22k k a a +⎤=∈⎦，则数列{}n a 从第二项开始不是周期数列，从而可知，数列{}n a 不是周期数列； 若1a 为正奇数，则((121321323,232,2k k k k a a ++++⎤⎤=+∈++⊆⎦⎦且2a 为偶数，由上可知，数列{}n a 从第二项开始不是周期数列，进而可知数列{}n a 不是周期数列.综上所述，当19a ≥且1N a *∈时，数列{}n a 不是周期数列.因此，若{}n a 为周期数列，则1a 的取值集合为{}1,2,3,4,6. 故选：B. 【点睛】本题解题的关键是抓住“数列{}n a 为周期数列”进行推导，对于1a 的取值采取列举法以及数学归纳法进行论证，对于这类问题，我们首先应弄清问题的本质，然后根据数列的基本性质以及解决数列问题时常用的方法即可解决．19．D解析：D 【分析】利用项和关系，1n n n a S S -=-代入即得解. 【详解】利用项和关系，1332443=54=162n n n a S S a S S a S S -=-∴=-=-，34216a a ∴+=故选：D 【点睛】本题考查了数列的项和关系，考查了学生转化与划归，数学运算能力，属于基础题.20．C解析：C 【分析】分别观察各项的符号、绝对值即可得出． 【详解】数列1，-3，5，-7，9，…的一个通项公式()()112nn a n =--． 故选C ． 【点睛】本题考查了球数列的通项公式的方法，属于基础题．二、多选题 21．BCD 【分析】根据题意写出，，，从而判断A ，B 的正误；写出递推关系，对递推关系进行适当的变形，利用累加法即可判断C ，D 的正误． 【详解】对A ，，，故A 不正确；对B ，，故B 正确； 对C ，由，，解析：BCD 【分析】根据题意写出8a ，6S ，7S ，从而判断A ，B 的正误；写出递推关系，对递推关系进行适当的变形，利用累加法即可判断C ，D 的正误． 【详解】对A ，821a =，620S =，故A 不正确； 对B ，761333S S =+=，故B 正确；对C ，由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，…，202120222020a a a =-，可得135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=，故C 正确；对D ，该数列总有21n n n a a a ++=+，2121a a a =，则()222312321a a a a a a a a =-=-，()233423423a a a a a a a a =-=-，…，()220182018201920172018201920172018a a a a a a a a =-=-， 22019a =2019202020192018a a a a -，220202020202120202019a a a a a =-， 故2222123202*********a a a a a a +++⋅⋅⋅+=，故D 正确．故选：BCD 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是对CD 的判断，即要善于利用21n n n a a a ++=+对所给式子进行变形.22．ACD 【分析】先计算出数列的前几项，判断AC ，然后再寻找规律判断BD ． 【详解】由题意，，A 正确，，C 正确； ，∴数列是周期数列，周期为3． ，B 错； ，D 正确． 故选：ACD ． 【点睛】 本解析：ACD 【分析】先计算出数列的前几项，判断AC ，然后再寻找规律判断BD ． 【详解】由题意211122a =-=，311112a =-=-，A 正确，3132122S =+-=，C 正确；41121a =-=-，∴数列{}n a 是周期数列，周期为3． 2019367331a a a ⨯===-，B 错；20193201967322S =⨯=，D 正确．故选：ACD ． 【点睛】本题考查由数列的递推式求数列的项与和，解题关键是求出数列的前几项后归纳出数列的性质：周期性，然后利用周期函数的定义求解．23．ABD 【分析】根据，，，计算可知正确；根据，，，，，，累加可知不正确；根据，，，，，，累加可知正确. 【详解】依题意可知，，，， ，，，，故正确； ，所以，故正确； 由，，，，，， 可得，故不解析：ABD 【分析】根据11a =，21a =，21n n n a a a ++=+，计算可知,A B 正确；根据12a a =，342a a a =-，564a a a =-，786a a a =-，，201920202018a a a =-，累加可知C 不正确；根据2121a a a =，222312312()a a a a a a a a =-=-，233423423()a a a a a a a a =-=-，244534534()a a a a a a a a =-=-，，220192019202020182019202020182019()a a a a a a a a =-=-，累加可知D 正确. 【详解】依题意可知，11a =，21a =，21n n n a a a ++=+，312112a a a =+=+=，423123a a a =+=+=，534235a a a =+=+=，645358a a a =+=+=，故A 正确； 7565813a a a =+=+=，所以712345671123581333S a a a a a a a =++++++=++++++=，故B 正确；由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，786a a a =-，，201920202018a a a =-，可得13572019a a a a a +++++=242648620202018a a a a a a a a a +-+-+-++-2020a =，故C 不正确；2121a a a =，222312312()a a a a a a a a =-=-，233423423()a a a a a a a a =-=-，244534534()a a a a a a a a =-=-，，220192019202020182019202020182019()a a a a a a a a =-=-，所以2222212342019a a a a a +++++122312342345342019202020182019a a a a a a a a a a a a a a a a a a =+-+-+-+- 20192020a a =，所以22212201920202019a a a a a +++=，故D 正确. 故选：ABD. 【点睛】本题考查了数列的递推公式，考查了累加法，属于中档题.24．AD 【分析】分类讨论大于1的情况，得出符合题意的一项. 【详解】 ①, 与题设矛盾. ②符合题意. ③与题设矛盾. ④ 与题设矛盾. 得，则的最大值为. B ，C ，错误. 故选：AD. 【点睛】解析：AD 【分析】分类讨论67,a a 大于1的情况，得出符合题意的一项. 【详解】①671,1a a >>, 与题设67101a a -<-矛盾. ②671,1,a a ><符合题意. ③671,1,a a <<与题设67101a a -<-矛盾.④ 671,1,a a <>与题设11a >矛盾.得671,1,01a a q ><<<，则n T 的最大值为6T .∴B ，C ，错误.故选：AD. 【点睛】考查等比数列的性质及概念. 补充：等比数列的通项公式：()1*1n n a a qn N -=∈.25．AC 【分析】由，可得，且，然后逐个分析判断即可得答案 【详解】解：因为，所以，且，所以数列的公差，且数列中Sn 的最大项为S5，所以A 正确，B 错误， 所以，，所以C 正确，D 错误， 故选：AC解析：AC 【分析】由564S S S >>，可得650,0a a ，且650a a +>，然后逐个分析判断即可得答案 【详解】解：因为564S S S >>，所以650,0a a ，且650a a +>，所以数列的公差0d <，且数列{}n a 中S n 的最大项为S 5，所以A 正确，B 错误， 所以110105610()5()02a a S a a +==+>，11111611()1102a a S a +==<， 所以C 正确，D 错误， 故选：AC26．BD 【分析】根据等差数列和等方差数列定义，结合特殊反例对选项逐一判断即可. 【详解】对于A ，若是等差数列，如，则不是常数，故不是等方差数列，故A 错误； 对于B ，数列中，是常数，是等方差数列，故解析：BD 【分析】根据等差数列和等方差数列定义，结合特殊反例对选项逐一判断即可. 【详解】对于A ，若{}n a 是等差数列，如n a n =，则12222(1)21n n a a n n n --=--=-不是常数，故{}na 不是等方差数列，故A 错误；对于B ，数列(){}1n-中，222121[(1)][(1)]0n n n n a a ---=---=是常数，{(1)}n ∴-是等方差数列，故B 正确； 对于C ，数列{}2n中，()()22221112234nn n n n a a ----=-=⨯不是常数，{}2n∴不是等方差数列，故C 错误； 对于D ，{}n a 是等差数列，1n n a a d -∴-=，则设n a dn m =+，{}n a 是等方差数列，()()222112(2)n n n n dn m a a a a d a d d n m d d dn d m --∴-=++++=+=++是常数，故220d =，故0d =，所以(2)0m d d +=，2210n n a a --=是常数，故D 正确.故选：BD. 【点睛】关键点睛：本题考查了数列的新定义问题和等差数列的定义，解题的关键是正确理解等差数列和等方差数列定义，利用定义进行判断.27．ABC 【分析】由，变形得到，再利用等差数列的定义求得，然后逐项判断. 【详解】 当时，由， 得， 即，又，所以是以2为首项，以1为公差的等差数列， 所以，即，故C 正确； 所以，故A 正确； ，解析：ABC 【分析】由)212n a =-1=，再利用等差数列的定义求得n a ，然后逐项判断. 【详解】当2n ≥时，由)212n a =-，得)221n a +=，1=，又12a =，所以是以2为首项，以1为公差的等差数列，2(1)11n n =+-⨯=+，即221n a n n =+-，故C 正确；所以27a =，故A 正确；()212n a n =+-，所以{}n a 为递增数列，故正确；数列{}n a 不具有周期性，故D 错误； 故选：ABC28．ABD 【分析】转化条件为，进而可得，，再结合等差数列的性质及前n 项和公式逐项判断即可得解. 【详解】 因为，所以，即，因为数列递减，所以，则，，故A 正确； 所以最大，故B 正确； 所以，故C 错误解析：ABD 【分析】转化条件为670a a +=，进而可得60a >，70a <，再结合等差数列的性质及前n 项和公式逐项判断即可得解. 【详解】因为57S S =，所以750S S -=，即670a a +=，因为数列{}n a 递减，所以67a a >，则60a >，70a <，故A 正确； 所以6S 最大，故B 正确； 所以()113137131302a a S a+⨯==<，故C 错误； 所以()111116111102a a S a+⨯==>，故D 正确.故选：ABD.29．AC 【分析】令，则，根据，可判定A 正确；由，可判定B 错误；根据等差数列的性质，可判定C 正确；，根据，可判定D 错误. 【详解】令，则，因为，所以为等差数列且公差，故A 正确；由，所以，故B 错误；解析：AC【分析】令1m =，则11n n a a a +-=，根据10a >，可判定A 正确；由256110200a a a a d -=>，可判定B 错误；根据等差数列的性质，可判定C 正确；122n d d n a n S ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，根据02>d ，可判定D 错误.【详解】令1m =，则11n n a a a +-=，因为10a >，所以{}n a 为等差数列且公差0d >，故A 正确；由()()22225611011119209200a a a a a a d d a a d d -=++-+=>，所以56110a a a a >，故B错误；根据等差数列的性质，可得()213x x x -=+，所以13x =，213x -=， 故1011109333a =+⨯=，故C 正确； 由()111222nn n na d S d d n a n n -+⎛⎫==+- ⎪⎝⎭，因为02>d ，所以n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增的等差数列，故D 错误.故选：AC .【点睛】解决数列的单调性问题的三种方法；1、作差比较法：根据1n n a a +-的符号，判断数列{}n a 是递增数列、递减数列或是常数列；2、作商比较法：根据1(0n n na a a +>或0)n a <与1的大小关系，进行判定； 3、数形结合法：结合相应的函数的图象直观判断.30．BC【分析】根据等差数列的前项和性质判断．【详解】A 错：；B 对：对称轴为7；C 对：，又，；D 错：，但不能得出是否为负，因此不一定有．故选：BC ．【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列解析：BC【分析】根据等差数列的前n 项和性质判断．【详解】A 错：67895911415000S a a a a a S a S ⇒+++<>⇒+<⇒<；B 对：n S 对称轴为n =7；C 对：6770S S a >⇒<，又10a >，887700a S a d S ⇒⇒<<⇒<>；D 错：6770S S a >⇒<，但不能得出6a 是否为负，因此不一定有56S S >． 故选：BC ．【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列的前n 项和性质，（1）n S 是关于n 的二次函数，可以利用二次函数性质得最值；（2）1n n n S S a -=+，可由n a 的正负确定n S 与1n S -的大小；（3）1()2n n n a a S +=，因此可由1n a a +的正负确定n S 的正负． 31．AC【分析】由题意可知，即，则时，，可求解出，易知是等差数列，则A 正确，然后利用等差数列的前n 项和公式求出，判断C ，D 的正误.【详解】解：由，得，所以时，，得时，，即时，，当时，由解析：AC【分析】 由题意可知112222n n n n a a a H n -+++==，即112222n n n a a a n -+++=⋅，则2n ≥时，()()111221212n n n n n a n n n ---=⋅--⋅=+⋅，可求解出1n a n =+，易知{}n a 是等差数列，则A 正确，然后利用等差数列的前n 项和公式求出n S ，判断C ，D 的正误.【详解】解：由112222n n n n a a a H n -+++==，得112222n n n a a a n -+++=⋅，①所以2n ≥时，()211212212n n n a a a n ---+++=-⋅，② 得2n ≥时，()()111221212n n n n n a n n n ---=⋅--⋅=+⋅，即2n ≥时，1n a n =+，当1n =时，由①知12a =，满足1n a n =+．所以数列{}n a 是首项为2，公差为1的等差数列，故A 正确，B 错，所以()32n n n S +=，所以2020202320202S =，故C 正确． 25S =，414S =，627S =，故D 错，故选：AC ．【点睛】本题考查数列的新定义问题，考查数列通项公式的求解及前n 项和的求解，难度一般.32．BD【分析】由，即，进而可得答案．【详解】解：，因为所以，，最大，故选：．【点睛】本题考查等差数列的性质，解题关键是等差数列性质的应用，属于中档题． 解析：BD【分析】由6111160S S S S =⇒-=，即950a =，进而可得答案．【详解】解：1167891011950S S a a a a a a -=++++==，因为10a >所以90a =，0d <，89S S =最大，故选：BD ．【点睛】本题考查等差数列的性质，解题关键是等差数列性质的应用，属于中档题．33．ABC【分析】根据等差数列性质依次分析即可得答案.【详解】解：对于A.，若，则，所以，所以，故A 选项正确；对于B 选项，若，则，由于，公差，故，故，所以是中最大的项；故B 选项正确；C. 若解析：ABC【分析】根据等差数列性质依次分析即可得答案.【详解】解：对于A.，若59S S =，则67890a a a a +++=，所以781140a a a a +=+=，所以()114141402a a S +==，故A 选项正确； 对于B 选项，若59S S =，则780+=a a ，由于10a >，公差0d ≠，故0d <，故780,0a a ><，所以7S 是n S 中最大的项；故B 选项正确；C. 若67S S >，则70a <，由于10a >，公差0d ≠，故0d <，故80a <，6a 的符号不定，故必有78S S >，56S S >无法确定；故C 正确，D 错误．故选：ABC ．【点睛】本题考查数列的前n 项和的最值问题与等差数列的性质，是中档题．34．AC【分析】直接利用等差数列的定义性质判断数列是否为等差数列．【详解】A 选项中（，为常数，），数列的关系式符合一次函数的形式，所以是等差数列，故正确，B 选项中（为常数，），不符合从第二项起解析：AC【分析】直接利用等差数列的定义性质判断数列是否为等差数列．【详解】A 选项中n a kn b =+（k ，b 为常数，*n N ∈），数列{}n a 的关系式符合一次函数的形式，所以是等差数列，故正确，B 选项中2n n a a d +-=（d 为常数，*n N ∈），不符合从第二项起，相邻项的差为同一个常数，故错误；C 选项中()*2120n n n a a a n ++-+=∈N ，对于数列{}n a 符合等差中项的形式，所以是等差数列，故正确；D 选项{}n a 的前n 项和21n S n n =++（*n N ∈），不符合2n S An Bn =+，所以{}n a 不为等差数列．故错误．故选：AC【点睛】本题主要考查了等差数列的定义的应用，如何去判断数列为等差数列，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．35．AD【分析】由求出，即，由此表示出、、、，可判断C 、D 两选项；当时，，有最小值，故B 错误.【详解】解：，，故正确A.由，当时，，有最小值，故B 错误.，所以，故C 错误.，，故D 正确.解析：AD【分析】由1385a a S +=求出100a =，即19a d =-，由此表示出9a 、11a 、6S 、13S ，可判断C 、D 两选项；当0d >时，10a <，n S 有最小值，故B 错误.【详解】解：1385a a S +=，111110875108,90,02d a a d a a d a ⨯++=++==，故正确A. 由190a d +=，当0d >时，10a <，n S 有最小值，故B 错误.9101110,a a d d a a d d =-==+=，所以911a a =，故C 错误.61656+5415392d S a d d d ⨯==-+=-， 131131213+11778392d S a d d d ⨯==-+=-，故D 正确. 故选：AD【点睛】 考查等差数列的有关量的计算以及性质，基础题.。