全国高中数学联赛模拟训练题
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全国高中数学联赛模拟试题（七）第一试一、选择题：（每小题6分，共36分）1、a 、b 是异面直线，直线c 与a 所成的角等于c 与b 所成的角，则这样的直线c 有（A ）1条 （B ）2条 （C ）3条 （D ）无数条 2、已知f (x )是R 上的奇函数，g (x )是R 上的偶函数，若f (x )-g (x )=x 2+2x +3，则f (x )+g (x )= （A ）-x 2+2x -3 （B ）x 2+2x -3 （C ）-x 2-2x +3 （D ）x 2-2x +33、已知△ABC ，O 为△ABC 内一点，∠AOB =∠BOC =∠COA =32π，则使AB +BC +CA≥m (AO +BO +CO )成立的m 的最大值是 （A ）2（B ）35（C ）3（D ）234、设x =0.820.5，y =sin1，z =log 37则x 、y 、z 的大小关系是 （A ）x ＜y ＜z（B ）y ＜z ＜x （C ）z ＜x ＜y （D ）z ＜y ＜x5、整数⎥⎦⎤⎢⎣⎡+31010951995的末尾两位数字是（A ）10（B ）01（C ）00（D ）206、设(a ,b )表示两自然数a 、b 的最大公约数．设(a ,b )=1，则(a 2+b 2,a 3+b 3)为 （A ）1 （B ）2 （C ）1或2 （D ）可能大于2二、填空题：（每小题9分，共54分）1、若f (x )=x 10+2x 9-2x 8-2x 7+x 6+3x 2+6x +1，则f (2-1)= ．2、设F 1、F 2是双曲线x 2-y 2=4的两个焦点，P 是双曲线上任意一点，从F 1引∠F 1PF 2平分线的垂线，垂足为M ，则点M 的轨迹方程是 ． 3、给定数列{x n }，x 1=1，且nn n x x x -+=+3131，则x 1999-x 601= ．4、 正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 是CD 中点，F 是BB 1中点，则四面体AD 1EF 的体积是 ．5、在坐标平面上，由条件⎪⎩⎪⎨⎧+-≤--≥321x y x y 所限定的平面区域的面积是 ．6、12个朋友每周聚餐一次，每周他们分成三组，每组4人，不同组坐不同的桌子．若要求这些朋友中任意两个人至少有一次同坐一张桌子，则至少需要 周．三、（20分）已知椭圆12222=+b ya x 过定点A (1,0)，且焦点在x 轴上，椭圆与曲线|y |=x 的交点为B 、C ．现有以A 为焦点，过B 、C 且开口向左的抛物线，抛物线的顶点坐标M (m ,0)．当椭圆的离心率e 满足1322<<e ，求实数m 的取值范围． 四、（20分）a 、b 、c 均为实数，a ≠b ，b ≠c ，c ≠a ．证明：23≤ac c b b a b a c a c b c b a -+-+--++-++-+222＜2．五、（20分）已知f (x )=ax 4+bx 3+cx 2+dx ，满足（i ）a 、b 、c 、d 均大于0；（ii ）对于任一个x ∈{-2, -1,0,1,2}，f (x )为整数；（iii ）f (1)=1,f (5)=70． 试说明，对于每个整数x ，f (x )是否为整数．第二试一、（50分）设K 为△ABC 的内心，点C 1、B 1分别为边AB 、AC 的中点，直线AC 与C 1K 交于点B 2，直线AB 于B 1K 交于点C 2．若△AB 2C 2于△ABC 的面积相等，试求∠CAB ．二、（50分）设5sin i 5cos ππ+=w ，f (x )=(x -w )(x -w 3)(x -w 7)(x -w 9)．求证：f (x )为一整系数多项式，且f (x )不能分解为两个至少为一次的整系数多项式之积．三、（50分）在圆上有21个点．求在以这些点为端点组成的所有的弧中，不超过120°的弧的条数的最小值．参考答案第一试二、填空题：1、4；2、x 2+y 2=4；3、0；4、24；5、16；6、5．三、⎪⎪⎭⎫⎝⎛+423,1．四、证略．五、是．第二试一、60°；二、证略．三、100．全国高中数学联赛模拟试题（八）第一试一、选择题：（每小题6分，共36分）1、设log a b 是一个整数，且2log log 1log a b bb a a>>，给出下列四个结论 ①21a b b>>；②log a b +log b a =0；③0＜a ＜b ＜1；④ab -1=0．其中正确结论的个数是 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 2、若△ABC 的三边长a 、b 、c 满足⎩⎨⎧=+-+=---03220222c b a c b a a ，则它的最大内角度数是（A ）150° （B ）120° （C ）90° （D ）60° 3、定长为l （a b l 22>）的线段AB 的两端点都在双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0），则AB 中点M 的横坐标的最小值为（A ）222b a al + （B ）222b a l a ++（C ）()2222b a a l a +- （D ）()2222ba a l a ++ 4、在复平面上，曲线z 4+z =1与圆|z |=1的交点个数为 （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）35、设E ={(x ,y )|0≤x ≤2,0≤y ≤2}、F ={(x ,y )|x ≤10,y ≥2,y ≤x -4}是直角坐标平面上的两个点集，则集合G =()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++F y x E y x y y x x 22112121,,,2,2所组成的图形面积是 （A ）6 （B ）2π （C ）6.5 （D ）76、正方形纸片ABCD ，沿对角线AC 对折，使D 在面ABC 外，这时DB 与面ABC 所成的角一定不等于 （A ）30° （B ）45° （C ）60° （D ）90°二、填空题：（每小题9分，共54分）1、已知24πα=，则αααααααααααc o s s i n c o s 2c o s s i n 2c o s 3c o s s i n 3c o s 4c o s s i n +++的值等于 ．2、2004321132112111+++++++++++ = ． 3、在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，以C 为一个焦点作一个椭圆，使这个椭圆的另一个焦点在AB 内，且椭圆过A 、B 点，则这个椭圆的离心率等于 ．4、从{1,2,3,…,20}中选出三个数，使得没有两个数相邻，有 种不同的选法．5、设a 、b 均为正数，且存在复数z 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+=⋅+1i z b a z z z ，则ab 的最大值等于 ．6、使不等式137158<+<k n n 对惟一的一个整数k 成立的最大正整数n 为 ． 三、（20分）已知实数x 、y 满足x 2+y 2≤5．求f (x ,y )=3|x +y |+|4y +9|+|7y -3x -18|的最大值与最小值． 四、（20分）经过点M (2,-1)作抛物线y 2=x 的四条弦P i Q i (i =1,2,3,4)，且P 1、P 2、P 3、P 4四点的纵坐标依次成等差数列．求证：44332211MQ MP MQ M P MQ M P MQ M P ->-．五、（20分）n 为正整数，r ＞0为实数．证明：方程x n +1+rx n -r n +1=0没有模为r 的复数根．第二试一、（50分）设C (I )是以△ABC 的内心I 为圆心的一个圆，点D 、E 、F 分别是从I 出发垂直于边BC 、CA 和AB 的直线C (I )的交点．求证：AD 、BE 和CF 三线共点．二、（50分）非负实数x 、y 、z 满足x 2+y 2+z 2=1．求证：1≤xyzzx y yz x +++++111≤2． 三、（50分）对由n 个A ，n 个B 和n 个C 排成的行，在其下面重新定义一行（比上面一行少一个字母），若其头上的两个字母不同，则在该位置写上第三个字母；若相同，则写上该字母．对新得到的行重复上面的操作，直到变为一个字母为止．下面给出了n =2的一个例子．A CBC B A B A A A C C A A B B A C C B A求所有的正整数n ，使得对任意的初始排列，经上述操作后，所得的大三角形的三个顶点上的字母要么全相同，要么两两不同．参考答案第一试二、填空题：1、33； 2、20054008；3、36-； 4、816；5、81；6、112．三、最大值5627+，最小值10327-．四、证略．五、证略．第二试一、证略；二、证略．三、 n =1．全国高中数学联赛模拟试题（九）第一试一、选择题：（每小题6分，共36分）1、已知n 、s 是整数．若不论n 是什么整数，方程x 2-8nx +7s =0没有整数解，则所有这样的数s 的集合是 （A ）奇数集 （B ）所有形如6k +1的数集 （C ）偶数集 （D ）所有形如4k +3的数集2、某个货场有1997辆车排队等待装货，要求第一辆车必须装9箱货物，每相邻的4辆车装货总数为34箱．为满足上述要求，至少应该有货物的箱数是 （A ）16966 （B ）16975 （C ）16984 （D ）170093、非常数数列{a i }满足02121=+-++i i i i a a a a ，且11-+≠i i a a ，i =0,1,2,…,n ．对于给定的自然数n ，a 1=a n +1=1，则∑-=1n i i a 等于（A ）2 （B ）-1（C ）1 （D ）04、已知α、β是方程ax 2+bx +c =0（a 、b 、c 为实数）的两根，且α是虚数，βα2是实数，则∑=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛59851k kβα的值是（A ）1 （B ）2（C ）0（D ）3i5、已知a +b +c =abc ，()()()()()()abb a acc a bcc b A 222222111111--+--+--=，则A 的值是 （A ）3 （B ）-3 （C ）4（D ）-46、对x i ∈{1,2,…,n }，i =1,2,…,n ，有()211+=∑=n n x ni i ，x 1x 2…x n =n ！，使x 1,x 2,…,x n ，一定是1,2,…,n 的一个排列的最大数n 是 （A ）4 （B ）6 （C ）8（D ）9二、填空题：（每小题9分，共54分）1、设点P 是凸多边形A 1A 2…A n 内一点，点P 到直线A 1A 2的距离为h 1，到直线A 2A 3的距离为h 2，…，到直线A n -1A n 的距离为h n -1，到直线A n A 1的距离为h n ．若存在点P 使nn h a h a h a +++ 2211（a i =A i A i +1，i =1,2,…,n -1，a n =A n A 1）取得最小值，则此凸多边形一定符合条件 ．2、已知a 为自然数，存在一个以a 为首项系数的二次整数系数的多项式，它有两个小于1的不同正根．那么，a 的最小值是 ．3、已知()2cos 22sin 2,22++++=θθθa a a a a F ，a 、θ∈R ，a ≠0．那么，对于任意的a 、θ，F (a ,θ)的最大值和最小值分别是 ．4、已知t ＞0，关于x 的方程为22=-+x t x ，则这个方程有相异实根的个数情况是 ．5、已知集合{1,2,3,…,3n -1,3n }，可以分为n 个互不相交的三元组{x ,y ,z }，其中x +y =3z ，则满足上述要求的两个最小的正整数n 是 ．6、任给一个自然数k ，一定存在整数n ，使得x n +x +1被x k +x +1整除，则这样的有序实数对(n ,k )是（对于给定的k ） ．三、（20分）过正方体的某条对角线的截面面积为S ，试求最小最大S S之值．四、（20分）数列{a n }定义如下：a 1=3，a n =13-n a （n ≥2）．试求a n （n ≥2）的末位数． 五、（20分）已知a 、b 、c ∈R +，且a +b +c =1．证明：2713≤a 2+b 2+c 2+4abc ＜1． 第二试一、（50分）已知△ABC 中，内心为I ，外接圆为⊙O ，点B 关于⊙O 的对径点为K ，在AB 的延长线上取点N ，CB 的延长线上取M ，使得MC =NA =s ，s 为△ABC 的半周长．证明：IK ⊥MN ． 二、（50分）M 是平面上所有点(x ,y )的集合，其中x 、y 均是整数，且1≤x ≤12，1≤y ≤13．证明：不少于49个点的M 的每一个子集，必包含一个矩形的4个顶点，且此矩形的边平行于坐标轴． 三、（50分）实系数多项式f (x )=x 3+ax 2+bx +c 满足b ＜0，ab =9c ．试判别此多项式是否有三个不同的实根，说明理由．参考答案第一试3、32+，32-；4、9；5、5，8；6、(k ,k )或(3m +2,2)（m ∈N +）． 三、332．四、7．五、证略． 第二试一、证略；二、证略．三、 有．全国高中数学联赛模拟试题（十）第一试一、选择题：（每小题6分，共36分）1、设集合M ={-2,0,1}，N ={1,2,3,4,5}，映射f ：M →N 使对任意的x ∈M ，都有x +f (x )+xf (x )是奇数，则这样的映射f 的个数是（A ）45 （B ）27 （C ）15 （D ）11 2、已知sin2θ=a ，cos2θ=b ，0＜θ＜4π，给出⎪⎭⎫ ⎝⎛+4tan πθ值的五个答案： ①a b -1； ②b a -1； ③a b +1； ④b a +1；⑤11-++-b a b a ． 其中正确的是：（A ）①②⑤ （B ）②③④ （C ）①④⑤ （D ）③④⑤3、若干个棱长为2、3、5的长方体，依相同方向拼成棱长为90的正方体，则正方体的一条对角线贯穿的小长方体的个数是 （A ）64 （B ）66 （C ）68 （D ）704、递增数列1,3,4,9,10,12,13,…，由一些正整数组成，它们或者是3的幂，或者是若干个3的幂之和，则此数列的第100项为 （A ）729 （B ）972 （C ）243（D ）9815、14951C C C C +++++m n n n n （其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=41n m ，[x ]表示不超过x 的最大整数）的值为 （A ）4cos2πn n（B ）4sin2πn n （C ）⎪⎭⎫ ⎝⎛+-4cos 22211πn n n（D ）⎪⎭⎫ ⎝⎛+-4sin 22211πn n n6、一个五位的自然数abcde 称为“凸”数，当且仅当它满足a ＜b ＜c ，c ＞d ＞e （如12430，13531等），则在所有的五位数中“凸”数的个数是（A ）8568 （B ）2142 （C ）2139 （D ）1134二、填空题：（每小题9分，共54分）1、过椭圆12322=+y x 上任意一点P ，作椭圆的右准线的垂线PH （H 为垂足），并延长PH 到Q ，使得HQ =λPH （λ≥1）．当点P 在椭圆上运动时，点Q 的轨迹的离心率的取值范围是 ．2、已知异面直线a 、b 所成的角为60°，过空间一点P 作与a 、b 都成角α（0＜α＜90°）的直线l ，则这样的直线l 的条数是f (α)= ．3、不等式()92211422+<+-x xx 的解集为 ．4、设复数z 满足条件|z -i|=1，且z ≠0，z ≠2i ，又复数ω使得i2i 2-⋅-z zωω为实数，则复数ω-2的辐角主值的取值范围是 ． 5、设a 1,a 2,…,a 2002均为正实数，且21212121200221=++++++a a a ，则a 1a 2…a 2002的最小值是 ．6、在一个由十进制数字组成的数码中，如果它含有偶数个数字8，则称它为“优选”数码（如12883，787480889等），否则称它为“非优选”数码（如2348756，958288等），则长度不超过n （n 为自然数）的所有“优选”数码的个数之和为 ．三、（20分）已知数列{a n }是首项为2，公比为21的等比数列，且前n 项和为S n ．（1） 用S n 表示S n +1；（2） 是否存在自然数c 和k ，使得cS cS k k --+1＞2成立． 四、（20分）设异面直线a 、b 成60°角，它们的公垂线段为EF ，且|EF |=2，线段AB的长为4，两端点A 、B 分别在a 、b 上移动．求线段AB 中点P 的轨迹方程．五、（20分）已知定义在R +上的函数f (x )满足（i ）对于任意a 、b ∈R +，有f (ab )=f (a )+f (b )；（ii ）当x ＞1时，f (x )＜0；（iii ）f (3)=-1．现有两个集合A 、B ，其中集合A ={(p ,q )|f (p 2+1)-f (5q )-2＞0，p 、q ∈R +}，集合B ={(p ,q )|f (qp )+21=0，p 、q ∈R +}．试问是否存在p 、q ，使∅≠B A ，说明理由．第二试一、（50分）如图，AM 、AN 是⊙O 的切线，M 、N 是切点，L 是劣弧MN 上异于M 、N 的点，过点A 平行于MN 的直线分别交ML 、NL 于点Q 、P ．若P O Q O S S △⊙32π=，求证：∠POQ =60°．二、（50分）已知数列a 1=20，a 2=30，a n +2=3a n +1-a n （n ≥1）．求所有的正整数n ，使得1+5a n a n +1是完全平方数．三、（50分）设M 为坐标平面上坐标为(p ·2002,7p ·2002)的点，其中p 为素数．求满足下列条件的直角三角形的个数：（1） 三角形的三个顶点都是整点，而且M 是直角顶点； （2） 三角形的内心是坐标原点．参考答案第一试1、⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,33； 2、()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧︒<<︒︒=︒<<︒︒=︒<<︒=900,460,36030,230,1300,0ααααααf ；3、⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣⎡-845,00,21 ；QC B A x y O x y O O O x y x y 4、⎪⎭⎫⎢⎣⎡-ππ,34arctan ；5、40022002； 6、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++63142789102111n n ． 三、（1）2211+=+n n S S ； （2）不存在．四、1922=+y x ．五、不存在． 第二试一、证略；二、n =3．三、 p ≠2,7,11,13时，324个；p =2时，162个；p =7,11,13时，180个．2007年全国高中数学竞赛模拟试卷 一、选择题1、二次函数b ax y +=2与一次函数)(b a b ax y >+=在同一个直角坐标系的图像为（ ）2、已知数列{}n a 满足)(,,*1221N n a a a b a a a n n n ∈-===++。
