天一联考“顶尖计划”2020届高中毕业班第二次考试理科数学(word版含解析)

届高三下学期重点中学第二次联考试题数学一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1. 已知集合{}0,1,2,3A =，{}2,3,4,5B =，则A B U 中元素的个数为 ▲ ．6 2.设复数z 满足i i z 510)2(-=+，（i 为虚数单位），则复数z 的实部为▲ .33. 已知样本7，8，9，x ，y 的平均数是8，且xy = 60，则此样本的方差是▲ ．24. 运行如图所示的伪代码，其输出的结果S 为▲ ．135.从1、2、3、4这4个数中一次性随机地取两个数，则所取两个数的和为4或5的概率为 ▲ .126.已知3(0,),sin()45αππα∈+=-，则tan α＝ ▲ .17-7.已知正三棱锥的体积为93cm3，高为3cm ．则它的侧面积为 ▲ cm 2．1838. 已知双曲线22221x y a b-= (0a >，0b >)的左顶点为M ，右焦点为F ，过F 作垂直于x 轴的直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且满足MA MB ⊥，则该双曲线的离心率是 ▲ ．2 9. 设等比数列{}n a 的前n 项积为n P ，若12732P P =，则10a 的值是 .2 10.已知2231,0()2,0x x x f x x x x ⎧++≥=⎨-++<⎩，则不等式2(2)5f x x -≤的解集为▲ . [1,1]-11. 如图，已知AC 是圆的直径，,B D 在圆上且35AB AD ==，，则AC BD ⋅=u u u r u u u r▲ .212.已知圆2224250x y x y a +-++-=与圆222(210)2210160x y b x by b b +---+-+= 相交于()()1122,,,A x y B x y 两点，且满足22221122x y x y +=+ ，则b = .5313. 若函数2()2(ln )f x m x x x =+-有唯一零点，则m 的取值范围是 ▲ .102m m <=或 14.已知函数2()(,)f x x ax b a b R =++∈，若存在非零实数t，使得1()()2f t f t+=-，则224a b +的最小值为▲ ．165二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤．15.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为c b a ,,，且满足I ←0While I <9 S ←2I + 1 I ←I +3End While Print S 第4题图ACBD2sin()6b C ac π+=+．（1）求角B 的大小；（2）若点M 为BC 中点，且AM AC =，求sin BAC ∠． （Ⅰ）312sin (sin cos )sin sin 22B C C A C ⋅+⋅=+， 即3sin sin sin cos sin sin sin cos cos sin sin B C B C A C B C B C C +=+=++，3sin sin cos sin sin B C B C C ∴=+，3sin cos 1B B ∴=+，所以2sin()16B π-=，由(0,)B π∈ ,5(,)666B πππ-∈- 解得3B π=． ………………… 7分 （范围不说明扣1分）（Ⅱ）解法一：取CM 中点D ,连AD ,则AD CM ⊥,则CD x =，则3BD x =， 由（Ⅰ）知3B π=，33,27AD x AC x ∴=∴=，由正弦定理知，427sin sin 60x xBAC =∠o，得21sin 7BAC ∠=. …………………14分解法二：由（Ⅰ）知3B π=，又M 为BC 中点，2a BM MC ∴==，在ABM ABC ∆∆与中，由余弦定理分别得：22222()2cos ,2242a a a ac AM c c B c =+-⋅⋅⋅=+- 222222cos ,AC a c ac B a c ac =+-⋅=+-又AM AC =，2242a ac c ∴+-=22,a c ac +-37,22a cb a ∴=∴=，由正弦定理知，72sin sin 60aa BAC =∠o，得21sin 7BAC ∠=. …………………14分16. 如图，在三棱锥P ABC -中，已知平面PBC ⊥平面ABC ．（1）若AB BC ⊥，CP PB ⊥，求证：CP PA ⊥； （2）若过点A 作直线l ⊥平面ABC ，求证：l ∥平面PBC ．16．（1）因为平面PBC ⊥平面ABC ，平面PBC I 平面ABC BC =，AB ⊂平面ABC ，AB ⊥BC ，所以AB ⊥平面PBC ．…………3分因为CP ⊂平面PBC ，所以CP ⊥AB 又因为CP ⊥PB ，且PB AB B =I ，,AB PB ⊂平面PAB ,所以CP ⊥平面PAB ，又因为PA ⊂平面PAB ，所以CP ⊥PA ． …………7分 （2）在平面PBC 内过点P 作PD ⊥BC ，垂足为D ．ACBP因为平面PBC ⊥平面ABC ，又平面PBC ∩平面ABC ＝BC ，PD ⊂平面PBC ，所以PD ⊥平面ABC ． (10)分又l ⊥平面ABC ，所以l //PD ．又l ⊄平面PBC ，PD ⊂平面PBC ，l //平面PBC ． …………14分17.某生物探测器在水中逆流行进时，所消耗的能量为n E cv T =，其中v 为行进时相对于水的速 度，T 为行进时的时间（单位：小时），c 为常数，n 为能量次级数．如果水的速度为4 km/h ， 该生物探测器在水中逆流行进200 km ． （1）求T 关于v 的函数关系式；（2）(i)当能量次级数为2时，求该探测器消耗的最少能量；(ii)当能量次级数为3时，试确定v 的大小，使该探测器消耗的能量最少．解：（1）由题意得，该探测器相对于河岸的速度为200T， 又该探测器相对于河岸的速度比相对于水的速度小4 km/h ，即4v -，所以200T=4v -，即2004T v =-，4v >； ……………………4分 （2）(ⅰ) 当能量次级数为2时，由（1）知22004v E c v =⋅-，4v >，[]2(4)42004v c v -+=⋅-16200(4)84c v v ⎡⎤=⋅-++⎢⎥-⎣⎦162002(4)84c v v ⎡⎤⋅-⋅+⎢⎥-⎣⎦≥3200c =（当且仅当1644v v -=-即8v =km/h 时，取等号）……………9分(ⅱ) 当能量次级数为3时，由（1）知32004v E c v =⋅-，4v >，所以222(6)2000(4)v v E c v -'=⋅=-得6v =， 当6v <时，0E '<；当6v >时，0E '>， 所以当6v =时，min E 21600c =． 答：(ⅰ) 该探测器消耗的最少能量为3200c ； (ⅱ)6v =km/h时，该探测器消耗的能量最少． ……………14分18.如图,已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的上顶点为(0,1)A ,离心率为32.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若过点A 作圆()2221:r y x M =++()10<<r 的两条切线分别与椭圆C 相交于点,B D (不同于点A ).当r 变化时,试问直线BD 是否过某个定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由.2221,3,2,12,b c a b aa b c =⎧⎪⎪=⇒==⎨⎪⎪=+⎩, 解：（Ⅰ） 由已知可得,所求椭圆的方程为2214x y += …………………5分（Ⅱ）设切线方程为1y kx =+，则2|1|1k r k-=+，即222(1)210r k k r --+-=， 设两切线,AB AD 的斜率为1212,()k k k k ≠，则12,k k 是上述方程的两根，所以121k k ⋅=；…………………8分由22114y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得：22(14)80k x kx ++=， 所以211112211814,1414k k x y k k --==++，同理可得：222121222222212188144,144144k k k k x y k k k k ----====++++， …………………12分所以221122211111122114144141883414BDk k k k k k k k k k k ---+++==----++， 于是直线BD 方程为22111221111418()14314k k k y x k k k -+--=--++， 令0x =，得2221111222111114185205143143(14)3k k k k y k k k k -+---=+⨯==-+++， 故直线BD 过定点5(0,)3-. …………………16分19. 定义：从一个数列{a n }中抽取若干项(不少于三项)按其在{a n }中的次序排列的一列数叫做{a n }的 子数列，成等差(比)的子数列叫做{a n }的等差(比)子列．xyDBAMO（1）求数列1，12，13，14，15的等比子列；（2）设数列{a n }是各项均为实数的等比数列，且公比q ≠1．（i ）试给出一个{a n }，使其存在无穷项的等差子列（不必写出过程）； （ii ）若{a n }存在无穷项的等差子列，求q 的所有可能值．解：（1）设所求等比子数列含原数列中的连续项的个数为k （1≤k ≤3，k ∈N *）， 当k ＝2时，①设1n ，1n ＋1，1m 成等比数列，则1(n ＋1)2＝1n ×1m ，即m ＝n ＋1n ＋2，当且仅当n ＝1时，m ∈N *，此时m ＝4，所求等比子数列为1，12，14；②设1m ，1n ，1n ＋1成等比数列，则1n 2＝1n ＋1×1m ，即m ＝n ＋1＋1n ＋1－2N *； ………3分当k ＝3时，数列1，12，13；12，13，14；13，14，15均不成等比，当k ＝1时，显然数列1，13，15不成等比；综上，所求等比子数列为1，12，14．……………………5分（2）（i ）形如：a 1，－a 1，a 1，－a 1，a 1，－a 1，…（a 1≠0，q ＝－1）均存在无穷项 等差子数列： a 1，a 1，a 1，… 或－a 1，－a 1，－a 1， ……………………7分 （ii ）设{a n k }(k ∈N *，n k ∈N *)为{a n }的等差子数列，公差为d ，当|q|＞1时，|q|n＞1，取n k ＞1＋log |q||d||a 1|(|q|－1)，从而|q|n k －1＞|d||a 1|(|q|－1)，故|a n k ＋1－a n k |＝|a 1q n k ＋1－1－a 1q n k －1|＝|a 1||q|n k －1·|q n k ＋1－n k －1|≥|a 1||q|n k －1(|q|－1)＞|d|， 这与|a n k ＋1－a n k |＝|d|矛盾，故舍去；……………………12分当|q|＜1时，|q|n＜1，取n k ＞1＋log |q||d|2|a 1|，从而|q|n k －1＜|d|2|a 1|， 故|a n k ＋1－a n k |＝|a 1||q|n k －1|q n k ＋1－n k －1|≤|a 1||q|n k －1||q|n k ＋1－n k ＋1|＜2|a 1||q|n k －1＜|d|， 这与|a n k ＋1－a n k |＝|d|矛盾，故舍去； 又q ≠1，故只可能q ＝－1，结合(i)知，q 的所有可能值为－1． ……………………16分20.设函数()()ln ,f x x a x x a a R =--+∈． （1）若0a =，求函数()f x 的单调区间；（2）若0a <，试判断函数()f x 在区间22(,)e e -内的极值点的个数，并说明理由； （3）求证：对任意的正数a ，都存在实数t ，满足：对任意的(,)x t t a ∈+，()1f x a <-． 解：（1）当a ＝0时，f(x)＝xlnx －x ，f ’(x)＝lnx ， 令f ’(x)＝0，x ＝1，列表分析x (0，1) 1 (1，＋∞)f ’(x) － 0 ＋ f(x)单调递减单调递增故f(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，＋∞)． ……………………3分 （2）方法一、f(x)＝(x －a)lnx －x ＋a ，f ’(x)＝lnx －ax，其中x ＞0，令g(x)＝xlnx －a ，分析g(x)的零点情况．g ’(x)＝lnx ＋1,令g ’(x)＝0，x ＝1e，列表分析x (0，1e )1e (1e，＋∞) g ’(x) － 0 ＋ g(x)单调递减单调递增 g(x)min ＝g(1e )＝－1e－a ，……………………5分而f ’(1e )＝ln 1e －ae ＝－1－ae ，f ’(e －2)＝－2－ae 2＝－(2＋ae 2)，f ’(e 2)＝2－a e 2＝1e 2(2e 2－a)，①若a ≤－1e ，则f ’(x)＝lnx －ax≥0，故f(x)在(e －2，e 2)内没有极值点；②若－1e ＜a ＜－2e 2，则f ’(1e )＝ln 1e －ae ＜0，f ’(e －2)＝－(2＋ae 2)＞0，f ’(e 2)＝1e 2(2e 2－a)＞0，因此f ’(x)在(e －2，e 2)有两个零点，f(x)在(e －2，e 2)内有两个极值点；③若－2e 2≤a ＜0，则f ’(1e )＝ln 1e －ae ＜0，f ’(e －2)＝－(2＋ae 2)≤0，f ’(e 2)＝1e 2(2e 2－a)＞0，因此f ’(x)在(e －2，e 2)有一个零点，f(x)在(e －2，e 2)内有一个极值点；综上所述，当a ∈(－∞，－1e]时，f(x)在(e －2，e 2)内没有极值点；当a ∈(－1e ，－2e2)时，f(x)在(e －2，e 2)内有两个极值点；当a ∈[－2e2，0)时，f(x)在(e －2，e 2)内有一个极值点.. ……………………10分方法二、f(x)＝(x －a)lnx －x ＋a ，f ’(x)＝lnx －ax ，令()ln g x x x（不用零点存在定理说明扣3分）（3）猜想：x ∈(1，1＋a)，f(x)＜a －1恒成立． ……………………11分证明如下：由（2）得g(x)在(1e ，＋∞)上单调递增，且g(1)＝－a ＜0，g(1＋a)＝(1＋a)ln(1＋a)－a ．因为当x ＞1时，lnx ＞1－1x (*)，所以g(1＋a)＞(1＋a)(1－1a ＋1)－a ＝0．故g(x)在(1，1＋a)上存在唯一的零点，设为x 0．由x (1，x 0) x 0 (x 0，1＋a)f ’(x) － 0 ＋ f(x)单调递减单调递增知，x ∈(1，1＋a)，f(x)＜max{f(1)，f(1＋a)}． ……………………13分 又f(1＋a)＝ln(1＋a)－1，而x ＞1时，lnx ＜x －1(**)， 所以f(1＋a)＜(a ＋1)－1－1＝a －1＝f(1)． 即x ∈(1，1＋a)，f(x)＜a －1．所以对任意的正数a ，都存在实数t ＝1，使对任意的x ∈(t ，t ＋a)，使 f(x)＜a －1．……………………15分补充证明（*）：令F(x)＝lnx ＋1x －1，x ≥1．F ’(x)＝1x －1x 2＝x －1x2≥0，所以F(x)在[1，＋∞)上单调递增．所以x ＞1时，F(x)＞F(1)＝0，即lnx ＞1－1x ．补充证明（**）令G(x)＝lnx －x ＋1，x ≥1．G ’(x)＝1x －1≤0，所以G(x)在[1，＋∞)上单调递减．所以x ＞1时，G(x)＜G(1)＝0，即lnx ＜x －1． ……………………16分数学附加题21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只要选做2题，每小题10分，共计20分．请在答题纸指定．．．．．区域内．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲在圆O 中，AB ，CD 是互相平行的两条弦，直线AE 与圆O 相切于点A ，且与CD 的延长线交于点E ，求证：AD 2＝AB ·ED ．证明：连接BD ，因为直线AE 与圆O 相切，所以∠EAD ＝∠ABD ． ……………………4分 又因为AB ∥CD ， 所以∠BAD ＝∠ADE ，所以△EAD ∽△DBA ． ……………………8分 从而ED DA ＝AD BA ，所以AD 2＝AB ·ED ． ……………………10分B ．选修4－2：矩阵与变换已知，点A 在变换T :2x x x y y y y '+⎡⎤⎡⎤⎡⎤→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦作用后，再绕原点逆时针旋转90o ，得到点B ．若点B 的坐标为(3,4)-，求点A 的坐标．A BCDEO ·（第21题（A ）图）解：011201100112--⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦． ……………………………………………………4分设(,)A a b ，则由013124a b --⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得324b a b -=-⎧⎨+=⎩．……………………………………8分 所以23a b =-⎧⎨=⎩，即(2,3)A -． (10)分C ．选修4－4：坐标系与参数方程若以直角坐标系xOy 的O 为极点，Ox 为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C 的极坐标方程是θθρ2sin cos 6=．（1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线；（2）若直线l 的参数方程为323x t y t ⎧=+⎪⎨⎪=⎩（t 为参数），当直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，求AB．解：（1）由θθρ2sin cos 6=，得θρθρcos 6sin 2=，26y x =． ……………………4分所以曲线C 表示顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线． ……………………5分（2）将323x t y t ⎧=+⎪⎨⎪=⎩代入26y x =得2230t t --=，123,1t t ==- ……………………8分222121()()AB x x y y =-+-22212121()[3()]28t t t t t t =-+-=-=……………………10分解法二：代入26y x =得2230t t --=，12122,3t t t t +==-……………………8分222121()()AB x x y y =-+-22221212112()[3()]2()48t t t t t t t t =-+-=+-= ……………………10分D ．选修4－5：不等式选讲设函数()23()f x x x x m m R =-+---∈． （Ⅰ）当4m =-时，求函数()f x 的最大值； （Ⅱ）若存在0x R ∈，使得01()4f x m≥-，求实数m 的取值范围． 解：（Ⅰ）当4m =-时，33,2,()2341,23,5,3x x f x x x x x x x x +<-⎧⎪=-+--+=--≤≤⎨⎪-+>⎩……2分∴函数()f x 在(,3]-∞上是增函数，在(3,)+∞上是减函数， 所以max ()(3)2f x f ==．……………………4分（Ⅱ）01()4f x m ≥-，即0001234x x x m m-+--+≥+， 令()234g x x x x =-+--+，则存在0x R ∈，使得01()g x m m≥+成立， ∴max 1()2,m g x m +≤=即12,m m+≤ ……………………7分∴当0m >时，原不等式为2(1)0m -≤，解得1m =， 当0m <时，原不等式为2(1)0m -≥，解得0m <，综上所述，实数m 的取值范围是{}(,0)1-∞U ． ……………………10分22.设集合{}5,4,3,2,1=S ，从S 的所有非空子集中，等可能地取出一个.（1）设S A ⊆，若A x ∈，则A x ∈-6，就称子集A 满足性质p ，求所取出的非空子集满足性质p 的概率； （2）所取出的非空子集的最大元素为ξ，求ξ的分布列和数学期望()ξE . 解：可列举出集合S 的非空子集的个数为：31125=-个.（I ）满足性质p 的非空子集为：{}3，{}5,1，{}4,2，{}5,3,1，{}4,3,2，{}5,4,2,1，{}5,4,3,2,1共7个，所以所取出的非空子集满足性质p 的概率为：317=p . …………………4分（2）x 的可能值为1,2,3,4,5x12345P1312314318311631()124816129=1+2+3+4+5=313131313131E x 创创?…………………10分23. 设集合{1,0,1}M =-，集合123{(,,)|,1,2,,}n n i A x x x x x M i n =∈=L L ，，，集合n A 中满足条件“121||||||n x x x m ≤+++≤L ”的元素个数记为nm S ．⑴求22S 和42S 的值；⑵当m n <时，求证：nmS 111322n m n +++<+-． 23.解⑴228S =，4232S =； ……………………3分 ⑵设集合{0}P =，{1,1}Q =-． 若12||||||1n x x x +++=L，即123,,n x x x x L ，，中有1n -个取自集合P ，1个取自集合Q ，故共有112n n C -种可能，即为112nC ，美好的未来不是等待，而是孜孜不倦的攀登。

六2021届高三数学第二次联考试题理〔含解析〕创作人：历恰面日期：2020年1月1日一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一个是符合题目要求的.，集合，那么集合等于〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题可得：集合是点集，集合是数集，由交集概念即可得解。

【详解】由题可得：集合是点集，集合是数集，所以.应选：D【点睛】此题主要考察了集合的表示及交集运算，属于根底题。

满足，那么的虚部为〔〕A. -4B.C. 4D.【答案】B【解析】【分析】整理得：，问题得解。

【详解】因为，所以所以的虚部为：应选：B【点睛】此题主要考察了复数的模及复数的除法运算，还考察了复数的有关概念，考察计算才能，属于根底题。

的情况，用系统抽样的方法从全校2400名学生中抽取30人进展调查.现将2400名学生随机地从1～2400编号，按编号顺序平均分成30组〔1～80号，81～160号，…，2321～2400号〕，假设第3组与第4组抽出的号码之和为432，那么第6组抽到的号码是〔〕A. 416B. 432C. 448D. 464 【答案】A【解析】【分析】设第组抽到的号码是，那么构成以80为公差的等差数列，利用等差数列性质可得第6组抽到的号码.【详解】设第组抽到的号码是，那么构成以80为公差的等差数列，所以，，所以，解得，所以.应选：A【点睛】此题考察随机抽样的知识，考察数据处理才能和应用意识.的公差为2，且是与的等比中项，那么该数列的前项和取最小值时，那么的值是〔〕A. 7B. 6C. 5D. 4【答案】B【解析】以为变量，得，，那么，所以最小，故,应选B.是正方体的对角面〔含边界〕内的点，假设点到平面、平面、平面的间隔相等，那么符合条件的点〔〕A. 仅有一个B. 有有限多个C. 有无限多个D. 不存在【答案】A【解析】解：与平面间隔相等的点位于平面上；与平面间隔相等的点位于平面上；与平面间隔相等的点位于平面上；据此可知，满足题意的点位于上述平面，平面,平面的公一共点处，结合题意可知，满足题意的点仅有一个.此题选择A选项.点睛：此题考察点到平面的间隔，利用点到直线的间隔将平面问题类比到空间中点到面的间隔，据此找到满足题意的点是否存在即可.6.，点为斜边的中点，，，，那么等于〔〕A. -14B. -9C. 9D. 14【答案】D【解析】【分析】利用向量一共线及向量的加减法分别表示出，，再利用即可求得，问题得解。

高中毕业生第二次复习统一检测理科数学本试卷满分150分，考试时间120分钟考生注意：1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮檫干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}3,0xM y y x ==>，(){}2lg 3N x y x x==-，则M N I为（ ）A ．∅B ．()1,+∞C ．[)3,+∞D ．()1,32．设i 是虚数单位，如果复数2a ii++的实部与虚部是互为相反数，那么实数a 的值为（ ）A ．3-B ．13-C ．13D ．33．甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后，甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用．若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是（ ）A ．丙被录用了B ．乙被录用了C ．甲被录用了D ．无法确定谁被录用了4．设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m α⊂，//n α，则m ，n 为异面直线； ②若m β⊥，αβ⊥，m γ⊥，则αγ⊥；③若//αγ，//βγ，则//αβ； ④若m α⊥，n β⊥，//m n ，则αβ⊥．则上述命题中真命题的序号为（ ）A ．①②B ．③④C ．②③D ．②④5．若正整数n 除以正整数m 后的余数为r ，则记为(mod )n r m ≡，例如103(mod 7)≡．下面程序框图的算法源于我国南北朝时期闻名中外的《中国剩余定理》，执行该程序框图，则输出n 的值等于（ ） A ．29 B ．30 C ．31D ．326．曲线2ln y x x=-在1x =处的切线的倾斜角为α，则cos sin αα+的值为（ ）A ．210B ．10 C ．10-D ．210±7．已知函数4,0()4,0x x e x f x e x -⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩，2g()x x =，则函数()g()y f x x =⋅的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．8．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()()2135213n n S a a a a n N -=++++∈L L å，1238a a a=，则8S =（ ）A ．510B ．255C ．127D ．65409．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ） A ．92πB ．9πC ．12πD ．16π10．已知1t >，2log x t =，3log y t =，5log z t =，则（ ） A ．235x y z << B ．523z x y <<C ．352y z x <<D ．325y x z <<11．设1F 、2F 分别是椭圆()222210y x a b a b+=>>的焦点，过2F 的直线交椭圆于P 、Q 两点，且1PQ PF ⊥，1PQ PF =，则椭圆的离心率为（ ）A 32B 63-C ．22D ．962-12．已知函数()4sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，460,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，若函数()()3F x f x =-的所有零点依次记为1x ，2x ，3x ，，n x ，且123n x x x x <<<⋅⋅⋅<，则1231222n n x x x x x -+++⋅⋅⋅++=（ ）A ．12763πB ．445πC ．455πD ．14573π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在5()()x y x y +-的展开式中，33x y 的系数是 ．14．《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今共织九十尺，问织几日？”．其中“日减功迟”的具体含义是每天比前一天少织同样多的布，则每天比前一天少织布的尺数为 ． 15．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐进线均与圆22:8120C x y x +-+=相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则双曲线的方程为 ．16．平行四边形ABCD 中，=3AB ，=2AD ，=120BAD ∠o ，P 是平行四边形ABCD 内一点，且1AP =．若AP x AB y AD =+u u u r u u u r u u u r，则32x y +的最大值为 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． 17．（12分）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知2226b c a +-=-， 且sin sin 4sin sin b C c B a B C +=． （1）求cos A ； （2）求ABC ∆的面积．18．（12分）某工厂预购买软件服务，有如下两种方案：方案一：软件服务公司每日收取工厂60元，对于提供的软件服务每次10元；方案二：软件服务公司每日收取工厂200元，若每日软件服务不超过15次，不另外收费，若超过15次，超过部分的软件服务每次收费标准为20元．（1）设日收费为y 元，每天软件服务的次数为x ，试写出两种方案中y 与x 的函数关系式； （2）该工厂对过去100天的软件服务的次数进行了统计，得到如图所示的条形图，依据该统计数据，把频率视为概率，从节约成本的角度考虑，从两个方案中选择一个，哪个方案更合适？请说明ABMDP理由．19．（12分）在四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，2CD AB =．（1）设AC 与BD 相交于点M ，若存在点N 使得()0AN mAP m =>u u u r u u u r，且//MN 平面PCD ，求实数m 的值；（2）若AB AD DP ==，60BAD ∠=o，PB =，且PD AD ⊥，求二面角A PC B --的余弦值．20．（12分）设函数()()11xxf x xe a e=+-+．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在()0,+∞有零点，证明：2a >．21．（12分）设A 、B 为曲线2:4x C y =上两点，A 与B 的横坐标之和为4．（1）求直线AB 的斜率；（2）设弦AB 的中点为N ，过点A 、B 分别作抛物线的切线，则两切线的交点为E ，过点E 作直线l ，交抛物线于P 、Q 两点，连接NP 、NQ ． 证明：2EA EB NP NQ AB k k k k k +=+=.请考生在第22、23题中任选一道作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号． 22．[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为1cos sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求圆C 的极坐标方程；（2）直线l 的极坐标方程是2sin 3πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭:3OM πθ=与圆C 的交点为O 、P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长度．23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）设函数()1f x x =-．（1）求不等式()()336f x f x ++-≥的解集；（2）若不等式()()14f x f x ax b --+>+的解集为实数集R ，求a b +的取值范围．理科数学参考答案及评分标准一、选择题12、函数()4sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 令262x k πππ-=+得123x k ππ=+,k Z ∈，即()f x 的对称轴方程为123x k ππ=+,k Z ∈． ()f x Q 的最小正周期为T π=，4603x π≤≤，当30k =时,可得463x π=，()f x ∴在460,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有31条对称轴，根据正弦函数的性质可知： 函数()4sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭与3y =的交点1x ，2x 关于3π对称，2x ,3x 关于56π对称，，故31n =．即12226x x π+=⨯,23526x x π+=⨯，，30318926x x π+=⨯， 将以上各式相加得：123303125892222666x x x x x πππ⎛⎫+++⋯++=++⋯+⎪⎝⎭()258894553ππ=+++⋯+⨯=．故选C ．二、填空题13、0 14、429 15、221124x y -= 16、2三、解答题17、解：（1）因为sin sin 4sin sin ,b C c B a B C +=由正弦定理得：sin sin sin sin 4sin sin sin ,B C C B A B C += …………………………2分又sin sin 0B C ≠，所以4sin 2,A =即1sin 2A =又2226b c a +-=-，由余弦定理得cos 0A < ………………………………………4分所以cos 2A ==-……………………………………………………6分 （2）因为222cos 2b c a A bc+-=…………………………………………………………8分所以62bc-=，即bc =…………………………………………………… 10分所以111sin 222ABC S bc A ∆==⨯=…………………………………………12分 18、解：（1）由题可知，方案一中的日收费y 与x 的函数关系式为1060,y x x N =+∈…………………………………………………………………2分方案二中的日收费y 与x 的函数关系式为200,15,20100,15,x x Ny x x x N≤∈⎧=⎨->∈⎩ . …5分（2）设方案一中的日收费为X ，由条形图可得X 的分布列为所以()1900.12000.42100.12200.22300.2210E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元）……8分 方案二中的日收费为Y ，由条形图可得Y 的分布列为()2000.62200.22400.2212E Y =⨯+⨯+⨯=（元）…………………………………11分所以从节约成本的角度考虑，选择方案一.…………………………………………………12分 19、解：（1）因为//AB CD ，所以11,23AM AB AM MC CD AC ==∴=．……………………1分因为//MN 平面PCD ，MN ⊂平面PAC ，平面PAC I 平面PCD PC =， 所以//MN PC ．………………………………………………………………3分 所以13AN AM AP AC ==，即13m =．…………………………………………4分（2）因为,60AB AD BAD =∠=︒，可知三角形ABD 为等边三角形，所以BD AD PD ==，又2BP =，故222BP PD DB =+，所有PD DB ⊥．由已知,PD AD AD BD D ⊥⋂=，所以PD ⊥平面ABCD ，如图，以D 为坐标原点，,DA DP u u u v u u u v的方向为,x y 轴的正方向建立空间直角坐标系，设1AB =，则1,2AB AD DP CD ====，所以()1,0,0A ，()(13,0,1,0,32B P C ⎛- ⎝⎭则(13,,1,32PB PC ⎛=-=-- ⎝⎭u u u v u u uv ，()1,1,0PA =-u u u v …………………………6分设平面PBC 的一个法向量为()1111,,n x y z =u v，则有1100n PB n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u v u u u vu v u u u v 即111111230,30.x y z x y z ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩令11x =，则112,3y z == 即(11,3n =u v，………………………………………………………………………8分设平面APC 的一个法向量为()2222,,n x y z =u u v，则有2200n PA n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u v u u u vu u v u u u v 即222220,30.x y x y z -=⎧⎪⎨--+=⎪⎩令223x y ==22z =， 即)23,3,2n =u u v．…………………………………………………………………10分所以121212·5315cos ,2210n n n n n n ===⨯⋅u v u u vu v u u v u v u u v设二面角A PC B --的平面角为θ，则cos θ=………………………………12分 20、解：（1）()()11xxf x xe a e=+-+Q()()1xf x x a e ∴=--⎡⎤⎣⎦'，………………………………………………………………2分1x a ∴>-时，()0f x '>，函数()f x 在()1,a -+∞上单调递增；1x a <-时，()0f x '<，函数()f x 在(),1a -∞-上单调递减；………………4分（2）证明：函数()f x 在()0,+∞有零点，可得方程()0f x =有解，()1111111xx x x x x e x xe x a x e e e -++++∴===+---有解， 令()11x x g x x e +=+-， 则()()()222111(1)(1)x xx x x x e e x e x e g x e e ----+=+=--'，…………………………………6分 设函数()2xh x e x =--，()10xh x e ='->，∴函数()h x 在()0,+∞上单调递增,又()130h e =-<，()2240h e =->，………………………………………………8分又函数()h x 在()0,+∞上单调递增，∴存在()01,2x ∈，当()00,x x ∈时，()0g x '<；当()0,x x ∈+∞时，()0g x '>，∴函数()gx 存在唯一最小值点0x ，满足002xe x =+，()()00000112,31x x g x x x e +∴=+=+∈-， ()11x x a g x x e +==+-Q 有解，()02a g x ∴≥>，2a ∴>．……………………………………………………………… 12分21、解：设()()1122,,,,A x y B x y 则2212121212,,,444x x x x y y x x ≠==+=（1）直线AB 的斜率21122114AB y y x x k x x -+===- …………………………………… 3分 （2）由（1）知，等价于证明2EA EB NP NQ k k k k +=+=，1'12EA x x x k y ===Q ，2'22EB x x x k y === 12122222EA EB x x x x k k +∴+=+==………………………………………………5分 设直线:AB l y x m =+过()11,A x y 点的切线方程为()11112y y x x x -=-，整理得2111124y x x x =- 同理，过()22,B x y 点处切线的方程为2221124y x x x =-， 联立方程组21122211241124y x x x y x x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得：2111112,4x y x x x y m ==-=-=- ()2,E m ∴-………………………………………………………………………… 7分 设()()3344,,,,P x y Q x y 易知割线的斜率存在，因为()2,E m -，设割线的方程为()2y m k x +=-，代入抛物线24x y =，整理得24840x kx k m -++=， 则34344,84x x k x x k m +=⋅=+． 所以()2222343434341112442444y y x x x x x x k k m ⎡⎤+=+=+-⋅=--⎣⎦， ()22222343434111444416y y x x x x k km m ⋅=⋅==++， ()2223434433443341184444x x x y x y x x x x x x k mk +=⋅+⋅=+=+ …………… 8分 因为()2,2N m +，1212(2,2)22x x y y m ++==+ 所以343422,22NP NQ y m y m k k x x ----==-- 所以()()()()343443343434343422122842224NP NQ y m y m k k x y x y m x x y y m x x x x x x ----+=+=+-++-+++⎡⎤⎣⎦---++()()2218884242442842848444m k km m k k k m m k m k m +⎡⎤=+-+⋅---++==⎣⎦+-++ ……………………………………………………………………………………… 11分综上可得2EA EB NP NQ k k k k +=+=所以2EA EB NP NQ AB k k k k k +=+= ………………………………………………12分 22、解：（1）圆C 的普通方程为()2211x y -+=，……………………………………2分 又cos x ρθ=，sin y ρθ=所以圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=.……………………………………………………5分 （2）设()11,P ρθ，则由=32cos ρθπθ⎧=⎪⎨⎪⎩解得11ρ=，13πθ=，得1,3P π⎛⎫ ⎪⎝⎭；…………7分 设()22,Q ρθ，则由2sin 33πρθπθ⎛⎫+= ⎪⎧⎪⎝⎭⎨=⎪⎪⎪⎩解得23ρ=，23πθ=，得3,3Q π⎛⎫ ⎪⎝⎭；…9分 所以212PQ ρρ=-=.……………………………………………………………………10分23、（1）()()2,233224,222,2x x f x f x x x x x x -<-⎧⎪++-=++-+=-≤≤⎨⎪>⎩………………………3分由()6f x ≥，得(][),33,x ∈-∞-+∞U .……………………………………………………5分（2）()()5,3142321,325,2x f x f x x x x x x <-⎧⎪--+=--+=---≤≤⎨⎪->⎩，()()14y f x f x =--+的图象如图所示：…………………………………………………8分由()()14f x f x ax b --+>+的解集为实数集R ，可得0a =，5b <-，即5a b +<-.………………………………………………………………………………10分。

2020年高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1.设351i z i i=++，则z =（ ）A. 2B.12C.22D.102【★答案★】C 【解析】 【分析】根据复数运算法则求得1122z i =-+，根据模长的定义求得结果. 【详解】()351111222i i i z i i i i --=+=+=-++ 112442z ∴=+= 本题正确选项：C【点睛】本题考查复数模长的求解问题，关键是能够通过复数的运算求得复数，属于基础题. 2.已知集合{}2670A x x x =--<，{}B x x x ==-，则A B =（ ）A. (]1,0-B. (]7,0-C. [)0,7D. [)0,1【★答案★】A 【解析】 【分析】分别求解出集合A 和集合B ，根据交集的定义求得结果. 【详解】{}()26701,7A x x x =--<=-，{}(],0B x x x ==-=-∞(]1,0A B ∴=-本题正确选项：A【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，属于基础题. 3.函数()()22ln x xf x x -=+的图象大致为（ ）A. B.C. D.【★答案★】B 【解析】 【分析】根据函数奇偶性的判断可知函数为偶函数，图象关于y 轴对称，排除D ；根据()0,1x ∈时，()0f x <，排除,A C ，从而得到正确选项.【详解】()f x 定义域为{}0x x ≠，且()()()()22ln 22ln x x x x f x x x f x ---=+-=+=()f x ∴为偶函数，关于y 轴对称，排除D ；当()0,1x ∈时，220x x -+>，ln 0x <，可知()0f x <，排除,A C . 本题正确选项：B【点睛】本题考查函数图象的辨析，关键是能够通过函数的奇偶性、特殊值的符号来进行排除. 4.已知向量a ，b 满足||2a =，||1b =，且||2b a -=则向量a 与b 的夹角的余弦值为（ ） A.22B.23C.24D.25【★答案★】C 【解析】 分析】先由向量模的计算公式，根据题中数据，求出12a b ⋅=，再由向量夹角公式，即可得出结果. 【详解】因为向量a ，b 满足||2a =，||1b =，且||2b a -=，所以2||2-=b a ，即2222+-⋅=b a a b ，因此12a b ⋅=， 所以12cos ,422⋅<>===a b a b a b. 故选：C【点睛】本题主要考查由向量的模求向量夹角余弦值，熟记向量夹角公式，以及模的计算公式即可，属于常考题型.5.已知抛物线2:2(0)C x py p =>的准线l 与圆22:(1)(2)16M x y -+-=相切，则(p = )A. 6B. 8C. 3D. 4【★答案★】D 【解析】 【分析】根据题意，求出圆的圆心为()1,2和半径为4，以及抛物线的准线方程:2pl y =-，利用直线与圆相切的性质得出242p+=，即可求出p 的值． 【详解】解：由题可知，圆22:(1)(2)16M x y -+-=的圆心为()1,2，半径为4，抛物线2:2(0)C x py p =>的准线:2p l y =-与圆22:(1)(2)16M x y -+-=相切， 则有242p+=，解得：4p =． 故选：D .【点睛】本题考查圆的标准方程和抛物线的简单性质，以及直线与圆的位置关系的应用，是基本知识的考查．6.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1231112a a a ++=，22a =，则3S =（ ） A. 8B. 7C. 6D. 4【★答案★】A 【解析】 【分析】根据等比数列的性质，得到13123322123132221111a a a a a S a a a a a a a a +++++=+==，结合题中数据，即可得出结果.【详解】因为等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1231112a a a ++=，22a =， 则13123321231322111124a a a a a S a a a a a a a +++++=+===,则38S =. 故选A【点睛】本题考查等比数列的性质，熟记等比数列的性质即可，属于常考题型. 7.“割圆术”是刘徽最突出的数学成就之一，他在《九章算术注》中提出割圆术，并作为计算圆的周长、面积以及圆周率的基础.刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正3072边形，并由此而求得了圆周率为3.1415和3.1416这两个近似数值，这个结果是当时世界上圆周率计算的最精确数据.如图，当分割到圆内接正六边形时，某同学利用计算机随机模拟法向圆内随机投掷点，计算得出该点落在正六边形内的频率为0.8269，那么通过该实验计算出来的圆周率近似值为（ ）（参考数据：32.09460.8269≈）A. 3.1419B. 3.1417C. 3.1415D. 3.1413【★答案★】A 【解析】 【分析】先设圆的半径为r ，表示出圆的面积和正六边形的面积，再由题中所给概率，即可得出结果. 【详解】设圆的半径为r ，则圆的面积为2r π，正六边形的面积为213336222r r r ⨯⨯⨯=，因而所求该实验的概率为22333320.82692rr ππ==，则33 3.141920.8269π=≈⨯.故选A【点睛】本题主要考查与面积有关的几何概型，熟记概率计算公式即可，属于常考题型. 8.已知函数()cos()(0)f x x ωϕω=+>的最小正周期为π，且对x ∈R ，()3f x f π⎛⎫⎪⎝⎭恒成立，若函数()y f x =在[0,]a 上单调递减，则a 的最大值是（ ） A.π6B.π3C.2π3D.5π6【★答案★】B 【解析】 【分析】先由最小正周期，求出ω，再由对x ∈R ，()3f x f π⎛⎫≥ ⎪⎝⎭恒成立，得到2,3k k Z πϕπ=+∈，进而可得()cos 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，求出其单调递减区间，即可得出结果. 【详解】因为函数()()cos f x x ωϕ=+的最小正周期为π，所以22πωπ==，又对任意的x ，都使得()3f x f π⎛⎫≥ ⎪⎝⎭， 所以函数()f x 在3x π=上取得最小值，则223k πϕππ+=+，k Z ∈， 即2,3k k Z πϕπ=+∈，所以()cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 令222,3k x k k Z ππππ≤+≤+∈，解得,63k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ ，则函数()y f x =在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故a 的最大值是3π.故选B【点睛】本题考查三角函数的图象及其性质，考查运算求解能力.9.已知函数||2()2x f x x =+，设21(log )3m f =，0.1(7)n f -=，()4log 25p f =，则m ，n ，p 的大小关系为（ ） A. m p n >> B. p n m >>C. p m n >>D. n p m >>【★答案★】C 【解析】 【分析】先由函数奇偶性的概念判断函数()f x 的奇偶性，再得到其单调性，确定21log 3，0.17-，4log 25的范围，即可得出结果.【详解】因为()22xf x x =+，所以()222()2()xxf x x x f x --=+-=+=，因此()22xf x x =+为偶函数，且易知函数()f x 在()0,∞+上单调递增，又()221log log 31,23=∈，()0.170,1-∈，()42log 25log 52,3=∈， 所以0.1421log 25log 73->>， 因此p m n >>. 故选C【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性的应用，熟记函数性质即可，属于常考题型.10.已知双曲线()2222100x y a b a b-=＞，＞的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2且斜率为247的直线与双曲线在第一象限的交点为A ，若21210F F F A F A →→→⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭，则此双曲线的标准方程可能为（ ）A. x 2212y -=1B. 22134x y -= C. 221169x y -= D. 221916x y -=【★答案★】D 【解析】 【分析】由向量的加减运算和数量积的性质，可得221||||2AF F F c ==，由双曲线的定义可得1||22AF a c =+，再由三角形的余弦定理，可得35c a =，45c b =，即可判断出所求双曲线的可能方程． 【详解】解：由题可知，1212F A F F F A →→→=-+，若21210F F F A F A →→→⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭，即为2221210F F F F A F F A →→→→⎛⎫+⋅ ⎛⎫-+⎪⎝ ⎭⎪⎭=⎝， 可得21222F AF F →→=，即有221||||2AF F F c ==，由双曲线的定义可知122AF AF a -=， 可得1||22AF a c =+， 由于过F 2的直线斜率为247， 所以在等腰三角形12AF F 中，2124tan 7AF F ∠=-， 则217cos 25AF F ∠=-， 由余弦定理得：22221744(22)cos 25222c c a c AF F c c+-+∠=-=，化简得：35c a =， 即35a c =，45b c =， 可得:3:4a b =，22:9:16a b =，所以此双曲线的标准方程可能为：221916x y -=.故选：D ．【点睛】本题考查双曲线的定义和方程、性质，考查向量数量积的性质，以及三角形的余弦定理，考查运算能力，属于中档题．11.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是AD 的中点，动点P 在底面ABCD 内（不包括边界），若1B P平面1A BM ，则1C P 的最小值是（ ）A.305 B.2305C. 275D.475【★答案★】B【解析】 【分析】在11A D 上取中点Q ，在BC 上取中点N ，连接11,,,DN NB B Q QD ，根据面面平行的判定定理可知平面1//B QDN 平面1A BM ，从而可得P 的轨迹是DN （不含,D N 两点）；由垂直关系可知当CP DN ⊥时，1C P 取得最小值；利用面积桥和勾股定理可求得最小值.【详解】如图，在11A D 上取中点Q ，在BC 上取中点N ，连接11,,,DN NB B Q QD//DN BM ，1//DQ A M 且DNDQ D =，1BMA M M =∴平面1//B QDN 平面1A BM ，则动点P 的轨迹是DN （不含,D N 两点）又1CC ⊥平面ABCD ，则当CP DN ⊥时，1C P 取得最小值此时，22212512CP ⨯==+ 2212230255C P ⎛⎫∴≥+= ⎪⎝⎭本题正确选项：B【点睛】本题考查立体几何中动点轨迹及最值的求解问题，关键是能够通过面面平行关系得到动点的轨迹，从而找到最值取得的点.12.已知函数()2ln 2xx f x e x =+-的极值点为1x ，函数()2xg x e x =+-的零点为2x ，函数()ln 2xh x x=的最大值为3x ，则（ ） A. 123x x x >> B. 213x x x >>C. 312x x x >>D. 321x x x >>【★答案★】A 【解析】 【分析】根据()f x '在()0,∞+上单调递增，且11024f f ⎛⎫⎛⎫''⋅<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可知导函数零点在区间11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭内，即()f x 的极值点111,42x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；根据()g x 单调递增且11024g g ⎛⎫⎛⎫⋅< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可知211,42x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；通过判断()()12g x g x >，结合()g x 单调性可得12x x >；利用导数可求得()max 1124h x e =<，即314x <，从而可得三者的大小关系. 【详解】()1x f x e x x'=+-在()0,∞+上单调递增且1213022f e ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭，14115044f e ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭111,42x ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭且11110x e x x +-= 函数()2xg x e x =+-在()0,∞+上单调递增且1213022g e ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，14112044g e ⎛⎫=+-< ⎪⎝⎭211,42x ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭又()()11111211112220xg x e x x x g x x x ⎛⎫=+-=-+-=->=⎪⎝⎭且()g x 单调递增 12x x ∴> 由()21ln 2x h x x-'=可得：()()max 12h x h e e ==，即31124x e =< 123x x x ∴>>本题正确选项：A【点睛】本题考查函数极值点、零点、最值的判断和求解问题，涉及到零点存在定理的应用，易错点是判断12,x x 大小关系时，未结合()g x 单调性判断出()()12g x g x >，造成求解困难. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把★答案★填在答题卡中的横线上.13.设x ，y 满足约束条件2020260x y x y -≥⎧⎪+≥⎨⎪+-≤⎩，则z x y =+的最小值是________.【★答案★】0 【解析】 【分析】画出可行域，平移基准直线0x y +=到可行域边界的位置，由此求得目标函数的最小值.【详解】画出可行域如下图所示，由图可知当:0l x y +=平移到过点(2,2)-时，min 0z =.【点睛】本题考查线性规划问题，考查数形结合的数学思想以及运算求解能力. 14.某公司对2019年1～4月份的获利情况进行了数据统计，如表所示：利用线性回归分析思想，预测出2019年8月份的利润为11.6万元，则y 关于x 的线性回归方程为_____【★答案★】0.954y x =+ 【解析】 【分析】由已知求得样本点的中心的坐标，结合已知列关于b 与a 的方程组，求解即可得到y 关于x 的线性回归方程.【详解】解：由已知表格中的数据可得，12342.54x +++==，56 6.5825.544y +++==，∴25.52.54b a =+，① 又11.68b a =+，②联立①②解得：0.95b =，4a =.∴y 关于x 的线性回归方程为0.954y x =+.故★答案★为：0.954y x =+.【点睛】本题考查线性回归方程，直接利用公司计算即可，属于基础题15.若一个圆柱的轴截面是面积为4的正方形，则该圆柱的外接球的表面积为_______. 【★答案★】8π. 【解析】 【分析】作出圆柱与其外接球的轴截面，结合题中数据，求出外接球半径，再由球的表面积公式，即可得出结果.【详解】作出圆柱与其外接球的轴截面如下：设圆柱的底面圆半径为r ，则2BC r =，所以轴截面的面积为()224ABCD S r ==正方形，解得1r =，因此，该圆柱的外接球的半径2222222BD R +===， 所以球的表面积为()2428S ππ==.故★答案★8π【点睛】本题主要考查圆柱外接球的相关计算，熟记公式即可，属于常考题型.16.数列{}n a 为1，1，2，1，1，2，3，1，1，2，1，1，2，3，4，…，首先给出11a =，接着复制该项后，再添加其后继数2，于是21a =，32a =，然后再复制前面所有的项1，1，2，再添加2的后继数3，于是41a =，51a =，62a =，73a =，接下来再复制前面所有的项1，1，2，1，1，2，3，再添加4，…，如此继续，则2019a =______. 【★答案★】1 【解析】 【分析】根据数列构造方法可知：21n a n -=，即()21121n nk k a a k -+=≤<-；根据变化规律可得20192a a =，从而得到结果.【详解】由数列{}n a 的构造方法可知11a =，32a =，73a =，154a =，可得：21n a n -= 即：()21121n nk k a a k -+=≤<-201999648523010340921a a a a a a a a ∴========本题正确结果：1【点睛】本题考查根据数列的构造规律求解数列中的项，关键是能够根据构造特点得到数列各项之间的关系，考查学生的归纳总结能力.三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2sin sin sin sin sin sin B C b B c C a A A ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭.（1）求A 的大小； （2）若2a =，π3B =，求ABC ∆的面积.【★答案★】(1) 4A π=.(2) 334ABC S ∆+=【解析】 【分析】（1）先由正弦定理，将2sin sin sin sin sin sin B C b B c C a A A ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭化为222bc b c a a a ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，结合余弦定理，即可求出角A ；（2）先求出sin C ，再由正弦定理求出b ，根据三角形面积公式，即可得出结果.【详解】（1）因为2sin sin sin sin sin sin B C b B c C a A A ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭，由正弦定理可得：222bc b c a a a ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭， 即2222b c a bc +-=，再由余弦定理可得2cos 2bc A bc =，即2cos 2A =, 所以4A π=；（2）因为3B π=，所以()62sin sin 4C A B +=+=， 由正弦定理sin sin a b A B=，可得3b =. 133sin 24ABC S ab C ∆+==. 【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理、余弦定理即可，属于常考题型.18.如图，在直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是矩形，A 1D 与AD 1交于点E ，AA 1＝AD ＝2AB ＝4.（1）证明：AE ⊥平面ECD.（2）求直线A 1C 与平面EAC 所成角的正弦值. 【★答案★】（1）证明见解析；（2）69【解析】 【分析】（1）证明AA 1⊥CD，CD⊥AD，推出CD⊥平面AA 1D 1D ，得到CD⊥AE.证明AE⊥ED.即可证明AE⊥平面ECD ；（2）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法求解直线A 1C 与平面EAC 所成角的正弦值. 【详解】（1）证明：因为四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1是直四棱柱， 所以AA 1⊥平面ABCD ，则AA 1⊥CD.又CD ⊥AD ，AA 1∩AD ＝A ，1,AA AD ⊂平面AA 1D 1D ， 所以CD ⊥平面AA 1D 1D ，所以CD ⊥AE.因为AA1⊥AD，AA1＝AD，所以AA1D1D是正方形，所以AE⊥ED.又CD∩ED＝D，,CD ED⊂平面ECD.所以AE⊥平面ECD.（2）如图，以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴，以1AA所在直线为z轴，建立如图所示的坐标系，A1D与AD1交于点E，AA1＝AD＝2AB＝4.A（0，0，0），A1（0，0，4），C（2，4，0），D（0，4，0），所以E（0，2，2），(0,2,2)AE=，(2,4,0)AC=，1AC=（2，4，﹣4），设平面EAC的法向量为n=（x，y ，z），可得n ACn AE⎧⋅=⎨⋅=⎩，即240220x yy z+=⎧⎨+=⎩，不妨n=（﹣2，1，-1），所以直线A1C与平面EAC 所成角的正弦值为11||444|46966|636nA CA Cn⋅-++===⋅.【点睛】本题主要考查空间直线平面的位置关系的证明，考查空间线面角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.19.某工厂预购买软件服务，有如下两种方案：方案一：软件服务公司每日收取工厂60元，对于提供的软件服务每次10元；方案二：软件服务公司每日收取工厂200元，若每日软件服务不超过15次，不另外收费，若超过15次，超过部分的软件服务每次收费标准为20元．（1）设日收费为y 元，每天软件服务的次数为x ，试写出两种方案中y 与x 的函数关系式； （2）该工厂对过去100天的软件服务的次数进行了统计，得到如图所示的条形图，依据该统计数据，把频率视为概率，从节约成本的角度考虑，从两个方案中选择一个，哪个方案更合适？请说明理由．【★答案★】(1) 方案一中:1060,y x x N =+∈,方案二：200,15,20100,15,x x Ny x x x N ≤∈⎧=⎨->∈⎩.(2) 从节约成本的角度考虑，选择方案一. 【解析】 【分析】（1）根据题中条件，建立等量关系，即可得出所需函数关系；（2）分别设两种方案的日收费为X ，Y ，由题中条形图，得到X ，Y 的分布列，求出对应期望，比较大小，即可得出结果.【详解】（1）由题可知，方案一中的日收费y 与x 的函数关系式为1060,y x x N =+∈方案二中的日收费y 与x 的函数关系式为200,15,20100,15,x x Ny x x x N ≤∈⎧=⎨->∈⎩.（2）设方案一种的日收费为X ，由条形图可得X 的分布列为X190 200 210 220 230 P0.10.40.10.20.2所以()1900.12000.42100.12200.22300.2210E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元） 方案二中的日收费为Y ，由条形图可得Y 的分布列为Y200 220 240 P0.60.20.2()2000.62200.22400.2212E Y =⨯+⨯+⨯=（元）所以从节约成本的角度考虑，选择方案一.【点睛】本题主要考查函数的应用，以及离散型随机变量的分布列与期望，熟记相关概念即可，属于常考题型.20.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为32，焦距为23.（1）求C 的方程； （2）若斜率为12-的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点（点P ，Q 均在第一象限），O 为坐标原点. ①证明：直线,,OP PQ OQ 的斜率依次成等比数列. ②若Q '与Q 关于x 轴对称，证明：4tan 3POQ '∠>. 【★答案★】（1）2214x y +=； （2）①见解析；②见解析.【解析】 【分析】（1）根据离心率、焦距和222b a c =-可解出,,a b c ，从而得到椭圆方程；（2）①设直线l 的方程为：12y x m =-+，()11,P x y ，()22,Q x y ，将直线方程与椭圆方程联立可得韦达定理的形式，从而求得12y y ；整理可知：2121214Q Q O O P P y y k k k x x ===，从而证得结论；②Q '与Q 关于x 轴对称可知xOQ xOQ'∠=∠，由①知1tan tan 4xOQ xOP '∠⋅∠=，则()tan tan POQ xOQ xOP ''∠=∠+∠，利用两角和差正切公式展开整理，根据基本不等式求得最小值，经验证等号无法取得，从而证得结论.【详解】（1）由题意可得：32223c a c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得：23a c =⎧⎪⎨=⎪⎩ 2221b a c ∴=-=∴椭圆C 的方程为：2214x y += （2）证明：①设直线l 的方程为：12y x m =-+，()11,P x y ，()22,Q x y由221214y x m x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y 得：()222210x mx m -+-= 则()()222481420m m m∆=--=->，且122xx m +=，()21221x x m =-()22121212121111122422m y y x m x m x x m x x m -⎛⎫⎛⎫∴=-+-+=-++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()2212212112421OP OQPQ m y y k k k x x m -∴====- 即直线,,OP PQ OQ 的斜率依次成等比数列 ②由题可知：xOQ xOQ '∠=∠ 由①可知：1tan tan 4xOQ xOP '∠⋅∠=，tan 0xOQ '∠>，tan 0xOP ∠> ()tan tan tan tan 1tan tan xOQ xOP POQ xOQ xOP xOQ xOP'∠+∠''∴∠=∠+∠='-∠⋅∠()44tan tan 2tan tan 3343xOQ xOP xOQ xOP ''=∠+∠⨯⋅∠=≥∠ 若xOQ xOP '∠=∠，则,P Q 两点重合，不符合题意；可知无法取得等号4tan 3POQ '∴∠>【点睛】本题考查椭圆标准方程求解、直线与椭圆综合应用问题，涉及到斜率关系的证明和不等式的证明.证明不等式的关键是能够利用倾斜角的关系，利用两角和差正切公式构造出符合基本不等式的形式，利用基本不等式求得最值；易错点是忽略对于取等条件能否成立的验证.21.已知函数()xf x e ax b =++，曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程为20ex y --=．（1）求函数()f x 的解析式，并证明：()1f x x -．（2）已知()2g x kx =-，且函数()f x 与函数()g x 的图象交于1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 两点，且线段AB 的中点为0(P x ，0)y ，证明：0()f x g <（1）0y <.【★答案★】（1）()2xf x e =-；证明见解析；（2）证明见解析； 【解析】 【分析】（1）根据题意，对()f x 求导得()x f x a e '=+，利用导数的几何意义和切线方程求出a 和b ，即可求出()f x 的解析式，令()()11x h x f x x e x =-+=--，利用导数研究函数得单调性和最值得出()0h x ≥，即可证明不等式；（2）结合分析法，把所要证明的问题转化为证明212121221112x x x x x x e e x x e----+<<-，设210t x x =->，进而转化为只需证：22tte e t -->，构造函数22()ttF t e e t -=--，利用导数研究函数的单调性，从而可证明出0()f x g <（1）0y <.【详解】解：（1）由题可知，()xf x e ax b =++，则()x f x a e '=+，由于()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程为20ex y --=， 所以f （1）2e a b e =++=-，即2a b +=-， 即f '（1）e a e =+=，则0a =，解得：2b =-， 则()2xf x e =-．令()()11x h x f x x e x =-+=--，()1xh x e '=-，令()0h x '=，即10x e -=，解得：0x =，则0x <时，()0h x '<，()h x 单调递减；0x >时，()0h x '>，()h x 单调递增， 所以函数()h x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增，()(0)0h x h ∴=，则()1f x x -．（2）由题可知，()2g x kx =-，且12012022x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，则1202()22x x x f x e e+=-=-，12120422x x y y e e y ++-==， 要证0()f x g <（1）0y <成立， 只需证：121224222x x x x e e ek ++--<-<，即证：121222x x x x e k e e++<<，即证：1122122212xx x x x x e e e x e e x +-+<<-， 只需证：212121221112x x x x x x e e x x e----+<<-， 不妨设210t x x =->，即证：2112tt t e e e t -+<<， 要证21t t e e t-<，只需证：22t t e e t -->，令22()t t F t e et -=--，则221()()102t tF t e e -'=+->，()F t ∴在(0,)+∞上为增函数，()(0)0F t F ∴>=，即21t t e e t-<成立； 要证112t t e e t -+<，只需证：112t t e t e -<+，令1()12t t e tG t e -=-+，则22222214(1)(1)()0(1)22(1)2(1)t t t t t t t e e e e G t e e e -+--'=-==<+++， ()G t ∴在(0,)+∞上为减函数，()(0)0G t G ∴<=，即112t te e t -+<成立． ∴2112tt t e e e t -+<<，0t >成立， 0()f x g ∴<（1）0y <成立．【点睛】本题考查导数的几何意义的应用和利用导数证明不等式，还涉及利用导数研究函数的单调性和最值，属于导数知识的综合应用，考查转化思想和运算能力．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为0x y a +-=，曲线C 的参数方程为2cos ,sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求直线l 和曲线C 的极坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且直线OA 与OB 的斜率之积为54，求a . 【★答案★】（1）l :cos sin0a ，C ：()2224sin cos 4ρθθ+=；（2）12a =±. 【解析】 【分析】（1）利用直角坐标与极坐标换算公式直接可得； （2）联立直线l 与曲线C 的极坐标方程，得()()22224sincos 4cos sin aθθθθ++=，设()()1122,,,A B ρθρθ，则125tan tan 4O O B A k k θθ==，解得a 即可. 【详解】（1）将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入0x y a +-=的方程中，所以直线l 的极坐标方程为cos sin 0a .在曲线C 的参数方程中，消去α，可得2214x y +=，将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入2214x y +=的方程中，所以曲线C 的极坐标方程为()2224sincos 4ρθθ+=.（2）直线l 与曲线C 的公共点的极坐标满足方程组()222cos sin 04sin cos 4a ρθρθρθθ+-=⎧⎪⎨+=⎪⎩，由方程组得()()22224sin cos 4cos sin a θθθθ++=， ()2222224sin cos 4si 2cos n sin cos a a θθθθθθ+=++，两边同除2cos θ，可化为22224tan 48tan 4tan a a θθθ+=++，即()22244tan 8tan 40a a θθ--+-=， 设()()1122,,,A B ρθρθ，则212245tan tan 444O OB A a k k a θθ-===-，解得12a =±. 【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程，普通方程之间的换算关系．考查了直线与椭圆极坐标方程的应用．属于中档题． [选修4-5：不等式选讲] 23.已知函数()|2|f x x =+.（1）求不等式()(2)4f x f x x +-<+的解集；（2）若x ∀∈R ，使得()()(2)f x a f x f a ++恒成立，求a 的取值范围.【★答案★】(1) {}22x x -<<.(2) 22,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦. 【解析】【分析】（1）先由题意得24x x x ++<+，再分别讨论2x -≤，20x -<≤，0x >三种情况，即可得出结果；（2）先由含绝对值不等式的性质，得到()()22f x a f x x a x a ++=++++≥，再由题意，可得22a a ≥+，求解，即可得出结果.【详解】（1）不等式()()24f x f x x +-<+ 可化为24x x x ++<+，当2x -≤时，224x x --<+ ，2x >-，所以无解；当20x -<≤时，24x <+ 所以20x -<≤；当0x >时，224x x +<+，2x < ，所以02x <<，综上，不等式()()24f x f x x +-<+的解集是{}|22x x -<<.（2）因为()()22f x a f x x a x a ++=++++≥又x R ∀∈，使得()()()2f x a f x f a ++≥ 恒成立，则22a a ≥+，()2222a a ≥+，解得223a -≤≤-. 所以a 的取值范围为22,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题主要考查含绝对值的不等式，熟记分类讨论的思想，以及绝对值不等式的性质即可，属于常考题型.感谢您的下载!快乐分享，知识无限！。

天津市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷第二次联考数学理科创作人：百里公地 创作日期：202X.04.01 审核人： 北堂址重 创作单位： 博恒中英学校第I 卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1)函数2lg(2)()x x f x x-++=的定义域为（ ） A(-1,0)(0,2) B ．（-1,0)(0,+∞) C ．（一∞，-1)(2,+∞) D ．（-1,2)(2)已知集合{}|2,*M x x a b a N ==+∈，对任意,x y M ∈，则下列说法错误的是（ ）A ．x y M +∈B ．2x M ∈C ．x y M ⋅∈D ．x M y∈ (3)已知225535232(),(),log ,,,555a b c a b c ===则的大小关系是（ ） A. a<c<b B. b<a<e C. c<a<b D. a<b<c(4)下列函数中，随x(x>0)的增大，增长速度最快的是（ ）A. y =1，x ∈ZB. y=xC. y= 2xD. y=x e(5)11(2)ex dx x +⎰等于（ ） A. e 2 -2 B. e 一1 C. e 2 D.e+1(6)原命题为“三角形ABC 中，若cosA <0，则三角形ABC 为钝角三角形”，关于其遵命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（ ）A ．真，真，真 B. 假，假，真C ．真，真，假D ．真，假，假(7)已知函数()ln f x x b x =+在区间(0，2)上不是单调函数，则b 的取值范围是（ ）A ．（一∞，0)B ．（一∞，-2)C ．（-2,0)D ．（-2,+∞）(8)函数()sin ln ||f x x x =⋅的图象大致是（ ）(9)下列函数中，与函数()3x x e e f x --=的奇偶性、单调性均相同的是（ ） (10)已知函数()|1|x f x e =-满足()()()f a f b a b =≠，在区间[a ，2b]上的最大值为e-1，则b 为（ ）A.ln3B. 13C. 12D.l (11)已知定义在R 上的函数()f x 满足：()2f x +∈①=2f(x);②当x [-1,1]时，()cos .2f x x π=记函数g (x)= f (x) -log 4(x+l)，则函数g(x)在区间[0，10]内零点个数是（ ）A ．12B ．11C ．10D ．9(12)函数()f x 在R 上可导，下列说法正确的是（ ）A ．若()'()0f x f x +>对任意x ∈R 恒成立，则有(2)(1)ef f <B ．若()'()0f x f x -<对任意x ∈R 恒成立，则有2(1)(1)e f f -＜ C ．若()'()1f x f x +>对任意x ∈R 恒成立，则有(0)(1)1f e ef +>+D ．若()'()1f x f x -<对任意x ∈R 恒成立，则有(1)(0)1ef e f -+>+第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置．(13)命题“任意x ∈(0，+∞)，都有x 2-2x >0”的否定是____。

“天一大联考·齐鲁名校联盟”2024—2025学年高三年级第二次联考数学一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1.已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}13,5A =,，{}1,2,3B =，则()U A B =ð（）A.{}2,4,5,6 B.{}4,6 C.{}2,4,6 D.{}2,5,62.已知0,0m n >>，且3m n +=，则21m n +++的最大值为（）A.8B.23C.22D.572+3.函数)()(e e x x f x x -=-的图象大致为（）A. B. C. D.4.一块扇形薄铁板的半径是30，圆心角是120 ，把这块铁板截去一个半径为15的小扇形后，剩余铁板恰好可作为一个圆台的侧面，则该圆台的体积为（）A.17502π9B.1750π9C.17502π3D.17502π5.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“数列{}n S 为递增数列”是“321a a a >>”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.函数221,2()2,2x x f x x x ⎧-<-=⎨-≥-⎩的最小值为（）A .4- B.2- C.3D.57.已知数列{}n a 满足：11a =，点()1,n n n a a ++在函数1y kx =+的图象上，其中k 为常数()0k ≠，且124,,a a a 成等比数列，则k 的值为（）A.2B.3C.4D.58.已知定义在R 上的函数()f x 满足()1(1)f x f x =--，若函数442x xy =+与函数()y f x =的图象的交点为112220252025(),),(,),,(,x y x y x y ，则20251)(i i i x y =+=∑（）A.0B.20252C.2025D.60752二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.9.下列说法正确的是（）A.若,a b c >∈R ，则22ac bc >B.若22,a b c cc >∈R ，则a b >C.若a b >，则22a b >D.函数2sin sin y x x=+的最小值为2210.如图，有一列曲线012,,, P P P ，已知0P 所围成的图形是面积为1的等边三角形，1(0,1,2,3,)k P k += 是对k P 进行如下操作得到的：将k P 的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉，记k S 为曲线k P 所围成图形的面积，则（）A.3P 的边数为128B.24027S =C.n P 的边数为34n⨯ D.834()559nn S =-⋅11.已知函数()32,f x x ax a =-+∈R ，则（）A.()f x 的图象关于点()0,2对称B.(),a f x ∃∈R 仅有一个极值点C.当1a =时，()f x 图象的一条切线方程为240x y -+=D.当3a <时，()f x 有唯一的零点三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合*2{13,{|(2)20}|}A x x B x ax a x =∈≤<=-++=N ，若“x B ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件，则实数a 的所有取值组成的集合是______.13.蜜蜂被举为“天才的建筑师”，蜂巢结构是一种在一定条件下建筑用材最少的结构.如图是一个蜂房的立体模型，底面ABCDEF 是正六边形，棱,,,,,AG BH CI DJ EK FL 均垂直于底面ABCDEF ，上顶由三个全等的菱形,,PGHI PIJK PKLG 构成，10928GPI IPK KPG θ'∠=∠=∠=≈ ，设1BC =，则上顶的面积为______.（参考数据：1cos ,tan232θθ=-=）14.已知函数()ln f x x x =，则()f x 的最小值为______；设函数()()2g x x af x =-，若()g x 在()0,∞+上单调递增，则实数a 的取值范围是______.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知数列{}n a 满足()2*112,1n n n a a a a n +==-+∈N.（1）比较20242026,a a 的大小，并写出过程；（2）设数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，证明：1n S <.16.已知函数()f x 与其导函数()f x '的定义域均为R ，且()f x 为奇函数，当0x >时，()()()2,10f x f x f ->='.（1）判断()y f x '=的奇偶性；（2）解不等式()0f x >.17.如图，在四棱锥P ABCD -中，侧棱PA ⊥底面,ABCD AB BC ⊥，且2,2,5PA AB BC AD CD =====.（1）证明：BD ⊥平面PAC ；（2）求平面PBC 与平面PAD 夹角的正弦值.18.设函数()ln(1)(0)f x x k x k =+-≠.（1）讨论()f x 的单调区间.（2）已知直线l 是曲线()y f x =在点(,())(2)t f t t >处的切线.（i ）求直线l 的方程；（ii ）判断直线l 是否经过点(2,2).19.设数阵111202122x x X x x ⎛⎫=⎪⎝⎭，其中{}11122122,,,1,2,3,4,5,6x x x x ∈.设{}{}12,,,1,2,3,4,5,6k B n n n =⊆ ，其中*12,k n n n k <<<∈N 且6k ≤.定义变换t M 为“对于数阵的每一列，若其中有t 或t -，则将这一列中所有数均保持不变；若其中没有t 且没有t -，则这一列中每个数都乘以()121,,,k t n n n -= ”，()0B M X 表示“将0X 经过1n M 变换得到1X ，再将1X 经过2n M 变换得到2,X ，以此类推，最后将1k X -经过k n M 变换得到k X ”.记数阵k X 中四个数的和为()0B T X .（1）若{}021,2,534X B ⎛⎫==⎪⎝⎭，写出0X 经过2M 变换后得到的数阵1X ，并求()0B T X 的值；（2）若{}012321,,,34X B n n n ⎛⎫== ⎪⎝⎭，求所有()0B T X 取值的和；（3）对任意确定的一个数阵0X ，证明：所有()0B T X 取值的和不大于8-；（4）如果01336X ⎛⎫=⎪⎝⎭，其他条件不变，你研究（1）后得出什么结论？“天一大联考·齐鲁名校联盟”2024—2025学年高三年级第二次联考数学一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}13,5A =,，{}1,2,3B =，则()U A B =ð（）A.{}2,4,5,6 B.{}4,6 C.{}2,4,6 D.{}2,5,6【答案】A 【解析】【分析】由集合的交集运算、补集运算即可求解.【详解】由题意集合{}1,2,3,4,5,6U=，{}13,5A =,，{}1,2,3B =，则{}1,3A B = ，(){}2,4,5,6U A B = ð.故选：A.2.已知0,0mn >>，且3m n +=，则21m n +++的最大值为（）A.8B.23C.22D.572+【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，利用配凑法及基本不等式求出最大值.【详解】由0,0mn >>，3m n +=，得6(2)(1)2(2)(1)m n m n =+++≥++，当且仅当213m n +=+=，即1,2m n ==时取等号，因此221(21)62(2)(1)23m n m n m n +++=+++=+++≤，所以21m n +++的最大值为23.故选：B3.函数)()(e e x x f x x -=-的图象大致为（）A. B. C. D.【答案】B 【解析】【分析】利用函数()f x 奇偶性排除两个选项，再利用0x >时，函数值的正负判断即可.【详解】函数)()(e e x x f x x -=-的定义域为R ，()()(e )e x x f x x f x -=-=--，因此函数()f x 是偶函数，其图象关于y 轴对称，排除AC ；当0x >时，0e e 1x x -<<<，则()0f x <，排除D ，选项B 符合题意.故选：B4.一块扇形薄铁板的半径是30，圆心角是120 ，把这块铁板截去一个半径为15的小扇形后，剩余铁板恰好可作为一个圆台的侧面，则该圆台的体积为（）A.2π9B.1750π9C.2π3D.17502π【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，求出原扇形及截去的小扇形围成的圆锥体积，再利用圆台的定义求出圆台体积.【详解】半径为30，圆心角为120 的扇形围成圆锥的底面圆半径r ，则2π2π303r =⋅，解得10r =，该圆锥的高h=2211ππ10π333V r h ==⋅⋅=，截去半径为15的小扇形围成圆锥的底面圆半径0r，则02π2π153r =⋅，解得05r =，该圆锥的高0h==2200011ππ5π333V r h ==⋅⋅=，所以该圆台的体积为0π27π31π33VV -=-=.故选：C5.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“数列{}n S 为递增数列”是“321a a a >>”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】【分析】由321a a a >>可得10,01a q <<<或10,1a q >>，由{}n S 递增得出0n a >恒成立，再由充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】令等比数列{}n a 的公比为q ，由321a a a >>，得1112a a a q q >>，则10,01a q <<<或10,1a q >>，由数列{}n S 为递增数列，得110n n n a S S ++=->，即N n *∀∈，10n a q >，因此10,0a q >>，所以“数列{}n S 为递增数列”是“321a a a >>”的既不充分也不必要条件.故选：D6.函数221,2()2,2x x f x x x ⎧-<-=⎨-≥-⎩的最小值为（）A.4- B.2- C.3 D.5【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，分段探讨函数()f x 的单调性，进而求出最小值.【详解】当2x <-时，函数()21x f x =-在(,2)-∞-上单调递增，31()4f x -<<-；当2x ≤-时，函数2()2f x x =-在[2,0]-上单调递减，在[0,)+∞上单调递增，()(0)2f x f ≥=-，所以当0x =时，min ()2f x =-.故选：B7.已知数列{}n a 满足：11a =，点()1,n n n a a ++在函数1y kx =+的图象上，其中k 为常数()0k ≠，且124,,a a a 成等比数列，则k 的值为（）A.2B.3C.4D.5【答案】A 【解析】【分析】根据递推公式求出2a ，4a ，再根据124,,a a a 成等比数列，可求k 的值.【详解】因为点()1,n n n a a ++在函数1y kx =+的图象上，所以11n n a a kn ++=+⇒11n n kn a a +=+-，所以11a =，211k ka a =+-=，32211a k k a =+-=+，43312k k a a =+-=，因为124,,a a a 成等比数列，所以212k k =⨯⇒2k =或0k =（舍去）.故选：A8.已知定义在R 上的函数()f x 满足()1(1)f x f x =--，若函数442x x y =+与函数()y f x =的图象的交点为112220252025(),),(,),,(,x y x y x y ，则20251)(i i i x y =+=∑（）A.0B.20252C.2025D.60752【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，求出函数()f x 及442x xy =+的图象的对称中心，再结合中心对称图形的性质计算即得.【详解】依题意，由()1(1)f x f x =--，得()(1)1f x f x +-=，则函数()y f x =的图象关于点11(,)22对称，令4()42xxg x =+，则114444()(1)1424242424x x x x x x x g x g x --+-=+=+=++++⋅，因此函数()y g x =的图象关于点11(,)22对称，显然函数()y f x =与()y g x =的图象对称中心相同，则函数()y f x =与()y g x =的图象的交点关于点11(,22对称，不妨令点(,)i i x y 与20262026(,)(1,2,3,,2025)i i x y i --= 关于点11(,)22对称，则202620261,1i i i i x x y y --+=+=，20262026()()2i i i i x y x y --+++=，所以202512(202520252)i i i x y =+=⨯=∑.故选：C 【点睛】结论点睛：函数()y f x =的定义域为D ，x D ∀∈，①存在常数a ，b 使得()(2)2()()2f x f a x b f a x f a x b +-=⇔++-=，则函数()y f x =图象关于点(,)a b 对称.②存在常数a 使得()(2)()()f x f a x f a x f a x =-⇔+=-，则函数()y f x =图象关于直线x a =对称.二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.若,a b c >∈R ，则22ac bc >B.若22,a bc c c>∈R ，则a b >C.若ab >，则22a b > D.函数2sin sin y x x=+的最小值为【答案】BC 【解析】【分析】对A 举反例即可；对B 根据不等式性质即可判断；对C ，利用指数函数单调性即可判断；对D 举反例即可.【详解】对A ，当0c=时，22ac bc =，故A 错误；对B ，当22a b c c >，则20c >，则a b >，故B 正确；对C ，根据指数函数2x y =在R 上单调递增，且a b >，则22a b >，故C 正确；对D ，当sin 1x =-时，2sin 3sin y x x=+=-<D 错误.故选：BC.10.如图，有一列曲线012,,,P P P ，已知0P 所围成的图形是面积为1的等边三角形，1(0,1,2,3,)k P k += 是对k P 进行如下操作得到的：将k P 的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉，记k S 为曲线kP 所围成图形的面积，则（）A.3P 的边数为128 B.24027S =C.n P 的边数为34n⨯ D.834()559n n S =-⋅【答案】BCD 【解析】【分析】根据给定信息，归纳可得n P 的边数判断AC ；依次计算归纳得n P 所围图形的面积判断BD.【详解】依题意，令0P 图形的边长为a ，2314a =，边数是3；根据图形规律，1P 图形边长为3a，边数为0P 边数的4倍，即34⨯；2P 图形边长为23a，边数为234⨯；依此类推，n P 图形边长为3n a ，边数为34n ⨯，C 正确；3P 的边数为334192⨯=，A 错误；由图形规律知曲线n P 所围图形的面积n S 等于曲线1n P -所围面积加上每一条边增加的小等边三角形的面积，而每一个边增加的小等边三角形面积为23()43n a ⨯，则1213(34)()43n nn n a SS --=+⨯⨯，整理得1114()39n n n S S ---=⨯，数列1{}nn S S --是等比数列，1P 图形的面积213413()433a S =+⨯⨯=，121321144[1(]4183499()433559()9()()1n n n n n S S S S S S S S ---=+⨯-=+-+--⨯++=- ，D 正确；2831640558127S =-⨯=，B 正确.故选：BCD 11.已知函数()32,f x x ax a =-+∈R ，则（）A.()f x 的图象关于点()0,2对称B.(),a f x ∃∈R 仅有一个极值点C.当1a=时，()f x 图象的一条切线方程为240x y -+= D.当3a <时，()f x 有唯一的零点【答案】ACD 【解析】【分析】根据函数的奇偶性判断A ，根据三次函数的性质判断B ，根据导数的意义求切线判断C ，利用极值点的符号判断D.【详解】对A ：设()3g x x ax =-，则函数()g x 为奇函数，图象关于原点()0,0对称，将()3g x x ax =-的图象向上平移2个单位，得函数()32f x x ax =-+的图象，故函数()f x 的图象关于点()0,2对称，A 正确；对B ：由三次函数的性质可知，函数()f x 要么有2个极值点，要么没有极值点，所以B 错误；对C ：当1a=时，()32f x x x =-+，()231f x x '=-.由()2f x '=⇒2312x -=⇒1x =或1x =-.若1x =，则2y =，所以()f x 在1x =处的切线方程为：即2y x =；若1x =-，则2y =，所以()f x 在1x =-处的切线方程为：()221y x -=+即240x y -+=.故C 正确；对D ：因为()23f x x a '=-，若0a ≤，则()0f x '≥在(),-∞+∞上恒成立，则()f x 在(),-∞+∞上单调递增，由三次函数的性质可知，此时函数()f x 只有一个零点；若0a >，由()0f x '<⇒3333x -<<，由()0f x '>⇒33x <-或33x >.所以函数()f x 在3,3⎛-∞-⎝⎭和3,3⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，在,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，要使函数()f x 只有1个零点，须有03f ⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭（因为()02f =，所以03f ⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭不成立），即3332033a ⎛⎫-⋅+> ⎪ ⎪⎝⎭⇒3a <，得0<<3a .综上可知：当3a <时，函数()f x 有唯一的零点，故D 正确.故选：ACD 【点睛】方法点睛：本题可以结合三次函数的图象和性质进行分析.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合*2{13,{|(2)20}|}A x x B x ax a x =∈≤<=-++=N ，若“x B ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件，则实数a 的所有取值组成的集合是______.【答案】{0,2}【解析】【分析】用列举法表示集合A ，利用充分不必要条件的定义，借助集合的包含关系分类求解即得.【详解】依题意，{1,2}A =，{|(2)(1)0}B x ax x =--=，显然B ≠∅，由“x B ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件，得BA ，当0a=时，{1}B =，符合题意，当0a ≠时，方程2(2)20ax a x -++=的根为1和2a，显然22a ≠，否则B A =，不符合题意，因此21a=，解得2a =，此时{1}B =，符合题意，所以实数a 的所有取值组成的集合是{0,2}.故答案为：{0,2}13.蜜蜂被举为“天才的建筑师”，蜂巢结构是一种在一定条件下建筑用材最少的结构.如图是一个蜂房的立体模型，底面ABCDEF 是正六边形，棱,,,,,AG BH CI DJ EK FL 均垂直于底面ABCDEF ，上顶由三个全等的菱形,,PGHI PIJK PKLG 构成，10928GPI IPK KPG θ'∠=∠=∠=≈ ，设1BC =，则上顶的面积为______.（参考数据：1cos ,tan 232θθ=-=）【答案】924【解析】【分析】根据蜂房的结构特征，即可根据锐角三角函数以及三角形面积公式求解.【详解】依题意，由10928GPIIPK KPG θ'∠=∠=∠=≈ ，得10928GHI θ'∠=≈ ，在菱形PGHI 中，连接G I 并取其中点O，连接OH ，则2224tan2GOOH GO GI θ===，由正六边形ABCDEF 的边长1BC =，得2sin 603AC AB == ，由蜂巢结构特征知，AG CI =，又,AG CI都垂直于平面ABCDEF ，则//AG CI ，于是四边形ACIG 是平行四边形，有=3GI AC =，则26=44OH GI =，因此一个菱形的面积为1632223244GHISGI OH =⋅⋅=⨯=，所以上顶的面积为3292344⨯=.故答案为：92414.已知函数()ln f x x x =，则()f x 的最小值为______；设函数()()2g x x af x =-，若()g x 在()0,∞+上单调递增，则实数a 的取值范围是______.【答案】①.1e-②.[]0,2【解析】【分析】空1，直接求导利用()f x 的单调性去求其最小值即可；空2，利用导数与单调性的关系建立不等式，利用不等式的恒成立解决参数范围即可.【详解】由题可知()ln f x x x =定义域为()0,∞+()ln 1f x x ='-显然，当10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，′<0，()f x 单调递减；当1,+e x ∞⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，′>0，()f x 单调递增；所以()f x 的最小值为11e e f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；由题可知，()()22ln g x x af x x ax x=-=-所以()2ln g x x a x a =--'由题可知()2ln 0g x x a x a '=--≥恒成立，当0a <，显然当0x →时，()g x ∞'→-，故不成立；当0a=时，()2g x x '=，因为∈0,+∞，所以()20g x x '=>，故成立；当0a >时，由2ln 0x a x a --≥恒成立，得21ln xax +≥恒成立，即max 21ln x a x +⎛⎫≥ ⎪⎝⎭不妨令()1ln x h x x +=，所以()2ln xh x x -='所以显然当∈0,1时，ℎ′>0，ℎ单调递增；当()1,+x ∞∈时，ℎ′<0，ℎ单调递减；所以()()max 11h x h ==，即2102a a ≥⇒<≤综上所述：[]0,2a ∈故答案为：1e-；0,2【点睛】关键点点睛，当不等式化简时，不要在不等式两边去随意乘或者除以一个未知数，要保证知道其正或负，再去作乘除计算.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知数列{}n a 满足()2*112,1n n n a a a a n +==-+∈N .（1）比较20242026,a a 的大小，并写出过程；（2）设数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，证明：1n S <.【答案】（1）20242026a a <（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）证明数列的单调性，可比较给出的两项的大小.（2）先根据统计得到111111n n n a a a +=---，再求n S 进行判断即可.【小问1详解】因为211n n n a a a +=-+⇒()2212110n n n n n a a a a a +-=-+=-≥，所以1n n a a +≥.若1n n a a +=，则211n n n n a a a a +=-+=⇒1n a =，这与12a =矛盾.所以1n n a a +>.故20242026a a <.【小问2详解】由211n n n a a a +=-+⇒()2111n nn n n a a a a a +-=-=-，所以()11111111n n n n n a a a a a +==----⇒111111n n n a a a +=---.所以11111111nnn i i i i i S a a a ==+⎛⎫==- ⎪--⎝⎭∑∑1111111111n n a a a ++=-=----.由（1）可知：12n a +>，所以1n S <.16.已知函数()f x 与其导函数()f x '的定义域均为R ，且()f x 为奇函数，当0x >时，()()()2,10f x f x f ->='.（1）判断()y f x '=的奇偶性；（2）解不等式()0f x >.【答案】（1）偶函数，理由见解析（2）(1,0)(1,)-+∞ 【解析】【分析】（1）对()()f x f x -=-两边同时求导即可证明；（2）构造函数2()()ex f x h x =，求导得到其单调性即可得到()f x 在(1,)+∞上大于零，在(0,1)上小于零，再根据其为奇函数即可得到答案.【小问1详解】因为()f x 为奇函数，定义域为R ，所以()()f x f x -=-，两边同时求导可得()()f x f x ''--=-，即()()f x f x ''-=，所以()y f x '=为偶函数.【小问2详解】因为当0x >时，()2()f x f x '->，所以()2()f x f x '>.构造函数2()()e x f x h x =，则2()2()()e xf x f x h x '-'=，所以当0x >时，()0,()h x h x >'在(0,)+∞上单调递增，又因为(1)0f =，所以(1)0,()h h x =在(1,)+∞上大于零，在(0,1)上小于零，又因为2e 0x>，所以()f x 在(1,)+∞上大于零，在(0,1)上小于零，因为()f x 是定义域为R 的奇函数，所以(0)0,()f f x =在(,1)∞--上小于零，在(1,0)-上大于零，综上所述，()0f x >的解集为(1,0)(1,)-+∞ .17.如图，在四棱锥P ABCD -中，侧棱PA ⊥底面,ABCD AB BC ⊥，且2,2,5PA AB BC AD CD =====.（1）证明：BD ⊥平面PAC ；（2）求平面PBC与平面PAD 夹角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）105【解析】【分析】（1）首先证明AC BD ⊥，再利用线面垂直的性质得PA BD ⊥，最后线面垂直的判定即可证明；（2）建立合适的空间直角坐标系，求出相关平面的法向量，最后根据面面角的空间向量求法即可得到答案.【小问1详解】记AC BD O = ，如图.因为,AB BC AD CD ==，BD BD =，所以ABD CBD ≅ ，所以ADOCDO ∠=∠，由等腰三角形三线合一知90AOD COD ︒∠=∠=，即AC BD ⊥，又PA ⊥底面,ABCD BD ⊂平面ABCD ，所以PA BD ⊥，因为AC PA A ⋂=，且AC ⊂平面,PAC PA ⊂平面PAC ，所以BD ⊥平面PAC .【小问2详解】取PC 的中点M，连接OM ，则//OM PA ，所以OM ⊥平面ABCD ，所以,,OC OD OM 三条直线两两互相垂直，以,,OC OD OM 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz ，由题意及（1）知1,2OAOD ==，则(1,0,0),(0,1,0),(1,0,0),(0,2,0),(1,0,2)A B C D P ---，所以(1,2,2),(1,2,0),(1,1,2),(1,1,0)PD AD PB BC =-==--=，设平面PAD 的法向量为()111,,m x y z =，同理设平面PBC的法向量为()222,,n x y z =，则2222220n PB x y z n BC x y ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，可取(1,1,1)n =- .所以15cos ,553m n m n m n ⋅===-⋅⨯，所以平面PBC 与平面PAD 夹角的余弦值为155，所以平面PBC 与平面PAD 夹角的正弦值为105.【点睛】18.设函数()ln(1)(0)f x x k x k =+-≠.（1）讨论()f x 的单调区间.（2）已知直线l 是曲线()y f x =在点(,())(2)t f t t >处的切线.（i ）求直线l 的方程；（ii ）判断直线l 是否经过点(2,2).【答案】（1）答案见解析；（2）（i ）(1)ln(1)11k kty x k t t t =++----；（ii ）不经过.【解析】【分析】（1）求出函数()f x 的导数，再按0k <和0k >分类求出()f x 的单调区间.（2）（i ）由（1）结合导数的几何意义求出切线l 的方程；（ii ）令2x =，求出y 的值并判断与2的大小.【小问1详解】函数()ln(1)f x x k x =+-的定义域为(1,)+∞，求导得(1)()111kx k f x x x --'=+=--，当0k <时，11k ->，由()0f x '<，得11x k <<-；由()0f x '>，得1x k >-，函数()f x 在(1,1)k -上单调递减，在(1,)k -+∞上单调递增，当0k>时，11k -<，则恒有()0f x '>，函数()f x 在(1,)+∞上单调递增，所以当0k <时，函数()f x 的单调递减区间是(1,1)k -，单调递增区间是(1,)k -+∞；当0k>时，函数()f x 的单调递增区间是(1,)+∞，无递减区间.【小问2详解】（i ）由（1）知，()11kf t t '=+-，而()ln(1)f t t k t =+-，则直线l 的方程为ln(1)](1))1[(y kt k t x t t +--=+--，即(1ln(1)11k kt y x k t t t =++----.（ii ）由（i ）知，直线l 的方程为(1)ln(1)11kkt y x k t t t =++----，当2x =时，22(1)ln(1)2[ln(1)]111k ktt y k t k t t t t -=++--=++----，令21()ln(1)1ln(1)11t g t t t t t -=+-=-+---，而2t >，求导得22112()0(1)1(1)t g t t t t -'=-+=>---，函数()g t 在(2,)+∞上单调递增，因此()(2)0g t g >=，即2t ∀>，()0g t ≠，而0k ≠，于是22[ln(1)]21tk t t -++-≠-，所以直线l 不经过点(2,2).19.设数阵111202122x x X x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中{}11122122,,,1,2,3,4,5,6x x x x ∈.设{}{}12,,,1,2,3,4,5,6k B n n n =⊆ ，其中*12,k n n n k <<<∈N 且6k ≤.定义变换t M 为“对于数阵的每一列，若其中有t 或t -，则将这一列中所有数均保持不变；若其中没有t 且没有t -，则这一列中每个数都乘以()121,,,k t n n n -= ”，()0B M X 表示“将0X 经过1n M 变换得到1X ，再将1X 经过2n M 变换得到2,X ，以此类推，最后将1k X -经过k n M 变换得到k X ”.记数阵k X 中四个数的和为()0B T X .（1）若{}021,2,534X B ⎛⎫== ⎪⎝⎭，写出0X 经过2M 变换后得到的数阵1X ，并求()0B T X 的值；（2）若{}012321,,,34X B n n n ⎛⎫== ⎪⎝⎭，求所有()0B T X 取值的和；（3）对任意确定的一个数阵0X ，证明：所有()0B T X 取值的和不大于8-；（4）如果01336X ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其他条件不变，你研究（1）后得出什么结论？【答案】（1）0（2）40（3）证明见解析（4）()013BTX =【解析】【分析】（1）先写出12134X -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，再计算得22134X -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，最后相加即可；（2）分{1,2,3,4}B ⊆和{}32,3,B n =或{}331,4,,{5,6}B n n =∈以及{}11,5,6,{1,2,3,4}B n n =∈讨论即可；（3）分若1121x x ≠和1121x x =两大类讨论即可；（4）直接代入计算得11336X --⎛⎫= ⎪--⎝⎭，21336X ⎛⎫= ⎪⎝⎭即可得到答案.【小问1详解】因为021,{2,5}34X B ⎛⎫== ⎪⎝⎭，0X 经过2M 变换后得到数阵12134X -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，1X 经过5M变换后得到数阵22134X -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，所以()021340B T X =-+-+=.【小问2详解】若{1,2,3,4}B ⊆，则32134X -⎛⎫= ⎪-⎝⎭或32134X -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，可得()00,4B T X =种情况；若{}32,3,B n =或{}331,4,,{5,6}B n n =∈，则32134X --⎛⎫= ⎪--⎝⎭，可得()010,4B T X =-种情况；若{}123,,B n n n =，从{1,4}和{2,3}中各取出一个元素a ，b ，12min{,},max{,},{5,6}n a b n a b n ==∈，则32134X ⎛⎫= ⎪⎝⎭，可得()010,8BT X =种情况；若{}11,5,6,{1,2,3,4}B n n =∈，则32134X -⎛⎫= ⎪-⎝⎭或32134X -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，可得()00,4B T X =种情况.综上，所有()0BT X 取值的和为404(10)8104040⨯+⨯-+⨯+⨯=.【小问3详解】若1121x x ≠，在{1,2,3,4,5,6}的所有非空子集中，①含有11x且不含21x 的子集共42个，其中含有奇数个元素的集合有8个，经过变换后第一列均仍为1121,x x ，其中含有偶数个元素的集合有8个，经过变换后第一列均变为1121,x x --；②含有21x 且不含11x 的子集共42个，其中含有奇数个元素的集合有8个，经过变换后第一列均仍为1121,x x ，其中含有偶数个元素的集合有8个，经过变换后第一列均变为1121,x x --；③同时含有11x和21x 的子集共42个，其中含有奇数个元素的集合有8个，经过变换后第一列均变为1121,x x --，其中含有偶数个元素的集合有8个，经过变换后第一列均仍为1121,x x ；④不含11x也不含21x 的子集共421-个，其中含有奇数个元素的集合有8个，经过变换后第一列均变为1121,x x --，其中含有偶数个元素的集合有7个，经过变换后第一列均仍为1121,x x .若1121x x =，在{1,2,3,4,5,6}的所有非空子集中，①含有11x的子集共52个，其中含有奇数个元素的集合有16个，经过变换后第一列均仍为1121,x x ，其中含有偶数个元素的集合有16个，经过变换后第一列均变为1121,x x --；②不含11x的子集共521-个，其中含有奇数个元素的集合有16个，经过变换后第一列均变为1121,x x --，其中含有偶数个元素的集合有15个，经过变换后第一列均仍为1121,x x ；综上，经过变换后，所有k X 的第一列数的和为()()()112111211121(88881616)(88871615)2x x x x x x +++++--+++++++=--同理，经过变换后所有k X 的第二列数的和为()12222x x --.所以所有()0BT X 取值的和为()112112222x x x x ----，又因为11122122,,,{1,2,3,4,5,6}x x x x ∈，所以所有()0B T X 取值的和不超过8-.【小问4详解】如果01336X ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其他条件不变，0X 经过2M 变换后得到数阵11336X --⎛⎫= ⎪--⎝⎭，1X 经过5M 变换后得到数阵21336X ⎛⎫=⎪⎝⎭，则（1）中()013B T X =.【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是利用分类讨论的思想，分1121x x ≠和1121x x =讨论即可.。

2020届高三第二次联考数学（理科）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数（是虚数单位），则的模为（）A．0 B．1 C ．2D．22．已知全集，集合，，则（）A．B．C．D ．3．命题“，”的否定是（）A ．，B．，C．，D．，4．下列函数中，既是奇函数又在上单调递增的是（）A．B．C．D．5．已知等比数列的前项和为，，则数列的公比（）A．1-B．1 C．1±D．26．过椭圆2212516x y+=的中心任作一直线交椭圆于，两点，是椭圆的一个焦点，则的周长的最小值为（）A．12 B．14 C．16 D．187．把标号为1，2，3，4的四个小球放入标号为1，2，3，4的四个盒子中，每个盒子只放一个小球，则1号球不放入1号盒子的方法共有（）A．18种B．9种C．6种D．3种8．为检测某药品服用后的多长时间开始有药物反应，现随机抽取服用了该药品的1000人，其服用后开始有药物反应的时间（分钟）与人数的数据绘成的频率分布直方图如图所示．若将直方图中分组区间的中点值设为解释变量x（分钟），这个区间上的人数为y（人），易见两变量,x y线性相关，那么一定在其线性回归直线上的点为（）A．(1.5,0.10) B．(2.5,0.25) C．(2.5,250) D．(3,300)9．单位正方体111ABCD A B C O-在空间直角坐标系中的位置如图所示，动点(,,0),(0,,1)M a a N b，其中01,01a b<≤≤≤，设由,,0M N三点确定的平面截该正方体的截面为E，那么（）A．对任意点M，存在点N使截面E为三角形B．对任意点M，存在点N使截面E为正方形C．对任意点M和N，截面E都为梯形D．对任意点N, 存在点M使得截面E为矩形10．设，，，则（）A．B．C．D．11．已知是双曲线()2222:10,0x yE a ba b-=>>的左焦点，过点且倾斜角为30°的直线与曲线的两条渐近线依次交于，两点，若是线段的中点，且是线段的中点，则直线的斜率为（）A．B．C．D．12．函数（，是自然对数的底数，）存在唯一的零点，则实数的取值范围为（）A．20,π⎛⎤⎥⎝⎦B．20,π⎛⎫⎪⎝⎭C．(]0,2D．()0,2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．在ABC△中，，则角的大小为______．14．已知函数是定义域为的偶函数，且在上单调递增，则不等式的解集为__________．15．已知各项都为正数的数列，其前项和为，若，则_______．16．，为单位圆（圆心为）上的点，到弦的距离为32，是劣弧»AB（包含端点）上一动点，若OC OA OBλμ=+u u u r u u u r u u u r，则的取值范围为_______．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知函数()213sin cos cos (0)2f x x x x ωωωω=-+>，，是函数的零点，且的最小值为π2． （1）求的值；（2）设,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若13235πf α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，15π521213f β⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，求的值．18．（12分）某厂包装白糖的生产线，正常情况下生产出来的白糖质量服从正态分布()2500,5N （单位：g ）．（1）求正常情况下，任意抽取一包白糖，质量小于485g 的概率约为多少？（2）该生产线上的检测员某天随机抽取了两包白糖，称得其质量均小于485g ，检测员根据抽检结果，判断出该生产线出现异常，要求立即停产检修，检测员的判断是否合理？请说明理由．附：()2~,X N μσ，则()0.6826P X μσμσ-≤≤+≈，(22)0.9544P X μσμσ-≤≤+≈，(33)0.9974P X μσμσ-≤≤+≈．19．（12分）如图，直三棱柱中，，，为的中点．（1）若为上的一点，且与直线垂直，求11EB AB 的值；（2）在（1）的条件下，设异面直线与所成的角为45°，求直线与平面成角的正弦值．20．（12分）已知抛物线，其焦点到准线的距离为2，直线与抛物线交于，两点，过，分别作抛物线的切线，，与交于点．（1）求的值；（2）若，求面积的最小值．21．（12分）已知是函数()2ln 2xf x ax x x =+-的极值点． （1）求实数的值； （2）求证：函数存在唯一的极小值点，且()07016f x <<． （参考数据：，，其中为自然对数的底数）请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系中，直线过原点且倾斜角为02παα⎛⎫≤< ⎪⎝⎭．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立坐标系，曲线的极坐标方程为．在平面直角坐标系中，曲线与曲线关于直线对称．（1）求曲线的极坐标方程；（2）若直线过原点且倾斜角为π3α+，设直线与曲线相交于，两点，直线与曲线相交于，两点，当变化时，求面积的最大值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）当不等式的解集为时，求实数的取值范围．。

2020届四省名校高三第二次大联考理科数学注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚。

2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

在试题卷上作答无效。

3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

满分150分，考试用时120分钟。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若集合{})2ln(+==x y x A ，{}13<=x x B ，则=B A A.{}02<<-x x B.{}02<≤-x x C.{}12<<-x x D.{}12<≤-x x 2.对于平面内两个非零向量a 和b ，0:>⋅b a p ，a q :和b 的夹角为锐角，则p 是q 的A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件3.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入x n ,的值分别为2,4，则输出v 的值为A.24B.25C.49D.504.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1032=+a a ，305=S ，则数列{}n a 的公差为A.1B.2C.3D.45.42)2(xx -展开式中含5x 的项的系数为A.8B.8-C.4D.4-6.正三棱柱（底面为正三角形的直棱柱）111C B A ABC -中，AB AA =1，M 为棱1CC 的中点，则异面直线C A 1与BM 所成的角为A.6π B.4πC.3π D.2π7.2019年成都世界警察与消防员运动会期间，需安排甲、乙、丙、丁四名志愿者去CB A ,,三个场馆参与服务工作，要求每个场馆至少一人，则甲乙被安排到同一个场馆的概率为A.121 B.81C.61D.418.已知函数)sin(31)cos(33)(θθ+-+=x x x f )2|(|πθ<是偶函数，则θ的值为A.3π B.3π-C.6π D.6π-9.在ABC ∆中，点D 在BC 边上，且DB CD 3=，点M 在AD 边上，AM AD 3=，若AC AB CM μλ+=，则=+μλA.32- B.32C.67 D.67-10.抛物线)0(:2>=a ax y C 的焦点F 是双曲线12222=-x y 的一个焦点，过F 且倾斜角为︒60的直线l 交C 于B A ,，则=||AB A.2334+ B.234+C.316D.1611.下列选项中，函数1sin 2)(2+-=x x x x f 的部分图象可能是A. B.C. D.12.设点)0,1(A ，)0,4(B ，动点P 满足||||2PB PA =，设点P 的轨迹为1C ，圆2C ：4)3(3(22=-++y x ，1C 与2C 交于点N M ,，Q 为直线2OC 上一点（O 为坐标原点），则=⋅MQ MN A.4 B.32C.2 D.3二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.设复数|43|1i ii z +-+=，则=z _______.14.在正项等比数列{}n a 中，1011010=a ，则=++++2019321lg lg lg lg a a a a _______.15.如图，三棱锥ABC P -中，平面⊥PAC 平面ABC ，BC SB ⊥，2==BC AB ，3==PC PA ，则三棱锥ABC P -的外接球的表面积为_______.16.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>+≤+--=1,21ln 1,272)(2x x x x x x f 若关于x 的方程kx x f =)(恰有4个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是_______.三、解答题（共70分。

两校第二次联考数学试题卷本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分共150分，考试时间为120分钟.选择题部分(共40分)一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{1,3,5,7,9},{13,5},{3,5,7},U A B ===，则()U A C B =（ ）A. ∅B. {1}C. {3,5}D.{1,3,5,9}【答案】B 【解析】 【分析】根据交集与补集的定义，即可得到本题答案.【详解】因为{1,3,5,7,9},{3,5,7}U B ==，所以{}=1,9U C B ， 又因为{}1,3,5A =，所以(){}1U A C B =.故选：B【点睛】本题主要考查集合的补集与交集的运算，属基础题. 2.复数z 满足()23+,z i i ⋅-=则复数z 的共轭复数的虚部是（ ） A. i B. -iC. 1D. -1【答案】D 【解析】 【分析】由复数的乘除法运算法则，可算得复数z ，从而可得到z 的共轭复数的虚部. 【详解】由题，得3(3)(2)5512(2)(2)5i i i iz i i i i ++++====+--+， 所以z 的共轭复数为1i -，虚部为1-. 故选：D【点睛】本题主要考查了复数的乘除法运算以及复数的相关概念，属基础题.3.双曲线22491x y -=的渐近线方程是（ ） A. 94y x =±B. 49y x =±C. 23y x =±D. 32y x =±【答案】C 【解析】 【分析】令22490x y -=，即可求得双曲线的渐近线方程.【详解】因为双曲线的方程为22491x y -=，令22490x y -=，得2249y x =，即23y x =±， 所以双曲线的渐近线方程为23y x =±. 故选：C【点睛】本题主要考查根据双曲线的方程求渐近线方程，属基础题. 4.设,a R ∈则“”11a -<是23a a <“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C .充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】分别解出两个不等式的解集，由小范围推出大范围，即可得到本题答案. 【详解】由11a -<，得02a <<，又由23a a <，得0<<3a ， 所以“|1|1a ''-<是23a a <“”的充分不必要条件， 故选：A【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，涉及到绝对值不等式和一元二次不等式的解法.5.已知随机变量X 的分布列是：当a 变化时，下列说法正确的是（ ）A. E (X )，D (X )均随着a 的增大而增大B. ()(),E X D X 均随着a 的增大而减小C. E (X )随着a 的增大而增大，D (X )随着a 的增大而减小D. E (X )随着a 的增大而减小(),D X 随着a 的增大而增大 【答案】A 【解析】 【分析】先确定a 的取值范围，然后写出()(),E X D X 关于a 的关系式，即可得到本题答案.【详解】由题，得1020a a ⎧-≥⎪⎨⎪≥⎩，所以102a ≤≤，又()11101231326E X a a a ⎛⎫=⨯+-⨯+⨯+⨯=+ ⎪⎝⎭， ()()()()222221111511232624D X a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫=⨯++-⨯+⨯-+⨯-=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()(),E X D X 均随着a 的增大而增大. 故选：A【点睛】本题主要考查离散型分布列的期望和方差的求法，其中涉及到函数单调性的判断，必须要在函数的定义域内判断函数的单调性. 6.函数()()()21sin 2,f x x x xππ=+-的图像可能是（ ）A. B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性排除A 、B 选项，再由函数在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上的符号即可判断. 【详解】()()()21sin 2f x x x f x -=-+=-，f x 是奇函数，排除A 、B 选项；当,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()2,2x ππ∈，sin 2[1,0)x ∈-，所以()()21sin 20f x x x =+<，排除C 选D. 故选：D【点睛】本题考查函数图象的判别，利用函数的奇偶性、周期性及单调性进行选项排除，属于基础题.7.在三棱锥S -ABC 中，侧棱SA ，SB ，SC 两两成等角，且长度分别为a ，b ，c ，设二面角S -BC -A ，S -AC –B ，S -AB -C 的大小为,,αβγ，若,a b c >>则α，β，γ的大小关系是（ ）A. αβγ>>B. αγβ>>C. r βα>>D.γβα>>【答案】A 【解析】 【分析】不妨设侧棱SA ，SB ，SC 两两互相垂直，由AS ⊥平面SBC 推出AS SD ⊥，由cos sin SO SDO SAO a ∠=∠=可求得α的余弦值，同理可得cos cos SO SOb cβγ==，，根据a b c >>及余弦函数的单调性即可得解.【详解】不妨设侧棱SA ，SB ，SC 两两互相垂直，如图作SO ⊥平面ABC ，易知O 为△ABC 的垂心，连接AO ，延长AO 交BC 于点D ，连接SD ，因为侧棱SA ，SB ，SC 两两互相垂直，所以AS ⊥平面SBC ， 由SD ⊂平面SBC ，AS SD ∴⊥，△ASD 为直角三角形，因为AD BC ⊥，由三垂线定理知SD BC ⊥，所以SDA ∠即为二面角S -BC -A 的平面角记为α，cos sin SO SDO SAO a ∠=∠=，cos SO a α∴=，同理可得cos cos SO SOb cβγ==，，又,a b c >>cos c s s c o o γβα>∴>， 而此时αβγ、、都为锐角，αβγ∴>>. 故选：A【点睛】本题考查二面角的概念、三棱锥的结构特征、三角函数的应用，属于中档题. 8.有来自甲乙丙三个班级的5位同学站成一排照相，其中甲班2人，乙班2人，丙班1人，则仅有一个班级的同学相邻的站法种数有（ ） A. 96 B. 48 C. 36 D. 24【答案】B 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理及插空法即可求解.【详解】由题意知，可以是甲班的2名同学相邻也可以是乙班的2名同学相邻，相邻的2名同学和丙班的1名同学站队，共有122222C A A 种站法，再将另外一个班级的2名同学进行插空，共有23A 种方法，由分步乘法计数原理知，仅有一个班级的同学相邻的站法种数为1222222348C A A A =.故选：B【点睛】本题考查分步乘法计数原理、排列组合的有关知识，属于基础题.9.已知F 1，F 2是椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点，过右焦点F 2的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，且满足2212,||||,AF F B F B AB ==则该椭圆的离心率是（ ）A.12B.33C.32D.53【答案】B 【解析】 【分析】设2BF m =，用m 表示出2AF 、1BF 、1AF ，由12AF AF =知A 为椭圆的上顶点，直线2AF 的方程与椭圆方程联立求出交点的横坐标，利用222AF F B =列出等式化简即可求得离心率. 【详解】设2BF m =，则212223AF m BF AF BF m ==+=，，由椭圆的定义知1212=2BF BF AF AF a ++=，∴11222AF BF BF AF m =+-=，12AF AF =，∴A 为椭圆的上顶点，设()0,A b ，又()1,0F c ，则直线2:b AF y x b c =-+，直线方程代入椭圆方程22221x y a b+=中得：222221+a a x x c c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得0x =或2222a c a c +， 222AF F B =，22222a c c c a c ⎛⎫∴=- ⎪+⎝⎭，化简得223a c =，222133c e e a ∴==⇒=故选：B【点睛】本题考查椭圆的几何性质、椭圆离心率相关问题、求直线与椭圆的交点，属于中档题.10.设函数()()()||f x g x a a R =-∈在区间[]1,4上的最大值()M a 的最小值为4，则符合条件的()g x 有（ ）①x 2+16x ②22311x x x -+-③322232x x x x -+-A. ①② B. ②③ C. ①②③ D. ①③【答案】D 【解析】 【分析】分别求出三个函数的值域，再结合||y x a =-的图象进行分析可得答案.【详解】对于①，216()g x x x =+([1,4])x ∈，322162(8)()2x g x x x x-'=-=， 所以当[1,2)x ∈时，()0g x '<，函数216()g x x x=+递减，当(2,4]x ∈时，()0g x '>，函数216()g x x x=+递增，所以当2x =时，()g x 取得最小值(2)12g =，当4x =时，()g x 取得最大值(4)20g =，所以()[12,20]g x ∈，所以当16a ≤时，()|20|204M a a a =-=-≥，当16a >时，()|12|124M a a a =-=->， 所以()[4,)M a ∈+∞，此时()M a 的最小值为4，符合题意，故①正确；对于②，()g x =22311x x x -+-(21)(1)211x x x x --==--((1,4])x ∈为增函数， 所以()(1,7]g x ∈，所以当4a ≤时，()|7|7M a a a =-=-[3,)∈+∞，不符合题意，故②不正确；对于③，()g x =322232x x x x -+-()233g x x x x '=-， ()''222=-+g x xx x因为[1,4]x ∈，所以()''0>gx ，所以()g x '在[1,4]上递增，所以()(1)233110g x g ''≥=-+-=>，所以()g x 在[1,4]上递增，所以(1)()(4)g g x g ≤≤， 所以0()8g x ≤≤，所以当4a ≤时，()|8|84M a a a =-=-≥，当4a >时，()|0|4M a a a =-=>， 所以()[4,)M a ∈+∞，所以()M a 的最小值为4，符合题意，故③正确. 故选：D【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，利用导数求函数的最值和值域，属于中档题.非选择题部分(共110分)二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11.我国古代著作《庄子天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”其含义是：一尺长的木棍，每天截去它的一半，永远也截不完.那么，第6天截取之后，剩余木棍的长度是_________尺；要使剩余木棍的长度小于12018尺，需要经过________次截取. 【答案】 (1). 164(2). 11 【解析】 【分析】建立等比数列模型：记第n 天后剩余木棍的长度{}n a ，则{}n a 是首项为12，公比为12的等比数列，利用等比数列的通项公式即可解决.【详解】记第n 天后剩余木棍的长度{}n a ，则{}n a 是首项为12，公比为12的等比数列， 所以12n n a =，所以6611264a ==，由1122018n n a =<得10n >，所以n 的最小值为11. 所以第6天截取之后，剩余木棍的长度是164尺，要使剩余木棍的长度小于12018尺，需要经过11次截取. 故答案为：164；11. 【点睛】本题考查了等比数列的应用，考查了等比数列的通项公式，属于基础题.12.已知2()⎛⎫=- ⎪⎝⎭nf x x x 的展开式中第三项的二项式系数为15，则n =__________，该展开式中常数项为__________. 【答案】 (1). 6 (2). 60 【解析】 【分析】由2(1)152nn n C -==,解得6n =,化简()()36626662()12kkk k k k kk T C x Cxx---=-=-,令3602k-=即可求出k ,即可解得所求. 【详解】2(1)152nn n C -==,所以6n =,()()366626612()2kkk k k k kk T C x Cxx---∴=-=-,令3602k -=,解得4k =,该展开式中常数项为()4466421=60C --. 故答案为: 6;60.【点睛】本题考查了二项式定理的应用,考查了推理能力与计算能力,难度较易. 13.某几何体的三视图如图所示，则其体积为________，外接球的表面积为________【答案】 (1). 3 (2). 12π 【解析】 【分析】根据三视图可知，几何体的直观图是一个三棱锥，把它放在棱长为2的正方体中，即可求得结果.【详解】根据三视图可知，几何体的直观图是一个三棱锥A BCD -，把它放在棱长为2的正方体中，如图所示：其体积为114222323⨯⨯⨯⨯=，其外接球与正方体的外接球相同， 所以外接球半径为222122232R =++= 所以外接球的表面积为2412S R ππ==. 312π.【点睛】本题考查了由三视图还原直观图，考查了棱锥的体积公式，考查了球的表面积公式，属于基础题.14.在ABC ∆中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知4,45,a B ︒==若()()()sin sin sin ,a b A B c b C -+=-则A =________，b =________.【答案】 (1). 3π (2). 463【解析】 【分析】由正弦定理角化边以及余弦定理可得2221cos 22b c a A bc +-==，可得3A π=；由正弦定理sin sin a b AB =即可得到46b =【详解】由()()()sin sin sin a b A Bc b C -+=-以及正弦定理得，()()()a b a b c b c -+=-，所以222b c a bc +-=，所以2221cos 22b c a A bc +-==， 因为0A π<<，所以3A π=.由正弦定理得sin sin a b A B =32=，解得46b =故答案为：3π46. 【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理，属于基础题.15.若实数x ，y 满足2320220,2x y x y y -+⎧⎪++≥⎨⎪≤⎩|23|x y --的取值范围是________【答案】[4,9] 【解析】 【分析】作出可行域，设23z x y =--，利用线性规划求出z 的取值范围，从而可得||z 的取值范围. 【详解】作出可行域，如图所示：令23z x y =--，化为斜截式得13222zy x =--， 由图可知，2,2x y =-=时，z 取得最小值9-，1,0x y =-=时，z 取得最大值4-， 所以94z -≤≤-，所以||[4,9]z ∈. 故答案为：[4,9].【点睛】本题考查了线性规划求目标函数的取值范围，属于基础题.16.已知函数()321,02,0a x x f x x ax x x ⎧-≤⎪=⎨-+->⎪⎩的图象经过三个象限，则实数a 的取值范围是________.【答案】()221,+∞ 【解析】 【分析】按照0x ≤、02x <<、2x ≥三种情况讨论，结合二次函数的判别式、对称轴、开口、特殊函数值可得答案.【详解】当0x ≤时，3()||11f x a x =-≤-，此时函数图象经过第三象限； 当02x <<时，2()(1)2f x x a x =-++，当0x →时，()2f x →，此时函数图象恒经过第一象限，(1)若()2180a ∆=+->且10a +>，即221a >时，函数图象经过第一、四象限，当2x ≥时，2()(1)2f x x a x =---，()2180a ∆=-+>，()242f a =-的值可正，可负可为零，函数图象经过第一、四象限或只经过第一象限,符合题意；(2)若221a =-时，当02x <<时，2()22f x x x =-+，函数图象只经过第一象限，当2x ≥时，对称轴1212a x -==，()2426420f a =-=->，函数图象只经过第一象限，不符合；(3) 若221a <时，当02x <<时，2()(1)2f x x a x =-++，∆<0， 此时函数图象只经过第一象限，当2x ≥时，对称轴1212a x -=<，()2426420f a =->->，函数图象只经过第一象限，不符合；故答案为：()221,+∞.【点睛】本题主要考查二次函数以及分段函数的图象和性质，涉及分类讨论思想的应用，属于中档题．17.已知P 为边长为2的正ABC ∆所在平面内任一点，满足0,PA PB PB PC PC PA ⋅+⋅+⋅=则PA PB ⋅的取值范围是________ 【答案】2222[ 【解析】 【分析】以AB 的中点为原点，AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系：利用坐标进行运算可得答案.【详解】以AB 的中点为原点，AB 的垂直平分线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系：则(1,0)A -，(1,0)B ， 3)C ，设(,)P x y ，所以(1,)PA x y =---，(1,)PB x y =--，(3)PC x y =-，所以2(1)(1)(1)(3)(1)3)0x x y x x y y x x y y ---+-------=， 所以2233310x y +--=，所以2232(33x y +-=，所以363633y ≤≤， 所以221PA PB x y ⋅=+-23113+=-22[]33∈-. 故答案为：2222[,33-. 【点睛】本题考查了解析法，考查了平面向量数量积的坐标运算，属于基础题. 三、解答题：本大题共5小题，共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 18.已知函数()223sin cos 2cos f x x x x a =⋅-+（1）求函数()f x 的最小正周期，单调减区间； （2）若函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为3.锐角a 满足()53f α=，求sin 2α的值. 【答案】（1）函数()f x 的最小正周期为π，函数()f x 的单调递减区间为5[,]36k k ππππ++，k Z ∈，（2322±【解析】 【分析】（1）利用二倍角的正、余弦公式和两角和的正弦公式化简函数解析式，利用正弦型函数的周期公式可得最小正周期，根据正弦函数的单调性可得单调递减区间；（2）根据正弦函数的值域可得()f x 的最大值为1a +，可得2a =，()2sin(2)16f x x π=-+，根据()53fα=可得1sin(2)63πα-=，2cos(2)63πα-=±，再根据sin 2sin(2)66ππαα=-+sin(2)cos cos(2)sin 6666ππππαα=-+-可求得结果.【详解】（1）()223sin cos 2cos f x x x x a =⋅-+32cos 21x x a =--+2sin(2)16x a π=--+, 所以函数()f x 的最小正周期为22T ππ==， 由3222262k x k πππππ+≤-≤+，k Z ∈， 得536k x k ππππ+≤≤+，k Z ∈， 所以函数()f x 的单调递减区间为5[,]36k k ππππ++k Z ∈. （2）当[0,]2x π∈时，52[,]666x πππ-∈-，1sin(2)[,1]62x π-∈-， 所以()[2,1]f x a a ∈-++，所以13a +=，解得2a =，可得所以()2sin(2)16f x x π=-+，所以5()2sin(2)163f παα=-+=，所以1sin(2)63πα-=， 因为(0,)2πα∈，所以当(0,)3πα∈时，2(,)662πππα-∈-，122cos(2)169πα-=-=， 所以sin 2sin(2)66ππαα=-+sin(2)cos cos(2)sin 6666ππππαα=-+- 1322132232+=+ 当[,)32ππα∈时，52[,)626πππα-∈，22cos(2)63πα-=-，所以sin 2sin(2)66ππαα=-+sin(2)cos cos(2)sin 6666ππππαα=-+- 13221322332-=⨯-⨯=. 【点睛】本题考查了二倍角的正弦、余弦公式，考查了两角和与差的正弦公式，考查了正弦型函数的周期公式，考查了正弦函数的单调区间，考查了三角函数的最值，属于中档题. 19.如图，在三棱锥D -ABC 中,234,AC BC DC ABC ==为锐角三角形，平面ACD ⊥平面,90ABC BCD ∠=.（1）求证：CD ⊥平面ABC（2）若直线BD 与平面ACD 所成角的正弦值为74，求二面角D -AB -C 的余弦值. 【答案】（1）证明见详解；（277【解析】 【分析】（1）过B 作BH AC ⊥，交AC 于点H ，利用面面垂直的性质定理可得BH ⊥平面ACD ，从而证出BH CD ⊥，再由BC CD ⊥，利用线面垂直的判定定理即可证出.（2）过C 作CM AB ⊥，交AB 于点M ，则CMD ∠为二面角D -AB -C 的平面角，在ABC 中，由余弦定理求出AB ，利用三角形面积相等求出CM ，即可求解. 【详解】（1）过B 作BH AC ⊥，交AC 于点H ， 平面ACD ⊥平面ABC ，且平面ACD 平面ABCAC =，则BH ⊥平面ACD ，CD ⊂平面ACD ，BH CD ∴⊥， 又90BCD ︒∠=，BC CD ∴⊥，BH BC B⋂=，CD平面ABC.（2）过C作CM AB⊥，交AB于点M，则CMD∠为二面角D-AB-C的平面角，由（1）可知，BHD∠为直线BD与平面ACD所成角，即7sin BHD∠=设1CD=，由234AC BC DC==，则43BC=，2AC=，所以2245133BD⎛⎫=+=⎪⎝⎭，由7sin4BHBHDBD∠==，解得75574312BH==，所以575712sin4163BHACBBC∠===由ABC锐角三角形，所以2579cos11616ACB⎛⎫∠=-=⎪⎪⎝⎭，在ABC中，由余弦定理，2221649252cos42293169 AB CA CB CA CB ACB=+-⋅∠=+-⨯⨯⨯=，所以53AB=，由1122ABCS AC BH AB CM=⋅=⋅，解得72CM=，所以2711122DM ⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭， 所以 77772cos 1111CM CMD DM ∠====【点睛】本题考查了面面垂直的性质定理、线面垂直的判定定理、求面面角，考查了考生的逻辑推理能力，属于中档题.20.已知数列{}{},,n n a b 其中12,1,n n a b a =-=且点()1,n n a a +在函数()()2f x x x =+的图像上*,n N ∈（1）证明：数列{}n lgb 是等比数列，并求数列{}n a 的通项； （2）记T n 为数列{}n b 的前n 项积，S n 为数列{}n c 的前n 项和，1111n n n c b b =+-+，试比较S n 与213nT -大小.【答案】（1）证明见详解；1231n n a -=-；（2）213n nS T >-【解析】 【分析】（1）由题意可得21n n b b +=，再两边取对数化简后，由等比数列的定义即可证明，根据等比数列的通项公式可得数列{}n b 的通项公式，进而可得数列{}n a 的通项.（2）首先利用等比数列的前n 项和公式求出n T ，再利用裂项相消法求出n S ，两式作差即可比较大小.【详解】（1）由1n n b a -=，1n n a b ∴=-，12a =，则13b =，点()1,n n a a +在函数()()2f x x x =+的图像上， 则()12n n n a a a +=+，()()2111121n n n n b b b b +∴-=--+=-，21n n b b +∴=，21lg lg 2lg n n n b b b +∴==，即1lg 2lg n nb b +=， ∴数列{}n lgb 是等比数列，又1lg lg 3b =，1lg 2lg 3n n b -∴=⋅，112lg32103n n n b --⋅∴==，1231n n a -∴=-.（2）由（1）可知112lg32103n n n b --⋅==，所以02122221233333n n n T b b b b -=⋅⋅=⋅⋅()02111222222112333nn n -⨯-+++--===所以2122221313313n n n T -==--⋅-.由1111n n n c b b =+-+，即1122113131n n n c --=+-+， 所以1223131112n nn c -⎛⎫=--⎝-⎪⎭， 所以123n n S c c c c =+++0212222221111112313131313131n n-⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦02222112221131313113n n n⎛⎫=-=-=+ ⎪----⎝⎭， 所以2222111313213n nn n S T -=+-=---，所以213n nS T >-.【点睛】本题考查了等比数列的定义、等比数列的通项公式、等比数列的前n 项和公式、裂项相消法求和，此题综合性比较强，属于难题. 21.已知(),0,02p F p ⎛⎫>⎪⎝⎭，点M 在x 轴上，点L 在y 轴上，且2MN ML =，LM LF ⊥，当点L 在y 轴上运动时，动点N 的轨迹为曲线C .过x 轴上一点K 的直线交曲线C 于P ，Q 两点.（1）求曲线C 的轨迹方程； （2）证明：存在唯一的一点K ，使得2211PKQK+为常数，并确定K 点的坐标.【答案】（1）()22,0y px p => （2）证明见解析；(),0K p . 【解析】 【分析】（1）根据题意，画出几何图形，设(),N x y ，由几何关系可知FM FN =，结合点的坐标即可求得,x y 的关系，化简即可求得曲线C 的轨迹方程；（2）由K 点在x 轴上，可设(),0K a ，设出过点K 的直线方程为()y k x a =-，联立抛物线方程，并由两点间距离公式表示出22,PK QK ，并代入2211PKQK+中化简即可求得常数a 的值，即可确定点K 的坐标.【详解】（1）根据题意可知，(),0,02p F p ⎛⎫>⎪⎝⎭，点M 在x 轴上，点L 在y 轴上，且2MN ML =，LM LF ⊥，画出几何关系如下图所示：设(),N x y ，L 为MN 中点，因为L 在y 轴上，所以点M 的横坐标为x -， 由等腰三角形三线合一可知FM FN =，即2222p p x x y ⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭22y px =， 所以曲线C 的轨迹方程为()22,0y px p =>. （2）证明：点K 为x 轴上一点，设(),0K a ，则过点K 的直线方程为()y k x a =-，交抛物线()22,0y px p =>于()11,P x y ，()22,Q x y 两点.则()22y k x a y px⎧=-⎨=⎩，化简变形可得()22222220k x ak p x k a -++=， 所以221212222222,ak pp x x a x x a k k ++==+=，由两点间距离公式可得()()222211112PKx a y x a px =-+=-+，()()222222222QKx a y x a px =-+=-+，所以2211PKQK+()()2211221122x a px x a px =+-+-+()()22221122112222x p a x a x p a x a =++-++-+()()()()2221212222211222222222x x p a x x a x p a x a x p a x a ++-++=⎡⎤⎡⎤+-++-+⎣⎦⎣⎦()()()()()()()()()()2212121222222241212121212122222222222x x x x p a x x a x x p a x x x x a x x p a x x a p a x x a +-+-++=+-++++-+-++将21212222,p x x a x x a k +=+=代入化简可得()22222111p ak a p k PKQK++=+， 所以当a p =时2211PKQK+为常数，且222111p PKQK+=， 此时(),0K p .【点睛】本题考查了轨迹方程的求法，抛物线中直线过定点问题的解法，直线与抛物线位置关系的综合应用，计算量大，是高考的常考点和难点，属于难题. 22.已知函数()()()ln ,1f x x g x ax a R ==-∈ （1）讨论函数()()()h x f x g x =-的单调性；（2）若函数()f x 与()g x 的图象有两个不同的交点()()112212),(,, A x y B x y x x < （i ）求实数a 的取值范围（ii ）求证：110,y -<<且122(y ye e e +>为自然对数的底数).【答案】(1) 当0a ≤时,函数()h x 在(0,)+∞上单调递增;当0a >时, 函数()h x 的单调递增区间为1(0,)a ,单调递减区间为1(,)a+∞. (2)(i)(0,1) (ii)证明见解析. 【解析】 【分析】 (1)1(),(0)h x a x x'=->,对a 分类讨论：0,0a a ≤>,利用导数的正负号研究函数的单调性; (2)(i)由(1)可知，当0a ≤时()f x 单调,不存在两个零点,当0a >时,可求得()f x 有唯一极大值,令其大于零,可得到a 的范围,再判断极大值点左右两侧附近的函数值小于零即可;高考资源网（ ） 您身边的高考专家(ii)构造函数2221()()()ln()()1(ln 1),(0)G x h x h x x a x x ax x aa a a=--=---+--+<≤,根据函数的单调性证明即可.【详解】由题意知()()()=ln 1h x f x g x x ax =--+,所以1(),(0)h x a x x'=->. 当0a ≤时, ()0h x '>,函数()h x 在(0,)+∞上单调递增; 当0a >时,令1()0h x a x '=->，解得10x a<<； 令1()0h x a x '=-<，解得1x a>； 所以函数()h x 在1(0,)a上单调递增,在1(,)a+∞上单调递减. 综上所述：当0a ≤时,函数()h x 在(0,)+∞上单调递增;当0a >时, 函数()h x 的单调递增区间为1(0,)a ,单调递减区间为1(,)a+∞.(2)(i) 函数()f x 与()g x 的图象有两个不同的交点()()112212),(,, A x y B x y x x <等价于函数()h x 有两个不同的零点12,x x ,其中12x x <.由(1)知, 当0a ≤时,函数()h x 在(0,)+∞上单调递增;不可能有两个零点.当0a >时, 函数()h x 在1(0,)a 上单调递增,在1(,)a +∞上单调递减,此时1()h a为函数()h x 的最大值.当1()0h a≤时,()h x 最多有一个零点, 所以11()=ln0h a a>,解得01a <<， 此时,2211e e a a<<,且1()110a a h e e e =--+=-<，2222()22ln 132ln (01)e e e h a a a a a a=--+=--<<，.令2()32ln ,(01)e F a a a a =--<<,则222222()0,(01)e e aF a a a a a-'=-+=><<, 所以()F a 在(0,1)上单调递增,所以2()(1)30,F a F e <=-<即22()0e h a<,所以a 的取值范围是(0,1).(ii)因为()ln 1h x x ax =-+在1(0,)a 上单调递增,在1(,)a+∞上单调递减, 所以1()110a ah e e e=--+=-<,(1)10h a =->, 所以111x e<<,即11()0f x -<<,所以110y -<<. 构造函数222()()()ln()()1(ln 1)G x h x h x x a x x ax a a a=--=---+--+2ln()ln 22x x ax a =--+-,1(0)x a<<则212()11()2)022()a x a G x a x x x x a a-'=-+=<--, 所以()G x 1(0,)a上单调递减, 又因为110x a <<, 所以11()()0G x G a>=,因为2()0,h x =所以11122()()()()G x h x h x h x a=-->,又1()0,h x = 所以122()()h x h x a->由(1)知()h x 在1(,)a +∞上单调递减得：122,x x a -<即122+,x x a>又因为1122ln ,ln y x y x ==,所以1212,y yx e x e ==即122yy e ea+>, 又因为01a <<，所以22a> 所以122y y e e +>.【点睛】本题综合考查了运用导数解决函数的单调性,证明不等式.属于难题.讨论函数的单调性一定要思路清晰，再结合函数的图像解决函数的零点问题.本题的难点在于找到1()0h e <与22()0e h a<及构造函数()G x .。