笛卡尔坐标系下三维非稳态导热微分方程推导

导热微分方程柱坐标系的推导引言导热微分方程是描述物质内部热传导过程的重要方程。

在研究导热现象时，我们常常需要在不同的坐标系下推导导热微分方程。

本文将详细介绍如何在柱坐标系下推导导热微分方程，并给出相应的推导过程。

导热微分方程的一般形式在三维空间中，导热微分方程的一般形式可以表示为：∂u/∂t = α(∂^2u/∂x^2 + ∂^2u/∂y^2 + ∂^2u/∂z^2)其中，u表示温度场的变化，t表示时间，x、y和z分别表示空间的三个坐标轴方向。

α为热扩散系数，与物质的热导率有关。

柱坐标系下的导热微分方程柱坐标系是一种常用的坐标系，特点是以距离r、角度θ和高度z作为坐标轴。

在柱坐标系下，可以将导热微分方程表示为：∂u/∂t = α(1/r * ∂/∂r(r∂u/∂r) + 1/r^2 * ∂^2u/∂θ^2 + ∂^2u/∂z^2)其中，r表示距离，θ表示角度，z表示高度，u仍表示温度场的变化，t为时间，α为热扩散系数。

推导过程为了推导柱坐标系下的导热微分方程，我们需要使用二阶导数的链式法则和柱坐标系下的坐标变换关系。

首先，我们分别对r、θ和z求偏导：∂u/∂r = (∂u/∂x) * (∂x/∂r) + (∂u/∂y) * (∂y/∂r) + (∂u/∂z) * (∂z/∂r)∂u/∂θ = (∂u/∂x) * (∂x/∂θ) + (∂u/∂y) * (∂y/∂θ) + (∂u/∂z) * (∂z/∂θ)∂u/∂z = (∂u/∂x) * (∂x/∂z) + (∂u/∂y) * (∂y/∂z) + (∂u/∂z) * (∂z/∂z)根据柱坐标系的坐标变换关系：x = r * cos(θ)y = r * sin(θ)z = z可以得到：∂x/∂r = cos(θ)∂y/∂r = sin(θ)∂z/∂r = 0∂x/∂θ = -r * sin(θ)∂y/∂θ = r * cos(θ)∂z/∂θ = 0∂x/∂z = 0∂y/∂z = 0∂z/∂z = 1代入前面的式子，可以得到：∂u/∂r = (∂u/∂x) * cos(θ) + (∂u/∂y) * sin(θ)∂u/∂θ = -r * sin(θ) * (∂u/∂x) + r * cos(θ) * (∂u/∂y)∂u/∂z = (∂u/∂z)然后，我们可以对这些偏导数再次求偏导：∂^2u/∂r^2 = (∂/∂r(∂u/∂r)) = (∂/∂r((∂u/∂x) * cos(θ) + (∂u/∂y) * sin (θ)))∂^2u/∂θ^2 = (∂/∂θ(∂u/∂θ)) = (∂/∂θ(-r * sin(θ) * (∂u/∂x) + r * cos(θ) * (∂u/∂y)))∂^2u/∂z^2 = (∂/∂z(∂u/∂z))最后，将这些结果代入柱坐标系下的导热微分方程的一般形式中，即可得到柱坐标系下的导热微分方程：∂u/∂t = α(1/r * (∂/∂r(r * ((∂u/∂x) * cos(θ) + (∂u/∂y) * sin(θ)))) + 1/r^2 * (∂/∂θ(-r * sin(θ) * (∂u/∂x) + r * cos(θ) * (∂u/∂y))) + (∂^2u/∂z ^2))总结导热微分方程是描述物质内部热传导过程的重要方程。

导热微分方程式
t t t t & c ( ) ( ) ( ) x x y y z z
非稳态项 扩散项 源项
笛卡尔坐标系中三维非稳态导热微分方程的一般表达式。 物理意义：反映了物体的温度随时间和空间的变化关系。
t t t t & c ( ) ( ) ( ) x x y y z z
（１）第一类边界条件：已知导热体边界上的温度值： 稳态导热： tw= const 非稳态导热： tw = f (τ) 例： x=0, t =tw1 x=δ, t =tw2
（2）第二类边界条件: 已知物体边界上热流密度值：
t qw ( ) w 根据傅里叶定律： n t qw ( )w n
t4
r1
r2
r3
推广到n层壁的情况:
q
t 1 t n 1

n
i 1
i i
本章作业
P88
复习题 4，6
2-2，2-7，2-18, 2-22
RA=δ/λ − 单位面积上导热热阻, [m2∙℃/W]
q （t1 t2） t
上式体现了q, λ, δ,Δt 四个变量的关系， 已知其中任意三个，可求另一个
2. 多层平壁 • 多层平壁：由几层不同材料组成 例：房屋的墙壁— 白灰内层、 水泥沙浆层、红砖（青砖）主体层等组成
t ( ) w h(tw tf ) n
是第一类和第二类边界条件的线性组合
2.2.3 导热微分方程的适用范围 1 ）适用于 q 不很高，而作用时间长。同 时傅立叶定律也适用该条件。 2 ）若时间极短，而且热流密度极大时，则 不适用。 3 ）若属极底温度（ 0 K）时的导热不适用。

)
特征值
µ n从下式求出 tan µ n =
hδ Bi = λµ n µ n
1
正规状况阶段
当
Fo = aτ δ2 ≥ 0.2 时，级数除第一项外可以忽略，此时
正规状况阶段
在对称面上，
x=0
θ = 2exp(− µ12 Fo)
sin ( µ1 ) cos µ1 x sin ( µ1 ) cos ( µV
,试计算钢球冷却到300℃时所需要的时间。已知
钢球的比热容 c=0.48kJ/(kg ⋅ K)，ρ = 7753kg/m 3， λ = 33W/(m ⋅ K) 解 （1）用毕奥数判断 BiV = h (V / A) hR = λ 3λ
根据 θ = θ 0 e
，有
=
24 × 0.025 = 0.00606 < 0.1/ 3 = 0.0333 3 × 33
常数，要么是无因次量之间的关系式，所以该问题的解一 定是无因次量间的关系，即
θ = f1 ( x, Fo, Bi )
通过分离变量的方法可以获得级数形式的解
∞
θ = 2∑
n=1
sin ( µ n ) 2 cos µ n x e− µn Fo sin ( µ n ) cos ( µ n ) + µ n
(
导热微分方程及定解条件： 导热微分方程 初 始 条 件 边 界 条 件
∂t ( x,τ ) =0 ∂x x =0 ∂t ( x,τ ) h[t (δ ,τ ) − t ∞ ] = −λ ∂x x =δ ∂t ∂ 2t = a 2 (0 < x < δ , τ > 0 ∂τ ∂x t ( x,0) = t0 0 ≤ x ≤δ
t0 h t∞

e Vc eBiV FoV
0
方程中指数的单位：
物体中的 温度呈指 数分布
hA
W m2K
m
2
w1
Vc
kg m3
[
m3
]
J kgK
J
s
3-2 集 总 参 数 法
即与
1 的量纲相同，当
Vc
时，则
hA
hA
1 Vc
此时，
e1 36.8%
0
上式表明：当传热时间等于 Vc 时，物体的过余温
3-1 概 述
t1
H
G
F
t0
A
温度场的特征（三个阶段）：
E B CD
1) 不规则情况阶段：温度变化从边界面逐渐地深入
到物体内，温度分布受初始温度分布的影响很大。
2）正常情况阶段（正规状况阶段）：初始温度分布
影响消失，物体内各处温度随时间的变化率具有一
定的规律。温度分布主要取决于边界条件及物性。
3）建立新的稳态阶段：温度分布不再随时间变化。
第三章 非稳态导热
１ 重点内容： ① 非稳态导热的基本概念及特点； ② 集总参数法的基本原理及应用； ③ 一维及二维非稳态导热问题。
2 掌握内容： ① 确定瞬时温度场的方法； ② 确定在一时间间隔内物体所传导热量的计算方法。
3 了解内容：无限大物体非稳态导热的基本特点。
3-1 概 述
非稳态导热 ：导热体的温度场随时间而变化。
通常，当毕渥数 Bi<0.1 时，采用集总参数法求解温 度影响误差不大。
3-2 集 总 参 数 法
集总参数法的特点： 1）是一种理想化模型； 2）物体内热阻忽略不计； 3）物体内温度梯度忽略不计，认为整个物体具有 相同的温度； 4）通过表面传递的热量立即使整个物体的温度同 时发生变化 5）把一个有分布热容的物体看成一个集中热容的 物体。