2017_2018版高中数学第一章常用逻辑用语疑难规律方法学案(含答案)北师大版选修2_1

1.3 简单的逻辑联结词逻辑联结词“且”“或”“非”[提出问题]如图所示，有三种电路图．问题1：甲图中，什么情况下灯亮？提示：开关p闭合且q闭合．问题2：乙图中，什么情况下灯亮？提示：开关p闭合或q闭合．问题3：丙图中，什么情况下灯不亮？提示：开关p不闭合时．[导入新知]符号含义读法p∧q 用联结词“且”把命题p和命题q联结起来的一个新命题p且qp∨q 用联结词“或”把命题p和命题q联结起来的一个新命题p或q非p或綈p 对一个命题p全盘否定的一个新命题p的否定[化解疑难]1．“且”含义的理解联结词“且”与日常用语中的“并且”“和”“同时”等词语等价，表示的是同时具有的意思．2．“或”含义的理解联结词“或”与日常用语中的“或者”“可能”等词语等价，它有三层含义，如“p或q”表示：要么是p不是q；要么是q不是p；要么是p且q.3．“非”含义的理解联结词“非”与日常用语中的“不是”“否定”“全盘否定”“问题的反面”等词语等价.含有逻辑联结词的命题的真假判断[提出问题]如“知识点一”中的图，若开关p，q的闭合与断开分别对应命题p、q的真与假，则灯亮与不亮分别对应着p∧q，p∨q，綈p的真与假．问题1：什么情况下，p∧q为真？提示：当p真，q真时．问题2：什么情况下，p∨q为假？提示：当p假，q假时．问题3：什么情况下，綈p为真？提示：当p假时．[导入新知]“p∧q”“p∨q”“綈p”的真假判断p q p∨q p∧q 綈p真真真真假真假真假假假真真假真假假假假真[化解疑难]命题“p∧q”“p∨q”“綈p”真假的记忆(1)对于“p∧q”，简称为“一假则假”，即p，q中只要有一个为假，则“p∧q”为假；(2)对于“p∨q”，简称为“一真则真”，即p，q中只要有一个为真，则“p∨q”为真．用逻辑联结词联结新命题[例1]分别写出由下列命题构成的“p∨q”“p∧q”“綈p”形式的命题．(1)p：梯形有一组对边平行，q：梯形有一组对边相等；(2)p：－1是方程x2＋4x＋3＝0的解，q：－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．[解](1)p∧q：梯形有一组对边平行且有一组对边相等．p∨q：梯形有一组对边平行或有一组对边相等．綈p：梯形没有一组对边平行．(2)p∧q：－1与－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．p∨q：－1或－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．綈p：－1不是方程x2＋4x＋3＝0的解．[类题通法]用“或”“且”“非”联结两个简单命题时，要正确理解这三个联结词的意义，通常情况下，可以直接使用逻辑联结词联结，有时为了通顺也可以适当添加词语或省略联结词．如甲是运动员兼教练员，就省略了“且”．[活学活用]指出下列命题的构成形式及构成它们的简单命题：(1)方程2x2＋1＝0没有实数根；(2)12能被3或4整除．解：(1)是“綈p”形式，其中p：方程2x2＋1＝0有实根．(2)是“p或q”形式，其中p：12能被3整除；q：12能被4整除.含有逻辑联结词的命题的真假判断[例2]分别写出由下列各组命题构成的“p∨q”“p∧q”“綈p”形式的命题，并判断其真假．(1)p：等腰梯形的对角线相等，q：等腰梯形的对角线互相平分；(2)p：函数y＝x2－2x＋2没有零点，q：不等式x2－2x＋1＞0恒成立．[解](1)p∨q：等腰梯形的对角线相等或互相平分，真命题．p∧q：等腰梯形的对角线相等且互相平分，假命题．綈p：等腰梯形的对角线不相等，假命题．(2)p∨q：函数y＝x2－2x＋2没有零点或不等式x2－2x＋1＞0恒成立，真命题．p∧q：函数y＝x2－2x＋2没有零点且不等式x2－2x＋1＞0恒成立，假命题．綈p：函数y＝x2－2x＋2有零点，假命题．[类题通法]1．命题结构的两种类型及判断方法(1)从含有联结词“且”“或”“非”或者与之等价的词语上进行判断．(2)若命题中不含有联结词，则从命题所表达的数学意义上进行判断．2．判断命题真假的三个步骤(1)明确命题的结构，即命题是“p∧q”“p∨q”，还是“綈p”；(2)对命题p和q的真假作出判断；(3)由“p∧q”“p∨q”“綈p”的真假判断方法给出结论．[活学活用]分别写出下列含有逻辑联结词的命题的形式，并判断其真假．(1)等腰三角形顶角的平分线平分且垂直于底边；(2)1或－1是方程x2＋3x＋2＝0的根；(3)A(A∪B)．(1)这个命题是“p∧q”的形式，其中p：等腰三角形顶角的平分线平分底边，q：等腰三角形顶角的平分线垂直于底边，因为p真，q真，则“p∧q”真，所以该命题是真命题．(2)这个命题是“p∨q”的形式，其中p：1是方程x2＋3x＋2＝0的根，q：－1是方程x2＋3x＋2＝0的根，因为p假，q真，则“p∨q”真，所以该命题是真命题．(3)这个命题是“綈p”的形式，其中p：A⊆(A∪B)，因为p真，则“綈p”假，所以该命题是假命题.根据含逻辑联结词命题的真假求参数取值范围[例3]已知命题p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的正实数根，命题q：方程4x2＋4(m ＋2)x＋1＝0无实数根．若“p或q”为真命题，求实数m的取值范围．[解]“p或q”为真命题，则p为真命题或q为真命题．当p为真命题时，有Error!，解得m＜－2；当q为真命题时，有Δ＝16(m＋2)2－16＜0，解得－3＜m＜－1.综上可知，实数m的取值范围是(－∞，－1)．[类题通法]解决此类问题的方法，一般是先假设p，q分别为真，化简其中的参数取值范围，然后当它们为假时取其补集，最后确定参数的取值范围．当p，q中参数的范围不易求出时，也可以利用綈p与p，綈q与q不能同真同假的特点，先求綈p，綈q中参数的范围．[活学活用]对命题p：1是集合{x|x2＜a}中的元素；q：2是集合{x|x2＜a}中的元素，则a为何值时，“p或q”为真？a为何值时，“p且q”为真？解：若p为真，则1∈{x|x2＜a}，所以12＜a，即a＞1；若q为真，则2∈{x|x2＜a}，即a＞4.若“p或q”为真，则a＞1或a＞4，即a＞1；若“p且q”为真，则a＞1且a＞4，即a＞4.1.求解含联结词命题中的参数[典例](12分)已知命题p：函数y＝x2＋2(a2－a)x＋a4－2a3在[－2，＋∞)上单调递增，q：关于x的不等式ax2－ax＋1＞0解集为R.若p∧q假，p∨q真，求实数a的取值范围．[解题流程][活学活用]若命题p：函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，写出綈p，若綈p 是假命题，则a的取值范围是什么？解：綈p：函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上不是减函数．因为綈p为假命题，所以p为真命题．因此－(a－1)≥4.故a≤－3，即所求a的取值范围是(－∞，－3]．[随堂即时演练]1．p：点P在直线y＝2x－3上，q：点P在抛物线y＝－x2上，下面使“p∧q”为真命题的一个点P(x，y)是()A．(0，－3)B．(1,2)C．(1，－1) D．(－1,1)解析：选C使“p∧q”为真命题的点即为直线y＝2x－3与抛物线y＝－x2的交点．2．已知命题p：设x∈R，若|x|＝x，则x>0，命题q：设x∈R，若x2＝3，则x＝3，则下列命题为真命题的是()A．p∨q B．p∧qC．(綈p)∧q D．(綈p)∨q解析：选D由|x|＝x应得x≥0而不是x>0，故p为假命题；由x2＝3应得x＝± 3，而不只有x＝3，故q为假命题．因此綈p为真命题，从而(綈p)∨q也为真命题．3．命题p：2∉{1,3}，q：2∉{x|x2－4＝0}，则命题p∧q：2∉{1,3}且2∉{x|x2－4＝0}是________(填“真”或“假”)命题，命题p∨q：____________，是________(填“真”或“假”)命题．解析：命题p：2∉{1,3}是真命题．因为{x|x2－4＝0}＝{－2,2}，所以命题q：2∉{x|x2－4＝0}是假命题．答案：假2∉{1,3}或2∉{x|x2－4＝0}真b4．若p：不等式ax＋b＞0的解集为xx＞－，q：关于x的不等式(x－a)(x－b)＜0的解a集为{x|a＜x＜b}，且“p∧q”为真命题，则a，b满足__________．解析：因为命题“p∧q”为真命题，所以p、q均为真命题，于是a＞0，且a＜b.答案：0＜a＜b5．判断下列命题的真假：(1)函数y＝cos x是周期函数并且是单调函数；(2)x＝2或x＝－2是方程x2－4＝0的解．解：(1)由p：“函数y＝cos x是周期函数”，q：“函数y＝cos x是单调函数”，用联结词“且”联结后构成命题p∧q.因为p是真命题，q是假命题，所以p∧q是假命题．(2)由p：“x＝2是方程x2－4＝0的解”，q：“x＝－2是方程x2－4＝0的解”，用“或”联结后构成命题p∨q.因为p，q都是真命题，所以p∨q是真命题．[课时达标检测]一、选择题1．“xy≠0”是指()A．x≠0且y≠0B．x≠0或y≠0C．x，y至少一个不为0 D．x，y不都是0解析：选A xy≠0是指x，y均不能为0，故选A.2．若命题“p且q”为假，且綈p为假，则()A．p或q为假B．q假C．q真D．p假解析：选B綈p为假，则p为真，而p∧q为假，得q为假．3．已知全集U＝R，A⊆U，B⊆U，如果命题p：3∈(A∪B)，则命题“綈p”是()A. 3∉AB. 3∈(∁U A)∩(∁U B)C. 3∈∁U BD. 3∉(A∩B)解析：选B由p：3∈(A∪B)，可知綈p：3∉(A∪B)，即3∈∁U(A∪B)，而∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)，故选B.4．由下列各组命题构成p或q，p且q，非p形式的新命题中，p或q为真命题，p且q 为假命题，非p为真命题的是()A．p：3是偶数，q：4是奇数B．p：3＋2＝6，q：5＞3C．p：a∈{a，b}，q：{a a，b}D．p：，q：N＝N解析：选B由p或q为真命题，p且q为假命题，非p为真命题可知p为假命题且q为真命题，选项中符合要求的只有B.1 5．若命题p：函数y＝x2－2x的单调递增区间是[1，＋∞)，命题q：函数y＝x－的单调x递增区间是[1，＋∞)，则()A．p∧q是真命题B．p∨q是假命题C．綈p是真命题D．綈q是真命题解析：选D因为函数y＝x2－2x在[1，＋∞)上是增函数，所以其单调递增区间是[1，＋1∞)，所以p是真命题；因为函数y＝x－的单调递增区间是(－∞，0)和(0，＋∞)，所以qx是假命题．所以p∧q为假命题，p∨q为真命题，綈p为假命题，綈q为真命题．故选D.二、填空题6 ．命题“若a＜b，则2a＜2b”的否命题是__________ ，命题的否定是________________________．解析：命题“若p，则q”的否命题是“若綈p，则綈q”，命题的否定是“若p，则綈q”．答案：若a≥b，则2a≥2b若a＜b，则2a≥2b7．已知p：x2－x≥6，q：x∈Z.若“p∧q”“綈q”都是假命题，则x的值组成的集合为________________________________________________________________________．解析：因为“p∧q”为假，“綈q”为假，所以q为真，p为假．故Error!即Error!因此，x的值可以是－1,0,1,2.答案：{－1,0,1,2}8．已知条件p：(x＋1)2＞4，条件q：x＞a，且綈p是綈q的充分不必要条件，则a的取值范围是________．解析：由綈p是綈q的充分不必要条件，可知綈p⇒綈q，但綈q⇒/ 綈p.由一个命题与它的逆否命题等价，可知q⇒p但p⇒/ q．又p：x＞1或x＜－3，可知{x|x＞a x|x＜－3 或x＞1}，所以a≥1.答案：[1，＋∞)三、解答题9．指出下列命题是简单命题还是含逻辑联结词的命题，若是含逻辑联结词的命题，写出构成它的简单命题．(1)两个角是45°的三角形是等腰直角三角形；(2)若x∈{x|x＜1或x＞2}，则x是不等式(x－1)(x－2)＞0的解．解：(1)是“p且q”形式的命题，其中p：两个角是45°的三角形是等腰三角形，q：两个角是45°的三角形是直角三角形．(2)是“p或q”形式的命题，其中p：若x∈{x|x＜1}，则x是不等式(x－1)(x－2)＞0的解，q：若x∈{x|x＞2}，则x是不等式(x－1)(x－2)＞0的解．10．命题甲：关于x的不等式x2＋(a－1)x＋a2≤0的解集为∅，命题乙：函数y＝(2a2－a)x 为增函数．分别求出符合下列条件的实数a的取值范围：(1)甲、乙至少有一个是真命题；(2)甲、乙中有且只有一个是真命题．解：甲命题为真时，Δ＝(a－1)2－4a2＜0，1即a＞或a＜－1，①3乙命题为真时，2a2－a＞1，1 即a＞1或a＜－.②2(1)甲、乙至少有一个是真命题，1 1即为a＜－或a＞，2 3∴甲、乙至少有一个是真命题时，a的取值范围是1(2)甲、乙有且只有一个是真命题，有两种情况：甲真乙假时，＜a≤1，当甲假乙真时，－311≤a＜－.2∴甲、乙中有且只有一个真命题时，a的取值范围是。

§4逻辑联结词“且”“或”“非”[对应学生用书P11]如图所示，有三种电路图．问题1：甲图中，什么情况下灯亮？提示：开关p闭合且q闭合．问题2：乙图中，什么情况下灯亮？提示：开关p闭合或q闭合．问题3：丙图中什么情况下灯不亮？提示：开关p不闭合．用逻辑联结词“且”“或”“非”构成新命题(1)用逻辑联结词“且”联结两个命题p和q，构成一个新命题“p且q”．(2)用逻辑联结词“或”联结两个命题p和q，构成一个新命题“p或q”．(3)一般地，对命题p加以否定，就得到一个新命题，记作綈p，读作“非p”.在知识点一中的甲、乙、丙三种电路图中，若开关p，q的闭合与断开分别对应着命题p，q的真与假，则灯亮与不亮分别对应着p且q，p或q，非p的真与假．问题1：什么情况下，p且q为真命题？提示：当p真，且q真时．问题2：什么情况下，p或q为假命题？提示：当p假，且q假时．问题3：什么情况下，綈p为真命题？提示：当p为假时．含有逻辑联结词的命题的真假判断1．新命题“p且q”的真假概括为：同真为真，有假为假；2．新命题“p或q”的真假概括为：同假为假，有真为真；3．新命题綈p与命题p的真假相反．[对应学生用书P12][例1](1)p：6是自然数；q：6是偶数．(2)p：菱形的对角线相等；q：菱形的对角线互相垂直．(3)p：3是9的约数；q：3是18的约数．[思路点拨]先用逻辑联结词将两个简单命题连起来，再用数学语言综合叙述．[精解详析](1)p或q：6是自然数或是偶数．p且q：6是自然数且是偶数．綈p：6不是自然数．(2)p或q：菱形的对角线相等或互相垂直．p且q：菱形的对角线相等且互相垂直．綈p：菱形的对角线不相等．(3)p或q：3是9的约数或是18的约数．p且q：3是9的约数且是18的约数．綈p：3不是9的约数．[一点通]用逻辑联结词“且”“或”“非”构造新命题时，关键是正确理解这些词语的意义及在日常生活中的同义词，有时为了语法的要求及语句的通顺也可以进行适当的省略和变形．1．给出下列命题：①2004年10月1日是国庆节，又是中秋节；②10的倍数一定是5的倍数；③梯形不是矩形；④方程x2＝1的解是x＝±1.其中使用逻辑联结词的命题有() A．1个B．2个C．3个D．4个解析：①中使用逻辑联结词“且”；②中没有使用逻辑联结词；③中使用逻辑联结词“非”；④中使用逻辑联结词“或”，共有3个命题①③④使用逻辑联结词，故选C.答案：C2．在一次射击比赛中，甲、乙两位运动员各射击一次，设命题p：“甲的成绩超过9环”，命题q：“乙的成绩超过8环”，则命题“p或(綈q)”表示()A．甲的成绩超过9环或乙的成绩超过8环B．甲的成绩超过9环或乙的成绩没有超过8环C．甲的成绩超过9环且乙的成绩超过8环D．甲的成绩超过9环且乙的成绩没有超过8环解析：綈q表示乙的成绩没有超过8环，所以命题“p或(綈q)”表示甲的成绩超过9环或乙的成绩没有超过8环，故选B.答案：B3．分别写出由下列命题构成的“p或q”“p且q”形式的命题．(1)p：π是无理数，q：e不是无理数；(2)p：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根，q：方程x2＋2x＋1＝0两根的绝对值相等；(3)p：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，q：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角．解：(1)“p或q”：π是无理数或e不是无理数；“p且q”：π是无理数且e不是无理数．(2)“p或q”：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根或两根的绝对值相等；“p且q”：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根且两根的绝对值相等．(3)“p或q”：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和或大于与它不相邻的任何一个内角；“p且q”：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和且大于与它不相邻的任何一个内角．4．判断下列命题的构成形式，若含有逻辑联结词“且”“或”“非”，请指出其中的p，q.(1)菱形的对角线互相垂直平分；(2)2是4和6的约数；(3)x ＝1不是不等式x 2－5x ＋6>0的解．解：(1)是“p 且q ”形式的命题．其中p ：菱形的对角线互相垂直．q ：菱形的对角线互相平分．(2)是“p 且q ”形式的命题，其中p ：2是4的约数；q ：2是6的约数． (3)是“綈p ”形式的命题，其中p ：x ＝1是不等式x 2－5x ＋6>0的解.[例2] (1)p ：3是13的约数，q ：3是方程x 2－4x ＋3＝0的解； (2)p ：x 2＋1≥1，q ：3＞4；(3)p ：四边形的一组对边平行，q ：四边形的一组对边相等； (4)p ：1∈{1,2}，q ：{1} {1,2}．[思路点拨] 要正确判断含有逻辑联结词的命题的真假，首先要确定命题的构成形式，再根据p ，q 的真假判断命题的真假．[精解详析] (1)因为p 假q 真，所以“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，“非p ”为真； (2)因为p 真q 假，所以“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，“非p ”为假； (3)因为p 假q 假，所以“p 或q ”为假，“p 且q ”为假，“非p ”为真； (4)因为p 真q 真，所以“p 或q ”为真，“p 且q ”为真，“非p ”为假． [一点通]判断含逻辑联结词的命题真假的步骤： (1)确定命题的形式；(2)判断构成该命题的两个命题的真假；(3)根据“p 或q ”“p 且q ”“綈p ”的真假性与命题p ，q 的真假性的关系作出判断．5．若綈p 或q 是假命题，则( ) A ．p 且q 是假命题 B ．p 或q 是假命题 C ．p 是假命题D ．綈q 是假命题解析：由于綈p 或q 是假命题，则綈p 与q 均是假命题，所以p 是真命题，綈q 是真命题，所以p 且q 是假命题，p 或q 是真命题，故选A.答案：A6．设命题p ：函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π12的最小正周期为2π；命题q ：函数y ＝tan x 的图像关于直线x ＝3π2对称，则( )A ．p 为真B ．綈q 为假C ．p 且q 为真D ．p 或q 为假解析：函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π12的最小正周期T ＝2π2＝π，所以p 为假命题；函数y ＝tan x 的图像不是轴对称图形，不存在对称轴，所以q 为假命题，所以綈q 为真，p 且q 为假，p 或q 为假，故选D.答案：D[例3] ＋4(m －2)x ＋1＝0无实根，若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，求m 的取值范围．[思路点拨] “p 或q ”为真，“p 且q ”为假，则p ，q 中必一真一假；可分p 真q 假，p 假q 真两种情况处理．[精解详析] 由题意知，p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负实根，则p 为真时，⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m 2－4>0，－m <0，∴m >2.q ：方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根， 则q 为真时，Δ＝16(m －2)2－4×4<0， 即1<m <3.①若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧m >2，m ≤1或m ≥3，∴m ≥3.②若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧m ≤2，1<m <3，∴1<m ≤2.综上所述，m 的取值范围是(1,2]∪[3，＋∞)． [一点通]根据p ，q 的真假求参数的取值范围时，要充分利用集合的“交、并、补”与“且、或、非”的对应关系，特别注意“p 假”时，一般不从綈p 为真求参数的取值范围，而利用补集的思想，求“p 真”时参数的集合的补集．7．若命题“存在x ∈R ，使得x 2＋(a －1)x ＋1≤0成立”为假命题，则实数a 的取值范围是________．解析：该命题p 的否定是綈p ：“任意x ∈R ，x 2＋(a －1)x ＋1＞0”，即关于x 的一元二次不等式x 2＋(a －1)x ＋1＞0的解集为R ，由于命题p 是假命题，所以綈p 是真命题，所以Δ＝(a －1)2－4＜0，解得－1＜a ＜3，所以实数a 的取值范围是(－1,3)．答案：(－1,3)8．命题p ：关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4＞0，对一切x ∈R 恒成立，命题q ：指数函数f (x )＝(3－2a )x 是增函数，若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的取值范围．解：设g (x )＝x 2＋2ax ＋4，由于关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4＞0对一切x ∈R 恒成立， 所以函数g (x )的图像开口向上且与x 轴没有交点， 故Δ＝4a 2－16＜0，∴－2＜a ＜2.函数f (x )＝(3－2a )x 是增函数，则有3－2a ＞1，即a ＜1. 又由于p 或q 为真，p 且q 为假，可知p 和q 一真一假．①若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧－2＜a ＜2，a ≥1，∴1≤a ＜2.②若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－2，或a ≥2，a ＜1，∴a ≤－2.综上可知，所求实数a 的取值范围为(－∞，－2]∪[1,2)．1．正确理解逻辑联结词是解题的关键．日常用语中的“或”是两个中任选一个，不能都选，而逻辑联结词中的“或”是指两个中至少选一个．2．命题的否定只否定结论，否命题既否定条件又否定结论，要注意二者的区别．[对应课时跟踪训练(四)]1．已知命题p ，q ，若命题綈p 是假命题，命题p ∨q 是真命题，则( ) A ．p 是真命题，q 是真命题 B ．p 是假命题，q 是真命题C ．p 是真命题，q 可能是真命题也可能是假命题D ．p 是假命题，q 可能是真命题也可能是假命题解析：由于綈p 是假命题，所以p 是真命题，由于命题p 或q 一真则真，所以q 可能是真命题也可能是假命题，故选C.答案：C2．对命题p ：1∈{1}，命题q ：1∈/∅，下列说法正确的是( ) A ．p 且q 为假命题 B ．p 或q 为假命题 C ．非p 为真命题 D ．非q 为假命题解析：由已知易得命题p和q均是真命题，所以p且q为真命题，p或q为真命题，非p为假命题，非q为假命题，故选D.答案：D3．命题“若a∉A，则b∈B”的否定是()A．若a∉A，则b∉B B．若a∉A，则b∈BC．若a∈A，则b∉B D．若b∉A，则a∈B解析：命题的否定只否定其结论，为：若a∉A，则b∉B.故应选A.答案：A4．已知命题p：若(x－1)(x－2)≠0，则x≠1且x≠2；命题q：存在实数x，使2x＜0.下列选项中为真命题的是()A．綈p B．綈p或qC．綈q且p D．q解析：很明显命题p为真命题，所以綈p为假命题；由于函数y＝2x，x∈R的值域是(0，＋∞)，所以q是假命题，所以綈q是真命题．所以綈p或q为假命题，綈q且p为真命题，故选C.答案：C5．分别用“p或q”，“p且q”，“非p”填空：(1)命题“非空集A∩B中的元素既是A中的元素，也是B中的元素”是________的形式；(2)命题“非空集A∪B中的元素是A中的元素或B中的元素”是________的形式；(3)命题“非空集∁U A的元素是U中的元素但不是A中的元素”是________的形式．解析：(1)命题可以写为“非空集A∩B中的元素是A中的元素，且是B中的元素”，故填p且q；(2)“是A中的元素或B中的元素”含有逻辑联结词“或”，故填p或q；(3)“不是A中的元素”暗含逻辑联结词“非”，故填非p.答案：p且q p或q非p6．已知p：函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，若綈p是假命题，则a的取值范围是________．解析：綈p：函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上不是减函数．∵綈p为假，则p为真，即函数在(－∞，4]上为减函数，∴－(a－1)≥4，即a≤－3，∴a的取值范围是(－∞，－3]．答案：(－∞，－3]7．在一次模拟打飞机的游戏中，小李接连射击了两次，设命题p是“第一次击中飞机”，命题q 是“第二次击中飞机”．试用p ，q 以及逻辑联结词“或”“且”“非”表示下列命题：(1)命题s ：两次都击中飞机； (2)命题r ：两次都没击中飞机； (3)命题t ：恰有一次击中了飞机； (4)命题u ：至少有一次击中了飞机．解：(1)两次都击中飞机表示：第一次击中飞机且第二次击中飞机，所以命题s 表示为p 且q .(2)两次都没击中飞机表示：第一次没有击中飞机且第二次没有击中飞机，所以命题r 表示为綈p 且綈q .(3)恰有一次击中了飞机包含两种情况：一是第一次击中飞机且第二次没有击中飞机，此时表示为 p 且綈q ，二是第一次没有击中飞机且第二次击中飞机，此时表示为綈p 且q ，所以命题t 表示为( p 且綈q )或(綈p 且q )．(4)法一：命题u 表示：第一次击中飞机或第二次击中飞机，所以命题u 表示为p 或q . 法二：綈u ：两次都没击中飞机，即是命题r ，所以命题u 是綈r ，从而命题u 表示为綈(綈p 且綈q )．法三：命题u 表示：第一次击中飞机且第二次没有击中飞机，或者第一次没有击中飞机且第二次击中飞机，或者第一次击中飞机且第二次击中飞机，所以命题u 表示为(p 且綈q )或(綈p 且q )或(p 且q )．8．已知p ：关于x 的方程x 2－ax ＋4＝0有实根；q ：关于x 的函数y ＝2x 2＋ax ＋4在[3，＋∞)上是增函数．若“p 或q ”是真命题，“p 且q ”是假命题，求实数a 的取值范围．解：由“p 或q ”是真命题，“p 且q ”是假命题可知p ，q 一真一假． p 为真命题时，Δ＝a 2－16≥0， ∴a ≥4或a ≤－4；q 为真命题时，对称轴x ＝－a4≤3，∴a ≥－12.当p 真q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧a ≥4或a ≤－4，a <－12，得a <－12；当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧－4<a <4，a ≥－12，得－4<a <4.综上所述，a 的取值范围是(－∞，－12)∪(－4,4)．[对应学生用书P14]一、命题1．命题：能够判断真假、用文字或符号表述的语句叫命题．感叹句、疑问句、祈使句、含有未知数的不等式、方程等都不是命题．2．四种命题：原命题与它的逆命题、否命题之间的真假关系是不确定的，而原命题与它的逆否命题(它的逆命题与它的否命题)同真同假．正是因为原命题与逆否命题的真值一致，所以对某些命题的证明可转化为证明其逆否命题．二、充分条件与必要条件1．关于充分条件、必要条件与充要条件的判定，实际上是对命题真假的判定． 若“p ⇒q ”，且“p ⇐/ q ”，则p 是q 的“充分不必要条件”，同时q 是p 的“必要不充分条件”；若“p ⇔q ”，则p 是q 的“充要条件”，同时q 是p 的“充要条件”；若“p ⇔/ q ”，则p 是q 的“既不充分也不必要条件”，同时q 是p 的“既不充分也不必要条件”．2．利用集合关系判断充分必要条件：若A B ，则x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，x ∈B 是x ∈A 的必要不充分条件； 若A ＝B ，则x ∈A 与x ∈B 互为充要条件；若A ⃘B 且B ⃘A ，则x ∈A 是x ∈B 的既不充分也不必要条件． 三、全称量词与存在量词1．全称命题的真假判定：要判定一个全称命题为真，必须对限定集合中的每一个x 验证命题成立；要判定一个全称命题为假，只需举出一个反例即可．2．特称命题的真假判定：要判定一个特称命题为真，只需在限定集合中找到一个x ，使命题成立即可，否则这一特称命题为假．四、逻辑联结词1．由“且”“或”“非”构成的新命题有三种形式：“p 或q ”“p 且q ”“非p ”． 2．含逻辑联结词的命题的真假判断：“p 或q ”中有真为真，其余为假；“p 且q ”中有假为假，其余为真． 3．命题的否定与否命题的区别：否命题既否定条件又否定结论，其真假与原命题的真假无关；而命题的否定只否定结论，其真假与原命题的真假相反．⎣⎢⎡⎦⎥⎤对应阶段质量检测(一) 见8开试卷(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列命题中是假命题的是( ) A ．等边三角形的三个内角均为60° B ．若x ＋y 是有理数，则x ，y 都是有理数 C ．集合A ＝{0,1}的真子集有3个D ．若b ≤－1，则方程x 2－2bx ＋b 2＋b ＝0有实数根解析：对于A ，由平面几何知识可知A 是真命题；对于B ，取x ＝3，y ＝－3可知x ＋y ＝0是有理数，显然x ，y 都是无理数，故B 是假命题；对于C ，集合A ＝{0,1}的所有真子集是∅，{0}，{1}，共有3个，故C 是真命题；对于D ，由b ≤－1知Δ＝4b 2－4(b 2＋b )＝－4b ＞0，所以D 是真命题，故选B.答案：B2．设x ，y ∈R ，则“x ≥2且y ≥2”是“x 2＋y 2≥4”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：因为x ≥2且y ≥2⇒x 2＋y 2≥4易证，所以充分性满足，反之，不成立，如x ＝y ＝74，满足x 2＋y 2≥4，但不满足x ≥2且y ≥2，所以x ≥2且y ≥2是x 2＋y 2≥4的充分而不必要条件．答案：A3．命题p ：对任意x ∈R ，都有x 2－2x ＋2≤sin x 成立，则命题p 的否定是( ) A ．不存在x ∈R ，使x 2－2x ＋2＞sin x 成立 B ．存在x ∈R ，使x 2－2x ＋2≥sin x 成立 C ．存在x ∈R ，使x 2－2x ＋2＞sin x 成立 D ．对任意x ∈R ，都有x 2－2x ＋2＞sin x 成立解析：全称命题的否定必为特称命题，因此否定全称命题时，要改全称量词为存在量词，同时还要否定结论，故选C.答案：C4．命题“已知a ，b 都是实数，若a ＋b ＞0，则a ，b 不全为0”的逆命题、否命题与逆否命题中，假命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：逆命题“已知a ，b 都是实数，若a ，b 不全为0，则a ＋b ＞0”为假命题，其否命题与逆命题等价，所以否命题为假命题．逆否命题“已知a，b都是实数，若a，b全为0，则a＋b≤0”为真命题，故选C.答案：C5．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是()A．若一个数是负数，则它的平方不是正数B．若一个数的平方是正数，则它是负数C．若一个数不是负数，则它的平方不是正数D．若一个数的平方不是正数，则它不是负数解析：命题的逆命题即把原命题的条件、结论对换．即为：若一个数的平方为正数，则这个数为负数．答案：B6．给出下列四个命题：①若x2－3x＋2＝0，则x＝1或x＝2；②若－2≤x<3，则(x＋2)(x－3)≤0；③若x＋y＝2，则x2＋y2≥2；④若x，y∈N＋，x＋y是奇数，则x，y中一个是奇数，一个是偶数．那么()A．①的逆命题为真B．②的否命题为真C．③的逆否命题为假D．④的逆命题为假解析：①的逆命题为：若x＝1或x＝2，则x2－3x＋2＝0为真，其余均错，故选A.答案：A7．已知条件p：1x＋2＜0和条件q：lg(x＋2)有意义，则綈p是q的() A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分又不必要条件解析：不等式1x＋2＜0的解集为{x|x＜－2}，则綈p：x≥－2.命题q：x＞－2，故綈p⇒/ q，q⇒綈p，故选C.答案：C8．命题“对任意x∈[1,2]，都有x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是() A．a≥4B．a≤4C．a≥5 D．a≤5解析：∵任意x∈[1,2]，1≤x2≤4，∴要使x2－a≤0为真，则a≥x2，即a≥4，本题求的是充分不必要条件，结合选项，只有C符合，故选C.答案：C9．已知命题p ：任意x ∈R ，使x 2－x ＋14<0；命题q ：存在x ∈R ，使sin x ＋cos x ＝2，则下列判断正确的是( )A ．p 是真命题B ．q 是假命题C ．綈p 是假命题D ．綈q 是假命题解析：∵任意x ∈R ，x 2－x ＋14＝⎝⎛⎭⎫x －122≥0恒成立， ∴命题p 假，綈p 真；又sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，当sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝1时，sin x ＋cos x ＝2， ∴q 真，綈q 假．答案：D10．以下判断正确的是( )A ．命题“负数的相反数是正数”不是全称命题B ．命题“任意x ∈N ，x 3＞x ”的否定是“存在x ∈N ，x 3＞x ”C ．“a ＝1”是“函数f (x )＝cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为π”的必要不充分条件D ．“b ＝0”是“函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 是偶函数”的充要条件解析：∵“负数的相反数是正数”即为任意一个负数的相反数是正数，是全称命题，∴A 不正确；又∵对全称命题“任意x ∈N ，x 3＞x ”的否定为“存在x ∈N ，x 3≤x ”，∴B 不正确； 又∵f (x )＝cos 2ax －sin 2ax ＝cos 2ax ，当最小正周期T ＝π时，有2π|2a |＝π， ∴|a |＝1⇒/ a ＝1.故“a ＝1”是“函数f (x )＝cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为π”的充分不必要条件． 答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填在题中的横线上)11．“对顶角相等”的否定为__________________，否命题为_______________________．解析：“对顶角相等”的否定为“对顶角不相等”，否命题为“若两个角不是对顶角，则它们不相等”．答案：对顶角不相等 若两个角不是对顶角，则它们不相等12．已知角A 是△ABC 的内角，则“sin A ＝45”是“cos A ＝35”的________条件． 解析：因为角A 可能为锐角或为钝角，因此由“sin A ＝45”不一定得到“cos A ＝35”，但“cos A ＝35”一定能得到“sin A ＝45”，故“sin A ＝45”是“cos A ＝35”的必要不充分条件． 答案：必要不充分13．已知命题p ：任意x ∈R ，ax 2－2x －3＜0，如果命题綈p 是真命题，那么实数a 的取值范围是________．解析：綈p ：存在x ∈R ，ax 2－2x －3≥0.当a ＝0时，存在x ≤－32，使ax 2－2x －3≥0；当a ＞0时，显然存在实数x ，使ax 2－2x －3≥0；当a ＜0时，只需判别式Δ＝4＋12a ≥0，即有－13≤a ＜0.综上所述：a ≥－13. 答案：⎣⎡⎭⎫－13，＋∞ 14．已知命题p ：存在x ∈R ，使tan x ＝1，命题q ：“x >2”是“x 2－3x ＋2>0”的充分不必要条件，下列结论：①命题“p 且q ”是真命题；②命题“p 或綈q ”是假命题；③命题“綈p 或q ”是真命题；④命题“綈p 或綈q ”是假命题．上述结论中，正确结论的序号是________．解析：∵p 真，q 真，∴p 且q 真，p 或綈q 真，綈p 或q 真，綈p 或綈q 假．答案：①③④三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)设集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |ax ＝1}．“x ∈B ”是“x ∈A ”的充分不必要条件，试求满足条件的实数a 组成的集合．解：∵A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}＝{1,2}，由于“x ∈B ”是“x ∈A ”的充分不必要条件， ∴B A .当B ＝∅时，得a ＝0；当B ≠∅时，则当B ＝{1}时，得a ＝1；当B ＝{2}时，得a ＝12. 综上所述：实数a 组成的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，12，1. 16．(本小题满分12分)分别写出由下列各组命题构成的“p 或q ”“p 且q ”“綈p ”形式的新命题，并判断真假．(1)p ：平行四边形的对角线相等；q ：平行四边形的对角线互相平分．(2)p ：方程x 2－16＝0的两根的符号不同；q ：方程x 2－16＝0的两根的绝对值相等． 解：(1)p 或q ：平行四边形的对角线相等或互相平分．p 且q ：平行四边形的对角线相等且互相平分，綈p ：平行四边形的对角线不一定相等．由于p 假q 真，所以“p 或q ”真，“p 且q ”假，“綈p ”真．(2)p 或q ：方程x 2－16＝0的两根的符号不同或绝对值相等．p 且q ：方程x 2－16＝0的两根的符号不同且绝对值相等．綈p ：方程x 2－16＝0的两根的符号相同．由于p 真q 真，所以“p 或q ”，“p 且q ”为真，“綈p ”为假．17．(本小题满分12分)已知方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2＝0，求使方程有两个大于1的实根的充要条件．解：令f (x )＝x 2＋(2k －1)x ＋k 2.方程有两个大于1的实根就是函数f (x )与x 轴的两个交点都位于(1，＋∞)内，即⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥0，－2k －12>1，f (1)>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ (2k －1)2－4k 2≥0，2k ＋1<0，k 2＋2k >0⇔k <－2.所以方程有两个大于1的实根的充要条件是k <－2.18．(本小题满分14分)给定p ：对任意实数x 都有ax 2＋ax ＋1>0恒成立；q ：关于x 的方程x 2－x ＋a ＝0有实数根．如果“p 且q ”为假命题，“p 或q ”为真命题，求实数a 的取值范围．解：若对任意实数x 都有ax 2＋ax ＋1>0恒成立，则“a ＝0”或“a >0且a 2－4a <0”．解得0≤a <4.若关于x 的方程x 2－x ＋a ＝0有实数根，则Δ＝1－4a ≥0，得a ≤14. 因为“p 且q ”为假命题，“p 或q ”为真命题，则p ，q 有且仅有一个为真命题，故“綈p 且q ”为真命题，或“p 且綈q ”为真命题，则⎩⎪⎨⎪⎧ a <0或a ≥4，a ≤14或⎩⎪⎨⎪⎧0≤a <4，a >14， 解得a <0或14<a <4. 所以实数a 的取值范围是()－∞，0∪⎝⎛⎭⎫14，4.。

【做一做1】 指出下列各个命题分别运用了哪个逻辑联结词. (1)函数f(x)=sin x+3不是周期函数; (2)a2+b2≥2ab; (3)有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形. 解(1)非.(2)或.(3)且.
2.含逻辑联结词的命题的真假判断
p 真 真 假 假 q 真 假 真 假 p∨q 真 真 真 假 p∧q 真 假 假 假 ������ p 假 假 真 真
名师点拨1.对于逻辑联结词“且”“或”“非”,可以分别结合集合中 的“交集”“并集”“补集”来进行理解. 2.简单命题与复合命题:不含逻辑联结词“且”“或”“非”的命题是 简单命题,由简单命题与逻辑联结词构成的命题是复合命题,因此 就有“p∨q”“p∧q”“������ p”形式的复合命题,其中p,q是简单命题,由简 单命题构成复合命题的关键是对逻辑联结词“且”“或”“非”的理解.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练2分别指出下列各组命题构成的“p∧q”“p∨q”“������ p”形 式的命题的真假. (1)p:梯形有一组对边平行;q:梯形有一组对边相等; (2)p:1是方程x2-4x+3=0的根;q:3是方程x2-4x+3=0的根; (3)p:不等式x2-2x+1>0的解集为R;q:不等式x2-2x+2≤1的解集为⌀. 解(1)因为p是真命题,q是假命题,所以p∧q是假命题,p∨q是真命题, ������ p是假命题. (2)因为p和q均是真命题,所以p∧q是真命题,p∨q是真命题, ������ p 是假命题. (3)因为p和q均是假命题,所以p∧q是假命题,p∨q是假命题, ������ p 是真命题.
【审题策略】 应先将命题p,q为真时,相应m的范围求出来,再根 据p∧q为假,p∨q为真确定p,q的真假性,最后建立不等式组求得m的 取值范围.

§2充分条件与必要条件学习目标 1.理解充分条件、必要条件、充要条件的定义.2.会求某些简单问题成立的充分条件、必要条件、充要条件.3.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明．知识点一充分条件与必要条件(1)“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可推出q，记作p⇒q，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2)若p⇒q，但q⇏p，称p是q的充分不必要条件，若q⇒p，但p⇏q，称p是q的必要不充分条件．知识点二充要条件思考在△ABC中，角A，B，C为它的三个内角，则“A，B，C成等差数列”是“B＝60°”的什么条件？答案因为A，B，C成等差数列，故2B＝A＋C，又因为A＋B＋C＝180°，故B＝60°，反之，亦成立，故“A，B，C成等差数列”是“B＝60°”的充要条件．梳理(1)一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q，此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件．(2)充要条件的实质是原命题“若p，则q”和其逆命题“若q，则p”均为真命题，如果p 是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．(3)从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件.其中p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}．1．q是p的必要条件时，p是q的充分条件．(√)2．若p是q的充要条件，则p和q是两个相互等价的命题．(√)3．q不是p的必要条件时，“p⇏q”成立．(√)类型一充分条件、必要条件、充要条件的判定例1下列各题中，试分别指出p是q的什么条件．(1)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等；(2)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等；(3)p：A⊆B，q：A∩B＝A；(4)p：a＞b，q：ac＞bc.考点充分条件、必要条件的判断题点充分、必要条件的判断解(1)∵两个三角形相似⇏两个三角形全等，但两个三角形全等⇒两个三角形相似，∴p是q的必要不充分条件．(2)∵矩形的对角线相等，∴p⇒q，而对角线相等的四边形不一定是矩形，∴q⇏p，∴p是q的充分不必要条件．(3)∵p⇒q，且q⇒p，∴p既是q的充分条件，又是q的必要条件．(4)∵p⇏q，且q⇏p，∴p是q的既不充分又不必要条件．反思与感悟充分条件、必要条件的两种判断方法(1)定义法①确定谁是条件，谁是结论；②尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件；③尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件．(2)命题判断法①如果命题：“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；②如果命题：“若p，则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件．跟踪训练1指出下列各题中，p是q的什么条件？(1)p：ax2＋ax＋1>0的解集是R，q：0<a<4；(2)p ：|x －2|<3，q ：6x －5<－1；(3)p ：A ∪B ＝A ，q ：A ∩B ＝B ；(4)p ：⎩⎪⎨⎪⎧ α>2，β>2，q ：⎩⎪⎨⎪⎧α＋β>4，αβ>4.考点 充分条件、必要条件的判断 题点 充分、必要条件的判断 解 (1)当a ＝0时，1>0满足题意；当a ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝a 2－4a <0，a >0，可得0<a <4.故p 是q 的必要不充分条件． (2)易知p ：－1<x <5，q ：－1<x <5， 所以p 是q 的充要条件．(3)因为A ∪B ＝A ⇔A ∩B ＝B ，所以p 是q 的充要条件．(4)由⎩⎪⎨⎪⎧ α>2，β>2，根据同向不等式相加、相乘的性质，有⎩⎪⎨⎪⎧α＋β>4，αβ>4，即p ⇒q ，但⎩⎪⎨⎪⎧ α＋β>4，αβ>4⇏⎩⎪⎨⎪⎧α>2，β>2，比如，当α＝1，β＝5时，⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＝6>4，αβ＝5>4，而α<2，所以q ⇏p ，所以p 是q 的充分不必要条件．类型二 充要条件的探求与证明 命题角度1 充要条件的探求例2 求ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是什么？ 考点 充要条件的概念及判断 题点 寻求充要条件解 (1)当a ＝0时，原方程变为2x ＋1＝0，即x ＝－12，符合要求．(2)当a ≠0时，ax 2＋2x ＋1＝0为一元二次方程，它有实根的充要条件是Δ≥0，即4－4a ≥0，∴a ≤1.①方程ax 2＋2x ＋1＝0只有一个负根的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，x 1x 2<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，1a<0，∴a <0.②方程ax 2＋2x ＋1＝0有两个负根的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，x 1＋x 2<0，x 1x 2>0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，－2a<0，1a >0，∴0<a ≤1.综上所述，ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a ≤1.反思与感悟 探求一个命题的充要条件，可以利用定义法进行探求，即分别证明“条件⇒结论”和“结论⇒条件”，也可以寻求结论的等价命题，还可以先寻求结论成立的必要条件，再证明它也是其充分条件．跟踪训练2 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝(n ＋1)2＋t (t 为常数)，试问t ＝－1是否为数列{a n }是等差数列的充要条件？请说明理由． 考点 充要条件的概念及判断 题点 寻求充要条件 解 是充要条件．(充分性)当t ＝－1时，S n ＝(n ＋1)2－1＝n 2＋2n . a 1＝S 1＝3，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1. 又a 1＝3符合上式， ∴a n ＝2n ＋1(n ∈N ＋)， 又∵a n ＋1－a n ＝2(常数)，∴数列{a n }是以3为首项，2为公差的等差数列． 故t ＝－1是{a n }为等差数列的充分条件． (必要性)∵{a n }为等差数列， 则2a 2＝a 1＋a 3，∵a 1＝S 1＝4＋t ， a 2＝S 2－S 1＝5， a 3＝S 3－S 2＝7， ∴10＝11＋t ， 解得t ＝－1，故t ＝－1是{a n }为等差数列的必要条件． 综上，t ＝－1是数列{a n }为等差数列的充要条件． 命题角度2 充要条件的证明例3 求证：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根的充要条件是ac ＜0. 考点 充要条件的概念及判断 题点 充要条件的证明证明 充分性(由ac ＜0推证方程有一正根和一负根)，∵ac ＜0，∴一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式Δ＝b 2－4ac ＞0， ∴原方程一定有两不等实根， 不妨设为x 1，x 2，则x 1x 2＝ca ＜0，∴原方程的两根异号，即一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根． 必要性(由方程有一正根和一负根推证ac ＜0)， ∵一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根， 不妨设为x 1，x 2，∴由根与系数的关系得x 1x 2＝ca ＜0，即ac ＜0，此时Δ＝b 2－4ac ＞0，满足原方程有两个不等实根．综上可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根的充要条件是ac ＜0.反思与感悟 对于充要条件性命题证明，需要从充分性和必要性两个方面进行证明，需要分清条件和结论．跟踪训练3 求证：方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2＝0的两个根均大于1的充要条件是k ＜－2. 考点 充要条件的概念及判断 题点 充要条件的证明 证明 必要性：若方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2＝0有两个大于1的根，不妨设两个根为x 1，x 2，则 ⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(2k －1)2－4k 2≥0，(x 1－1)＋(x 2－1)＞0，(x 1－1)(x 2－1)＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧k ≤14，(x 1＋x 2)－2＞0，x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＞0.即⎩⎪⎨⎪⎧k ≤14，－(2k －1)－2＞0，k 2＋(2k －1)＋1＞0，解得k ＜－2. 充分性：当k ＜－2时，Δ＝(2k －1)2－4k 2＝1－4k ＞0. 设方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2＝0的两个根为x 1，x 2.则(x 1－1)(x 2－1)＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＝k 2＋2k －1＋1＝k (k ＋2)＞0. 又(x 1－1)＋(x 2－1)＝(x 1＋x 2)－2＝－(2k －1)－2＝－2k －1＞0， ∴x 1－1＞0，x 2－1＞0，∴x 1＞1，x 2＞1.综上可知，方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2＝0有两个大于1的根的充要条件为k ＜－2.类型三 利用充分条件、必要条件求参数的值(或范围)例4 设命题p ：x (x －3)＜0，命题q ：2x －3＜m ，已知p 是q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围为________． 考点 充分、必要条件的综合应用 题点 由充分、必要条件求参数的范围 答案 [3，＋∞)解析 p ：x (x －3)＜0，即0＜x ＜3； q ：2x －3＜m ，即x ＜m ＋32.由题意知p ⇒q ，q ⇏p ，则在数轴上表示不等式如图所示，则m ＋32≥3，解得m ≥3，即实数m 的取值范围为[3，＋∞)．反思与感悟 (1)在有些含参数的充要条件问题中，要注意将条件p 和q 转化为集合，从而转化为两集合之间的子集关系，再转化为不等式(或方程)，从而求得参数的取值范围． (2)根据充分条件或必要条件求参数范围的步骤 ①记集合M ＝{x |p (x )}，N ＝{x |q (x )}；②若p 是q 的充分不必要条件，则M ?N ，若p 是q 的必要不充分条件，则N ?M ，若p 是q 的充要条件，则M ＝N ； ③根据集合的关系列不等式(组)； ④求出参数的范围．跟踪训练4 设A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪y ＝2x 2x ＋1，x ∈R，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ＝13x ＋m ，x ∈[－1，1]，记命题p ：“y ∈A ”，命题q ：“y ∈B ”，若p 是q 的必要不充分条件，则m 的取值范围为______________． 考点 充分、必要条件的综合应用 题点 由充分、必要条件求参数的范围 答案 ⎝⎛⎭⎫13，23解析 由题意知A ＝{y |0＜y ＜1}．， B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y | m －13≤y ≤m ＋13，依题意，得B ?A ，故⎩⎨⎧m －13>0，m ＋13<1，∴13<m <23.1．“x ＞0”是“x 2＋x ＞0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件考点 充分条件、必要条件的判断 题点 充分、必要条件的判断 答案 A解析 由x 2＋x ＞0⇔x ＜－1或x ＞0，由此判断A 符合要求． 2．对于非零向量a ，b ，“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 答案 A解析 当a ＋b ＝0时，得a ＝－b ，所以a ∥b ，但若a ∥b ，不一定有a ＋b ＝0. 3．“关于x 的不等式x 2－2ax ＋a ＞0，x ∈R 恒成立”的一个必要不充分条件是( ) A ．0＜a ＜1 B ．0≤a ≤1 C ．0＜a ＜12D ．a ≥1或a ≤0 考点 充分条件、必要条件的概念及判断 题点 充分、必要条件的判断 答案 B解析 当关于x 的不等式x 2－2ax ＋a ＞0，x ∈R 恒成立时，应有Δ＝4a 2－4a ＜0，解得0＜a ＜1.所以一个必要不充分条件是0≤a ≤1.4．设p ：1≤x ＜4，q ：x ＜m ，若p 是q 的充分条件，则实数m 的取值范围是________．(用区间表示)考点 充分条件的概念及判断 题点 由充分条件求取值范围 答案 [4，＋∞)解析因为p为q的充分条件，所以[1,4)⊆(－∞，m)，得m≥4.5．设p：|x|＞1，q：x＜－2或x＞1，则q是p的__________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”“充要”)考点充分条件、必要条件的判断题点充分、必要条件的判断答案充分不必要解析由已知，得p：x＜－1或x＞1，则q是p的充分不必要条件．充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分又不必要条件反映了条件p和结论q之间的因果关系，在结合具体问题进行判断时，常采用如下方法(1)定义法：分清条件p和结论q，然后判断“p⇒q”及“q⇒p”的真假，根据定义下结论．(2)等价法：将命题转化为另一个与之等价的又便于判断真假的命题．(3)集合法：写出集合A＝{x|p(x)}及集合B＝{x|q(x)}，利用集合之间的包含关系加以判断．一、选择题1．“x为无理数”是“x2为无理数”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件考点充分条件、必要条件的判断题点充分、必要条件的判断答案 B解析当x2为无理数时，x为无理数．2．设a，b∈R，则“a＋b＞2”是“a＞1且b＞1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件考点充分条件、必要条件的判断题点充分、必要条件的判断答案 B3．设x∈R，则x＞π的一个必要不充分条件是()A．x＞3 B．x＜3C ．x ＞4D ．x ＜4考点 充分条件、必要条件的判断 题点 充分、必要条件的判断 答案 A4．在△ABC 中，若p ：A ＝60°，q ：sin A ＝32，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件考点 充分条件、必要条件的判断 题点 充分、必要条件的判断 答案 A解析 因为sin 60°＝32，故p ⇒q ，但当sin A ＝32时，A ＝60°或120°. 5．已知p ：x 2＋2x －3＜0，q ：1－a ≤x ≤1＋a ，且q 是p 的必要不充分条件，则a 的取值范围是( ) A ．(4，＋∞) B ．(－∞，0] C ．[4，＋∞)D ．(－∞，0)考点 充分、必要条件的综合应用 题点 充分、必要条件求参数的范围 答案 C解析 由命题p ：－3＜x ＜1，因为p ⇒q ，q ⇏p ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 1－a ≤－3，1＋a ≥1，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≥4，a ≥0，所以a ≥4.6．下列四个条件中，使a ＞b 成立的充分不必要条件是( ) A ．a ≥b ＋1 B ．a ＞b －1 C ．a 2＞b 2D ．a 3＞b 3考点 充分、必要条件的判断 题点 充分不必要条件的判断 答案 A解析 由a ≥b ＋1＞b ，从而a ≥b ＋1⇒a ＞b ；反之，如a ＝4，b ＝3.5，则4＞3.5⇏4≥3.5＋1，故a ＞b ⇏a ≥b ＋1，故选A.7．设a 1，b 1，c 1，a 2，b 2，c 2均为非零实数，不等式a 1x 2＋b 1x ＋c 1>0和a 2x 2＋b 2x ＋c 2>0的解集分别是集合M 和N ，那么“a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2”是“M ＝N ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 考点 充分条件、必要条件的判断 题点 充分、必要条件的判断 答案 D解析 若a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2<0，则M ≠N ，即a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2⇏M ＝N ； 反之，若M ＝N ＝∅，即两个一元二次不等式的解集为空集时， 只要求判别式Δ1<0，Δ2<0(a 1<0，a 2<0)， 而与系数之比无关．8．设函数f (x )＝|log 2x |，则f (x )在区间(m,2m ＋1)(m >0)内不是单调函数的充要条件是( ) A ．0<m <12B ．0<m <1 C.12<m <1 D ．m >1考点 充要条件的概念及判断 题点 寻求充要条件 答案 B解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ≥1，－log 2x ，0<x <1.f (x )的图像在(0,1)内单调递减， 在(1，＋∞)内单调递增．若f (x )在(m,2m ＋1)(m >0)上不是单调函数，则⎩⎪⎨⎪⎧m <1，2m ＋1>1⇔0<m <1. 二、填空题9．若a ＝(1,2x )，b ＝(4，－x )，则“a 与b 的夹角为锐角”是“0≤x ＜2”的________________条件．考点 充分条件、必要条件的判断 题点 充分、必要条件的判断答案 既不充分又不必要10．“(x ＋1)(x ＋2)＞0”是“(x ＋1)(x 2＋2)＞0”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)考点 充分、必要条件的判断题点 必要不充分条件的判断答案 必要不充分解析 (x ＋1)(x ＋2)＞0⇒x ＜－2或x ＞－1，(x ＋1)·(x 2＋2)＞0⇒x ＞－1，因为x ＞－1⇒x ＜－2或x ＞－1，x ＜－2或x ＞－1⇏x ＞－1，所以应填“必要不充分”．11．有下列命题：①“x ＞2且y ＞3”是“x ＋y ＞5”的充分条件；②“b 2－4ac ＜0”是“一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集为R ”的充要条件； ③“a ＝2”是“直线ax ＋2y ＝0平行于直线x ＋y ＝1”的充分不必要条件；④“xy ＝1”是“lg x ＋lg y ＝0”的必要不充分条件．其中真命题的序号为________．考点 充分条件、必要条件的判断题点 充分、必要条件的判断答案 ①④解析 ①当x ＞2且y ＞3时，x ＋y ＞5成立，反之不一定，所以“x ＞2且y ＞3”是“x ＋y ＞5”的充分不必要条件，故①为真命题；②不等式解集为R 的充要条件是a ＜0且b 2－4ac ＜0，故②为假命题；③当a ＝2时，两直线平行，反之，若两直线平行，则a 1＝21，所以a ＝2，所以“a ＝2”是“两直线平行”的充要条件，故③为假命题；④lg x ＋lg y ＝lg(xy )＝0，所以xy ＝1且x ＞0，y ＞0，所以xy ＝1必成立，反之不然，所以“xy ＝1”是“lg x ＋lg y ＝0”的必要不充分条件，故④为真命题．综上可知，真命题是①④.三、解答题12．判断下列各题中，p 是q 的什么条件．(1)p ：|x |＝|y |，q ：x ＝y ；(2)p ：△ABC 是直角三角形，q ：△ABC 是等腰三角形；(3)p ：四边形的对角线互相平分，q ：四边形是矩形；(4)p ：圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)与直线ax ＋by ＋c ＝0相切，q ：c 2＝(a 2＋b 2)r 2.考点 充分条件、必要条件的判断题点 充分、必要条件的判断解 (1)∵|x |＝|y |⇏x ＝y ，但x ＝y ⇒|x |＝|y |，∴p 是q 的必要不充分条件．(2)∵△ABC 是直角三角形⇏△ABC 是等腰三角形，△ABC 是等腰三角形⇏△ABC 是直角三角形，∴p 是q 的既不充分又不必要条件．(3)∵四边形的对角线互相平分⇏四边形是矩形，四边形是矩形⇒四边形的对角线互相平分，∴p 是q 的必要不充分条件．(4)若圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)与直线ax ＋by ＋c ＝0相切，则圆心(0,0)到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离等于r ，即r ＝|c |a 2＋b 2， ∴c 2＝(a 2＋b 2)r 2；反过来，若c 2＝(a 2＋b 2)r 2， 则|c |a 2＋b 2＝r 成立， 说明圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)的圆心(0,0)到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离等于r ，即圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)与直线ax ＋by ＋c ＝0相切，故p 是q 的充要条件．13．已知p ：2x 2－3x －2≥0，q ：x 2－2(a －1)x ＋a (a －2)≥0，且命题p 是命题q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．考点 充分、必要条件的综合应用题点 由充分、必要条件求参数的范围解 令M ＝{x |2x 2－3x －2≥0}＝{x |(2x ＋1)(x －2)≥0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤－12或x ≥2，N ＝{x |x 2－2(a －1)x ＋a (a －2)≥0} ＝{x |(x －a )[x －(a －2)]≥0}＝{x |x ≤a －2或x ≥a }．由已知p ⇒q 且q ⇏p ，得M ?N ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －2≥－12，a <2或⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－12，a ≤2， 解得32≤a <2或32<a ≤2，即32≤a ≤2. 即实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤32，2.四、探究与拓展14．下列各题中，p 是q 的充要条件的是________．(填序号)①p ：m ＜－2或m ＞6，q ：y ＝x 2＋mx ＋m ＋3有两个不同的零点；②p ：f (－x )f (x )＝1，q ：y ＝f (x )为偶函数； ③p ：cos α＝cos β，q ：tan α＝tan β；④p ：A ∩B ＝A ，q ：∁U B ⊆∁U A .考点 充分、必要条件的判断题点 充要条件的判断答案 ①④解析 对于①，q ：y ＝x 2＋mx ＋m ＋3有两个不同的零点⇔q ：Δ＝m 2－4(m ＋3)＞0⇔q ：m ＜－2或m ＞6⇔p ；对于②，当f (x )＝0时，q ⇏p ；对于③，若α，β＝k π＋π2(k ∈Z )，则有cos α＝cos β，但没有tan α＝tan β，p ⇏q ； 对于④，p ：A ∩B ＝A ⇔p ：A ⊆B ⇔q ：∁U B ⊆∁U A .15．已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，求m 的取值范围．考点 充分、必要条件的综合应用题点 由充分、必要条件求参数的取值范围解 由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10，∴P ＝{x |－2≤x ≤10}．由x ∈P 是x ∈S 的必要条件，知S ⊆P .则⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2， ∴0≤m ≤3.1＋m ≤10，∴当0≤m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件，即所求m 的取值范围是[0,3]．。